Численное моделирование безударного

×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå áåçóäàðíîãî ñèëüíîãî
ñæàòèÿ ñïåöèàëüíûõ îáúåìîâ ãàçà
À.Â. Ðîùóïêèí
Óðàëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò ïóòåé ñîîáùåíèÿ
e-mail: [email protected]
 ðàáîòå ðàññìîòðåíî ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ áåçóäàðíîãî ñæàòèÿ
èäåàëüíîãî ïîëèòðîïíîãî ãàçà â ñëó÷àå êîãäà è ñæèìàåìûé è ñæàòûé îáúåì ãàçà
íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèå ïîêîÿ. Ðàñ÷åòû âåäóòñÿ êàê â îáðàòíîì òàê è â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè èçìåíåíèÿ âðåìåíè.  ïðîâåäåííûõ ðàñ÷åòàõ ïîëó÷åíà ñòåïåíü ñæàòèÿ
ãàçà â 103 104 ðàç.
Ââåäåíèå.
Çàäà÷à î áåçóäàðíîì ñèëüíîì ñæàòèè èäåàëüíîãî ãàçà äî ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé
êîíå÷íîé ïëîòíîñòè èíòåðåñíà â ñâÿçè ñ ïðîáëåìîé óïðàâëÿåìîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà. Ïîä òåðìèíîì ¾áåçóäàðíîå¿ çäåñü ïîíèìàåòñÿ, ÷òî âñå ðàññìàòðèâàåìûå òå÷åíèÿ
ãàçà äîëæíû îòäåëÿòüñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ñëàáûìè ðàçðûâàìè, íî íå óäàðíûìè
âîëíàìè.
Ñðåäè ðåøåíèé ýòîé çàäà÷è ìîæíî âûäåëèòü êëàññ ðåøåíèé, ïðåäëîæåííûõ À.Í. Êðàéêî â ðàáîòàõ [1-5].
 ïðîñòðàíñòâå ôèçè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ r, t áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîìåðíûå èçýíòðîïè÷åñêèå òå÷åíèÿ, âîçíèêàþùèå â ïîëèòðîïíîì ãàçå ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ p =
ργ /γ . Ðàññìàòðèâàåìûå òå÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè

νu (γ − 1) 
 ct + ucr +
c ur +
= 0,
2
r
(1)
2

 ut +
ccr + uur = 0.
(γ − 1)
qP
ν+1 2
(γ−1)/2
Çäåñü t âðåìÿ, r =
i=1 xi ≥ 0 ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ, c = ρ
ñêîðîñòü çâóêà, γ ïîêàçàòåëü àäèàáàòû, p äàâëåíèå, ν ïàðàìåòð ãåîìåòðèè: ν = 0
â ñëó÷àå ïëîñêèõ, ν = 1 öèëèíäðè÷åñêèõ, ν = 2 ñôåðè÷åñêèõ òå÷åíèé.
Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = t0 ãàç ÿâëÿåòñÿ ïîêîÿùåéñÿ (u = 0) îäíîðîäíîé ñðåäîé ñ ïëîòíîñòüþ ρ, ðàâíîé 1. Ýòî ñîñòîÿíèå ãàçà íàçîâåì ñîñòîÿíèåì 1.
Ñîñòîÿíèå ãàçà â ìîìåíò âðåìåíè t = t∗ > t0 òàêîå: ãàç îäíîðîäåí, åãî ïëîòíîñòü ρ ðàâíà
íåêîòîðîìó ρ∗ > 1; ïðè ýòîì ãàç ïîêîèòñÿ. Ýòî ñîñòîÿíèå ãàçà íàçîâåì ñîñòîÿíèåì 2.
