Физико-математические науки ... Педагогические науки

Физико-математические науки
Педагогические науки
УДК 517.1/.2 : 372.85
Альтернативная методическая система исследования
функций на убывание и возрастание
Новиков Александр Дмитриевич,
кандидат педагогических наук, доцент, кафедра математического анализа
Армавирская государственная педагогическая академия
352931, г. Армавир Краснодарского края, ул. Луначарского 41/3;
8(928)4149847,
e-mail: [email protected]
Аннотация. Анализируя традиционный подход к исследованию функций на убывание и возрастание, автор статьи приходит к выводу о наличии в
нём неустранимых противоречий. В качестве альтернативного подхода в контексте фундаментализации математического образования предлагаются новая
концепция исследования функций, в основу которой положена классификация точек их области определения. Разработаны адекватный инструментарий,
схема и методика исследования функций, позволяющая классифицировать
точки их области определения. Предложена методическая система исследования функций на убывание и возрастание и вариант её введения в школьный
курс математики.
Ключевые слова: исследование функций на возрастание и убывание, классификация точек области определения, фундаментализация математического
образования, методическая система.
Глобализация образования, стремительное расширение информационного пространства на основе современных технологий и конкурентное соперничество развитых стран в развитии инновационных технологий привело в
современном мире к ускоренному наращиванию научного потенциала, и, в
частности, посредством качественной подготовки специалистов высокой квалификации. Однако взаимодействие образовательных систем различных стран
существенно осложняется значительными различиями образовательных стандартов, уровней подготовки и качества учебных программ. Поэтому, с целью
построения единого Европейского пространства высшего образования
(European Higher Education Area) к 2010 г. была составлена и подписана 29
странами Европы Болонская декларация (19 июня 1999 г.). В декларации ука1
зывается, в частности, на ведущую роль крупных университетов в укреплении
интеллектуального, культурного, социального, научно-технического потенциала, а также их интеграции в общую базу «европейских знаний».
Среди основных целей Болонской декларации особо отмечается необходимость формирования европейской систем мониторинга и обеспечения
высокого уровня качества высшего образования. Одно из важнейших условий
этого – непрерывный процесс его фундаментализации. Фундаментализация
общего и высшего и среднего специального образования – это сложный и
многогранный процесс, основой которого является сближение и интеграция
образовательного процесса с научными знаниями в соответствующей области
специализации. Значительную роль в решении конкретных задач и достижении конечной цели этого процесса играют соответствующие специализациям
методики обучения и воспитания, как вполне самостоятельные области педагогики.
Фундаментализация математического образования в высшей школе,
техникумах и старших классах средней школы предполагает использование в
процессе глубокого и основательного изучения математических дисциплин
новых научных исследований и достижений математики. При этом существенно создать оптимальные условия для воспитания у обучаемых гибкого
научного мышления. Особенно велика роль в таком образовательном процессе современных достижений методики обучения математике как научной области педагогики. Методами методики преподавания математики можно не
только оптимизировать процесс обучения, но и в контексте фундаментализации математического образования находить и исправлять те традиционные
подходы к изучению конкретных тем и разделов математики, которые по тем,
или иным причинам входят в противоречие с современным её содержанием.
Основными критериями такой методической работы являются требования,
предъявляемые к любой научной теории – это требования полноты и непротиворечивости предлагаемых новых концепций и соответствующих подходов
к изложению некоторых тем и разделов математики.
2
Включение элементов математического анализа в школьный курс математики позволило не только существенно углубить и расширить математическую подготовку выпускников школ, но и открыло возможность детально
проанализировать традиционные концепцию и подход к изучению функций
на убывание и возрастание. Как было нами показано в [1], этот подход содержит неустранимые в его рамках логические противоречия. Однако, используя
понятия областей убывания, возрастания и постоянства функции, а также областей минимума, максимума и области точек, не входящих в первые пять
классов областей, мы, используя методы обобщения и аналогий, разработали
новую концепцию и соответствующий подход к исследованию функций на
убывание и возрастание, позволяющий полно и без противоречий проводить
это исследование [2].
