КПД термодинамических циклов

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
ÊÏÄ
òåðìîäèíàìè÷åñêèõ
öèêëîâ
Â.ÄÐÎÇÄÎÂ
Ó
ÊÀÇÀÍÍÀß Â ÇÀÃËÀÂÈÈ ÑÒÀÒÜÈ ÒÅÌÀ ÔÀÊÒÈ×ÅÑÊÈ ÇÀ-
âåðøàåò øêîëüíûé êóðñ òåðìîäèíàìèêè. Ïîýòîìó äëÿ
ðåøåíèÿ çàäà÷ íà îïðåäåëåíèå ÊÏÄ öèêëîâ òðåáóåòñÿ çíàíèå
ïî÷òè âñåãî ïðåäøåñòâóþùåãî ìàòåðèàëà. Â ñèëó ýòîãî
îáñòîÿòåëüñòâà, òàêèå çàäà÷è ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïðîâåðêè çíàíèé ó÷àùèõñÿ íà ýêçàìåíàõ, â òîì ÷èñëå è â ôîðìå ÅÃÝ.
Êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ η òåðìîäèíàìè÷åñêîãî
öèêëà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
A Q1 − Q2
Q
η=
=
= 1− 2 ,
Q1
Q1
Q1
ãäå Q1 – êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîäâåäåííîå ê ðàáî÷åìó òåëó
(ãàçó) çà öèêë îò íàãðåâàòåëÿ, Q2 – êîëè÷åñòâî òåïëîòû,
îòäàííîå ðàáî÷èì òåëîì çà öèêë õîëîäèëüíèêó, A = Q1 − Q2
– ðàáîòà ãàçà çà öèêë.
Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà ðàáî÷èì òåëîì ÿâëÿåòñÿ èäåàëüíûé îäíîàòîìíûé ãàç. Ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó òåðìîäèíàìèêè, êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q12 , ïîëó÷åííîå èäåàëüíûì ãàçîì ïðè ïåðåõîäå èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2, ðàâíî ñóììå
èçìåíåíèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà è ñîâåðøåííîé èì ðàáîòû:
Q12 = (U2 − U1 ) + A12 .
Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà ñ ó÷åòîì
óðàâíåíèÿ Êëàïåéðîíà–Ìåíäåëååâà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â
âèäå
3
3
U = νRT = pV ,
2
2
ãäå ν – êîëè÷åñòâî ìîëåé ãàçà, Ò – òåìïåðàòóðà ãàçà, ð – åãî
äàâëåíèå, V – îáúåì, R – óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Ðàáîòà ãàçà A12 ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ïîä ãðàôèêîì
çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò îáúåìà, âûðàæåííîé â ýíåðãåòè÷åñêèõ åäèíèöàõ (â ÑÈ – â äæîóëÿõ).
Òåïåðü ïåðåõîäèì ê ðàññìîòðåíèþ êîíêðåòíûõ çàäà÷.
Çàäà÷à 1. Íàéäèòå ÊÏÄ öèêëà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 1.
Ðåøåíèå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðàáîòà ãàçà çà öèêë ðàâíà
1
1
A = (2 p0 − p0 )(2V0 − V0 ) = p0V0 .
2
2
Îñòàëîñü íàéòè ïîäâåäåííîå ê ãàçó êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q1 .
Íà ó÷àñòêå 1–2 ðàáîòà
ãàçà ðàâíà íóëþ, à äàâëåíèå ðàñòåò ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå, ò.å. òåìïåðàòóðà ãàçà ïîâûøàåòñÿ. Çíà÷èò, íà ýòîì ó÷àñòêå ãàç ïîëó÷àåò òåïëî.
Íà ó÷àñòêå 2–3 ðàáîòà
ãàçà A23 ïîëîæèòåëüíà,
à îáúåì ðàñòåò ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè, ò.å.
òåìïåðàòóðà ãàçà ðàñòåò.
Ðèñ. 1
Ñëåäîâàòåëüíî, íà ýòîì ó÷àñòêå ãàç òîæå ïîëó÷àåò òåïëî. À
âîò íà ó÷àñòêå 3–1 ðàáîòà ãàçà îòðèöàòåëüíà (èáî ãàç
ñæèìàþò), ê òîìó æå îäíîâðåìåííî ïàäàþò è äàâëåíèå è
îáúåì ãàçà, ÷òî ïðèâîäèò ê îõëàæäåíèþ ãàçà. Èíûìè ñëîâàìè, íà ó÷àñòêå 3–1 ãàç òåïëî íå ïîëó÷àåò. Èòàê,
Q1 = Q12 + Q23 =
= (U2 − U1 ) + A23 + (U3 − U2 ) = (U3 − U1 ) + A23 .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
A23 = 2 p0 (2V0 − V0 ) = 2 p0V0 ,
ïîëó÷àåì
3
13
3

