Отсюда получаем, что теплоемкость при постоянном давлении

50
ÊÂÀÍT 2000/¹3
Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî òåïëîåìêîñòü
ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ïîñòîÿííà è
äëÿ îäíîãî ìîëÿ ãàçà ðàâíà
Cp = CV + R =
5
2
R.
η=
Q1
=
A
Q1
.
Ðàçáåðåì òåïåðü íåêîòîðûå êîíêðåòíûå çàäà÷è íà òåïëîâûå ïðîöåññû ñ
ó÷àñòèåì îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî
ãàçà.
Çàäà÷à 1. Ñðàâíèòå ðàáîòû, êîëè÷åñòâà òåïëîòû è òåïëîåìêîñòè 1
ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðè ïåðåõîäå
ìåæäó äâóìÿ èçîòåðìàìè ñ òåìïåðàòóðàìè T1 è T2 â èçîáàðè÷åñêîì ïðî-
p
1
D
3
2
?
D
Q1 = ∆U1 + A =
?
5
D
p
R T2 − T1 .
2
Äëÿ ïðîöåññà 2 (íà äèàãðàììå p–V
ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò) ðàáîòà ðàâíà ïëîùàäè çàøòðèõîâàííîé òðàïåöèè:
A=
p1 + p2
2
?V − V D =
2
1
p2V2 − p1V1
=
2
?T
2
R
2
D
− T1 .
Èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè â ýòîì
ïðîöåññå òàêîå æå, êàê â ïðåäûäóùåì:
∆U2 = ∆U1 =
>
C
3
R T2 − T1 ,
2
à êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîäâåäåííîå íà
ó÷àñòêå 2, ðàâíî
?
D
Q2 = A2 + ∆U2 = 2 R T2 − T1 .
Êàê âèäíî, â îáîèõ ïðîöåññàõ ðàáîòà è ïîäâåäåííîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû
îïðåäåëÿþòñÿ ëèøü ðàçíîñòüþ òåìïåðàòóð êîíå÷íîãî è íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèé ãàçà. Ñëåäîâàòåëüíî, òåïëîåìêîñòè â ïðîöåññàõ îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè
è ðàâíûìè, ñîîòâåòñòâåííî,
C1 =
5
2
R , C2 = 2 R .
Ïðè ýòîì, íåçàâèñèìî îò íà÷àëüíîãî
äàâëåíèÿ äëÿ èçîáàðû è îò íàêëîíà
ïðÿìîé â ïåðåõîäå ñ ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ äàâëåíèÿ îò
îáúåìà, ðàáîòû ïåðåõîäà ìåæäó äâóìÿ
èçîòåðìàìè îòëè÷àþòñÿ â 2 ðàçà, à
òåïëîåìêîñòè – â 5/4 ðàçà.
Çàäà÷à 2. Ñðàâíèòå ðàáîòû è êîëè÷åñòâà òåïëîòû, ïîäâåäåííûå ê 1
ìîëþ ãàçà, â ïðîöåññå 1 èçîòåðìè÷åñêîãî ðàñøèðåíèÿ ãàçà îò îáúåìà V1 äî
V2 è â ïðîöåññå 2 ïåðåõîäà ìåæäó
ýòèìè ñîñòîÿíèÿìè ñ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ äàâëåíèÿ îò îáúåìà (ðèñ.2).
Äëÿ ïðîöåññà 1 èìååì:
V2
V1
,
Q1 = A1 .