В современных учебниках математического анализа и высшей математике под основной задачей исследования функций на возрастание и убывание
понимается определение множеств, на которых рассматриваемая функция,
соответственно, возрастает и убывает. В школьном курсе алгебры и начал математического анализа (см., например [3]) под этими множествами понимаются промежутки убывания и возрастания функций. В вузовских курсах математического анализа и высшей математики кроме промежутков убывания и
возрастания функций находят также отдельные точки возрастания и убывания
функции. Однако, традиционный подход к исследованию функций на убывание и возрастание содержит существенные противоречия.
Следующий
пример
наглядно
подтверждает
сказанное
выше.
Современный выпускник средней школы, изучивший начала математического
анализа, оказывается не в состоянии правильно исследовать на убывание и
возрастание даже следующую, довольно простую функцию
1
 , x  0,
y  x
 0, x  0.
3
В самом деле, старшеклассники, в качестве результата исследования
этой функции напишут, что она убывает на промежутках . 0 и 0,   . При
этом точку области определения функции
x0
(точка возрастания) они никак
не классифицируют, поскольку не знакомы с понятиями точек убывания и
возрастания функции, которые, как было сказано выше, были изъяты из
школьных учебников математики. И лишь студенты вузов, изучающие полные курсы математического анализа, смогут правильно классифицировать эту
точку.
Этот контрпример позволяет сделать нам следующий вывод: изъятие
из школьных учебников алгебры и начал анализа понятий точек убывания и
возрастания функций необосновано, поскольку привело к невозможности
полноценного исследования функций на убывание и возрастание. Поэтому
эти понятия необходимо вернуть в школьные учебники, куда их вполне
продуманно ввёл не кто-нибудь, а выдающийся советский математик А.Н.
Колмогоров,
ивестный
не
только
своими
выдающимися
научными
достижениями, но и огромным вкладом в развитие математического
образования студентов и школьников России.
Рассмотрим второй, ставший классическим, пример. Практически во
всех школьных и вузовских учебниках во введении в математический анализ
при обзоре элементарных функций можно прочесть примерно следующее
«Функция
y  x2
– возрастает на полуоси
x0
и убывает на полуоси
x  0 .»
[4].
Зададимся вопросом – что здесь не так? При детальном анализе оказывается,
что это – бессмысленное высказывание. В самом деле, здесь речь идёт о двух
различных функциях: о функции
функции
y  x2
y  x2
с областью определения
с областью определения
D2  , 0 .
отдельности верны. Но, ведь, о функции
D  ,   
y  x2
D1  0,  
ио
И оба высказывания по
с областью определения
ничего так и не сказано. При этом считается, что исследована
именно функция
y  x2
с областью определения
D   ,   .
При этом в
качестве инструмента исследования используются определения монотонных
4
(убывающей и возрастающей) функций, которые применяются не к
исследуемой функции, а к двум другим функциям. Поэтому возникает
противоречие – точка
x0
включена в оба промежутка
D1
и
D2 .
Другими
словами эта точка не классифицируется, что указывает на явный недостаток
используемого теоретического подхода к исследованию функции.
С
точки
зрения
предлагаемого
нами
подхода
(концепции)
исследования функций на убывание и возрастание область определения
функции разбивается на 6 классов: область убывания, область возрастания,
область
постоянства,
множество
точек
минимума,
множество
точек
максимума и множество точек, не входящих в первые 5 классов. В качестве
основного инструмента исследования используется понятие окрестности
точки [5]. Предлагаемый подход к исследованию функций на убывание и
возрастание в рассмотренном выше примере даёт следующие результаты:
D1   , 0)
– область убывания функции
функции
y  x 2 ; D3  0
y  x 2 ; D2  0,  
– область убывания
– множество минимумов функции
видно, вся область определения функции
y  x2
y  x2 .
Как отсюда
классифицируется, что
подчёркивает преимущество предлагаемой концепции исследования функций
на убывание и возрастание по сравнению с традиционным подходом.
Сказанное
выше,
требует
конструирования
соответствующей
методической системы обучения в средних учебных заведениях и вузах,
позволяющей полноценно исследовать функции на убывание и возрастание.
Реализация этой идеи осуществлялась с соблюдением основных принципов,
присущих любой научной теории – принципа непротиворечивости и полноты.
Традиционный подход, как было показано выше, имеет очевидный
логический изъян. Кроме того, как правило, любая научная теория
классифицирует, описываемые ею объекты. Но в рассмотренном нами
примере точка x  0 по определениям убывающей и возрастающей функций
входит одновременно в два полуинтервала – в
(, 0]
и в
[0,  ) .