Q1 =  ⋅ 2 p0 ⋅ 2V0 − p0V0  + 2 p0V0 =
p0V0 .
2
2
2

Òåïåðü íàõîäèì ÊÏÄ öèêëà:
η=
(1 2) p0V0 = 1 ≈ 7,7%
A
=
.
Q1
(13 2) p0V0 13
Çàäà÷à 2. Íà ðèñóíêå 2 èçîáðàæåí öèêë äèçåëüíîãî
äâèãàòåëÿ, ñîñòîÿùèé èç àäèàáàò 1–2 è 3–4, èçîáàðû 2–3
è èçîõîðû 4–1. Òåìïåðàòóðû ãàçà â òî÷êàõ 1, 2, 3, 4 ðàâíû
T1 , T2 , T3 , T4 ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå ÊÏÄ
öèêëà.
Ðåøåíèå. Ðàáîòó ãàçà
êàê «ýíåðãåòè÷åñêóþ ïëîùàäü» öèêëà çäåñü âû÷èñëèòü íåëåãêî – öèêë
êðèâîëèíåéíûé. Íî â
ýòîì íåò íèêàêîé íóæäû.
Âû÷èñëèì ÊÏÄ ÷åðåç
ïîäâåäåííîå è îòâåäåí- Ðèñ. 2
íîå êîëè÷åñòâà òåïëîòû
Q1 è Q2 . Åñòåñòâåííî, íà àäèàáàòàõ òåïëî íå ïîäâîäèòñÿ è
íå îòâîäèòñÿ. Íà èçîáàðå 2–3 òåïëî ïîäâîäèòñÿ, èáî îáúåì
ðàñòåò è, ñîîòâåòñòâåííî, ðàñòåò òåìïåðàòóðà. Íà èçîõîðå 4–
1 òåïëî îòâîäèòñÿ, òàê êàê äàâëåíèå è òåìïåðàòóðà ïàäàþò.
Òàêèì îáðàçîì,
3
Q1 = Q23 = (U3 − U2 ) + A23 = νR (T3 − T2 ) + p2 (V3 − V2 ) =
2
3
5
= νR (T3 − T2 ) + νR (T3 − T2 ) = νR (T3 − T2 ) .
2
2
Àíàëîãè÷íî,
Q2 = U4 − U1 =
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
η = 1−
3
νR (T4 − T1 ) .
2
3 (T4 − T1 )
Q2
= 1−
.
Q1
5 (T3 − T2 )
Çàäà÷à 3 (ÌÈÝÌ,
1990). Îïðåäåëèòå ÊÏÄ
öèêëà, ñîñòîÿùåãî èç äâóõ
àäèàáàò è äâóõ èçîõîð
(ðèñ.3). Èçâåñòíî, ÷òî â
ïðîöåññå àäèàáàòíîãî
ðàñøèðåíèÿ óñòàíàâëèâàåòñÿ
òåìïåðàòóðà
T2 = 0,75T1 , à â ïðîöåññå
àäèàáàòíîãî ñæàòèÿ
T3 = 0,75T4 .
Ðåøåíèå. Íà èçîõîðå
4–1 òåïëî ïîäâîäèòñÿ, íà
Ðèñ. 3
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
èçîõîðå 2–3 òåïëî îòâîäèòñÿ, íà îáåèõ àäèàáàòàõ òåïëîîáìåíà íåò. Êðîìå òîãî, ðàáîòà íà èçîõîðàõ íå ñîâåðøàåòñÿ.
Ïîýòîìó
Q1 = U1 − U4 , Q2 = U2 − U3 .
Çíà÷èò,
U − U3
T − T3
Q2
= 1− 2
= 1− 2
.
Q1
U1 − U4
T1 − T4
Ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ çàäà÷è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
η = 1−
0,75T1 − 0,75T4
η = 1−
= 1 − 0,75 = 0,25 = 25% .
T1 − T4
Çàäà÷à 4 (ÌÔÒÈ, 1989). ÊÏÄ òåïëîâîé ìàøèíû, ðàáîòàþùåé ïî öèêëó, ñîñòîÿùåìó èç èçîòåðìû 1–2, èçîõîðû
2–3 è àäèàáàòû 3–1
(ðèñ.4), ðàâåí η . Ðàçíîñòü ìàêñèìàëüíîé è
ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóð ãàçà â öèêëå ñîñòàâëÿåò ∆T . Íàéäèòå ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ν
ìîëÿìè ãàçà â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå.
Ðåøåíèå. Õîòÿ â äàííîé çàäà÷å ÊÏÄ èçâåñÐèñ. 4
òåí, âûðàçèì åãî, êàê è â
ïðåäûäóùèõ çàäà÷àõ, ÷åðåç êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q1 è Q2 è
