Закон сохранения энергии для одноатомного идеального газа

ÈÊ
Ì
Ï Ð À ÏÊÐ ÒÀ ÊÈÒ Ê
ÓÓÌ
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè
äëÿ îäíîàòîìíîãî
èäåàëüíîãî ãàçà
À.ØÅÐÎÍÎÂ
Â
Î ÂÑÅÕ ÒÅÏËÎÂÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÀÕ
âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè, èëè ïåðâûé çàêîí (ïåðâîå
íà÷àëî) òåðìîäèíàìèêè, êîòîðûé óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå
Q = ∆U + A .
Çäåñü Q – ïîäâåäåííîå êîëè÷åñòâî
òåïëîòû, À – ñîâåðøåííàÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ðàáîòà è ∆U –
èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ñèñòåìû.
Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé
ñèñòåìû è äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà çàâèñèò
òîëüêî îò åãî òåìïåðàòóðû Ò. Äëÿ
îäíîãî ìîëÿ îäíîàòîìíîãî ãàçà îíà
ðàâíà U = 3/2 RT (ãäå R – óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ). Ëþáîå
(êàê áåñêîíå÷íî ìàëîå, òàê è êîíå÷íîå
ïî âåëè÷èíå) èçìåíåíèå âíóòðåííåé
ýíåðãèè îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü ðàçíîñòüþ
òåìïåðàòóð êîíå÷íîãî è íà÷àëüíîãî
ñîñòîÿíèé:
∆U =
3
2
R∆T
è íå çàâèñèò îò ñïîñîáà ïåðåõîäà èç
íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå. Ýòî
îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è â òîì ñëó÷àå, êîãäà ãàç ïåðåâîäèòñÿ èç íà÷àëüíîãî ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå â ðåçóëüòàòå íåðàâíîâåñíîãî íåîáðàòèìîãî
ïðîöåññà.
Íàïðîòèâ, ðàáîòà À, êîòîðàÿ ñîâåðøàåòñÿ ãàçîì çà ñ÷åò ïîäâåäåííîãî òåïëà èëè èçìåíåíèÿ åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè, çàâèñèò îò ïóòè ïåðåõîäà ìåæäó äâóìÿ ðàâíîâåñíûìè ñîñòîÿíèÿìè. Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ∆A â
ëþáîì îáðàòèìîì ïðîöåññå ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äàâëåíèÿ ð íà ìàëîå èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà
∆V â äâóõ ñîñåäíèõ ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèÿõ ýòîãî ïðîöåññà: ∆A = p∆V .
Ïðè êîíå÷íîì èçìåíåíèè îáúåìà îò
V1 äî V2 â îáðàòèìîì ïðîöåññå ðàáîòà ãàçà ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ïîä
êðèâîé çàâèñèìîñòè åãî äàâëåíèÿ îò
îáúåìà p V , îãðàíè÷åííîé èçîõîðàìè V1 è V2 , ò.å.
b g
zbg
V2
A=
p V dV .
V1
 çàäà÷àõ íà ðàñ÷åò òåïëîâûõ ïðîöåññîâ ñ èäåàëüíûì ãàçîì ïîëåçíûì
îêàçûâàåòñÿ ââåäåíèå ïîíÿòèÿ òåïëîåìêîñòè Ñ ãàçà â äàííîì ïðîöåññà:
ãäå ∆T – ìàëîå èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà ïðè ïîäâåäåíèè ê íåìó ìàëîãî
êîëè÷åñòâà òåïëîòû ∆Q . Çàìåòèì, ÷òî
ââåäåííàÿ òàêèì îáðàçîì òåïëîåìêîñòü
çàâèñèò îò âèäà ïðîöåññà p V è ìîæåò
ìåíÿòü ñâîþ âåëè÷èíó è äàæå çíàê â
õîäå ýòîãî ïðîöåññà.
Íàïîìíèì òåïåðü îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ïðîöåññîâ.
