Минималистские задачи

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Ìèíèìàëèñòñêèå
çàäà÷è
Ñ.ÁÅËßÅÂ
Äàíî – íè÷åãî, íàéòè – âñå, âñåì, ÷åì ìîæíî, –
ïðåíåáðå÷ü.
Îáîáùåííàÿ ôîðìóëèðîâêà
êà÷åñòâåííîé çàäà÷è ïî ôèçèêå
Ê
À×ÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÇÀÄÀ×È Â ÔÈÇÈÊÅ ÄÀÂÍÎ È ÂÏÎËÍÅ
çàñëóæåííî ïîëüçóþòñÿ ïîïóëÿðíîñòüþ. Èìåííî îíè
äàþò ìîùíûé ýìîöèîíàëüíûé çàðÿä – ïî÷òè èç íè÷åãî, èç
ìèíèìàëüíîãî íàáîðà íà÷àëüíûõ äàííûõ (à ïîðîé è âîîáùå
áåç íèõ) ïîëó÷àþòñÿ ãëóáîêèå è ïîä÷àñ íåî÷åâèäíûå âûâîäû. Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
Çàäà÷à 1. Íà êðàé àáñîëþòíî ãëàäêîãî è àáñîëþòíî
ïëîñêîãî ñòîëà ïîëîæèëè àáñîëþòíî ãëàäêèé øàðèê. Òðåíèÿ íåò, ñîïðîòèâëåíèÿ
âîçäóõà íåò. Îïðåäåëèòå,
áóäåò ëè äâèãàòüñÿ øàðèê,
è åñëè äà, òî êàê.
Ðåøåíèå. Ñòàíäàðòíûé
ðèñóíîê çàñòàâëÿåò ñäåëàòü
âûâîä, ÷òî ñèëà òÿæåñòè
êîìïåíñèðóåòñÿ ñèëîé ðåàêöèè îïîðû è ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ðàâíà íóëþ, ò.å.
øàðèê áóäåò îñòàâàòüñÿ â
ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ. Îäíàêî, åñëè ñäåëàòü ðèñóíîê,
íà êîòîðîì ðàçìåðû ñòîëà
ñîèçìåðèìû ñ ðàçìåðàìè
Çåìëè (ðèñ.1), òî ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíî, ÷òî â íàøåé
Ðèñ. 1
ñèòóàöèè ðàâíîäåéñòâóþùàÿ íå ðàâíà íóëþ. Òàêèì
îáðàçîì, íà øàðèê äåéñòâóåò ñèëà, êîòîðàÿ èìååò ñîñòàâëÿþùóþ, íàïðàâëåííóþ ê öåíòðó ñòîëà. Ïîä äåéñòâèåì ýòîé
ñèëû øàðèê íà÷íåò êîëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ ñ àìïëèòóäîé,
ðàâíîé ïîëîâèíå øèðèíû ñòîëà.
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â çàäà÷å èäåò ðå÷ü îá èäåàëüíûõ óñëîâèÿõ:
òðåíèÿ íåò è Çåìëÿ àáñîëþòíî êðóãëàÿ è îäíîðîäíàÿ. Ðåàëüíî
æå ýòîò ýôôåêò íå ìîæåò íàáëþäàòüñÿ èìåííî ïîòîìó, ÷òî èççà ìàëûõ ðàçìåðîâ ñòîëà ïî ñðàâíåíèþ ñ çåìíûì øàðîì ñèëà
òÿæåñòè îáðàçóåò òàêîé ìàëûé óãîë ñ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê
ïîâåðõíîñòè ñòîëà, ÷òî ìû ïðîñòî íå ñìîæåì óìåíüøèòü
òðåíèå íàñòîëüêî, ÷òîáû øàðèê ïîêàòèëñÿ.
Ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî êîëè÷åñòâî ïîäðîáíîñòåé, êàê âñåãäà,
íåèñ÷åðïàåìî. Åñëè óæ ó÷èòûâàòü ðàçìåð Çåìëè ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðîì ñòîëà, òî íóæíî åùå ó÷èòûâàòü íåîäíîðîäíîñòü ïîëÿ ñèëû òÿæåñòè, íåðîâíîñòè ïîâåðõíîñòè Çåìëè,
ïðèëèâû è îòëèâû (îíè òîæå ìåíÿþò ìåñòîïîëîæåíèå öåíòðà
òÿæåñòè Çåìëè, à çíà÷èò, è íàïðàâëåíèå óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ). Îäíàêî êà÷åñòâåííûå çàäà÷è äëÿ òîãî è
äàþòñÿ, ÷òîáû íàó÷èòüñÿ àáñòðàãèðîâàòüñÿ îò íåñóùåñòâåííûõ ïîäðîáíîñòåé è âèäåòü òå îñíîâíûå çàêîíû è ÿâëåíèÿ,
êîòîðûå ðàáîòàþò â äàííîé çàäà÷å. Ýòà çàäà÷à ïîêàçûâàåò,
ñêîëü äàëåêè èäåàëüíûå óñëîâèÿ, ðàññìàòðèâàåìûå â áîëüøèíñòâå çàäà÷, îò óñëîâèé ðåàëüíî íàáëþäàåìûõ.
Çàäà÷à 2. Êàê èçâåñòíî, ëåòîì æåëåçíîäîðîæíûé ðåëüñ
íåìíîãî äëèííåå, ÷åì çèìîé, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì
òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ ìåòàëëà. Èìåííî ïîýòîìó ìåæäó
ðåëüñàìè îñòàâëÿþò íåáîëüøîé çàçîð. Îäíàêî ïðåäñòàâèì, ÷òî äâà ðåëüñà äëèíîé ïî 1 êì ïðèñòàâëåíû â ñòûê
è çàêðåïëåíû òîëüêî ïî êðàÿì. Ïóñòü ëåòîì äëèíà êàæäîãî
ðåëüñà óâåëè÷èëàñü íà 1 ì è â ñåðåäèíå ðåëüñû âñòàëè
«äîìèêîì», îáðàçóÿ ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê (îñíîâàíèå 2 êì, áîêîâàÿ ñòîðîíà 1 êì è 1 ì). Îöåíèòå, êàêîâà
âûñîòà ýòîãî ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà.