Этот факт
также подчёркивает, что традиционный подход к исследованию функций на
убывание и возрастание нуждается в серьёзной переработке.
5
Ввиду того, что функционирование любой методической системы
невозможно без тесной связи с окружающей средой, то выявление и развитие
компонентов этих связей представляет собой важнейший аспект при
конструировании самой методической системы. В нашем случае – это прежде
всего госстандарты математического образования, в которых очерчена та
область математических знаний умений и навыков, которыми должны
обладать современные выпускники средней школы и вуза и которые позволят
им легко включится в созидательную деятельность общества.
Основные компоненты внешней среды, связывающие методическую
систему обучениия исследованию фунций на убывание и возрастание
представлены на Рис. 1. Как видно из схемы, эти компоненты могут
взаимодействовать (с обратной связью) не только с методической системой,
но и непосредственно между собой. На схеме изображены стрелками лишь
наиболее существенные связи между внешними компонентами. Цели
математического
образования
сформулированы
в
соответствующих
документах – федеральных стандартах образования – и играют ключевую
роль в создании методической системы обучения.
Цели образования
(госстандарты образования)
Математика
Результаты научных
исследований в
информатике
Методическая система
обучения исследованию
функций на убывание и
возрастание
Личностные
качества
обучаемых
Результаты научных
исследований в
гуманитарных науках
Рис. 1. Внешние связи методической системы
Наиболее важная внутренняя компонента методической системы – это
её содержание – состоит из следующих шести основных определений,
6
позволяющих разбить область определения исследуемой функции на шесть
непересекающихся классов, наглядно изображённых на схеме Рис. 2.
Приведём систему этих определения, в которых под
D( f )
понимается область
определения функции.
Определение 1. Областью возрастания (убывания) функции называется
множество точек возрастания (убывания) этой функции.
Определение 2. Точка
x0
области определения функции
y  f (x)
называет-
ся точкой убывания, если существует такая окрестность этой точки
x0  1, x0   2  , в которой
x  x0 , x  D( f ) ,
где
f ( x)  f ( x0 )
для всех x  x 0 ,
x  D( f )
и
f ( x)  f ( x0 )
для всех
1  0 ,  2  0 .
Определение 3. Точка
x0
области определения функции
y  f (x)
называет-
ся точкой возрастания, если существует такая окрестность этой точки
x0  1, x0   2  , в которой
f ( x)  f ( x0 )
для всех
x  x0 , x  D( f )
и
f ( x)  f ( x0 )
для всех
x  x0 , x  D( f ) .
Если же точка
является наименьшей или наибольшей точкой области
x0
определения исследуемой функции, то необходимо воспользоваться следующими двумя определениями.
Определение 4. Точка
x0
называется точкой убывания функции
y  f (x)
справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя)
окрестность этой точки x0 , x0    ( x0   , x0  ), в которой
для всех
x  x0
( x  x0 ),
( f ( x)  f ( x0 ) )
x  D( f ) .
Определение 5. Точка
y  f (x)
f ( x)  f ( x0 )
x0
называется точкой возрастания функции
справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя)
окрестность этой точки x0 , x0    ( x0   , x0  ), в которой
для всех
x  x0
( x  x0 ),
Определение
f ( x)  f ( x0 )
( f ( x)  f ( x0 ) )
x  D( f ) .
6.
Областью
постоянства
функции
называется
объединение множеств точек области определения функции, каждое из кото-
7
рых включает в себя не менее двух точек, в которых, и как в точках между
ними, значения функции одинаковы.
Точки
убывания функции
Точки
постоянства функции
Точки
возрастания функции
Область определения
функции D
Точки
минимума функции
Остальные
точки функции
Точки
максимума функции
Рис. 2. Классификация точек области определения функции.
Заметим, что для выявления точек постоянства функции следует в
качестве инструментария использовать в общем случае и одностороннюю
окрестность.
Следущим шагом является поэтапное введение нового подхода в курсы
математики средних учебных заведений и вузов. В этом вопросе следует
придерживаться принципов постепенности и посильности. Ясно, что в
качестве инструмента исследования функций использовать уже в 7 классе [8]
окрестность точки не целесообразно, поскольку это понятие довольно сложно
для понимания семиклассниками, что может затруднить исследование
функций на убывание и возрастание. Поэтому на первом этапе обучения
лучше ограничится определениями точек убывания и возрастания функций,
использующих понятия предшествующей и последующей точек. И только при
исследовании функций, заданных на множествах изолированных точек.
