15. Работа газа при переходе из начального состояния в
advertisement
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ðàáîòà ãàçà ïðè ïåðåõîäå èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå Â.ÌÎÆÀÅ Á ÅÑÊÎÍÅ×ÍÎ ÌÀËÀß ÐÀÁÎÒÀ δA , ÑÎÂÅÐØÀÅÌÀß ÃÀ- çîì ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì êâàçèñòàòè÷åñêîì ðàñøèðåíèè, â êîòîðîì åãî îáúåì óâåëè÷èâàåòñÿ íà dV, ðàâíà δA = p dV , (1) ãäå ð âíóòðåííå äàâëåíèå ãàçà.  ñëó÷àå êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, êîãäà ëþáîå ñîñòîÿíèå ãàçà ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñíûì, âíóòðåííåå äàâëåíèå ð ðàâíî âíåøíåìó äàâëåíèþ. Òîëüêî òîãäà ñîñòîÿíèå ãàçà ìîæåò áûòü îïèñàíî äâóìÿ ïàðàìåòðàìè ð è V, è òîëüêî òîãäà èìååò ñìûñë ôîðìóëà (1). Êâàçèñòàòè÷åñêèå ïðîöåññû, â ñòðîãîì ñìûñëå ýòîãî ñëîâà, íèêîãäà íå ðåàëèçóþòñÿ â ïðèðîäå, íî ê íèì âîçìîæíî ïîäîéòè ñêîëü óãîäíî áëèçêî. Ìíîãèå ðåàëüíûå ïðîöåññû ìîæíî ñ÷èòàòü ïðèáëèçèòåëüíî êâàçèñòàòè÷åñêèìè ñ òîé èëè èíîé ñòåïåíüþ ïðèáëèæåíèÿ. ×òîáû îò ýëåìåíòàðíîé ðàáîòû δA ïåðåéòè ê ðàáîòå A äëÿ êîíå÷íîãî ïðîöåññà, íàïðèìåð ïðè ïåðåõîäå èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ãàçà ñ îáúåìîì V1 â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ñ îáúåìîì V2 , íàäî ïðîñóììèðîâàòü ýëåìåíòàðíûå ðàáîòû, èëè âû÷èñëèòü èíòåãðàë: A= V2 ò p dV . V1 (2) Òàêîå âû÷èñëåíèå âîçìîæíî òîëüêî òîãäà, êîãäà äàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé îáúåìà. Ìåæäó òåì, ñîãëàñíî óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà, äàâëåíèå ð çàâèñèò íå òîëüêî îò V, íî è îò òåìïåðàòóðû Ò. Ìåíÿÿ â õîäå ïðîöåññà ðàçëè÷íûì îáðàçîì òåìïåðàòóðó ãàçà, ìîæíî ïåðåâåñòè åãî èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå áåñ÷èñëåííûì êîëè÷åñòâîì ñïîñîáîâ. Êàæäîìó èç ýòèõ ñïîñîáîâ ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ôóíêöèÿ p = p V è ñâîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà â ôîðìóëå (2). Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòà ãàçà À íå îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì åãî íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèé. Åå âåëè÷èíà çàâèñèò îò ñïîñîáà (èëè ïóòè) ïåðåõîäà ãàçà èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå. Äëÿ ãðàôè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðàáîòû îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü pV. Ñîñòîÿíèå ãàçà íà òàêîé ïëîñêîñòè çàäàåòñÿ òî÷êîé, ïðè÷åì ïî ãîðèçîíòàëüíîé îñè îòêëàäûâàåòñÿ îáúåì V, à ïî âåðòèêàëüíîé äàâëåíèå ð. Êîãäà ãàç ñîâåðøàåò êâàçèñòàòè÷åñêèé ïðîöåññ, òî÷êà, èçîáðàæàþùàÿ åãî ñîñòîÿíèå, îïèñûâàåò íà ïëîñêîñòè pV íåïðåðûâíóþ ëèíèþ. Ïóñòü ãàç êâàçèñòàòè÷åñêè