Òîãäà çàäà÷à î áåçóäàðíîì ïåðåõîäå ¾èç ïîêîÿ â ïîêîé¿ ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì: òðåáóåòñÿ íàéòè òå÷åíèÿ ãàçà, âîçíèêàþùèå ïðè áåçóäàðíîì ïåðåõîäå îäíîìåðíîãî ãàçîâîãî ñëîÿ èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2. Äðóãèìè ñëîâàìè, òðåáóåòñÿ
áåçóäàðíûì ñïîñîáîì ñæàòü ïîêîÿùèéñÿ îäíîðîäíûé ãàçîâûé ñëîé ñ ïëîòíîñòüþ ρ = 1
â ïîêîÿùèéñÿ îäíîðîäíûé ãàçîâûé ñëîé ñ ïëîòíîñòüþ ρ = ρ∗ > 1.  òàêîì âèäå çàäà÷à,
ðàíåå ïðåäëîæåííàÿ À.Í. Êðàéêî ñôîðìóëèðîâàíà â ðàáîòå C.Ï. Áàóòèíà [6].
 ðàáîòàõ [6-8] äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è î ïåðåõîäå ¾èç ïîêîÿ â
ïîêîé¿ â ñëó÷àå, êîãäà ãàç ñæèìàåòñÿ äâóìÿ ïîðøíÿìè, îäèí èç êîòîðûõ ïîêîèòñÿ â
1
2
À.Â. Ðîùóïêèí
òî÷êå ñ r = r0 > 0, à âòîðîé ñæèìàåò ãàç ñíàðóæè, òî åñòü êîîðäèíàòà âòîðîãî ïîðøíÿ
âñå âðåìÿ áîëüøå r0 . Òàì æå ñêàçàíî, ÷òî ïîñêîëüêó r = r0 (êîîðäèíàòà íåïîäâèæíîãî
ïîðøíÿ) ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà, òî ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î ïåðåõîäå ¾èç
ïîêîÿ â ïîêîé¿ èìååò ìåñòî è ïðè ñæàòèè ãàçîâîãî ñëîÿ èçíóòðè.
Îäíàêî äîêàçàííûå òåîðåìû èìåþò ëîêàëüíûé õàðàêòåð è íå óêàçûâàþò êîíêðåòíûõ ðàçìåðîâ îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ, ÷òî íå ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü êîëè÷åñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàññû ãàçà, äëÿ êîòîðûõ âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è
î ïåðåõîäå ¾èç ïîêîÿ â ïîêîé¿. Òàêèå ðàñ÷åòû äëÿ ñëó÷àÿ ñæàòèÿ îáúåìîâ ãàçà ñíàðóæè
â ñòîðîíó, îáðàòíóþ óâåëè÷åíèþ âðåìåíè, ïðîâåäåíû â ðàáîòàõ [9,10].
Äëÿ ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà ïðîöåññîâ ñæàòèÿ ìèøåíåé, ïðåäëîæåííûõ Ñ.Ï. Áàóòèíûì
â [11,12], òàêæå òðåáóåòñÿ: à) ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ ñæàòèÿ ãàçà èçíóòðè,
á) çíàÿ çàêîí äâèæåíèÿ ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ èç ðåøåíèÿ ¾îáðàòíîé¿ çàäà÷è âîññòàíàâëèâàòü òå÷åíèÿ, âîçíèêàþùèå ïðè åãî äâèæåíèè â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè èçìåíåíèÿ
âðåìåíè.
Ÿ 1. Ñæàòèå ãàçà èçíóòðè
Àëãîðèòì ðàñ÷åòà ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì ìåòîäîì, â îñíîâó êîòîðîãî ïîëîæåí øèðîêî èçâåñòíûé ìåòîä õàðàêòåðèñòèê ñ ïåðåñ÷åòîì (ñì. íàïðèìåð [13,14]). Ðåøåíèå ñòðîèòñÿ â âèäå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñåòêè, ïîñòðîåíèå ïðîèñõîäèò â ñòîðîíó
óìåíüøåíèÿ âðåìåíè.
 ðàññ÷èòûâàåìîì òå÷åíèè âîçíèêíåò îñîáåííîñòü íà ïîðøíå â ìîìåíò èòîãîâîãî
ñæàòèÿ (òî÷êà A, ðèñ. 1).  ýòîé òî÷êå èìååò ìåñòî ñêà÷îê ïëîòíîñòè îò ρ∗ äî íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå îïðåäåëèòüñÿ â êîíêðåòíûõ ðàñ÷åòàõ. Òå÷åíèå â íåêîòîðîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè ñ îñîáåííîñòüþ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì öåíòðèðîâàííîé âîëíû Ðèìàíà, à â ñàìîé òî÷êå èìååò ìåñòî ñâÿçü (ñì.[11]):
u=2
c−1
.