 èçîõîðè÷åñêîì ïðîöåññå íàãðåâà
èëè îõëàæäåíèÿ ãàçà ðàáîòà ãàçîì
(èëè âíåøíèìè ñèëàìè) íå ïðîèçâîäèòñÿ. Ïîýòîìó ïîäâåäåííîå (èëè îòâåäåííîå) êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q ðàâíî èçìåíåíèþ âíóòðåííåé ýíåðãèè
ãàçà: Q = ∆U = 3 2 R∆T (äëÿ îäíîãî
ìîëÿ ãàçà). Ýòî ñîîòíîøåíèå îêàçûâàåòñÿ âåðíûì äëÿ ëþáîãî èçìåíåíèÿ
òåìïåðàòóðû ãàçà – êàê ìàëîãî, òàê è
êîíå÷íîãî, ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùàÿ
èçîõîðè÷åñêîìó ïðîöåññó òåïëîåìêîñòü îêàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé è äëÿ
îäíîãî ìîëÿ ãàçà ðàâíîé 3/2 R. Îíà
íàçûâàåòñÿ ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòüþ
ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå è îáîçíà÷àåòñÿ CV . Òàêèì îáðàçîì,
b g
CV =
3
2
R,
à âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé
3
U = RT = CV T .
2
 àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå òåïëî ê
ãàçó íå ïîäâîäèòñÿ è íå îòâîäèòñÿ îò
íåãî. Ðàáîòà ãàçîì (èëè íàä íèì)
ñîâåðøàåòñÿ çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ åãî
âíóòðåííåé ýíåðãèè: À = – ∆U =
= − 3 2 R T2 − T1 , ãäå T2 è T1 – òåìïåðàòóðû â êîíå÷íîì è íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèÿõ. Ýòî îêàçûâàåòñÿ âåðíûì êàê
äëÿ ìàëîãî, òàê è äëÿ êîíå÷íîãî èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû ãàçà, ïîýòîìó â
àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå äëÿ ýëåìåíòàðíîé ðàáîòû èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
∆A = p∆V = −CV ∆T ,
c
h
ãäå ∆V è ∆T – ìàëûå, ïî ñðàâíåíèþ ñ
ïåðâîíà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè, èçìåíåíèÿ îáúåìà è òåìïåðàòóðû ãàçà. Òåïëîåìêîñòü â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå,
î÷åâèäíî, ðàâíà íóëþ ( ∆Q = C∆T =
= 0).
 èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå ïîäâîäà
èëè îòâîäà òåïëà âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ
ãàçà íå èçìåíÿåòñÿ. Ïðè ðàñøèðåíèè
îäíîãî ìîëÿ ãàçà îò îáúåìà V1 äî
îáúåìà V2 ãàç ñîâåðøàåò ðàáîòó, êîòîðóþ ìîæíî íàéòè, âîñïîëüçîâàâøèñü
óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ ãàçà pV = RT:
zbg z
V2
A=
∆Q = C∆T ,
49
V2
p V dV =
V1
V1
RT
V
dV = RT ln
V2
V1
.
Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ïîäâåäåííîå ê ãàç êîëè÷åñòâî òåïëîòû ðàâíî
ñîâåðøåííîé ãàçîì ðàáîòå:
Q = A.
Ïðè ðàñøèðåíèè ãàçà A > 0, ïðè
ñæàòèè A < 0 (ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ
âíåøíèìè ñèëàìè, òåïëî îò ãàçà îòâîäèòñÿ). Òàê êàê òåìïåðàòóðà ãàçà íå
èçìåíÿåòñÿ ( ∆T = 0), òåïëîåìêîñòü
ãàçà â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå îêàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé.
 èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå íàãðåâà ñ
ïîñòîÿííûì äàâëåíèåì ð = p0 ðàáîòà
îäíîãî ìîëÿ ãàçà ïðè ðàñøèðåíèè îò
îáúåìà V1 äî îáúåìà V2 ðàâíà
c
h c
h
A = p0 V2 − V1 = R T2 − T1 .
Ïîäâåäåííîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q
èäåò íà ñîâåðøåíèå ðàáîòû è íà óâåëè÷åíèå ∆U = CV T2 − T1 âíóòðåííåé
ýíåðãèè ãàçà. Äëÿ íàõîæäåíèÿ òåïëîåìêîñòè Cp â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå
âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ïðîöåññà
ð = p0 è óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ pV =
= RT:
∆Q = Cp ∆T = ∆U + p∆V =
c
h
c
h
= CV ∆T + R∆T = CV + R ∆T .