ïåðåõîäèò èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2 âäîëü êðèâîé 1Ì2 (ðèñ.1). Ýòà êðèâàÿ ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîé çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò îáúåìà è îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàáîòó ãàçà îíà ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè 1M2V2V1 . Åñëè ãàç çàñòàâèòü ïåðåõîäèòü èç òîãî æå íà÷àëüíîãî â òî æå êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå âäîëü äðóãîé êðèâîé, íà- Ðèñ. 1 ïðèìåð 1N2, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàáîòà èçîáðàçèòñÿ äðóãîé ïëîùàäüþ, à èìåííî 1N2V2V1 . Åñëè ãàç îáðàòèìûì ïóòåì ïåðåõîäèò èç ñîñòîÿíèÿ 2 â ñîñòîÿíèå 1 âäîëü êðèâîé 2Ì1 èëè 2N1, òî, î÷åâèäíî, ðàáîòà ÷èñëåííî ðàâíà òåì æå ïëîùàäÿì, íî ñî çíàêîì ìèíóñ. Íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ãàç ñîâåðøèë îòðèöàòåëüíóþ ðàáîòó, à ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ÷òî íå ãàç ñîâåðøèë ðàáîòó, à íàä ãàçîì áûëà ñîâåðøåíà ðàáîòà íåêîòîðûìè âíåøíèìè ñèëàìè. À òåïåðü ïåðåéäåì ê ðàçáîðó êîíêðåòíûõ çàäà÷. Çàäà÷à 1. Ìîëü èäåàëüíîãî ãàçà ñîâåðøàåò êðóãîâîé ïðîöåññ (çàìêíóòûé öèêë), èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 2. Ó÷àñòîê 12 èçîòåðìà ïðè òåìïåðàòóðå T1 , ïðîöåññ 23 èçîáàðà, ïåðåõîä 31 èçîõî- Ðèñ. 2 ðà. Îòíîøåíèå îáúåìîâ V2 V1 = α . Îïðåäåëèòå: 1) ðàáîòó ãàçà íà êàæäîì ó÷àñòêå; 2) ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ãàçîì â êðóãîâîì ïðîöåññå. Íà ó÷àñòêå 12 ñâÿçü ìåæäó äàâëåíèåì ãàçà ð è îáúåìîì V èìååò âèä RT1 p= , V ãäå R óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ðàáîòà ãàçà â ýòîì ïðîöåññå, ñîãëàñíî ôîðìóëå (2), ðàâíà A12 = V2 ò V1 V2 p dV = RT1 ò V1 V dV = RT1 ln 2 = RT1 ln α . V V1 Ïîñêîëüêó α > 1 , òî A12 > 0 , ò.å. ãàç ñîâåðøàåò ðàáîòó. Íà èçîáàðå 23 äàâëåíèå ãàçà îñòàåòñÿ íåèçìåííûì: RT1 , p= V2 à ðàáîòà ðàâíà V A23 = æ V - V2 ö RT1 2 æ α - 1ö = - RT1 ç dV = RT1 ç 1 . è α ÷ø V2 Vò è V2 ÷ø 1 Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî A23 < 0 , ò.å. íàä ãàçîì ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà. Íà èçîõîðå 31 îáúåì ãàçà íå èçìåíÿåòñÿ, ò.å. dV = 0, ïîýòîìó ðàáîòà ðàâíà íóëþ: A31 = 0 .  ýòîì ñëó÷àå íè ãàçîì, íè íàä ãàçîì ðàáîòà íå ñîâåðøàåòñÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî ðàáîòà ãàçà â äàííîì êðóãîâîì ïðîöåññå áóäåò ðàâíà α - 1ö æ Aêð = A12 + A23 + A31 = RT1 ç ln α ÷. è α ø "" ÊÂÀÍT 2007/¹3 Íà ðèñóíêå 2 ýòà ðàáîòà ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè âûäåëåííîé ôèãóðû 123. Çàäà÷à 2. Ìîëü ãåëèÿ ðàñøèðÿåòñÿ èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ 1 äî êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ 3 â äâóõ ïðîöåññàõ (ðèñ.3). Ñíà÷àëà ðàñøèðåíèå èäåò â ïðîöåññå 12 ñ ïîñòîÿííîé òåïëîåì3 êîñòüþ C = R (R óíèâåð4 ñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ). Çàòåì ãàç ðàñøèðÿåòñÿ â ïðîöåññå 23, êîãäà åãî äàâëåíèå ð ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî îáúåìó V. Íàéäèòå ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ãàçîì â ïðîöåññå 12, åñëè â Ðèñ. 3 ïðîöåññå 23 îí ñîâåðøèë ðàáîòó À. Òåìïåðàòóðû íà÷àëüíîãî (1) è êîíå÷íîãî (3) ñîñòîÿíèé ðàâíû. Ïîñêîëüêó òåìïåðàòóðû ãàçà â íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ îäèíàêîâû, ïåðåõîä èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 3 ïðîèñõîäèò ñ ñîõðàíåíèåì âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà. Ïî ïåðâîìó íà÷àëó òåðìîäèíàìèêè, â ýòîì ñëó÷àå ñóììàðíîå ïîäâåäåííîå ê ãàçó êîëè÷åñòâî òåïëîòû ïîëíîñòüþ èäåò íà ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ãàçîì. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì îáñòîÿòåëüñòâîì è íàéäåì êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîäâåäåííîå ê ãàçó íà ó÷àñòêàõ 12 è 23. Îáîçíà÷èì ñîñòîÿíèå ãàçà â òî÷êå 3 ÷åðåç p3 , V3 è T3 , à â òî÷êå 2 ÷åðåç p2 , V2 è T2 . Ðàáîòó ãàçà À íà ó÷àñòêå 23 âûðàçèì ÷åðåç ïëîùàäü òðàïåöèè 23V3V2 (ðèñ.4): A= 1 p3 + p2 V3 - V2 . 2 Èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ 0 3V3 è 002V2 çàïèøåì p3 V3 = . p2 V2 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî p3V3 = RT3 è p2V2 = RT2 , èç ñîâìåñòíîÐèñ. 4 ãî ðåøåíèÿ ïðåäûäóùèõ äâóõ óðàâíåíèé íàéäåì 2A . T3 - T2 = R Òåïåðü ìû ìîæåì çàïèñàòü ïîäâåäåííîå ê ãàçó êîëè÷åñòâî òåïëîòû íà ó÷àñòêå 12: 2CA Q12 = C T2 - T3 = R è íà ó÷àñòêå 23: 2CV A Q23 = CV T3 - T2 + A = + A, R 3 ãäå CV = R ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü ãåëèÿ ïðè ïîñòîÿí2 íîì îáúåìå.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâûì íà÷àëîì òåðìîäèíàìèêè, Q12 + Q23 = A12 + A , ãäå A12 èñêîìàÿ ðàáîòà ãàçà íà ó÷àñòêå 12. Òîãäà îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì 2 CV - C A 3 = A. 2 R Çàäà÷à 3. Íà ðèñóíêå 5 ïîêàçàí êðóãîâîé ïðîöåññ äëÿ ν ìîëåé ãåëèÿ, ñîñòîÿùèé èç äâóõ ó÷àñòêîâ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ ð îò îáúåìà V è îäíîé èçîáàðû. Èçâåñòíî, ÷òî íà èçîáàðå 31 íàä ãàçîì áûëà ñîâåðøåíà ðàáîòà À (À > 0), à òåìïåðàòóðà ãàçà óìåíüøèëàñü â α = 4 ðàçà. A12 = Q12 + Q23 - A = Ñîñòîÿíèÿ 2 è 3 ïðèíàäëåæàò îäíîé èçîòåðìå. Òî÷êè 1 è 2 íà äèàãðàììå pV ëåæàò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Îïðåäåëèòå: 1) òåìïåðàòóðó ãàçà â òî÷êå 1; 2) ðàáîòó ãàçà çà öèêë. Îáîçíà÷èì òåìïåðàòóðó ãåëèÿ â òî÷êå 1 ÷åðåç T1 , òîãäà òåìïåðàòóðà ãåëèÿ â òî÷êå 3 áóäåò T3 = αT1 . Ðàáîòà íàä ãàçîì íà èçîáàðå ðàâíà Ðèñ. 5 A = p1 V3 - V1 = νR T3 - T1 = νR α - 1 T1 . Îòñþäà T1 = A A = νR α - 1 3νR . Ïåðåéäåì êî âòîðîìó âîïðîñó. Ðàáîòó çà öèêë Aö áóäåì èñêàòü ÷åðåç ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà 123: 1 Aö = p2 - p1 V3 - V1 . 