14. ЕН.Ф.1 Математика
advertisement
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН.Ф.1 «МАТЕМАТИКА»
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
050502 Технология и предпринимательство
Утверждено на заседании кафедры
Технологии и дизайна Факультета
ТиД
(протокол №…….от……..200…_ г.)
Зав. кафедрой
____________________________
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины.
1.1. Автор программы: Локоть Наталья Васильевна
1.2. Рецензенты: Бродский И.Л., к.т.н., профессор кафедры естественноматематического образования МОИПКРО;
Мартынов О.М., к.ф.-м.н., доцент, декан ФМФ МГПУ.
1.3. Пояснительная записка:
Математика для ученого - то же самое, что
скальпель для анатома... Те, кто попытаются
идти вперед без этого орудия, вынуждены будут
остаться на пороге.
К. Ханстин
Учебная дисциплина "Математика" введена в процесс обучения для студентов специальности "технология и предпринимательство" в связи с требованиями государственного стандарта высшего образования.
Цель: обеспечение необходимого уровня теоретической подготовки
будущего специалиста по математике и воспитание математической
культуры.
Задачи:
1. овладеть математическим аппаратом, необходимым для изучения
последующих дисциплин естественного цикла;
2. привить элементы математической культуры: умение логически и
доказательно рассуждать, понимать и использовать основные
математические термины;
3. осознать роль и место математики в системе других наук, необходимость
математических знаний для специалистов данного профиля.
Место курса в общей системе подготовки специалиста:
В системе подготовки кадров по специальности "технология и предпринимательство'' курс математики занимает весьма важное место в связи с возросшими
требованиями современного общества к уровню подготовки специалистов вообще
и к уровню их математической культуры в частности. Курс изучается в 1 семестре,
так как является основой усвоения других дисциплин специальности: физики, механики,
конструирования и т.д.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины: студент должен:
- иметь полные и четкие представления о роли различных разд елов математики в современной науке;
- владеть основами аналитической геометрии и линейной алгебры, уметь
применять алгебраические, векторные и координатные методы для решения задач;
- оперировать основными понятиями дифференциального и интегрального ис-
числения функции одной переменной;
- приобрести навыки решения дифференциальных уравнений и применения некоторых
численных методов;
- иметь представление о функциях комплексной переменной и элементах
функционального анализа;
- освоить простейшие понятия теории вероятностей и математической
статистики и уметь применять их при обработке экспериментальных данных.
Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке:
Другие программы при подготовке данной не использовались.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО специальности.
Ксерокопия прилагается.
Выписка об общем количестве часов по дисциплине «Математика»:
1000 ЕН Цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин
№
Ф.1
Название
дисциплин
ы
Математика
Эк. Зач.
3
К/р.
2
Всего
Ауд.
334
166
КСР
С/р
ЛК
168
20
26
14
Семестр 1
ПР
30
Семестр 2
30
Семестр 3
46
СР
52
56
60
1.5. Объём дисциплины и виды учебной работы.
№п/п
1.
Шифр и
Курс Семестр
наименование
специальности
050502
математика
1
1
104
50
20
30
-
Вид итог.
контр.
Сам.
(форма
раб.
отчётност
и)
52 к.р.
1
2
2
3
104
108
334
56
54
166
26
14
60
30
46
106
-
56
60
168
Итого
1.6. Содержание дисциплины.
Виды учебной работы в часах
Труд
оёмко
сть
Всего
аудит.
Лк
Пр/
См
Лб
зачёт
экзамен
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение
учебного времени.
№
п/
п
Наименование раздела, темы
Элементы линейной
алгебры
1) Матрицы, операции над ними.
Определители квадратных
матриц.
2) Основные свойства
определителей и их вычисление.
3) Обратная матрица и ее
нахождение.
4) Системы линейных уравнений и
их решение.
2.
Элементы аналитической
геометрии
1) Вектора, их скалярное
произведение. Векторное и
смешанное произведение
векторов.
2) Уравнения прямой на плоскости.
Прямая и плоскость в
пространстве.
3) Линии второго порядка (эллипс,
гипербола, парабола).
Дифференциальное и
интегральное исчисления
1) Последовательности, их
виды. Предел
последовательности. Предел
функции в точке
2) Предел функции на
бесконечности, бесконечные
пределы. Замечательные и
односторонние пределы.
3) Непрерывные функции в
точке.
4) Производная функции
Правило Лопиталя.
Применение дифференциального
5) исчисления к исследованию
функций.
6) Неопределенный интеграл,
свойства и способы вычисления.
7) Определенный интеграл, его
свойства и способы вычисления.
8) Приложения определённого
интеграла.
1.
Количество часов
Всего
ауд.
36
28
76
Лк
Пр/См
Самостоят.
работа.
18
8
10
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
4
6
6
8
14
2
2
4
2
4
6
2
2
4
12
26
38
2
2
4
2
4
6
1
2
3
1
4
5
2
6
8
2
4
6
2
2
4
2
2
4.
Контрольная работа «Дифф. и
интегральное исчисление»
Числовые и
функциональные ряды
24
1) Числовой ряд, сходимость и
сумма. Ряды с положительными
членами и знакочередующиеся.
2) Степенные ряды.
Тригонометрические ряды.
5.
Численные методы
1)
Понятие о численных методах.
6.
Функции комплексной
переменной
Комплексные числа, операции над
ними.
Понятие о функции комплексной
переменной и аналитической
функции.
16
7.
Дифференциальные уравнения
36
1)
Обыкновенные
дифференциальные уравнения и
их решения.
Уравнения с разделяющимися
переменными; однородные и
сводящиеся к ним; линейные
уравнения. Уравнения высших
порядков, понижение порядка.
Нахождение решений линейных
дифференциальных уравнений
второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Приложения дифференциальных
уравнений к изучению
колебаний.
Элементы функционального
анализа
Метрические пространства.
Линейные нормированные
пространства.
Итоговая контрольная работа
(тестирование)
Элементы теории вероятностей
и математической статистики
Элементы теории множеств
1)
2)
2)
3)
4)
8.
1)
9.
1)
4
8
12
2
4
6
2
4
6
2
2
2
2
4
4
8
2
2
2
2
2
6
6
12
18
1
2
3
6
6
2
4
6
4
6
4
2
2
2
2
4
100
2
2
18
32
50
2
4
6
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Элементы комбинаторики.
Случайные события, операции
над ними.
Вероятность случайного
события.
Условная вероятность, полная
вероятность. Формула Байеса.
Повторные события. Формулы
Бернулли, Лапласа и Пуассона.
Случайные величины и их
числовые характеристики.
Виды распределений случайных
величин (Пуассона, нормальное,
равномерное).
Понятие о математической
статистике, и методах обработки
результатов эксперимента.
Статистическое оценивание и
проверка гипотез.
Итоговая контрольная работа
(тестирование)
Итого (1-2-3 семестры)
1
2
3
1
4
5
2
4
6
2
6
8
4
4
8
2
4
6
4
4
8
2
4
106
168
6
334
60
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
Элементы линейной алгебры.
Матрицы, основные обозначения. Квадратные и прямоугольные матрицы порядка п.
Линейные операции над матрицами (сумма и разность матриц, произведение матрицы на
число). Умножение матриц. Транспонированная матрица.
Определители
квадратных
матриц,
порядок
определителя.
Вычисление
определителей второго и третьего порядка (правило треугольника и правило Саррюса).
Определители n-го порядка, миноры и алгебраические дополнения элемента определителя.
Вычисление определителей высших порядков.
Присоединенная и обратная матрица, их нахождение. Ранг матрицы, его
инвариантность при элементарных преобразованиях матриц.
Система m линейных уравнений с n неизвестными. Понятие решения системы.
Однородные и неоднородные, совместные и несовместные, определенные и неопределенные
системы уравнений. Матричная форма записи системы n линейных уравнений с n
неизвестными.
Способы решения систем линейных уравнений (формулы Крамера, способ обратной
матрицы, метод Гаусса).
Элементы аналитической геометрии
Скалярные и векторные величины. Линейные операции над векторами. Проекция
вектора на ось. Скалярное и векторное произведение векторов.
Декартова система координат, ее связь с полярной системой координат.
Преобразования координат на плоскости.
Виды уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых.
Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), их канонические уравнения и
свойства.
Прямая и плоскость в пространстве, их взаимное расположение.
Дифференциальное и интегральное исчисление
функции одной переменной.
Определение производной, геометрический и механический смысл производной
функции в точке. Односторонние производные.
Непрерывность функции, имеющей
производную.
Правила дифференцирования элементарных функций. Таблица производных.
Производные высших порядков.
Дифференциал функции, его геометрический смысл, инвариантность дифференциала
первого порядка.
Основные теоремы о производных (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа). Признаки
постоянства, возрастания и убывания функции. Экстремумы функции, исследование
функции на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на
отрезке. Вогнутость и выпуклость кривой, точки перегиба. Нахождение асимптот графика
функции. Полное исследование функции и построение ее графика.
Первообразная для функции f ( x) и неопределенный интеграл, его свойства. Таблица
интегралов. Методы интегрирования (метод замены переменной, метод интегрирования по
частям).
Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства
определенных
интегралов.
Формула
Ньютона-Лейбница.
Методы
вычисления
определенных интегралов. Интегралы с бесконечными пределами.
Числовые и функциональные ряды
Числовые ряды. Основные понятия. Сходимость ряда. Необходимый признак
сходимости. Ряды с положительными членами, признаки сходимости положительных рядов
(признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный).
Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Функциональные ряды. Понятие степенного ряда и его области сходимости. Ряд
Маклорена. Равномерная сходимость степенных рядов, их интегрирование и
дифференцирование. Разложение элементарной функции в степенной ряд. Понятие о рядах
Фурье.
Численные методы
Понятие о численных методах. Применение рядов к приближенным вычислениям
интегралов (формулы прямоугольников, трапеций Симпсона).
Понятие об уравнениях в частных производных и решении их методом Фурье.
Функции комплексной переменной
Комплексные числа, их геометрическая интерпретация и действия с ними. Понятие о
функции комплексной переменной и ее геометрическом истолковании. Аналитические
функции. Степенные ряды в комплексной области. Разложение аналитической функции в
z
z
ряд ( e , sin z, cos z, Lnz, a ).
Дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения и их решения. Интегральные кривые.
Начальные условия. Теорема существования и единственности решения для
дифференциального уравнения первого порядка. Особые решения.
Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения и сводящиеся к
ним. Линейные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Случаи понижения порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, структура общего решения.
Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами. Способы нахождения частных решений неоднородного линейного
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (метод
неопределенных коэффициентов и метод вариации произвольных постоянных).
Элементы функционального анализа
Понятие о метрическом пространстве. Свойства метрики. Понятие нормы.
Линейные нормированные пространства.
Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Элементы комбинаторики. Основные правила комбинаторики. Размещения,
перестановки, сочетания с повторениями и без повторений.
Предмет теории вероятностей. Случайные события и их классификация. Операции
над событиями.
Частота и относительная частота появления случайного события. Различные
подходы к определению вероятности случайного события (статистическое,
аксиоматическое и классическое). Свойства вероятности случайного события. Правило
сложения вероятностей.
Условная вероятность. Правило умножения вероятностей, независимые и зависимые
события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Повторные испытания. Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа, Лапласа и Пуассона.
Случайные
величины
(дискретные
и
непрерывные).
Интегральная
и
дифференциальная функции распределения случайной величины, их свойства. Способы
задания дискретной и непрерывной случайных величин.
Числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение и др.), их вычисление.
Виды распределений случайной величины (распределения Пуассона, равномерное,
нормальное), их числовые характеристики.
Основные
понятия
и
методы
математической
статистики.
Обработка
экспериментальных данных с помощью статистических методов.
Основные
статистические графики: гистограмма, полигон, кумулянта распределения частот
(частностей). Оценивание и проверка статистических гипотез.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
N
п/п
1.
Наименование раздела
дисциплины.
Темы.
Элементы алгебры и
аналитической
геометрии.
Форма самостоятельной
работы
Колич. Форма контроля
часов
выполнения
самост. работы
домашние задания
индивидуальные задания
самостоятельная работа №I
семестровое задание I
36
(8)
(4)
(6)
(16)
составление понятийного
словаря с примерами
(2)
проверка д. з
проверка ин. з.
проверка к.р.
защита семестр.
задания
проверка усвоения
понятий
2.
3.
4.
Дифференциальное
исчисление функции
одной переменной
коллоквиум
текущее тестирование
самостоятельная работа №2
домашние задания к
практическим занятиям
Интегральное
исчисление функции
одной переменной и его
приложения.
Числовые и
функциональные ряды
Численные методы.
Функции комплексной
переменной.
6. Элементы
функционального
анализа.
8. Обыкновенные
дифференциальные
уравнения.
семестровое задание № 2
домашние задания к пр. з.
контрольная работа №1
составление понятийного
словаря с примерами
домашние задания к пр. з.
самостоятельная работа №3
5.
8.
Элементы теории
вероятностей и математической
статистики
Индивидуальные задания
коллоквиум
Домашние задания к пр. з.
итоговая контрольная
текущие самостоятельные
работы
итоговая контрольная
итоговое тестирование
домашние задания к пр. з.
составление понятийного
словаря с примерами .
Итого
28
(16)
(2)
(4)
(6)
рез-ты колл.,
рез-ты тестир.,
проверка к.р.,
д.з.
20
(10)
(4)
рез-ты проверки
(4)
(2)
14
(8)
(6)
16
(16)
16
(16)
14
(8)
(4)
(2)
24
(8)
(8)
(6)
(2)
рез-ты пров. д.з.
рез-ты к.р.
проверка
результатов
проверка д.з.
рез-ты к.р., с.р.
защита инд.
заданий
рез-ты
коллоквиума.
Проверка д.з.
Рез-ты проверки
к.р., с.р.
проверка к/р
проверка теста
проверка д/з
проверка
усвоения
понятий
166
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу.
Практическое занятие № 1.
ТЕМА:
ПЛАН:
Матрицы. Операции над ними.
1) Матрицы, их виды.
2) Операции над матрицами.
3) Свойства операций над матрицами.
Вопросы для обсуждения.
Что такое матрица Amn ?
Какая матрица называется квадратной?
Что такое вектор-столбец? Вектор-строка?
Какие матрицы называются равными?
Какая матрица называется единичной? Диагональной?
Бывает ли неединичная квадратная матрица?
6. Дайте определение суммы матриц, разности матриц, умножения матрицы на число.
7. Какие матрицы можно почленно умножать?
8. Обладает ли операция произведения матриц свойством коммутативности?
9. Какая матрица называется транспонированной?
10. Какие свойства транспонированных матриц вы знаете?
1.
2.
3.
4.
5.
Задания для самостоятельной работы.
1) Доказать свойства операций над матрицами:
а) A B B A ;
б) ( ) A A A ;
в) ( A B ) A B ;
г) ( ) A ( A) .
2) Найти 3А+2В, если
2 1 1
2 1 0
, B
A
.
0 1 4
3 2 2
1 3 2 2 5 6
3 2 3 4
3 4 3 2
? б)
? в) 3 4 1 1 2 5 ?
3) Найти а)
5 4 2 5
2 5 5 4
2 5 3 1 3 2
4 3 28 93 7 3
4) Найти
?
7 5 38 126 2 1
3
1
2
1 a
5) Найти а) 4 0 2 3 1 1 ? б)
?; a R .
0 1
5
2
1
2
6) Дана матрица A
. Найти матрицу B, такую, чтобы A B B A .
3 4
1 2
3 5
X
X ?
7) Решить уравнение
,
3 4
5 9
Домашнее задание.
Теоретическая часть: Определители и их свойства. [2], c.14-20; [3] .9-15.
Практическая часть: [13], гл. 3, № 2.5, № 2.8, № 2.11, № 2.12, № 2.20.
Практическое занятие № 2.
ТЕМА:
ПЛАН:
Определители, их свойства и вычисление.
1) Понятие определителя, примеры определителей различного порядка.
2) Вычисление определителей.
3) Свойства определителей.
Вопросы для обсуждения.
1. Любая ли матрица имеет определитель?
2. Что называется определителем матрицы первого порядка?
3. Как записать в общем виде определитель второго порядка? А третьего?
4. Какое правило для вычисления определителя третьего порядка вы знаете?
Почему оно называется правилом треугольника?
5. Запишите правило Саррюса.
6. Что называется минором элемента aij матрицы n-го порядка?
7. Что называется алгебраическим дополнением элемента aij матрицы n-го порядка?
8. Сформулируйте теорему Лапласа от определителей квадратной матрицы.
9. Какие свойства определителей вы знаете?
Задания для самостоятельной работы.
1) Вычислить определитель:
cos
sin
sin
?
cos
x x 1
cos8 x sin 5 x
0; б)
0.
4 x 1
sin 8 x cos 5 x
3) Вычислить определители:
2) Решить уравнения: а)
ax
x
x
sin
2
1 ? б)
x
b x
x ? в) sin
x
x
cx
sin
5 2 8
4) Решить
x
x 1 x 2
2 x 2 1
а) x 3 x 4 x 5 0;
б) 1
2
2 0.
x 6 x 7 x 8
5 3
x
3
а) 4
8
7
5) Вычислить:
cos 1
cos 1 ?
cos 1
2 1 1
а)
0
0 1 2 1
? б) [10], гл.3, № 1.48, № 1.47, № 1.51; [3], № 1(в) (с.10).
3 1 2 3
3 1 6 1
x2
6) Найти x из уравнения и проверить решение, подставив корни x
1
4 9
2 3 0.
1 1
Домашнее задание.
Теоретическая часть: Обратная матрица и её нахождение. Ранг матрицы. [2], c.13-14;
[3], с. 10-12; [8], с. 26-34.
Практическая часть: [14], гл. 3, № 592, № 597, № 601, № 609(б); [3], № 1.2.1-1.2.3.
Практическое занятие № 3
ТЕМА:
ПЛАН:
Обратная матрица, её вычисление. Ранг матрицы.
1) Понятие обратной матрицы.
2) Алгоритм нахождения обратной матрицы.
3) Ранг матрицы и его нахождение.
Вопросы для обсуждения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Какая матрица называется обратной для матрицы А?
Для всякой ли матрицы можно найти обратную матрицу?
Как вычислить обратную матрицу?
Какая матрица называется транспонированной?
Какая матрица называется приведённой? Как её найти?
Что такое ранг матрицы? Приведите примеры матриц с рангом 1, 2, 3.
Как можно найти ранг матрицы?
Задания для самостоятельной работы.
1) Найти A
1
1 2 3
и проверить вычисления, если A 0 1 2 .
0 0 2
1 2
2) (самостоятельно *). Найти A1 и проверить вычисления, если A
.
2 5
1 3 5
2 2 3
1
3) Найти A , если
а) A 0 1 2 ; б) A 1 1 0 .
0 0 1
1 2 1
4) Решить систему уравнений A X B методом обратной матрицы, если
1 3 5
1
1 2
1
а) A
, D 0 ; б) A 0 1 2 ; B 1 ;
2
5
0 0 1
1
2 2 3
1
в) A 1 1 0 ; B 0 .
1 2 1
1
5) Найти X из уравнения
1 1 1 1 1 3
1 2
4 6
а)
X
; б) X 2 1 0 4 3 2 .
2 5
2 1
1 1 1 1 2 5
6) Вычислить ранг матрицы
0 2 2
25 31 17 43
2 1 3 2 4
1 3 1
75 94 53 132
;
; б) 4 2 5 1 7 ; в)
а)
2 0 4
75
94
53
134
2 1 1 8 2
4 6 14
25 32 20 48
1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
г) 0 1 1 0 0 1 .
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
Домашнее задание.
Теоретическая часть: Решение систем линейных уравнений. [2], c.22-29;
[3], с. 12-16; [8], с. 38-53.
Практическая часть:
3 1 2
1
1) Найти A и проверить вычисления, если A 2 1 0 .
1 2 1
2) Найти X из уравнения
2 2 3
1 0 2
0 1
5 2 0 0
X
; б) 1 1 0 X 1 3 0 .
а)
1 0
0 6 0 1
1 2 1
1 4 0
4 3 9 4
3) Вычислить ранг матрицы 2 6 9 5 .
0 3 3 2
Практические занятия № 4-5
ТЕМА:
ПЛАН:
Системы линейных уравнений и методы их решения.
1) Понятие о системе линейных уравнений, виды систем.
2) Запись системы линейных уравнений в матричной форме.
3) Способы решения систем линейных уравнений:
метод Крамера,
метод обратной матрицы
метод Гаусса.
Вопросы для обсуждения.
1. Какую систему уравнений называют линейной системой m линейных уравнений с n
неизвестными? Как её записать в общем виде?
2. Назовите коэффициенты системы и её свободные члены.
3. Какая система называется однородной? неоднородной?
4. Что называют решением системы уравнений? Что значит решить систему уравнений?
5. Какая система уравнений называется совместной? Несовместной? Определённой?
Неопределённой?
6. Как записать систему уравнений в матричной форме?
7. Как решить систему уравнений методом Гаусса?
8. Какие системы уравнений можно решить методом Крамера (определителей)?
9. Как решить систему линейных однородных уравнений?
10. Какая матрица называется расширенной матрицей коэффициентов?
Задания для самостоятельной работы.
3x1 2 x2 x3 5
1) Решить систему уравнений методом Крамера: 2 x1 x2 x3 6 .
x 5x 3
2
1
2) Решить следующие системы уравнений методом Крамера:
x y 2z 6
7 x1 2 x2 3x3 15
а) 5 x1 3x2 2 x3 15 ; б) 2 x 3 y 7 z 16; в) [13], № 4.7, № 4.8, № 4.15, № 4.16.
5 x 2 y z 16
10 x 11x 5 x 36
2
3
1
3) Решить следующие системы методом обратной матрицы:
3x 2 y z 1
2 x y z 0
3x1 2 x2 x3 5
а) 2 x1 x2 x3 6 ; б) 6 x 5 y 4 z 2; в) x 2 y z 0 .
9x 8 y 7z 3
x yz 0
x 5x 3
2
1
Существует теорема, которую мы примем без доказательства:
Теорема Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система m линейных уравнений с n
неизвестными была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был
равен рангу её расширенной матрицы.
3) Установить, совместность и найти общее решение системы [10, c. 155]:
2 x1 x2 x3 3x4 2
4x x 7x 3
1
3
4
.
2
x
3
x
x
2
3
4 1
2 x1 3x2 4 x3 2 x4 3
4) Исследовать систему и найти общее решение:
2 x y z 2
а) x 2 y 3z 1; б) [10], № 4.22, № 4.25.
x 3y 2z 3
5) Решить системы уравнений методом Гаусса:
2 x1 x2 x3 x4 5
а) x1 2 x2 2 x3 3x4 6; б)
3x x x 2 x 1
2
3
4
1
6) Контрольная работа (45 мин).
x1 x2 x3 x4 2
2 x1 2 x2 x3 2 x4 2; в) [13], с.163, № 5.54.
x1 x2 x4 2
Домашнее задание.
Теоретическая часть: Векторы, операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное
произведение векторов. [2], c.30-40; [3] с.17-24; [8], c.63-67.
Практическая часть: [13], № 4.15, № 4.17, № 4.26; [14], № 616, № 619-621; № 628; № 629.
Практическое занятие № 6
ТЕМА:
ПЛАН:
Векторы, операции над векторами.
1) Векторы, виды векторов.
2) Линейные операции над векторами, их свойства.
3) Нелинейные операции над векторами, их свойства.
Вопросы для обсуждения.
1. Что такое вектор? Как он обозначается? Что такое нуль-вектор? Что называют длиной
вектора?
2. Какие вектора называются коллинеарными? Компланарными? Какой вектор называется
противоположным вектору a ?
3. Дайте определение суммы, разности векторов, произведения вектора на число. Какими
свойствами обладают линейные операции над векторами?
4. Что называют проекцией вектора на ось? Как её найти?
5. Что такое скалярное произведение двух векторов? Каковы его свойства? Как оно
вычисляется?
6. Изобразите правую и левую тройку векторов.
7. Дайте определение векторного произведения двух векторов. Какие свойства векторного
произведения вы знаете?
8. Как найти векторное произведение векторов, заданных их координатами?
9. Что такое смешанное произведение векторов? Как его найти?
Задания для самостоятельной работы.
1) Даны три компланарных вектора m, n , p , причём угол между m и n равен 30 , а угол
между n и p равен 60 . Построить вектор u 2n 3 p и вычислить его длину.
2) Даны три последовательных вершины параллелограмма A(1; 2; 3) , B(3; 2;1) , C (6; 4; 4).
Найти его четвёртую вершину D.
3) [14], № 401, № 402, № 407.
4) Вычислить площадь треугольника с вершинами A(7; 4; 3), B(1; 0; 6), C (4;5; 2).
5) Раскрыть скобки и упростить выражения:
а) (a b c ) c (a b c ) b (b c ) a ; б) (2a b ) (c a ) (b c ) (a b ) .
6) [14], № 431, № 438, № 439, № 440.
Домашнее задание.
Теоретическая часть: Прямая на плоскости и в пространстве. Плоскость. [2], c.41-43, с.47-50;
[3] с.25-32; [8], c.96-103.
Практическая часть: [14], № 398, № 399, № 400, № 429(1 и 4), № 444.
Практические занятия № 7-8.
ТЕМА:
ПЛАН:
Прямые на плоскости и в пространстве. Плоскость и прямая.
1) Прямая на плоскости, виды уравнений прямой на плоскости.
2) Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
3) Плоскость, виды уравнений плоскости.
4) Прямая и плоскость в пространстве.
5) Контрольная работа (45 мин).
Вопросы для обсуждения.
1. Запишите
а) общее уравнение прямой на плоскости;
б) уравнение прямой с угловым коэффициентом;
в) уравнение прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым
коэффициентом;
г) уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
2. Как найти угол между двумя прямыми, если они заданы их уравнениями?
3. Назовите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.
4. Как запишется общее уравнение плоскости?
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки?
Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно заданному вектору?
Уравнение плоскости в отрезках?
5. Как найти угол между двумя плоскостями? Расстояние от точки до плоскости?
6. Напишите условие параллельности двух плоскостей, условие их перпендикулярности.
7. Запишите уравнения прямой в пространстве:
а) канонические,
б) общие,
в) проходящей через точку, параллельно заданному вектору,
г) проходящей через две точки,
д) параметрические уравнения прямой в пространстве.
Задания для самостоятельной работы.