γ−1
(2)
Ñåòêà ñòðîèòñÿ ñëîÿìè, õàðàêòåðèñòèêè Cj− îïðåäåëÿþò j-ûé ñëîé. Óçëàìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñåòêè ÿâëÿþòñÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèê ñåìåéñòâà C + è C − .
Êîîðäèíàòû ýòèõ òî÷åê è çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ãàçà â íèõ íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì ìåòîäà õàðàêòåðèñòèê.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñåòêà ñòðîèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ôèçè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ (r, t),
â äâà ýòàïà. Ïåðâûé ýòàï: ðàñ÷åò ñåòêè îò òî÷êè ñ îñîáåííîñòüþ âäîëü ñòåíêè O1 O2 è
íèæå, â íàïðàâëåíèè óìåíüøåíèÿ âðåìåíè, äî òåõ ïîð ïîêà íå áóäåò äîñòèãíóòî çíà÷åíèå ïëîòíîñòè íåñæàòîãî ãàçà ρ = ρo . Âòîðîé ýòàï: ðàñ÷åò ñåòêè â îáëàñòè òå÷åíèÿ,
ïðèìûêàþùåãî ê ïîêîÿùåìóñÿ íåñæàòîìó ãàçó. Ïàðàëëåëüíî ñ ýòèì äåëàåòñÿ ðàñ÷åò
òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ.
Ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ïîðøíÿ äîëæíà äîñòè÷ü õàðàêòåðèñòèêè ôîíîâîãî òå÷åíèÿ Cí+ -õàðàêòåðèñòèêè. Òîãäà íà ýòîì çàêîí÷èòñÿ ïîñòðîåíèå
òðàåêòîðèè ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ è ðåøåíèÿ âñåé çàäà÷è î ïåðåõîäå ¾èç ïîêîÿ â ïîêîé¿ ¾â öåëîì¿, ïîñêîëüêó îïðåäåëèòñÿ òî÷êà (t = ts , r = rs ). Ýòà òî÷êà ëåæèò íà
Cí+ -õàðàêòåðèñòèêå è èç íåå â ìîìåíò âðåìåíè t = ts ñòàðòóåò íåïðîíèöàåìûé ïîðøåíü,
áåçóäàðíî ñæèìàþùèé ãàç â çàäà÷å î ïåðåõîäå ¾èç ïîêîÿ â ïîêîé¿.
Ïîëó÷åííàÿ òðàåêòîðèÿ ïîðøíÿ äàëåå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ðàñ÷åòîâ â ïðÿìîì
íàïðàâëåíèè èçìåíåíèè âðåìåíè.
×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå áåçóäàðíîãî ñèëüíîãî ñæàòèÿ ñïåöèàëüíûõ îáúåìîâ ãàçà
3
Ÿ 2. Ïðÿìîé ðàñ÷åò ñæàòèÿ
Ïîëó÷åííûå â ðàñ÷åòàõ Þ.Â. Íèêîëàåâà [9,10] è Ÿ 1 òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòîâ ñæàòèÿ ìèøåíåé, ïðåäëîæåííûõ Ñ.Ï. Áàóòèíûì â [11,12].
Äëÿ ðàçðàáîòêè ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷à íà äàííîì ýòàïå ñäåëàíî ñëåäóþùåå: èìåÿ íà âõîäå òîëüêî òðàåêòîðèþ ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ â âèäå êîîðäèíàò îòäåëüíûõ òî÷åê, ðåàëèçîâàí ðàñ÷åò òå÷åíèé â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè èçìåíåíèÿ âðåìåíè, äî
ìîìåíòà ñèëüíîãî ñæàòèÿ.