50
ÊÂÀÍT 2000/¹3
Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî òåïëîåìêîñòü
ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ïîñòîÿííà è
äëÿ îäíîãî ìîëÿ ãàçà ðàâíà
Cp = CV + R =
5
2
R.
η=
Q1
=
A
Q1
.
Ðàçáåðåì òåïåðü íåêîòîðûå êîíêðåòíûå çàäà÷è íà òåïëîâûå ïðîöåññû ñ
ó÷àñòèåì îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî
ãàçà.
Çàäà÷à 1. Ñðàâíèòå ðàáîòû, êîëè÷åñòâà òåïëîòû è òåïëîåìêîñòè 1
ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðè ïåðåõîäå
ìåæäó äâóìÿ èçîòåðìàìè ñ òåìïåðàòóðàìè T1 è T2 â èçîáàðè÷åñêîì ïðî-
p
1
D
3
2
?
D
Q1 = ∆U1 + A =
?
5
D
p
R T2 − T1 .
2
Äëÿ ïðîöåññà 2 (íà äèàãðàììå p–V
ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò) ðàáîòà ðàâíà ïëîùàäè çàøòðèõîâàííîé òðàïåöèè:
A=
p1 + p2
2
?V − V D =
2
1
p2V2 − p1V1
=
2
?T
2
R
2
D
− T1 .
Èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè â ýòîì
ïðîöåññå òàêîå æå, êàê â ïðåäûäóùåì:
∆U2 = ∆U1 =
>
C
3
R T2 − T1 ,
2
à êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîäâåäåííîå íà
ó÷àñòêå 2, ðàâíî
?
D
Q2 = A2 + ∆U2 = 2 R T2 − T1 .
Êàê âèäíî, â îáîèõ ïðîöåññàõ ðàáîòà è ïîäâåäåííîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû
îïðåäåëÿþòñÿ ëèøü ðàçíîñòüþ òåìïåðàòóð êîíå÷íîãî è íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèé ãàçà. Ñëåäîâàòåëüíî, òåïëîåìêîñòè â ïðîöåññàõ îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè
è ðàâíûìè, ñîîòâåòñòâåííî,
C1 =
5
2
R , C2 = 2 R .
Ïðè ýòîì, íåçàâèñèìî îò íà÷àëüíîãî
äàâëåíèÿ äëÿ èçîáàðû è îò íàêëîíà
ïðÿìîé â ïåðåõîäå ñ ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ äàâëåíèÿ îò
îáúåìà, ðàáîòû ïåðåõîäà ìåæäó äâóìÿ
èçîòåðìàìè îòëè÷àþòñÿ â 2 ðàçà, à
òåïëîåìêîñòè – â 5/4 ðàçà.
Çàäà÷à 2. Ñðàâíèòå ðàáîòû è êîëè÷åñòâà òåïëîòû, ïîäâåäåííûå ê 1
ìîëþ ãàçà, â ïðîöåññå 1 èçîòåðìè÷åñêîãî ðàñøèðåíèÿ ãàçà îò îáúåìà V1 äî
V2 è â ïðîöåññå 2 ïåðåõîäà ìåæäó
ýòèìè ñîñòîÿíèÿìè ñ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ äàâëåíèÿ îò îáúåìà (ðèñ.2).
Äëÿ ïðîöåññà 1 èìååì:
V2
V1
,
Q1 = A1 .
