ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ

ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ
À. Ï. ÈÂÀÍÎÂ,
Ë. Ò. ÏÎÇÍßÊ
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ×ÈÑËÅÍÍÛÌ ÌÅÒÎÄÀÌ
ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÉ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
2013
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
ÃËÀÂÀ 1.
ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÎÐÈÈ ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÅÉ.
Íà ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòà ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è âëèÿþò ñëåäóþùèå ïðè÷èíû:
a) íåòî÷íîñòü èíôîðìàöèè î ðåøàåìîé çàäà÷å. Îøèáêè â íà÷àëüíûõ äàííûõ äàþò òó ÷àñòü ïîãðåøíîñòè â ðåøåíèè, êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò ìàòåìàòè÷åñêîé ñòîðîíû ðåøåíèÿ çàäà÷è
è íàçûâàåòñÿ íåóñòðàíèìîé ïîãðåøíîñòüþ.
á) Ïîãðåøíîñòü
àïïðîêñèìàöèè
(ìåòîäè÷åñêàÿ
ïîãðåø-
íîñòü). Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè íåîáõîäèìî ñ÷èòàòüñÿ ñ òåì, ÷òî íåèçáåæíî ïðèä¼òñÿ èìåòü äåëî òîëüêî ñ êîíå÷íûì êîëè÷åñòâîì ÷èñåë, è ñ íèìè ìîæíî âûïîëíèòü
òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî îïåðàöèé. Ïîýòîìó âìåñòî òî÷íîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðèõîäèòñÿ ïðèáåãàòü ê ïðèáëèæåííîìó ìåòîäó.
â) Ïîãpåøíîñòü îêðóãëåíèÿ. Âñÿêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî
a
ìî-
æåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå êîíå÷íîé èëè áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äpîáè
a = αm 10m + αm−1 10m−1 + . . . + αm−n+1 10m−n+1 + . . . ,
ãäå
m
αi
öèôpû ÷èñëà
a,
(1)
αm 6= 0 , à
pàçpÿä ÷èñëà a ).
ïpè÷¼ì ñòàpøàÿ öèôpà
íåêîòîpîå ÷èñëî (ñòàpøèé äåñÿòè÷íûé
Íàïpèìåð,
3141, 59 . . . = 3·103 +1·102 +4·101 +1·100 +5·10−1 +9·10−2 +. . . .
Íà ïpàêòèêå èìåþò äåëî ñ ïðèáëèæ¼ííûìè ÷èñëàìè, ïpåäñòàâëÿþùèìè ñîáîé êîíå÷íûå äåñÿòè÷íûå äpîáè
b∗ = βm 10m + βm−1 10m−1 + . . . + βm−n+1 10m−n+1 ,
Îïðåäåëåíèå 1.
Öèôðà
βk
âåðíîé, åñëè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
âñåãî,
ω = 0.5
. (Çäåñü
b
b∗
â èçîáðàæåíèè ÷èñëà
∗
k
|b − b | ≤ ω10
,
βm 6= 0 .
íàçûâàåòñÿ
ω ≤ 1,
÷àùå
òî÷íîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû, ïðåäñòàâëåí-
íîé ïðèáëèæ¼ííîé çàïèñüþ ÷åðåç
2
b∗ .)
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè öèôðà
÷èñëà
b,
βk
âåðíàÿ, òî è âñå öèôðû â çàïèñè
ðàñïîëîæåííûå ëåâåå íå¼, òîæå âåðíû.
Îïðåäåëåíèå 2.
Çíà÷àùåé öèôpîé ÷èñëà íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ åãî
öèôpà â äåñÿòè÷íîì èçîápàæåíèè, êðîìå íóëåé, ñòîÿùèõ ñëåâà â
çàïèñè ÷èñëà äî ïåðâîé íåíóëåâîé öèôðû.
×èñëî, ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì êîíêðåòíîé çàäà÷è, ïðèíÿòî çàïèñûâàòü òîëüêî ñ âåðíûìè çíà÷àùèìè öèôðàìè.