2 Äëÿ èçîáàðè÷åñêîãî ïðîöåññà V : T , ïîýòîìó V3 - V1 = V1 α - 1 . Ïîñêîëüêó òî÷êè 1 è 2 ëåæàò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, òî V p2 = 2 p1 . V1 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òî÷êè 2 è 3 ëåæàò íà èçîòåðìå, ïîýòîìó p2V2 = p3V3 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî p1 = p3 , íàõîäèì p2 = V3 p1 = V1 α p1 . Ïîñëå ïîäñòàíîâêè â âûðàæåíèå äëÿ ðàáîòû çà öèêë ïîëó÷èì 1 Aö = p1V1 α - 1 α - 1 = 2 = 1 νRT1 2 α - 1 α - 1 = α -1 A 2 = A . 2 Çàäà÷à 4. Ìîëü ãåëèÿ ñîâåðøàåò ðàáîòó À â çàìêíóòîì öèêëå (ðèñ.6), ñîñòîÿùåì èç àäèàáàòû 12, èçîòåðìû 23 è èçîáàðû 31. Íàéäèòå ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ãåëèåì â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå, åñëè ðàçíîñòü òåìïåðàòóð ìåæäó ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé â öèêëå ðàâíà ∆T . Î÷åâèäíî, ÷òî ìàêñèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ãåëèÿ â öèêëå áóäåò â òî÷êå 1. Îáîçíà÷èì ýòó òåìïåðàòóðó ÷åðåç T1 . Ìèíèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ãàçà áóäåò íà èçîòåðìå 23, îáîçíà÷èì åå ÷åðåç T23 . Ñîãëàñíî Ðèñ. 6 óñëîâèþ çàäà÷è, T1 - T23 = ∆T . Äëÿ êðóãîâîãî ïðîöåññà, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâûì íà÷àëîì òåðìîäèíàìèêè, ñóììàðíîå ïîäâåäåííîå ê ãàçó êîëè÷åñòâî òåïëîòû ðàâíî ðàáîòå ãàçà, ñîâåðøåííîé èì â äàííîì çàìê- ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ íóòîì öèêëå: Ðàáîòà ïàðà ðàâíà èçìåíåíèþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè: Q12 + Q23 + Q31 = A . Òåïëî, ïîäâåäåííîå íà àäèàáàòå 12, ðàâíî íóëþ: Q12 = 0 . Íà èçîòåðìå 23 âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãåëèÿ îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, è ïîäâåäåííîå òåïëî ðàâíî ðàáîòå ãàçà: Q23 = A23 . Ïðè èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå 31 ïîäâåäåííîå ê ãàçó òåïëî èäåò íà óâåëè÷åíèå åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè è íà ðàáîòó ãàçà: Q31 = CV T1 - T23 + p31 V1 - V3 = CV + R ∆T . Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì A23 + CV + R ∆T = A . Îòñþäà íàéäåì ðàáîòó ãåëèÿ íà èçîòåðìå 23: 5 A23 = A - CV + R ∆T = A - R∆T . 2 Çàäà÷à 5. Ïîäâèæíûé ïîðøåíü ìàññîé m, ïîäâåøåííûé íà ïðóæèíå, äåëèò îáúåì îòêà÷àííîãî âåðòèêàëüíîãî öèëèíäðà íà äâå ÷àñòè (ðèñ.7).  ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ âûñîòà íèæíåé ÷àñòè öèëèíäðà ðàâíà H0 , à óäëèíåíèå ïðóæèíû ïðè ýòîì ñîñòàâëÿåò x0 .  íèæíþþ ÷àñòü öèëèíäðà âïðûñêèâàþò ν ìîëåé âîäû. Ïîñëå òîãî êàê âñÿ âîäà èñïàðèëàñü, ïîðøåíü ïåðåìåñòèëñÿ ââåðõ íà âåëè÷èíó x1 = αx0 ( α = 3 2 ). Íàéäèòå: 1) óñòàíîâèâøóþñÿ òåìïåðàòóðó ïàðà; 2) ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ïàðîì. Òåïëîîòâîäîì ÷åðåç ñòåíêè öèëèíäðà ïðåÐèñ. 7 íåáðå÷ü. Çàïèøåì óñëîâèå ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ïîðøíÿ äî âïðûñêèâàíèÿ âîäû: mg = kx0 , ãäå k æåñòêîñòü ïðóæèíû. Ïîñëå èñïàðåíèÿ âîäû è óñòàíîâëåíèÿ íîâîãî ðàâíîâåñèÿ ïîðøíÿ îáúåì ïàðà áóäåò Vï = H0 + αx0 S , ãäå S ïëîùàäü âíóòðåííåãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ öèëèíäðà. Äàâëåíèå ïàðà ïðè ýòîì áóäåò ðàâíî pï = mg + kx0 α - 1 αmg = . S S Ðàññìàòðèâàÿ ïàð êàê èäåàëüíûé ãàç, èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ íàéäåì òåìïåðàòóðó ïàðà: Tï = pïVï αmg H0 + αx0 = . νR νR Aï = W2 - W1 = Çàäà÷à 6. Êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ ðàáîòó ìîæíî ïîëó÷èòü îò ïåðèîäè÷åñêè äåéñòâóþùåé òåïëîâîé ìàøèíû, íàãðåâàòåëåì êîòîðîé ñëóæèò m1 = 1 êã âîäû ïðè íà÷àëüíîé òåìïåðàòóðå T1 = 373 Ê , à õîëîäèëüíèêîì m2 = 1 êã ëüäà ïðè òåìïåðàòóðå T2 = 273 Ê , ê ìîìåíòó, êîãäà ðàñòàåò âåñü ëåä? ×åìó áóäåò ðàâíà òåìïåðàòóðà âîäû íàãðåâàòåëÿ â ýòîò ìîìåíò? Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà q = = 80 êêàë/êã. Çàâèñèìîñòüþ òåïëîåìêîñòè âîäû îò òåìïåðàòóðû ïðåíåáðå÷ü. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ëþáîé òåïëîâîé ìàøèíîé â çàìêíóòîì öèêëå, ïî ïåðâîìó íà÷àëó òåðìîäèíàìèêè ðàâíà A = Q1 - Q2 , ãäå Q1 êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîäâåäåííîå ê ðàáî÷åìó òåëó çà öèêë, à Q2 îòâåäåííîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû. Êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ (ÊÏÄ) òåïëîâîé ìàøèíû ðàâåí η= Q1 - Q2 Q =1- 2 . Q1 Q1 Ìàêñèìàëüíóþ ðàáîòó ìîæíî ïîëó÷èòü (òåîðåòè÷åñêè), åñëè òåïëîâàÿ ìàøèíà áóäåò ðàáîòàòü ïî öèêëó Êàðíî. ÊÏÄ öèêëà Êàðíî çàâèñèò òîëüêî îò òåìïåðàòóð T1 è T2 íàãðåâàòåëÿ è õîëîäèëüíèêà: T - T2 T ηK = 1 = 1- 2 . T1 T1 Ñðàâíèâàÿ äâà âûðàæåíèÿ äëÿ ÊÏÄ, íàéäåì, ÷òî äëÿ öèêëà Êàðíî Q2 T2 = Q1 T1 .  íàøåì ñëó÷àå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q2 , îòâåäåííîå îò ðàáî÷åãî òåëà è ïåðåäàííîå õîëîäèëüíèêó, áóäåò èäòè íà ïëàâëåíèå ëüäà, è òåìïåðàòóðà õîëîäèëüíèêà T2 áóäåò îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííîé (ïîêà íå ðàñòàåò âåñü ëåä) è ðàâíîé 273 Ê. À âîò òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ (ãîðÿ÷àÿ âîäà) áóäåò óìåíüøàòüñÿ ïîñëå êàæäîãî öèêëà, è ê ìîìåíòó, êîãäà ëåä ðàñòàåò, òåìïåðàòóðà âîäû íàãðåâàòåëÿ áóäåò çàìåòíî ìåíüøå íà÷àëüíîé, ðàâíîé 373 Ê. Ñëåäîâàòåëüíî, òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ áóäåò ïåðåìåííîé âåëè÷èíîé. Ïóñòü â íåêîòîðûé ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ áûëà Ò, à çà áåñêîíå÷íî ìàëîå âðåìÿ ðàáîòû òåïëîâîé ìàøèíû îíà óìåíüøèëàñü íà dT. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïåðåäàííîå ðàáî÷åìó òåëó çà ýòî âðåìÿ, ðàâíî dQ1 = - câm1dT , dQ2 = qdm2 , ãäå dm2 áåñêîíå÷íî ìàëîå êîëè÷åñòâî ðàñòàÿâøåãî ëüäà. Âîñïîëüçîâàâøèñü ñîîòíîøåíèåì ìåæäó Q è Ò äëÿ öèêëà Êàðíî, ïîëó÷èì - kx2 mgx0 W1 = 0 = . 2 2 Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè ñîñòàâëÿåò α2mgx0 9 = mgx0 . 2 8 ãäå câ óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïåðåäàííîå õîëîäèëüíèêó, ñîñòàâëÿåò Ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ïàðîì, ïîéäåò íà ïðèðàùåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïîðøíÿ è ïðóæèíû. Åñëè îòñ÷èòûâàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ïîðøíÿ îò åãî ïîëîæåíèÿ ïðè îòñóòñòâèè âîäû â öèëèíäðå, òî ñóììàðíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïîðøíÿ è ïðóæèíû â íà÷àëüíûé ìîìåíò ðàâíà W2 = "# ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ 2 mgx0 α2 + 1 kx02 α - 1 . + mgαx0 = 2 2 qdm2 T = 2 . câm1dT T Ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ Ò è m2 ýòî óðàâíåíèå áóäåò èìåòü âèä dT qdm2 =. T câm1T2 "$ ÊÂÀÍT 2007/¹3 Ïðîèíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè äàííîãî óðàâíåíèÿ: Tê ò T1 dT q =T câm1T2 m2 ò dm2 , 0 ãäå Tê êîíå÷íàÿ òåìïåðàòóðà âîäû â íàãðåâàòåëå ê ìîìåíòó, êîãäà âåñü ëåä ðàñòàåò. Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷èì T qm2 , ln ê = T1 câm1T2 îòêóäà íàéäåì æ qm2 ö Tê = T1 exp ç = 278, 3 Ê . è câm1T2 ÷ø Òåïåðü ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå îò íàãðåâàòåëÿ ê ìîìåíòó ïîëíîãî òàÿíèÿ ëüäà: Q1 = câm1 T1 - Tê . Ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïåðåäàííîå ïðè ýòîì õîëîäèëüíèêó, ðàâíî Q2 = qm2 . Ñëåäîâàòåëüíî, îò òåïëîâîé ìàøèíû ìîæíî ïîëó÷èòü ìàêñèìàëüíóþ ðàáîòó Amax = Q1 - Q2 = câm1 T1 - Tê - qm2 = 61,5 êÄæ . Óïðàæíåíèÿ 1. Ìîëü ãåëèÿ, ðàñøèðÿÿñü â ïðîöåññå 12 (ðèñ.8), ãäå åãî äàâëåíèå ð ìåíÿåòñÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî åãî îáúåìó V, ñîâåðøàåò ðàáîòó À. Èç ñîñòîÿíèÿ 2 ãåëèé ðàñøèðÿåòñÿ â ïðîöåññå 23, â êîòîðîì åãî òåïëîåìêîñòü îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé è ðàâíîé Ñ = R/2. Êàêóþ ðàáîòó ñîâåðøèò ãåëèé â ïðîöåññå Ôîðìóëû ãåîìåòðèè ïîìîãàþò àëãåáðå Â.