1) Построить плоскости
а) 5 x 2 y 3z 10 0 ; б) 3x 2 y 3z 0 ; в) 3x 2z 6 ; г) 6z 7 0 . Указать их
особенности.
2) Даны точки M1 (0; 1;3) и M 2 (1;3;5) . Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку M1 , перпендикулярно вектору M 1 M 2 .
3) [14], № 454, № 457, № 459.
4) Найти угол между плоскостями x 2z 6 0 и x 2 y 4 0 .
5) [14], № 469, № 471, № 473, № 475, № 486, № 487.
x y 2z 8 0
6) Уравнения прямой
записать
2 x y z 3 0
а) в канонической форме, б) в параметрической форме. Найти следы прямой на осях координат.
y 3
z2
x 4
;
;
.
z 2
z x 1
z y
8) [14], № 486, № 497, № 498, № 502, № 503, № 505.
7) Построить прямые
Домашнее задание.
Теоретическая часть: Линии второго порядка, их свойства. [2], c.44-47; [3] с.32-36.
Практическая часть: [3], № 3.3.4 – 3.3.8. (дополнительно: [14], № 506-508).
Практическое занятие № 9.
ТЕМА:
ПЛАН:
Линии второго порядка, их свойства.
1) Кривая второго порядка, общее уравнение кривой 2 порядка.
2) Виды кривых второго порядка, их канонические уравнения.
Вопросы для обсуждения.
1. Что такое кривая второго порядка? Как запишется её уравнение?
2. Какая кривая называется эллипсом?
3. Запишите каноническое уравнение эллипса. Что такое полуоси эллипса? Вершины эллипса?
Фокусы эллипса?
4. Дайте определение эксцентриситета эллипса. Как зависит форма эллипса от его
эксцентриситета?
5. Какая кривая называется гиперболой?
6. Запишите каноническое уравнение гиперболы. Что такое оси гиперболы? Вершины
гиперболы?
7. Дайте определение эксцентриситета гиперболы. Что такое асимптоты гиперболы?
8. Какая кривая называется параболой?
9. Запишите каноническое уравнение параболы. Что такое директриса параболы? Фокус
параболы?
Задания для самостоятельной работы.
1) Построить окружности а) x 2 y 2 4 x 6 y 3 0 , б) x 2 y 2 8 x 0 , в) x 2 y 2 4 y 0 .
2) [14], гл. I, № 144, № 146, № 158.
3) Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что
а) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b=3;
б) большая полуось a=6, а эксцентриситет ε = 0,5.
4) [14], № 169, № 171, № 173.
5) Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что:
а) расстояние между фокусами 2c=10, а между вершинами 2a=8;
б) действительная полуось a 2 5 , а эксцентриситет 1, 2 .
6) [14], № 190, № 191, № 192, № 195, № 206.
7) Составить уравнение геометрического места точек, равноудалённых от точки F (0; 2) и от
прямой y 4 . Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить её.
8) [14], № 214, № 217, № 226.
9) Выяснить геометрический смысл уравнений:
а) 4 x 2 y 2 0; б) 4 x 2 y 2 0; в) x 2 y 2 2 x 2 0; г) x 2 y 2 6 x 8 y 25 0;
д) x 2 xy 0; е) y 2 16 0; ж) x 2 3xy 2 y 2 0.
10) [14], № 314, № 315.
Домашнее задание.
Теоретическая часть: Предел функции и последовательности. [2], c.55-68; [3] с.43-55; [8], с.
141-153. Самостоятельно изучить тему «Основные элементарные функции, их свойства и
графики» (по школьному учебнику).
Практическая часть: [14], № 141, № 165, № 167, № 180, № 187, № 188.
Индивидуальное задание: [14], № 203, № 205, № 212, № 213, № 323, № 324.
Практическое занятие № 10.
ТЕМА:
ПЛАН:
Предел последовательности. Предел функции в точке.
1) Последовательности и их виды.
2) Предел последовательности, его геометрический смысл..
3) Предел функции в точке, условия его существования.
4) Нахождение пределов функций.
Вопросы для обсуждения
1. Что такое числовая последовательность? Приведите примеры последовательностей.
2. Какая последовательность называется монотонно убывающей (монотонно возрастающей)?
Приведите примеры.
3. Какая последовательность называется ограниченной снизу (сверху)? Приведите примеры.
4. Дайте определение ограниченной последовательности и приведите примеры.
5. Что называется пределом последовательности?
6. В чём состоит геометрический смысл предела последовательности?
7. Дайте определение функции одной переменной. Приведите примеры функций.
8. Какие способы задания функции вы знаете?
9. Дайте определение предела функции f ( x ) в точке x0 .
10. Назовите необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке.
Задания для самостоятельной работы.
1) Написать 4 члена последовательности:
а) xn n ;
n 1
б) xn 2n ;
n 1
( 1)n
;
в) xn
n 1
8 cos n
г) xn 2 2 ;
n 1
2n ( 1) n
;
д) xn
е) xn 2n a cos n . Существует ли в каждом из примеров lim xn ?
n
x
2) Дано несколько членов последовательности. По их виду записать возможный вид общего
члена последовательности:
1 1 1
1 2 3 4
1 2 3 4 5
а) 1; ; ; ;... ; 2) ; ; ; ;... ; 3) 1; 2; 3; 4; 5;6;... ; 4) ; ; ; ; ;... .
2 3 4
2 3 4 5
5 8 11 14 17
3) Указать, какие из последовательностей являются возрастающими, убывающими,
невозрастающими, неубывающими:
2
1 1 1 1 1 1
а) ; ; ; ; ; ;... ; б) xn 22n ; в) xn n ; г) 1; 2; 2;3; 4; 4;5;6;6;7; … .
n 1
2 2 3 3 4 4
n 1
4) Используя определение предела последовательности, доказать, что
если
xn a
при n ,
2n
n
n2 1
, a 2;
а) xn
б) xn 2 , a 1 ;
в) xn 2 , a 0 . Начиная с какого n ,
n3
n 1
n
выполняется неравенство xn a 0,01 ?
5) Найти пределы последовательностей:
5n 3 1
4n 2 1
(1) n n
а) xn 2
; б) xn 5
; в) xn
.
n 2
n 1
1 3n
6) Построить область определения переменной x , удовлетворяющей неравенствам:
а) | x | 4; б) x 2 9; в) | x 4 | 1; г) 1 x 3 2; д) x 2 9; е) ( x 2)2 4.
7) Укажите области определения функций:
y 2 1 ; y 1 ; y ln( x 1); y arcsin 2 x; y sin 2 x.
x 9
x3
8) Найдите нули функций: y ln( x 10); y 2 x ; y ln x 1 .
x 1
9) Укажите, какие функции являются чётными, какие – нечётными:
n
n
y ln1 x ; y sin n x ; y x x ; y x 3 9; y ln | x | .
1 x
2
2
10) Доказать, что
а) lim (2 x 1) 5. По данному 0 найти число 0 такое, чтобы x U (3) значения
x3
функции f ( x) U (5). Сделать чертёж;
б) lim 3x 4 3. По данному 0, 01 найти число M 0 такое, чтобы (x )(| x | M )
x
x
значения функции f ( x ) U (3). Сделать чертёж.
11) Найти пределы:
tg 2 x
5 x 3
( x 2)3
x 2 3x 2
2x 1
а) lim 2
; б) lim 2
; в) lim
; г) lim
; д) lim
.
2
x 0 5 x
x 4 5 x 1
x2 x 1
x1
x1 x 5
x 1
Домашнее задание.
Теоретическая часть: Предел функции на бесконечности, бесконечные пределы. [2], c.76-96;
[3] с.56-62; [8], с. 176-228.
Практическая часть: [3], № 4.1.6-4.1-9.
Практическое занятие № 11.
ТЕМА:
ПЛАН:
Предел функции на бесконечности. Бесконечные пределы.
1) Предел функции одной переменной (на бесконечности и равный бесконечности).
2) Замечательные пределы.
3) Бесконечно малые и бесконечно большие величины, связь между ними.
4) Нахождение пределов функций с помощью эквивалентных бесконечно малых.
Вопросы для обсуждения
1. Дайте определение предела функции на бесконечности.
2. В чём состоит геометрический смысл предела функции на бесконечности? Поясните на
рисунке.
3. Дайте определение бесконечного предела функции в точке на языке « » - « ». В чём
состоит его геометрический смысл?
4. Какие пределы носят название «замечательных»?
4. Дайте определение бесконечно большой и бесконечно малой величин. Приведите примеры.
5. Как связаны между собой бесконечно большие и бесконечно малые величины?
6. Какие свойства бесконечно малых величин вы знаете?
7. Какие замечательные пределы вы можете указать?
Задания для самостоятельной работы.
2
при x имеет предел A 0 . Для
x
какого будет выполняться неравенство f ( x) A 0,001 ?
1) Доказать по определению, что функция f ( x )
1
при x 0 имеет бесконечный предел.
x2
Для какого будет выполняться неравенство f ( x) 1000 ?
3) Вычислить пределы функций:
2 x3 1
1 x3 2 x x 2
2 x3 3 x 4 1
2 x 1 5 x6
а) lim 3
; б) lim
; в) lim
; г) lim 5
.
x x 5
x
x
x x 4 x 4 x 2 2
5 x3 5 x
x5 3
2) Доказать по определению, что функция f ( x)
4) Вычислить пределы функций, используя эквивалентные бесконечно малые:
4
arcsin 7 x
2sin 3 4 x
1 cos2 3x
1 x
(1 x)12 1
lim
а) lim
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
lim
lim
lim
x 0 sin 5 x
x0 arctg 5 x
x0
x0 5sin 2 7 x
x0 1 cos 2 x
3 x3
Домашнее задание.
Теоретическая часть: Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке. Точки
разрыва. [2], c.80-100; [3] с.56-62; [8], с. 176-228.
Практическая часть: [3], № 4.2.3(а; б; в; и; з) - 4.2.4. (в - ж).
Практическое занятие № 12.
ТЕМА:
ПЛАН:
Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке.
1) Односторонние пределы, Существование предела в точке.
2) Непрерывность функции в точке, виды определений непрерывности.
2) Одностороння непрерывность, её геометрический смысл.
Вопросы для обсуждения
1. Что такое левый предел функции в точке? Правый предел?
2. Назовите необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке.
3) Какая функция называется непрерывной в точке? (2 определения).
4) Какие условия необходимы и достаточны для того, чтобы функция была непрерывна в точке
x0 ?
5) Когда функция является разрывной в точке x0 ?
6) Какие виды точек разрыва вы знаете?
7) Приведите примеры функций, имеющих в точке x0 разрыв1 рода (2 рода). Сделайте
рисунки.
Задания для самостоятельной работы.
3 и lim
3 , пояснить таблицами, придавая x значения 2,1; 2,01;
x 2 x20 x 2
2,001;1,9; 1,09; 1,009.
2) По схематическому графику определите характер поведения функции в указанной точке:
1) Найти lim
x20
x
x
0
3) Найти пределы [14], № 730 (1,3,5,7).
4) Найти пределы [15], № 734, № 738, № 740, № 745, № 746, № 756, № 764, №772, № 783,
№ 786, № 738.
Домашнее задание.
Теоретическая часть: Производная функции в точке. [2], c.76-96; [3] с.56-62; [8], с. 176-228.
Повторить тему «Свойства функций, имеющих производную».
Практическая часть: [3], № 4.2.5 (а - г).
Практическое занятие № 13.
ТЕМА:
Производная функции в точке. Правила Лопиталя для
нахождения пределов.
ПЛАН:
1) Производная функции в точке. Дифференцируемые функции. Правила дифференцирования
функций в точке.
2) Односторонние производные функции в точке и их нахождение.
3) Дифференциал функции одной переменной.
4) Правило Лопиталя.
Вопросы для обсуждения
1. Дайте определение производной функции в точке. В чём состоит геометрической смысл
производной функции в точке? А механический смысл?
2. Что такое левосторонняя и правосторонняя производные функции в точке?
3. Что необходимо и достаточно для того, чтобы функция имела производную в точке?
4. Сформулируйте правила дифференцирования функции в точке (суммы, произведения,
частного, сложной функции, обратной).
5. Что называют второй производной функции в точке? Приведите пример.
6. Дайте определение дифференциала функции в точке, приведите пример.
7. Сформулируйте правило Лопиталя и приведите пример нахождения предела с его помощью.
Задания для самостоятельной работы.
1) Пользуясь только определением производной, найти производные функций:
а) y ctgx; б) y x .
2) Найдите производные функций [13], гл.5, № 1.23-1.46.
3) Используя предварительное логарифмирование, найти производны функций:
[13], гл.5, № 1.53-1.55, № 1.133-1.137.
4) Найти производные высших порядков:
[13], гл.5, № 1.156, № 1.157, № 1.162, № 1.169, № 1.170.
5) Найти дифференциалы следующих функций:
y x a 2 x 2 a 2 arcsin x 5; y x ln x x 1; y 32 x 4 (1 x 2 ).
a
2 x 1
2
6) Найти пределы lim e
; lim ln 3 x ; lim 1 cos2 4 x . [13], гл.5, № 3.14-3.22.
x 0 arctgx
x x
x 0
5x
Домашнее задание.
Теоретическая часть: Основные теоремы о функциях, имеющих производную. [2], c.76-96;
[8], с. 176-228.
Практическая часть: [14], № 895, № 900, № 969, № 987, № 1021, № 1074, № 1202;
[10], гл. 5, № 3.23, № 3.25, № 3.26, № 3.29, № 3.31.
Практические занятия № 14-15.
ТЕМА: Основные теоремы о функциях, имеющих производную.
ПЛАН:
1) Основные теоремы о свойствах дифференцируемых на промежутке функций.
2) Нахождение экстремумов и промежутков монотонности функции.
3) Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба, их нахождение.
4) Асимптоты бесконечной ветви кривой, их нахождение.
5) Контрольная работа (45 мин.).
Вопросы для обсуждения
1. Сформулируйте теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, критерий постоянства функции,
признаки возрастания и убывания функции.
2. Дайте определение максимума (минимума) в точке, приведите примеры.
3. Сформулируйте необходимое условие экстремума, достаточное условие экстремума.
4. Какая кривая называется выпуклой (вогнутой) на промежутке?
5. Что такое точка перегиба кривой? Дайте геометрическую интерпретацию.
6. Какая связь существует между второй производной функции на промежутке и
выпуклостью (вогнутостью) графика функции?
7. Дайте определение асимптоты кривой. Изобразите на рисунке.
8. Как найти вертикальные (невертикальные) асимптоты графика функции?
Задания для самостоятельной работы
1) Найдите периоды функций: y 3 sin 2 x ;
3
y 15tg 7 x .
10
4
2) Исследуйте поведение функций в точках разрыва и на бесконечности. Сделайте
1
2
y x x 21 .
(2 x )
3) Найдите точки экстремума и промежутки монотонности функций:
2
4
y 6 x x ; y ( x 1)e3x 1.
9
4) Найдите промежутки выпуклости (вогнутости) и координаты точек перегиба данных
2
функций: y ( x 3)3 (2 x ); y 7 x 3 .
( x 1)
схематические чертежи: y 2 x ;
x 2 2 x 40 ; y
x3
.
2 x 2 70 x 100
9( x 1) 2
6) Последовательно выполняя требования пунктов 1-8 ([3], с.59) общей схемы исследования
функции, исследуйте функции и постройте их графики:
2
y x ln x ; y x 2 e x ; y 2 x x 2 2.
2 2
5) Найдите асимптоты графиков функций: y
Домашнее задание
Теоретическая часть. Неопределённый интеграл функции одной переменной.[2],c.97-102; [8],
c.247-275; [4], c.4-10.
Практическая часть. [14], гл.6, №1159(2,3), № 1166, № 1179, № 1211, № 1252, № 1253.
Практическое занятие № 16.
ТЕМА: Неопределённый интеграл функции одной переменной.
ПЛАН:
1) Первообразные функции для функции f ( x) . Неопределённый интеграл f ( x)dx .
Таблица простейших неопределённых интегралов.
2) Свойства неопределенного интеграла функции одной переменной.
3) Способы нахождения
f ( x)dx .
Вопросы для обсуждения
1. Какую функцию называют первообразной для функции f ( x ) ?
2. Чем отличаются две первообразные одной и той же функции?
3. Что такое неопределённый интеграл функции f ( x ) ?
4. Перечислите свойства неопределённого интеграла.
5. Какие способы вычисления неопределённого интеграла вы знаете?
Задания для самостоятельной работы
1) Используя таблицу основных интегралов, вычислить следующие интегралы:
[13], гл.6, № 1.17-1.33.
2) Используя метод замены переменной, вычислить интегралы:
2x 1
dx
1 x
sin xcosxdx; x 2 x 5dx; 3 (3x 1)2 ; 1 x dx;
[13], гл.6, № 1.34, № 1.35, № 1.45, № 1.52, № 1.62, № 1.104, № 1.107, № 1.113.
3) Используя метод интегрирования по частям, найти интегралы:
x cosxdx; ln xdx; e
2
ax
sin bxdx;
x
3
ln xdx;
[13], гл.6, № 1.114, № 1.116, № 1.117, № 1.119, № 1.124, № 1.125.
4) Вычислить интегралы:
dx
1 4x x
2
;
x 2 4 x 4dx;
x( x 1)2
x 1
3x 2 2 x 1dx; x
dx ;
x( x 2 1)
dx
x 2x 1
2
;
x 2 2 dx.
x3 4 x
Домашнее задание
Теоретическая часть. Неопределённый интеграл функции одной переменной, его свойства,
вычисление.[2],c.103-109; [8], c.278-292; [4], c.4-17.
Практическая часть. [14], гл.6, №1270, № 1272, № 1286, № 1290, № 1295, № 1312-1315; №
1346, № 1341, № 1355, № 1365.
Практические занятия № 17-18.
ТЕМА: Неопределённый интеграл функции одной переменной и его
вычисление.
ПЛАН:
1) Интегрирование тригонометрических выражений.
2) Интегрирование рациональных дробей. Разложение рациональной дроби в сумму
элементарных дробей.
3) Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
4) Самостоятельная работа (30 мин.).
Вопросы для обсуждения
1. Как найти интегралы от тригонометрических функций, содержащихся под знаком
интеграла в чётных степенях?
2. Как найти интегралы от тригонометрических функций, содержащихся под знаком
интеграла в нечётных степенях?
3. Как проинтегрировать алгебраическую дробь (правильную, неправильную)?
4. Как вычислить интеграл вида R( x, n ax b )dx , где функция R – рациональная?
R( x, a x )dx и R( x,
Как вычисляется интеграл вида R( e x )dx ?
Как вычислить интеграл вида R(tgx )dx ?
5. Как найти интегралы вида
6.
7.
2
2
a 2 x 2 )dx ?
Задания для самостоятельной работы
1) Вычислить следующие интегралы, определив предварительно способ их интегрирования:
[13], № 1385-1387, № 1420-1425, № 1460, № 1462, № 1465, № 1472, № 1475, № 1500,
№ 1510.
20 Самостоятельная работа (30 мин.).
Домашнее задание
Теоретическая часть. Определённый интеграл функции одной переменной. Несобственные
интегралы. [2],c.103-112; [8], c.302-306; [4], c.15-19.
Практическая часть. [14], гл.6, №1159(2 и 3), № 1166, № 1179, № 1211, № 1252, № 1253.
Дополнительно: разобрать решение примеров в [4], стр. 17-18.
Практические занятия № 19-20.
ТЕМА: Определённый интеграл функции одной переменной.
Несобственные интегралы, их вычисление.
ПЛАН:
b
1) Определенный интеграл
f ( x)dx и его вычисление.
a
2) Свойства определённого интеграла.
3) Несобственные интегралы, их нахождение.
Вопросы для обсуждения
1. Какой интеграл называется определённым интегралом функции на отрезке [a;b]?
2. Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла.
3. Как называется выражение f ( x )dx , функция f ( x ) , числа a и b ?
4. Какие свойства определенного интеграла вы знаете?
5. Какой интеграл называется несобственным интегралом I рода? Приведите пример.
6. Какой интеграл называется несобственным интегралом II рода? Приведите пример.
7. Как вычисляют несобственные интегралы?
8. Какие несобственные интегралы называются сходящимися? Расходящимися?
9. В чём состоит геометрический смысл несобственного интеграла?
Задания для самостоятельной работы
1) Найти определённые интегралы:
1
0 e x 1;
dx
sin x cos2 xdx;
2) Вычислить интегралы:
1
а)
1
1 x dx ; б)
2
0
arctg xdx ;
e
в)
ln 5 xdx ;
1
0
3
г)
x ln xdx .
2
3) Вычислить несобственные интегралы:
а)
1
dx ;
x2
б) e x dx ; в)
0
0
x
x 2 e 2 dx ; г)
1 dx
0 x3 .
2 x cos xdx.
Домашнее задание
Теоретическая часть. Приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы.
[2],c.110-112; [8], c.302-306; [4], c.19-25.
Практическая часть. [7], № 9.2.14-9.2.17, № 9.2.48-9.2.50, № 9.3.7, № 9.3.40, № 9.3.88,
№ 9.3.96, № 9.3.162. Дополнительно: разобрать решение примеров в [7], с.391, 393, 399-407.
Практическое занятия № 21.
ТЕМА: Приложения определённого интеграла. Подготовка к контрольной
работе по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной».
ПЛАН:
1) Приложения определённого интеграла (нахождение площадей области, длины дуги, объёмов
тел).
2) Подготовка к итоговой контрольной работе по интегральному исчислению функции одной
переменной.
Вопросы для обсуждения
1. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси Ox ? К оси Oy ?
2. Как вычислить площадь сектора в полярных координатах?
3. Как определить объём тела вращения, образованного вращением вокруг оси криволинейной
трапеции?
4. Как вычислить длину дуги плоской кривой?
5. Как вычислить площадь поверхности вращения?
Задания для самостоятельной работы
1) Вычислить площадь, ограниченную линиями y 2 2 x 4, x 0.
2) Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
xy 4, x 1, x 4, y 0 вокруг оси Ox .
3) Определить длину дуги кривой
а) y ln(sin x ) от x до x 1 ;
3
2
6
4
б) x t , y 2 t между точками пересечения с осями координат;
6
4
в) r a (1 cos ).
4) Решение нулевого варианта контрольной работы:
1) Найти следующие неопределённые интегралы:
x 1
2
x 1
x2
x x x 2 dx; (( x 2) ln 2 2 )dx; tg5 xdx;
2 x
x
x
x
dx
sin 2ctg 2 dx; 3 5 dx; x 5.
5
2
2) Найти определённые интегралы: 1 x 2 25 dx; x 9 9 x 2 dx.
5 3
0
3
4
3) Определить площадь фигуры, ограниченной двумя параболами y x 2 и y 8 x 2 .
4) Фигура, ограниченная дугами кривых y x 2 4 0 и y x 2 9 0 вращается вокруг
оси ординат. Найти объём полученного тела вращения.
5) Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
5 x
a
dx .
e dx;
0
0
a2 x2
Домашнее задание.
Подготовка к контрольной работе.
Практические занятия № 22.
ТЕМА: Контрольная работа по теме
«Интегральное исчисление функции одной переменной».
(текст контрольной работы прилагается).
Домашнее задание
Теоретическая часть. Числовые ряды. Сходимость ряда, его сумма. Признаки сходимости
числовых рядов. [8], c.343-355; [4], c.27-34.
Практические занятия № 23.
ТЕМА: Числовые ряды, их сходимость.
Признаки сходимости положительных числовых рядов.
ПЛАН:
1) Числовые ряды, сумма числового ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды.
2) Признаки сходимости числовых рядов.
Вопросы для обсуждения
1. Дайте определение числового ряда. Приведите примеры записи числовых рядов.
2. Какой ряд называется сходящимся? (расходящимся)?
3. Перечислите свойства сходящихся рядов.
4. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда. Приведите пример.
5. Сформулируйте признак Даламбера и поясните его применение на примере.
6. Сформулируйте признак Коши. Для каких рядов его можно применять?
7. Сформулируйте интегральный признак сходимости ряда и приведите пример его
использования.
Задания для самостоятельной работы.
1) Найти один из видов общего члена
б ) 2 4 6 ...;
ряда: a ) 1 1 1 1 ...;
1 2 2 3 3 4 4 5
5 9 13
2) Найти сумму ряда, пользуясь определением:
в) 3 8 15 24 ...
5 10 17 26
n (n1 1).
n 1
3) Исследовать на сходимость следующие ряды, пользуясь признаками их сходимости:
54nn 73; n 31n 1 ;
2
n
1
; 2n 3 5; 3 nn ! ; nn .
n
n2
n 1
n 2 n ( n 1)
n 1 n
n 1 2
4) Исследовать на сходимость ряды, используя интегральный признак сходимости:
[14], № 2429-2431, с. 249.
5) Исследовать на сходимость ряды, используя признаки Даламбера и Коши:
[14], № 2435-2437, № 2454, № 2456, с. 250.
6) Исследовать на сходимость ряды, используя признаки сравнения и предельного
сравнения: [14], № 2440, № 2441, с. 250.
Домашнее задание
Теоретическая часть. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Их сходимость. [4], c.2930; [8], c.346-363.
Практическая часть. [14], № 2422-2426, № 2432-2433, № 2438, № 2439, № 92442, № 2450.
Разобрать решение примеров в [4], с.31-33.
Практические занятия № 24.
ТЕМА: Знакопеременные и знакочередующиеся ряды, их сходимость.
ПЛАН:
1) Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница.
2) Функциональные ряды, область их сходимости.
3) Степенные ряды, радиус и область сходимости степенного ряда.
Вопросы для обсуждения:
1. Какой ряд называется знакочередующимся?
2. Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
3. Какой ряд называется абсолютно сходящимся? (условно сходящимся)? Приведите примеры.
4. Какой ряд называется функциональным? Приведите примеры.
5. Что такое область сходимости функционального ряда?
6. Какой ряд называется степенным?
7. Что называют радиусом сходимости степенного ряда? Как его можно найти?
8. Как найти область сходимости степенного ряда?
Задания для самостоятельной работы:
1) Найти сумму ряда 1 1 1 ... .
1 4 4 7 7 10
2) Исследовать ряды на сходимость: [14], № 2444-2447, № 2457-2459, с. 251.
