Контрольные задания для студентов 2 курса специальности «Математи-

Контрольные задания для студентов 2 курса специальности «Математика» по дисциплине «Дифференциальные уравнения».
3 семестр
1. Построить поле направлений для дифференциальных уравнений:
y  x 2  y 2 .
2. Найти кривую, проходящую через точку (2,0) и такую, что отрезок касательной между точкой касания и осью ОУ имеет постоянную длину, равную 2.
3. Решить уравнения:
а). (1 e x )y y  e x
б). y x  y (1  ln y  ln x )
x  2y
y
1
в). y   ytgx 
г).
dx

dy  0
cos x
( x  y) 2
( x  y) 2
д). x ((y  )2  1)  2yy  .
4. Найти огибающую семейства решений уравнения у  ху   ( у  ) 2 .
5. Решить задачу Коши: y   3x 2 , xo  0, yo  2, yo  1.
6. Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности выделить
области, в которых сохраняется единственность решения для данного
x 2
уравнения y  
.
x y
7. Перейдя от дифференциального уравнения к интегральному, построить
последовательные приближения к решению с данными начальными условиями. Оценить, на каком отрезке теорема Пикара обеспечивает существование решения и сходимость последовательных приближений
y   y 2  3x 2  1, y (0 )  1. Найти y 0 , y1 , y 2 .
8. Понизить порядок данного уравнения, свести к уравнению первого порядка
y
а). ( y  )2  2 y y   1  0
б). xy   y   x sin .
x
9. Решить уравнение, преобразовав его к полной производной:
yy   y  (y   1) .
10. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, имеющее
данные частные решения: sin x , cos x .
11. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми (функции рассматриваются в той области, в которой они все определены):
x 2  x  3, 2x 2  x , 2x  4 .
12. Привести систему к одному уравнению высшего порядка и найти общее
y2
y

, z   y  1.
решение 
zx
13. Показать, что система функций
 x1 (t )  С1е  t  С2 е3t ,


t
3t

 x2 (t )  2C1е  2 С2 е
является общим решением системы уравнений
 dx1
 dt  x1  x2 ,
 dx
 2  x2  4x1 .
 dt
14. Проверить, является ли данная функция  первым интегралом данной системы дифференциальных уравнений:
 dx1 x12

,

dt
x
2
а) 
  x1 x2 e  t ;
 dx 2  x  x
2
1,
 dt
15. Найти независимые первые интегралы системы уравнений:
dx
dy
dz
.


zy x z yx
4 семестр
1. Уравнение
(2 x  x 2 ) y   2( x  1) y   2 y  2
имеет частные решения у1 = 1, у2 = х. Найти общее решение.
2. Методом вариации произвольных постоянных решить уравнение
(1  x 2 )y   2xy   12x 3
3. Решить однородное дифференциальное уравнение y   y   0 .
4. Решить
неоднородное
дифференциальное
уравнение
IV
2
y  4y   4y   x  x .
5. Решить системы уравнений:
 x  2x  y  z,
 x  2 x  3y ,

а)  y  2x  y  2z, б) 
 y  x  2 y  2 sin t .
 z   x  y  2z.

6. При каких значениях  уравнение y    y  0 имеет не нулевое решение,
удовлетворяющее краевым условиям: y (0)  y ( ), y (0)  y ( ) ;
7. Разрешима ли следующая краевая задача:
y   y  0, y (0)  0, y (2 )  1 ;
8. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, исследовать на устойdx
чивость решения уравнений:
 2t ( x  1), x(0)  0 .
dt
9. С помощью функций Ляпунова исследовать на устойчивость решение
 dx
x x3


y

 ,

dt
2
4
х=у=0 
3
 dy  x  y  y ;
 dt
2 4
10. Исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение
 y1   y1  3 y 2  y12 sin y 2 ,
следующих систем: 
2
 y 2   y1  4 y 2  1  cos y 2 ;
11. Исследовать на устойчивость нулевое решение, изобразить траектории
движений, определяемых этой системой, указав на рисунке стрелками
 dx
 dt  x ,
направление движения при возрастании времени 
dy
  2 y.
 dt
12. Исследовать особые точки уравнения. Дать чертеж расположения интегральных кривых на плоскости
y 
x  4y
 3x  2 y
13. Найти общее решение уравнения в частных производных
z
z
2x
 ( y  x)
 x2 .
x
y
14. Проинтегрировать уравнения и, где указано найти решение, удовлетворяющее
поставленному
начальному
условию:
u u u
x 
 u, u  y, при x  y  1 .
x 2 y y