èñêîìóþ ðàáîòó A12 .
Òàê êàê òî÷êè 1 è 2 ëåæàò íà îäíîé èçîòåðìå, òî T1 = T2 è,
ñîîòâåòñòâåííî, U2 = U1 . ßñíî, ÷òî ∆T = T2 − T3 , âåäü òî÷êà
3 ëåæèò íèæå òî÷êè 2. Òîãäà
Q1 = Q12 = A12 .
Òåïëî íà èçîòåðìå äåéñòâèòåëüíî ïîäâîäèòñÿ, ïîñêîëüêó
ðàáîòà ðàñøèðåíèÿ ãàçà A12 çàâåäîìî ïîëîæèòåëüíà. À íà
èçîõîðå òåïëî îòâîäèòñÿ, ïðè÷åì
3
3
Q2 = Q23 = U2 − U3 = νR (T2 − T3 ) = νR∆T .
2
2
Ñëåäîâàòåëüíî,
η = 1−
(3 2 ) νR∆T
Q2
= 1−
,
Q1
A12
îòêóäà íàõîäèì
A12
1,5νR∆T
=
.
1− η
Çàäà÷à 5 (ÌÔÒÈ,
2005).  öèêëå 1–3–4–1
(ðèñ.5) ÊÏÄ ðàâåí η .
×åìó ðàâåí ÊÏÄ η′ öèêëà 1–2–3–4–1?
Ðåøåíèå. Òàê êàê äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíèêà
äåëèò åãî íà äâà ðàâíûõ
òðåóãîëüíèêà, ðàáîòà, ñîÐèñ. 5
âåðøåííàÿ âî âòîðîì öèêëå 1–2–3–4–1, âäâîå
áîëüøå ðàáîòû À â ïåðâîì öèêëå 1–3–4–1.
 ïåðâîì öèêëå òåïëî, î÷åâèäíî, ïîäâîäèòñÿ òîëüêî íà
ó÷àñòêå 1–3. Ïðè ýòîì
Q1 = Q13 = A13 + (U3 − U1 ) ,
ãäå
A13 = A + p1 (V4 − V1 ) .
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Çíà÷èò,
A
A
=
Q1 A + p1 (V4 − V1 ) + (U3 − U1 ) .
η=
Âî âòîðîì öèêëå òåïëî ïîäâîäèòñÿ òîëüêî íà ó÷àñòêàõ 1–2 è
2–3:
Q1′ = Q12 + Q23 = (U2 − U1 ) + (U3 − U2 ) + A23 = (U3 − U1 ) + A23,
ãäå
A23 = 2 A + p1 (V4 − V1 ) .
Ñëåäîâàòåëüíî,
η′ =
2A
2A
=
.
′
Q1 2 A + p1 (V4 − V1 ) + (U3 − U1 )
Âûðàçèâ âåëè÷èíó p1 (V4 − V1 ) + (U3 + U1 ) èç óðàâíåíèÿ äëÿ
η , íàõîäèì
2η
η′ =
.
η+1
Çàäà÷à 6 (ÌÈÝÌ).
Îïðåäåëèòå ÊÏÄ öèêëà
(ðèñ.6), ñîâåðøàåìîãî
ν = 3 ìîëü ãàçà è ñîñòîÿùåãî èç èçîõîðû, àäèàáàòû è èçîáàðû, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ãàç ïîëó÷èë
Q1 = 3000 Äæ òåïëà è â
ðåçóëüòàòå àäèàáàòíîãî ðàñøèðåíèÿ òåìïåðàòóðà åãî ïîíèçèëàñü íà
Ðèñ. 6
∆T = 40 Ê.
Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî ãàç ïîëó÷àåò òåïëî íà èçîõîðå
1–2 è îòäàåò åãî íà èçîáàðå 3–1. Ïîýòîìó
3
Q1 = U2 − U1 = ( p2V2 − p1V1 ) ,
2
Q2 = p1 (V3 − V1 ) + (U3 − U1 ) =
= p3V3 − p1V1 +
3
3
5
p3V3 − p1V1 = ( p3V3 − p1V1 ) .
2
2
2
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ãàçà â òî÷êàõ 2 è 3:
p2V2 = νRT2 , p3V3 = νRT3 .
Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî
p2V2 − p3V3 = νR (T2 − T3 ) = νR∆T .
Ïî îïðåäåëåíèþ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî êîýôôèöèåíòà ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ,
Q
η = 1− 2 .
Q1
Ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
Q2