3) Определить интервал сходимости ряда и исследовать его на сходимость в крайних точках
интервала сходимости. Записать область сходимости ряда:
2
3
а) 1 22 x 4 x 8 x ...; б) [14], № 2473-2478, № 2485-2488, [4], № 2.2.4-2.2.6.
3 3 52 32 72 33
Домашнее задание.
Теоретическая часть. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функции в степенной ряд. [4],
c35-39; [8], c.356-363.
Практическая часть. [14], № 2470-2472, № 2479, № 2483, № 2484.
Разобрать решение примеров в [4], с.40-43.
Практические занятия № 25-26.
ТЕМА: Разложение функции в степенной ряд. Ряд Фурье.
ПЛАН:
1) Ряды Тейлора и Маклорена.
2) Разложение функции в ряд.
3) Самостоятельная работа по теме «Числовые ряды. Признаки сходимости»( 30 мин.)
3) Ряды Фурье, разложение функции в ряд Фурье.
Вопросы для обсуждения:
1. Запишите ряд Тейлора. При каких значениях x он сходится к функции f ( x ) ?
2. Что называют остаточным членом формулы Тейлора? Чему равен остаточный член формулы
Тейлора?
3. Запишите ряд Маклорена. При каких значениях x он сходится к функции f ( x ) ?
4. Чему равен остаточный член формулы Маклорена? Запишите его.
5. Запишите основные формулы разложения в ряд Маклорена следующих основных
функций: e x ; sin x; cos x; (1 x )m ; ln(1 x ); arctgx. При каких значениях переменной x они
сходятся к соответствующим функциям f ( x ) ?
6. Сформулируйте условия Дирихле для функции f ( x ) .
7. Какая функция считается удовлетворяющей условиям Дирихле на отрезке [ a;b]?
Приведите примеры таких функций.
8. Какой ряд называется рядом Фурье?
9. Чем отличаются записи ряда Фурье для чётной и нечётной функций, удовлетворяющих
условиям Дирихле на отрезке?
Задания для самостоятельной работы.
1) Разложить в ряд по степеням x следующие функции:
а) cos5x; б) sin 2 x; в) xe x ; г) sin(mx ).
3
2) Самостоятельная работа по теме «Ряды» (разобрать примеры в [4]).
3) Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции с периодом 2 :
а) f ( x ) x при 0 x и f ( x ) f ( x ) . С помощью ряда показать, что
1 1 1 1 ... .
3 5 7
4
2
б) f ( x ) x при 0 x и f ( x ) f ( x ) . С помощью ряда показать, что
2
1 12 12 12 ... .
8
3
5
7
Домашнее задание.
Теоретическая часть. Численные методы. [1], c. 234-238; [9], c.166-172; c. 193-196; c. 200201.
Практическая часть. [14], № 2493, № 2497, 2549, [4], № 2.2.1 (а; в; г), № 2.2.2, № 2. 2.5.
Практические занятие № 27.
ТЕМА: Понятие о численных методах.
ПЛАН:
1) Методы приближённого решения уравнений (метод хорд, метод касательных, метод хорд
и касательных).
2) Методы приближенного вычисления определённых интегралов( методы
прямоугольников. трапеций и Симпсона).
3) Методы численного интегрирования ОДУ.
Вопросы для обсуждения.
1. Какие методы называются численными?
2. В чем суть метода прямоугольников? Дайте краткое пояснение и геометрическую
интерпретацию.
3. Каковы математические идеи метода трапеций? Метода Симпсона?
4. В чём состоит математическая сущность численного решения ОДУ методом Эйлера?
Задания для самостоятельной работы.
4
1) Найти положительный корень уравнения x 2 x 4 0 с точностью до 0,01:
методом хорд;
методом касательных;
методом хорд и касательных.
2) Решить приближённо уравнение 2 lg x x 0 способом итераций.
2
3) Вычислить
xdx по формуле прямоугольников, разбивая интервал интегрирования на
1
10 частей. Оценить погрешность вычисления.
2
4) Вычислить
xdx по формуле трапеций, если n 10 . Оценить погрешность.
1
1
5) Вычислить приближённо по формуле Симпсона
1 x 2 dx с точностью до 0,001.
0
6) Используя метод Эйлера, найти 4 первые значения
уравнением y '
функции
y,
определяемой
yx
, при начальном условии y(0) 1 , принимая h 0,1.
yx
Домашнее задание.
Теоретический материал: Комплексные числа. [4], c. 43-56.
Практическая часть:
1
1) Вычислить по формуле Симпсона
2
dx
x 2 с точностью до 0,001.
0
dx
x с точностью до 0,01 , используя формулу трапеций.
1
3) Используя метод Эйлера, найти 4 первые значения функции y , определяемой
уравнением y ' y x , при начальном условии y(0) 1 , принимая h 0,1.
2) Вычислить ln 2
Практическое занятие № 28.
ТЕМА: Комплексные числа, операции над ними.
ПЛАН:
1) Комплексное число. Множество комплексных чисел.
2) Формы записи комплексного числа.
3) Операции в множестве комплексных чисел.
Вопросы для обсуждения.
1. Какое число называется комплексным числом?
2. Что такое действительная часть комплексного числа? А мнимая часть?
3. Как изобразить комплексное число z a bi на плоскости?
4. Какое число называется сопряжённым для комплексного числа z a bi ?
5. Что такое модуль комплексного числа? А аргумент комплексного числа?
6. Как найти аргумент комплексного числа, если z a bi и a 0 ? Если a 0 ?
7. Как записать комплексное число в тригонометрической форме?
8. Как сложить два комплексных числа, записанных в алгебраической форме? А вычесть?
Приведите примеры.
9. Как умножить два комплексных числа, записанных в алгебраической форме? Возвести в
степень? Приведите примеры.
10. Как разделить два комплексных числа, записанных в алгебраической форме? Прив едите
пример.
11. Как умножить комплексное число на действительное? Приведите пример.
Задания для самостоятельной работы.
1) Изобразить следующие комплексные числа на плоскости:
а) z1 1 i; б) z2 1 3i; в) z3 2i; г) z4 1 i; д) z5 2 i; е) z6 3; ж) z7 2.
2) Записать комплексные числа в тригонометрической форме:
а) z1 1 i; б) z2 1 3i; в) z3 2i; г) z4 1 i; д) z5 3 i; е) z6 3.
3)Произвести
указанные
действия
над
комплексными
числами:
z1 z2 ; z1 z2 ; z1 z2 ; z1 : z2 (записав сумму и разность в алгебраической, а
произведение и частное – в алгебраической и тригонометрической форме):
а) z1 1 i; z2 1 3i; б) z1 2i; z2 1 i; в) z1 3 i; z2 3.
Домашнее задание.
Теоретический материал: Функции комплексной переменной. [9], c.114-120; c.134-135.
Практическая часть:
1) Изобразить следующие комплексные числа на плоскости:
а) z1 5i; б) z2 2 2i; в) z3 4 2i; г) z4 3i; д) z5 1 5i.
2) Записать комплексные числа в тригонометрической форме:
а) z1 2 2i; б) z2 3 3i; в) z3 1 i 3; г) z4 i; д) z5 5.
3) Произвести указанные действия над комплексными числами:
z1 z2 ; z1 z2 ; z1 z2 ; z1 : z2 , где а) z1 1 i; z2 i; б) z1 2i; z2 1 i;
в) z1 2 2i; z2 2 i.
Практические занятия № 29.
ТЕМА: Функции комплексной переменной
ПЛАН:
1) Понятие функции комплексной переменной. Однозначные и многозначные функции.
2) Производная функции комплексной переменной. Аналитические функции.
3) Разложение функции в ряды Тейлора и Лорана.
Вопросы для обсуждения.
1. Дайте определение функции комплексной переменной, приведите примеры.
2. Какая функция w f ( z ) называется однозначной? Многозначной?
3) Дайте определение предела функции w f ( z ) в точке z z0 , где z0 x0 iy0 .
4) Как сформулировать определение непрерывной в точке z0 функции w f ( z ) ?
5) Дайте определение функции комплексной переменной, непрерывной в области D .
1
zn
(n 0 ), ln z, arcsin z,
6) Как определить функции e , sin z , cos z , shz , chz ,
arccos z , arctgz . Какие из них однозначные, а какие – многозначные?
7) Дайте определение производной однозначной функции комплексной переменной.
8) Какая функция называется аналитической?
9) Назовите условия Коши-Римана для функции w f ( z ) . Для чего они необходимы?
10) Укажите производные основных элементарных функций комплексной переменной.
z
Задания для самостоятельной работы.
2
1) Дана функция w z z . Найти значения функции при а) z 1 i ; б) z 2 i ; в)
z i ; г) z 1.
2) Найти ln( 3 i ) .
i
3) Вычислить cos с точностью дл 0, 001.
2
4) Доказать справедливость равенства sin i ch1 i cos i sh1.
5) Будет ли дифференцируема функция f ( z ) y xi ? Почему?
6) Разложить в ряд Тейлора по степеням бинома z i функцию f ( z ) z .
5
7) Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию f ( z )
z 0.
1
в окрестности точки
2z 5
Домашнее задание.
Теоретический материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 порядка и их виды.
[2], с. 130-135; [4], c. 44-46; [8], c.319-333.
Практическая часть:
1) Дана функция w x y i , где z x iy . Найти f (1 2i ), f (2 3i ), f ( i ) .
2
2
i, z (1 i).
2
2
2
3) Будет ли дифференцируема функция f ( z ) ( x y ) 2 xyi ?
2) Дана функция w e , где z x iy . Найти z
z
Практические занятия № 30.
ТЕМА: Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ).
Уравнения с разделяющимися переменными.
ПЛАН:
1) ОДУ, порядок и степень ОДУ.
2) Общее решение и общий интеграл ОДУ. Частное решение ОДУ, начальные условия, задача
Коши.
3) Интегральные кривые ОДУ 1 порядка, их геометрическая интерпретация.
4) Уравнения с разделяющимися переменными.
Вопросы для обсуждения:
1. Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением?
2. Что такое порядок уравнения? Приведите примеры дифференциальных уравнений 1, 2, 3
порядка. Что такое степень дифференциального уравнения?
3. Приведите пример уравнения 1 порядка и 2 степени, 2 порядка 1 степени, 1порядка 3
степени.
4. Как записать в общем виде уравнение 1 порядка?
5. Каков геометрический смысл уравнения y ' f ( x, y ) ?
6. Что называется решением ОДУ I порядка? Общим решением ОДУ I порядка?
7. Что такое общий интеграл дифференциального уравнения?
8. Какую кривую называют интегральной кривой ОДУ?
9. Какое ОДУ I порядка называется уравнением с разделяющимися переменными?
10. Приведите пример уравнения с разделяющимися переменными. Что значить «разделить
переменные» в ОДУ?
Задания для самостоятельной работы.
1) Проверить, является ли данная функция решением данного дифференциального
2
уравнения: а) f ( x ) sin x, y " y 0; б) x a cos t, y b sin t; y ' b 2 x .
a y
2) Через сосуд вместимостью a литров, наполненный раствором соли, непрерывно
протекает жидкость, причём в единицу времени втекает b литров чистой воды и вытекает
такое же количество раствора. Найти закон, по которому изменяется содержание соли в
сосуде в зависимости от времени протекания жидкости.
dy
3) Дано уравнение
2 x . Найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую
dx
через точку (1;2).
4) Решить дифференциальные уравнения и найти частные решения, удовлетворяющие
заданным начальным условиям:
а) y " x; y (0) 1; y '(0) 2; б) y ' 2 x ; | x | 1; y (0) 1.
1 x2
5) Найти общий интеграл уравнения и изобразить семейство его интегральных кривых.
Существует ли интегральная кривая, проходящая через начало координат? Почему?
dy
y
dy y
а)
б)
;
.
dx
x
dx x
6) Решить дифференциальные уравнения
a)
y 2 1dx xydy;
б ) ( x 2 y ) y ' 1;
г ) xyy ' 1 x 2 ;
в ) (1 y 2 )dx xydy 0;
д) xy ' y y 2 .
7) Найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y
dy
а)
; x 16, y 10;
( x 1)dx; ( y 0), x 2, y 5; б) y '
4x
y
в) y ' sin 2 x 1;
y 2 3,
x ; г) ydy xdx 2dx;
3
y 4,
x 2.
Домашнее задание.
Теоретический материал: Однородные уравнения I порядка и способы их интегрирования.
Практическая часть: Определить вид уравнения и найти общие интегралы:
а) y ' 9 y 2 4;
б)
y ' 3 ( y 1)2 ;
в)
xy ' y ln y;
г)
y ' tgx y 1.
Практическое занятие № 31.
ТЕМА:
ПЛАН:
Однородные уравнения I порядка.
1) Однородные функции двух переменных. Степень однородности.
2) Метод интегрирования однородного уравнения 1 порядка.
Вопросы для обсуждения.
1. Какая функция называется однородной n-ой степени? степени 0?
2. Как записывается однородное уравнение в общем виде?
3. Что значит решить дифференциальное уравнение?
4. Сколько произвольных постоянных содержит общее решение (общий интеграл)
уравнения I порядка?
5. Какой способ интегрирования однородного дифференциального уравнения I порядка вы
знаете?
Задания для самостоятельной работы.
1) Выяснить, являются ли следующие функции однородными, и, если да, то – какой степени:
x3 y3
2x 3y
.
; в) f ( x; y ) xy 1; г) f ( x; y )
x y
xy 2
2) Решить уравнения, проверив их на однородность:
dy 2 y 2 x 2
; б) xy ' x 2 y; в) ( y 2 3x 2 )dx 2 xydy 0; г) xdy 3 ydx 2 xdx .
а)
dx
xy
3) Найти общий интеграл дифференциального уравнения, сводящегося к однородному:
(2 x y 4)dy ( x 2 y 5)dx 0.
а) f ( x; y ) x 2 xy; б) f ( x; y )
Домашнее задание.
Теоретический материал: Линейные дифференциальные уравнения I порядка и способы
их интегрирования.
Практическая часть:
1) Определив вид уравнения, выбрать удобный способ их интегрирования и найти о бщие
интегралы или общие решения: а) y ' sin( x y ) (Указание: x y t );
2 xy
; г) y cos xdx (2 y sin x )dy 0.
б) 4 x 3 y y '(2 y 3x ) 0; в) y ' 2
3x y 2
Практические занятия № 32
ТЕМА: Линейные дифференциальные уравнения I порядка.
ПЛАН:
1) Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 1 порядка (НЛДУ).
Соответствующее ему однородное уравнение.
2) Способы интегрирования неоднородных дифференциальных уравнений 1 порядка:
метод подстановки;
метод вариации произвольной постоянной.
Вопросы для обсуждения.
1. Какое ОДУ называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением I
порядка?
2. Какое ОДУ называется однородным линейным дифференциальным уравнением I
порядка?
3. Как записать в общем, виде однородное линейное дифференциальное уравнение I порядка
(ОЛДУ)?
4. Как записать в общем виде неоднородное линейное дифференциальное уравнение I
порядка (НЛДУ)?
5. Какая связь существует между общим решением ОЛДУ и НЛДУ?
6. Какие способы решение НЛДУ вы знаете?
7. Объясните на примере метод подстановки ( y u v ). Какие условия накладывают на
функции u и v ?
8. В чём состоит суть метода вариации произвольной постоянной? Приведите пример.
Задания для самостоятельной работы.
1) Определить вид уравнений и выбрать наиболее удобный метод их интегрирования:
а) y ' 4 y e 2 x ; б) y ' y x 2; в) xxy ' y 2 x; г) y ' y 10 0 .
2) Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
а) xy ' 2 y 2 x 4 ; y (1) 1; б) y ' 22 x y x x 2 4, y (0) 8.
x 4
3) Самостоятельная работа (45 минут).
Домашнее задание.
Теоретический материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения II порядка.
Способы понижения порядка ОДУ. [4], c.46-49; [8],с.333-339.
Практическая часть:
1) Решить уравнения, выбрать удобный способ их интегрирования:
а) y ' y cos x sin x cos x ; б) ( y 2 6 x ) y ' 2 y 0; в) y ' 9 y 2 4; г) y ' 33 ( y 1)2 ;
д) xy ' y ln y;
е) y ' tgx y 1.
2) Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
а) xy ' 3 y x 2 , y (1) 1; б) y ' x 2 y x, y (2) 1.
Практическое занятие № 33.
ТЕМА: Обыкновенные дифференциальные уравнения II порядка.
ПЛАН:
1) ОДУ 2 порядка, их общее и частные решения.
2) Случаи, допускающие понижение порядка ОДУ.
Вопросы для обсуждения.
1. Как записать ОДУ II порядка в общем виде?
2. Какое решение называется общим решением ОДУ II порядка?
3. Может ли существовать между произвольными постоянными общего решения уравнения
II порядка такая зависимость: C1 C2 4, или C12 C2 25 ?
4. Какой вид имеют начальные условия для ОДУ II порядка?
5. В каких ОДУ II порядка можно понизить порядок?
6. Какие способы понижения порядка вы знаете?
Задания для самостоятельной работы.
1) Найти общее решение для ОДУ высших порядков:
а) y ''' x sin x; б) y (1 ln y ) y " (1 ln y ) y '2 0; в) x 2 y ''' y ''2 .
2) Найти частное решение уравнения
y (4) ( x 2 1) 2 xy ' , удовлетворяющее заданным
начальным условиям y |x 0 1, y ' |x 0 3.
Домашнее задание.
Теоретический материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения II порядка.
[4], c.46-49; [8],с.333-339.
y'
Практическая часть: Решить: а) xy '''' 1 x 2 ; б) xy '' y ln 0; в) y '' y ''3 .
x
Практическое занятие № 34.
ТЕМА:
Линейные дифференциальные уравнения II порядка. ЛДУ с
постоянными коэффициентами
ПЛАН:
1) Линейная зависимость функций, примеры.
2) Способы интегрирования линейных дифференциальных уравнений 2 порядка.
Вопросы для обсуждения.
1. Какие две функции называются линейно независимыми?
2. Какое дифференциальное уравнение II порядка называется линейным неоднородным
(линейным однородным)? Как их можно записать в общем виде?
3. Как связаны общие решения неоднородного линейного ДУ и соответствующего ему
однородного ЛДУ?
4. Как можно записать общее решение НЛДУ II порядка, если известны два его независимых
частных решения y1 ( x) и y2 ( x) ?
Задания для самостоятельной работы.
1) Найти частное решение данного однородного линейного ДУ II порядка с постоянными
коэффициентами, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
а) y '' 3 y ' 2 y 0,
y (0) 3, y '(0) 4;
б) y '' 2 y ' y 0,
y (0) 1, y '(0) 0;
в) y '' 2 y ' 2 y 0, y (0) 1, y '(0) 1.
2) Найти общее решение неоднородного линейного ДУ II порядка с постоянными
коэффициентами: а) y '' 2 y ' 3 y 3x; б) y '' 3 y ' 2 y 2e x ; в) y '' 4 y x sin 2 x.
3) Проинтегрировать однородные уравнения:
а) y '' 8 y ' 25 y 0; б) y '' 6 y ' 10 y 0; в) y '' 2 y 0.
Домашнее задание.
Теоретический материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения II порядка.
[4], c.46-49; [8],с.333-339.
Практическая часть:
1) Найти решения уравнений, удовлетворяющих начальным условиям:
а) y '' 5 y ' 6 y 0, y (0) 1 , y '(0) 1; б) y '' 4 y ' 0, y (0) 0, y '(0) 10;
2
в) y '' 6 y ' 9 y 0, y(0) 0, y '(0) 2.
2) Проинтегрировать однородные ДУ:
а) y '' 4 y ' 8 y 0; б) y '' 16 y 0; в) y '' 4 y ' 4 y 0.
Практическое занятие № 35.
ТЕМА: Линейные дифференциальные уравнения II порядка с
постоянными коэффициентами.
ПЛАН:
1) Линейные неоднородные дифференциальные уравнений второго порядка с постоянн ыми
коэффициентами. Правила выбора частных решений.
2) Подготовка к контрольной работе по теме «Дифференциальные уравнения».
Вопросы для обсуждения.
1. Запишите в общем виде линейное неоднородное дифференциальное уравнение II порядка
с постоянными коэффициентами и соответствующее ему однородное.
2. Какое уравнение называется характеристическим для однородного ЛДУ? Каков его вид?
3. Как записывается общее решение однородного линейного дифференциального уравн ения
в зависимости от знака дискриминанта характеристического уравнения?
4. Как связаны общие решения неоднородного ЛДУ II порядка с постоянными
коэффициентами и соответствующего ему однородного?
5. Как найти частное решение неоднородного ЛДУ?
Задания для самостоятельной работы.
1) Для каждого из данных уравнений написать его частное решение с неопределёнными
коэффициентами (числовые значения не находить):
а) y '' 5 y ' 5; б) y '' 3 y ' e 3 x ; в) y '' 2 y ' xe2 x ; г) y '' 16 y sin 4 x;
2x
д) 3 y '' 2 y ' xe 3 ; е) y '' 6 y ' 9 y x 3 x .
2) Проинтегрировать неоднородные ЛДУ:
а) y '' 4 y ' y 4; б) y '' 6 y ' 9 y x 2 ; в) y '' 6 y ' 9 y 12e 3 x ;
г) y '' 4 y ' 4 xe 4 x ; д) y '' 6 y ' 3 y 12 cos 3x; е) y '' 3 y ' e3 x sin x.
3) Подготовка к итоговой контрольной работе.
Домашнее задание.
Практическая часть: Повторение темы «Дифференциальные уравнения и способы их
интегрирования».
Практическое занятие № 36.
ТЕМА: Итоговая контрольная работа.
Варианты контрольной работы взяты из пособия
Мироненко Е.С. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания для
студентов-заочников инженерных специальностей высших учебных заведений. – М.:
Высшая школа, 2002. (стр.87-89, к.р. № 8, задания 1-3, 10 вариантов).
Практическое занятие № 37.
ТЕМА: Элементы общей теории множеств.
ПЛАН:
1) Множество, его изображение и задание. Подмножество множества.
2) Операции над множествами.
Вопросы для обсуждения.
1. Что такое множество? Приведите примеры множеств.
2. Какие бывают множества по численности элементов?
3. Какое множество называется поlмножеством данного множества? Приведите примеры
множеств и их подмножеств.
4. Прочтите запись и поясните её: A {x | x R,1 x 5}, B {x | x N ,1 x 5}. Равны ли
множества А и В, или A B ?
5. Что такое объединение двух множеств? Изобразите объединение множеств A B на
диаграммах Эйлера-Венна (все возможные случаи расположения) и проиллюстрируйте
примерами.
6. Что такое пересечение двух множеств? Изобразите пересечение множеств A B на
диаграммах Эйлера-Венна (все возможные случаи расположения) и проиллюстрируйте
примерами.
7. Что такое разность двух множеств? Изобразите на кругах Эйлера и приведите прим еры
A/ B .
8. Как называется разность двух множеств А и В, если A B ? Изобразите графически этот
случай, приведите пример.
9. Что такое декартово произведение двух множеств A B ? Приведите примеры, изобразите
B A . Обладает ли декартово произведение множеств свойством
графики A B и
коммутативности?
Задания для самостоятельной работы.
1) Решение задач № 1.2, № 1.3, № 1.6, № 1.7 (а; г), № 2.3, № 3.14, № 3.18 из пособия
Локоть Н.В. Математике для нематематиков. – Мурманск: МГПИ, 1997.
Домашнее задание.
Теоретический материал: Элементы комбинаторики. [5], с. 6-12.
Практическая часть: Решить №1.4, № 1.5, № 1.7(б; в), № 2.2, № 3.19, № 3.23 из пособия
Локоть Н.В. Математике для нематематиков. – Мурманск: МГПИ, 1997.
Практическое занятие № 38.
Тема: Элементы комбинаторики.
Вопросы для обсуждения.
1. Что такое кортеж? Длина кортежа? Приведите примеры кортежей и назовите их дл ину.
2. Чем кортеж отличается от множества? Приведите примеры.
3. Что такое перестановка из m элементов без повторений? Каково их число?
4. Приведите пример задачи, где требуется найти число перестановок из m элементов.
5. Что такое размещения из m элементов по k элементов без повторений? Сколько их?
6. Что такое перестановка из m элементов с повторениями? Как найти их число?
7. Сколько всего размещений с повторениями из m элементов по k элементов можно
сделать? Приведите пример соответствующей задачи.
8. Что такое сочетания из m элементов по k элементов без повторений (с повторениями)?
Чем они отличаются от размещений?
9. Назовите правила комбинаторики, приведите примеры для их иллюстрации.
Задачи для самостоятельной работы.
1) Решение задач № 2.1, № 2.3, № 2.5, № 2.7, № 2.9-2.12, № 2.14-2.15, № 3.4, № 3.6, № 3.83.10, № 4.1-4.7.
2) Решение задач № 4.8, № 5.3, № 5.5, № 5.6, № 5.7, № 5.10, № 6.1, № 6.3, № 6.4 -6.9.
(Локоть Н.В. Математика для нематематиков. – Мурманск: МГПИ, 1997.).
Домашнее задание.
Теоретический материал:
1) Подготовка к самостоятельной работе (понятийный диктант).
2) Понятие случайного события и операций над ними. [5], с.13-14.
Практическая часть . [5], № 1.1- 1.10.
Практическое занятие № 39.
ТЕМА: Случайные события, операции над ними.
ПЛАН:
1) Самостоятельная работа по комбинаторике (30 мин.).
2) Элементарные события. Случайные события.
3) Совместные и несовместные события. Операции на случайными событиями.
Вопросы для обсуждения.
1. Какое событие называется случайным? Достоверным? Невозможным? Элементарным?
Приведите примеры таких событий.
2. Что такое пространство элементарных событий? Приведите примеры.
3. Как записать пространство элементарных событий для некоторого испытания, име ющего
n различных исходов, в общем виде?
4. Как изобразить пространство E и событие A в нём геометрически?
5. Какое событие называют суммой случайных событий? Приведите пример и изобраз ите на
диаграмме Эйлера-Венна.
6. Что такое произведение случайных событий? Приведите пример и изобразите графич ески.
7. Какие события называются несовместными? Приведите примеры и изобразите
графически.
8. Дайте определение противоположных случайных событий и приведите примеры.
Изобразите противоположные события на диаграмме Эйлера-Венна.
9. Что такое разность двух случайных событий? Приведите примеры, изобразите на
диаграмме.
10. Когда говорят, что из события A следует событие B? Приведите примеры и изобразите
графически.
Задачи для самостоятельной работы.