Ðåøåíèå. Îáû÷íî íà ýòîò âîïðîñ äàåòñÿ ñèëüíî çàíèæåííûé îòâåò «íà ãëàç». Ïðÿìîé ïîäñ÷åò ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà
äàåò ñîâåðøåííî ôàíòàñòè÷åñêèé îòâåò:
10012 − 10002 =
= 2001 ≈ 44,7 ìåòðà!
***
 øêîëüíîé ãåîìåòðèè òîæå åñòü ðÿä çàäà÷, îòëè÷àþùèõñÿ
ìèíèìàëüíûì êîëè÷åñòâîì äàííûõ, â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ
íàéòè òî, ÷òî íà ïåðâûé âçãëÿä è íàéòè-òî íåâîçìîæíî.
Èìåííî ýòî ðîäíèò òàêèå çàäà÷è ñ êà÷åñòâåííûìè çàäà÷àìè
ïî ôèçèêå. Âíèìàíèþ ÷èòàòåëÿ ïðåäëàãàåòñÿ êîëëåêöèÿ
çàäà÷ ñ ìèíèìàëüíûìè óñëîâèÿìè, èç êîòîðûõ ìîæíî íàéòè
äîâîëüíî ìíîãî. È ÷åì ìåíüøå äàíî â óñëîâèè è ÷åì áîëüøå
ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå, òåì êðàñèâåå è èçÿùíåå çàäà÷à.
ßñíî, ÷òî ðåøåíèå òàêèõ çàäà÷ âñåãäà áóäåò ñâÿçàíî ëèáî ñî
çíàíèåì íåêîòîðûõ çàìå÷àòåëüíûõ ôàêòîâ, ëèáî ñ èçîáðåòàòåëüíîñòüþ ðåøàþùåãî.
Çàäà÷à 3. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî çåìíîé øàð ïëîòíî
îáòÿíóò ïî ýêâàòîðó âåðåâêîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëèíó
ýòîé âåðåâêè óâåëè÷èëè íà 1 ìåòð è ðàñïîëîæèëè òàê, ÷òî
îíà âñþäó îäèíàêîâî îòñòîèò îò Çåìëè. Ìîæåò ëè â
îáðàçîâàâøèéñÿ çàçîð ïðîëåçòü ìûøü?
Ðåøåíèå. Ýòî – õîðîøî èçâåñòíàÿ çàäà÷à ñ ñîâåðøåííî
îøåëîìëÿþùèì îòâåòîì. Ïðè÷åì îòâåò íàñòîëüíî íåîæèäàí,
÷òî, äàæå êîãäà åãî óæå çíàåøü, – íå âåðèøü.
Ïîäñ÷åò íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäíîñòåé: ïóñòü R – ðàäèóñ
Çåìëè, òîãäà íà÷àëüíàÿ äëèíà âåðåâêè 2πR . Ðàäèóñ R0
îêðóæíîñòè, äëèíà êîòîðîé íà 1 ìåòð áîëüøå, íàõîäèòñÿ èç
óðàâíåíèÿ 2πR0 = 2πR + 1 , ò.å. R0 = R + 1 (2π ) . Îòêóäà âåëè÷èíà âîçíèêàþùåãî çàçîðà ðàâíà R0 − R = 1 (2π ) ≈ 16 ñì.
Òàê ÷òî â òàêóþ ùåëü âïîëíå ìîæåò ïðîñêî÷èòü ìûøü.
Îäíàêî âàæíî íå ýòî – óäèâèòåëüíî, ÷òî îòâåò íå çàâèñèò îò
ðàäèóñà Çåìëè! Äðóãèìè ñëîâàìè, òîò æå ðåçóëüòàò ïîëó÷èòñÿ íà Ëóíå, íà Ìàðñå è, âî ÷òî óæå ñîâñåì ïîâåðèòü
íåâîçìîæíî, íà ôóòáîëüíîì ìÿ÷å. Èç ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà âûòåêàåò, ÷òî åñëè ôóòáîëüíûé ìÿ÷ îáòÿíóòü âåðåâêîé ïî
ýêâàòîðó è çàòåì óâåëè÷èòü åå äëèíó íà 1 ìåòð, òî çàçîð,
áóäó÷è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûì ïî ýêâàòîðó, áóäåò
òî÷íî òàêîé æå – 16 ñì!
Çàäà÷à 4. Ê äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ îêðóæíîñòÿì ïðîâåäåíà îáùàÿ êàñàòåëüíàÿ. ×åðåç òî÷êè êàñàíèÿ è òî÷êó
ïåðåñå÷åíèÿ ïðîâåäåíà
îêðóæíîñòü. Íàéäèòå
åå ðàäèóñ, åñëè ðàäèóñû èñõîäíûõ îêðóæíîñòåé ðàâíû R è r.
Ðåøåíèå. Ïóñòü AB
– îáùàÿ êàñàòåëüíàÿ ê
ïåðåñåêàþùèìñÿ â òî÷êàõ M è N îêðóæíîñòÿì ñ öåíòðàìè O1 è
O2 (ðèñ.2). Óäèâèòåëüíî, ÷òî îòâåò íå
çàâèñèò îò òîãî, áóäåì
Ðèñ. 2
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
ìû ðàññìàòðèâàòü òðåóãîëüíèê ABM èëè òðåóãîëüíèê ABN
– ðàäèóñû èõ îïèñàííûõ îêðóæíîñòåé ðàâíû!
