Ô1744. В глубинах космоса летает очень большой сосуд, в

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
Ô1744.  ãëóáèíàõ êîñìîñà ëåòàåò î÷åíü áîëüøîé
ñîñóä, â êîòîðîì õàîòè÷åñêè äâèæóòñÿ ìàëåíüêèå ñòàëüíûå øàðèêè, ïîëîâèíà êîòîðûõ èìååò äèàìåòð d, à
ïîëîâèíà – äèàìåòð 2d. Øàðèêè óïðóãî ñòàëêèâàþòñÿ
ìåæäó ñîáîé è ñî ñòåíêàìè ñîñóäà, ïîòåðü ýíåðãèè ïðè
ýòîì íåò. Êàêèå óäàðû ïðîèñõîäÿò ÷àùå – ìàëåíüêèõ
øàðèêîâ î ìàëåíüêèå èëè áîëüøèõ øàðèêîâ î áîëüøèå?
Âî ñêîëüêî ðàç?
Ñîäåðæèìîå ñîñóäà î÷åíü íàïîìèíàåò «îáû÷íûé» èäåàëüíûé ãàç – äëÿ òàêîãî ãàçà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñðåäíèå
êèíåòè÷åñêèå ýíåðãèè òÿæåëûõ è ëåãêèõ «ìîëåêóë» îäèíàêîâû. Ïðè ýòîì ñêîðîñòè èõ äâèæåíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ –
øàðèêè äèàìåòðîì 2d èìåþò ìàññó â 8 ðàç áîëüøóþ,
ïîýòîìó èõ ñðåäíèå êâàäðàòè÷íûå ñêîðîñòè â 8 ≈ 2,8
ðàçà ìåíüøå. Ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ó òàêîãî
øàðèêà â 4 ðàçà áîëüøå, ÷åì ó ìàëåíüêîãî. Òåïåðü ìîæíî
îöåíèòü ÷àñòîòó óäàðîâ.
Ïóñòü øàðèê ëåòèò ñî ñêîðîñòüþ v â òå÷åíèå èíòåðâàëà
âðåìåíè ∆t . Îáúåì, â êîòîðîì íàõîäÿòñÿ «ñòóêíóòûå» èì
øàðèêè, ïðîïîðöèîíàëåí ïëîùàäè åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S, ñêîðîñòè äâèæåíèÿ è äëèòåëüíîñòè èíòåðâàëà
âðåìåíè. (Èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ïðè óäàðàõ
äëÿ íàñ íåñóùåñòâåííû – øàðèêè ðàñïîëàãàþòñÿ â ñîñóäå
õàîòè÷åñêè, è íàì áåçðàçëè÷íî, ãäå ïðîèñõîäÿò óäàðû.
Ïðàâäà, ýòî ñïðàâåäëèâî, òîëüêî åñëè äëèíà ñâîáîäíîãî
ïðîáåãà ñóùåñòâåííî áîëüøå ðàçìåðà øàðèêî⠖ èíà÷å
îáúåì «çàìåòàåìîãî» ïðîñòðàíñòâà îêîëî òî÷êè óäàðà
áûëî áû òðóäíî ïîñ÷èòàòü.) Ïðè ìàëîé êîíöåíòðàöèè
øàðèêîâ ÷èñëà óäàðîâ îäèíàêîâûõ øàðèêîâ äðóã î äðóãà
ïðîïîðöèîíàëüíû «çàìåòàåìûì» îáúåìàì, ò.å. Sv∆t . Äëÿ
áîëüøèõ øàðèêîâ òàêîé îáúåì ïîëó÷àåòñÿ â 2 ðàç
áîëüøå, ÷åì äëÿ ìàëåíüêèõ: Sá = 4Sì , vá = vì 8 ,
ïîýòîìó áîëüøèå øàðèêè ñòàëêèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé
÷àùå â 2 ðàç.
À.Çèëüáåðìàí
Ô1745.  î÷åíü áîëüøîì ñîñóäå íàõîäèòñÿ ãåëèé ïðè
òåìïåðàòóðå T0 = 1000 Ê è äàâëåíèè p0 = 0,1 Ïà.