1) Решение задач № 2.1, № 2.2, № 2.4 - 2.7. (Локоть Н.В. Математика для нематематиков. –
Мурманск: МГПИ, 1997).
2) Какие из следующих событий являются противоположными, какие влекут за собой
другие?
а) А – выпадение чётного числа очков на игральной кости, В – выпадение нечётного
числа очков;
б) А – появление дамы и В – появление туза при случайном выборе одной карты из
колоды;
в) А – выпадение числа очков, большего 5, и В – числа очков, меньшего 5, на игральной
кости;
г) А – появление дамы и В – появление «картинки» при случайном выборе одной карты из
колоды;
д) А – выпадение числа очков, не меньшего 3, и числа очков, меньшего 3, при броске
игральной кости.
3) Какие из следующих событий являются достоверными, случайными, а какие –
невозможными:
извлечение из урны, где находятся 3 красных и 4 чёрных шара, А – красного шара, В –
синего шара, С – чёрного шара, D – двух шаров разного цвета, F – двух красных шаров?
Домашнее задание.
Теоретический материал:
Понятие вероятности случайного события. [5], с.13-16.
Практическая часть:
1. Привести (письменно) примеры случайных событий (невозможных, достоверных,
случайных) – по 3 примера каждого вида.
2. Указать все возможные исходы в следующих испытаниях и записать их пространства
элементарных событий:
а) сдача зачёта;
б) получение оценки на экзамене;
в) стрельба по цели;
г) подбрасывание 3 монет (1рубль, 2 и 5 рублей).
3. Привести примеры двух случайных событий и найти их сумму, разность и произвед ение,
изобразить графически на диаграммах Эйлера – Венна.
Практические занятия № 40-41.
ТЕМА: Вероятность случайного события и её вычисление.
ПЛАН:
1) Классический подход к понятию вероятности случайного события.
2) Нахождение вероятности случайного события по классической схеме.
3) Вероятность суммы случайных событий.
4) Самостоятельная работа (45 мин.).
Вопросы для обсуждения.
1. Какая группа событий называется полной группой? Приведите примеры полной группы и
не являющейся таковой.
2. Какие события называются равновозможными? Приведите примеры равновозможных и не
равновозможных случайных событий.
3. Дайте классическое определение вероятности случайного события.
4. Что такое выборка? Приведите примеры выборок.
5. Какие виды выборок можно указать? Приведите примеры.
6. Назовите все типы комбинаторных задач. Укажите способы их решения.
Задачи для самостоятельной работы.
1) Разбор решения задач № 1-3, с.21-23 [5];
2) Самостоятельное решение задач: [5], № 2.4, № 2.5-2.7.
3) В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Какова вероятность следующих событий:
а) А – извлечение белого шара,
б) В – извлечение чёрного шара,
в) С – извлечение красного шара,
г) D – извлечение двух белых шаров сразу,
д) Е – извлечение белого или красного шара,
е) F – извлечение белого или чёрного шара,
ж) К – извлечение двух белых шаров последовательно,
з) L – извлечение первым белого, а вторым – красного шара (последовательно),
и) P – извлечение двух шаров разного цвета (последовательно),
к) R – извлечение двух шаров разного цвета (сразу).
3) Бросили три игральные кости сразу. Какова вероятность, что сумма выпавших очков
меньше 17? Измениться ли вероятность названного события, Если бросать одну кость три
раза?
4) В урне 7 белых и 3 чёрных шара. Разом вынули 2 шара. Какова вероятность событий:
А – оба шара – чёрные, В – оба белые: в) шары разного цвета?
5) В подгруппе 12 студентов, 4 из которых – отличники. Наудачу выбирают 4 человек.
Какова вероятность, что среди них только 1 отличник?
6) Стрелок стреляет по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле один акова и
равна 0,7. Какова вероятность, что при 3 выстрелах мишень будет поражена?
7) На занятии № 41 – самостоятельная работа на 45 минут (решение задач по теории
вероятностей).
Домашнее задание.
Теоретический материал:
Понятие условной вероятности. [5], с.13-17.
Практическая часть:
1)Решить задачу:
В коробке 4 красных, 5 синих и 2 чёрных шара. Найти вероятности следующих событий:
а) А – извлечение красного шара,
б) В – извлечение чёрного шара,
в) С – извлечение синего шара,
г) D – извлечение двух синих шаров сразу,
д) Е – извлечение чёрного или красного шара,
е) F – извлечение синего или чёрного шара,
ж) К – извлечение двух синих шаров последовательно,
з) L – извлечение первым чёрного, а вторым – красного шара (последовательно),
и) P – извлечение трёх шаров разного цвета (последовательно),
к) R – извлечение трёх шаров разного цвета (сразу).
2) Какова вероятность, что из группы в 10 человек, среди которых 4 девушки и 6 юношей,
при случайном выборе 3 человек, будет двое юношей?
Практическое занятие № 42.
ТЕМА: Условная вероятность случайного события и её вычисление.
Независимые и зависимые события.
ПЛАН:
1) Условная вероятность события А при условии, что событие В произошло.
2) Независимые и зависимые события.
3) Вероятность произведения независимых и зависимых событий.
Вопросы для обсуждения.
1. Что такое условная вероятность события А при условии, что событие В произошло? Как
она обозначается?
2. Какие события называются независимыми? Приведите примеры зависимых и
независимых событий.
3. Как можно найти вероятность суммы двух случайных событий? А вероятность
произведения двух событий? Приведите примеры.
Задания для самостоятельной работы.
1) В студенческой группе 12 девушек и 8 юношей. Наудачу выбирают 3 человек. К акова
вероятность, что первый – юноша, вторая – девушка, третий – юноша?
2) В вазе 6 шоколадных, 5 конфет-суфле и 9 карамелек одного размера и формы. Наугад
поочерёдно выбрали 4 конфеты. Какова вероятность, что 1-ая – шоколадная. 2-я – карамель,
3-я – шоколадная. 4-я – суфле?
3) В студенческой группе 0,85 всего состава успешно сдали экзамен, причём 0,5 всех
студентов получили оценку «отлично». Какова вероятность, что наудачу выбранный ст удент
получил оценку «хорошо» или «удовлетворительно»?
4) На карточках написаны числа от 1 до 30 включительно. Наудачу извлекают 2 карточки.
Какова вероятность, что сумма чисел, написанных на карточках, равна 12?
5) Из 50 вопросов студент подготовил к зачёту 30 вопросов. Какова вероятность, что он
верно ответит на 3 поочерёдно заданных вопроса?
6) В урне 6 шаров с номерами 1-6. Вынимают поочерёдно 5 шаров, какова вероятность,
что они будут появляться в следующем порядке: № 6, 2, 3, 5,1?
7) У Маши в коробке 5 пар лент разного цвета (2 - синие, 2 – зелёные, 2 – красные 2белые и 2 – коричневые). Утром, не глядя, Маша вынимает 4 ленты. Какова вероятность, что
они все непарные?
Домашнее задание.
Теоретический материал:
Формулы полной вероятности и Байеса. [5], с.16-24.
Практическая часть: Решить задачи:
1) От коллектива бригады, состоящей из 6 мужчин и 4 женщин, на профсоюзную
конференцию выбирают 3 представителей. Какова вероятность, что среди выбранных хотя
бы одна женщина?
2) Среди 20 одинаковых по внешнему виду изделий находятся 3 бракованных.
Произвольно вынимают 3 изделия. Какова вероятность, что среди них хотя бы одно
бракованное?
1) В коробке 9 одинаковых деталей, 3 из которых были в употреблении. В течение дня
нужно взять три детали. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них была в
употреблении?
Практические занятия № 43.
ТЕМА: Формулы полной вероятности и Байеса.
ПЛАН:
1) Полная вероятность события, зависящего от n гипотез, её нахождение.
2) Решение задач с применением формулы полной вероятности события.
3) Вероятность события. Формула Байеса.
Вопросы для обсуждения.
1. Запишите формулу полной вероятности и поясните её.
2. Что такое гипотезы? Приведите примеры.
3. Какие гипотезы называют априорными (апостериорными)?
4. Запишите формулу Байеса. Когда она применяется для решения?
5. Что такое «байесовский подход» при пересчёте вероятностей апостериорных гипотез?
6. Приведите пример задачи, решаемой с помощью формулы полной вероятности
(с помощью формулы Байеса).
Задания для самостоятельной работы.
1) Решить № 2.11, № 2.12, № 2.13, № 2.14 [5].
2) В трёх группах была проведена одна и та же контрольная работа. В I группе, где 30
студентов, 8 работ выполнено на «5», во II группе, где 28 студентов, на «5» выполнено 6
работ, а в III группе, где 26 студентов, На «5» выполнено 9 работ. Найти вероятность, что
а) наудачу выбранная работа из наудачу выбранной группы окажется выполненной на «5»;
б) выбранная случайно работа оказалась выполненной на «5». Какова вероятность, что она
выполнена студентом из III группы?
3) Студент едет в университет на одном из 3 автобусов: №1, № 2 или № 3. Автобус №1
ходит в 2 раза чаще, чем автобус № 2, а автобус № 3 – в три раза реже, чем автобус № 3.
Контролёры в этих автобусах встречаются с вероятностями 0,12; 0,06 и 0,1 соответс твенно.
а) Следует ли покупать билет стоимостью 10 рублей, если штраф за безбилетный проезд
составляет 13 рублей?
б) В случае неудачного стечения обстоятельств студент попался контролёру. В каком
автобусе, скорее всего, это произошло?
4) Отлитые болванки поступают на обработку из 2-х цехов: 70% из 1 цеха и 30% - из 2-го.
При этом болванки из 1-го цеха имеют 10% брака, а из 2-го – 30% брака. Найти вероятность
того, что наудачу взятая болванка
а) не имеет дефектов и изготовлена в 1-м цехе,
б) не имеет дефектов.
5) Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в
следующем году равна 0, 75, если экономика страны будет на подъёме, и равна 0,30, если
подъёма не будет. По его мнению, вероятность подъёма равна 0,8. Оцените вероятность на
основании прогноза, что акции поднимутся уже в следующем году.
6) Из I урны, в которой 7 красных, 2 синих и 6 белых шаров, во II урну, в котрой 10 белых, 2
синих и 2 красных шара, переложили шар неизвестного цвета. Какова вероятность, что
белый шар, вынутый после этого из II урны, появился, когда
а) из I урны во II урну был переложен синий шар?
б) из I урны во II был переложен белый шар?
7) Решить задачи № 2.11-2.13.
Домашнее задание.
Теоретический материал:
Первая схема Бернулли. [5], с.16-25.
Практическая часть:
1) Решить задачи № 2.14, № 2.15, [5].
2) Составить 2 задачи на пересчёт апостериорных вероятностей и решить их.
Практическое занятие № 44.
ТЕМА: Схемы Бернулли и их применение для подсчёта вероятности.
ПЛАН:
1) Повторные испытания. Первая схема Бернулли.
2) Вторая схема Бернулли. Нахождение возможной вероятности появления случайного
события от m1 до m2 раз.
Вопросы для обсуждения.
1. Когда можно применять схему Бернулли для подсчёта вероятности случайного события?
2. Как найти вероятность того, что при 5 бросках монеты решка выпадет ровно 3 раза?
3. Как подсчитать вероятность события А – при 8 бросках монеты герб выпадет от 2 до 6
раз?
4. Можно ли считать схемой Бернулли многократное бросание игрального куба?
5. Какому неравенству удовлетворяет наиболее вероятное число «успехов» в схеме
Бернулли?
(Ответ: ( n 1) p 1 m ( n 1) p ).
Задания для самостоятельной работы.
1) Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,05. Какова вероятность, что среди
10 купленных билетов окажутся 2 выигрышных?
2) Всхожесть семян данного растения равна 0,8. Найти наиболее вероятное число
проросших семян из 5 посеянных.
3) Может ли по схеме Бернулли при n=30 и p=1/31 наивероятнейшее число успехов быть
больше 3?
4) Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь – стандартная, равна 0,9. Какова
вероятность того, что из 10 деталей 2 – нестандартные?
5) Разом бросили 5 монет. Какова вероятность того, что ровно 4 раза выпадет герб?
6) Вероятность попадания «в десятку» у данного стрелка равна 0,85. Определить
вероятность попадания «в десятку» не менее 3 раз при 10 выстрелах.
7) Игрок набрасывает кольца на колышек. Вероятность попадания при каждом броске
постоянна и равна 0,6. Найти вероятность того, что при 6 бросках удачными будут хотя бы
2.
8) В магазин пришли 8 покупателей. Найти вероятность того, что хотя бы 3 из них сове ршат
покупки, если вероятность совершить покупку у каждого равна 0,3.
9) Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает её наугад. Найти
вероятность того, что ему придётся набирать номер не более 3 раз.
10) для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0,7. Что более
вероятно: он забросит мяч в корзину 6 или 8 раз при 10 бросках?
Домашнее задание.
Теоретический материал: Асимптотические формулы для нахождения вероятности
случайного события. [5], с.24-25.
Практическая часть: Решить задачи:
1) Два спортсмена играют в настольный теннис. Вероятность выигрыша первого
спортсмена равна 5/9, а второго – 4/9. Какова вероятность того, что первый выиграет 2
партии из 5?
2) Какова вероятность того, что при подбрасывании сразу 5 кубиков на трёх из них
выпадет чётное число очков?
3) Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,002.
Какова вероятность, что среди наудачу взятых 6 деталей окажется более 4-х стандартных?
Практические занятия № 45-46.
ТЕМА: Асимптотические формулы для нахождения вероятности.
ПЛАН:
1) Теорема Муавра-Лапласа и её применение для нахождения вероятности случайных
событий.
2) Редкие события. Применение формулы Пуассона для нахождения вероятности их
появления.
3) Интегральная теорема Лапласа, её применение к вычислению вероятности P (a m b) .
4) Самостоятельная работа по теории вероятностей (45 мин.).
Вопросы для обсуждения.
1. Какой теоремой можно воспользоваться, чтобы найти вероятность события, что при 100
бросках монеты герб выпадет ровно 40 раз?
2. Какой теоремой можно воспользоваться для того, чтобы найти вероятность редкого
события при большом количестве испытаний?
3. Когда можно воспользоваться интегральной теоремой Лапласа для вероятности
случайного события?
4. Какие свойства функции Лапласа вы знаете?
5. В каких случаях можно применять теорему Муавра-Лапласа для нахождения вероятности
случайного события?
Задания для самостоятельной работы.
1) Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь – стандартная, равна 0,9. Какова
вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартн ыми?
2) Некоторое электронное устройство выходит из строя, если откажет определённая
микросхема. Вероятность её отказа в течение 1 суток равна 0.004. Какова вероятность, что
за 1000 суток работы устройства придётся 5 раз менять микросхему?
3) Вероятность попадания в цель из орудия при отдельном выстреле равна 0,8. Найти
вероятность того, что число попаданий при 900 выстрелах будет заключено в границах от
690 до 740.
4) Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 120 раз при 144 испытаниях, если
вероятность его наступления в каждом испытании равна 0,8.
5) Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что
среди 80 грибов белых будет 20?
6) На факультете учатся 500 студентов. Найти вероятность того, что 1 сентября являетс я
днём рождения:
а) ровно 3 студентов;
б) не менее 3 студентов.
7) В первые классы школы должны быть приняты 200 детей. Найти вероятность того, что
мальчиков и девочек в них будет поровну, если вероятность рождения мальчика равна 0,51,
а девочки – 0,49.
8) При установившемся технологическом процессе завод ЖБК выпускает 70% своих
изделий первым сортом. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий
первосортных будет не менее 650.
9) Известно, что в среднем за месяц (30 суток) в районной сети водоснабжения возникает 90
ситуаций, требующих вмешательства аварийной службы. На сколько вызовов в сутки
должна быть рассчитана эта служба, чтобы с вероятностью 0,9 она могла удовлетворять все
поступающие на эти сутки заявки?
10) Самостоятельная работа (45 мин.).
Домашнее задание.
Теоретический материал: Случайные величины, их числовые характеристики [5], с.27-31.
Практическая часть: Решить задачи:
1) Известно, что в принятой для сборки партии из 1000 деталей имеются 4 дефектных.
Найти вероятность того, что среди 50 наудачу взятых деталей нет дефектных.
2) При вытачивании сложной детали наблюдается в среднем 20% брака. Какова
вероятность того, что при изготовлении 900 деталей окажутся пригодными от 705 до 735?
Практическое занятие № 47.
ТЕМА: Дискретные случайные величины. Законы распределения ДСВ.
ПЛАН:
1) Случайные величины, их виды.
2) Дискретная случайная величина, способы её задания.
3) Функция распределения ДСВ, её свойства и график.
4) Примеры законов распределения ДСВ.
Вопросы для обсуждения.
1. Какая величина называется случайной? Приведите примеры таких величин.
2. Какая случайная величина называется дискретной? Непрерывной? Приведите примеры.
3. Что такое закон распределения случайной величины?
4. Как можно задать дискретную случайную величину (ДСВ)? Непрерывную случайную
величину (НСВ)?
5. Есть ли универсальный способ задать случайную величину (ДСВ или НСВ)?
6. Какая функция называется функцией распределения СВ?
7. Какие законы распределения СВ вы знаете?
Задания для самостоятельной работы.
1) Пусть случайная величина X может принимать значения x1 1; x2 2; x3 3, а
случайная величина Y – значения
y1 4; y2 7; y3 11. Найти возможные значения
величин X Y ; XY ; 5X .
2) В партии из 8 деталей 5 стандартных. Наудачу взяты 4 детали.
а) Записать ряд распределения числа стандартных деталей среди отобранных;
б) Построить многоугольник распределения числа стандартных деталей;
в) Задать функцию распределения и построить её.
3) Решить задачи № 3.1, № 3.2, № 3.3-3.5, [5].
Домашнее задание.
Теоретический материал: Случайные величины, их виды и законы распределения.
[5], с.31-36.
Практическая часть: Решить задачи:
1) Партия деталей содержит 10% нестандартных. X – число стандартных деталей в
выборке из 5 деталей. Найти закон распределения СВ X и построить график
распределения этой СВ.
xi
2) СВ X задана рядом распределения
0 1 2 3
4
p( xi ) 0,2 0,4 0,3 0,08 0,02
Записать её функцию распределения и построить график.
Практическое занятие № 48.
ТЕМА: Непрерывные случайные величины. Законы распределения НСВ.
ПЛАН:
1) Непрерывные случайные величины, способы их задания.
2) Интегральная функция распределения НСВ.
3) Дифференциальная функции распределения НСВ (плотность распределения).
4) Примеры распределений НСВ.
Вопросы для обсуждения.
1. Чем отличаются друг от друга непрерывная и дискретная случайные величины?
2. Какие числовые характеристики случайных величин вы знаете?
3. Какой закон распределения НСВ называется нормальным? Как его можно задать?
4. Как выглядит график плотности стандартного нормального распределения?
5. Вероятность какого события является значением функции распределения СВ X?
6. Какие операции можно производить над случайными величинами?
Задания для самостоятельной работы.
1) ) Функция распределения СВ X задана выражением
0 при x
4
F ( x ) a sin( x ) 1
4
2
1 при x 3
4
а) коэффициент a ;
при
x 3 ;
4
4
Найти:
б) вероятность попадания значения СВ X в интервал ; 3 ;
4 4
в) построить график функции F(x);
г) плотность распределения и построить её график.
2) Число пожаров в городе за сутки – случайная величина, распределённая по закону
Пуассона (закону редких событий) с параметром 3. Найти вероятность того, что их
будет не более двух.
3) Случайная величина X задана плотностью распределения
0 при x 0
2
f ( x ) ( x 3) / 9 при 0 x 3. Найти интегральную функцию распределения и
0 при x 3
построить графики f ( x ) и F ( x ).
Домашнее задание.
Теоретический материал: Случайные величины, их числовые характеристики.
[5], с.36-43.
Практическая часть: Решить задачи:
1) Найти плотность распределения СВ X и построить её график, если
0 при x 0
F ( x ) ( x 1)3 / 6 при 0 x 1;
1 при x 1
2) Найти интегральную функцию и построить её график, если плотность распредел ения
0 при x
2
f ( x ) cos 2 x при x .
2
0 при x
Практические занятия № 49-50.
ТЕМА: Числовые характеристики случайных величин.
Основные законы их распределения.
ПЛАН:
1) Математическое ожидание СВ, его свойства и вычисление.
2) Дисперсия СВ, её свойства и вычисление.
3) Среднее квадратическое отклонение СВ и коэффициент вариации.
4) Самостоятельная работа (30 мин.).
Вопросы для обсуждения.
1. Какая характеристика имеет смысл среднего значения СВ?
2. Какая из числовых характеристик СВ оценивает степень рассеивания ?
3. Как вычислить математическое ожидание ДСВ? А непрерывной?
4. Как вычисляется дисперсия и среднее квадратическое отклонение для ДСВ и НСВ?
5. Какие значения может принимать биномиально распределённая величина?
6. Какими параметрами определяется биномиальное распределение?
7. Какие значения может принимать СВ, распределённая по закону Пуассона?
8. Какой смысл имеет параметр в распределении Пуассона?
9. Какое распределение СВ называется равномерным?
10.Ч ему равны M(X) и D(X) в равномерном распределении?
11. Может ли СВ, распределённая по экспоненциальному закону, принимать отриц ательные
значения?
12. Как влияют параметры нормального распределения на вид графика его плотности?
Задания для самостоятельной работы.
1) Разбор решений задач №6-8, [5], с.42-43.
2) Найти вероятность попадания НСВ X в промежуток [ ; ] , если она распределена
а) равномерно на отрезке [8;15], 1; 10 ;
б) по показательному закону и M(X)=15;
в) по нормальному закону и m=8, 1 .
3) Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с
параметрами m=0 мм и 9 мм. Найти вероятность того, что при 3 независимых
измерениях погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по абсолютной
величине 3мм.
4) Решение задач № 3.5, № 3.6-3.9, [5].
5) Решение задач № 3.10-3.13, [5].
6) Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально
распределённой СВ X. Найти:
а) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ) ,
б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения | x m | .
Дано: а) m 15, 2, 16, 25, 4;
б) m 6, 2, 4, 12, 4.
7) Вероятность того, что на станке-автомате будет отштампован корпус некоторого
механического устройства, не удовлетворяющий допуску, равна 0,01. Сколько надо
изготовить корпусов, чтобы с вероятностью 0,99 ожидать не превосходящее по абсолютной
величине отклонение относительной частоты появления нестандартного корпуса от
вероятности его появления?
8) На котором рисунке изображён график плотности нормального распределения?
рис. 1
рис. 2
рис.3
9) Самостоятельная работа (вариант примерного компьютерного тестирования) (45 мин).
Домашнее задание.
Теоретический материал: Случайные величины, их числовые характеристики.
[5], с.36-43.
Практическая часть: Решить задачи:
1) Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна p=2/3. Составить
таблицу распределения числа попаданий при 7 выстрелах, найти M(X) и D(X).
2) По данной таблице распределения СВ X найти её M(X) и D(X):
xi
3
6
9
12
15
0,4
0,15
0,13
0,25
0,07
p ( xi )
3) НСВ X распределена по экспоненциальному закону. Найти M(X), D(X), ( X ) и
вероятность попадания X в интервал (a; b), если
а) f ( x ) 2e 2 x , x 0, ( a; b) (0, 3;1); б) f ( x ) 5e 5 x , x 0, ( a; b) (0,1; 2).
4) НСВ X распределена по нормальному закону с параметрами M(X)=30 и D(X)=100.
Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10; 15).
Практическое занятие № 51.
ТЕМА: Основные понятия статистики. ГС и выборка.
ПЛАН:
1) Генеральная совокупность и выборка. Репрезентативность выборки.
2) Условия репрезентативности выборки.
3) Способы записи экспериментальных данных.
Вопросы для обсуждения.
1. Что такое генеральная совокупность? Что такое выборка? Приведите примеры.
2. Какая выборка называется репрезентативной?
3. При каких условиях выборка будет репрезентативной?
4. Что такое вариационный ряд? Статистический ряд? Как их записать?
5. Какой ряд называют интервальным? Что такое частота интервала (класса)?
6. Как найти ширину интервала (класса)? Приведите пример.
7. Что такое гистограмма частот (частностей)? Полигон частот (частностей)?
8. Что показывает кумулянта частот (частностей)?
Задания для самостоятельной работы.
1) В магазине было продано 45 пар мужской обуви. Имеется выборка значений СВ X –
размеров обуви: 39 41 40 42 41 40 42 44 40 43 42 41 43 39 42
41 42 39 41 37 43 41 38 43 42 41 40 41 38 44
40 39 41 40 42 40 41 42 40 43 38 39 41 41 42.
Построить дискретный вариационный ряд, гистограмму и полигон частот, кумулянту
частностей. Записать эмпирическую функцию распределения, построить её график.
2) Решить задачу № 4.1, [5].
Домашнее задание.
Теоретический материал: Элементы статистики. [5], с.44-59.
Практическая часть:
1) Разобрать решения задач № 1-5, с. 54-59, [5].
2) Решить № 4.2, [5].
Практическое занятие № 52.
Тема: Выборочные числовые характеристики и их нахождение.
Вопросы для обсуждения.
1. Какая функция называется выборочной функцией распределения?
2. Что такое плотность распределения?
3. Что такое среднее арифметическое значений выборки? Как его найти при различных
способах задания выборки?
4. Что такое выборочная дисперсия? Что она показывает?
5. Какая оценка параметра генеральной совокупности называется несмещённой?
6. Какая оценка называется состоятельной? Эффективной?
7. Какие состоятельные, несмещённые и эффективные оценки параметров вы знаете?
Задания для самостоятельной работы.
1) Найти эмпирическую функцию распределения СВ X, заданной выборочными данными,
построить её график.
№
Частоты классов
1.
2.
3.
Границы классов
(интервалов)
[0;2)
[2;4)
[4;6)
4.
[6;8)
25
5.
6.
7.
[8;10)
[10;12)
[12;14)
22
16
3
2
13
19
2) Найти выборочные характеристики: среднее арифметическое, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Оценить выборку на однородность.
X=(102; 106; 111; 111; 112; 114; 115; 115; 116; 119; 120; 127).
3) Имеются данные о годовой мощности предприятий цементной промышленности в 2000
году:
Предприятия с годовой
мощностью (тыс. т.)