η = 1 − Q ,
1

3

Q1 = ( p2V2 − p1V1 ),

2

5
Q2 = ( p3V3 − p1V1 ),
2

 p2V2 − p3V3 = νR∆T.
Ïîñëåäîâàòåëüíî èñêëþ÷èâ èç ýòîé ñèñòåìû p3V3 , p2V2 − p1V1
è Q2 , ïðèõîäèì ê îòâåòó
η=
5νR∆T 2
− = 0,16 = 16% .
2Q1
3
Çàäà÷à 7 (ÌÈÝÌ,
1991). Ãàç ñîâåðøàåò
öèêë, èçîáðàæåííûé íà
ðèñóíêå 7 â êîîðäèíàòàõ ð è U, ãäå ð –
äàâëåíèå, U – âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà. Îïðåäåëèòå ÊÏÄ öèêëà.
Ðåøåíèå. Ïðåæäå
âñåãî ïðåäñòàâèì öèêë
â êîîðäèíàòàõ ð, V.
Ðèñ. 7
Çàïèøåì âíóòðåííèå
ýíåðãèè ãàçà â âåðøèíàõ òðàïåöèè 1 è 3:
3
3
U0 = p0V1 , 4U0 = ⋅ 2 p0V3 .
2
2
Îòñþäà íàõîäèì
2U0
4U0
V1 =
V3 =
3 p0 ,
3 p0 .
Âèäèì, ÷òî V3 = 2V1 . Ó÷àñòêè öèêëà 1–2 è 3–4 – èçîõîðû.
Äåéñòâèòåëüíî, çàïèøåì óðàâíåíèå ïðÿìîé 1–2 â âèäå
p = αU , ãäå α – êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, èëè
3
2
p = α ⋅ pV , îòêóäà ïîëó÷àåì V =
= const . Àíàëîãè÷2
3α
íûé âûâîä ñïðàâåäëèâ è äëÿ ó÷àñòêà 3–4. Ñëåäîâàòåëüíî,
V2 = V1 è V4 = V3 . Òîãäà öèêë â êîîðäèíàòàõ
ð, V ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óæå âñòðå÷àâøèéñÿ
íàì â ïÿòîé çàäà÷å ïðÿìîóãîëüíèê (ðèñ.8).
Òåïåðü ïðèñòóïèì ê
ðàñ÷åòàì. Ðàáîòà öèêëà
ðàâíà
Ðèñ. 8
 öèêëå 2–3–4–2 òåïëî ïîäâîäèòñÿ íà ó÷àñòêå 4–2, à îòâîäèòñÿ íà ó÷àñòêàõ 2–3 è 3–4. Ñëåäîâàòåëüíî,
η2 = 1 −
 öèêëå 1–2–3–4–1 òåïëî ïîäâîäèòñÿ íà ó÷àñòêàõ 1–2 è 4–
1, à îòâîäèòñÿ íà ó÷àñòêàõ 2–3 è 3–4. Ïîýòîìó
η = 1−
Q1 = Q12 + Q23 = (U2 − U1 ) + (U3 − U2 ) + A23 =
= (U3 − U1 ) + 2 p0V1 =
3
3
13
p0V1 .
⋅ 2 p0 ⋅ 2V1 − p0V1 + 2 p0V1 =
2
2
2
Q23 + Q34
= (1 − η1 )(1 − η2 )
Q41 + Q12
è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
η = η1 + η2 − η1η2 .
Çàäà÷à 9 (ÌÃÓ, ôèçôàê, 2000). Íà ðV-äèàãðàììå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 10, ïîêàçàíî èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ
ãàçà, èñïîëüçóåìîãî â êà÷åñòâå ðàáî÷åãî âåùåñòâà
òåïëîâîãî äâèãàòåëÿ.
Îòíîøåíèå ìàêñèìàëüíîé
àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðû ãàçà ê åãî ìèíèìàëüíîé
