Для полиномов Лагерра существует следующее представление

I.
Полиномы Лагерра
Для полиномов Лагерра существует следующее
представление в виде контурного интеграла
I
1 z −α
e−t
Lα
(z)
=
e
z
tn+α dt
(1)
n
2πi
(t − z)n+1
Здесь n - степень полинома, а α - произвольный
действительный параметр, контур интегрирования
в плоскости t проходит против часовой стрелки
вокруг точки z. Используя метод перевала, найти
асимптотику полиномов Лагерра при n → ∞.
Для удобства считайте z действительным и
положительным.
a.
У вас должны получиться 2 седловые
точки. Ваши вторые производные, определяющие
предэкспоненту, должны получиться равными
2i
S ′′ (t± ) = ± √
zn
b.
Для получения правильного выражения в
экспоненте удобно использовать представление
III.
Асимптотика интеграла
Найти асимптотику интеграла
F (λ) =
Z
∞
q
e−λ
x2
1+x
dx
(4)
−1
при λ → ∞. Фазовая функция имеет излом на отрезке
интегрирования. Разбейте контур на 2 части и для
каждого интеграла получите свою асимптотическую
оценку.
IV.
Уравнения
Используя метод контурного интеграла Лапласа
построить
все
линейно-независимые
решения
уравнения. В случае, когда интеграл не вычисляется
в элементарных функциях, найти его асимптотику
при z → +∞
1.
t = |t|eiarg t
У вас должно получиться
|t± − z| =
p
z(n + 1),
π α−1−z
√
arg(t± − z) = ∓
.
2
2 nz
zu′′ + (z + 2i)u = 0
2.
(5)
*
и похожие выражения для t.
II.
Функции Бесселя
На семинаре мы исследовали асимптотическое
поведение функций Бесселя при больших значениях
аргумента z → ∞. Используя представление
контурным интегралом
I
1
z
1
dt
Jn (z) =
(2)
e 2 (t− t ) n+1 ,
2πi
t
где замкнутый контур обходит точку 0 против часовой
стрелки, получить асимптотическое представление
функции Бесселя при больших значениях номера n →
∞. Считайте z действительным и положительным.
c.
У вас должны получиться 2 седловые точки.
Одну из них следует исключить из рассмотрения.
Почему?
d.
Для
получения
табличного
ответа,
приведенного в конце задания, вам возможно
окажется полезной формула Стирлинга:
n n
√
n! ≈ 2πn
, n→∞
(3)
e
3zu′′ − 2u′ + (−3z + 4)u = 0
V.
(6)
Ответы
√
1 z α−1 −α−1
πα π 2n2
4z
2
4 cos
√
−
2
e
1. Lα
(z)
=
nz
−
n
2
4
π
1 z n
2. Jn (z) =
,
n! 2
2
3. F (λ) ≈
λ
Z i
eiz
dt
ezt
→− ,
4a. u1 (z) = ze−iz , u2 (z) =
2
(t + i)
4z
−∞
4b. u1 (z) = (2 + 3z)e−z ,
Z 1
ezt dt
ez −2πi/3 1 u2 (z) =
→
−
e
Γ
.
2
2/3
3
4z 1/3
−∞ (t + 1) (t − 1)