2
Äëÿ ïðîöåññà 2 ðàáîòà ðàâíà ïëîùàäè ñîîòâåòñòâóþùåé òðàïåöèè:
Ò
V V
2
1
R T2 − T1 ,
A1 = RT ln
Ò
Ðèñ. 1
∆U1 =
=
Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðàâèëüíîãî çíà÷åíèÿ ÊÏÄ íåîáõîäèìî ïîäñ÷èòàòü òåïëî, ïîäâåäåííîå íà âñåõ ó÷àñòêàõ ïðîöåññîâ, ñîñòàâëÿþùèõ öèêë. Òàê íàïðèìåð, â
èçîõîðè÷åñêèõ ïðîöåññàõ ðàáîòà ãàçîì íå ïðîèçâîäèòñÿ, îäíàêî òåïëî
ïîäâîäèòñÿ èëè îòâîäèòñÿ.  çàäà÷àõ
ìîãóò òàêæå âñòðå÷àòüñÿ âíåøíå ïðîñòûå ó÷àñòêè çàâèñèìîñòè ð(V), â õîäå
êîòîðûõ òåïëî êàê îòâîäèòñÿ, òàê è
ïîäâîäèòñÿ. Åñëè äëÿ òàêîãî ó÷àñòêà
íàéòè «èòîãîâîå» ïîäâåäåííîå èëè îòâåäåííîå òåïëî, òî ïðè ïîäñ÷åòå ÊÏÄ
ìîæåò âîçíèêíóòü îøèáêà. Îòìåòèì,
íàêîíåö, ÷òî òîëüêî äëÿ öèêëà Êàðíî,
ñîñòîÿùåãî èç äâóõ èçîòåðì ñ òåìïåðàòóðàìè íàãðåâàòåëÿ T1 è õîëîäèëüíèêà T2 , íà êîòîðûõ, ñîîòâåòñòâåííî,
ïîäâîäèòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q1 è
îòâîäèòñÿ Q2 , è äâóõ àäèàáàò, ÊÏÄ
ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå
Q − Q2
T − T2
η= 1
= 1
.
Q1
T1
p
p
?
p
p
A1 = R T2 − T1 ,
Íàïîìíèì òàêæå îïðåäåëåíèå ÊÏÄ
òåïëîâîé ìàøèíû, ðàáîòàþùåé ïî çàìêíóòîìó öèêëó, â ðåçóëüòàòû êîòîðîãî
âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà (ðàáî÷åãî
òåëà) íå èçìåíÿåòñÿ. Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ðàáîòà ãàçà â çàìêíóòîì öèêëå À ðàâíà ðàçíîñòè êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q1 , ïîäâåäåííîãî ê ãàçó,
è êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q2 , îòâåäåííîãî
îò íåãî. ÊÏÄ öèêëà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå
Q1 − Q2
öåññå 1 è â ïðîöåññå 2 ñ ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ äàâëåíèÿ
îò îáúåìà (ðèñ.1).
Äëÿ èçîáàðû 1 ìû èìååì:
V
A2 =
p1 + p2
2
?V − V D ,
2
1
V
V
V
Ðèñ. 2
èëè, åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèå V2 V1 =
= α è âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì èçîòåðìû p1V1 = p2V2 = RT,
A2 =
p1V2 − p2V1
2
= RT
2
α −1
2α
.
Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ â ïðîöåññå 2, êàê
è â ïðîöåññå 1, íå èçìåíèëàñü, ïîýòîìó
ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ìîæíî
óòâåðæäàòü, ÷òî ãàçó áûëî ïåðåäàíî
êîëè÷åñòâî òåïëîòû
Q2 = A2 .
Èòàê, äëÿ îáîèõ ïðîöåññîâ ðàáîòà
îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèåì êîíå÷íîãî è
íà÷àëüíîãî îáúåìîâ.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïðîöåññà 2 òåïëîåìêîñòü íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, áîëåå
òîãî – îíà ìåíÿåò çíàê â õîäå ïðîöåññà
îò ïîëîæèòåëüíîãî ê îòðèöàòåëüíîìó.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñíà÷àëà òåïëî ïîäâîäèòñÿ, à çàòåì îòâîäèòñÿ.
Çàäà÷à 3. Âåðøèíû çàìêíóòîãî
öèêëà, ñîñòîÿùåãî èç ÷åòûðåõ ó÷àñòêîâ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ
îò îáúåìà, ëåæàò íà äâóõ èçîòåðìàõ
ñ èçâåñòíûìè òåìïåðàòóðàìè T1 è T2
p
2
1
3
"
Ðèñ. 3
Ò
Ò
V
(ðèñ.3). Ïðÿìûå 1—2 è 3—4 ïðîõîäÿò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, îáúåìû
V2 è V4 ðàâíû. Íàéäèòå ðàáîòó îäíîãî ìîëÿ ãàçà â çàìêíóòîì öèêëå.
Ðàáîòû íà ó÷àñòêàõ 1—2 è 3—4
îäèíàêîâû ïî âåëè÷èíå (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷ó 1). Ïîýòîìó ðàáîòà â öèêëå ðàâíà
A = A23 − A41 .
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Ïðè ýòîì
A23 = RT2
= RT2
@V
3
@V
V2
3
E
2
−1
2 V3 V2
V4
E
2
−1
2V3 V4
F
=
= RT2
T2 T1 − 1
2 T2
T1
!