òåìïåðàòóðå â äàííîì
öèêëå ðàâíî 4. Âî ñêîëüêî
ðàç îòëè÷àåòñÿ ÊÏÄ η
ýòîãî öèêëà îò ìàêñèìàëü- Ðèñ. 10
íî âîçìîæíîãî?
Ðåøåíèå. Ïðîèçâåäåíèå ðV äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ â òî÷êå 2, à íàèìåíüøåãî – â òî÷êå 1.  ñèëó óðàâíåíèÿ
Êëàïåéðîíà–Ìåíäåëååâà, ìàêñèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ãàçà
áóäåò â òî÷êå 2, à ìèíèìàëüíàÿ – â òî÷êå 1, ò.å.
T2 = 4T1 .
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ äëÿ âåðøèí öèêëà:
p1V1 = νRT1 , p2V2 = νRT2 , p3V3 = νRT3 .
Ó÷òåì, ÷òî òî÷êè 1 è 2 ëåæàò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
íà÷àëî êîîðäèíàò:
p1 = αV1 , p2 = αV2 , è p2V1 = p1V2 .
Çíà÷èò,
A
p0V1
2
η=
=
=
≈ 15,4% .
Q1 (13 2 ) p0V1 13
Çàäà÷à 8 (ÌÔÒÈ). ÊÏÄ öèêëà 1–2–4–1 ðàâåí η1 , à öèêëà
2–3–4–2 ðàâåí η2 . Ó÷àñòêè 4–1 è 2–3 – èçîõîðû, ó÷àñòîê
3–4 – èçîáàðà, ó÷àñòêè
1–2 è 2–4 ïðåäñòàâëÿþò
ñîáîé ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ îò îáúåìà (ðèñ.9). Âñå öèêëû
îáõîäÿòñÿ ïî ÷àñîâîé
ñòðåëêå. Íàéäèòå ÊÏÄ
η öèêëà 1–2–3–4–1.
Ðåøåíèå.  öèêëå 1–
2–4–1 òåïëî ïîäâîäèòñÿ
íà ó÷àñòêàõ 1–2 è 4–1, à
Ðèñ. 9
îòâîäèòñÿ íà ó÷àñòêå 2–4.
Çíà÷èò,
Q1 = Q12 + Q41 , Q2 = Q24 ,
Q23 + Q34
.
Q41 + Q12
Èç ôîðìóë äëÿ η1 è η2 íàéäåì
A = p0V1 .
Òåïëî ïîäâîäèòñÿ ê ãàçó íà ó÷àñòêàõ 1–2 è 2–3, ïîýòîìó
Q23 + Q34
.
Q24
Èç âñåõ ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé ëåãêî íàéäåì, ÷òî
p2 = 2 p1 è T3 = 2T1 .
Èçâåñòíî, ÷òî ÊÏÄ ëþáîé òåïëîâîé ìàøèíû, ðàáîòàþùåé â
íåêîòîðîì èíòåðâàëå òåìïåðàòóð, íå ìîæåò áûòü áîëüøå
ÊÏÄ ìàøèíû, ðàáîòàþùåé ïî öèêëó Êàðíî â òîì æå
èíòåðâàëå òåìïåðàòóð.  íàøåì ñëó÷àå
T − T1 3
ηmax = 2
= .
4
T2
Íàéäåì òåïåðü ÊÏÄ äàííîãî öèêëà η . Ðàáîòà ãàçà çà öèêë
ðàâíà
A=
1
(V3 − V1 )( p2 − p3 ) = 1 (V3 p2 − V3 p3 − V1p2 + V1p3 ) =
2
2
=
νRT1
1
(νRT2 − νRT3 − νRT1 ) =
.
2
2
Î÷åâèäíî, ÷òî ê ãàçó ïîäâîäèòñÿ òåïëî òîëüêî íà ó÷àñòêå 1–
2, ïîýòîìó
Q1 = Q12 = A12 + (U2 − U1 ) =
è
Q
Q24
η1 = 1 − 2 = 1 −
Q1
Q12 + Q41 .
3
3

