Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

Вестник КемГУ
№ 3/1
2011
Комплексный анализ
УДК 517.552
О ФОРМУЛЕ ПЕРЕСТАНОВКИ ОСОБОГО ИНТЕГРАЛА КОШИ-СЕГЕ В
МНОГОМЕРНОМ ШАРЕ
А. С. Кацунова
ON THE FORMULA OF CHANGE OF INTEGRATION ORDER FOR THE SINGULAR
CAUCHY-SZEGÖ INTEGRAL IN MULTIDIMENSIONAL BALL
A. S. Katsunova
В работе рассмотрены аналоги формулы Пуанкаре-Бертрана для особого интеграла Коши-Сеге в
шаре. Главное значение интеграла рассмотрено по Коши и в смысле Керзмана-Стейна. Аналог, полученный в случае рассмотрения главного значения по Коши, отличен от формулы Пуанкаре-Бертрана
для интеграла Коши на комплексной плоскости. Однако, если рассматривать главное значение в
смысле Керзмана-Стейна, они совпадают. Статья является обзором основных результатов по данной теме.
It is obtained the Poincaré-Bertrand formula for singular Cauchy-Szegö integral in a
multidimensional ball. It is considered principal value of integral in terms of Cauchy and in terms of
Kerzman-Stein. The received formula in case of consideration of a Cauchy principal value differs from
Poincaré-Bertrand formula for Cauchy integral in a complex plane. However, in case of consideration of a
principal value in terms of Kerzman-Stein the received formula of change of integration order is coincide
with Poincaré-Bertrand formula. This paper is a review of the main results on this problem.
Ключевые слова: интеграл Коши-Сеге, главное значение особого интеграла, формула перестановки повторного интеграла.
Keywords: Cauchy-Szegö integral, principal value of integral in terms of Cauchy, formula of change of
integration order for iterated integral.
1. Введение
Теорема 1.2. Если ϕ(ζ, w) ∈ C α (Γ × Γ) при
0 < α 6 1, тогда
В теории голоморфных функций одного комплексZ
Z
ного переменного основополагающую роль играет
1
ϕ(ζ, w)
dw
dζ =
интегральная формула Коши (см., например, [1,
(2πi)2
(ζ − z) (w − ζ)
Γw
Γζ
2]).
Z Z
ϕ(ζ, w)
1
Теорема 1.1. Пусть G ⊂ C1 — ограниченная = 1
dζ dw+ ϕ(z, z), z ∈ Γ.
(2πi)2
(ζ−z) (w−ζ)
4
односвязная область, границей которой являетΓζ Γw
ся произвольная кусочно-гладкая линия ∂G. Для
функции f , голоморфной в G и непрерывной в G
Целью работы являются исследование по(т. е. f ∈ O(G) ∩ C(G)), справедлива формула
вторного особого интеграла Коши-Сеге и полуZ
чение аналога классической формулы Пуанкаре1
f (ζ) dζ
f (z) =
, z ∈ G.
Бертрана для интеграла (типа) Коши.
2πi
ζ −z
∂G
В случае, если точка z лежит на границе области G, интеграл становится расходящимся в обычном смысле и рассматривают главное значение
по Коши особого интеграла, которое определяется
следующим образом:
Z
f (ζ) dζ
1
=
v.p.
2πi
ζ −z
∂G
Z
1
f (ζ) dζ
= lim
, z ∈ ∂G.
ε→+0 2πi
ζ −z
∂G\{ζ: |ζ−z|<ε}
2.
Интегральное
Коши-Сеге
представление
Рассмотрим n-мерное комплексное пространство
Cn (n > 1). Введем следующие обозначения. Если ζ,pz ∈ Cn , то hζ, zi = ζ1 z1 + . . . + ζn zn , а
|z| = hz, zi, где z = (z1 , . . . , zn ), z = (z 1 , . . . , z n ).
Пусть Bz (r) — шар из Cn с центром в точке z
радиуса r, т. е.
Bz (r) = {ζ ∈ Cn : |ζ − z| < r}.
Обозначим B = B0 (1) — единичный шар из Cn ,
S — граница шара B
Пусть функция ϕ(ζ, w) удовлетворяет услоS = ∂B = {ζ ∈ Cn : |ζ| = 1}.
вию Гельдера на Γ × Γ с показателем α (т. е.
Обозначим через K(ζ, z) — ядро Коши-Сеге
ϕ(ζ, w) ∈ C α (Γ × Γ)), где Γ — гладкая кривая из
для
шара, т. е.
