Минималистские задачи
реклама
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Ìèíèìàëèñòñêèå çàäà÷è Ñ.ÁÅËßÅ Äàíî íè÷åãî, íàéòè âñå, âñåì, ÷åì ìîæíî, ïðåíåáðå÷ü. Îáîáùåííàÿ ôîðìóëèðîâêà êà÷åñòâåííîé çàäà÷è ïî ôèçèêå Ê À×ÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÇÀÄÀ×È Â ÔÈÇÈÊÅ ÄÀÂÍÎ È ÂÏÎËÍÅ çàñëóæåííî ïîëüçóþòñÿ ïîïóëÿðíîñòüþ. Èìåííî îíè äàþò ìîùíûé ýìîöèîíàëüíûé çàðÿä ïî÷òè èç íè÷åãî, èç ìèíèìàëüíîãî íàáîðà íà÷àëüíûõ äàííûõ (à ïîðîé è âîîáùå áåç íèõ) ïîëó÷àþòñÿ ãëóáîêèå è ïîä÷àñ íåî÷åâèäíûå âûâîäû. Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. Çàäà÷à 1. Íà êðàé àáñîëþòíî ãëàäêîãî è àáñîëþòíî ïëîñêîãî ñòîëà ïîëîæèëè àáñîëþòíî ãëàäêèé øàðèê. Òðåíèÿ íåò, ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà íåò. Îïðåäåëèòå, áóäåò ëè äâèãàòüñÿ øàðèê, è åñëè äà, òî êàê. Ðåøåíèå. Ñòàíäàðòíûé ðèñóíîê çàñòàâëÿåò ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ñèëà òÿæåñòè êîìïåíñèðóåòñÿ ñèëîé ðåàêöèè îïîðû è ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ðàâíà íóëþ, ò.å. øàðèê áóäåò îñòàâàòüñÿ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ. Îäíàêî, åñëè ñäåëàòü ðèñóíîê, íà êîòîðîì ðàçìåðû ñòîëà ñîèçìåðèìû ñ ðàçìåðàìè Çåìëè (ðèñ.1), òî ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíî, ÷òî â íàøåé Ðèñ. 1 ñèòóàöèè ðàâíîäåéñòâóþùàÿ íå ðàâíà íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, íà øàðèê äåéñòâóåò ñèëà, êîòîðàÿ èìååò ñîñòàâëÿþùóþ, íàïðàâëåííóþ ê öåíòðó ñòîëà. Ïîä äåéñòâèåì ýòîé ñèëû øàðèê íà÷íåò êîëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ ñ àìïëèòóäîé, ðàâíîé ïîëîâèíå øèðèíû ñòîëà. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â çàäà÷å èäåò ðå÷ü îá èäåàëüíûõ óñëîâèÿõ: òðåíèÿ íåò è Çåìëÿ àáñîëþòíî êðóãëàÿ è îäíîðîäíàÿ. Ðåàëüíî æå ýòîò ýôôåêò íå ìîæåò íàáëþäàòüñÿ èìåííî ïîòîìó, ÷òî èççà ìàëûõ ðàçìåðîâ ñòîëà ïî ñðàâíåíèþ ñ çåìíûì øàðîì ñèëà òÿæåñòè îáðàçóåò òàêîé ìàëûé óãîë ñ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïîâåðõíîñòè ñòîëà, ÷òî ìû ïðîñòî íå ñìîæåì óìåíüøèòü òðåíèå íàñòîëüêî, ÷òîáû øàðèê ïîêàòèëñÿ. Ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî êîëè÷åñòâî ïîäðîáíîñòåé, êàê âñåãäà, íåèñ÷åðïàåìî. Åñëè óæ ó÷èòûâàòü ðàçìåð Çåìëè ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðîì ñòîëà, òî íóæíî åùå ó÷èòûâàòü íåîäíîðîäíîñòü ïîëÿ ñèëû òÿæåñòè, íåðîâíîñòè ïîâåðõíîñòè Çåìëè, ïðèëèâû è îòëèâû (îíè òîæå ìåíÿþò ìåñòîïîëîæåíèå öåíòðà òÿæåñòè Çåìëè, à çíà÷èò, è íàïðàâëåíèå óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ). Îäíàêî êà÷åñòâåííûå çàäà÷è äëÿ òîãî è äàþòñÿ, ÷òîáû íàó÷èòüñÿ àáñòðàãèðîâàòüñÿ îò íåñóùåñòâåííûõ ïîäðîáíîñòåé è âèäåòü òå îñíîâíûå çàêîíû è ÿâëåíèÿ, êîòîðûå ðàáîòàþò â äàííîé çàäà÷å. Ýòà çàäà÷à ïîêàçûâàåò, ñêîëü äàëåêè èäåàëüíûå óñëîâèÿ, ðàññìàòðèâàåìûå â áîëüøèíñòâå çàäà÷, îò óñëîâèé ðåàëüíî íàáëþäàåìûõ. Çàäà÷à 2. Êàê èçâåñòíî, ëåòîì æåëåçíîäîðîæíûé ðåëüñ íåìíîãî äëèííåå, ÷åì çèìîé, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ ìåòàëëà. Èìåííî ïîýòîìó ìåæäó ðåëüñàìè îñòàâëÿþò íåáîëüøîé çàçîð. Îäíàêî ïðåäñòàâèì, ÷òî äâà ðåëüñà äëèíîé ïî 1 êì ïðèñòàâëåíû â ñòûê è çàêðåïëåíû òîëüêî ïî êðàÿì. Ïóñòü ëåòîì äëèíà êàæäîãî ðåëüñà óâåëè÷èëàñü íà 1 ì è â ñåðåäèíå ðåëüñû âñòàëè «äîìèêîì», îáðàçóÿ ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê (îñíîâàíèå 2 êì, áîêîâàÿ ñòîðîíà 1 êì è 1 ì). Îöåíèòå, êàêîâà âûñîòà ýòîãî ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà. Ðåøåíèå. Îáû÷íî íà ýòîò âîïðîñ äàåòñÿ ñèëüíî çàíèæåííûé îòâåò «íà ãëàç». Ïðÿìîé ïîäñ÷åò ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà äàåò ñîâåðøåííî ôàíòàñòè÷åñêèé îòâåò: 10012 − 10002 = = 2001 ≈ 44,7 ìåòðà! ***  øêîëüíîé ãåîìåòðèè òîæå åñòü ðÿä çàäà÷, îòëè÷àþùèõñÿ ìèíèìàëüíûì êîëè÷åñòâîì äàííûõ, â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ íàéòè òî, ÷òî íà ïåðâûé âçãëÿä è íàéòè-òî íåâîçìîæíî. Èìåííî ýòî ðîäíèò òàêèå çàäà÷è ñ êà÷åñòâåííûìè çàäà÷àìè ïî ôèçèêå. Âíèìàíèþ ÷èòàòåëÿ ïðåäëàãàåòñÿ êîëëåêöèÿ çàäà÷ ñ ìèíèìàëüíûìè óñëîâèÿìè, èç êîòîðûõ ìîæíî íàéòè äîâîëüíî ìíîãî. È ÷åì ìåíüøå äàíî â óñëîâèè è ÷åì áîëüøå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå, òåì êðàñèâåå è èçÿùíåå çàäà÷à. ßñíî, ÷òî ðåøåíèå òàêèõ çàäà÷ âñåãäà áóäåò ñâÿçàíî ëèáî ñî çíàíèåì íåêîòîðûõ çàìå÷àòåëüíûõ ôàêòîâ, ëèáî ñ èçîáðåòàòåëüíîñòüþ ðåøàþùåãî. Çàäà÷à 3. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî çåìíîé øàð ïëîòíî îáòÿíóò ïî ýêâàòîðó âåðåâêîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëèíó ýòîé âåðåâêè óâåëè÷èëè íà 1 ìåòð è ðàñïîëîæèëè òàê, ÷òî îíà âñþäó îäèíàêîâî îòñòîèò îò Çåìëè. Ìîæåò ëè â îáðàçîâàâøèéñÿ çàçîð ïðîëåçòü ìûøü? Ðåøåíèå. Ýòî õîðîøî èçâåñòíàÿ çàäà÷à ñ ñîâåðøåííî îøåëîìëÿþùèì îòâåòîì. Ïðè÷åì îòâåò íàñòîëüíî íåîæèäàí, ÷òî, äàæå êîãäà åãî óæå çíàåøü, íå âåðèøü. Ïîäñ÷åò íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäíîñòåé: ïóñòü R ðàäèóñ Çåìëè, òîãäà íà÷àëüíàÿ äëèíà âåðåâêè 2πR . Ðàäèóñ R0 îêðóæíîñòè, äëèíà êîòîðîé íà 1 ìåòð áîëüøå, íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ 2πR0 = 2πR + 1 , ò.å. R0 = R + 1 (2π ) . Îòêóäà âåëè÷èíà âîçíèêàþùåãî çàçîðà ðàâíà R0 − R = 1 (2π ) ≈ 16 ñì. Òàê ÷òî â òàêóþ ùåëü âïîëíå ìîæåò ïðîñêî÷èòü ìûøü. Îäíàêî âàæíî íå ýòî óäèâèòåëüíî, ÷òî îòâåò íå çàâèñèò îò ðàäèóñà Çåìëè! Äðóãèìè ñëîâàìè, òîò æå ðåçóëüòàò ïîëó÷èòñÿ íà Ëóíå, íà Ìàðñå è, âî ÷òî óæå ñîâñåì ïîâåðèòü íåâîçìîæíî, íà ôóòáîëüíîì ìÿ÷å. Èç ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà âûòåêàåò, ÷òî åñëè ôóòáîëüíûé ìÿ÷ îáòÿíóòü âåðåâêîé ïî ýêâàòîðó è çàòåì óâåëè÷èòü åå äëèíó íà 1 ìåòð, òî çàçîð, áóäó÷è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûì ïî ýêâàòîðó, áóäåò òî÷íî òàêîé æå 16 ñì! Çàäà÷à 4. Ê äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ îêðóæíîñòÿì ïðîâåäåíà îáùàÿ êàñàòåëüíàÿ. ×åðåç òî÷êè êàñàíèÿ è òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðîâåäåíà îêðóæíîñòü. Íàéäèòå åå ðàäèóñ, åñëè ðàäèóñû èñõîäíûõ îêðóæíîñòåé ðàâíû R è r. Ðåøåíèå. Ïóñòü AB îáùàÿ êàñàòåëüíàÿ ê ïåðåñåêàþùèìñÿ â òî÷êàõ M è N îêðóæíîñòÿì ñ öåíòðàìè O1 è O2 (ðèñ.2). Óäèâèòåëüíî, ÷òî îòâåò íå çàâèñèò îò òîãî, áóäåì Ðèñ. 2 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ìû ðàññìàòðèâàòü òðåóãîëüíèê ABM èëè òðåóãîëüíèê ABN ðàäèóñû èõ îïèñàííûõ îêðóæíîñòåé ðàâíû! Ïóñòü –O1 AN = α , –O2 BN = β , ρ ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ABN. Òîãäà AN = 2R cos α , BN = 2r cos β . Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ äëÿ òðåóãîëüíèêà ABN AN BN èìååì ρ = , à òàêæå ρ = . Òàê êàê â òðå2 sin –B 2 sin –A óãîëüíèêå ABN –A = 90 - α , –B = 90 - β , òî 2r cos β cos β 2R cos α cos α =r ρ= =R è ρ= , îòêóäà 2 cos α cos α 2 cos β cos β ρ2 = Rr , èëè ρ = Rr . Áîëåå òîãî, ñîâñåì óæ íåïðàâäîïîäîáíî, ÷òî îòâåò íå áóäåò çàâèñåòü îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó öåíòðàìè îêðóæíîñòåé, ÷òî è äåëàåò ýòó çàäà÷ó ìèíèìàëèñòñêîé. Çàäà÷à 5.  