= ( A + p1 (V3 − V1 )) +  νRT2 − νRT1  = 6νRT1 .
2
2


ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Ñëåäîâàòåëüíî,
ηmax
0,5νRT1
1
34
η=
=
=
= 9.
,è
η
6νRT1
12
1 12
Çàäà÷à 10 («Çàäà÷íèê
«Êâàíòà», Ô820). Îïðåäåëèòå ÊÏÄ öèêëà ÀÂÑÀ,
èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå
11.
Ðåøåíèå. Ýòà çàäà÷à ìîæåò ïîêàçàòüñÿ âåñüìà ïîõîæåé íà ïåðâóþ, èáî òðåóãîëüíûé öèêë â îáåèõ çàäà÷àõ îäèí è òîò æå, òîëüêî
ðàñïîëîæåííûé ïî-ðàçíîÐèñ. 11
ìó. Íî ýòî ñõîäñòâî êàæóùååñÿ, òàê êàê ýòà çàäà÷à ñóùåñòâåííî òðóäíåå ïåðâîé.
Ðàáîòà ãàçà çà öèêë îïðåäåëÿåòñÿ ñðàçó:
1
A = p0V0 .
2
À äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîäâåäåííîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q1
ïðèäåòñÿ íåìàëî ïîòðóäèòüñÿ. Íà ó÷àñòêå À òåïëî áåçóñëîâíî ïîäâîäèòñÿ, è
QAB = UB − U A =
3
3
3
⋅ 2 p0V0 − p0V0 = p0V0 .
2
2
2
Íà ó÷àñòêå ÂÑ äàâëåíèå âñå âðåìÿ ïàäàåò, îáúåì âñå âðåìÿ
ðàñòåò, à âîò òåìïåðàòóðà èçìåíÿåòñÿ áîëåå ñëîæíî – ñíà÷àëà
îíà äî íåêîòîðîé òî÷êè D ðàñòåò, à ïîòîì ïàäàåò, âîçâðàùàÿñü â òî÷êå Ñ ê ïåðâîíà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ (â òî÷êå Â). Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî òåïëî ïîäâîäèòñÿ ê ãàçó íå íà âñåì ó÷àñòêå ÂÑ,
à òîëüêî íà ýòàïå BD. Íàéäåì QBD .
Çàïèøåì ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè äëÿ ìàëîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû:
5
3
3