1
C , 0 < α 6 1. Тогда для интеграла Коши имеет
1
место формула перестановки повторного особого
K(ζ, z) = ¡
­ ®¢n ,
интеграла (см., например, [3]).
1 − ζ, z
203
Вестник КемГУ
№ 3/1
2011
Комплексный анализ
а через σ(ζ) — дифференциальную форму
σ(ζ) =
В этом параграфе для точек z ∈ S будем рассматривать интеграл Коши-Сеге в смысле главного значения по Коши и знак v.p. будем опускать.
n
(n − 1)! X
(−1)k−1 ζ k dζ[k] ∧ dζ,
(2πi)n
k=1
где
Теорема 3.3. Пусть
¯
­
®¯−ν
f (ζ, w) = f0 (ζ, w) ¯1 − ζ, w ¯ ,
dζ = dζ1 ∧ . . . ∧ dζn , dζ[k] =
= dζ 1 ∧ . . . ∧ dζ k−1 ∧ dζ k+1 ∧ . . . ∧ dζ n .
0 6 ν < n, f0 ∈ C α (S × S), тогда
Приведем известное интегральное представление Коши-Сеге (Хуа Локена) для голоморфных
функций в шаре (см., например, [4]).
Z
Sw
Теорема
2.1.
Для
любой
функции
f ∈ O(B) ∩ C(B), справедлива формула
Z
f (z) = f (ζ) K(ζ, z) σ(ζ), z ∈ B.
S
3. Главное значение по Коши интеграла Коши-Сеге
Z
dσ(w)
Z
=
f (ζ, w) K(ζ, z) σ(ζ) =
Sζ
Z
K(ζ, z) σ(ζ)
Sζ
f (ζ, w) dσ(w),
z ∈ S.
Sw
Лемма 3.4. При n > 1 для точек z 0 , ζ 0 ∈ S
справедливо равенство
Z
K(w, z 0 ) K(ζ 0 , w) σ(w) = K(ζ 0 , z 0 ), z 0 6= ζ 0 .
Sw
Для точек z ∈ S обычно рассматривается главное
значение по Коши:
Теорема 3.5. При n > 1, если f ∈ C α (S × S),
Z
Z
v.p. f (ζ) K(ζ, z) σ(ζ) = lim
f (ζ) K(ζ, z) σ(ζ). тогда
ε→+0
Z
Z
S
S\Bz (ε)
K(w, z) σ(w) f (ζ, w) K(ζ, w) σ(ζ) =
Для особого интеграла Коши-Сеге верно
Sw
Sζ
Z
Z
утверждение (см. [5]).
Теорема 3.1. При n > 1 справедлива форму- = σ(ζ) f (ζ, w) K(w, z) K(ζ, w) σ(w), z ∈ S.
ла:
Sζ
Sw
Z
v.p. K(ζ, z) σ(ζ) = 1, z ∈ S.
S
Обозначим для интегрируемой на S функции
f предельное значение интеграла
Z
f (ζ) K(ζ, z) σ(ζ)
S
Формула, полученная в теореме 3.5, отлична от формулы Пуанкаре-Бертрана в случае комплексной плоскости для интеграла Коши.
Из теоремы 3.5 и леммы 3.4 получается следствие, называемое формулой композиции.
Следствие 3.6. Пусть n > 1. Если f (ζ, w) =
= f (ζ) ∈ C α (S), то
изнутри шара B через K + [f ], а через Ks [f ] — главное значение по Коши этого интеграла, т. е.
Z
Ks [f ] = v.p. f (ζ) K(ζ, z) σ(ζ), z ∈ S.
S
Тогда для интеграла Коши-Сеге справедлив аналог формулы Сохоцкого-Племеля (см. [5]).
Следствие 3.2. Пусть n > 1. Если функция
f ∈ C α (S), 0 < α 6 1, то интеграл K + [f ] продолжается на S до некоторой функции, также
удовлетворяющей на S условию Гельдера с показателем β = α2 и
K + [f ] = Ks [f ].
Ks2 [f ] = Ks [f ].
4. Главное значение в смысле
Керзмана-Стейна интеграла КошиСеге
В работах Альта [6], Керзмана и Стейна [7] для
точек z ∈ S было рассмотрено другое главное значение v.p.h. особого интеграла ХенкинаРамиреза, частным случаем которого является интеграл Коши-Сеге. Поэтому, наряду с v.p., для точек z ∈ S рассмотрим главное значение в смысле
204
Вестник КемГУ
№ 3/1
2011
Керзмана-Стейна:
Z
v.p.h. f (ζ) K(ζ, z) σ(ζ) =
Комплексный анализ
α
Теорема 4.5. Пусть f ∈ CKS
(S × S), тогда
Z
S
Z
K(w, z) σ(w)
Z
Sw
= lim
f (ζ) K(ζ, z) σ(ζ).