До 500
500-1000
1000-2000
2000-3000
Количество
предприятий
27
11
8
8
Свыше 3000
2
а) Определить среднюю мощность предприятий;
б) Найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;
в) Охарактеризовать полученные данные и сделать выводы.
4) Имеются выборочные данные о числе сделок, заключённых брокерскими фирмами и
конторами города в течение месяца:
Число заключённых
сделок
Число брокерских
Фирм и контор
10-30
30-50
50-70
70-90
20
28
12
5
а)
Построить полигон распределения частот, гистограмму частностей, кумулянту
частностей;
б) Определить среднее число заключённых сделок;
в) Найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Полученные результаты объяснить, сделать выводы.
Практическое занятие № 53.
ТЕМА: Итоговая контрольная работа.
Тема: Элементы теории вероятностей и математической статистики
(текст прилагается).
Вариант № 1.
1) Имеется две урны. В первой - 6 белых и 3 черных шара, во второй -7 белых и 2 черных. Из
первой урны во вторую перекладывают 1 шар. После этого из второй урны наугад
выбирают еще один шар. Какова вероятность, что он - черный? Вынутый из второй
урны шар оказался белым. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую
переложили черный шар.
2) Вероятность того, что зерно не взойдет, равна 0,002. Найти вероятность того, что из 1000
зерен не взойдет ровно пять.
3) Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти
вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 70 не более 80 раз.
4) Один стрелок стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более
четырех выстрелов. Вероятность попадания в цель при од ном выстреле равна 0,7. X число выстрелов. Найти закон распределения случайной величины X, ее характеристики: М(Х),
D(X), функцию распределения F(Х) и построить график функции F(X).
5) Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(X). Найти плотность
распределения f(x), характеристики: М(Х), D(X) и вероятность P( a X b) . Построить
графики f(x) и F(X). Дано, что
0 при x 1
2
F ( X ) x x при 1 x 2;
2
1 при x 2
a 0, 5; b 1, 5.
Вариант 2.
1) В урне 7 белых и 3 чёрных шар. Наугад извлекают по одному два шара.
а) Найти вероятность того, что второй шар – чёрный.
б) Второй вынутый шар был чёрным. Найти вероятность того, что первый шар был белым.
2) Найти вероятность того, что событие произойдёт не менее 3 раз в 5 независимых
испытаниях. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,8.
3) Найти вероятность того, что в 243 испытаниях событие появится ровно 70 раз, если
вероятность появления его в каждом испытании равна 0,6.
4) В урне находятся 3 белых и 2чёрных шара. Шары извлекают по одному до появления
чёрного шара. X – число появления белых шаров. Найти закон распределения случайной
величины X, ее характеристики: М(Х), D(X), функцию распределения F(Х) и построить график
функции F(X).
5) Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(X). Найти плотность
распределения f(x), характеристики: М(Х), D(X) и вероятность P( a X b) . Построить
графики f(x) и F(X). Дано, что
0 при x 0
F ( X ) 3x 2 2 x при 0 x 1/ 3;
1 при x 1/ 3
a 0, 25; b 1.
Вариант 3.
1) В урне лежит шар неизвестного цвета с равной вероятностью: белый или чёрный. В урну
опускают белый шар, затем после перемешивания извлекают один шар.
а) Найти вероятность того, что он – белый.
б)Вынутый из урны шар оказался белым. Найти вероятность того, что в урне остался
черный шар.
2) Вероятность отказа прибора при испытании равна 0,2. Испытано 10 приборов. Найти
вероятность того, что отказал, как минимум, один прибор.
3) Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,6. Найти
вероятность того, что в 2400 испытаниях событие появится ровно 1400 раз.
4) Буквы слова «огород» рассыпаны в беспорядке. Из них наудачу сразу выбирают 4
буквы. X - число букв «о» в выборке. Найти закон распределения случайной величины X, ее
характеристики: М(Х), D(X), функцию распределения F(Х) и построить график функции F(X).
5) Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(X). Найти плотность
распределения f(x), характеристики: М(Х), D(X) и вероятность P( a X b) . Построить
графики f(x) и F(X). Дано, что
0 при x 2
F ( X ) x при 2 x 4;
2
1 при x 4
a 1; b 3.
Вариант 4.
1) В пирамиде 5 винтовок, 3 из них с оптическим прицелом. Вероятность поражения цели из
винтовки с оптическим прицелом равна 0.95, без такового - 0,7.
а) Найти вероятность того, что цель поражена из наугад выбранной винтовки.
б) Цель поражена из наугад выбранной винтовки. Найти вероятность того, что эта
винтовка без оптического прицела.
2) Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,01. Какова вероятность того, что из
500 билетов выиграют ровно три.
3) Вероятность появления события в каждом из 2100 испытаний равна 0,7. Найти вероятность
того, что событие появится не менее 1470 раз.
4) Стрелок имеет 4 патрона и стреляет в цель до первого попадания. Вероятность попадания
при каждом выстреле равна 0,8. X - число использованных патронов. Найти закон
распределения случайной величины X, ее характеристики: М{Х), D(X), F(X) и построить
график функции F(X).
5) Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(X). Найти плотность
распределения f(x) и характеристики: М(Х), D(X) и . Построить графики f(X) и F(X). Дано, что
0 при x 0
2
F(X ) x
при 0 x 3;
a 1; b 2.
9
1 при x 3
Вариант 5.
1) В ящике 12 деталей, изготовленных заводом № 1, 20 – заводом № 2 и 18 – заводом № 3.
Вероятности того, что деталь отличного качества при условии, что она изготовлена заводом №
1, № 2, № 3, соответственно равны 0,9, 0,6 и 0,7.
а) Найти вероятность того, что цель поражена из наугад выбранной винтовки.
б) Наугад выбранная деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность, что она
изготовлена заводом № 2?
2) Найти вероятность того, что событие А появится не менее 4 раз в 5 независимых
испытаниях, если вероятность появления события в каждом из испытаний равна 0,7.
3) Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти
вероятность того, что событие появится не менее 70 раз и не более 80 раз в 100 испытаниях.
4) Из урны, в которой 5 белых и 3 чёрных шара, извлекают сразу 4 шара. X - число чёрных
шаров в выборке. Найти закон распределения случайной величины X, ее характеристики:
М{Х), D(X), F(X) и построить график функции F(X).
5) Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(X). Найти плотность
распределения f(x) и характеристики: М(Х), D(X) и . Построить графики f(X) и F(X). Дано, что
0 при x 0
2
F(X ) x
при 0 x 2;
4
1 при x 2
a 2; b 1.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература, учебные издания: учебники и учебные пособия,
основная:
1. Щипачёв В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2002.
2. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А.В. Курс
высшей математики для гуманитарных специальностей. – СПб.: Специальная
литература, 1999.
3. Локоть Н.В. Математика. Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных
факультетов МГПУ: Элементы высшей алгебры и аналитической геометрии.
Дифференциальной исчисление функции одной переменной. – Мурманск: МГПУ,
2003. – Часть I.
4. Локоть Н.В. Математика. Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных
факультетов МГПУ: Интегральное исчисление. Ряды. Дифференциальные уравнения.
– Мурманск: МГПУ, 2004. – Часть II.
5. Локоть Н.В. Математика. Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных
факультетов МГПУ: Элементы теории вероятностей и математической статистики. –
Мурманск: МГПУ, 2004. – Часть III.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая
школа, 1997.
7. Лунгу К.Н, Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей
математике. – М.: Айрис Пресс, 2003.
Дополнительная:
8. Высшая математика для экономистов /Под ред. Н.Ш. Крамера. – М.: ЮНИТИ, 1997 (и
другие издания).
9. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. – М.: Высшая школа, 1998.
10. Щипачёв В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2002.
11. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – М.: Инфра-М, 2002.
12. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М.: Дело, 2002.
13. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы
математического анализа. - М.: Наука, 1981.
14. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987.
ИМЕЮТСЯ В ЭЛЕКТРОННОМ ВИДЕ «МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
«МАТЕМАТИКА. Глава 1»
«МАТЕМАТИКА. Глава 2»
«МАТЕМАТИКА. Глава 3»
«МАТЕМАТИКА. Глава 4»
«МАТЕМАТИКА. Глава 5».
«МАТЕМАТИКА. Глава 6»
«МАТЕМАТИКА. Глава 7»
«МАТЕМАТИКА. Глава 8»
«МАТЕМАТИКА. Глава 9»
1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
1.9.1. Перечень используемых технических средств
мультимедийный проектор;
компьютеры.
1.9.2. Перечень используемых пособий.
Таблицы «Математика в жизни общества» (8 таблиц).
Таблица «Операции над множествами».
Таблица производных функции одной переменной.
Таблица интегралов.
Таблицы статистические.
1.9.3. Перечень аудио - и видеоматериалов программного обеспечения.
Презентации лекций (Элементы векторного исчисления. 4 часа).
Слайды и компьютерные презентации лекций:
1) файл «Виды уравнений прямой на плоскости»;
2) файл «Векторы» (лекция);
3) файл «Функция»;
4) файл «Кривые второго порядка»;
5) файл «Дифференциальные уравнения»;
6) файл «Комплексные числа»;
7) файл «Множества»;
8) файл «Элементы ТВ»;
9) файл «Условная вероятность»;
10) файл «Распределения СВ»;
11) файл «Статистические графики».
Курс лекций по высшей математике (Ларин А.А.).
Индивидуальные задания по темам:
а) Производная.
б) Интеграл,
в) Дифференциальные уравнения.
д) Теория вероятностей.
1.10. Примерные зачётные тестовые задания.
1.10.1.
Тест по теме « Элементы высшей алгебры».
Инструкция: Внимательно прочтите каждое задание, выберите из предложенных 4 ответов
правильный и впишите его номер в соответствующую графу таблицы
№ задания
№ ответа
1
2
3 4
5 6
Задания:
1) Даны матрицы A, B, C, D, F:
7 8
9 10
1
2
1 2
2 1 1
2 3 ; C 1 0 ; F 1 ; D 1 1 1 .
;
A
B
0 1
0 1 4
0 1
3
Какой размерности матрица А?
Ответы: 1) 3 2 ; 2) 2 3 ; 3) 2 2 ; 4) нет верного ответа.
2) Какая из матриц A, B, C, D, F, заданных выше, квадратная?
Ответы: 1) F; 2) D; 3) нет верного ответа; 4) C.
3) Чему равна сумма матриц A+B, если
2
A 0
8
5 1 2
Ответы: 1) 2 0 3 ; 2)
8 2 5
1
3 2
1 2
1 1
2 2
8 0
0
3 1 1
, B 2 1 1 ?
0 1 3
0
1
3 ; 3) 3 ; 4) нет верного ответа.
3
5
2 1
0 1 1
4) Чему равно произведение матриц A·B, если A
, B
?
0 1
2 0 1
2 1 3
0 1
Ответ: 1)
; 2)
; 3) не существует; 4) нет верного ответа.
2 0 1
0 1
0 1 1
5) Чему равен определитель матрицы А, если A 2 0 3 ?
0 2 1
Ответы: 1) 9; 2) 0; 3) нет верного ответа; 4) –2.
2 15
6) Как запишется транспонированная матрица для матрицы А, если A
?
8 7
7
2 8
8
7 15
Ответы: 1) AT
; 2) AT
; 3) нет верного ответа; 4) AT
.
15 7
28 15
8 2
0 1 1
1
7) Как запишется для матрицы А обратная матрица A , если A 2 0 3 ?
0 2 1
3
3 1 3
1 11
2 1 1
2
2
2
2
1
1
1
0 ; 3) A 1 0 0 ;
Ответы: 1) A 0 0 1 ; 2) A 1 0
1 2 0
3
2
0
1
1
0
2
4) нет верного ответа.
8) Найдите решения данной системы уравнений с помощью метода обратной матрицы:
x1 2 x2 x3 5
2 x1 x2 x3 2 . Чему равна сумма x1 x2 x3 ?
x 2x 0
3
1
Ответы: 1) 2; 2) 0; 3) 3; 4) нет верного ответа.
9) Дана система линейных уравнений. Чему равны определитель Δ системы и определитель
Δ x при неизвестном x , если
2 x 8 y z 3
x 5y 1 ?
2 y 2 z 2
Ответы: 1) Δ=3, Δ x =1; 2) нет верного ответа; 3) Δ=0, Δ x = -1; 4) Δ=1, Δ x =1;
10) Дана система линейных уравнений. Решите её методом Гаусса. Сколько базисных
неизвестных и сколько свободных неизвестных в общем решении системы
2 x y z 3t u 2
2 x y 4 z 2t 3u 1 ? aij
4 x 2 y 2 z 6t 6u 5
Ответы: 1) базисных – 1, свободных – 4; 2) базисных 2, свободных –3;
3) базисных 3, свободных – 2; 4) базисных – 4, свободное – 1.
1.10.2. Тест по теме «Элементы аналитической геометрии».
Инструкция: Внимательно прочтите каждое задание, выберите из предложенных 4 ответов
правильный и впишите его номер в соответствующую графу таблицы
№ задания
№ ответа
Задания:
1
2
3 4
5 6
7 8
9 10
y
1
1) Координаты вектора a равны:
Ответы: 1) a 3i 2 j k ; 2) a (3;1) ; 3) a 3i j ;
О
3
x
4) нет верного ответа.
2) Сумма векторов a 3i 2 j k и b i 3k равна:
Ответы: 1) a b 3i 2k ; 2) a b (4; 2; 4) ; 3) a b 2 i 2 j 2k ;
4) нет верного ответа.
3) Разность векторов a 3i 2 j k и b i 3k равна:
Ответы: 1) a b 2 i 4k ; 2) a b (2;0; 4) ; 3) нет верного ответа.
4) a b 2 i 2 j 4k .
4) Дан параллелограмм ABCD. Пусть AB AD c и AB AD d . Тогда вектора c и
d равны:
Ответы: 1) c CA, d BD ; 2) c AC, d DB ; 3) нет верного ответа;
4) c AC, d BD .
5) Даны 2 вектора a 3i 2 j k и b i 3k . Скалярное произведение этих векторов
равно:
Ответы 1) (a b ) 2 ; 2) (a b ) 3i 3k ; 3) нет верного ответа; 4) (a b ) 0 .
6) Даны 2 вектора a 3i 2 j k
равно:
Ответы 1) [a b ] 2 i 4 j 2k ;
3) [a b ] 2 i 4 j 2k ;
7) Даны точки A(2; 1; 0), B(0; 1; 3),
векторов ( AB AC AD ) равно:
и b i 3k . Векторное произведение этих векторов
2) [a b ] 2 i 4 j 2k ;
4) нет верного ответа.
C (1;1;1), D(2; 2; 1) . Смешанное произведение трёх
Ответы: 1) 20; 2) нет верного ответа; 3) 0; 4) 19.
8) Даны точки A(2; 1), B(0; 3) . Уравнение прямой, проходящей через эти точки, на плоскости
имеет вид:
x 2 y 3 ; 3) x 2 y 1 ; 4) нет верного ответа.
1 2 0 3
3
4
9) Дана точка A(2; 1; 0) и плоскость 2 x y 3z 5 0 . Уравнение прямой в пространстве,
проходящей через точку A, перпендикулярно данной плоскости запишется:
y 1 z 3
y 1 z
Ответы: 1) x 2
; 2) 2( x 2) ( y 1) 3z 0 ; 3) x 2
;
2
1
0
2
1
3
4) нет верного ответа.
10) Плоскости 2 x y 4 z 5 0 и 3x 2 y 2 z 3
Ответы 1) параллельны; 2) нет верного ответа; 3) перпендикулярны; 4) совпадают.
Ответы: 1) 2 x y 3 0 ; 2)
1.10.3. Тест
по теме «Дифференциальное исчисление функции одной
переменной».
Инструкция: Внимательно прочтите каждое задание, выберите из предложенных 4 ответов
правильный и впишите его номер в соответствующую графу таблицы
№
задания
№ ответа
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Задания:
1. Дана последовательность 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ;... . Общий член a n этой последовательности
2 3 4 5
имеет вид:
Ответы: 1) an n 1 ; 2) an ( 1)n n 1 ; 3) an ( 1)n n ; 4) нет верного ответа.
n
n
n 1
4
2
2
y1 ( x ) x 5x , y2 ( x ) 12 x 3x, y3 ( x) sin 3x. Из них чётной
2. Даны функции
функцией является функция:
Ответы: 1) y1 ( x) ; 2) y2 ( x) ; 3) нет верного ответа; 4) y3 ( x ) .
y1 ( x ) x 4 5x 2 , y2 ( x ) 12 x 2 3x, y3 ( x) sin 3x. Из них нечётной
3. Даны функции
функцией является функция:
Ответы: 1) y1 ( x) ; 2) y2 ( x) ; 3) нет верного ответа; 4) y3 ( x ) .
4. Даны функции ( x ) 1 , ( x ) 32 , ( x ) x . Из них бесконечно малой функцией
x 1
3
x
при x 0 является функция:
Ответы: 1) ( x ) ; 2) ( x ) ; 3) нет верного ответа; 4) ( x ) .
5. Даны функции
( x) 1 ,
( x ) 32 ,
( x) x 3 .
x3
5
x
функцией при x 3 является функция:
Ответы: 1) ( x ) ; 2) ( x ) ; 3) нет верного ответа; 4) ( x ) .
Из них бесконечно большой
5
2
6) lim 2 x 3 5x 5 7 x равен:
x
5x 6 x
Ответы: 1) 2; 2) 1 ; 3) 2 ; 4) нет верного ответа.
3
5
2
7) lim x 2 3x 2 равен:
x 1 x 2 x 3
Ответы: 1) 3; 2) 1 ; 3) нет верного ответа; 4) 2 .
4
3
2
8) lim sin 23x равен:
x 0 6 x
Ответы: 1) 3 ; 2) 1 ; 3) 1; 4) нет верного ответа.
2
2
1 x2
9) lim
x x 2
3x2
равен:
Ответы: 1) e ; 2) e 2 ; 3) e3 ; 4) нет верного ответа.
8) Производная функции f ( x ) 2cosx 5ln 2 23 x 1 (2 x 1)5 равна:
3
Ответы: 1) f '( x ) 2 sin x 5 (3x 1) 23 x 2 5(2 x 1) 4 ; 2) нет верного ответа;
3
6
3) f '( x ) 2 sin x (3x 1) ln 2 5(2 x 1)4 ; 4) f '( x ) 2 sin x (3x 1) ln 2 10(2 x 1) 4 .
3
3
9) Область определения функции y ln(3 2 x x 2 ) имеет вид:
Ответы: 1) ( 1; 3) ; 2) ( ;1) (3; ) ; 3) нет верного ответа; 4) (0; ) .
10)Функция y x 4 2 возрастает на промежутке:
Ответы: 1) (0; ) ; 2) (; 0,5) ; 3) нет верного ответа; 4) (0,5 ; ) .
11) График функции y x 4 2 является выпуклым на промежутке:
Ответы: 1) (0; ) ; 2) ( ; 0) ; 3) нет верного ответа; 4) (0,5 ; ) .
2
14) Асимптотой функции y x 1 является прямая:
x
Ответы: 1) y x 1 ; 2) y x ; 3) y x ; 4) нет верного ответа.
1.10.4. Тест по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной».
Инструкция: Внимательно прочтите каждое задание, выберите из предложенных 4 ответов
правильный и впишите его номер в соответствующую графу таблицы
№ задания
№ ответа
1
2
3 4
5 6
7 8
9 10
Задания:
f ( x ) x 3 2 cos 3x является функция:
1) Первообразной для функции
4
Ответы: 1) нет верного ответа; 2) F ( x ) 3x2 6 sinx ; 3) F ( x ) x 2 sin 3x ;
4
4
4) F ( x ) x 2 sin 3x .
4 3
2) Интеграл
3x 2 27
dx
равен:
Ответы: 1) 1 ln x 3 C ; 2) 1 ln x 3 C ; 3) 1 arcsinx C ; 4)нет верного ответа.
3
3
6 x3
18 x 3
3) Интеграл
dx
равен:
5 x2
Ответы: 1) 1 ln x 5 C ; 2) 1 arcsin x C ; 3) arcsin x C ; 4) нет верного ответа.
5
10 x 5
5
5
4) Интеграл
Ответы: 1)
5) Интеграл
cos 7xdx
7sin 7x C ; 2) sin 7x C ; 3) sin 7 x C
7
2x
3
Ответы: 1) ( x 2 1)
6) Интеграл
равен:
3e
e
4
4) нет верного ответа.
x 2 1 dx равен:
3
1
C ; 2) ( x 2 1)
4
4
C ; 3) 3 ( x 2 1)
4
3
C ;4) нет верного ответа.
ln 2 xdx равен:
Ответы: 1) e(3ln 6 ln 2 2) ; 2) 3 ln 6; 3) 1 ; 4) нет верного ответа.
7)Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y x , y x 2 , x 0, x 1
равна:
Ответы: 1) 7
8) Интеграл
13
;
2)
1 1 ; 3) нет верного ответа; 4) 1 .
3 2 24
3 2
0 2 x cos xdx
равен:
Ответы: 1) 0 ; 2) 2; 3) 1 ; 4) нет верного ответа.
9) Несобственный интеграл
1
dx равен:
x5
Ответы: 1) 2; 2) 0,25; 3) –0,25; 4) нет верного ответа.
0
10) Несобственный интеграл
1
dx равен:
x
2
Ответы: 1) ; 2) 2; 3) –1; 4) нет верного ответа.
1.10.5. Тест по теме «Ряды».
Инструкция: Внимательно прочтите каждое задание, выберите из предложенных 4 ответов
правильный и впишите его номер в соответствующую графу таблицы
№ задания
№ ответа
1
2
3 4
5 6
7 8
Задания:
1) Общий член ряда 1 21 21 21 ... можно записать в виде:
2 2 3 3 4 4 5
( 1)n
( 1)n 1
;
3)
; 4) 2 1
.
n 2 (n 1)
n 2 (n 1)
n (n 1)
Ответы: 1) нет верного ответа; 2)
( 1)
n13 ; (1)n n2 ; n2 . Расходимость какого из них можно
n 1
n 1
n 1
доказать с помощью необходимого признака сходимости?
n
2) Даны ряды:
Ответы: 1)
n13 ;
n 1
2
3) Даны ряды: n 3 1;
n 1 2 n
2
n2n ;
n 1
n
2n3 .
4) Даны ряды: 13 ;
n 1 n
n2 ;
n
n 1 2
2)
(1)
n
3) нет верного ответа; 4)
( 1)n 1
7n . Какой из них условно сходится?
n 1
n ;
(1)n n ;
2)
( 1)n
;
3
n
n 1
( 1) n
;
3
n 1 n
( 1)n 1
n . Какой из них сходится абсолютно?
n 1
(1)n n ;
n 1
2)
(1)n n ;
3)
n 1
( 1)n n
3 x ;
n 1 n
являются степенными?
6)
Даны
ряды:
( 1)n 1
7n ; 4) нет верного ответа.
n 1
3)
n 1
5) Даны ряды:
a)
Ответы: 1) а) и б);
2) а) и в);
7) Радиус сходимости ряда
2n .
3
n 1 n
n 1
Ответы: 1)
Какой из них сходится?
n 1
n 2 1;
3
n 1 2 n
Ответы: 1) 13 ;
n 1 n
( 1)n
2 .
n 1 n
n 1
Ответы: 1)
(1)n n 2 ; 3) нет верного ответа; 4)
2)
( 1)n 1
n ; 4) нет верного ответа.
n 1
б)
( 1)n
x ;
n 1
3) б) и в);
( 1)n n
3 x равен:
n 1 n
в)
( 1)n 1
n ( x 1)n .
n 1
Какие
4) нет верного ответа.
из
них
Ответы: 1) R=1; 2) R=+ ; 3) R=0; 4) нет верного ответа.
8) Область сходимости ряда
( 1)n n
x запишется в виде: u1 , u2 , u3 ,..., un ,...
n
n 1
Ответы: 1) нет верного ответа; 2) ( 1;1) ; 3) ( ; ) ; 4) [ 1;1) .
1.10.6. Тест по теме «Дифференциальные уравнения».
Инструкция: Внимательно прочтите каждое задание, выберите из предложенных 4 ответов
правильный и впишите его номер в соответствующую графу таблицы
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
задания
№ ответа
Задания:
1) Даны дифференциальные уравнения: а) x 2 ydy ( x 1)e y dx ; б) ( x y )dx y 2 dy ;
в) y ' x 2 y . Уравнением с разделяющимися переменными является уравнение:
Ответы: 1) x 2 ydy ( x 1)e y dx ; 2) ( x y )dx y 2 dy ; 3) y ' x 2 y ;
4) нет верного ответа.
2) Общий интеграл дифференциального уравнения y 2 1dx xydy запишется в виде:
Ответы: 1) x y 2 1 C ; 2) x 1 y 2 1 C ; 3) ln | x | y 2 1 C ;
4) нет верного ответа.
3) Функция y 2 xy 2 5 y 3 однородная …..
Ответы: 1) 0 порядка; 2) 1 порядка; 3) 2 порядка; 4) 3 порядка.
4) Общий интеграл уравнения xdy ( x 2 y )dx запишется в виде:
Ответы: 1) ln | y 1| ln | x | C ; 2) ln | yx 1| ln | x | C ; 3) 1 y x Cx ; 4)нет верного ответа.
5) Общее решение уравнения xy ' 2 y 2 y 4 имеет вид:
Ответы: 1) y (1 x 2 )C x ; 2) y x 4 Cx 2 ; 3) нет верного ответа; 4) y x 2 x 4 C .
6) Сумма и разность двух комплексных чисел z1 2 3i и z2 5i 1 равны:
Ответы: 1) z1 z2 3 2i, z1 z2 6i 1; 2) z1 z2 3 8i, z1 z2 2i 1;
3) z1 z2 2 3i, z1 z2 6i 1; 4) нет верного ответа.
7) Произведение и частное двух комплексных чисел z1 2 3i и z2 1 i равны:
Ответы: 1) z1 z2 2 5i, z1 : z2 5 i ;
2) z1 z2 2 5i, z1 z2 0,5 (i 5) ;
3) z1 z2 2 5i, z1 z2 0,5 (5 i) ; 4) нет верного ответа.
8) Тригонометрическая форма комплексного числа z 2 4i запишется:
Ответы: 1) нет верного ответа;
2) z 8(cos135 i sin135 ) ;
3) z 8(cos 45 i sin 45 ) ; 4) z 8(cos135 i sin135 ) .