Íàïpèìåp, â ÷èñëå
0.002080
ïåpâûå òpè íóëÿ íå ÿâëÿþòñÿ çíà-
÷àùèìè öèôpàìè, òàê êàê îíè ñëóæàò òîëüêî äëÿ óñòàíîâëåíèÿ
äåñÿòè÷íûõ pàçpÿäîâ äpóãèõ öèôp. Îñòàëüíûå äâà íóëÿ ÿâëÿþòñÿ
çíà÷àùèìè.  ñëó÷àå, åñëè â äàííîì ÷èñëå
0.002080
ïîñëåäíÿÿ öè-
ôpà íå ÿâëÿåòñÿ âåðíîé, òî å¼ íå ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü â çàïèñè
÷èñëà.
Îïðåäåëåíèå 3.
×èñëî
|a − a∗ |
íîñòüþ ïðèáëèæ¼ííîãî çíà÷åíèÿ
íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé ïîãðåø-
a∗ .
∆(a∗ ) (äðóãîå îáîçíà÷åíèå ∆a∗ ), óäî∗
∗
âëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó |a − a | ≤ ∆(a ) , íàçûâàåòñÿ âåðõíåé
∗
ãðàíèöåé (îöåíêîé)ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæ¼ííîãî çíà÷åíèÿ a .
Îïðåäåëåíèå 4.
Îïðåäåëåíèå 5.
×èñëî
×èñëî
|a − a∗ |
a∗
íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíîé ïî-
ãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ
a∗ .
∗
∗
Îïðåäåëåíèå 6. ×èñëî δ(a ) = δa∗ ïðè a 6= 0 óäîâëåòâîðÿþùåå
∗
|a−a |
íåðàâåíñòâó
≤ δ(a∗ ) , íàçûâàåòñÿ âåðõíåé ãðàíèöåé (îöåíêîé)
a∗
∗
îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæ¼ííîãî çíà÷åíèÿ
a
.
×àñòî â îïðåäåëåíèÿõ 4 è 6 ñëîâî âåðõíÿÿ îïóñêàþò äëÿ
êðàòêîñòè. Åñëè èçâåñòíà ãðàíèöà àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè
∆(a∗ ) ,
∆(a∗ )
. Åñëè æå èçâåñò|a∗ |
∗
∗
íà âåðõíÿÿ ãðàíèöà îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè δ(a ) , òî çà ∆(a )
∗
∗
∗
∗
ìîæíî âçÿòü δ(a )·|a | . Ýòó ñâÿçü ìåæäó ∆(a ) è δ(a ) âûðàæàþò
∗
∗
∗
ôîðìóëîé ∆(a ) = δ(a ) · |a | .
òî â êà÷åñòâå
Çàìå÷àíèå 1.
δ(a∗ ) , î÷åâèäíî, ìîæíî âçÿòü
Äëÿ
a∗ = 0
îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü íå îïðåäå-
ëåíà.
3
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
Ÿ1.
Ïðÿìàÿ çàäà÷à òåîðèè ïîãðåøíîñòåé
 äàëüíåéøåì èçëîæåíèè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîãðåøíîñòü
îêðóãëåíèé ïðåíåáðåæèìî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòîäè÷åñêîé ïîãðåøíîñòüþ.
G ∈ Rn ðàññìàòðèâàåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ y = f (·). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
â òî÷êå x = (x1 , x2 , . . . , xn ) îáëàñòè G íóæíî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå y = f (x). Ïóñòü íàì èçâåñòíû ëèøü ïpèáëèæ¼ííûå çíà÷åíèÿ
x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n òàêèå, ÷òî òî÷êà x∗ = (x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ) ∈ G. ÍåîáõîäèÏóñòü â âûïóêëîé îáëàñòè
ìî íàéòè îöåíêó ïîãpåøíîñòè ïpèáëèæ¼ííîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
y ∗ = f (x∗ ).
×åðåç ïîãpåøíîñòè
εi = xi − x∗i
àðãóìåíòîâ îíà âûðà-
æàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ε = f (x∗1 + ε1 , x∗2 + ε2 , . . . , x∗n + εn ) − f (x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ),
èëè, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Ëàãðàíæà,
n
X
∂
ε=
f (x∗1 + θε1 , x∗2 + θε2 , . . . , x∗n + θεn )εi ,
∂xi
i=1
0<θ<1.
Îòñþäà ïîëó÷àåòñÿ îöåíêà äëÿ ãpàíèöû ïîãpåøíîñòè âû÷èñëåíèÿ
ôóíêöèè
n
X
|ε| 6 ∆ =
Bi ∆ i ,
(1.1)
i=1
ãäå
∂
∗
∗
∗
|εi | 6 ∆i , Bi = maxθ∈(0,1) ∂xi f (x1 + θε1 , x2 + θε2 , . . . , xn + θεn ) .