Исследование непрерывных и
кусочно-непрерывных функций разумно
8
проводить, опираясь на существование (отсутствие) точек, имеющих
меньшую и большую координаты, чем исследуемая точка. Приведём полную
систему этих определений, в которой область определения функции есть
множество чисел
причем выполнены неравества
x i , i  1; 2; ... n,
x1  x2  ...  xn .
Определение 1. Областью возрастания (убывания) функции называется
множество точек возрастания (убывания) этой функции.
Определение 2. Точка
функции
y  f (x) ,
xi ,
( i  1, ..., n ) называется точкой возрастания
если выполняется неравенство
Определение 3. Точка
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi 1 ) .
называется точкой убывания функции
xi
если выполняется неравенство
y  f (x) ,
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi 1 ) .
Определение 4. Точка
a  x1
функции
y  f (x)
называется точкой
убывания (возрастания) справа, если выполняется неравенство
f ( x1 )  f ( x2 )
( f ( x1 )  f ( x2 ) ).
Т.е., если значение функции на левой границе её области определения
D( f )
больше (меньше) значения функции в последующей точке.
Определение 5. Точка
b  xn
функции
y  f (x)
называется точкой
убывания (возрастания) слева, если выполняется неравенство
f ( xn )  f ( xn 1 )
( f ( xn )  f ( xn 1 ) ).
Т.е., если значение функции на правой границе её области определения
меньше (больше) значения функции в предыдущей точке.
Определение 6. Точка
xi
если выполняются неравенства
Определение 7. Точка
xi
если выполняются неравенства
называется точкой минимума функции
f ( xi )  f ( xi 1 )
и
f ( xi )  f ( xi 1 ) .
называется точкой минимума функции
f ( xi )  f ( xi 1 )
и
y  f (x) ,
y  f (x) ,
f ( xi )  f ( xi 1 ) .
9
Определение 8. Точка
y  f (x) ,
xi
называется точкой постоянства функции
если выполняются неравенства
f ( xi )  f ( xi 1 ) или f ( xi )  f ( xi 1 ) .
Определение 9. Множество всех точек постоянства функции называется областью постоянства функции.
Определение 10. Точкой наибольшего значения функции называется
точка, которой она принимает своё наибольшее значение.
Определение 11. Точкой наименьшего значения функции называется
точка, которой она принимает своё наименьшее значение.
Таким образом, изучая на первоначальном этапе функции, заданные на
множестве изолированных точек, по их графикам не нужно вычислять
значения функций, составлять таблицы значений функции и строить их
графики. Сэкономив на этих операциях значительное время и уделив больше
времени работе с «готовыми» графикам функций учитель имеет возможность
быстро и эффективно изучить основные свойства этих функций. Такой
подход был бы хорошей пропедевтикой для перехода к изучению более
сложных объектов – непрерывных и кусочно-непрерывных функций и их
графиков. При этом на их изучение потребуется уже значительно меньше
времени, поскольку схема и сам процесс исследования будут уже хорошо
знакомы школьникам по ранее изученному материалу. Особенно эффективен
предлагаемый подход при изучении таких, не самых простых понятий
математики, как понятия точек убывания, возрастания и постоянства
функции, точек экстремума и точек наименьших и наибольших значений
функции.
Используя предлагаемый подход, нами был проведён педагогический
эксперимент с базой исследования – 600 студентов очного и заочного
отделения АГПА (Армавирская государственная педагогическая академия). В
ходе чтения лекций на курсах по выбору и спецкурсах были выделены
экспериментальная и контрольная группы в общей сложности по 300 человек
каждая. Отбор студентов в эти группы производился таким образом, чтобы их
10
средний балл по математическим дисциплинам был примерно одинаковым. В
экспериментальной группе исследование функций на убывание и возрастание
сначала изучалось на функциях, заданных на множестве изолированных
точек, а затем на непрерывных и кусочно-непрерывных. А в контрольной
группе – только на непрерывных и кусочно-непрерывных функциях.
Результаты выполнения проверочной работы в экспериментальной группе
оказались почти на 20% лучше, чем в контрольной. Причём, как показал
анализ результатов эксперимента, это улучшение результатов проверочной
работы произошло в основном за счёт средне и слабоуспевающих студентов.