Îòêà÷àííûé äî ãëóáîêîãî âàêóóìà ñîñóä îáúåìîì V =
= 1 ë íàõîäèòñÿ âíóòðè áîëüøîãî ñîñóäà. Â ñòåíêå
ìàëåíüêîãî ñîñóäà îòêðûâàåòñÿ êëàïàí ïëîùàäüþ S =
= 1 ìì 2 , à ÷åðåç âðåìÿ τ = 0,01 ñ îí çàêðûâàåòñÿ.
Îöåíèòå äàâëåíèå è òåìïåðàòóðó âíóòðè ìàëåíüêîãî
ñîñóäà ïîñëå òîãî, êàê â íåì âñå óñïîêîèòñÿ. Ñòåíêè
ìàëåíüêîãî ñîñóäà î÷åíü òîíêèå, íî èõ òåïëîïðîâîäíîñòü ñîâñåì ìàëà.
Äëÿ íà÷àëà îöåíèì äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóë â
áîëüøîì ñîñóäå. Êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë n =
19
3
= p kT ≈10 1 ì (îöåíêè áóäåì äåëàòü ãðóáûå – òî÷íûå ðàñ÷åòû â ýòîé çàäà÷å ïîëó÷àþòñÿ ïëîõî…). Ïðèíè−10
ì, äëÿ
ìàÿ äèàìåòð ìîëåêóëû ãåëèÿ ðàâíûì d = 2 ⋅ 10
2
n
1
πd
≈ 1 ì.
äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ïîëó÷èì λ =
Ïðè òàêîé áîëüøîé âåëè÷èíå äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà
ìîëåêóëû âëåòàþò â ñîñóä ïðàêòè÷åñêè íå ñîóäàðÿÿñü
ìåæäó ñîáîé, è ðàáîòà îêðóæàþùåãî ãàçà íàä âëåòàþùèìè ïîðöèÿìè îòñóòñòâóåò. Êàçàëîñü áû, ýíåðãèÿ ìîëåêóë
âíóòðè ñîñóäà äîëæíà áûòü ðàâíà ñðåäíåìó çíà÷åíèþ
ñíàðóæè, îäíàêî äîëÿ áûñòðûõ ìîëåêóë ñðåäè âëåòàþùèõ â ñîñóä çàìåòíî âûøå, ÷åì ñíàðóæè, – áûñòðûå
ìîëåêóëû çà çàäàííîå âðåìÿ âëåòàþò â ñîñóä ñ áóëüøèõ
ðàññòîÿíèé, ÷åì ìåäëåííûå. Ðàñ÷åò òóò ïðîâåñòè íå ïðî-
b g
e
7 Êâàíò ¹ 6
j
#
«ÊÂÀÍÒÀ»
ñòî – íóæíî ó÷èòûâàòü äîëþ ìîëåêóë ñ îïðåäåëåííûìè
ñêîðîñòÿìè (ðàñïðåäåëåíèå ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì).
Ìîæíî ñäåëàòü òàêóþ, íàïðèìåð, ãðóáóþ îöåíêó: áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî âëåòàþò â ñîñóä ìîëåêóëû ñî ñðåäíèìè
ýíåðãèÿìè, íî áûñòðûå ìîëåêóëû èõ «ïîäãîíÿþò». Îöåíèì äàâëåíèå òîëüêî áûñòðûõ ìîëåêóë êàê ïîëîâèíó
ïîëíîãî äàâëåíèÿ (ñòðîãî ãîâîðÿ, èõ âêëàä âûøå, íî äîëÿ
áûñòðûõ ìîëåêóë â îáùåì ÷èñëå íåâåëèêà). Òîãäà «äîáàâêà» ê ñðåäíåé ýíåðãèè âîøåäøåãî â ñîñóä îáúåìà V
ìîëåêóë ñîñòàâèò 0,5pV = 0,5 νRT , ò.å. ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî
ýíåðãèÿ âîçðàñòåò â 4/3 ðàçà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òåìïåðàòóðà ãàçà â ñîñóäå îêàæåòñÿ â ýòî æå ÷èñëî ðàç áîëüøå
(ñàìîå çàáàâíîå, ÷òî àêêóðàòíàÿ îöåíêà äàåò òîò æå
ðåçóëüòàò!) è ñîñòàâèò T ≈ 1333 Ê.