Ïóñòü –O1 AN = α , –O2 BN = β , ρ – ðàäèóñ îêðóæíîñòè,
îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ABN. Òîãäà AN = 2R cos α ,
BN = 2r cos β . Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ äëÿ òðåóãîëüíèêà ABN
AN
BN
èìååì ρ =
, à òàêæå ρ =
. Òàê êàê â òðå2 sin –B
2 sin –A
óãîëüíèêå ABN –A = 90 - α , –B = 90 - β , òî
2r cos β
cos β
2R cos α
cos α
=r
ρ=
=R
è ρ=
, îòêóäà
2 cos α
cos α
2 cos β
cos β
ρ2 = Rr , èëè ρ = Rr .
Áîëåå òîãî, ñîâñåì óæ íåïðàâäîïîäîáíî, ÷òî îòâåò íå áóäåò
çàâèñåòü îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó öåíòðàìè îêðóæíîñòåé, ÷òî è
äåëàåò ýòó çàäà÷ó ìèíèìàëèñòñêîé.
Çàäà÷à 5.  òðåóãîëüíèêè ABC è CDA (òî÷êè B è D
ðàñïîëîæåíû ïî îäíó ñòîðîíó îò CA) âïèñàíû îêðóæíîñòè. Íàéäèòå äëèíó îáùåé âíåøíåé êàñàòåëüíîé ê ýòèì
îêðóæíîñòÿì, åñëè:
à) AB = 5, BC = 7, CD = DA; á) AB = 7, BC = CD, DA = 9.
Ðåøåíèå. à) Êàê èçâåñòíî, ñóùåñòâóåò ôîðìóëà äëÿ
âû÷èñëåíèÿ äëèíû d îáùåé âíåøíåé êàñàòåëüíîé ê
äâóì îêðóæíîñòÿì ðàäèóñîâ R è r, ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè êîòîðûõ ðàâíî a:
2
d = a2 − ( R − r ) . Îäíàêî ÿñíî, ÷òî â çàäà÷å
äàíî ñòîëü ìàëî, ÷òî íå
ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì íàéòè âñå ýòè âåëè÷èíû. Òåì íå ìåíåå, èñêîìóþ äëèíó íàéòè âñå
æå ìîæíî. Äëÿ ýòîãî
ïîíàäîáèòñÿ ëèøü ñëåäóþùèé ôàêò: åñëè p –
ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüÐèñ. 3
íèêà ABC è BC = a, òî
äëèíà êàñàòåëüíîé èç âåðøèíû A ê âïèñàííîé îêðóæíîñòè
ðàâíà p – a.
Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå ýòî.
Ïóñòü p1 è p2 – ïîëóïåðèìåòðû òðåóãîëüíèêîâ ABC è
ACD ñîîòâåòñòâåííî, òîãäà (ðèñ.3)
PQ = AP − AQ = ( p2 − CD ) − ( p1 − BC ) =
=
1
( AC + AD − CD ) − ( AC + AB − BC ) = 1 BC − AB = 1 .
2
2
á) Ýòîò ïóíêò ðåøàåòñÿ àíàëîãè÷íî:
PQ = AP − AQ = ( p2 − CD ) − ( p1 − BC ) =
1
( AC + AD − CD ) − ( AC + AB − BC ) = 1 AD − AB = 1 .
2
2
Çàäà÷à 6. Òî÷êè A, B è C ðàñïîëîæåíû íà îäíîé ïðÿìîé.
×åðåç òî÷êó B ïðîõîäèò íåêîòîðàÿ ïðÿìàÿ. Ïóñòü M –
ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà
ýòîé ïðÿìîé. Íàéäèòå
ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè îêðóæíîñòåé,
îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ MAB è MBC,
åñëè AC = a, ∠MBC = α .
Ðåøåíèå. Öåíòðû D è
E äàííûõ îêðóæíîñòåé
ïðîåêòèðóþòñÿ â ñåðåäèíû îòðåçêîâ AB è BC
Ðèñ. 4
=
ÊÐÓÆÎÊ
(ðèñ.4). Ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïðîåêöèÿìè ðàâíî AC/2 =
= a/2. Óãëû EDF è MBC ðàâíû êàê óãëû ñî âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè. Èç òðåóãîëüíèêà DEF
èìååì
a
.
DE =
2 sin α
Çàäà÷à 7. Íà ãèïîòåíóçå ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âî
âíåøíþþ ñòîðîíó ïîñòðîåí êâàäðàò è ïðîâåäåí îòðåçîê,
ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó ïðÿìîãî óãëà ñ öåíòðîì êâàäðàòà.
Íàéäèòå óãëû ìåæäó ýòèì îòðåçêîì è êàòåòàìè. Íàéäèòå
òàêæå äëèíó ýòîãî îòðåçêà, åñëè ñóììà êàòåòîâ ðàâíà d.
Ðåøåíèå. Ýòà çàäà÷à – ïðåêðàñíàÿ èëëþñòðàöèÿ ìåòîäà
âñïîìîãàòåëüíîé îêðóæíîñòè. Â ñàìîì äåëå, òàê êàê óãëû
ACB è AFB – ïðÿìûå (F – öåíòð êâàäðàòà; ðèñ. 5,à), òî îíè
îïèðàþòñÿ íà äèàìåòð AB îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî
òðåóãîëüíèêà ABC. Íî òîãäà ∠BCF = ∠BAF = 45° êàê îïèðàþùèåñÿ íà îäíó è òó æå äóãó.
Ðèñ. 5
Äëèíó îòðåçêà CF ëåãêî íàéòè, åñëè çàìåòèòü, ÷òî äàííûå
òðåóãîëüíèê è êâàäðàò ïîðîæäàþò êâàäðàò, ñòîðîíû êîòîðîãî ñîäåðæàò âåðøèíû äàííîãî êâàäðàòà, ïðè÷åì öåíòðû
îáîèõ êâàäðàòîâ ñîâïàäàþò (ðèñ. 5,á). Ñëåäîâàòåëüíî, óäâîåííàÿ äëèíà îòðåçêà CF ðàâíà äèàãîíàëè áîëüøîãî êâàäðàòà, ñòîðîíà êîòîðîãî ðàâíà ñóììå êàòåòîâ èñõîäíîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Îêîí÷àòåëüíî,
1
d
CF = d 2 =
.