∆Q = ∆U + p∆V = ∆  pV  + p∆V = p∆V + V ∆p
2
2
2

(ìû èñïîëüçîâàëè ðàâåíñòâî ∆ ( pV ) = p∆V + V ∆p ). Ïðèðàâíèâàÿ ∆Q ê íóëþ, ïîëó÷èì
5 p
∆p
=−
.
3V
∆V
Èç ãðàôèêà íàéäåì
5 p
∆p
p
p
= − 0 , ò.å. 0 =
.
∆V
V0 3 V
V0
Óðàâíåíèå ïðÿìîé ÂÑ ëåãêî ïèøåòñÿ ïî äâóì èçâåñòíûì
òî÷êàì:
p
p = − 0 V + 3 p0 .
V0
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
è
η=
(1 2 ) p0V0 = 16 ≈ 16,5%
A
=
.
Q1 (97 32 ) p0V0 97
Óïðàæíåíèÿ
1. Íà ðèñóíêå 12 ïðåäñòàâëåí öèêë òóðáîðåàêòèâíîãî äâèãàòåëÿ, ñîñòîÿùèé èç äâóõ èçîáàð è äâóõ àäèàáàò. Ïî èçâåñòíûì
òåìïåðàòóðàì T1, T2, T3, T4 íàéäèòå ÊÏÄ öèêëà.
Ðèñ. 12
Ðèñ. 13
2 (ÌÈÝÒ). Îïðåäåëèòå ÊÏÄ öèêëà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 13, åñëè èçâåñòíî, ÷òî â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè 1 òåìïåðàòóðà
ãàçà T1 = 300 Ê , îòíîøåíèå îáúåìîâ ãàçà â ñîñòîÿíèÿõ 3 è 2
ðàâíî 2 è ïðè èçîòåðìè÷åñêîì ðàñøèðåíèè ãàç ñîâåðøàåò ðàáîòó À = 5 êÄæ.
Êîëè÷åñòâî âåùåñòâà ãàçà
ν = 1 ìîëü.
3 (ÌÀÈ, 2003). Êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ öèêëà 1–2–3–1
(ðèñ.14) ðàâåí η = 15%.
Íàéäèòå ÊÏÄ öèêëà
3–5–4–3.
4 (ÌÃÓ, ôèçôàê, 1995).
Äàâëåíèå ãàçà ìåíÿþò îò Ðèñ. 14
âåëè÷èíû p1 äî âåëè÷èíû p2 â ñîîòâåòñòâèè ñ
pV-äèàãðàììîé, èìåþùåé âèä òðåóãîëüíèêà, ïîêàçàííîãî íà
ðèñóíêå 15. Íàéäèòå ÊÏÄ
öèêëà, åñëè òåìïåðàòóðà
ãàçà â ñîñòîÿíèè 3 áîëüøå
åãî òåìïåðàòóðû â ñîñòîÿíèè 1.
5 (ÌÀÈ, 2003). Öèêë ñîñòîèò èç èçîõîðû 1–2, èçîáàðû 2–3 è ïðÿìîé 3–1
(ðèñ.16). Òåìïåðàòóðû â
òî÷êàõ 1, 2 è 3 ñâÿçàíû
ñîîòíîøåíèÿìè T2 = 1,5 T1 è Ðèñ. 15
T3 = 3 T1 . Îïðåäåëèòå ÊÏÄ öèêëà.
6 (ÌÔÒÈ). Öèêë 1–2–3–1 ñîñòîèò èç ïðÿìîëèíåéíîãî ó÷àñòêà 1–2, àäèàáàòû 2–3 è èçîòåðìû 3–1 (ðèñ.17). Åãî ÊÏÄ ðàâåí
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êîîðäèíàò òî÷êè D ïîëó÷àåì
p1 =
15
9
p0 , V1 =
V0
8
8
(âèäíî, ÷òî p1V1 ëåæèò ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè ïðîèçâåäåíèÿìè äëÿ òî÷åê  è Ñ) è íàõîäèì
1
QBD = (UD − UB ) + (2 p0 + p1 )(V1 − V0 ) =
2
=
3
3
1 7 25
49
p1V1 − ⋅ 2 p0V0 + ⋅ ⋅
p0V0 =
p0V0 .
2
2
2 8 8
32
Ñëåäîâàòåëüíî,
Q1 = QAB + QBD =
3
49
97
p0V0 +
p0V0 =
p0V0 ,
2
32
32
Ðèñ. 16
Ðèñ. 17
η1 . Öèêë 1–3–4–1 ñîñòîèò èç èçîòåðìû 1–3, èçîáàðû 3–4 è
àäèàáàòû 4–1. Åãî ÊÏÄ ðàâåí η2 . Îïðåäåëèòå ÊÏÄ öèêëà
1–2–3–4–1. Âñå öèêëû îáõîäÿòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.