ε→+0
Z
=
S\{ζ: |1−hζ, z i|<ε}
Z
σ(ζ)
Sζ
f (ζ, w) K(ζ, w) σ(ζ) =
Sζ
f (ζ, w) K(w, z) K(ζ, w) σ(w)+
Sw
Лемма 4.1 При n > 1 справедлива формула
Z
1
v.p.h. K(ζ, z) σ(ζ) = , z ∈ S.
2
S
+
1
f (z, z), z ∈ S.
4
Из теоремы 4.5 и леммы 4.4 получается следствие, называемое формулой композиции.
Обозначим через Ksh [f ] — главное значение
Следствие 4.6. Пусть n > 1. Если f (ζ, w) =
в смысле Керзмана-Стейна интеграла Коши-Сеге,
α
=
f
(ζ)
∈ CKS
(S), то
т. е.
Z
1
Ksh [f ] = v.p.h. f (ζ) K(ζ, z) σ(ζ).
2
Ksh
[f ] = f (z), z ∈ S,
4
S
α
Будем считать, что функция f ∈ CKS
(S) для где
0 < α 6 1, если для точек ζ, z ∈ S выполняется
неравенство
­ ®
|f (ζ) − f (z)| 6 C |1 − ζ, z |α .
Z
Ksh [f ] = v.p.h.
f (ζ) K(ζ, z) σ(ζ).
S
Как и следствие 3.6, следствие 4.4 является одТеорема 4.2. Пусть n > 1. Если функция
ной
из формул композиции для особого интеграла
α
+
f ∈ CKS (S), 0 < α 6 1, то интеграл K [f ] непреКоши-Сеге
при n > 1.
+
α
рывно продолжается на B, K [f ] ∈ CKS (S) и
справедливо равенство
Литература
Z
f (z)
[1] Привалов, И. И. Введение в теорию функK + [f ] =
+ v.p.h. f (ζ) K(ζ, z) σ(ζ), z ∈ S.
ций комплексного переменного / И. И. Привалов.
2
S
– М.: Наука, 1984. – 432 с.
[2] Шабат, Б. В. Введение в комплексный анаЛемму 4.1 и теорему 4.2 можно найти в [6, 7].
лиз. Ч.1 / Б. В. Шабат. – М.: Наука, 1985. – 336 с.
Ниже для точек z ∈ S будем рассматривать
главное значение интеграла в смысле Керзмана[3] Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов.
Стейна и знак v.p.h. будем опускать.
– М.: Наука, 1977. – 640 с.
Теорема 4.3. Пусть
[4] Рудин, У. Теория функций в единичном ша­
®
f (ζ, w) = f0 (ζ, w) |1 − ζ, w |−ν ,
ре из Cn / У. Рудин. – М.: Мир, 1984. – 456 с.
[5] Кытманов, А. М. О главном значении по
Коши особого интеграла Хенкина – Рамиреза в
строго псевдовыпуклых областях пространства
Cn / А. М. Кытманов, С. Г. Мысливец // Сиб.
матем. журн. – 2005. – Т. 3, № 46. – С. 625 – 633.
α
0 6 ν < n, f0 ∈ CKS
(S × S), тогда
Z
Z
dσ(w) f (ζ, w) K(ζ, z) σ(ζ) =
Sw
Z
Sζ
Z
[6] Alt, W. Singuläre integrale mit gemischten
homogenitäten
auf
mannigrfaltigkeiten
und
Sζ
Sw
anwendungen in der funktionentheorie / W. Alt //
Лемма 4.4. Для точек z 0 , ζ 0 ∈ S справедливо Math. Zeit. – 1974. – Vol. 137, no. 3. – P. 227 – 256.
равенство
[7] Kerzman, N. The Szegö kernel in terms
Z
of Cauchy–F antappié kernels / N. Kerzman,
K(w, z 0 ) K(ζ 0 , w) σ(w) = 0, z 0 6= ζ 0 .
E. M. Stein // Duke Math. J. – 1978. – Vol. 45, no. 3.
– P. 197 – 224.
Sw
=
K(ζ, z) σ(ζ)
f (ζ, w) dσ(w),
z ∈ S.
205