òðåóãîëüíèêè ABC è CDA (òî÷êè B è D ðàñïîëîæåíû ïî îäíó ñòîðîíó îò CA) âïèñàíû îêðóæíîñòè. Íàéäèòå äëèíó îáùåé âíåøíåé êàñàòåëüíîé ê ýòèì îêðóæíîñòÿì, åñëè: à) AB = 5, BC = 7, CD = DA; á) AB = 7, BC = CD, DA = 9. Ðåøåíèå. à) Êàê èçâåñòíî, ñóùåñòâóåò ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû d îáùåé âíåøíåé êàñàòåëüíîé ê äâóì îêðóæíîñòÿì ðàäèóñîâ R è r, ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè êîòîðûõ ðàâíî a: 2 d = a2 − ( R − r ) . Îäíàêî ÿñíî, ÷òî â çàäà÷å äàíî ñòîëü ìàëî, ÷òî íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì íàéòè âñå ýòè âåëè÷èíû. Òåì íå ìåíåå, èñêîìóþ äëèíó íàéòè âñå æå ìîæíî. Äëÿ ýòîãî ïîíàäîáèòñÿ ëèøü ñëåäóþùèé ôàêò: åñëè p ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüÐèñ. 3 íèêà ABC è BC = a, òî äëèíà êàñàòåëüíîé èç âåðøèíû A ê âïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâíà p a. Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå ýòî. Ïóñòü p1 è p2 ïîëóïåðèìåòðû òðåóãîëüíèêîâ ABC è ACD ñîîòâåòñòâåííî, òîãäà (ðèñ.3) PQ = AP − AQ = ( p2 − CD ) − ( p1 − BC ) = = 1 ( AC + AD − CD ) − ( AC + AB − BC ) = 1 BC − AB = 1 . 2 2 á) Ýòîò ïóíêò ðåøàåòñÿ àíàëîãè÷íî: PQ = AP − AQ = ( p2 − CD ) − ( p1 − BC ) = 1 ( AC + AD − CD ) − ( AC + AB − BC ) = 1 AD − AB = 1 . 2 2 Çàäà÷à 6. Òî÷êè A, B è C ðàñïîëîæåíû íà îäíîé ïðÿìîé. ×åðåç òî÷êó B ïðîõîäèò íåêîòîðàÿ ïðÿìàÿ. Ïóñòü M ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà ýòîé ïðÿìîé. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè îêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ MAB è MBC, åñëè AC = a, ∠MBC = α . Ðåøåíèå. Öåíòðû D è E äàííûõ îêðóæíîñòåé ïðîåêòèðóþòñÿ â ñåðåäèíû îòðåçêîâ AB è BC Ðèñ. 4 = ÊÐÓÆÎÊ (ðèñ.4). Ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïðîåêöèÿìè ðàâíî AC/2 = = a/2. Óãëû EDF è MBC ðàâíû êàê óãëû ñî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè. Èç òðåóãîëüíèêà DEF èìååì a . DE = 2 sin α Çàäà÷à 7. Íà ãèïîòåíóçå ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âî âíåøíþþ ñòîðîíó ïîñòðîåí êâàäðàò è ïðîâåäåí îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó ïðÿìîãî óãëà ñ öåíòðîì êâàäðàòà. Íàéäèòå óãëû ìåæäó ýòèì îòðåçêîì è êàòåòàìè. Íàéäèòå òàêæå äëèíó ýòîãî îòðåçêà, åñëè ñóììà êàòåòîâ ðàâíà d. Ðåøåíèå. Ýòà çàäà÷à ïðåêðàñíàÿ èëëþñòðàöèÿ ìåòîäà âñïîìîãàòåëüíîé îêðóæíîñòè.  ñàìîì äåëå, òàê êàê óãëû ACB è AFB ïðÿìûå (F öåíòð êâàäðàòà; ðèñ. 5,à), òî îíè îïèðàþòñÿ íà äèàìåòð AB îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC. Íî òîãäà ∠BCF = ∠BAF = 45° êàê îïèðàþùèåñÿ íà îäíó è òó æå äóãó. Ðèñ. 5 Äëèíó îòðåçêà CF ëåãêî íàéòè, åñëè çàìåòèòü, ÷òî äàííûå òðåóãîëüíèê è êâàäðàò ïîðîæäàþò êâàäðàò, ñòîðîíû êîòîðîãî ñîäåðæàò âåðøèíû äàííîãî êâàäðàòà, ïðè÷åì öåíòðû îáîèõ êâàäðàòîâ ñîâïàäàþò (ðèñ. 5,á). Ñëåäîâàòåëüíî, óäâîåííàÿ äëèíà îòðåçêà CF ðàâíà äèàãîíàëè áîëüøîãî êâàäðàòà, ñòîðîíà êîòîðîãî ðàâíà ñóììå êàòåòîâ èñõîäíîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Îêîí÷àòåëüíî, 1 d CF = d 2 = . 2 2 Çàäà÷à 8. Íà ïëîñêîñòè ïðîâåäåíû ïðÿìàÿ è îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì íà ýòîé ïðÿìîé. Òîëüêî ñ ïîìîùüþ îäíîé ëèíåéêè îïóñòèòå ïåðïåíäèêóëÿð ê äàííîé ïðÿìîé èç òî÷êè, íå ëåæàùåé íà äàííîé îêðóæíîñòè è äàííîé ïðÿìîé. Ðåøåíèå. Ïîñòðîåíèå. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñóùåñòâóåò òðè ñïîñîáà ðàñïîëîæèòü òî÷êó D, èç êîòîðîé áóäåò îïóùåí ïåðïåíäèêóëÿð ê ïðÿìîé AB (AB äèàìåòð äàííîé îêðóæíîñòè; ðèñ.6), âñå ïîñòðîåíèÿ àíàëîãè÷íû. Ýòè ñëó÷àè òàêîâû: òðåóãîëüíèê ABD îñòðîóãîëüíûé, òî÷êà D ëåæèò âíå êðóãà, îãðàíè÷åííîãî äàííîé îêðóæíîñòüþ; òðåóãîëüíèê ABD òóïîóãîëüíûé, òî÷êà D ëåæèò âíå êðóãà; òî÷êà D ëåæèò âíóòðè êðóãà. Îïèøåì âñå ïîñòðîåíèÿ ñðàçó (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñòðîåíèÿ ïîêàçàíà íà âñåõ ðèñóíêàõ öèôðàìè). 1. Ñòðîèì òî÷êó E òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé AD ñ îêðóæíîñòüþ. 2. Ñòðîèì òî÷êó F òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé BD ñ îêðóæíîñòüþ. 3. Ñòðîèì ïðÿìóþ AF. 4. Ñòðîèì ïðÿìóþ BE. Ïóñòü H òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ AF è BE. 5. Ñòðîèì ïðÿìóþ DH îíà è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð. Äîêàçàòåëüñòâî. Óãëû AEB è AFB ïðÿìûå, òàê êàê îïèðàþòñÿ íà äèàìåòð AB, ñëåäîâàòåëüíî, H îðòîöåíòð Ðèñ. 6 òðåóãîëüíèêà ABD. Çíà÷èò, ïðÿìàÿ DH âûñîòà ýòîãî òðåóãîëüíèêà, ò.å. DH ⊥ AB . Çàäà÷à 9. Ïóñòü R è r ðàäèóñû îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà. Äîêàæèòå, ÷òî R ≥ 2r . Íàéäèòå àíàëîãè÷íîå íåðàâåíñòâî â ñòåðåîìåòðèè. Ðåøåíèå. Ýòà çàäà÷à ëåãêî ðåøàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû Ýéëåðà äëÿ ðàññòîÿíèÿ d ìåæäó öåíòðàìè âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé (ðàäèóñû êîòîðûõ ðàâíû r è R ñîîòâåòñòâåííî): d2 = R2 − 2Rr = R ( R − 2r ) . Îòêóäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî. Îäíàêî åãî ìîæíî ïîëó÷èòü è áåç ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû Ýéëåðà.  ñàìîì äåëå, èç âñåõ îêðóæíîñòåé, ïåðåñåêàþùèõ âñå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, íàèìåíüøèé ðàäèóñ èìååò âïèñàííàÿ îêðóæíîñòü. Èçâåñòíî, ÷òî ðàäèóñ îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà (îêðóæíîñòü 9 òî÷åê), ðàâåí R/2. Çíà÷èò, R/2 ≥ r , ò.å. R ≥ 2r , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Àíàëîãîì ôîðìóëû Ýéëåðà â ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà Äþðàíäà: d2 = ( R − r )( R − 3r ) , ãäå d ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè âïèñàííîé è îïèñàííîé ñôåð (ðàäèóñû êîòîðûõ ðàâíû r è R) ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû. Èç íåå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî R ≥ 3r . Îäíàêî ìîæíî íå ïîëüçîâàòüñÿ ñòîëü ýêçîòè÷åñêîé ôîðìóëîé è ïðåäëîæèòü äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà R ≥ 3r íå òîëüêî äëÿ ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, íî è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òåòðàýäðà.  ñàìîì äåëå, èç âñåõ ñôåð, ïåðåñåêàþùèõ âñå ãðàíè òåòðàýäðà, íàèìåíüøèé ðàäèóñ èìååò âïèñàííàÿ ñôåðà. Èçâåñòíî, ÷òî ðàäèóñ ñôåðû, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ãðàíåé òåòðàýäðà, ðàâåí R/3. Çíà÷èò, R/3 ≥ r , ò.å. R ≥ 3r , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Óïðàæíåíèÿ Ðèñ. 7 2. Äîêàæèòå ôîðìóëó Äþðàíäà. 3. Ðàññìîòðèòå ðèñóíîê 7 (I öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC). Íàéäèòå íà íåì ðàâíûå òðåóãîëüíèêè CW1W2 è IW1W2 . Äîêàæèòå òåîðåìó òðèëèñòíèêà: CW1 = = IW1 = BW1 . 4. Ðàññìîòðèòå ðèñóíîê 8. Ïî÷åìó ðàâíû òðåóãîëüíèêè CHH1 è CN1H1 ? Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà, ñèììåò- ðè÷íàÿ îðòîöåíòðó îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Çàäà÷à 10. Îðòîöåíòð ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ëåæèò íà åãî âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà. Ðåøåíèå. Ýòà çàäà÷à îäíî èç ñàìûõ èçÿùíûõ ïðèìåíåíèé òåîðå- Ðèñ. 8 ìû òðèëèñòíèêà: CW = = IW = BW, ãäå I öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC, W òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñû AI ñ îïèñàííîé îêðóæíîñòüþ (ðèñ.9). Êðîìå òîãî, ïðè ðåøåíèè íàì ïîíàäîáèòñÿ òîò ôàêò, ÷òî òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ îðòîöåíòðó îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Ïóñòü M1 ñåðåäèíà BC. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è Ðèñ. 9 âûòåêàåò, ÷òî HM1 = 2r, ãäå r ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Êðîìå òîãî, òî÷êîé, ñèììåòðè÷íîé òî÷êå H îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû BC, áóäåò òî÷êà W. Ñëåäîâàòåëüíî, M1W = HM1 = 2r . Âìåñòå ñ òåì, èíöåíòð I ñåðåäèíà îòðåçêà HM1 , ò.å. IW = 3r. Ïî òåîðåìå òðèëèñòíèêà CW = IW = 3r. Òàê êàê òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé, òî óãîë B ðàâåí óãëó C, à ∠CBA = ∠CWM1 êàê îïèðàþùèåñÿ íà îäíó äóãó. Èç òðåóãîëüíèêà CWM1 èìååì cos ∠CWM1 = 2r 2 = = cos ∠B = cos ∠C . 3r 3 2 2 , ∠A = 180° − 2 arccos . 3 3 Çàäà÷à 11. Ïóñòü H îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà ABC. Íàéäèòå óãîë C, åñëè CH = ÀB. Ðåøåíèå. Ýòà çàäà÷à äîïóñêàåò äàæå äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ, è êàæäûé èç íèõ ïî ñâîåìó èçÿùåí. Ïåðâûé ñïîñîá (ãåîìåòðè÷åñêèé). Òàê êàê AB = CH, òî îêðóæíîñòè, ïîñòðîåííûå íà ýòèõ îòðåçêàõ êàê íà äèàìåòðàõ, ðàâíû (ðèñ.10). Òî÷êè M è N èõ ïåðåñå÷åíèÿ ýòî Èòàê, –B = –C = arccos ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ òî÷êè, èç êîòîðûõ ðàññìàòðèâàåìûå îòðåçêè âèäíû ïîä ïðÿìûì óãëîì. ßñíî, ÷òî ýòî îñíîâàíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííûõ èç âåðøèí A è B. Îñíîâíîå ñîîáðàæåíèå: îáùàÿ õîðäà MN äâóõ ðàâíûõ îêðóæíîñòåé âèäíà èç òî÷åê ýòèõ îêðóæíîñòåé ïîä îäíèì è òåì æå óãëîì. Ðèñ. 10 Ñëåäîâàòåëüíî, ∠MCN = ∠MBN , ò.å. òðåóãîëüíèê MCB ïðÿìîóãîëüíûé è ðàâíîáåäðåííûé, çíà÷èò, ∠C = = 45° . Âòîðîé ñïîñîá (ôîðìóëüíîãåîìåòðè÷åñêèé). Ïóñòü O (ðèñ.11) öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC. Òîãäà ∠AOB = 2∠C Ðèñ. 11 öåíòðàëüíûé óãîë. Ñëåäîâàòåëüíî, ∠AOM3 = = ∠C , ãäå M3 ñåðåäèíà ñòîðîíû AB. Ïî ôîðìóëå CH = CH = 1 , îòêóäà = 2OM3 = AB ctg ∠C íàõîäèì ctg ∠C = AB ∠C = 45° . Çàäà÷à 12. Îðòîöåíòð H, èíöåíòð I, à òàêæå âåðøèíû A è B òðåóãîëüíèêà ABC ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè. Íàéäèòå óãîë C. ∠AIB = Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ∠C = 90° + , à ∠AHB = 180° − ∠C (ðèñ.12), òîãäà èìååì 2 ∠C 90° + = 180° − ∠C , 2 îòêóäà ∠C = 60° . Óïðàæíåíèå 5. Äîêàæèòå, ÷òî ∠AIB = 90° + ∠C . 2 Çàäà÷à 13. Âïèñàííàÿ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà ABC êàñàåòñÿ ñòîðîí AC è BC â òî÷êàõ K2 è K1 ñîîòâåòñòâåííî. Áèññåêòðèñà óãëà B ïåðåñåêàåò K1K2 â òî÷êå K. Íàéäèòå óãîë AKB. Ðåøåíèå. Èç ðèñóíêà 13 ïîëó÷àåòñÿ Ðèñ. 12 ∠C ∠C ∠KK1B = 180° − ∠KK1C = 180° − 90° − , = 90° + 2 2 ∠BKK1 = 180° − ∠B ∠C ∠B + ∠C − 90° + = = 90° − 2 2 2 = 90° − 180° − ∠A ∠A = . 2 2 ∠A , ñëåäîâàòåëüíî, ∠K2 KB + 2 + ∠K2 AI = 180° , ò.å. ÷åòûðå òî÷êè I, K, K2 è A ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè.  