Òàêèì îáðàçîì ðåøàåòñÿ ïðÿìàÿ çàäà÷à òåîðèè ïîãpåøíîñòè: èçâåñòíû
ïîãpåøíîñòè
íåêîòîpîé
ñèñòåìû
âåëè÷èí,
òðåáóåòñÿ
îïðåäåëèòü ïîãpåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ äàííîé ôóíêöèè îò ýòèõ
âåëè÷èí.
Çäåñü ó÷òåíà ëèøü íåóñòðàíèìàÿ ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ
ôóíêöèè, ïîðîæä¼ííàÿ ïîãðåøíîñòÿìè å¼ àðãóìåíòîâ. Åñëè æå
ñ÷èòàòü, ÷òî ñàìà ôóíêöèÿ
(íàïðèìåð,
sin x )
f (x)
íå ìîæåò áûòü òî÷íî âû÷èñëåíà
è çàìåíÿåòñÿ âû÷èñëåíèåì ôóíêöèè
f ∗ (x)
(íà-
ïðèìåð, îòðåçêà ðÿäà Òåéëîðà), òî âîçíèêàåò è ìåòîäè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè. Äëÿ ñîâîêóïíîé ïîãðåøíîñòè (áåç
4
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
ó÷¼òà ïîãðåøíîñòè îêðóãëåíèÿ) èìååì:
|f (x) − f ∗ (x∗ )| ≤ |f (x) − f (x∗ )| + |f (x∗ ) − f ∗ (x∗ )| ≤ |ε| + ∆f ∗ .
ε
Òàêèì îáðàçîì äëÿ ïîãðåøíîñòè
âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè
f (x)
(1.2)
ñëå-
äóåò íàïèñàòü îöåíêó:
|ε| 6 ∆ = ∆f ∗ +
n
X
B i ∆i .
(1.3)
i=1
Çàäà÷ó (1.3) íàçîâ¼ì ïîëíîé îáðàòíîé çàäà÷åé òåîðèè ïîãðåøíîñòåé.
Ÿ2.
Ïîëíàÿ îáðàòíàÿ çàäà÷à òåîðèè ïîãðåøíîñòåé
Ðàññìîòðèì âîïðîñ: êàêîâû äîëæíû áûòü àáñîëþòíûå ïî-
ãpåøíîñòè àðãóìåíòîâ ôóíêöèè è ìåòîäè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü ôóíêöèè, ÷òîáû àáñîëþòíàÿ ïîãpåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè íå ïðåâûøàëà çàäàííîé âåëè÷èíû?
Ýòà çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêè íåîïðåäåëåíà, òàê êàê çàäàííóþ
ïðåäåëüíóþ ïîãpåøíîñòü (âåpõíþþ ãpàíèöó çàäàííîé àáñîëþòíîé
ïîãpåøíîñòè
∆)
ìîæíî îáåñïå÷èòü, óñòàíàâëèâàÿ ïî-pàçíîìó ïpå-
äåëüíûå àáñîëþòíûå ïîãpåøíîñòè
ôóíêöèè
∆f ∗ ,
∆i
å¼ àpãóìåíòîâ è âû÷èñëåíèÿ
ëèøü áû îíè óäîâëåòâîðÿëè óñëîâèþ:
∆ = ∆f ∗ +
n
X
B i ∆i ,
∆i , ∆f ∗ > 0 .
i=1
Äëÿ åäèíîîáðàçèÿ îáîçíà÷åíèé ïðèìåì â äàëüíåéøåì ñîãëàøåíèå
∆f ∗ = ∆ 0 , B 0 = 1
è òîãäà ôîðìóëà (1.3) çàïèøåòñÿ ôîðìàëüíî â
âèäå (1.1):
|ε| 6 ∆ =
n
X
B i ∆i .
(2.1)
i=0
Ïpîñòåéøåå påøåíèå
îápàòíîé çàäà÷è äà¼òñÿ
òàê íàçûâàåìûì
ïpèíöèïîì pàâíûõ âëèÿíèé. Ïpåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ñëàãàåìûå
Bi ∆i , i = 0, n
â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (2.1) èìåþò îäèíàêîâóþ
âåëè÷èíó. Òîãäà
∆i =
∆
,
(n + 1)Bi
5
i = 0, n.
