Лекция 5 (апрельские тезисы 2) Применение формулы Коши

Лекция 5 (апрельские тезисы 2)
Применение формулы Коши
Начнем с примера
Пусть требуется вычислить
Z
γ:|z|=2
dz
.
+1
z2
Подинтегральная функция не голоморфна всюду внутри контура:
имеются две особые точки i и - i. Венецианская техника“ подсказывает,
”
что нужно сделать (см. рисунок 1):
1
dz
z 2 +1
R
Интеграл γǫ
показывает, что
1
2πi
′
I
γ
= 0 (теорема Коши). Переход к пределу при ǫ → 0
1
dz
=
2
z +1
2πi
I
γ
′
1
dz
+
2
z + 1 2πi
I
γ
′′
dz
,
+1
z2
′′
где γ (соотв. γ ) - граница маленького диска, окружающего точку i
(соотв. - i). Таким образом, вычисление интеграла по внешнему простому замкнутому контуру от голоморфной функции (а точнее, формы)
заменяется вычислением суммы интегралов по границам маленьких“
”
дисков Dzi , окружающих особые точки zi функции, лежащие внутри
контура (требуется, чтобы диск содержал
ровно одну особую точку). Это
H
1
и есть теорема о вычетах, если 2πi f (zi )dz назвать вычетом функции
f (z) в точке zi (не обязательно особой). Для такого вычета используется
обозначение Res(f ; zi )
Вопрос: чему равен Res (f ; z), если z - регулярная точка?
Вернемся к нашей задаче и найдем нужные вычеты Res( z21+1 ; i), Res( z21+1 ; −i).
Имеем
1
1
1
1
1
=
= (
−
)
2
z +1
(z + i)(z − i)
2i z − i z + i
I
1 1
dz
dz
1
1
; i) =
(
(
−
)) =
Res( 2
z +1
2i 2πi ∂D:|z−i|=ρ z − i z + i
2i
Аналогично,
Res(
z2
1
1
; −i) = −
+1
2i
В итоге,
Z
|z|=2
dz
1
1
= 2πi(Res( 2
; i) + Res( 2
; −i)) = 0
+1
z +1
z +1
z2
Задача. Если z = a - простой полюс функции f (z), то
Res (f ; а) = lim f (z)
z→a
2
Следующая теорема (теорема о вычетах) уже никого не может удивить:
Теорема 1 Пусть функция f (z) однозначна и голоморфна на простом
замкнутом контуре γ и внутри него всюду, за исключением конечного
числа внутренних точек z1 , ..., zn . Тогда
Z
γ
n
X
f (z)dz = 2πi(
Res(f ; zi ))
i=1
Теорему о вычетах можно использовать для вычисления многих
вещественных определенных интегралов. Обычно берут контур, часть
которого проходит по вещественной оси, и заставляют остальную его
часть стремиться к бесконечности. Этот процесс называется контурным интегрированием и относится к разряду вещей, которым нельзя
научить, а можно только разъяснить на следующем трудном примере.
(Все следующее бессовестно переписано из Уиттекера и Ватсона Курс
”
современного анализа“ (см. также Гурса Анализ).
Задача. Вычислить
Z
∞
xa−1
;0 ≺ a ≺ 1
1+x
0
Рассмотрим
Z
γ(ρ,R)
z a−1
dz
1+z
по замкнутому контуру γ = γ(ρ, R), изображенному на рисунке 2.
3
Следует обратить внимание на следующее обстоятельство: функция
f(z) = z a−1 = e(a−1)Lnz многозначна в любой области, охватывающей точку 0. Но внутри и на границе нарисованной области можно выделить ее
однозначную голоморфную ветвь
f (z) = f (τ eiθ ) = τ a−1 e(a−1)iθ , 0 ≤ θ ≤ 2π.
Внутри этого контура имеется один полюс z = −1. Следовательно,
I
Z
I
Z
+
+
+
= 2πie(a−1)iπ
γ(R,ǫ)
1
←
γ(ρ,ǫ)
2
→
(почему?) В левой частиR формулы
перейдем к пределу при ǫ → 0. В
R
итоге сумма интегралов ←
1 +
2 превратится в сумму двух интегралов,
→
4
R
взятых вдоль отрезка [ρ, R] вещественной оси. Точнее, →
2 станет равным
R
R ρ xa−1 e(a−1)2πi
R R xa−1
dx а интеграл ←
dx (почему?)
1 превратится в
1+x
R
ρ 1+x
В сумме получится,
Z R a−1
x
(a−1)2πi
dx.