ýòîé îêðóæíîñòè óãîë IK2 A ïðÿìîé Çíà÷èò, ∠K2 KB = 180° − ÊÐÓÆÎÊ Ðèñ. 13 (óãîë ìåæäó êàñàòåëüíîé è ðàäèóñîì, ïðîâåäåííûì â òî÷êó êàñàíèÿ), ñëåäîâàòåëüíî, óãîë AKI òîæå ïðÿìîé. Çàäà÷à 14. Èìååòñÿ èçîáðàæåíèå (ïàðàëëåëüíàÿ ïðîåêöèÿ íà íåêîòîðóþ ïëîñêîñòü) òðåóãîëüíèêà è öåíòðà îïèñàííîé îêîëî íåãî îêðóæíîñòè. Ïîñòðîéòå èçîáðàæåíèå îðòîöåíòðà ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Ðåøåíèå. Ïóñòü íà íåêîòîðîé ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå èçîáðàæåí òðåóãîëüíèê ABC è åãî öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè O (ðèñ.14). Ñîåäèíèâ òî÷êó O ñ ñåðåäèíîé M1 ñòîðîíû BC, ìû ïîëó÷èì èçîáðàæåíèå îòðåçêà OM1 , ïðî êîòîðûé èçâåñòíî, ÷òî AH = = 2OM1 , ãäå H îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà ABC. Òàê êàê ïðè ïðî- Ðèñ. 14 åêòèðîâàíèè ñîõðàíÿþòñÿ ïàðàëëåëüíîñòü è îòíîøåíèå îòðåçêîâ, òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ èçîáðàæåíèÿ òî÷êè H äîñòàòî÷íî ÷åðåç òî÷êó A ïðîâåñòè ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ OM1 , è íà ýòîé ïðÿìîé îòëîæèòü îòðåçîê AH, âäâîå áîëüøèé OM1 . Çàäà÷à 15. Öåíòð ïåðâîé ñôåðû ðàäèóñà R ðàñïîëîæåí íà ïîâåðõíîñòè âòîðîé ñôåðû. Èçâåñòíî, ÷òî ýòè ñôåðû ïåðåñåêàþòñÿ. Íàéäèòå ïëîùàäü ÷àñòè âòîðîé ñôåðû, ðàñïîëîæåííîé âíóòðè ïåðâîé. Ðåøåíèå. Ïëîùàäü ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà âûñîòû h âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå S = 2πR0h , ãäå R0 ðàäèóñ ñôåðû. Ïóñòü öåíòð ïåðâîé ñôåðû íàõîäèòñÿ â òî÷êå A ïîâåðõíîñòè âòîðîé ñôåðû è ïóñòü AB äèàìåòð âòîðîé ñôåðû, C íåêîòîðàÿ òî÷êà íà ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ñôåð (ðèñ.15). Òðåóãîëüíèê ABC ïðÿìîóãîëüíûé, òàê êàê AB = 2R0 äèàìåòð. Òîãäà âûñîòà h èñêîìîãî ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà â ýòîì òðåóãîëüíèêå ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé êàòåòà AC = R íà ãèïîòåíóçó. Ïîëüçóÿñü èçâåñòíûì ñîîòíîøåíèåì â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå, ïîëó÷àåì R2 = 2R0h . Îòêóäà ïëîùàäü ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà ðàâíà S = πR2 . Óäèâèòåëüíî, ÷òî îòâåò íå çàâèñèò îò ðàäèóñà âòîðîé ñôåðû! Çàäà÷à 16. à) Äàíû äâå êîí- Ðèñ. 15 öåíòðè÷åñêèå îêðóæíîñòè. Íàéäèòå ïëîùàäü îáðàçîâàííîãî èìè êîëüöà, åñëè õîðäà áîëüøåé îêðóæíîñòè, êàñàþùàÿñÿ ìåíüøåé, ðàâíà a. á) Îêðóæíîñòè îñíîâàíèé öèëèíäðà, âûñîòà êîòîðîãî ðàâíà h, ðàñïîëîæåíû íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû. Íàéäèòå îáúåì ÷àñòè øàðà, îãðàíè÷åííîé ñôåðîé è áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ öèëèíäðà. Ðåøåíèå. à) Ïëîùàäü êîëüöà ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå S = πR2 − πr 2 = π R2 − r 2 . Ïðè ýòîì ðàçíîñòü êâàäðàòîâ ( ) ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé ìîæåò áûòü íàéäåíà èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 16): R2 − r 2 = a2 4 , ñëåäîâàòåëüíî, πa2 S= . 4 Áåçóñëîâíî, ïðèÿòíî, ÷òî ïëîùàäü êîëüöà íå çàâèñèò îò ðàäèóñîâ êðóãîâ, îäíàêî ñòåðåîìåòðè÷åñêèé àíàëîã ýòîé çàäà÷è ïîòðÿñàåò îêîí÷àòåëüíî! Ðèñ. 16 á) Ðàçóìååòñÿ, â ñòåðåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷å ìîæíî áûëî áû òîæå íàïèñàòü òåîðåìó Ïèôàãîðà (îäèí èëè íåñêîëüêî ðàç), ñîñòàâèòü ñèñòåìó èç íåñêîëüêèõ óðàâíåíèé ñ íåñêîëüêèìè íåèçâåñòíûìè, ðåøèòü åå.  