9) Общее решение дифференциального уравнения y '' 5 y ' 6 y 0 имеет вид:
Ответы: 1) Y C1e2 x C2e3 x ; 2) Y C1e2 x C2e3 x ; 3) Y C1e2 x C2e3 x ;
4) Y C1e2 x C2e3 x .
10) Общее решение дифференциального уравнения y '' 2 y ' 5 y 0 имеет вид:
Ответы: 1) Y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) ; 2) Y e2 x (C1 cos x C2 sin x) ;
3) нет верного ответа;
4) Y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) .
1.10.7. Тест по теме «Элементы теории вероятностей и математической
статистики».
Инструкция: Внимательно прочтите каждое задание, выберите из предложенных 4 ответов
правильный и впишите его номер в соответствующую графу таблицы
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
задания
№ ответа
Задания:
A {x | x Z ; 3 x 5}, B {x | x N ; 2 x 3} . Объединением
1) Даны множества
множеств A B является множество
Ответы: 1) A B {2; 1;0;1; 2;3; 4;5} ; 2) A B {2; 1;0;1; 2} ; 3) нет верного ответа;
4) A B {3; 2; 1;0;1; 2;3; 4} .
A {x | x R; 3 x 5}, B {x | x R; 2 x 3} . Пересечением
2)
Даны множества
множеств A B является множество
Ответы: 1) A B [3;3] ; 2) A B (2;3] ; 3) нет верного ответа;
4) A B {1;0;1; 2;3} .
3) Даны множества A {x | x Z ; 3 x 5}, B {x | x N ; 2 x 3} . Разностью множеств
A / B является множество
Ответы: 1) A / B {3;3;5} ; 2) A / B [3; 2) (3;5) ; 3) нет верного ответа;
4) A / B {3; 2; 1;0; 4} .
4) Сколькими способами из 10 человек можно выбрать старосту, физорга и культорга?
Ответы: 1) 720; 2) 1000; 3) 120; 4) нет верного ответа.
5) Сколькими способами из 7 карандашей можно выбрать 3 карандаша?
Ответы: 1) 210; 2) 73 ; 3) 35; 4) нет верного ответа.
1) С какой вероятностью из колоды в 36 карт можно извлечь поочерёдно даму, короля и туза?
3
4
4
4
4 4 4
1
; 3)
; 4) нет верного ответа.
Ответы: 1) ; 2)
36 35 34
36 35 34
36
7) Из группы, состоящей из 8 человек, среди которых 5 девушек и 3 юноши, выбирается наугад
4 человека. Какова вероятность того, что это будут 2 девушки и 2 юноши?
1
C2 C2
A2 A2
Ответы: 1) 5 4 3 ; 2) 5 4 3 ; 3) 2 2 ; 4) нет верного ответа.
C5 C3
C8
A8
8) Даны две урны, в первой из них 4 белых и 6 чёрных шаров. Во второй – 6 белых и 3 чёрных
шара. Из первой урны во вторую переложили шар неизвестного цвета, после чего из второй
урны извлекли один шар. Какова вероятность, что он – белый?
Ответы: 1) 0,36; 2) 0,64; 3) 0, 65; 4) нет верного ответа.
9) Задано нормальное распределение случайной величины Х функцией f ( x) - плотности
( x 5)
1
e 18 . Математическое ожидание M ( X ) случайной величины Х
распределения: f ( x)
3 2
и её среднее квадратическое отклонение ( X ) равны:
2
Ответы: 1) M ( X ) 3, ( X ) 5 ; 2) M ( X ) 5, ( X ) 3 ; 3) M ( X ) 5, ( X ) 3 ;
4) нет верного ответа.
3
4
6
xi 1
10) Задана дискретная случайная величина Х рядом
pi 0,2 0,1 0,3 0,4
распределения :
Её математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
Ответы: 1) 4,1 и 3,49; 2) 4,1 и 2,1; 3) нет правильного ответа; 4) 5 и 3, 49.
1.10.8. ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ИТОГОВОГО ТЕСТА
ИНСТРУКЦИЯ:
В правые столбцы прилагаемых к тестовым вариантам таблиц впишите цифры,
соответствующие номерам правильных ответов.
Дидактическая единица 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
1. Векторное произведение двух векторов a и b это …
Ответы:
1) вектор c , удовлетворяющий условиям:
а) c a , c b ; б) | c || a | | b | sin a ; b ; в) a , b , c образуют правую тройку векторов;
2) число, равное длине одного вектора, умноженной на длину другого и на косинус угла
между ними;
3) число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах;
i
4) c x1
x2
j
y1
y2
k
z1 .
z2
2. Чему равно скалярное произведение векторов a i 2 j k и b i 2k ?
Ответы: 1) (a b ) 6 ; 2) (a b ) (3; 6) ; 3) (a b ) 1 ; 4) нет верного ответа.
3. Найдите векторное произведение векторов a 5i 2 j k и b 2 i j k .
Ответы: 1) [a b ] (10;2;1) ; 2) [a b ] i 3 j k ;
4) нет верного ответа.
4. Чему равно смешанное произведение векторов
a (0;3;2), b (1;1;5) и c (1; 1;0) ?
3) [a b ] 3 ;
Ответы: 1) (a b c ) 22 ; 2) (a b c ) (0;0;30) ; 3) нет верного ответа;
4) (a b c ) 15
2
5. Чему равен определитель
2) 5;
0
0
1 2 0 0
=?
2 1 1 0
1
Ответы: 1) 6;
0
1
0
1
4) нет верного ответа.
3) 4;
Дидактическая единица 2:
6. Две прямые y k1x b1 и
если …
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
y k2 x b2 пересекаются, но не перпендикулярны,
Ответы: 1) k1 k2 ; 2) k1 k2 1 ;
3) k1 k2 и k1
1
;
k2
4) нет верного ответа.
7. Среди указанных в ответе прямых найти прямые, перпендикулярные данной прямой
4x 5 y 1 0
Ответы: 1) 4 x 2 y 3 0 ; 2) 4 y 5 x 12 ; 3) x 2 y 4 0 ; 4) нет верного ответа.
8. При каком m прямые 3x my 1 0 и y 3x 2 будут параллельны?
Ответы: 1) m 1 ; 2) m
1
1
; 3) нет верного ответа; 4) m .
3
2
9. Как запишется каноническое уравнение гиперболы, если известно, что её полуоси равны
a 3, b 4 .
x2 y2
x2 y2
1 ; 3) 16 x 2 3 y 2 1 ; 4) нет верного ответа.
1; 2)
Ответы: 1)
64 36
8
6
10. Какую особенность расположения в пространстве имеет плоскость
By Cz D 0 ?
Ответы: 1) параллельна плоскости Oyz ; 2) нет верного ответа;
3) параллельна оси Ox ; 4) проходит через ось Ox ; 5) проходит через ось Oy .
11. Прямая, заданная уравнениями
x x0 y y0 z z0
=
=
, лежит в плоскости, заданной
n
m
p
уравнением Ax By Cz D 0 , если …
A B C
= = ; 3) нет верного ответа.
m n p
Am Bn Cp 0
4)
.
Ax
By
Cz
D
0
0
0
0
Ответы: 1) Am Bn Cp 0 ; 2)
12. Как расположена в пространстве прямая ( a ) по отношению к прямой (
если ( a ) :
),
x2 y z 3
x y 1 z 1
и ( ):
?
1
0
2
2
1
1
Ответы: 1) a
;
2) a ; 3) a , но a не ; 4) нет верного ответа.
Дидактическая единица 3: ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
13. Число A называется пределом функции при x , если …
Ответы: 1) нет верного ответа;
2) Для любого числа 0 найдется число 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих
неравенству | x x0 | , выполняется неравенство
f ( x) A .
3) Для любого числа 0 найдется
число M 0 такое, что для всех
удовлетворяющих неравенству | x | M , выполняется неравенство f ( x) A .
x,
x,
4) Для любого числа K 0 найдется
число 0 такое, что для всех
удовлетворяющих неравенству 0 | x x0 | , выполняется неравенство f ( x) K .
14. В левой графе таблицы указаны функции, а в правой – их дифференциалы. Укажите номер
правильного ответа для каждой функции.
a)
y( x) arctg x
б)
y ( x) cos 2 x
в) y ( x) 7
г)
x
y ( x0 x c , c const
y ( x) log c x, c const
е) y ( x) ctg x
д)
dx
;
x ln c
x
2) dy 7 ln 7 dx ;
1) dy
3) dy c x
c 1
dx ;
1
dx ;
1 x2
dx
5) dy
;
sin 2 x
6) dy 2sin 2 xdx ;
4) dy
15. Истинны или ложны высказывания:
а) Если числовой ряд сходится, то его остаток тоже сходится.
б) Если сходится ряд
an , где
n 1
an const , n N , то ряд
сходящимся.
Ответы: 1) оба ложны;
2) а) – истинно, б) – ложно;
4) нет верного ответа.
| an | называется абсолютно
n 1
3) а) – ложно, б) – истинно;
16. Общее решение однородного дифференциального уравнения y '' 4 y ' 5 y 0
запишется в виде:
Ответы: 1) Y общ = C 1 e
3) Y общ =C 1 e
4 x
4x
+C 2 e ;
4x
;
+C 2 e
x
2) Y общ = C 1 e
4 x
+C 2 e
x
;
4) Y общ = e (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) ;
x
5) нет верного ответа.
17. Найти указанные в левой графе пределы и указать номера верных ответов из правой
графы таблицы.
в)
3x3 2 x5 12
lim
x x 4 3 x5 x 2 1
2sin 3x
lim
x0
5x
x3 8
lim
x 2 x 2 x 2
г)
2x 4
lim
x 2 x 1
а)
б)
1)
2
3
2) нет верного ответа
3) – 4
2x
4) 3
5) 2е
1
5 x3dx
…
18. Определенный интеграл 4
x
2
0
Ответы: 1) ln5 ;
2) ln 2 ;
3)
5 3
ln ;
4 2
4) нет верного ответа.
19. Чему равна производная функции f ( x) x ln 2 1 4 x
5
3
=?
1
3x 2
3x 2
2
Ответы: 1) f ( x) 5 x ln 2 x
; 2) f ( x) 3x ln 2
;
2
2
2
1 6x
1 6x
2
6x
4
3) f ( x) 5 x ln 2
; 4) нет верного ответа.
3
1 4x
20. Укажите односторонние пределы функции f ( x) в точке x0 , если
5
12 x 5
и x0 .
f ( x)
|12 x 5 |
12
Ответы: 1) A 1 и A 0 ; 2) A 1 и A 1 ; 3) A 1 и A 1 ;
4) A A ;
5) нет верного ответа.
4
3
21. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения
y 5 y 4 y e x ( x 1) можно записать в виде:
Ответы.
1) Yобщ.неод. C1e C2 e
x
2) Yобщ.неод. С1e
x
4x
e x (ax b) ;
C2 e4 x e x (ax 2 bx c) ;
3) Yобщ.неод. C1e C2 e
4) нет верного ответа.
x
4x
xe2 x (ax b) ;
Дидактическая единица 4:
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
22. Укажите верные окончания высказывания:
Несмещенная оценка n генеральной характеристики называется несмещенной
эффективной, если…
Ответы: 1) нет верного ответа;
2) если она среди прочих несмещенных оценок обладает наименьшей дисперсией;
3) если для любого фиксированного числа наблюдений n математическое ожидание этой
оценки равно генеральной характеристике ;
4) если для любого сколь угодно малого числа >0 выполняется неравенство
lim P( | n | )=1.
n
23. График функции плотности экспоненциального распределения случайной величины
изображён на рисунке…
рис. 1
рис. 2
Ответы: 1) на рисунке 1; 2) на рисунке 2;
5) нет верного ответа.
рис. 3
рис.4
3) на рисунке 3; 4) на рисунке 4;
24. Из генеральной совокупности извлекается выборка объёма n 50 . Чему равно f 2 , если
1
2
3
4
xi
fi
Ответы: 1) 19;
10
2) 18;
f4
8
9
3) нет верного ответа;
4) 23.
5. Около Петиного дома три магазина. Вероятность того, что в первом из них есть батон
«Столичный», - 0,6, во втором - 0,1, в третьем - 0,3. Петя наугад выбирает магазин и
бежит туда. Какова вероятность того, что он купит этот батон?
Ответы: 1) 1,5 ; 2)
11
;
20
3)
1
; 4) нет верного ответа.
2
1.11. Примерный перечень вопросов к зачёту (экзамену).
Вопросы к зачёту (2 семестр).
1. Матрицы, их виды и примеры. Операции над матрицами (на примерах).
2. Определители квадратных матриц, порядок определителя, примеры вычисления.
3. Эквивалентность матриц, приведение квадратных матриц к ступенчатому виду,
примеры.
4. Нахождение обратной матрицы. Пример.
5. Решение системы линейных уравнений методом Крамера (на примере).
6. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы (на примере).
7. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (на примере).
8. Векторы, линейные операции над векторами (на примерах).
9. Скалярное произведение векторов, его нахождение (на примерах).
10. Векторное произведение векторов, его нахождение (на примерах).
11. Смешанное произведение векторов, его нахождение (на примерах).
12. Уравнения прямой на плоскости (на примерах).
13. Уравнения прямой в пространстве (на примерах).
14. Уравнения плоскости (на примерах).
15. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве (на примерах).
Вопросы к экзамену (3 семестр).
1. Скалярные и векторные величины, примеры. Вектор, проекция вектора на ось (теорема).
Линейные операции над векторами.
2. Скалярное произведение векторов, его свойства и нахождение.
3. Векторное произведение векторов, его свойства и нахождение.
4. Смешанное произведение трёх векторов, геометрический смысл и нахождение.
5. Матрицы, операции над ними.
6. Определители квадратных матриц, примеры. Теорема Лапласа.
7. Свойства определителей (одно доказать на выбор).
8. Система линейных уравнений, её решение; виды систем уравнений; запись в матричной
форме.
9. Метод решения системы уравнений с помощью обратной матрицы, пример.
10. Теорема Крамера, решение системы уравнений по формулам Крамера, пример.
11. Метод Гаусса для решения систем уравнений, пример.
12. Предел функции в точке, односторонние пределы; геометрический смысл, примеры.
13. Числовая последовательность и её предел; условия существования предела
последовательности.
14. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между ними, примеры.
15. Непрерывность функции в точке, геометрический смысл понятия, основные операции над
непрерывными функциями.
16. Свойства функций, непрерывных на отрезке (одно, на выбор, доказать).
17. Точки разрыва функции, их виды, примеры. Замечательные пределы, примеры.
18. Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл, вычисление,
пример.
19. Односторонние производные, примеры. Непрерывность функции, имеющей предел.
20. Основные теоремы о производных (критерии постоянства функции, монотонности).
21. Экстремумы функции, условия существования экстремума функции . Наибольшее и
наименьшее значение функции на отрезке.
22. Выпуклость и вогнутость графика функции. Асимптоты графика функции, примеры.
23. Первообразная и неопределённый интеграл, его свойства (одно доказать на выбор).
24. Определённый интеграл, его геометрический смысл, основные свойства (одно на выбор
доказать).
25. Несобственные интегралы I и II рода, их вычисление, примеры.
26. Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия теории ОДУ.
27. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Их решение,
примеры.
28. Линейные дифференциальные уравнения I порядка, их решение, примеры.
29. Линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами, их решение, примеры.
30. Числовые ряды, сходимость ряда, остаток ряда, его сходимость. Необходимый признак
сходимости ряда.
31. Положительные ряды. Признаки их сходимости, примеры.
32. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница, примеры. Абсолютная и условная
сходимость.
33. Понятие случайного события, операции над ними, примеры.
34. Понятие вероятности случайного события, свойства вероятности и её вычисление
(классический подход). Примеры
35. Понятие условной вероятности, её нахождение, независимые события, примеры.
36. Нахождение полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.
37. Схема Бернулли для нахождения вероятности повторных событий. Пример.
38. Случайные величины, закон и функция распределения случайной величины, свойства
функции распределения.
39. Дискретные случайные величины, способы задания, пример. Числовые характеристики
ДСВ.
40. Непрерывные случайные величины, плотность распределения НСВ, свойства плотности.
Числовые характеристики НСВ.
41. Равномерное распределение НСВ, его характеристики, график функции распределения и
плотности.
42. Показательное распределение НСВ, его характеристики, график функции распределения
и плотности.
43. Нормальное распределение НСВ, его характеристики, график плотности распределения.
Свойства нормального распределения.
44. Основные понятия математической статистики (ГС, выборка и её репрезентативность).
Способы записи выборки, примеры.
45. Точечные оценки числовых характеристик СВ и их свойства, примеры состоятельных,
несмещённых и эффективных оценок.
46. Интервальные оценки случайной величины, примеры.
1.12. Комплект экзаменационных билетов (утверждённый зав. кафедрой).
Комплект билетов утвержден на заседании кафедры (Протокол № 3 от «21» ноября 2007 г.) и
хранится на кафедре ТиД.
1.13. Примерная тематика рефератов.
Написание рефератов программой не предусматривается.
1.14. Примерная тематика курсовых работ.
Курсовые работы по математике не предусмотрены.
1.15. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ.
Дипломные работы по математике не предусмотрены.
1.17.Методика исследования.
Не предусмотрена.
1.17. Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для
оценивания знаний студентов по данной дисциплине.
Результаты
тестирования
Макс.
балл
Баллы, полученные студентом и оценки
5-6
5-6
5-6
5-6
5-6
3
3
3
3
3
7-8
7-8
7-8
7-8
7-8
Оценк
а
4
4
4
4
4
Коллоквиум
10
№1
Индивидуальное
5
семестровое
задание № 1
Индивидуальное
5
семестровое
задание № 2
Зачёт
5-6
3
7-8
3
3
3
3
Тест № 6
Тест № 7
5-6
5-6
Тест №1
Тест № 2
Тест № 3
Тест № 4
Тест № 5
Балл Оценка Балл
10
10
10
10
10
10
10
3
3
Балл
Примеч.
Оценка
9 - 10
9 - 10
9 - 10
9 - 10
9 - 10
5
5
5
5
5
4
9 - 10
5
4
4
5
5
4
4
5
5
7-8
7-8
4
4
9 - 10
9 - 10
5
5
Студент
допускается
к зачёту
при
условии
получения
оценки «3»
по всем
отчётным
формам.
Студент
допускается
к зачёту
при
Коллоквиум
№2
Итоговый
тест
Активность на
практич. зан.-ях
ИТОГО:
10
5-6
45
23 32
3
3
7-8
3340
4
9 - 10
4
41-45
условии
получения
оценки «3»
по всем
отчётным
формам.
5
5
5•3=15
160
81120
3
121140
4
141160
5
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины (или её
разделов) и контрольные задания для студентов заочной формы обучения.
Программа дисциплины заочной системы обучения рассчитана на 334 часа, из них
аудиторных 56 часов (24 лк, 32 пр.), причем из них на I курсе - 36 часа, на II курсе - 20 часов.
Объём дисциплины и виды учебных работ:
Шифр и Курс
специаль
ность
Семестр Виды учебной работы в часах
030600.00 НУС
I I
II
Итого
1
1
1
1
Трудо- Всего
емкость ауд.
40
10
72
12
102
14
120
20
334
56
ЛК
6
6
6
6
24
ПР/
СЕМ
4
6
8
14
32
ЛБ
Сам.
раб.
30
60
88
100
278
-
Вид
итогового
контроля
(форма отч.)
к/р,зач.
К/Р, ЭКЗ.
Содержание дисциплины
Примерное распределение учебного времени (заочное отделение).
N
НАИМЕНОВАНИЕ РАЗДЕЛА,ТЕМЫ
I
1.
1)
2)
3)
4)
N
и
/
II
л ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Матрицы, операции над ними.
Определители квадратных матриц. Основные
свойства определителей и их вычисление.
Обратная матрица и ее нахождение.
Системы линейных уравнений и их решение.
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
1) Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
2) Линии второго порядка (эллипс, гипербола,
парабола).
2.
Всего
часов
в
III
труд.
Количество часов
лк пр сам. Форма
раб. отч.
IV
4
36
56
VI
30
VII
1
к/р
1
1
1
зачет
во IIс.
2
1
1
V
2
2
4
4
50
к/р
зач.
экз.
3.
1)
2)
3)
4)
5)
4.
1)
2)
5.
1)
2)
3)
4)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ.
Предел функции в точке и на бесконечности,
бесконечные пределы.
Предел последовательности.
Производная функции одной переменной.
Основные теоремы дифференциального исчисления и
их применение к исследованию функций.
Неопределенный интеграл, свойства и способы
вычисления.
Определенный интеграл, его свойства и способы
вычисления.
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
2
Числовой ряд, сходимость и сумма. Ряды с
положительными
членами и знакочередующиеся.
)
Степенные ряды. Тригонометрические ряды.
Итого (I курс):
3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Обыкновенные дифференциальные уравнения и их
решения.
)
Уравнения с разделяющимися переменными;
однородные
и сводящиеся к ним; линейные
4
уравнения; уравнения в полных дифференциалах.
Уравнения
высших порядков, понижение порядка.
)
Нахождение решений линейных дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Приложения
дифференциальных уравнений к
5
изучению колебаний.
) ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1) Комплексные числа, операции над ними.
2) Функция комплексной переменной, аналитическая
функция.
3) Разложение аналитической функции в ряд.
6.
7.
8.
1)
2)
3)
4)
Элементы функционального анализа
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
68
8
10
2
2
50
к/р
2
2
зач.
2
экз.
2
2
2
4
2
2
2
1
2
1
186
18
18
150
56
2
6
48
26
20
зачет
экз.
к/р.
2
экз
2
4
15
15
с/р
15
62
4
Случайные события, операции над ними.
Вероятность случайного события.
Условная вероятность, полная вероятность.
Формула Байеса.
Повторные события. Формулы Бернулли, Лапласа
и Пуассона. Элементы математической статистики
8
15
50
22
2
с/р
к/р
экз.
2
Итого (II курс )
148
6
14
128
Итого (I курс):
186
18
18
150
Итого:
334
24
32
278
Темы для самостоятельного изучения.
N
п/п
1.
Наименование раздела
дисциплины.
Темы.
Форма
самостоятельной
работы
Элементы алгебры и
аналитической геометрии.
Дифференциальное
исчисление функции
одной переменной
Интегральное исчисление
функции одной переменной и
его
приложения.
Числовые и
функциональные ряды
проверка к/р
тестирование
результаты экз.
проверка к/р
20
10
10
40
домашняя контрольная
работа N I;
самостоятельная работа
с рекомендованной
литературой.
подготовка к экзамену
4
20
10
10
40
домашняя контрольная
работа N I;
самостоятельная работа
с учебной литературой;
составление понятийного
словаря.
подготовка к экзамену
3.
Форма контроля
выполнения
самост. работы
40
домашняя контрольная
работа N I;
самостоятельное изучение
рекомендованной
литературы;
подготовка к экзамену
2.
Колич.
часов
тестирование
проверка
качества
выполнения
результаты экз.
20
проверка и
защита к/р
10
зачет
10
40
результаты экз.
Ряд Тейлора, разложение функции в ряд.
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения.
5
домашняя контрольная
работа N II;
подготовка к зачету
Самостоятельное
изучение темы.
Численные методы.
Функции комплексной
переменной.
Элементы
функционального анализа.
самостоятельное изучение
темы; составление
понятийного словаря.
8.
Элементы теории
вероятностей и математической статистики
рез-ты зачета
20
10
проверка к/р;
проверка на пр.
зан.
10
рез. экз.
15
проверка знания
понятийного
аппарата (экз.)
5
20
15 5
проверка знания
основных
понятий (экз.)
40
домашняя контрольная
работа;
итоговое тестирование
подготовка к экзамену
Итого
20
10
20
самостоятельное изучение
темы;
составление понятийного
словаря.
7.
проверка к/р;
40
домашняя контрольная
работа N II;
составление таблицы
методов интегрирования
ОДУ.
подготовка к экзамену
6.
10
20
8 10
проверка к/р
проверка теста
проверка д/з рез.
экз.
278
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ
1)
2)
3)
4)
Внимательно прочесть текст, выделить основные понятия.
Составить понятийный словарь терминов по теме.
Составить краткий план ответа на вопрос.
Результаты самостоятельной работы оформить в отдельной тетради.
ТЕМЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ТЕМА: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд.
Ряды Фурье.
Рекомендации:
I. Прочесть указанную литературу, сделав выписки необходимых для понимания
сведений.
П. Составить понятийный словарь по теме.
III. Ответить на контрольные вопросы:
Какой ряд называется функциональным ? Приведите пример.
Что такое область сходимости функционального ряда ?
Какой ряд называется степенным ?
Что называют радиусом сходимости степенного ряда ? Как его найти ?
Как найти область сходимости степенного ряда ?
Запишите ряд Тейлора. При каких значениях x он сходится к функции
f ( x) ?
7) Что называют остаточным членом формулы Тейлора ? Чему равен
остаточный член формулы Тейлора ?
8) Запишите ряд Маклорена. При каких значениях x он сходится к
функции f ( x ) ?
9) Что называют остаточным членом формулы Маклорена ? Чему равен
остаточный член формулы Маклорена ?
10) Запишите основные формулы разложения в ряды следующих
элементарных функций: e x , sin x , cos x , (1 x )m , ln(1 x ) , arctg x .
При каких значениях переменной x они сходятся к соответствующим
функциям f ( x ) ?
11) Какая функция называется удовлетворяющей условиям Дирихле на
отрезке [a; b] ?
12) Какой ряд называют рядом Фурье? Как запишется ряд Фурье для
четной (нечётной) функции?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
IV. Решить задания:
1) Определить интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на гр аницах
интервала:
2
3
1 22 x 4 x 8 x ...
3 3 52 32 72 33
2) Разложить в ряд по степеням x функции
а) cos( x a ); б)
3
4
5
8
7
2
2
1 ?
8
;
г) sin( mx ) .
3
3) Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции с периодом 2 :
а) f ( x ) x при 0 x и y " 2 y ' xe2 x . С помощью полученного ряда
в) xe x ;
показать, что
1
A
3
2
4
.
dx
б) 1
4 x при 0 x и f ( x ) f ( x ) . С помощью ряда покажите, что
2
1 12 12 12 ... .
8
3
5
7
Литература:
1) Локоть Н.В. Математика. Часть III.- Мурманск: МГПУ, 2004.
2) Бугров Я.С., Никольский СМ. Высшая математика. - М.: Наука, 1981.
3) Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия, 1982.
ТЕМА: Метрические пространства. Линейные нормированные
пространства.
Рекомендации:
I. Прочесть указанную литературу, сделав выписки необходимых для понимания
сведений:
Эквивалентные множества, понятие мощности множества, примеры.
Основные теоремы о мощности числовых множеств, примеры.
Теоремы о счетных множествах, примеры.
Теоремы о множествах мощности континуума, примеры.
Понятие метрического пространства, метрики. Примеры метрических
пространств.
6. Понятие предельной точки множества. Открытые и замкнутые
множества, примеры.
7. Теорема об объединении замкнутых множеств, пример.
8. Теорема о дополнении замкнутого множества, пример.
9. Теорема об объединении открытых множеств, пример,
10. Полнота метрических пространств, примеры.
11. Понятие линейного нормированного пространства, примеры.
12. Понятие линейного функционала, примеры.
1.
2.
3.
4.
5.
П. Составить понятийный словарь по теме.
Литература.
Лекции по дополнительным главам математического анализа. - М.:
1. Соболев В.И.
Наука, 1968.
2. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. - М.:
Просвещение, 1968.
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО
ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.
4.1. Планы проведения практических занятий
Практическое занятие N 1
Тема: Мат рицы, определит ели, операции над ними. Решение сист ем
линейных уравнений.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Вопросы для обсуждения:
Что такое матрица m n ? А квадратная матрица ?
Какая матрица называется диагональной? а единичной?
Дайте определение суммы матриц, разности матриц, умножения
матрицы на число. Когда матрицы можно почленно умножать? А по
какому правилу?
Обладает ли операция произведения матриц свойством
коммутативности?
Что называется определителем матрицы первого порядка?
Какое правило для вычисления определителя третьего порядка вы
знаете? Запишите правило Саррюса.
Что называется минором элемента aij матрицы n -го порядка?
А алгебраическим дополнением элемента aij матрицы n -го порядка ?
Сформулируйте теорему Лапласа об определителе квадратной
матрицы.
Какую систему уравнений называют линейной системой m
уравнений с n неизвестными? Как ее записать в общем виде?
Какая система называется однородной? неоднородной?
Что называют решением системы уравнений? Что значит её решить?
Какая система называется совместной? несовместной? определенной?
неопределенной?
Как записать систему в матричной форме?
Как решить систему методом Гаусса?
Какие системы можно решить по правилу Крамера? Что это за правило?
Задания для самостоятельной работы:
2 1
2 1 1
1) Найти 3A 2B , если A
; B
0 1 4
3 2
0
;
2
1 3 2 2 5 6
3 2 3 4
3 4 3 2
? ; б)
? ; в) 3 4 1 1 2 5 .
2) Найти а)
5 4 2 5
2 5 5 4
2 5 3 1 3 2
4 3 28 93 7 3
3) Найти
?.
7 5 38 126 2 1
4) Дана матрица
1 2
A
. Найти матрицу B такую, чтобы A B B A .
3 4
1 2
3 5
5) Решить уравнение
X
.
3 4
5 9
X ?
6) Вычислить определители:
3
8
2
7 1 ? б)
5 2 8
а) 4
ax
x
x
x
x
2 1 1
0
0 1 2 1
?
b x
x ? в)
3 1 2 3
x
cx
3 1 6 1
7) Решить систему уравнений АХ = В методом обратной матрицы, если
1 2
а)
;
2 5
1 3 5
1
B ; б) A 0 1 2 ;
0
0 0 1
1
B 1 ;
1
3x1 2 x2 x3 5
8) Решить систему уравнений по правилу Крамера: 2 x1 x2 x3 6
x 5x
3
2
1
2 x1 x2 x3 x4 5
9) Решить систему уравнений методом Гаусса [4,с.49]: x1 2 x2 2 x3 3x4 6 .
3x x x 2 x 1
2
3
4
1
Домашнее задание:
1) Повторить материал по теме "Векторная алгебра", "Аналитическая
геометрия на плоскости" ([3], с.17-31).
2) Решить системы уравнений, выбрав метод самостоятельно:
2 x y z 2
x1 x2 x3 x4 2
а) x 2 y 3z 1; ; б) 2 x1 2 x2 x3 2 x4 2
x 3y 2z 3
x1 x2 x4 2
Практическое занятие N 2
Тема: Векторы, операции над ними. Прямые на плоскости.
Вопросы для обсуждения:
1) Что такое вектор? Как он обозначается? Что такое нуль-вектор? Что
называют длиной вектора?
2) Какие векторы называют коллинеарными? компланарными? Какой вектор называют
противоположным вектору a ?
3) Дайте определение суммы, разности векторов, произведения вектора на чи сло. Какими
свойствами обладают линейные операции над векторами?
4) Что называют проекцией вектора на ось? Как ее найти?
5) Что такое скалярное произведение двух векторов? А векторное ?
6) Как найти векторное произведение векторов, заданных их координатами? А скалярное?
7) Что такое смешанное произведение векторов? Как его найти?
8) Запишите общее уравнение прямой на плоскости; уравнение прямой с угловым
коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через точку, с заданным угловым
коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
9) Как найти угол между прямыми, если они заданы уравнениями?
10) Назовите условия параллельности и условия перпендикулярности двух прямых на
плоскости.
Задания для самостоятельной работы:
1) Даны три компланарных вектора m, n , p , причем угол между ними равен 30 , а угол
между n и p равен 60 Построить вектор u m 2n 3 p и вычислить его длину.
2) Раскрыть скобки и упростить выражение:
(a b c ) c ( a b c ) b ( b c ) a
3) Даны три последовательных вершины параллелограмма А(1;-2;3),
В(3;2;1), С(6;4;4). Найти его четвертую вершину D ([5], N 397).
4) Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;4;3), В(1;0;б),
С(4;5;-2).
5) Напишите уравнение прямой, проходящей через
а) точки А(1;0) и В(-2;5);
3x 2 y 1 0 ;
б) точку А(1;0) параллельно прямой (а):
в) точку А(1;0) перпендикулярно прямой (b): y 2 x 3 ;
6) Найдите угол между двумя прямыми (а): 2 x 7 y 1 0 и (b): y 2 x 3 .
7) Найдите векторное произведение векторов a = (2; -1; 0) и b = (5; 0; -1).
8) Найдите смешанное произведение векторов a = (2; -1;0), b = (5;0; -1) и
c =(3;3;-2).
Домашнее задание:
1) Разобрать по пособию [3] примеры с решениями на стр.23-24. Решить
задание из контрольной работы по данной теме.
2) Раскрыть скобки и упростить выражение:
(2a b ) (c a ) (b c ) (a b ) .
3) Повторить теоретический материал по теме "Прямая и плоскость в пр остранстве";
ответить на вопросы ([3], с.39-40).
Практическое занятие N 3
Тема: Прямые и плоскости в пространстве.
Вопросы для обсуждения:
1) Как запишется уравнение плоскости в общем виде? Какие виды уравнений плоскости вы
еще можете назвать?
2) Назовите условие параллельности, условие перпендикулярности двух плоскостей.
3) Запишите уравнения прямой в пространстве
а) канонические, б) общие, в) проходящей через точку параллельно заданному
вектору, г) проходящей через две точки, д) параметрические уравнения прямой в
пространстве.
4) Назовите условия параллельности прямой и плоскости;
перпендикулярности прямой и плоскости.
5) Приведите примеры уравнений двух параллельных прямых в
пространстве; двух перпендикулярных прямых в пространстве.
Задания для самостоятельной работы:
1) Построить плоскости: а) 5 x 2 y 3z 10 0 ; b) 3x 2 y z 6 ; с) 3x 2z 6 ;
d) 2z 7 0 . Указать их особенности ([14], N 450).
2) Даны точки M1 (0; 1;3) и M 2 (1;3;5) . Написать уравнение плоскости,
проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору M 1 M 2 .
3) Найти угол между плоскостями x 2z 6 0 и x 2 y 4 0.
4) Написать уравнения плоскости x 2 y 3z 13 0 в отрезках.
5) Построить прямые, заданные уравнениями
а) y 3, z 2 ; б) z 2, z x 1 ; в) x 4, z y .
Домашнее задание:
1) Разобрать решения примеров на стр. 30-32 пособия [3].
2) Решить задание N 2 своего варианта контрольной работы.
3) Повторить теоретический материал по теме "Предел функции и п оследовательности", ответить на вопросы ([3], с.48 и с. 52).
Практическое занятие N 4
Тема: Предел функции в точке, на бесконечности. Предел п оследовательности.
Вопросы для обсуждения:
1) Дайте определение предела функции f(x) в точке x0 .
2) В чем состоит геометрический смысл предела функции в точке?
3) Что такое левый предел функции в точке? правый предел?
4) Назовите необходимые и достаточные условия существования пред ела функции в
точке.
5) Дайте определение предела функции на бесконечности. В чем ге ометрический
смысл предела функции на бесконечности?
6) Что такое числовая последовательность. Приведите примеры п оследовательностей.
7) Что называется пределом последовательности?
В чем состоит геометрический смысл предела последовательности?
12)Дайте определение бесконечно большой и бесконечно малой величины. Приведите примеры.
13)Как связаны между собой бесконечно большие и бесконечно малые?
10) Какие свойства бесконечно малых величин вы знаете?
11) Какие замечательные пределы вы знаете?
Задания для самостоятельной работы:
1) Построить области определения переменной x , удовлетворяющей неравен ствам:
а) | x | 4 ; б) x2 9 ; в) | x 4 | 1 ; г) 1 x 3 2 ; д) x 2 9 ; е) ( x 2)2 4 .
([14], гл.5, N 673).
2)Доказать, что lim(2 x 1) 5 . По заданному 0 найти 0 такое, чтобы
x 3
x U (3) значения функции f ( x ) U (5) . Пояснить графически ([14], г л, 5, N 707).
3)Доказать, что lim 3x 4 3 . По заданному 0, 01 найти M 0 такое, чтобы
x
x
(x )(| x | M ) значения функции f ( x ) U (3) .
4)Написать 5 членов последовательности
8cos n
n
8cos( n )
( 1) n
( 1) n
2
2 ; д) x 2n ( 1) ; е)
а) xn
; б) xn
; в) xn
; г) xn
n
n
n 1
n 1
n4
n4
n
xn 2 cos n ; ([5, гл. 56, № 715).
с) Существует ли lim xn в каждом примере?
x
3 и lim
3 ; пояснить таблицами, придавая x значения
x 2 x20 x 2
2,1; 2,01; 2,001; 2,0001; 1,9; 1,99; 1,999; 1,9999.
5) Найти пределы lim
x20
5
2
2
6) Найти пределы lim 3x и lim x 6 x 5 ln 9 .
x 0 tg 5 x
x
7x
7) Найти пределы : [13], № 734; 738; 740; 745; 772; 783; 736; 738.
Домашнее задание:
1) Разобрать решения примеров на стр. 48; 52-54 пособия [3].
2) Найти пределы: [13], N 746, N 756, N 764.
3) Повторить теоретический материал по теме " Производная функции в точке", ответить на
контрольные вопросы 1-5 ([3], с.59).
Практическое занятие N 5
Тема: Непрерывность функции в точке и на промежутке. Производная
функции в точке. Правила Лопиталя для нахождения пред елов.
Вопросы для обсуждения:
1) Дайте определение функции, непрерывной в точке. Приведите примеры.
2) Дайте определение производной функции в точке. В чем состоит геометрический
(механический) смысл производной функции в точке?
3) Что такое левосторонняя и правосторонняя производные функции в точке?
4) Что необходимо и достаточно для того, чтобы функция имела производную в точке?
5) Сформулируйте правила дифференцирования функции в точке
(суммы, произведения, частного, сложной функции, обратной).
6) Что называют второй производной функции в точке? Приведите пример производной
второго, третьего порядка.
7) Дайте определение дифференциала функции в точке. Приведите пример.
8) Сформулируйте правило Лопиталя для нахождения пределов функций.
Задания для самостоятельной работы:
1)Пользуясь определением производной, найдите производные функций y ctg x ;
y
x.
2) Найдите производные функций: а) y 2 x 1 cos 3x ; б)
2x 1
x
в) y sin 3x e 1 lg(3x 2) ; г) y ( x 1)sin x .
3
x 2
2tg 3x 3
5
7;
3)Найти дифференциалы следующих функций а) y x a 2 x 2 arcsin x 5 ;
a
б) y x ln x x 1 .
2 x 1
2
4)Найти пределы lim e
; lim ln 2 x ; [7], № 3.14-3.22.
x 0 arctg 5x x x
5)Укажите области определения функций: а) y
1 ; б)
x 9
2
1 ;
x3
в) y lg( x 1) ; г) y arctg 5x ; д) y sin 3 2 x .
6) Найдите нули функций: y ln( x 10) ; y 2 x ; y ln x 1 .
1 x
7) Укажите, какие функции являются чётными, какие – нечётными:
x
x
y ln 1 x ; y sin n x cos n x ; y a a ; y x 3 9 x ; y ln x .
2
2
1 x
2
Домашнее задание:
1) Разобрать решения примеров на стр. 50 пособия [3].
2) Решить примеры N 4 а) и б) своего варианта к/р.
4) Повторить теоретический материал по теме "Основные свойства функций, имеющих
производную", ответить на контрольные вопросы 6-8 ([3], с.59).
Практическое занятие N 6
Тема: Основные теоремы о функциях, имеющих производную.
Вопросы для обсуждения:
1) Сформулируйте теорему Ферма, Ролля, Лагранжа, критерий постоянства функции,
признаки убывания и возрастания функции.
2) Дайте определение максимума (минимума) функции в точке, приведите примеры.
3) Сформулируйте необходимое условие экстремума, достаточное условие
экстремума.
4) Какая кривая называется выпуклой (вогнутой) на промежутке? Что такое точка перегиба
кривой? Поясните на рисунке.
5) Какая связь существует между второй производной функции на промежутке и
выпуклостью (вогнутостью) графика функции?
6) Дайте определение асимптоты кривой. Изобразите на рисунке. Как найти
вертикальные (горизонтальные) асимптоты, наклонные?
Задания для самостоятельной работы:
1) Найдите периоды функций: y 3 sin(2 x ) ; y 15tg 7 x .
10
4
3
2) Исследуйте поведение функций в точке разрыва и на бесконечности. Сделайте
1
2
схематические чертежи: y 2 x ; y x x 21 .
(2 x )
3) Найдите точки экстремума и промежутки монотонности функций:
2
4
y 6x x ;
9
y ( x 1)e3 x 1 .
4) Найдите промежутки выпуклости (вогнутости) и координаты точек перегиба
2
y ( x 3)3 (2 x ) ; y 7 x .
x 1
5) Найдите асимптоты графиков функций:
x3
x 2 2 x 40 ; y
.
9( x 1) 2
2 x 2 70 x 100
6) Последовательно выполняя требования пунктов 1-9, исследуйте функции и
постройте графики:
y
2
y x ln x ; y x 2 e x ; y 2 x x 2 2 .
2 2
Домашнее задание:
1) Повторить теоретический материал по теме "Неопределенный интеграл",
ответить на контрольные вопросы 1-10 ([4], с.10).
2) Исследовать функцию
y x 3 3x 2 2 x и построить ее график.
Практическое занятие N 7
Тема: Неопределенный интеграл функции одной переменной.
1)
2)
3)
4)
5)
Вопросы для обсуждения:
Какую функцию называют первообразной для функции f(x)?
Как отличаются две первообразные одной и той же функции?
Что такое неопределенный интеграл функции f(x)?
Перечислите свойства неопределенного интеграла.
Какие способы вычисления неопределенного интеграла вы знаете?
Задания для самостоятельной работы:
1) Используя метод замены переменной, вычислить интегралы:
dx
a) sin x cos xdx ; б) 22 x 1 dx ; в)
; г) 1 x dx .
2
3
1 x
x x3
(3x 1)
2) Используя метод интегрирования по частям, найти интегралы:
2
x
x cos xdx ; ln xdx ; e sin xdx .
3) Найти интегралы : а)
г)
x 2 4 x 4dx ; д)
x ( x 1) 2
dx
; б)
1 4 x x2
x( x 2 1) ;
dx
е)
( x 1)
3x2 2 x 1dx ; в) x
dx
;
x 2x 1
2
x2 2
x3 4 xdx .
Домашнее задание:
1) Разобрать решения примеров 1-5 на стр. 11 - 14 пособия [4].
2) Повторить теоретический материал по теме "Определенный инт еграл и его
приложения", ответить на контрольные вопросы ([4], с. 10).
Практическое занятие N 8
Тема: Определенн ый инт еграл функции одной переменной.
ственные интегралы.
Несоб -
Вопросы для обсуждения:
1) Что называется определенным интегралом функции на отрезке [a; b] ?
2) Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Как называется выражение f ( x )dx , функция f ( x ) , числа a и b ?
3) Как вычислить площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси Ox ?
к оси Oy ? площадь сектора в полярных координатах?
4) Как найти объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси кри волинейной трапеции?
5) Как вычислить длину дуги плоской кривой?
6) Как вычислить площадь поверхности вращения?
7) Что называется несобственным интегралом I рода? Приведите пример.
8) Что называется несобственным интегралом II рода? Приведите пример.
Задания для самостоятельной работы:
1) Найти определенные интегралы:
1
dx
ex 1 ;
0
2
sin x cos
0
2
xdx ;
2 x cos xdz .
0
2) Вычислить площадь, ограниченную линиями y 2 2 x 4 , x 0 .
3) Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линия ми:
xy 4, x 0, x 4, x 1 вокруг оси Ox .
4) Определить длину дуги кривой:
а) y ln(sin x) от x до x ;
3
2
6
4
б) x t ; y 2 t между точками пересечения с осями координат;
6
4
в) r a (1 cos )
([10], с.167-178).
5) Вычислить интегралы а)
1
dx ; б)
x2
e
0
x
dx ; в)
x2e 2
1
; г)
0
x3 .
dx
0
Домашнее задание:
1) Разобрать решения примеров на стр. 32 - 34 пособия [4].
2) Повторить теоретический материал по теме "Числовые ряды", ответить
на контрольные вопросы ([4], с.30 - 31).
Практическое занятие N 9.
Тема: Числовые ряды, признаки их сходимости.
1)
2)
3)
4)
Вопросы для обсуждения:
Что называют числовым рядом? (общим членом ряда)? Приведите пример.
Какой ряд называется сходящимся? (расходящимся)? Приведите пример.
Перечислите свойства сходящихся рядов.
Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда. Приведите пример.
5) Сформулируйте признаки сходимости числовых положительных рядов, приведите
примеры.
6) Какой ряд называется знакочередующимся? Приведите пример.
7) Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
8) Какой ряд называется абсолютно сходящимся? (условно сходящимся ?).
Приведите примеры.
Задания для самостоятельной работы:
1) Найти один из видов общего члена ряда
а) 1 1 1 1 ... ; б) 2 4 6 ... ; в) 3 8 15 24 ...
1 2 2 3 3 4 4 5
5 9 13
5 10 17 26
2) Найти сумму ряда
n (n1 1) , пользуясь определением.
n 1
3) Исследовать на сходимость ряды:
а)
54nn 43 ; б) n 31n 1 ; в)
n 1
n 1
n2
1
; г)
n ( n 1)
2n 2 5 ; д)
n3
n 1
3n n ! ; е)
nn
2nn .
n 1
n 1
4) Исследовать на сходимость ряды, используя интегральный признак сходимости: N
2429-2431 ([13], с. 249).
5) Исследовать на сходимость ряды, используя признаки Даламбера или Коши: N 24352437; N 2454, N 2456 ([13], с.250).
6) Исследовать на сходимость ряды, используя признаки сравнения:
N 2440-2441 ([13], с.250).
7)Исследовать ряды на сходимость:
N 2444-2447, N 2457-2459 ([13], стр. 251).
Домашнее задание:
1) Повторить теоретический материал по теме "Обыкновенные дифферен циальные уравнения" ([4], с. 44 - 48), ответить на контрольные вопросы на стр. 48 пособия
[4].
2) Разобрать решения примеров 1- 6 ([4], с.48-52).
Практическое занятие N 10
ТЕМА: Обыкновенные дифференциальные уравнения I порядка.
Вопросы для обсуждения.
1) Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением?
2) Что называется порядком дифференциального уравнения?
3) Что такое степень дифференциального уравнения?
4) Что называется решением ОДУ I порядка? общим решением? частным?
5) Как найти частное решение ОДУ?
6) Какое уравнение I порядка называется уравнением с разделяющимися переменными?
7) Что значит "разделить переменные" в ОДУ?
8) Какая функция называется однородной n-ой степени? степени 0?
9) Как записать в общем виде однородное уравнение?
10)Как решить однородное уравнение? Укажите способ его интегрирования.
Задания для самостоятельной работы.
1) Проверить, является ли данная функция решением данного дифференциального
уравнения:
2
a) f ( x ) sin x, y " y 0 ; б) y b cos t , x a sin t , y ' b 2 x .
a y
dy
2) Дано уравнение
2 x . Найти интегральную кривую этого уравнения,
dx
проходящую через точку (1;2).
3) Решить дифференциальные уравнения и найти частные решения, удовлетво ряющие заданным начальным условиям
а) y " x; y (0) 1, y '(0) 2 ; б) y '
2x
; | x | 1, y (0) 1 .
1 x2
4) Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переме нными:
а) y 2 1dx xydy ; б) ( y 2 y ) y ' x ; в) (1 y 2 )dx xydy 0 ;
г) xyy ' 1 x 2 ; д) xy ' y y 2 .
5) Выяснить, являются ли однородными функции, и если да, то какой степени:
2x 3y
а) f ( x; y ) x2 xy; б) f ( x; y )
; в) f ( x; y ) xy 1 .
x y
6) Решить уравнения, проверив их на однородность
dy 2 y 2 x 2
а)
; б) xy ' x 2 y ; в) ( y 2 3x 2 )dx 2 xydy 0 .
dx
xy
Домашнее задание.
1) Изучить самостоятельно материал по теме "Комплексные числа"
([4], с. 53-56), ответив на контрольные вопросы и разобрав решения
задач параграфа.
2) Повторить теоретический материал по теме "Линейные дифференциальные уравнения
II порядка с постоянными коэффициентами" ([4], с. 57-58), ответив на контрольные
вопросы
([4], 59-60).
Практическое занятие N 11
ТЕМА: Комплексные пчела, операции над ними. Обыкновенные дифферен циальные уравнения II порядка.
Вопросы для обсуждения.
1. Какое число называется комплексным числом?
2. Что такое действительная часть комплексного числа? а мнимая?
3. Как изобразить комплексное число z a bi на плоскости?
4. Какое число называется сопряженным для числа z a bi ?
5. Что такое модуль комплексного числа? аргумент комплексного числа?
6. Как записать в общем виде дифференциальное уравнение II порядка?
7. Какое решение называется общим решением ОДУ II порядка?
8. Может ли существовать между произвольными постоянными такая зависи мость:
C1 C2 4 или C12 C2 25 ?
9. Какой вид имеют начальные условия для ОДУ II порядка?
10. В каких ОДУ высшего порядка можно понизить порядок? Как?
Задания для самостоятельной работы.
1) Изобразить следующие комплексные числа на плоскости:
z1 1 i ; z2 1 3i ; z3 2i ; z4 1 i ; z5 2 i ; z6 3 .
2) Записать комплексные числа в тригонометрической форме:
z1 1 i ; z2 1 3i ; z3 2i ; z4 1 i ; z5 3 i ; z6 3 .
3) Произвести над комплексными числами указанные действия:
z
z1 z2 , z1 z2 , z1 z2 , 1 (в алгебраической и тригонометрической форме),
z2
где а) z1 1 i , z2 1 3i ; б) z1 2i , z2 1 i ; в) z1 3 i , z2 3 .
4) Найти общее решение дифференциального уравнения:
a) y ''' x sin x ; б) y (1 ln y ) y '' (1 ln y ) y ' 2 0 ; в) x 2 y ''' y ''2 .
5) Найти частное решение дифференциального уравнения y ''( x 2 1) 2 xy ' ,
удовлетворяющее заданным начальным условиям y |x 0 1; y ' |x 0 3 .
Домашн ее зад ан и е
1) Повторить материал по теме "Линейные дифференциальные уравнения II
порядка с постоянными коэффициентами" ([4], с.57-60).
2)Разобрать решения примеров в указанном пособии.
Практическое занятие N 12
ТЕМА: Линейные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными
коэффициентами.
Вопросы для обсуждения.
1. Запишите в общем виде линейное неоднородное дифференциальное уравнение II порядка
с постоянными коэффициентами и соответствующее ему однородное.
2. Какое
уравнение называется характеристическим для
однородного ЛДУ?
Каков его вид?
3. Как записываются общие решения однородного ЛДУ в зависимости от знака
дискриминанта характеристического уравнения?
4. Как связаны общие решения неоднородного ЛДУ II порядка с постоянными
коэффициентами и соответствующего ему однородного ЛДУ?
5. Как найти частное решение неоднородного ЛДУ уравнения?
Задания для самостоятельной работы.
1) Для каждого из данных уравнений написать его частное решение с неопределенными коэффициентами ( числовых значений коэффициентов не находить):
а) y '' 5 y ' 5 ; б) y " 3 y ' e 3 x ; в) y " 2 y ' xe 2 x ; г) y " 16 y sin 4 x ;
д) 3 y " 2 y ' xe 2 x / 3 ; е) y " 6 y ' 9 y e x .
2) Проинтегрировать неоднородные линейные дифференциальные уравнения:
а) y " 4 y ' y 4 ;
б) y " 6 y ' 9 y x 2 ; в) y " 6 y ' 9 y 12e 3 x ;
г) y " 6 y ' 3 y 12cos3x ; д) y " 4 y ' 4 xe 4 x ; е) y " 3 y ' e3 x sin x .
Домашнее задание
1) Изучить самостоятельно материал § 1 и § 2 пособия [6].
2) Повторить материал по теме "Случайные события.
события" ([5], с.13-15).
3) Ответить на контрольные вопросы 1-11 (с. 20).
Вероятность случайного
Практическое занятие N 13
ТЕМА: Элементы общей теории множеств. Элементы комбинаторики.
Случайные события. Операции над ними.
Вопросы для обсуждения.
1. Что такое множество? Кортеж? Приведите примеры множеств и кортежей.
2. Чем кортеж отличается от множества? Приведите примеры.