(1 − e
)
ρ 1+x
Итак,
I
|z|=R
z a−1
dz +
z+1
I
|z|=ρ
Z R a−1
z a−1
x
dz + (
dx)(1 − e(a−1)2πi ) = 2πie(a−1)πi
z+1
ρ 1+x
Осталось показать, что при ρ → 0, R → ∞ оба лишних“ интеграла
”
стремятся к нулю. Если это так, то указанный переход к пределу дает:
Z ∞ a−1
2πie(a−1)πi
π
x
dx =
=
(a−1)2πi
1+x
1−e
sin(πa)
0
Покажем что,
Z
|z|=R
2πRa
z a−1 dz ≤
,
z+1
R−1
откуда немедленно следует исчезновение интеграла
R → ∞. В самом деле,
a−1 a−1
z
≤ R
z + 1 R − 1
R
z a−1
dz,
|z|=R z+1
при
на контуре |z| = R (почему?). Следовательно,
Z
2πRa−1
2πRa
|...| ≤ |...| ≤
=
→ 0, (R → ∞)
R−1
R−1
(почему?)
Аналогично оценивается и второй интеграл. Таким образом мы доказали, что
Z ∞ a−1
x
π
dx =
1+x
sin(πa)
0
(если Вам это очевидно, то примите мои поздравления).
5
Замечание. Рассмотрим Гамма функцию
Z ∞
Γ(x) =
tx−1 e−t dt, (Re(x) ≻ 0).
0
С помощью стандартного формального трюка легко получить (как?),
что
Z ∞
q y−1
dq
Γ(x)Γ(y) = Γ(x + y)
(1 + q)x+y
0
Наше вычисление показывает, что
Z ∞ x−1
q
π
Γ(x)Γ(1 − x) = Γ(1)
dq =
,0 < x < 1
(1 + q)
sin(πa)
0
Ряды Лорана сами по себе, как средство для нахождения
вычетов и как способ другой классификации особенностей.
Теорема 2 Пусть функция f (z) голоморфна в кольце
P r ≤ |z − a|n ≤ R.
Тогда функцию f (z) можно разложить в ряд вида n∈Z an (z − a) , сходящийся к функции f (z) всюду в кольце.
Доказательство. Оно во многом повторяет вывод формулы Тейлора
из формулы Коши. Посмотрим на рисунок 3 (чтобы не писать лишнего
считаем, что a = 0)
6
Согласно формуле Коши и сказке о каналах“, имеем
”
I
I
1
f (t)
f (t)
1
f (z) =
dt −
dt(∗)
2πi γR t − z
2πi γr t − z
Как и при выводе формулы Тейлора
X zn
1 1
1
=
,
=
t−x
t (1 − zt )
tn+1
если t ∈ γR , и
X tn
1
1 1
=
−
=−
,
t−x
z (1 − zt )
z n+1
t∈ γr .
Подставляя оба разложения в формулу (∗) и интегрируя ряды, получим
X
f (z) =
an z n ,
n∈Z
где
1
an =
2πi
I
γ
f (t)
dt,
tn+1
а γ - любой простой замкнутый контур, обходящий кольцо.
Рассмотрев разложение функции f (z) в ряд Лорана в открытом
кольце r ≺ |z − zi | ≺ R с центром в ее изолированной особой точке,
легко убедиться, что Res(f, zi ) = a−1 .
Замечание. Часть ряда Лорана L+ , состоящая из неотрицательных
степеней z (тейлоровская часть) сходится не только в кольце, но и во
всем диске |z| . Подобным же образом часть ряда L− сходится всюду,
где |z| . Если ряд L− бесконечен, то говорят, что у функции f (z) имеется
существенная особенность в центре кольца. Если же ряд L− конечен,
то речь идет о полюсе функции (почему?). Наконец, если L = L+ , то с
функцией f (z) в центре кольца все в порядке.
Примеры. • В кольце 0 < |z| < 2 функция f (z) =
ется в ряд Лорана вида
1
L− = ,
z
7
1
z
раскладыва-
и Res( z1 , 0) = 1,
•• Функция
sin(z)
z
раскладывается в кольце 0 < |z| < ∞ в ряд
L+ = 1 −
z2 z4
+
− ...
3!
5!
С этой функцией все в порядке в точке 0.
1
• • • Функция e z в кольце 0 < |z| < ∞ раскладывается в ряд Лорана вида
1
1
1
1+
+
+
+ ...
2
1!z 2!z
3!z 3
1
Таким образом точка 0 - ее существенная особенность, а Res(e z , 0) = 1.
8