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
Äðóãîé ñòîëü æå ïðîñòîé ñïîñîá íîñèò íàçâàíèå ïðèíöèïà ðàâíûõ
ïîãðåøíîñòåé: ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî
∆i = ∆j ,
è òîãäà èç òîé æå ôîðìó-
ëû (2.1) íåìåäëåííî ïîëó÷àåì:
∆j =
1+
∆
Pn
i=1
,
Bi
j = 0, n.
Èñõîäÿ èç îñîáåííîñòåé çàäà÷è è âû÷èñëÿåìîé ôóíêöèè ìîæíî âûñòàâëÿòü è äðóãèå òðåáîâàíèÿ ê óðîâíþ ïîãðåøíîñòåé àðãóìåíòîâ: çàäàòü ïîãðåøíîñòè äëÿ ÷àñòè àðãóìåíòîâ, à ïîãðåøíîñòè
îñòàëüíûõ íàéòè èç óñëîâèÿ âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (2.1).
Ïðèìåð 2.1.
Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ìàññó ìåòàëëà ñ ïîãðåøíî-
∆(M ) = 1 ã, ïîòðåáíîãî äëÿ èçãîòîâëåíèÿ äèñêà òîëùèíîé
h ≈ 1 ñì è ðàäèóñîì r ≈ 10 ñì (ïëîòíîñòü ìåòàëëà % ). Äëÿ
3
îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî % = 10 ã/ñì , h = 1 ± 0.1 ñì,
π = 3.14 ± 0.002 , r = 10 ± 0.1 ñì.
ñòüþ
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ìàññà äèñêà (öèëèíäðà) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
M = %hπr2 ,
òî ïîñòàâëåííûé âîïðîñ ýêâèâàëåíòåí âîïðîñó:
ñ êàêîé ïîãðåøíîñòüþ äîëæíû áûòü èçìåðåíû ðàäèóñ è òîëùèíà
äèñêà, à òàêæå ñêîëüêî ñëåäóåò âçÿòü çíàêîâ â ÷èñëå
π,
÷òîáû âû-
ïîëíèòü óñëîâèÿ ïî òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ ìàññû äèñêà (ñ÷èòàÿ, ÷òî
ïëîòíîñòü
%
âåëè÷èíà òî÷íàÿ)?
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.1), èìååì:
∆M = (Bh ∆h + Bπ ∆π + Br ∆r ),
ãäå
Bh = max (%πr2 ) = 3205, 52 ;
π,r
Bπ = max (%hr2 ) = 1122, 11 ;
h,r
Br = max (2r%hπ) = 698, 15 .
h,π,r
Ïðèìåíÿÿ ïðèíöèï ðàâíûõ ïîãðåøíîñòåé, ïîëó÷àåì:
∆h = ∆π = ∆r ≈ 1/5000 = 2 · 10−4 ,
ò.å. ëèíåéíûå ðàçìåðû äèñêà äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû ñ òî÷íîñòüþ 0,2 ìèêðîíà, à çíà÷åíèå ÷èñëà
çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.
6
π
ñëåäóåò âçÿòü ñ òî÷íîñòüþ 3
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
ÃËÀÂÀ 2.
ÎÁÐÀÒÍÀß
ÇÀÄÀ×À
ÄËß
ÂÛ×ÈÑËÅ-
ÍÈß ÝËÅÌÅÍÒÀÐÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Ÿ1.
Îáùèå ïîëîæåíèÿ
Ïóñòü
z(x) = f (ϕ(x), g(x)) , x ∈ [a, b] ,
òàáëèöó çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè äëÿ óçëîâ
x
è òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü
x = xi , i = 1, k .
(xi < xi+1 ). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
f (·), ϕ(·), g(·) íå ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà
ñêàëÿðíûé àðãóìåíò
èç òð¼õ ôóíêöèé
Çäåñü
êàæäàÿ
òî÷íî è
âû÷èñëÿåòñÿ ïðèáëèæ¼ííî:
ϕ(x) ≈ ϕ∗ (x), g(x) ≈ g ∗ (x), f (u, v) ≈ f ∗ (u, v).