2
2
Çàäà÷à 8. Íà ïëîñêîñòè ïðîâåäåíû ïðÿìàÿ è îêðóæíîñòü
ñ öåíòðîì íà ýòîé ïðÿìîé. Òîëüêî ñ ïîìîùüþ îäíîé ëèíåéêè
îïóñòèòå ïåðïåíäèêóëÿð ê äàííîé ïðÿìîé èç òî÷êè, íå
ëåæàùåé íà äàííîé îêðóæíîñòè è äàííîé ïðÿìîé.
Ðåøåíèå. Ïîñòðîåíèå. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñóùåñòâóåò
òðè ñïîñîáà ðàñïîëîæèòü òî÷êó D, èç êîòîðîé áóäåò îïóùåí
ïåðïåíäèêóëÿð ê ïðÿìîé AB (AB – äèàìåòð äàííîé îêðóæíîñòè; ðèñ.6), âñå ïîñòðîåíèÿ àíàëîãè÷íû. Ýòè ñëó÷àè
òàêîâû: òðåóãîëüíèê ABD îñòðîóãîëüíûé, òî÷êà D ëåæèò
âíå êðóãà, îãðàíè÷åííîãî äàííîé îêðóæíîñòüþ; òðåóãîëüíèê
ABD òóïîóãîëüíûé, òî÷êà D ëåæèò âíå êðóãà; òî÷êà D ëåæèò
âíóòðè êðóãà. Îïèøåì âñå ïîñòðîåíèÿ ñðàçó (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñòðîåíèÿ ïîêàçàíà íà âñåõ ðèñóíêàõ öèôðàìè).
1. Ñòðîèì òî÷êó E – òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé AD
ñ îêðóæíîñòüþ.
2. Ñòðîèì òî÷êó F – òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé BD
ñ îêðóæíîñòüþ.
3. Ñòðîèì ïðÿìóþ AF.
4. Ñòðîèì ïðÿìóþ BE. Ïóñòü H – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ
ïðÿìûõ AF è BE.
5. Ñòðîèì ïðÿìóþ DH – îíà è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óãëû AEB è AFB – ïðÿìûå, òàê êàê
îïèðàþòñÿ íà äèàìåòð AB, ñëåäîâàòåëüíî, H – îðòîöåíòð
Ðèñ. 6
òðåóãîëüíèêà ABD. Çíà÷èò, ïðÿìàÿ DH – âûñîòà ýòîãî
òðåóãîëüíèêà, ò.å. DH ⊥ AB .
Çàäà÷à 9. Ïóñòü R è r – ðàäèóñû îïèñàííîé è âïèñàííîé
îêðóæíîñòåé íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà. Äîêàæèòå, ÷òî
R ≥ 2r . Íàéäèòå àíàëîãè÷íîå íåðàâåíñòâî â ñòåðåîìåòðèè.
Ðåøåíèå. Ýòà çàäà÷à ëåãêî ðåøàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì
ôîðìóëû Ýéëåðà äëÿ ðàññòîÿíèÿ d ìåæäó öåíòðàìè âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé (ðàäèóñû êîòîðûõ ðàâíû r
è R ñîîòâåòñòâåííî): d2 = R2 − 2Rr = R ( R − 2r ) . Îòêóäà
íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî. Îäíàêî åãî
ìîæíî ïîëó÷èòü è áåç ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû Ýéëåðà.
 ñàìîì äåëå, èç âñåõ îêðóæíîñòåé, ïåðåñåêàþùèõ âñå
ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, íàèìåíüøèé ðàäèóñ èìååò âïèñàííàÿ
îêðóæíîñòü. Èçâåñòíî, ÷òî ðàäèóñ îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç ñåðåäèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà (îêðóæíîñòü 9 òî÷åê),
ðàâåí R/2. Çíà÷èò, R/2 ≥ r , ò.å. R ≥ 2r , ÷òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
Àíàëîãîì ôîðìóëû Ýéëåðà â ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà Äþðàíäà: d2 = ( R − r )( R − 3r ) , ãäå d – ðàññòîÿíèå
ìåæäó öåíòðàìè âïèñàííîé è îïèñàííîé ñôåð (ðàäèóñû
êîòîðûõ ðàâíû r è R) ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû.
Èç íåå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî R ≥ 3r . Îäíàêî ìîæíî
íå ïîëüçîâàòüñÿ ñòîëü ýêçîòè÷åñêîé ôîðìóëîé è ïðåäëîæèòü
äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà R ≥ 3r íå òîëüêî äëÿ ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, íî è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òåòðàýäðà.
 ñàìîì äåëå, èç âñåõ ñôåð, ïåðåñåêàþùèõ âñå ãðàíè
òåòðàýäðà, íàèìåíüøèé ðàäèóñ èìååò âïèñàííàÿ ñôåðà. Èçâåñòíî, ÷òî ðàäèóñ ñôåðû, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ãðàíåé òåòðàýäðà, ðàâåí R/3. Çíà÷èò, R/3 ≥ r ,
ò.å. R ≥ 3r , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Óïðàæíåíèÿ
Ðèñ. 7
2. Äîêàæèòå ôîðìóëó
Äþðàíäà.
3. Ðàññìîòðèòå ðèñóíîê 7
(I – öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà
ABC). Íàéäèòå íà íåì ðàâíûå òðåóãîëüíèêè CW1W2
è IW1W2 . Äîêàæèòå òåîðåìó òðèëèñòíèêà: CW1 =
= IW1 = BW1 .
4. Ðàññìîòðèòå ðèñóíîê 8.
Ïî÷åìó ðàâíû òðåóãîëüíèêè CHH1 è CN1H1 ? Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà, ñèììåò-
ðè÷íàÿ îðòîöåíòðó îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè.
Çàäà÷à 10. Îðòîöåíòð
ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ëåæèò íà åãî
âïèñàííîé îêðóæíîñòè.
Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà.