(ïî óñëîâèþ p3 V3 = p4 V4 , ñëåäîâà2
2
òåëüíî, T1 V4 = T2 V3 ) è, àíàëîãè÷íî,
T T −1
A41 = RT1 2 1
T1 .
2 T2
Îêîí÷àòåëüíî ðàáîòà â öèêëå 1—2—
3—4—1 ðàâíà
A=
?
R T2 − T1
2 T2 T1
D
2
.
Çàäà÷à 4. Ìîëü ãåëèÿ èç íà÷àëüíîãî
ñîñòîÿíèÿ ñ òåìïåðàòóðîé Ò = 300 Ê
ðàñøèðÿåòñÿ â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå òàê, ÷òî îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå åãî äàâëåíèÿ ñîñòàâèëî ∆p p =
= 1/120. Íàéäèòå ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ãàçîì, åñëè îòíîñèòåëüíûå èçìåíåíèÿ åãî òåìïåðàòóðû è îáúåìà îêàçàëèñü òàêæå ìàëûìè.
Ïî óñëîâèþ, èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà
ìàëî, ïîýòîìó äëÿ àäèàáàòè÷åñêîãî
ïðîöåññà ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ðàâíà
A = p∆V = − CV ∆T .
Èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ ∆p , îáúåìà ∆V è
òåìïåðàòóðû ∆T ñâÿçàíû óðàâíåíèåì
ñîñòîÿíèÿ
> p + ∆pC>V + ∆V C = R>T + ∆T C .
Ïðåíåáðåãàÿ ïðîèçâåäåíèåì ìàëûõ
âåëè÷èí ∆p∆V , íàõîäèì
p∆V + V∆p = R∆T .
Èñêëþ÷èì èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà
V∆p ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ:
∆p
pV
∆p = RT
V ∆p =
p
p
è âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì äëÿ ðàáîòû:
A + RT
∆p
=
R
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
CV ∆T = −
R
A.
CV
p
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
∆p
CV
= 12,5 Ä æ .
RT
A=
CV + R
p
CV
(×èòàòåëü, çíàêîìûé ñ óðàâíåíèåì
àäèàáàòû äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà, ðåçóëüòàò ìîæåò ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ýòîãî
óðàâíåíèÿ è óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ.)
Çàäà÷à 5. Îäèí ìîëü îäíîàòîìíîãî
ãàçà ðàñøèðÿåòñÿ â èçîòåðìè÷åñêîì
ïðîöåññå 1—2, ñîâåðøàÿ ðàáîòó A12 .
Çàòåì ãàç îõëàæäàåòñÿ â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå 2—3 è, íàêîíåö, â àäèà-
Ðèñ. 4
8
áàòè÷åñêîì ïðîöåññå 3—1 âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå (ðèñ.4).
Êàêóþ ðàáîòó ñîâåðøèë ãàç â çàìêíóòîì öèêëå, åñëè ðàçíîñòü ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóð â íåì
ñîñòàâèëà ∆T ?
Ìàêñèìàëüíàÿ è ìèíèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðû ãàçà â öèêëå äîñòèãàþòñÿ â
àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå, òàê ÷òî
∆T = T1 – T3 .  àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå òåïëî ê ãàçó íå ïîäâîäèòñÿ è íå
îòâîäèòñÿ îò íåãî, ïîýòîìó ðàáîòà â
öèêëå ðàâíà ðàçíîñòè ïîäâåäåííîãî
êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q12 è îòâåäåííîãî
Q23 .  èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå ïîäâåäåííîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ðàâíî
ñîâåðøåííîé ãàçîì ðàáîòå:
Q12 = A12 ,
â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå îòâåäåííîå
êîëè÷åñòâî òåïëîòû ñîñòàâëÿåò
?
D@
E ?
D
Q23 = CV + R T2 − T3 = CV + R ∆T .
Èòàê, ðàáîòà â öèêëå ðàâíà
?
D
5
R ∆T .
2
Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü,
ïîäñ÷èòàâ àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó ðàáîò ãàçà íà âñåõ òðåõ ó÷àñòêàõ öèêëà (â
÷åì ÷èòàòåëü ìîæåò óáåäèòüñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî).