Полученные результаты позволяют сделать заключение, что предложенная
методика исследования функций на убывание и возрастание более
эффективна, если сначала с обучаемыми изучаются функции, заданные на
множестве изолированных точек, а затем на произвольных множествах.
Если класс оборудован интерактивной доской, то, несомненно,
изучение материала будет проходить особенно эффективно как во времени,
так и по качеству его усвоения. Если же интерактивной доски нет, то можно
воспользоваться предварительно заготовленными плакатами с графиками
соответствующих функций или рисунками, заранее выполненными на
обычной доске (методика В. Ф. Шаталова [6]). При этом основной упор лучше
сделать на устную работу с классом по предварительно подготовленному
наглядному материалу.
Для более системного и прочного усвоения нового материала по
исследованию функций на наш взгляд полезно воспользоваться технологией
УДЕ (укрупнённых дидактических единиц) [7]. Т.е. предложить учащимся
выполнить задания, в которых требуется не только исследовать функцию в
соответствии со схемой на Рис. 3, но и решить обратную задачу, а именно: по
заданным компонетам схемы на Рис.2 требуется построить график
соответствующей функции. Следующий этап
– это самостоятельное
составление и решение учащимися прямой и обратной задач.
11
Конечно, при вкраплении изучения этого материала в рабочий план
учителя на его изучение потребуется 2-3 урока. Однако в ходе дальнейшего
изучения функций затраченное время с лихвой окупится. Можно, разумеется,
этот материал изучать и на факультативных и кружковых занятиях, но тогда
он окажется доступным лишь для значительно меньшего числа школьников.
Таким образом, опираясь на систему определений альтернативного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание в средней школе и
вузе, изложенного в [1] и предлагаемого в этой статье варианта его адаптации
к исследованию функций, заданных на множествах изолированных точек,
приходим к следующим выводам и предложениям:
1)
определения точек убывания и возрастания необходимо вернуть в
школьные учебники алгебры и начал анализа;
2)
предлагаемый подход к пропедевтике понятий убывания и возрастания функций в точке, основанный на системе определений 1-11 и
схеме на Рис.3, позволит сформировать первоначальное представление об этих понятиях уже в 7-м классе средней школы;
3)
использование технологии обучения УДЕ даёт возможность школьникам 7-го класса получить прочные и устойчивые во времени знания, существенно облегчающие дальнейшее исследование функций
на убывание и возрастание в старших классах средней школы;
4)
предложенная схема исследования функций на убывание и возрастание позволяет классифицировать (один из признаков любой научной
теории) все точки их области определения, что невозможно при традиционном подходе в силу его внутренней противоречивости.
Литература
1.
Новиков, А.Д. Возрастание и убывание функций на дискретных множествах [Текст] // Высшее образование сегодня. – 2008. – № 12. – C. 8385.
12
2.
Новиков, А.Д. Исследование функций на убывание возрастание в контексте фундаментализации математического образования [Текст] //
Преподаватель ХХI век. – 2010. – № 3. – С. 207-214.
3.
Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват.
учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.;
Под ред. А.Н. Колмогорова.– 14-е изд.– М.: Просвещение, 2004.– 384 с.
4.
Математический анализ. Начальный курс [Текст] /В. А. Ильин, В. А.
Садовничий, Бл. Х. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова. – 2-е изд., перераб. – М.: Изд-во МГУ, 1985. – 662 с.
5.
Новиков, А.Д. Окрестность точки как основной инструмент исследования функций на убывание и возрастание [Текст] // Омский научный
вестник. – 2011. – № 4. – С. 156 – 160.
6.
Эксперимент продолжается [Текст]: /В.Ф. Шаталов. – М.: Просвещение, 1989. – 41 с.
7.
Эрдниев, П.М. Обучение математике в школе. Укрупнение дидактических единиц [Текст]: книга для учителя /П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев. –
2 изд. испр. и доп. – М.: АО «Столетие», 1996. – 320 с.
8.
Алгебра [Текст]: Учеб. Для 7 кл. сред. шк. /Ю.Н. Макарычев, Н.Г.
Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под. ред. С.А. Теляковского. – 2е изд. – М.: Просвещение, 1991. – 240 с.
13