Ðåøåíèå. Ýòà çàäà÷à
– îäíî èç ñàìûõ èçÿùíûõ ïðèìåíåíèé òåîðå- Ðèñ. 8
ìû òðèëèñòíèêà: CW =
= IW = BW, ãäå I – öåíòð
âïèñàííîé îêðóæíîñòè
òðåóãîëüíèêà ABC, W –
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñû AI ñ îïèñàííîé îêðóæíîñòüþ (ðèñ.9). Êðîìå òîãî, ïðè ðåøåíèè íàì
ïîíàäîáèòñÿ òîò ôàêò, ÷òî
òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ îðòîöåíòðó îòíîñèòåëüíî
ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà,
ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè.
Ïóñòü M1 – ñåðåäèíà
BC. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è Ðèñ. 9
âûòåêàåò, ÷òî HM1 = 2r,
ãäå r – ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Êðîìå òîãî, òî÷êîé,
ñèììåòðè÷íîé òî÷êå H îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû BC, áóäåò
òî÷êà W. Ñëåäîâàòåëüíî, M1W = HM1 = 2r . Âìåñòå ñ òåì,
èíöåíòð I – ñåðåäèíà îòðåçêà HM1 , ò.å. IW = 3r. Ïî òåîðåìå
òðèëèñòíèêà CW = IW = 3r. Òàê êàê òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé, òî óãîë B ðàâåí óãëó C, à ∠CBA = ∠CWM1 êàê
îïèðàþùèåñÿ íà îäíó äóãó. Èç òðåóãîëüíèêà CWM1 èìååì
cos ∠CWM1 =
2r 2
= = cos ∠B = cos ∠C .
3r 3
2
2
, ∠A = 180° − 2 arccos .
3
3
Çàäà÷à 11. Ïóñòü H – îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà ABC.
Íàéäèòå óãîë C, åñëè CH = ÀB.
Ðåøåíèå. Ýòà çàäà÷à äîïóñêàåò äàæå äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ,
è êàæäûé èç íèõ ïî ñâîåìó èçÿùåí.
Ïåðâûé ñïîñîá (ãåîìåòðè÷åñêèé). Òàê êàê AB = CH, òî
îêðóæíîñòè, ïîñòðîåííûå íà ýòèõ îòðåçêàõ êàê íà äèàìåòðàõ, ðàâíû (ðèñ.10). Òî÷êè M è N èõ ïåðåñå÷åíèÿ – ýòî
Èòàê, –B = –C = arccos
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
òî÷êè, èç êîòîðûõ ðàññìàòðèâàåìûå îòðåçêè
âèäíû ïîä ïðÿìûì óãëîì. ßñíî, ÷òî ýòî îñíîâàíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííûõ èç âåðøèí A è B. Îñíîâíîå
ñîîáðàæåíèå: îáùàÿ õîðäà MN äâóõ ðàâíûõ îêðóæíîñòåé âèäíà èç òî÷åê ýòèõ îêðóæíîñòåé ïîä
îäíèì è òåì æå óãëîì.
Ðèñ. 10
Ñëåäîâàòåëüíî,
∠MCN = ∠MBN , ò.å.
òðåóãîëüíèê MCB ïðÿìîóãîëüíûé è ðàâíîáåäðåííûé, çíà÷èò, ∠C =
= 45° .
Âòîðîé ñïîñîá (ôîðìóëüíî–ãåîìåòðè÷åñêèé). Ïóñòü O (ðèñ.11) –
öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC.
Òîãäà ∠AOB = 2∠C –
Ðèñ. 11
öåíòðàëüíûé óãîë. Ñëåäîâàòåëüíî, ∠AOM3 =
= ∠C , ãäå M3 – ñåðåäèíà ñòîðîíû AB. Ïî ôîðìóëå CH =
CH
= 1 , îòêóäà
= 2OM3 = AB ctg ∠C íàõîäèì ctg ∠C =
AB
∠C = 45° .
Çàäà÷à 12. Îðòîöåíòð H, èíöåíòð I, à òàêæå âåðøèíû
A è B òðåóãîëüíèêà ABC ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè.
Íàéäèòå óãîë C.
∠AIB =
Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî
∠C
= 90° +
, à ∠AHB = 180° − ∠C (ðèñ.12), òîãäà èìååì
2
∠C
90° +
= 180° − ∠C ,
2
îòêóäà ∠C = 60° .
Óïðàæíåíèå 5. Äîêàæèòå, ÷òî ∠AIB = 90° +
∠C
.
2
Çàäà÷à 13. Âïèñàííàÿ
îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà ABC êàñàåòñÿ ñòîðîí
AC è BC â òî÷êàõ K2 è
K1 ñîîòâåòñòâåííî.
Áèññåêòðèñà óãëà B ïåðåñåêàåò K1K2 â òî÷êå
K. Íàéäèòå óãîë AKB.
Ðåøåíèå. Èç ðèñóíêà
13 ïîëó÷àåòñÿ
Ðèñ. 12
∠C 
∠C

∠KK1B = 180° − ∠KK1C = 180° −  90° −
,
 = 90° +
2
2


∠BKK1 = 180° −
∠B 
∠C 
∠B + ∠C
−  90° +
=
 = 90° −
2
2 
2

= 90° −
180° − ∠A ∠A
=
.
2
2
∠A
, ñëåäîâàòåëüíî, ∠K2 KB +
2
+ ∠K2 AI = 180° , ò.å. ÷åòûðå òî÷êè I, K, K2 è A ëåæàò íà
îäíîé îêðóæíîñòè.  ýòîé îêðóæíîñòè óãîë IK2 A – ïðÿìîé
Çíà÷èò, ∠K2 KB = 180° −
ÊÐÓÆÎÊ
Ðèñ. 13
(óãîë ìåæäó êàñàòåëüíîé è ðàäèóñîì, ïðîâåäåííûì â òî÷êó
êàñàíèÿ), ñëåäîâàòåëüíî, óãîë AKI – òîæå ïðÿìîé.