ðåçóëüòàòå ìíîãîå ñîêðàòèòñÿ è íå âîéäåò â îêîí÷àòåëüπh3 , âèä êîòîðîãî äîëæåí íàâåñòè íûé êðàñèâûé îòâåò V = 6 íà ìûñëü, ÷òî ñóùåñòâóåò è ïðîñòîå ðåøåíèå. Çàìå÷àíèå. Ñàìîå ïðîñòîå, ìîæíî äàæå ñêàçàòü âåðîëîìíîå, «ðåøåíèå» òàêîâî. Òàê êàê îòâåò íå çàâèñèò íè îò ðàäèóñà øàðà, íè îò ðàäèóñà öèëèíäðà, à çàâèñèò òîëüêî îò åãî âûñîòû, òî îáúåì èñêîìîãî òåëà íå èçìåíèòñÿ, åñëè ìû ñòÿíåì öèëèíäð â îòðåçîê, óìåíüøàÿ åãî ðàäèóñ äî íóëÿ. Ïðè ýòîì äèàìåòð øàðà ñòàíåò ðàâíûì h, è ýòîò øàð áóäåò èìåòü òîò æå îáúåì, ÷òî è èñêîìîå òåëî. Îòâåò: V = 3 πh3 4 h π = . 3 2 6 Óïðàæíåíèå 6. Íàéäèòå êàê ìîæíî áîëüøå îøèáîê â ýòîì «ðåøåíèè». Ðàçóìååòñÿ, ñóùåñòâóåò íå î÷åíü ñëîæíîå è âìåñòå ñ òåì èçÿùíîå ðåøåíèå. Äëÿ ïîèñêà òðåáóåìîãî îáúåìà âîñïîëüçóåìñÿ ïðèíöèïîì Êàâàëüåðè: Åñëè äâà òåëà ìîæíî òàê ðàñïîëîæèòü â ïðîñòðàíñòâå, ÷òî ëþáàÿ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíàÿ çàäàííîé ïëîñêîñòè, ïåðåñåêàåò ýòè òåëà ïî ôèãóðàì, èìåþùèì îäèíàêîâûå ïëîùàäè, òî ýòè òåëà èìåþò îäèíàêîâûå îáúåìû. Áóäåì ïåðåñåêàòü ñôåðó è öèëèíäð ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿì îñíîâàíèé öèëèíäðà (ðèñ.17,à). Òîãäà Ðèñ. 17 ñå÷åíèåì èñêîìîãî òåëà êàæäîé èç òàêèõ ïëîñêîñòåé ÿâëÿåòñÿ êîëüöî (èëè òî÷êà). Äëÿ ïîèñêà åãî ïëîùàäè íàéäåì åãî âíåøíèé ðàäèóñ (âíóòðåííèé ðàäèóñ ðàâåí r ðàäèóñó öèëèíäðà). Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü îñåâîãî ñå÷åíèÿ öèëèíäðà (ðèñ.17,á). Ïóñòü ñëåä ñåêóùåé ïëîñêîñòè íà ðàññìàòðèâàåìîé ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè x îò öåíòðà h h ñôåðû x ∈ − ; . Òîãäà âíåøíèé ðàäèóñ êîëüöà ñå÷å 2 2 íèÿ ðàâåí R2 − x2 . Ïëîùàäü êîëüöà ðàâíà S=π ( R2 − x 2 ) − πr 2 2 ( ) = π R2 − x 2 − r 2 . Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî èìåííî òàêóþ ïëîùàäü áóäåò èìåòü h 2 2 ñå÷åíèå øàðà ðàäèóñà R − r = ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿ2 ùåé íà ðàññòîÿíèè x îò öåíòðà ýòîãî øàðà. Ïî ïðèíöèïó Êàâàëüåðè, îáúåì èñêîìîãî òåëà ðàâåí îáúåìó ýòîãî øàðà, ò.å. V = 3 πh3 4 h π = . 3 2 6 Èòàê, åñëè â äåðåâÿííîì øàðå ñäåëàòü öèëèíäðè÷åñêèé ïðîïèë ñ îñüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà, òî îáúåì ïîëó÷åííîãî òåëà íå çàâèñèò íè îò ðàäèóñà èñõîäíîãî øàðà, íè îò ðàäèóñà ïðîïèëà, à çàâèñèò òîëüêî îò åãî äëèíû! Èìåííî ïîýòîìó ðàçìåð çîëîòîãî êîëüöà â þâåëèðíîì ìàãàçèíå ìîæåò áûòü óâåëè÷åí áåç äîáàâëåíèÿ äðàãîöåííîãî ìåòàëëà. Îáúåì êîëüöà çàâèñèò òîëüêî îò «äëèíû ïðîïèëà» â íåì, íî íå îò ðàçìåðà êîëüöà! Çàäà÷à 17. Îäíîìó ïèðàòó áûëî èçâåñòíî, ÷òî â ìåñòíîñòè, ãäå çàðûò êëàä, ðàñòóò òîëüêî òðè äåðåâà: äóá, ñîñíà è áåðåçà. Êðîìå òîãî, ïèðàòó áûëî èçâåñòíî, êàê íàéòè ýòîò êëàä. Ïðåæäå âñåãî íàäî ñòàòü ïîä áåðåçîé ëèöîì ê ïðÿìîé ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé äóá è ñîñíó. (Íà ðèñóíêå 18 âñå äåðåâüÿ îáîçíà÷åíû ïåðâûìè áóêâàìè èõ íàçâàíèé.) Ïðè ýòîì äóá äîëæåí îêàçàòüñÿ ñïðàâà, à ñîñíà ñëåâà. Ïîòîì íóæíî ïîéòè ê äóáó, ñ÷èòàÿ øàãè, à äîéäÿ äî äóáà, ïîâåðÐèñ. 18 íóòü ïîä ïðÿìûì óãëîì íàïðàâî è ïðîéòè ñòîëüêî æå øàãîâ, ñêîëüêî óæå ïðîéäåíî îò áåðåçû äî äóáà.  ýòîì ìåñòå íóæíî âáèòü â çåìëþ êîëûøåê (òî÷êà K1 íà ðèñóíêå). Ïîòîì íóæíî âåðíóòüñÿ ê áåðåçå è ïîéòè îò íåå ê ñîñíå, ñíîâà ñ÷èòàÿ øàãè. Äîéäÿ äî ñîñíû, íóæíî ïîâåðíóòü ïîä ïðÿìûì óãëîì íàëåâî è ïðîéòè ñòîëüêî æå øàãîâ, ñêîëüêî áûëî ïðîéäåíî îò áåðåçû äî ñîñíû.  