Àëãîðèòì ðàñ÷åòà, êàê è ⠟ 1, ìåòîä õàðàêòåðèñòèê ñ ïåðåñ÷åòîì. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñåòêà ñòðîèòñÿ â äâà ýòàïà. Ïåðâûé ýòàï: ðàñ÷åò ñåòêè â îáëàñòè òå÷åíèÿ,
ïðèìûêàþùåãî ê ïîêîÿùåìóñÿ íåñæàòîìó ãàçó (äî òî÷êè E , ðèñ. 1). Âòîðîé ýòàï: ðàñ÷åò
ñåòêè îò òî÷êè E è âûøå âäîëü ñòåíêè O1 O2 äî òî÷êè ñ îñîáåííîñòüþ, â íàïðàâëåíèè
óâåëè÷åíèÿ âðåìåíè, äî òåõ ïîð ïîêà ÷èñëåííî ïîñòðîåííûå õàðàêòåðèñòèêè C − ïåðåñåêàþòñÿ ñ òðàåêòîðèåé ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ.
Íà îáîèõ ýòàïàõ õàðàêòåðèñòèêè C − ñòðîÿòñÿ â íàïðàâëåíèè òðàåêòîðèè ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ.
Ÿ 3. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ
 òàáëèöå 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ èç Ÿ 1 â ñëó÷àå γ = 5/3, ν = 1.
Òàáëèöà 1.
m
ρ∗
∆t1
∆t2
n
δm
1
1
1000
0.00001
0.00001
1000
0.64
2
10
1000
0.00001
0.00001
1000
0.43
3
50
1000
0.00001
0.00001
50000
0.21
4
1
10000
0.000001
0.000001
100000
0.20
5
10
10000
0.000001
0.000001
100000
0.07
6
50
10000
0.000001
0.000001
500000
0.11

Çäåñü m ìàññà ñæèìàåìîãî ãàçà, ρ∗ êîíå÷íàÿ ïëîòíîñòü ñæàòèÿ, ∆t1 , ∆t2 , n ïàðàìåòðû, îòâå÷àþùèå çà òî÷íîñòü ðàñ÷åòà, δm îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ìàññ
ñæàòîãî è íåñæàòîãî ãàçà.
 òàáëèöå 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ èç Ÿ 2 äëÿ òðàåêòîðèé ïîðøíÿ èç òàáëèöû 1.
Òàáëèöà 2.

m ∆t1
∆t2
ρ∗∗
1
1
0.01
0.001
1120.13
2
10
0.01
0.001
1015.38
3
50
0.01
0.001
1074.49
4
1
0.01
0.001
10035.67
5
10
0.01
0.001
10128.24
6
50
0.01
0.001
10021.40
4
À.Â. Ðîùóïêèí
Çäåñü ∆t1 , ∆t2 , ïàðàìåòðû, îòâå÷àþùèå çà òî÷íîñòü ðàñ÷åòà, ρ∗∗ ìàêñèìàëüíàÿ
ïëîòíîñòü, ïîëó÷åííàÿ íà ñòåíêå O1 O2 .
Òàêèì îáðàçîì ÷èñëåííî ïîñòðîåíû òå÷åíèÿ, âîçíèêàþùèå â ãàçå ïðè ïåðåõîäå èç
ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2 ïðè ñæàòèè ãàçà èçíóòðè â íàïðàâëåíèè îáðàòíîì èçìåíåíèþ âðåìåíè.  êà÷åñòâå îäíîãî èç èñêîìûõ ýëåìåíòîâ èññëåäóåìîé çàäà÷è ðàññ÷èòàíà
òðàåêòîðèÿ ñæèìàþùåãî ïîðøíÿ. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïîëó÷åííûõ òðàåêòîðèé ïîðøíÿ
÷èñëåííî ïîñòðîåíû òå÷åíèÿ ãàçà â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè èçìåíåíèÿ âðåìåíè.
Ðèñ. 1. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñåòêà.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1]
Êðàéêî À.Í.
Î ñâîáîäíîì íåñòàöèîíàðíîì ðàñøèðåíèè èäåàëüíîãî ãàçà // Èçâ. ÐÀÍ.