Çàäà÷à 14. Èìååòñÿ èçîáðàæåíèå (ïàðàëëåëüíàÿ ïðîåêöèÿ íà íåêîòîðóþ ïëîñêîñòü) òðåóãîëüíèêà è öåíòðà
îïèñàííîé îêîëî íåãî îêðóæíîñòè. Ïîñòðîéòå èçîáðàæåíèå îðòîöåíòðà ýòîãî òðåóãîëüíèêà.
Ðåøåíèå. Ïóñòü íà íåêîòîðîé ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå
èçîáðàæåí òðåóãîëüíèê ABC è åãî öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè O (ðèñ.14). Ñîåäèíèâ òî÷êó O ñ ñåðåäèíîé M1
ñòîðîíû BC, ìû ïîëó÷èì èçîáðàæåíèå îòðåçêà OM1 , ïðî êîòîðûé
èçâåñòíî, ÷òî AH =
= 2OM1 , ãäå H – îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà
ABC. Òàê êàê ïðè ïðî- Ðèñ. 14
åêòèðîâàíèè ñîõðàíÿþòñÿ ïàðàëëåëüíîñòü è îòíîøåíèå îòðåçêîâ, òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ èçîáðàæåíèÿ òî÷êè H äîñòàòî÷íî ÷åðåç òî÷êó A ïðîâåñòè ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ OM1 , è íà ýòîé ïðÿìîé îòëîæèòü îòðåçîê AH, âäâîå áîëüøèé OM1 .
Çàäà÷à 15. Öåíòð ïåðâîé ñôåðû ðàäèóñà R ðàñïîëîæåí íà
ïîâåðõíîñòè âòîðîé ñôåðû. Èçâåñòíî, ÷òî ýòè ñôåðû
ïåðåñåêàþòñÿ. Íàéäèòå ïëîùàäü ÷àñòè âòîðîé ñôåðû,
ðàñïîëîæåííîé âíóòðè ïåðâîé.
Ðåøåíèå. Ïëîùàäü ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà âûñîòû h âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå S = 2πR0h , ãäå R0 – ðàäèóñ ñôåðû.
Ïóñòü öåíòð ïåðâîé ñôåðû íàõîäèòñÿ â òî÷êå A ïîâåðõíîñòè
âòîðîé ñôåðû è ïóñòü AB – äèàìåòð âòîðîé ñôåðû, C –
íåêîòîðàÿ òî÷êà íà ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ñôåð (ðèñ.15). Òðåóãîëüíèê ABC – ïðÿìîóãîëüíûé, òàê êàê AB = 2R0 – äèàìåòð. Òîãäà âûñîòà h èñêîìîãî
ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà â ýòîì
òðåóãîëüíèêå ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé êàòåòà AC = R íà ãèïîòåíóçó.
Ïîëüçóÿñü èçâåñòíûì ñîîòíîøåíèåì â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå, ïîëó÷àåì R2 = 2R0h . Îòêóäà ïëîùàäü ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà ðàâíà S = πR2 . Óäèâèòåëüíî, ÷òî îòâåò íå çàâèñèò îò
ðàäèóñà âòîðîé ñôåðû!
Çàäà÷à 16. à) Äàíû äâå êîí- Ðèñ. 15
öåíòðè÷åñêèå îêðóæíîñòè.
Íàéäèòå ïëîùàäü îáðàçîâàííîãî èìè êîëüöà, åñëè õîðäà
áîëüøåé îêðóæíîñòè, êàñàþùàÿñÿ ìåíüøåé, ðàâíà a.
á) Îêðóæíîñòè îñíîâàíèé öèëèíäðà, âûñîòà êîòîðîãî
ðàâíà h, ðàñïîëîæåíû íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû. Íàéäèòå
îáúåì ÷àñòè øàðà, îãðàíè÷åííîé ñôåðîé è áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ öèëèíäðà.
Ðåøåíèå. à) Ïëîùàäü êîëüöà ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå
S = πR2 − πr 2 = π R2 − r 2 . Ïðè ýòîì ðàçíîñòü êâàäðàòîâ
(
)
ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé ìîæåò
áûòü íàéäåíà èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 16):
R2 − r 2 = a2 4 , ñëåäîâàòåëüíî,
πa2
S=
.
4
Áåçóñëîâíî, ïðèÿòíî, ÷òî ïëîùàäü êîëüöà íå çàâèñèò îò ðàäèóñîâ êðóãîâ, îäíàêî ñòåðåîìåòðè÷åñêèé àíàëîã ýòîé çàäà÷è ïîòðÿñàåò îêîí÷àòåëüíî!
Ðèñ. 16
á) Ðàçóìååòñÿ, â ñòåðåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷å ìîæíî áûëî áû òîæå íàïèñàòü òåîðåìó Ïèôàãîðà (îäèí èëè íåñêîëüêî ðàç), ñîñòàâèòü ñèñòåìó èç íåñêîëüêèõ óðàâíåíèé ñ íåñêîëüêèìè íåèçâåñòíûìè, ðåøèòü
åå.  ðåçóëüòàòå ìíîãîå ñîêðàòèòñÿ è íå âîéäåò â îêîí÷àòåëüπh3
, âèä êîòîðîãî äîëæåí íàâåñòè
íûé êðàñèâûé îòâåò V =
6
íà ìûñëü, ÷òî ñóùåñòâóåò è ïðîñòîå ðåøåíèå.
Çàìå÷àíèå. Ñàìîå ïðîñòîå, ìîæíî äàæå ñêàçàòü âåðîëîìíîå, «ðåøåíèå» òàêîâî. Òàê êàê îòâåò íå çàâèñèò íè îò
ðàäèóñà øàðà, íè îò ðàäèóñà öèëèíäðà, à çàâèñèò òîëüêî îò
åãî âûñîòû, òî îáúåì èñêîìîãî òåëà íå èçìåíèòñÿ, åñëè ìû
ñòÿíåì öèëèíäð â îòðåçîê, óìåíüøàÿ åãî ðàäèóñ äî íóëÿ. Ïðè
ýòîì äèàìåòð øàðà ñòàíåò ðàâíûì h, è ýòîò øàð áóäåò èìåòü
òîò æå îáúåì, ÷òî è èñêîìîå òåëî. Îòâåò: V =
3
πh3
4 h
π  =
.