ýòîì ìåñòå íóæíî âáèòü â çåìëþ âòîðîé êîëûøåê (òî÷êà K2 íà ðèñóíêå). Êëàä çàðûò ïîñåðåäèíå ìåæäó êîëûøêàìè (òî÷êà K íà ðèñóíêå). Ïèðàò áûë óâåðåí, ÷òî áåç òðóäà íàéäåò êëàä ïî ñòîëü ïîäðîáíîé èíñòðóêöèè. Íî êîãäà îí ïðèåõàë â ýòó ìåñòíîñòü, òî îáíàðóæèë òàì òîëüêî äóá è ñîñíó. Áåðåçà áåññëåäíî èñ÷åçëà. Îäíàêî ïèðàò âñå æå íàøåë êëàä. Êàê åìó ýòî óäàëîñü? Ðåøåíèå. Ïîíÿòíî, ÷òî ïèðàò íå ñòàë áû äîëãî äóìàòü è ðàññóæäàë áû ïðèìåðíî òàê: «Åñëè áû áåðåçà áûëà çäåñü, òî êëàä áûë áû çäåñü, à åñëè áû áåðåçà áûëà òóò, òî êëàä áûë áû òàì». È âäðóã! Î ÷óäî! Îí áû çàìåòèë, ÷òî ìåñòîïîëîæåíèå êëàäà íå çàâèñèò îò ìåñòîïîëîæåíèÿ áåðåçû! ßñíî, ÷òî îí òóò æå âçÿë áû â ðóêè ëîïàòó è çàíÿëñÿ êëàäîì, îòëîæèâ äîêàçàòåëüñòâî äî ëó÷øèõ âðåìåí. Îñòàâèì â ýòîì çàõâàòûâàþùåì ìåñòå íàøåãî óäà÷ëèâîãî êëàäîèñêàòåëÿ è çàèíòåðåñóåìñÿ èìåííî äîêàçàòåëüñòâîì îïèñàííîãî ôàêòà. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ïî-ðàçíîìó.  óïðàæíåíèè 13 ÷èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ íàéòè ãåîìåòðè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâî, îäíàêî ñåé÷àñ íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü êèíåìàòè÷åñêèé ìåòîä, ïîäðîáíî îáñóæäàâøèéñÿ â ñòàòüå «Êèíåìàòèêà â ïëàíèìåòðèè» Â.Ðûæèêà è Á.Ñîòíè÷åíêî â «Êâàíòå» ¹5 çà 2002 ãîä. Ïóñòü áåðåçà Á íà÷àëà äâèãàòüñÿ (îé!) è v âåêòîð åå ìãíîâåííîé ñêîðîñòè. Òàê êàê îòðåçîê ÄK1 ïîëó÷àåòñÿ èç îòðåçêà ÄÁ ïîâîðîòîì íà 90, òî òî÷êà K1 òîæå áóäåò äâèãàòüñÿ, ïðè÷åì âåêòîð åå ñêîðîñòè v1 áóäåò ïîëó÷àòüñÿ èç âåêòîðà v ïîâîðîòîì íà 90. Àíàëîãè÷íî, âåêòîð v 2 ñêîðîñòè òî÷êè K2 ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðà v ïîâîðîòîì íà -90. Çíà÷èò, v1 = - v 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà K êàê ñåðåäèíà 1 ( v1 + v2 ) = 0, ò.å. ýòà òî÷êà 2 íåïîäâèæíà. Èòàê, ïðè ïðîèçâîëüíîì äâèæåíèè òî÷êè Á òî÷êà K îñòàåòñÿ íåïîäâèæíîé. Çíà÷èò, ïîëîæåíèå êëàäà íå çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ áåðåçû! îòðåçêà K1K2 èìååò ñêîðîñòü Óïðàæíåíèÿ 7. Íà ïëîñêîñòè èçîáðàæåíà äóãà AB îêðóæíîñòè è óêàçàí åå öåíòð. Òîëüêî ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ ðàçäåëèòå äóãó AB ïîïîëàì. 8.  çàäà÷å î âåðåâêå, îáòÿãèâàþùåé çåìíîé øàð ïî ýêâàòîðó, «îòòÿíåì» âåðåâêó â îäíîì ìåñòå êàê ìîæíî äàëüøå. Ìîæåò ëè â îáðàçîâàâøèéñÿ çàçîð ïðîéòè ñëîí? 9. Öåíòð ñôåðû α ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû β . Îòíîøåíèå ÷àñòè ïîâåðõíîñòè ñôåðû β , ëåæàùåé âíóòðè ñôåðû α , êî âñåé ïîâåðõíîñòè ñôåðû α ðàâíî 1/5. Íàéäèòå îòíîøåíèå ðàäèóñîâ ñôåð α è β . 10. Îïðåäåëèòå ïîëíóþ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû, îïèñàííîé îêîëî ñôåðû, åñëè ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ ðàâíà S. 11. Íà ãëàâíîé äèàãîíàëè AC1 è íà äèàãîíàëè BA1 áîêîâîé ãðàíè ABB1 A1 åäèíè÷íîãî êóáà ABCDA1B1C1D1 ðàñïîëîæåíû äâà îòðåçêà MN è PQ äëèíû 1/2. Íàéäèòå îáúåì òåòðàýäðà MNPQ. 12. Íàéäèòå îáúåì îáùåé ÷àñòè n îäèíàêîâûõ áåñêîíå÷íûõ öèëèíäðîâ ðàäèóñîì r, îñè êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû â îäíîé ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó òî÷êó, ïðè÷åì óãîë ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ðàâåí π/n. 13. Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî çàäà÷è î ïèðàòå. 14. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè, ñèììåòðè÷íûå îðòîöåíòðó òðåóãîëüíèêà îòíîñèòåëüíî ñåðåäèí åãî ñòîðîí, ëåæàò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Ñðàâíèòå ýòîò ðåçóëüòàò ñ óïðàæíåíèåì 4.