2
Äëÿ ïðîöåññà 2 ðàáîòà ðàâíà ïëîùàäè ñîîòâåòñòâóþùåé òðàïåöèè:
Ò
V V
2
1
R T2 − T1 ,
A1 = RT ln
Ò
Ðèñ. 1
∆U1 =
=
Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðàâèëüíîãî çíà÷åíèÿ ÊÏÄ íåîáõîäèìî ïîäñ÷èòàòü òåïëî, ïîäâåäåííîå íà âñåõ ó÷àñòêàõ ïðîöåññîâ, ñîñòàâëÿþùèõ öèêë. Òàê íàïðèìåð, â
èçîõîðè÷åñêèõ ïðîöåññàõ ðàáîòà ãàçîì íå ïðîèçâîäèòñÿ, îäíàêî òåïëî
ïîäâîäèòñÿ èëè îòâîäèòñÿ.  çàäà÷àõ
ìîãóò òàêæå âñòðå÷àòüñÿ âíåøíå ïðîñòûå ó÷àñòêè çàâèñèìîñòè ð(V), â õîäå
êîòîðûõ òåïëî êàê îòâîäèòñÿ, òàê è
ïîäâîäèòñÿ. Åñëè äëÿ òàêîãî ó÷àñòêà
íàéòè «èòîãîâîå» ïîäâåäåííîå èëè îòâåäåííîå òåïëî, òî ïðè ïîäñ÷åòå ÊÏÄ
ìîæåò âîçíèêíóòü îøèáêà. Îòìåòèì,
íàêîíåö, ÷òî òîëüêî äëÿ öèêëà Êàðíî,
ñîñòîÿùåãî èç äâóõ èçîòåðì ñ òåìïåðàòóðàìè íàãðåâàòåëÿ T1 è õîëîäèëüíèêà T2 , íà êîòîðûõ, ñîîòâåòñòâåííî,
ïîäâîäèòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q1 è
îòâîäèòñÿ Q2 , è äâóõ àäèàáàò, ÊÏÄ
ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå
Q − Q2
T − T2
η= 1
= 1
.
Q1
T1
p
p
?
p
p
A1 = R T2 − T1 ,
Íàïîìíèì òàêæå îïðåäåëåíèå ÊÏÄ
òåïëîâîé ìàøèíû, ðàáîòàþùåé ïî çàìêíóòîìó öèêëó, â ðåçóëüòàòû êîòîðîãî
âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà (ðàáî÷åãî
òåëà) íå èçìåíÿåòñÿ. Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ðàáîòà ãàçà â çàìêíóòîì öèêëå À ðàâíà ðàçíîñòè êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q1 , ïîäâåäåííîãî ê ãàçó,
è êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q2 , îòâåäåííîãî
îò íåãî. ÊÏÄ öèêëà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå
Q1 − Q2
öåññå 1 è â ïðîöåññå 2 ñ ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ äàâëåíèÿ
îò îáúåìà (ðèñ.1).
Äëÿ èçîáàðû 1 ìû èìååì:
V
A2 =
p1 + p2
2
?V − V D ,
2
1
V
V
V
Ðèñ. 2
èëè, åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèå V2 V1 =
= α è âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì èçîòåðìû p1V1 = p2V2 = RT,
A2 =
p1V2 − p2V1
2
= RT
2
α −1
2α
.
Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ â ïðîöåññå 2, êàê
è â ïðîöåññå 1, íå èçìåíèëàñü, ïîýòîìó
ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ìîæíî
óòâåðæäàòü, ÷òî ãàçó áûëî ïåðåäàíî
êîëè÷åñòâî òåïëîòû
Q2 = A2 .
Èòàê, äëÿ îáîèõ ïðîöåññîâ ðàáîòà
îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèåì êîíå÷íîãî è
íà÷àëüíîãî îáúåìîâ.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïðîöåññà 2 òåïëîåìêîñòü íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, áîëåå
òîãî – îíà ìåíÿåò çíàê â õîäå ïðîöåññà
îò ïîëîæèòåëüíîãî ê îòðèöàòåëüíîìó.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñíà÷àëà òåïëî ïîäâîäèòñÿ, à çàòåì îòâîäèòñÿ.
Çàäà÷à 3. Âåðøèíû çàìêíóòîãî
öèêëà, ñîñòîÿùåãî èç ÷åòûðåõ ó÷àñòêîâ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ
îò îáúåìà, ëåæàò íà äâóõ èçîòåðìàõ
ñ èçâåñòíûìè òåìïåðàòóðàìè T1 è T2
p
2
1
3
"
Ðèñ. 3
Ò
Ò
V
(ðèñ.3). Ïðÿìûå 1—2 è 3—4 ïðîõîäÿò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, îáúåìû
V2 è V4 ðàâíû. Íàéäèòå ðàáîòó îäíîãî ìîëÿ ãàçà â çàìêíóòîì öèêëå.
Ðàáîòû íà ó÷àñòêàõ 1—2 è 3—4
îäèíàêîâû ïî âåëè÷èíå (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷ó 1). Ïîýòîìó ðàáîòà â öèêëå ðàâíà
A = A23 − A41 .