Òàêèì îáðàçîì, ðåàëüíî âìåñòî èñêîìûõ òî÷íûõ çíà÷åíèé ôóíê-
zi = f (ϕ(xi ), g(xi )) áóäóò ïîëó÷åíû (âû÷èñëåíû) ïðèáëèæ¼í∗
∗
∗
∗
íûå çíà÷åíèÿ zi = f (ϕ (xi ), g (xi )) . Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ñ êàêîé
∗
∗
∗
òî÷íîñòüþ äîëæíû áûòü âû÷èñëåíû ϕ (x), g (x) è f (x) , ÷òîáû
∗
îáåñïå÷èâàëàñü çàäàííàÿ òî÷íîñòü ïðèáëèæ¼ííûõ çíà÷åíèé zi , ò.å.
∗
÷òîáû |zi − zi | ≤ ε . Êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, çäåñü ìû èìååì äåëî
öèè
ñ ðàññìîòðåííîé ðàíåå îáðàòíîé çàäà÷åé òåîðèè ïîãðåøíîñòåé. Â
ñàìîì äåëå, íàì òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ
f (u, v)
ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ
u, v , êîòîðûå
èçâåñòíû íàì íå òî÷íî, íî ìîãóò áûòü íàéäåíû èõ ïðèáëèæ¼ííûå
u∗ , v ∗ ñ òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ.
∗
∗
Ïóñòü u∗ ≤ ϕ(x) ≤ u , g∗ ≤ g(x) ≤ g
∀x ∈ [x1 , xk ] . Â òàêîì
∗
∗
ñëó÷àå îáëàñòü G åñòü ïðÿìîóãîëüíèê [u∗ , u ] × [g∗ , g ] . Ñ÷èòàåì
∂f ∂f
äàëåå, ÷òî ïðîèçâîäíûå
,
ìàëî èçìåíÿþòñÿ â G è ÷òî
∂u ∂v
∂f
∂f
(u, v) ≤ c1 , (u, v) ≤ c2
∀(u, v) ∈ G .
∂u
∂v
çíà÷åíèÿ
Èç ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé î ðåøåíèè îáðàòíîé çàäà÷è âûòåêàåò,
÷òî òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü
ε
ïðèáëèæ¼ííûõ òàáëè÷íûõ çíà÷åíèé
zi∗
îáåñïå÷èâàåòñÿ òîãäà, êîãäà ïðèáëèæ¼ííûå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòîâ
u∗ = ϕ∗ (x)
è
v ∗ = g ∗ (x)
óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì
|ϕ(xi ) − ϕ∗ (xi )| ≤
ε
,
3c1
|g(xi ) − g ∗ (xi )| ≤
7
ε
,
3c2
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
à ïðèáëèæ¼ííî âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå
zi∗ = f ∗ (u∗ , v ∗ )
åò íåðàâåíñòâó
|f (u∗ , v ∗ ) − f ∗ (u∗ , v ∗ )| ≤
óäîâëåòâîðÿ-
ε
.
3
Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ìû óìååì îöåíèâàòü ìåòîäè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü
âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèé
ϕ(·), g(·)
f (·) ,
è
ò.å. ìîæåì äàòü îöåíêè:
|ϕ(x) − ϕ∗ (x)| ≤ ∆ϕ∗ ,
|g(x) − g ∗ (x)| ≤ ∆g∗ ,
|f (u∗ , v ∗ ) − f ∗ (u∗ , v ∗ )| ≤ ∆f ∗ .
Ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à áóäåò ðåøåíà, êîãäà áóäåò îáåñïå÷åíî âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ íåðàâåíñòâ:
∆ϕ∗ ≤
Ÿ2.
ε
,
3c1
∆g ∗ ≤
ε
,
3c2
∆f ∗ ≤
ε
.
3
Ïðèìåð ðåøåíèÿ îáùåé îáðàòíîé çàäà÷è
òåîðèè ïîãðåøíîñòåé
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòåé âû÷èñëåíèÿ
ôóíêöèé
ôóíêöèè
ϕ(x) è ψ(x) ïðè
F (x), x ∈ [a, b] :
çàäàííîé ïîãðåøíîñòè
∆
âû÷èñëåíèÿ
F (x) = u(ϕ(x)) · v(ψ(x)).