Çàäà÷à 6. Ìîëü ãåëèÿ èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ 1 ñ òåìïåðàòóðîé Ò1 =
= 100 Ê, ðàñøèðÿÿñü ÷åðåç òóðáèíó â
ïóñòîé ñîñóä, ñîâåðøàåò íåêîòîðóþ
ðàáîòó è ïåðåõîäèò â ðàâíîâåñíîå
ñîñòîÿíèå 2. Ýòîò ïðîöåññ ïðîèñõîäèò áåç ïîäâîäà ëèáî îòâîäà òåïëà.
Çàòåì ãàç ñæèìàþò â ïðîöåññå 2—3
ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò
îáúåìà è, íàêîíåö, ïî èçîõîðå 3—1
âîçâðàùàþò â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå
A = A12 − CV + R ∆T = A12 –
F
!
Ðèñ. 5
8
51
(ðèñ.5). Íàéäèòå ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ãàçîì ïðè ðàñøèðåíèè ÷åðåç òóðáèíó â ïåðåõîäå 1—2, åñëè â ïðîöåññàõ 2—3 è 3—1 ê ãàçó â èòîãå áûëî
ïîäâåäåíî êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q =
= 72 Äæ. Èçâåñòíî, ÷òî T2 = T3 è
V2 V3 = 3.
Õîòÿ ïðîöåññ ðàñøèðåíèÿ 1—2 ÷åðåç òóðáèíó íåîáðàòèì, íî, åñëè íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñíû, ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ â ýòîì ïðîöåññå, ðàâíà èçìåíåíèþ âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà:
?
D
?
D
A12 = − CV T2 − T1 = CV T1 − T2 .
Íà ó÷àñòêå ñæàòèÿ 2—3 òåïëîåìêîñòü
íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, îäíàêî âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà íå èçìåíÿåòñÿ
( T2 = T3 ). Ïîýòîìó èòîãîâîå îòâåäåííîå íà ýòîì ó÷àñòêå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ÷èñëåííî ðàâíî ðàáîòå ñæàòèÿ:
2
V2 V3 − 1
Q23 = RT2
2 V2 V3
@
E
(ñì., íàïðèìåð, çàäà÷ó 2). ×òîáû óïðîñòèòü äàëüíåéøèå âûêëàäêè, ïîäñòàâèì îòíîøåíèå îáúåìîâ V2 V3 = 3:
Q23 =
4
3
RT2 .
Íà ó÷àñòêå èçîõîðè÷åñêîãî íàãðåâà
3—1 ê ãàçó ïîäâîäèòñÿ êîëè÷åñòâî
òåïëîòû
@
?
E
D
Q31 = CV T1 − T3 = CV T1 − T2 .
Ïî óñëîâèþ,
Q = Q31 − Q23 =
3
2
?
D
R T1 − T2 −
4
3
RT2 ,
îòêóäà íàõîäèì
RT2 =
9
17
RT1 −
6
17
Q.
Îêîí÷àòåëüíî äëÿ ðàáîòû ðàñøèðåíèÿ ÷åðåç òóðáèíó èìååì
3
A12 = R T1 − T2 =
2
12
9
RT1 +
Q ≈ 625 Ä æ .
=
17
17
?
D
Çàäà÷à 7. Íàéäèòå ÊÏÄ öèêëà 1—
2—3—1, ïðîâåäåííîãî ñ îäíèì ìîëåì
îäíîàòîìíîãî ãàçà è ñîñòîÿùåãî èç
ó÷àñòêà ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò îáúåìà (ïðÿìàÿ 1—2 ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò äèàãðàììû p–V), èçîõîðû 2—3 è èçîáàðû
3—1 (ðèñ.6). Èçâåñòíî, ÷òî p2 =
= 2 p1 = 2 p0 , V3 = V2 = 2V1 = 2V0 .
Òåïëî ïîäâîäèòñÿ íà ó÷àñòêå 1—2,
ãäå òåïëîåìêîñòü ïîñòîÿííà è ðàâíà
2R (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷ó 1):
?
D
Q1 = Q12 = 2 R T2 − T1 = 6 p0V0 .