×èñëî âëåòåâøèõ ìîëåêóë ìîæíî îöåíèâàòü ëþáûì ñïîñîáîì – ÷åðåç ïåðåäàííûé èìïóëüñ, ïðîñòî êèíåìàòè÷åñ14
êè è ò.ï., ïîëó÷èòñÿ ïðèìåðíî 10 ìîëåêóë. Ïðè ýòîì
äàâëåíèå â ñîñóäå îêàæåòñÿ ïîðÿäêà 0,001 Ïà. Ýòî
ñóùåñòâåííî ìåíüøå äàâëåíèÿ ñíàðóæè, òàê ÷òî îáðàòíûì
ïîòîêîì ìîëåêóë èç âíóòðåííåãî ñîñóäà íàðóæó ìîæíî
ïðåíåáðå÷ü.
Ð.Àëåêñàíäðîâ
Ô1746. Ê áàòàðåéêå íàïðÿæåíèåì U = 1,5  ïîäêëþ÷å-
íà î÷åíü äëèííàÿ öåïü èç ìíîæåñòâà îäèíàêîâûõ àìïåðìåòðîâ è òàêîãî æå
)
)
)
êîëè÷åñòâà îäèíàêîâûõ âîëüòìåòðîâ (ñì.
8
8
ðèñóíîê). Êàæäûé èç
àìïåðìåòðîâ èìååò ñîïðîòèâëåíèå r = 1 Îì,
ñîïðîòèâëåíèå êàæäîãî âîëüòìåòðà R = 10 êÎì. ×òî ïîêàçûâàþò ïåðâûé è
âòîðîé àìïåðìåòðû? Íàéäèòå ñóììó ïîêàçàíèé âñåõ
àìïåðìåòðîâ è ñóììó ïîêàçàíèé âñåõ âîëüòìåòðîâ â
ýòîé öåïè.
Äëÿ íà÷àëà íàõîäèì îáû÷íûì ñïîñîáîì ñîïðîòèâëåíèå
áåñêîíå÷íîé öåïî÷êè:
Rîáù =
r
2
r
+
2
4
+ rR = 100,5 Îì .
Òîãäà òîê ïåðâîãî àìïåðìåòðà ðàâåí
I1 =
U
Rîáù
= 14,9 ìÀ .
Ïåðâûé àìïåðìåòð ñ îñòàâøåéñÿ ÷àñòüþ ñõåìû îáðàçóåò
òàê íàçûâàåìûé äåëèòåëü íàïðÿæåíèÿ: ñîïðîòèâëåíèå
«îñòàâøåéñÿ» ÷àñòè ñîñòàâëÿåò Rîáù – r = 99,5 Îì, òîãäà
ïîñëå ïåðâîãî çâåíà ê îñòàëüíîé öåïè áóäåò ïðèëîæåíî
íàïðÿæåíèå U ⋅ 99,5 100,5 = 0,99U. Ñëåäîâàòåëüíî, âòîðîé àìïåðìåòð ïîêàæåò
I2 = 0,99I1 = 14,8 ìÀ .
Ñóììó ïîêàçàíèé âñåõ àìïåðìåòðîâ ìîæíî íàéòè ñîâñåì
ïðîñòûì ñïîñîáîì. Äåéñòâèòåëüíî, ñóììà íàïðÿæåíèé
àìïåðìåòðîâ ðàâíà íàïðÿæåíèþ áàòàðåéêè, ò.å. 1,5 Â, òîê
àìïåðìåòðà îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèåì åãî íàïðÿæåíèÿ ê
åãî ñîïðîòèâëåíèþ, òîãäà ñóììà òîêîâ ðàâíà
Iîáù =
1,5 B
= 1,5 À .
1 Îì
Ñóììó íàïðÿæåíèé âñåõ âîëüòìåòðîâ ìîæíî íàéòè òàêèì