Ïîñêîëüêó ïðè âû÷èñëåíèè ïðîèçâåäåíèÿ
uv
îòñóòñòâóåò ìåòîäè-
÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü, òî ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèÿ
íûå çäåñü
ôóíêöèé
(2.1), ãäå
u
è
v
(îáîçíà÷åí-
∆u è ∆v ) è ïîðîæäàåìûå ìåòîäè÷åñêèìè ïîãðåøíîñòÿìè
ϕ(x) è ψ(x) , îïðåäåëÿþòñÿ ïî óêàçàííîé âûøå ôîðìóëå
ñëåäóåò ïîëîæèòü ∆0 = 0 :
∂F ∂F = v̄, Bv = sup = ū,
Bu = sup ∂u
∂v
u,v
u,v
v̄∆u + ū∆v = ∆.
Çäåñü
∆
ôóíêöèè
îöåíêà òðåáóåìîé ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèÿ çàäàííîé
F (x) .
Íàéäÿ
∆u
è
∆v ,
èñïîëüçóÿ ìåòîä ðàâíûõ ïîãðåø-
íîñòåé èëè ìåòîä ðàâíûõ âëèÿíèé, íàõîäèì è ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèé
ϕ(x)
è
ψ(x) : ∆u = ∆ϕ∗ , ∆v = ∆ψ∗
8
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
Ÿ3.
Ïðèìåð ïîñòðîåíèÿ òàáëèöû çíà÷åíèé ôóíêöèè
Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü
òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè
p
sin(0.9x + 0.51)
z(x) =
xex+0.3
x = 0.5(0.01)0.6 ,
−6
òî÷íîñòüþ ε = 10
.
äëÿ
ò.å. äëÿ
x ∈ [0.5; 0.6]
ñ øàãîì
0.01
Ïîëîæèì
ñ çàäàííîé
√
ϕ(x) = sin(0.9x + 0.51), g(x) = xex+0.3 , f (u, v) =
u
.
v
z(x) = f (ϕ(x), g(x)) . Íàéä¼ì ïðåäåëû èçìåíåíèÿ âåëè÷èí
u, v ïðè x ∈ [0.5; 0.6] . Ïîñêîëüêó ôóíêöèè ϕ(·) è g(·) ìîíîòîííû
íà [0.5; 0.6] , òî sin 0.96 < u < sin 1.05 ,
0.5e0.8 < v < 0.6e0.9 .
Èíòåðâàëû èçìåíåíèÿ u, v ìîæíî ðàñøèðèòü, ÷òîáû íå âû÷èñÒîãäà
ëÿòü âåðõíèå è íèæíèå ãðàíèöû èçìåíåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé ñ áîëü-
sin 0.96 ≈ 0.8 , exp(0.8) ≈ 2.2 (ñ íåäîñòàòsin 1.05 ≈ 0.9 , exp(0.9) ≈ 2.5 (ñ èçáûòêîì) (èñïîëüçîâàííûå
øîé òî÷íîñòüþ. Ïîëîæèì
êîì);
çíà÷åíèÿ ôóíêöèé âçÿòû èç òàáëèö).
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïîëîæèòü
G = {(u, v)| 0.8 ≤ u ≤ 0.9 ,
Îöåíèì â
G
÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
∂f (u, v)
1
∂f (u, v)
= √ ,
=
∂u
∂v
2v u
∂f (u, v) 1
≤
∂u 2 · 1.1√0.8 < 0.6 ,
Èòàê, â äàííîì ïðèìåðå
öèþ
g(x)
ϕ(x)
√
− u
:
v2
√
∂f (u, v) ≤ 0.9 < 0.9
∂v 1.21
c1 = 0.6 , c2 = 0.9
íóæíî âû÷èñëÿòü ñ òî÷íîñòüþ
ñ òî÷íîñòüþ
10−6
ε3 =
.
3
1.1 ≤ v ≤ 1.5} .
10−6
ε2 =
,
2.7
è, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíê-
ε1
à ôóíêöèþ
9
10−6
=
,
1.8
f (u, v)
ôóíêöèþ
ñ òî÷íîñòüþ
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
Ôóíêöèè
t
ϕ(x), g(x)
ïðåäëàãàåòñÿ âû÷èñëÿòü, ðàçëàãàÿ ôóíê-
y = π/2−(0.9x+0.51)
è
(ïðè ýòîì áóäåò y ∈ (0, π/4) ∈ [0, 1] è ðÿä äëÿ cos y
ñòàíåò ëåéáíèöåâûì). Ôóíêöèþ f (u, v) ïðåäëàãàåòñÿ âû÷èñëÿòü,
√
îïðåäåëÿÿ ïðèáëèæ¼ííîå çíà÷åíèå ôóíêöèè
u∗ ïî ôîðìóëå Ãåcos y è e
t = x + 0.3
öèè
â ðÿä Ìàêëîðåíà ïî àðãóìåíòàì
ðîíà (÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ôîðìóëû Íüþòîíà):
1
u∗
(wk +
),
2
wk
√
u∗ ñ èçáûòêîì.
wk+1 =
w0
ïðèáëèæ¼ííîå çíà÷åíèå
âçÿòü â äàííîì ñëó÷àå
w0 = 1 .