3 2
6
Óïðàæíåíèå 6. Íàéäèòå êàê ìîæíî áîëüøå îøèáîê â ýòîì
«ðåøåíèè».
Ðàçóìååòñÿ, ñóùåñòâóåò íå î÷åíü ñëîæíîå è âìåñòå ñ òåì
èçÿùíîå ðåøåíèå. Äëÿ ïîèñêà òðåáóåìîãî îáúåìà âîñïîëüçóåìñÿ ïðèíöèïîì Êàâàëüåðè:
Åñëè äâà òåëà ìîæíî òàê ðàñïîëîæèòü â ïðîñòðàíñòâå,
÷òî ëþáàÿ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíàÿ çàäàííîé ïëîñêîñòè,
ïåðåñåêàåò ýòè òåëà ïî ôèãóðàì, èìåþùèì îäèíàêîâûå
ïëîùàäè, òî ýòè òåëà èìåþò îäèíàêîâûå îáúåìû.
Áóäåì ïåðåñåêàòü ñôåðó è öèëèíäð ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿì îñíîâàíèé öèëèíäðà (ðèñ.17,à). Òîãäà
Ðèñ. 17
ñå÷åíèåì èñêîìîãî òåëà êàæäîé èç òàêèõ ïëîñêîñòåé ÿâëÿåòñÿ êîëüöî (èëè òî÷êà). Äëÿ ïîèñêà åãî ïëîùàäè íàéäåì
åãî âíåøíèé ðàäèóñ (âíóòðåííèé ðàäèóñ ðàâåí r – ðàäèóñó
öèëèíäðà). Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü îñåâîãî ñå÷åíèÿ öèëèíäðà (ðèñ.17,á). Ïóñòü ñëåä ñåêóùåé ïëîñêîñòè íà ðàññìàòðèâàåìîé ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè x îò öåíòðà

 h h
ñôåðû  x ∈  − ;   . Òîãäà âíåøíèé ðàäèóñ êîëüöà ñå÷å 2 2

íèÿ ðàâåí
R2 − x2 . Ïëîùàäü êîëüöà ðàâíà
S=π
(
R2 − x 2
) − πr
2
2
(
)
= π R2 − x 2 − r 2 .
Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî èìåííî òàêóþ ïëîùàäü áóäåò èìåòü
h
2
2
ñå÷åíèå øàðà ðàäèóñà R − r =
ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿ2
ùåé íà ðàññòîÿíèè x îò öåíòðà ýòîãî øàðà. Ïî ïðèíöèïó
Êàâàëüåðè, îáúåì èñêîìîãî òåëà ðàâåí îáúåìó ýòîãî øàðà,
ò.å. V =
3
πh3
4 h
π  =
.
3 2
6
Èòàê, åñëè â äåðåâÿííîì øàðå ñäåëàòü öèëèíäðè÷åñêèé
ïðîïèë ñ îñüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà, òî îáúåì
ïîëó÷åííîãî òåëà íå çàâèñèò íè îò ðàäèóñà èñõîäíîãî øàðà,
íè îò ðàäèóñà ïðîïèëà, à çàâèñèò òîëüêî îò åãî äëèíû!
Èìåííî ïîýòîìó ðàçìåð çîëîòîãî êîëüöà â þâåëèðíîì ìàãàçèíå ìîæåò áûòü óâåëè÷åí áåç äîáàâëåíèÿ äðàãîöåííîãî
ìåòàëëà. Îáúåì êîëüöà çàâèñèò òîëüêî îò «äëèíû ïðîïèëà»
â íåì, íî íå îò ðàçìåðà êîëüöà!
Çàäà÷à 17. Îäíîìó ïèðàòó áûëî èçâåñòíî, ÷òî â ìåñòíîñòè, ãäå çàðûò êëàä, ðàñòóò òîëüêî òðè äåðåâà: äóá, ñîñíà
è áåðåçà. Êðîìå òîãî, ïèðàòó áûëî èçâåñòíî, êàê íàéòè
ýòîò êëàä. Ïðåæäå âñåãî íàäî ñòàòü ïîä áåðåçîé ëèöîì ê
ïðÿìîé ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé äóá è ñîñíó. (Íà ðèñóíêå 18 âñå
äåðåâüÿ îáîçíà÷åíû
ïåðâûìè áóêâàìè èõ
íàçâàíèé.) Ïðè ýòîì
äóá äîëæåí îêàçàòüñÿ
ñïðàâà, à ñîñíà ñëåâà.
Ïîòîì íóæíî ïîéòè ê
äóáó, ñ÷èòàÿ øàãè, à
äîéäÿ äî äóáà, ïîâåðÐèñ. 18
íóòü ïîä ïðÿìûì óãëîì íàïðàâî è ïðîéòè ñòîëüêî æå øàãîâ, ñêîëüêî óæå
ïðîéäåíî îò áåðåçû äî äóáà. Â ýòîì ìåñòå íóæíî âáèòü â
çåìëþ êîëûøåê (òî÷êà K1 íà ðèñóíêå). Ïîòîì íóæíî
âåðíóòüñÿ ê áåðåçå è ïîéòè îò íåå ê ñîñíå, ñíîâà ñ÷èòàÿ
øàãè. Äîéäÿ äî ñîñíû, íóæíî ïîâåðíóòü ïîä ïðÿìûì óãëîì
íàëåâî è ïðîéòè ñòîëüêî æå øàãîâ, ñêîëüêî áûëî ïðîéäåíî
îò áåðåçû äî ñîñíû. Â ýòîì ìåñòå íóæíî âáèòü â çåìëþ
âòîðîé êîëûøåê (òî÷êà K2 íà ðèñóíêå). Êëàä çàðûò
ïîñåðåäèíå ìåæäó êîëûøêàìè (òî÷êà K íà ðèñóíêå).