52
ÊÂÀÍT 2000/¹3
F
Òåïëî â öèêëå ïîäâîäèòñÿ íà èçîòåðìå:
Q1 = Q12 = A12 ,
F
à îòâîäèòñÿ íà èçîõîðå:
F
8
8
Ðèñ. 6
@
8
Òåïëî îòâîäèòñÿ íà èçîõîðå 2—3:
>
C
Q23 = CV T2 − T3 = 3 p0V0
è íà èçîáàðå 3—1:
?
D@
E
5
Q31 = CV + R T3 − T1 =
2
p0V0 .
Ñóììàðíîå îòâåäåííîå òåïëî ðàâíî
Q2 = Q23 + Q31 =
11
2
p0V0 ,
ðàáîòà â öèêëå ñîñòàâëÿåò
A = Q1 − Q2 =
1
2
p0V0
(ýòîò ðåçóëüòàò î÷åâèäåí, òàê êàê ðàáîòà â öèêëå – ýòî ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà 1 2 3 ñ êàòåòàìè p0 è V0 ), à ÊÏÄ öèêëà ðàâåí
η=
Q1 − Q2
Q1
=
A
Q1
=
1
12
.
Îòìåòèì, ÷òî ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è (è äðóãèõ ïîäîáíûõ) àáèòóðèåíòû ÷àñòî ïðèâîäÿò «î÷åâèäíûé» îòâåò
η = 1/3. Òðàêòóåòñÿ ýòî êàê îòíîøåíèå «ïîëåçíîé» ðàáîòû â öèêëå À =
= p0V0 2 ê «çàòðà÷åííîé» íà ó÷àñòêå
1—2 ðàáîòå A12 = 3 2 p0V0 . Ïðè òàêîì
«ðåøåíèè», î÷åâèäíî, íåâåðíî ïîäñ÷èòàíî ïîäâåäåííîå â öèêëå òåïëî Q1 .
Çàäà÷à 8.  çàìêíóòîì öèêëå, ñîñòîÿùåì èç èçîòåðìû 1—2, èçîõîðû
2—3 è àäèàáàòû 3—1 (ðèñ.7), ÊÏÄ
ðàâåí η , à ðàçíîñòü ìàêñèìàëüíîé è
ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóð ðàâíà ∆T .
Íàéäèòå ðàáîòó ðàñøèðåíèÿ â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå, åñëè ðàáî÷åå
òåëî – ìîëü ãåëèÿ.
F
!
Ðèñ. 7
E
Q2 = Q23 = CV T2 − T3 = CV ∆T .
!
8
ÊÏÄ öèêëà ðàâåí
Q − Q2
C ∆T
η= 1
=1− V
,
Q1
A12
îòêóäà
3 2 R∆T
A12 =
.
1− η
Çàìåòèì, ÷òî ýòî îäèí èç íåìíîãèõ
ïðèìåðîâ, êîãäà ÊÏÄ ðàâåí îòíîøåíèþ ðàáîòû â öèêëå (ïîëåçíîé ðàáîòû,
ðàâíîé ïëîùàäè ôèãóðû âíóòðè êðèâûõ, îáðàçóþùèõ öèêë) ê ðàáîòå íà
èçîòåðìå (çàòðà÷åííîé ðàáîòå, ðàâíîé
ïëîùàäè ïîä êðèâîé èçîòåðìè÷åñêîãî
ïðîöåññà). ×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ
ñàìîñòîÿòåëüíî ïîíÿòü, ïî÷åìó ïðè
íåïðàâèëüíîì îïðåäåëåíèè ÊÏÄ ïîëó÷àåòñÿ ïðàâèëüíûé ðåçóëüòàò, à òàêæå ïðèäóìàòü õîòÿ áû åùå îäèí öèêë,
îáëàäàþùèé òàêèì æå ñâîéñòâîì.
Çàäà÷à 9. ÊÏÄ öèêëà 1—2—3—1
(ðèñ.8), ãäå 1—2 – èçîõîðà, 2—3 –
èçîáàðà è 3—1 – ó÷àñòîê ëèíåéíîé
çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò îáúåìà (íà
äèàãðàììå p–V – ýòî ïðÿìàÿ ñ ïðîèçâîëüíûì ïîëîæèòåëüíûì íàêëîíîì),
ðàâåí η1 . Íàéäèòå ÊÏÄ öèêëà 1—3—
4—1, â êîòîðîì 3—4 – èçîõîðà, 4—1
F
!