Äàëåå ïîëàãàåì
Ìîæíî, ê ïðèìåðó,
√
u∗
f (u , v ) = ∗ .
v
∗
∗
∗
Äëÿ âñåõ òð¼õ ôóíêöèé ìû óìååì îöåíèâàòü àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó ìåòîäè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè (ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî ýëåìåíòàðíûå
ôóíêöèè âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ìàêëîðåíà):
|ϕ(x) − ϕ∗ (x)| < |y 2n /(2n)!| = ∆ϕ∗ = ε1 ,
|g ∗ (x) − g(x)| < xtp /p ! = ∆g∗ = ε2 ,
|f (u∗ , v ∗ ) − f ∗ (u∗ , v ∗ )| < |wk − wk−1 |/v ∗ = ∆f ∗ = ε3 .
Ñëåäîâàòåëüíî, òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü òàáëè÷íûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè
z(x)
áóäåò îáåñïå÷åíà òîãäà, êîãäà íîìåðà
n, p, k
áóäóò óäîâëåòâî-
ðÿòü íåðàâåíñòâàì
10−6
|y /(2n!)| ≤
,
1.8
10−6
p
,
xt /p ! ≤
2.7
10−6
∗
|wk − wk−1 |/v ≤
.
3
2n
Çäåñü
∗
∗
v = g (x) = x
p
X
ti /i ! ,
i=0
10
t = x + 0.3 .
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
Ÿ4.
Ñîäåðæàíèå çàäàíèÿ
1. Ïðàêòè÷åñêîå îñâîåíèå ìåòîäîâ àíàëèçà ïîãðåøíîñòåé â çàäà÷å âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.
2. Ïî óêàçàííîé òî÷íîñòè ðåøèòü îáðàòíóþ çàäà÷ó òåîðèè ïîãðåøíîñòåé äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè.
3. Ïîñòðîèòü ñ òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ òàáëèöó çíà÷åíèé ýòîé
ôóíêöèè (êâàäðàòíûé êîðåíü âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëå Ãåðîíà,
à îñòàëüíûå ïðîñòåéøèå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè âû÷èñëÿòü ñ
èñïîëüçîâàíèåì ñòåïåííûõ ðÿäîâ, óêàçàííûõ íèæå.)
4. Ñîñòàâèòü òó æå òàáëèöó, èñïîëüçóÿ âñòðîåííûå ôóíêöèè è
ñðàâíèòü îáå òàáëèöû.
Ÿ5.
Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî âûïîëíåíèÿ
1.
z(x) = [1 + arctg(16.7x + 0.1)]1/2 / cos(7x + 0.3),
x = 0.01(0.005)0.05;
2.
4.
z(x) = [1 + arctg(6.4x + 1.1)]1/2 / sin(2x + 1.05),
x = 0.01(0.005)0.06;
√
z(x) = exp(1 + x) cos 1 + x, x = 0.01(0.005)0.06;
√
z(x) = 2x + 0.4 arctg[cos(3x + 1)], x = 0.01(0.005)0.06;
5.
z(x) = sh(2x + 0.45)1/2 / arctg(6x + 1)
6.
z(x) = sin(4.5x + 0.6)/(1 + x − 12x2 )1/2 ,
7.
z(x) = [cos(2.6x + 0.1)]1/2 / exp(1 + x),
8.
z(x) = [1 + arctg(0.8x + 0.2)]1/2 exp(2x + 1), x = 0.1(0.01)0.2;
p
z(x) = sin(x + 0.74) sh(0.8x2 + 0.1), x = 0.1(0.01)0.2;
√
z(x) = cos(2.8x + 1 + x) arctg(1.5x + 0.2), x = 0.1(0.01)0.2;
3.
9.
10.