Ïèðàò áûë óâåðåí, ÷òî áåç òðóäà íàéäåò êëàä ïî ñòîëü
ïîäðîáíîé èíñòðóêöèè. Íî êîãäà îí ïðèåõàë â ýòó ìåñòíîñòü, òî îáíàðóæèë òàì òîëüêî äóá è ñîñíó. Áåðåçà
áåññëåäíî èñ÷åçëà. Îäíàêî ïèðàò âñå æå íàøåë êëàä. Êàê
åìó ýòî óäàëîñü?
Ðåøåíèå. Ïîíÿòíî, ÷òî ïèðàò íå ñòàë áû äîëãî äóìàòü è
ðàññóæäàë áû ïðèìåðíî òàê: «Åñëè áû áåðåçà áûëà çäåñü, òî
êëàä áûë áû çäåñü, à åñëè áû áåðåçà áûëà òóò, òî êëàä áûë
áû òàì». È âäðóã! Î ÷óäî! Îí áû çàìåòèë, ÷òî ìåñòîïîëîæåíèå êëàäà íå çàâèñèò îò ìåñòîïîëîæåíèÿ áåðåçû! ßñíî, ÷òî
îí òóò æå âçÿë áû â ðóêè ëîïàòó è çàíÿëñÿ êëàäîì, îòëîæèâ
äîêàçàòåëüñòâî äî ëó÷øèõ âðåìåí.
Îñòàâèì â ýòîì çàõâàòûâàþùåì ìåñòå íàøåãî óäà÷ëèâîãî
êëàäîèñêàòåëÿ è çàèíòåðåñóåìñÿ èìåííî äîêàçàòåëüñòâîì
îïèñàííîãî ôàêòà. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ïî-ðàçíîìó.  óïðàæíåíèè 13 ÷èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ íàéòè ãåîìåòðè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâî, îäíàêî ñåé÷àñ íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü êèíåìàòè÷åñêèé ìåòîä, ïîäðîáíî îáñóæäàâøèéñÿ â ñòàòüå «Êèíåìàòèêà â ïëàíèìåòðèè» Â.Ðûæèêà è Á.Ñîòíè÷åíêî â «Êâàíòå»
¹5 çà 2002 ãîä.
Ïóñòü áåðåçà Á íà÷àëà äâèãàòüñÿ (îé!) è v – âåêòîð åå
ìãíîâåííîé ñêîðîñòè. Òàê êàê îòðåçîê ÄK1 ïîëó÷àåòñÿ èç
îòðåçêà ÄÁ ïîâîðîòîì íà 90, òî òî÷êà K1 òîæå áóäåò
äâèãàòüñÿ, ïðè÷åì âåêòîð åå ñêîðîñòè v1 áóäåò ïîëó÷àòüñÿ èç
âåêòîðà v ïîâîðîòîì íà 90. Àíàëîãè÷íî, âåêòîð v 2 ñêîðîñòè òî÷êè K2 ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðà v ïîâîðîòîì íà -90.
Çíà÷èò, v1 = - v 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà K êàê ñåðåäèíà
1
( v1 + v2 ) = 0, ò.å. ýòà òî÷êà
2
íåïîäâèæíà. Èòàê, ïðè ïðîèçâîëüíîì äâèæåíèè òî÷êè Á
òî÷êà K îñòàåòñÿ íåïîäâèæíîé. Çíà÷èò, ïîëîæåíèå êëàäà íå
çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ áåðåçû!
îòðåçêà K1K2 èìååò ñêîðîñòü
Óïðàæíåíèÿ
7. Íà ïëîñêîñòè èçîáðàæåíà äóãà AB îêðóæíîñòè è óêàçàí åå
öåíòð. Òîëüêî ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ ðàçäåëèòå äóãó AB ïîïîëàì.
8.  çàäà÷å î âåðåâêå, îáòÿãèâàþùåé çåìíîé øàð ïî ýêâàòîðó,
«îòòÿíåì» âåðåâêó â îäíîì ìåñòå êàê ìîæíî äàëüøå. Ìîæåò ëè
â îáðàçîâàâøèéñÿ çàçîð ïðîéòè ñëîí?
9. Öåíòð ñôåðû α ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû β . Îòíîøåíèå ÷àñòè ïîâåðõíîñòè ñôåðû β , ëåæàùåé âíóòðè ñôåðû α , êî
âñåé ïîâåðõíîñòè ñôåðû α ðàâíî 1/5. Íàéäèòå îòíîøåíèå
ðàäèóñîâ ñôåð α è β .
10. Îïðåäåëèòå ïîëíóþ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû, îïèñàííîé
îêîëî ñôåðû, åñëè ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ ðàâíà S.
11. Íà ãëàâíîé äèàãîíàëè AC1 è íà äèàãîíàëè BA1 áîêîâîé
ãðàíè ABB1 A1 åäèíè÷íîãî êóáà ABCDA1B1C1D1 ðàñïîëîæåíû äâà
îòðåçêà MN è PQ äëèíû 1/2. Íàéäèòå îáúåì òåòðàýäðà MNPQ.
12. Íàéäèòå îáúåì îáùåé ÷àñòè n îäèíàêîâûõ áåñêîíå÷íûõ
öèëèíäðîâ ðàäèóñîì r, îñè êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû â îäíîé
ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó òî÷êó, ïðè÷åì óãîë ìåæäó
äâóìÿ ñîñåäíèìè ðàâåí π/n.
13. Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî çàäà÷è î ïèðàòå.
14. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè, ñèììåòðè÷íûå îðòîöåíòðó òðåóãîëüíèêà îòíîñèòåëüíî ñåðåäèí åãî ñòîðîí, ëåæàò íà îïèñàííîé
îêðóæíîñòè. Ñðàâíèòå ýòîò ðåçóëüòàò ñ óïðàæíåíèåì 4.