Ðèñ. 8
"
8
– èçîáàðà. Ðàáî÷åå òåëî â îáîèõ ñëó÷àÿõ – ìîëü ãåëèÿ.
 öèêëå 1—2—3—1 òåïëî Q2 îòâîäèòñÿ íà ó÷àñòêå 3—1. Õîòÿ òåïëîåìêîñòü â ýòîì ïðîöåññå è íå îñòàåòñÿ
ïîñòîÿííîé, íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
îíà íå ìåíÿåò çíàêà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òåìïåðàòóðà â ýòîì ïðîöåññå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé ôóíêöèåé îáúåìà.
Ïîýòîìó äëÿ öèêëà 1—2—3—1 òåïëî
íà ó÷àñòêå 3—1 òîëüêî îòâîäèòñÿ, à,
ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ öèêëà 1—3—4—1
– òîëüêî ïîäâîäèòñÿ. Ðàáîòà â ðàññìàòðèâàåìûõ öèêëàõ îäíà è òà æå.
Îáîçíà÷èâ åå ÷åðåç À, äëÿ ïåðâîãî
öèêëà èìååì
A
A
η1 =
=
,
Q1
A + Q2
ãäå Q1 – êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîäâåäåííîå íà èçîõîðå 1—2 è íà èçîáàðå
2—3. Àíàëîãè÷íî, äëÿ âòîðîãî öèêëà
òåïëî ïîäâîäèòñÿ íà ó÷àñòêå 1—3 â
êîëè÷åñòâå Q2 , ïîýòîìó
η1
A
η2 =
=
Q2 1 − η1 .
Óïðàæíåíèÿ
1. Ìîëü ãåëèÿ ðàñøèðÿåòñÿ â ïðîöåññå
p2V = const òàê, ÷òî èçìåíåíèå åãî òåìïåðàòóðû ðàâíî ∆T = 0,3 Ê. Êàêóþ
ðàáîòó ñîâåðøèë ãàç, åñëè èçâåñòíî, ÷òî
îòíîñèòåëüíûå èçìåíåíèÿ åãî äàâëåíèÿ
∆p p , îáúåìà ∆V V è òåìïåðàòóðû ∆T T
îêàçàëèñü ìàëûìè.
2. Ìîëü ãåëèÿ ñîâåðøàåò ðàáîòó À â
çàìêíóòîì öèêëå, ñîñòîÿùåì èç èçîáàðû
1—2, èçîõîðû 2—3 è àäèàáàòû 3—1
(ðèñ.9). Ñêîëüêî òåïëà áûëî ïîäâåäåíî
ê ãàçó â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå, åñëè
F
!
8
Ðèñ. 9
ðàçíîñòü ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé
òåìïåðàòóð ãàçà â öèêëå ñîñòàâèëà ∆T ?
3. Ìîëü ãåëèÿ èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ 1 ñ òåìïåðàòóðîé T1 = 100 Ê, ðàñøèðÿÿñü ÷åðåç òóðáèíó â ïóñòîé ñîñóä,
ñîâåðøàåò íåêîòîðóþ ðàáîòó è ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå 2. Ýòîò ïåðåõîä ïðîèñõîäèò áåç ïîäâîäà èëè îòâîäà òåïëà. Çàòåì
ãàç ñæèìàþò â äâóõ ïðîöåññàõ, âîçâðàùàÿ åãî â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå. Ñíà÷àëà
ñæàòèå ïðîèñõîäèò â ïðîöåññå 2—3 ñ
ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ äàâëåíèÿ îò îáúåìà, à çàòåì – â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå
3—1 (ðèñ.10). Íàéäèòå ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ãàçîì ïðè ðàñøèðåíèè ÷åðåç
F
!
Ðèñ. 10
8
òóðáèíó â ïåðåõîäå 1—2, åñëè â ïðîöåññå
ñæàòèÿ 2—3—1 íàä ãàçîì áûëà ñîâåðøåíà ðàáîòà À = 1090 Äæ. Èçâåñòíî, ÷òî
T2 = T3 , V2 V3 = 2.
4.  öèêëå 1—3—4—1 (ñì. ðèñ.8)
ÊÏÄ ðàâåí η . ×åìó ðàâåí ÊÏÄ öèêëà
1—2—3—4—1?