11
x = 0.01(0.005)0.06;
x = 0.1(0.01)0.2;
x = 0.1(0.01)0.2;
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
√
√
z(x) = ch(1 + 1 + x) cos 1 + x − x2 , x = 0.1(0.01)0.2;
√
z(x) = 1 + x2 [sin(3x+0.1)+cos (2x + 0.3)], x = 0.2(0.01)0.3;
√
z(x) = arctg[ 0.9x + 1/(1 − x2 )] + sin(3x + 0.6),
x = 0.2(0.01)0.3;
√
z(x) = [arctg 1 + 0.6x]/ sin(1 + 0.4x), x = 0.2(0.01)0.3;
√
z(x) = sh [ 1 + x2 /(1 − x)]/ sin(x2 + 0.4), x = 0.2(0.01)0.3;
√
z(x) = ch[ x2 + 0.3/(1 + x)] sin[(1 + x)/(0.6x)],
x = 0.2(0.01)0.3;
√
z(x) = 1 + x exp(x + 0.5) sin(0.3x + 0.7). x = 0.5(0.01)0.6;
z(x) = [(1 + x) exp(x + 0.5) + sin(x + 0.4)]1/2 , x = 0.5(0.01)0.6;
√
√
z(x) = ch(2x2 + x)/ sin(0.3 + x), x = 0.5(0.01)0.6;
√
√
z(x) = cos(0.5 + x)/ arctg(1 + 2x x), x = 0.5(0.01)0.6 .
12
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
Ÿ6.
Ñòåïåííûå ðÿäû äëÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé è îöåíêè
èõ îñòàòêîâ
1.
exp x =
∞
X
xk
k=0
2.
3.
4.
5.
6.
sh x =
ch x =
∞
X
k=0
∞
X
k=0
∞
X
k!
,
|Rn (x)| ≤ |un (x)| ,
x2k+1
,
(2k + 1) !
x2k
,
(2k) !
|x| < n + 2 ;
|Rn (x)| ≤ |un (x)|/3 ,
|Rn (x)| ≤ 2|un (x)|/3 ,
|x| ≤ n ;
|x| ≤ n ;
x2k+1
π
(−1)
sin x =
, |Rn (x)| ≤ |un (x)| , |x| ≤ ;
(2k + 1) !
4
k=0
∞
X
x2k
π
cos x =
(−1)k
, |Rn (x)| ≤ |un (x)| , |x| ≤ ;
(2k) !
4
k=0

∞
2k+1
X


k x

(−1)
, |x| < 1 ;


2k
+
1

 k=0
∞
−(2k+1)
X
arctg x =
π
kx

sgn x −
(−1)
, |x| ≥ 1 ;


2
2k + 1



 |R (x)| ≤ k=0
|un (x)| .
n
k
13
Ïåðåéòè ê îãëàâëåíèþ íà ñòðàíèöå: 15
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
1. Í. Áàõâàëîâ, Í. Æèäêîâ, Ã. Êîáåëüêîâ. ×èñëåííûå ìåòîäû. Ì.: Èçä. Ôèçìàòëèò, 2006.
2. Â. Ì. Âåðæáèöêèé. ×èñëåííûå ìåòîäû. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è
íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Ì.: Èçä. Âûñøàÿ øêîëà, 2000.
14
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ
Ãëàâà 1. Îñíîâû òåîðèè ïîãðåøíîñòåé. . . . . . . . . . . . . . . . .
..................
ïîãðåøíîñòåé . . . . . . . . . .
2
Ÿ 1.
Ïðÿìàÿ çàäà÷à òåîðèè ïîãðåøíîñòåé .
4
Ÿ 2.
Ïîëíàÿ îáðàòíàÿ çàäà÷à òåîðèè
5
Ãëàâà 2. Îáðàòíàÿ çàäà÷à äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ÿ 1.
Îáùèå ïîëîæåíèÿ .
....................................
Ÿ 2.
Ïðèìåð ðåøåíèÿ îáùåé îáðàòíîé çàäà÷è
òåîðèè ïîãðåøíîñòåé .
Ÿ 5.
.................................
Ïðèìåð ïîñòðîåíèÿ òàáëèöû çíà÷åíèé ôóíêöèè . . . . . . . . .
Ñîäåðæàíèå çàäàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî âûïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . .
Ÿ 6.
Ñòåïåííûå ðÿäû äëÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé è îöåíêè èõ
Ÿ 3.
Ÿ 4.
îñòàòêîâ .
..............................................
Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
7
7
8
9
11
11
13
14