ÌÈÐÎØÈÍ Â ØÊÎËÜÍÎÌ ÊÓÐÑÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ ÏÐÈÂÎÄßÒÑß ÒÐÈ ôîðìóëû, ïîçâîëÿþùèå íàõîäèòü: à) ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ñ êîîðäèíàòàìè x1 è x2 íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé: ýòî ìîäóëü èõ ðàçíîñòè, ò.å. d = x2 - x1 ; á) ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè x1; y1 è x2; y2 ÷èñëîâîé x2 - x12 + y2 - y12 ; ðàññòîÿíèå îò òî÷êè x0; y0 äî ïëîñêîñòè: d = â) óðàâíåíèåì ax + by + c = 0 : d = ïðÿìîé, çàäàííîé ax0 + by0 + c a2 + b2 . Ðèñ. 8 Ðèñ. 9 23, åñëè òåìïåðàòóðû íà÷àëüíîãî (1) è êîíå÷íîãî (3) ñîñòîÿíèé ðàâíû? 2. Öèêë äëÿ ν ìîëåé ãåëèÿ ñîñòîèò èç äâóõ ó÷àñòêîâ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ ð îò îáúåìà V è îäíîé èçîõîðû (ðèñ.9).  èçîõîðè÷åñêîì ïðîöåññå 12 îò ãàçà áûëî îòâåäåíî êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q (Q > 0), è åãî òåìïåðàòóðà óìåíüøèëàñü â 4 ðàçà. Òåìïåðàòóðû â ñîñòîÿíèÿõ 2 è 3 ðàâíû. Òî÷êè 1 è 3 íà äèàãðàììå pV ëåæàò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. 1) Íàéäèòå òåìïåðàòóðó T1 â òî÷êå 1. 2) Íàéäèòå ðàáîòó ãàçà çà öèêë. 3. Ìîëü ãåëèÿ ñîâåðøàåò ðàáîòó À â çàìêíóòîì öèêëå, ñîñòîÿùåì èç èçîáàðû 12, èçîõîðû 23 è àäèàáàòè÷åñêîãî ïðîöåññà 31 (ðèñ.10). Ñêîëüêî òåïëà áûëî ïîäâåäåíî ê ãàçó â Ðèñ. 10 èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå, åñëè ðàçíîñòü ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóð ãåëèÿ â öèêëå ðàâíà ∆T ? Äîâîëüíî ÷àñòî óäàåòñÿ èñïîëüçîâàòü ýòè ôîðìóëû ïðè ðåøåíèè àëãåáðàè÷åñêèõ çàäà÷. Äëÿ ýòîãî, êàê ïðàâèëî, íóæíî èñòîëêîâàòü äàííîå àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå êàê ðàññòîÿíèå èëè ñóììó ðàññòîÿíèé äî íåêîòîðûõ òî÷åê èëè ïðÿìûõ. Ñ òàêèìè çàäà÷àìè ìû è ñîáèðàåìñÿ âàñ ïîçíàêîìèòü. Ñóììà ðàññòîÿíèé Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ìèíèìóì âûðàæåíèÿ f x, y = x - 32 + y - 42 + x 2 + y2 . Ðåøåíèå. Äàííîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñóììó ðàññòîÿíèé îò íåêîòîðîé òî÷êè M(x; y) êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè äî äâóõ òî÷åê: K 3;4 è íà÷àëà êîîðäèíàò O 0;0 . Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå «íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà», ïîëó÷èì, ÷òî ñóììà ðàññòîÿíèé MK + MO íå ìîæåò áûòü ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ KO, ïðè÷åì ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ äëÿ ëþáîé òî÷êè M, ëåæàùåé íà îòðåçêå KO. Èòàê, MK + MO ≥ OK = = 5. Îòâåò: 5. Çàìå÷àíèå. Äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà êîîðäèíàòíîé îñè, íåðàâåíñòâî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå x - a + x - b = = a - b Û x - a x - b £ 0 . Çàäà÷à 2 (ÌÃÓ, ìåõìàò). Íàéäèòå ìèíèìóì âûðàæåíèÿ f x, y = x - 2 2 + y - 3 2 + x-y .