Ìåõàíèêà æèäêîñòè è ãàçà. 1993. ò 4. C. 155-163.
[2]
Êðàéêî À.Í.
[3]
Êðàéêî À.Í.
Âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à îá îäíîìåðíîì èçýíòðîïè÷åñêîì ñæàòèè èäåàëüíîãî
ãàçà// Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1993. ò 57, âûï. 5. C. 35-51.
Àñèìïòîòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè íåñòàöèîíàðíîãî ðàñøèðåíèÿ èäåàëüíîãî
ãàçà â ïóñòîòó // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1994. ò 58, âûï. 4. C. 70-80.
×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå áåçóäàðíîãî ñèëüíîãî ñæàòèÿ ñïåöèàëüíûõ îáúåìîâ ãàçà
[4]
Êðàéêî À.Í.
[5]
Êðàéêî À.Í., Òèëëÿåâà Í.È.
[6]
Áàóòèí Ñ.Ï.
[7]
Áàóòèí Ñ.Ï.
[8]
Áàóòèí Ñ.Ï.
[9]
Íèêîëàåâ Þ.Â.
5
Î íåîãðàíè÷åííîé êóìóëÿöèè ïðè îäíîìåðíîì íåñòàöèîíàðíîì ñæàòèè èäåàëüíîãî ãàçà// Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1996. ò 60, âûï. 6. C. 1000-1007.
Àâòîìîäåëüíîå ñæàòèå èäåàëüíîãî ãàçà ïëîñêèì, öèëèíäðè÷åñêèì èëè ñôåðè÷åñêèì ïîðøíåì// Òåïëîôèçèêà âûñîêèõ òåìïåðàòóð. 1998. ò 36, 
1. C. 120-128.
Î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèé çàäà÷è À.Í. Êðàéêî // Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà è
òåõíè÷åñêàÿ ôèçèêà. 2000. ò 41,  3. Ñ. 48-55.
Î âîçìîæíîñòè èçýíòðîïè÷åñêîãî ïåðåõîäà îò îäíîðîäíîãî ïîêîÿ â äðóãîå
îäíîðîäíîå ïîêîÿùååñÿ ñîñòîÿíèå èäåàëüíîãî ãàçà // Äîêëàäû Àêàäåìèè íàóê, 1998, ò.
362,  5, ñ. 621-624.
Ìàòåìàòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå áåçóäàðíîãî ñæàòèÿ ãàçà // Óñïåõè ìåõàíèêè,
2002, ò. 1,  2, ñ. 3-36.
×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è À.Í. Êðàéêî // Âû÷èñëèòåëüíûå òåõíîëîãèè,
2005, ò. 10,  1, ñ. 90-102.
[10]
Íèêîëàåâ Þ.Â. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå áåçóäàðíîãî ñèëüíîãî ñæàòèÿ îäíîìåðíûõ
ñëîåâ ïîëèòðîïíîãî ãàçà: Äèñ. êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. Åêàòåðèíáóðã, 2005. 130 ñ.
[11]
Áàóòèí Ñ.Ï. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ áåçóäàðíîãî ñèëüíîãî ñæàòèÿ èäåàëüíîãî ãàçà. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 2007.
[12]
Áàóòèí Ñ.Ï. Îá îäíîé êîíñòðóêöèè ìèøåíåé äëÿ óïðàâëÿåìîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà // Òåçèñû ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ¾X Çàáàáàõèíñêèå íàó÷íûå ÷òåíèÿ¿. Ñíåæèíñê,
ÐÔßÖ ÂÍÈÈÒÔ, 2010. Ñ. 30.
[13]
Æóêîâ À.È. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà õàðàêòåðèñòèê ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ îäíîìåðíûõ
çàäà÷ ãàçîâîé äèíàìèêè // Òðóäû ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà, 1960, ò.58.
[14]
Ðîæäåñòâåíñêèé Á.Ë., ßíåíêî Í.Í. Ñèñòåìû êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé è èõ ïðèëîæåíèÿ ê ãàçîâîé äèíàìèêå. Ìîñêâà: Íàóêà, 1968.