3. Какое множество называется подмножеством данного множества? Приведите примеры
множеств и их подмножеств.
4. Какие операции над множествами вы знаете?
5. Что такое перестановки из т элементов с повторениями (без повторений)?
Приведите примеры задач, где требуется найти число таких перестановок.
6. Что такое размещения из m по к элементов с повторениями (без повторений)?
Приведите примеры задач, где требуется найти число таких размещений.
7. Что такое сочетания из m по к элементов с повторениями (без повторений)?
Приведите примеры задач, где требуется найти число таких сочетаний.
8. Какое событие называется случайным? достоверным? невозможным? элементарным?
9. Что такое пространство элементарных событий? Как его записать в общем
виде? Приведите пример пространств элементарных событий для некоторых испытаний.
10. Какие операции можно произвести над случайными событиями? изобразите их на
диаграммах Эйлера-Венна.
11. Какие события называются несовместными? Приведите примеры и изобразите их
графически.
12. Какие события называются противоположными?
Приведите примеры. Изобразите
графически.
13. Когда говорят, что из события А следует событие В? Приведите пример и изобразите
графически.
Задания для самостоятельной рабо ты.
1) Решить задания № 107, № 108, № 111 (г), № 115, № 126, № 131, № 140, № 151, № 162, №
166 по пособию
Локоть Н.В. Математика для нематематиков. – Мурманск, МГПУ, 2005. – Ч.I. – C. 8394.
2) Указать все возможные исходы в следующих испытаниях и зап исать пространства элементарных событий:
а) сдача зачета;
б) получение оценки на экзамене;
в) стрельба по цели;
г) подбрасывание 2 монет (2р. и 5р.)
3) Какие из следующих событий являются достоверными, невозмо жными, случайными:
а) А - выпадение четного числа очков и В - нечетного числа очков на игральной кости;
б) А - появление дамы и В - появление туза при выборе одной карты из колоды;
в) А - выпадение числа очков, большего 5, и В - числа очков, меньшего 5, на игральной
кости;
г) А - появление дамы и В - появление картинки при выборе одной карты из колоды;
д) А - выпадение числа очков, не меньшего 3, и В - числа очков, меньшего 3, на игральной
кости.
4) Какие из следующих событий являются достоверными, невозмо жными, случайными:
а) А - выпадение четного числа очков и В - нечетного числа очков на игральной кости;
б) А - появление дамы и В - появление туза при выборе одной карты из колоды;
в) А - выпадение числа очков, большего 5, и В - числа очков, меньшего 5, на игральной
кости;
г) А - появление дамы и В - появление картинки при выборе одной карты из колоды;
д) А - выпадение числа очков, не меньшего 3, и В - числа очков, меньшего 3, на игральной
кости.
Домашнее задание
1) Повторить теоретический материал по теме "Вероятность случайного события
и ее нахождение " ([5], с. 17-26).
2) Привести примеры 2 случайных событий и найти их сумму, разность,
произведение, изобразить графически на диаграммах Эйлера -Венна.
Практические занятия N 14
ТЕМА: Вероятность случайного события и её вычисление.
Вопросы для обсуждения.
1. Какая группа событий называется полной группой? приведите примеры.
2. Какие события называются равновозможными? Приведите примеры равновозможных и
неравновозможных событий.
3. Дайте классическое определение вероятности события.
4. Что такое выборка? Приведите примеры.
5. Какие виды выборок вы знаете? Приведите примеры.
Задания для самостоятельной работы.
1) В урне 6 белых шаров и 4 черных. Какова вероятность следующих событий:
а) А - извлечение белого шара;
б) В - извлечение черного шара;
в) Аб - извлечение вторым белого шара, если Вб - первый шар был белый;
г) Вч - извлечение вторым черного шара, если Аб - первый шар был белый;
д) С - извлечение 2 белых шаров последовательно;
е) D - извлечение 2 белых шаров разом;
ж) F - извлечение двух шаров разного цвета.?
3) Бросаются три игральных кости сразу (можно бросать одну кость три раза). Какова
вероятность, что сумма выпавших очков меньше 17 ?
3) Задачи 2.4-2.10 [5], c.25-26.
Домашнее задание
1) Повторить материал по темам " Условная вероятность случайного события" ([11],
305-307); "Формула полной вероятности и формула Байеса. Асимптотические формулы для
нахождения вероятности" ([5], с.17-20).
2) Разобрать решения примеров на с. 21-23 пособия [5].
Практическое занятие N 15
ТЕМА: Условная вероятность случайного события. Независимые и зависимые
события.
Вопросы для обсуждения.
1. Что такое условная вероятность события А при условии, что событие В
произошло? Как она обозначается?
2. Какие события называются независимыми? Приведите примеры.
3. Как можно найти вероятность суммы двух событий? А вероятность произведения двух
событий? Приведите примеры.
4. Запишите формулу полной вероятности и поясните ее. Что такое гипотезы?
Приведите примеры.
5. Запишите формулу Байеса. Когда она применяется?
Когда можно считать, что для вычисления вероятности можно применить схему
Бернулли?
6. Какой теоремой можно воспользоваться для того, чтобы найти вероятность события,
что при 100 бросках монеты герб выпадет ровно 40 раз?
7. Какой теоремой можно воспользоваться для того, чтобы найти вероятность редкого
события при большом количестве испытаний?
8. Когда можно воспользоваться интегральной теоремой Лапласа для вычисл ения
вероятности случайного события?
Задания для самостоятельной работы.
2) В студенческой группе 0,85 всего состава группы успешно сдали экзамен, причем 0,5 всех
студентов получили отметку "отлично". Какова вероятность того, что наудачу
выбранный студент получил отметку "хорошо" или "удовле творительно"?
3) На карточках написаны натуральные числа от 1 до 30 включительно. Наудачу извлекают
2 карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на карточках, равна 12?
4) В урне 6 шаров с номерами 1,2,3,4,5,6. Из урны вынимают четыре шара
последовательно. Какова вероятность, что шары будут идти в таком порядке:
1,6,2,4?
5) Была проведена одна и та же контрольная работа в трех группах. В первой
группе, где 30 студентов, оказалось 8 работ, выполненных на "отлично", во второй группе,
где 28 студентов, - 6 работ, а в третьей, где 27 студентов, - 9 работ. Найти вероятность того,
что наудачу выбранная работа окажется выполненной на "отлично".
5) Отлитые болванки поступают на обработку из 2 цехов: 70% из I цеха и 30% - из II цеха.
При этом болванки первого цеха имеют 10% брака, а II цеха -30% брака. Найти вероятность
того, что наудачу взятая болванка
а) не имеет дефектов и появилась из I цеха;
б) не имеет дефектов.
6) Всхожесть семян данного растения равна 0,8. Найти наиболее вероятное число
проросших семян из 5 посеянных.
6) Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь - стандартная, равна 0.9. Какова
вероятность того, что из 10 деталей 2 - нестандартные ?
7) Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандар тная, равна 0,9.
Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся
стандартными.
8) Некоторое электронное устройство выходит из строя, если отк ажет определенная микросхема. Вероятность ее отказа в течение 1 часа работы равна 0,004. Какова
вероятность того, что за 1000 часов работы устройства придется 5 раз менять микросхему ?
9) Вероятность попадания в цель из орудия равна при отдельном выстреле 0,8.
Найти вероятность того, что число попаданий при 900 выстрелах будет заключено в
границах от 690 до 740.
10) Вероятность того, что событие А наступит ровно 120 раз при 144 испытаниях, если
вероятность его появления в каждом испытании равна 0,8 ?
Домашнее задание
1) Составить две задачи на вычисление полной вероятности события и две - на вычисление
условной вероятности с помощью формулы Байеса.
2) Повторить материал по теме ''Элементы математической статистики" ([5], с.27-36; [11],
с.324-325).
Практическое занятие N 16
ТЕМА: Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы их распре деления и числовые характеристики.
Вопросы для обсуждения.
1) Какая величина называется случайной ? приведите примеры таких величин.
2) Какая СВ называется дискретной ? непрерывной ? Приведите примеры.
3) Что такое закон распределения СВ ? Как можно задать ДСВ ? НСВ ?
4) Какая функция называется функцией распределения СВ ?
5) Какие законы распределения ДСВ Вы знаете?
6) Какие числовые характеристики СВ Вы знаете ?
7) Какая характеристика имеет смысл среднего значения СВ ?
8) Какая характеристика оценивает степень рассеивания СВ ?
10) Какими параметрами определяется биномиальное распределение ?
11) Чему равны М(Х) и D(X) в равномерном распределении ?
12) Как влияют параметры нормального распределения на график плотно сти?
Задания для самостоятельной работы.
1) Пусть СВ X может принимать значения x1 1; x2 2; x3 3 , а СВ Y -значения
y1 4; y2 7; y3 11 . Найти возможные значения величин X + У, XY и 5 X .
2) В партии из 8 деталей 5 стандартных. Наудачу взяты 4 детали.
а)
Записать ряд распределения числа стандартных деталей среди отобра нных;
б)
Построить многоугольник распределения числа стандартных деталей;
в)
Задать функцию распределения и построить ее.
3) Число X пожаров в городе за сутки - случайная величина, распределенная по закону
Пуассона (закону редких событий) с параметром = 3. Найти
вероятность, что их будет не более двух.
4) Случайная величина X задана плотностью распределения
0 при x 0;
f ( x ) ( x 3)2 / 9 при 0 x 3;
0 при x 3.
Найти интегральную функцию распределения и построить графики f(x) и F(x).
5) Задана случайная величина X, найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение, если
0 при x 1;
x 1 при 1 1 2;
а)
f ( x)
б)
X 2
3
8
19
x 3 при 2 x 3;
P 0,2 0,3 0,4 0,1
0 при x 3.
Найти вероятность попадания НСВ в промежуток ; , если она распределена
а) равномерно на отрезке [8;15], 1; 10 ;
б) по показательному закону распределения и М(X)=15;
в) по нормальному закону и М=8, ( X ) 1 .
6) Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с
параметрами М(X)=0 мм и =9мм. Найти вероятность того, что при трёх независимых
измерениях погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по абсолютной величине
3мм.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Лекция №1.
Тема лекции: Матрицы, операции над ними.
План:
1) Матрицы, виды матриц.
2) Линейные операции над матрицами:
3) Умножение матрицы на матрицу.
4) Элементарные преобразования матриц.
основные понятия и положения.
Матрицы, основные обозначения. Виды матриц: прямоугольные Am n с m строками
и n столбцами, квадратные An n матрицы n -го порядка с n строками и n столбцами.
Диагональная и единичная матрица, матрица – строка, матрица – столбец.
Транспонированная матрица. Линейные операции над матрицами (сумма и разность
матриц, произведение матрицы на число). Умножение матриц. Элементарные
преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Приведение матриц к ступенчатому
или треугольному виду.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Любые ли две матрицы можно сложить? Вычесть?
2) Любую ли матрицу можно умножить на число?
3) Какие матрицы можно почленно умножать?
4) Обладает ли операция умножения матриц переместительным свойством, то есть,
A B B A или нет?
5) Какая матрица получится в результате умножения матриц
1 2 1 1 0 0
1 0 0 1 2 1
2 1 1 0 1 0 ? и в случае 0 1 0 2 1 1 ? Почему?
0 1 3 0 0 1
0 0 1 0 1 3
1 2
7 1
6) Можно ли умножить матрицу A 2 1 на матрицу B
? Почему?
0
2
3 5
Литература
Основная:
1.
Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.10-14.
2.
Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть I). – С. 4-6.
Дополнительная:
3.
Турецкий В.Я. Математика и информатика. - М.: Инфра, 2002. – С.96-97; 128-130.
4.
Щипачев B.C. Курс высшей математики. - М.: Изд-во МГУ, 1982. – С.57-59.
5. Методические рекомендации (Глава 1).
Лекция №2.
Тема лекции: Определители квадратных матриц.
План:
1) Определитель квадратной матрицы.
2) Вычисление определителей 1,2 и 3 порядка.
3) Теорема Лапласа.
4) Свойства определителей.
основные понятия и положения.
Определители
квадратных
матриц, порядок
определителей: а) первого порядка: | a11 | a11 ;
б) второго порядка:
a11
a21
определителя.
Вычисление
a12
a11 a22 a12 a21 ;
a22
в) третьего порядка (правило треугольника, правило Саррюса):
a11
a12 a 13
a21 a 22 a 23 a 11a 22a 33 a 13a 21
a 32 a a31 a12 23
a a13 a22 31a a33a 21 12a a 11a2332.
a31
a32
a33
Определители n-го порядка:
a11
a12
a13
a21 a22
... ...
an1 an 2
... a1n
a23 ... a2 n
. Миноры M ij элемента aij как определители n 1
... ... ...
an 3 ... ann
порядка, получаемые их определителя n -го порядка вычёркиванием i -той строки и j -го
столбца. Алгебраические дополнения Aij элемента aij как миноры, взятые со знаком « +»
i j
или « » : Aij (1)
M ij . Теорема Лапласа о разложении определителя n го порядка
по элементам строки: | Ann | ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3 ... ain Ain
или столбца:
| Ann | a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j ... anj Anj
Свойства определителей.
вычисления.
Вычисление определителей высших порядков, примеры
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Дана матрица A 11 (3) . Квадратная ли она? Чему равен её определитель?
2) Чему равен определитель матрицы A (12) ?
3) В каких случаях определитель n -го порядка равен нулю? Приведите примеры.
4) В определителе два одинаковых столбца. Чему он равен? Почему?
5) Как вычислить определитель четвёртого порядка?
6) Можно ли выносить общий множитель 2 за знак определителя, если одна из строк
определителя состоит из чётных чисел? Почему?
7) Дана матрица A 34 . Можно ли говорить об определителе этой матрицы? Почему?
8) Когда можно говорить, что матрица-строка (матрица-столбец) имеет определитель?
Литература
Основная:
2.
Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.10-18.
2.
Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть I). – С. 6-9.
Дополнительная:
3.
Турецкий В.Я. Математика и информатика. - М.: Инфра, 2002. – С.128-136.
4.
Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. – С.259-272.
5. Методические рекомендации (Глава 1).
Лекция №3
Тема лекции: Обратная матрица.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
План:
1) Понятие обратной матрицы.
2) Алгоритм нахождения обратной матрицы.
3) Системы линейных уравнений. Общие понятия.
4) Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
основные понятия и положения.
1) Обратная матрица.
Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о
существовании обратной матрицы для невырожденной матрицы. Присоединённая
матрица, её нахождение. Алгоритм нахождения обратной матрицы:
1) Найти определитель данной матрицы A и выяснить, является ли она
невырожденной, вычислив её определитель | A | . Если матрица вырожденная, у неё
нет обратной. Если матрица невырожденная, то перейти к пункту 2.
T
2)
Транспонировать матрицу A и найти матрицу A .
3)
Найти все алгебраические дополнения всех элементов матрицы A
T
*
присоединённую матрицу A .
4)
1
Найти обратную матрицу по формуле A
1
1
5) Сделать проверку: A A A A .
Примеры нахождения обратной матрицы:
3 2 1
Найти матрицу, обратную матрице A 1 0 1 .
2 0 1
1
A* .
| A|
и записать
2) Системы линейных уравнений.
Понятие системы m линейных уравнений с n неизвестными. Коэффициенты и
свободные члены, однородные и неоднородные системы уравнений. Решение системы
уравнений. Совместные и несовместные системы уравнений, определённые и
неопределённые. Эквивалентные системы уравнений. Запись системы уравнений в
матричной форме. Понятие расширенной матрицы системы. Теорема Кронекера Капелли.
Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными методом обратной
матрицы. Пример решения системы.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Любая ли матрица имеет обратную? Почему?
2) Приведите пример матрицы, которая не имеет обратной.
3) Какая матрица называется невырожденной? транспонированной? присоединённой?
4) Будет ли иметь обратную матрица A 34 ? Почему?
5) Сколько решений
3x 2 x2 3
а) 1
; б)
6 x1 4 x2 6
имеют системы уравнений:
3x x 0
3x1 2 x2 3
3x 2 x2 0
; в) 1
; г) 1 2
?
6 x1 2 x2 0
6 x1 4 x2 1
5 x1 x2 0
6) Будет ли совместна система m линейных уравнений с
расширенной матрицы а) равен рангу матрицы системы;
n неизвестными, если ранг
б) больше ранга матрицы системы?
7) Как связан ранг расширенной матрицы системы и количество ненулевых строк этой
матрицы, приведённой к ступенчатому виду?
8) Любую ли систему можно решить методом обратной матрицы? Почему?
9) Приведите пример системы, которую нельзя решить методом обратной матрицы.
10) Как записать систему уравнений в матричной форме? Любую ли систему можно записать
в матричной форме?
Литература
Основная:
1. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.22-24.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть I). – С. 9-13.
Дополнительная:
3. Щипачев B.C. Курс высшей математики. - М.: Изд-во МГУ, 1982. – 69-80.
4. Методические рекомендации (Глава 1).
Лекция № 4
Тема лекции: Методы решения систем m линейных уравнений
с n неизвестными.
План:
1) Метод определителей для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.
2) Метод Гаусса как общий метод решения систем m линейных уравнений с n
неизвестными
а) для однородной системы;
б) для неоднородной системы.
основные понятия и положения.
Метод Гаусса для решения систем m линейных уравнений с n неизвестными
а) для однородной системы:
1. Записать матрицу однородной системы.
2. Привести её элементарными преобразованиями к ступенчатому виду.
3. Определить число ненулевых строк и ранг матрицы системы.
4. Сделать обратный ход метода Гаусса, записав систему с новыми коэффициентами,
полученными из ступенчатой эквивалентной матрицы.
5. Если в полученной системе количество неизвестных равно количеству переменных , то
система имеет единственное тривиальное решение: x1 x2 ... xn 0 .
6. Если в полученной системе количество неизвестных больше количества переменных ,
то система имеет бесконечное множество решений. Тогда нужно определить базисный
определитель системы – определитель наибольшего порядка, не равный нулю.
Неизвестные в системе, коэффициенты которых являются элементами базисного
определителя, являются базисными, а остальные – свободными.
7. Выражая все базисные переменные через свободные, получим общее решение
системы.
б) для неоднородной системы:
1.-4. Шаги 1-4 совершаются с расширенной матрицей системы.
5. а) Если коэффициенты при неизвестных в какой-либо строке все обращаются в 0, а
соответствующее значение свободного члена 0 , то система несовместно.
б) Если расширенная матрица коэффициентов приводится к треугольному виду, то
система имеет единственное решений, которое легко находится, если сделать обратный ход
метода Гаусса.
6. Если расширенная матрица коэффициентов приводится к ступенчатому виду, и
количество её строк меньше количества неизвестных, то система имеет бесчисленное
множество решений, которое находится, если сделать обратный ход метода Гаусса,
определить свободные и базисные неизвестные.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Как выяснить, совместна ли система уравнений или нет?
2) Дана неоднородная система 5 линейных уравнений с 5 неизвестными. Расширенная
матрица системы приведена к ступенчатому виду, причём в ней 2 ненулевых строки. Можно
ли определить, сколько будет базисных и сколько свободных неизвестных?
3) Дана однородная система 3 уравнений с 3 неизвестными. Будет ли она совместной?
Почему? Будет ли она неопределённой? Определённой? Как узнать?
4) Дана неоднородная система 3 уравнений с 5 неизвестными. Что можно сказать о
количестве её решений? Почему?
Имеются слайды к лекции: файл «Матрицы. Определители»
Литература
Основная:
1. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.22-29.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть I). – С. 13-17.
3.
5.
Дополнительная:
Щипачев B.C. Курс высшей математики. - М.: Изд-во МГУ, 1982. – 268-272.
Методические рекомендации (Глава 1).
Лекция № 5
Тема лекции: Вектора, операции над ними.
Имеется компьютерная презентация: файл «ЛК. Векторы».
Лекция № 6
Тема лекции: Прямая и плоскость.
План:
1) Системы координат на плоскости.
2) Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости.
3) Плоскость. Виды уравнений плоскости.
4) Прямая в пространстве, её уравнения.
5) Взаимное расположение прямой и плоскости.
основные понятия и положения.
Декартова система координат, ее связь с полярной системой координат.
Преобразования координат на плоскости. Различные виды уравнений прямой на
плоскости (общее, с заданным угловым коэффициентом, прямой, проходящей через точку,
с заданным угловым коэффициентом, нормальное, «в отрезках», прямой, проходящей
через две данные точки). Взаимное расположение двух прямых на плоскости и в
пространстве.
Плоскость, различные уравнения плоскости (проходящей через точку,
перпендикулярно заданному вектору, общее, «в отрезках», нормальное, в векторной
форме, проходящей через три данные точки).
Прямая в пространстве, уравнения прямой (общие, параметрические,
канонические, проходящей через две точки).
Взаимное расположение прямых в
пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Прямая и
плоскость в пространстве, их взаимное расположение. Условия параллельности и
перпендикулярности прямой и плоскости.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Что означают координаты точки A (1; 2) в декартовой системе координат?
2) Что означают координаты точки B(2; 2 ) в полярной системе координат?
3) Прямая задана уравнением y kx b . Что означают коэффициенты k и b ?
x y
4) Как построить прямую 1 , не находя её дополнительных точек?
3 2
2
5) Даны прямые 2 x 3 y 5 и y x 1 . Что можно сказать об их взаимном
3
2
x
3 y 5 и 3x 2 y 1 ?
расположении? А если заданы прямые
6) Плоскость задана уравнением 3x 2 y z 1 0 . Назовите координаты вектора нормали
этой плоскости.
x y z
1 . Постройте её.
7) Дана плоскость уравнением
4 7 5
8)
Имеется презентации к лекции: файл: «Виды уравнений прямой и плоскости»
Литература
Основная:
1. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.41-50.
2.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресскурс. – М.: Новое знание, 2002. – С.31-61; 68-73.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть I). – С. 25-32; 37-42.
Дополнительная:
3. Турецкий В.Я. Математика и информатика. - М.: Инфра, 2002. – С.100-120.
4. Щипачев B.C. Курс высшей математики. - М.: Изд-во МГУ, 1982. – С.34-51.
5. 5. Методические рекомендации (Глава 2).
Лекция № 7
Тема лекции: Кривые второго порядка.
План:
1) Понятие кривой второго порядка, её уравнение.
2) Эллипс, его каноническое уравнение и свойства. Окружность.
3) Гипербола, её уравнение, свойства гиперболы.
4) Парабола, уравнение параболы и свойства.
основные понятия и положения.
Кривая второго порядка как линия, определяемая алгебраическим уравнением второй
степени относительно x и y :
Ax 2 2 Bxy Cy 2 2 Dx 2 Ey F 0 ( A2 B 2 C 2 0) .
Виды кривых второго порядка:
1) Эллипс, его фокусы, большая и малая полуоси, вершины, эксцентриситет, фокальные
радиусы. Виды уравнений эллипса (канонический; с осями, параллельными осям координат;
параметрический).
1) канонический вид:
x2 y 2
1.
a 2 b2
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
2) с осями, параллельными Ox и Oy :
1, \
a2
b2
x a cos t
3) параметрический вид:
, где t - угол между осью Ox
y
a
sin
t
y
B1
и прямой
y
b
OM
y
M
М
t
.
a c
O1
O
b
c
O
x
x
O
рис. 1
рис.2
рис.3
2) Гипербола, её фокусы, действительная и мнимая полуоси, вершины, эксцентриситет,
фокальные радиусы, центр гиперболы. Основной прямоугольник гиперболы. Асимптоты
гиперболы, их уравнения. Виды уравнений гиперболы:
1) Каноническое уравнение
x2 y 2
1 (1)
a 2 b2
2) Уравнение равнобочной гиперболы
или
y 2 x2
1 (2) .
b2 a 2
x2 y 2 a2 .
3) Уравнение гиперболы с осями, параллельными осям координат,
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
1.
a2
b2
y
y
b
y0
b
F2
F1 ̣
a
x0
y
O
x
a
x
O
x
O
3) Парабола, её фокус, директриса, параметры, вершина, фокальный радиус, ось симметрии.
Виды уравнений параболы:
1) Каноническое уравнение
y 2 2 px ;
2) Уравнение параболы симметричной относительно оси
Oy
и проходящей через точку
O(0;0) : x2 2 py ;
y
y
M
F1
M
p
2
O
F
x
p
2
O 2p
x
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Как получить каноническое уравнение окружности из уравнения эллипса?
2) Как записать уравнение окружности с центром в точке M 0 ( x0 ; y0 ) и радиусом R ?
3) Будет ли задавать линию второго порядка уравнение 3x 2 y 2 0 ? Какую?
4) Приведите пример уравнения, которое не задаёт линию 2 порядка и задаёт её.
5) В чём состоит геометрический смысл эксцентриситета эллипса?
x2 y 2
1.
6) Постройте эллипс, заданный уравнением
9
4
x2 y 2
1.
7) Укажите асимптоты гиперболы, заданной уравнением
4 4
8) Чему равен параметр p параболы, заданной уравнением y 2 8 x ? Как запишется
уравнение её директрисы?
9) Назовите линии, уравнения которых даны:
1) 3x 2 y 7 0; 2) 2 x 3 y 5 z 1 0; 3) x 2 2 xy y 2 0;
4)
x2 y 2
1;
4 16
5)
x2 y 2
1;
1
3
6) x 2 4 y.
10) Уравнение какой кривой получится, если в уравнении
y2
?
4
Для лекции имеются слайды: файл «Кривые 2 порядка».
дробью
x2 y 2
1 поменять знак перед
16 4
Литература.
Основная:
1. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.44-46.
2.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресскурс. – М.: Новое знание, 2002. – С.62-68.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть I). – С. 32-34.
Дополнительная:
3. Турецкий В.Я. Математика и информатика. - М.: Инфра, 2002. – С.76-120.
4. Щипачев B.C. Курс высшей математики. - М.: Изд-во МГУ, 1982. – С.52-66.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 3».
Лекция № 8
Тема лекции: Последовательности, функции, их пределы.
План:
1) Понятие функции одной переменной как отображения множества X в множество Y .
2) Виды функций и их графики.
3) Числовые последовательности, их свойства.
4) Предел функции в точке. Предел последовательности.
основные понятия и положения.
Отображения и числовые функции. Область определения и область значений функции.
График функции. Основные элементарные функции и их графики. Чётные, нечётные,
периодические и непериодические функции, особенности их графиков. Монотонные
функции (возрастающие, убывающие,
ограниченные сверху (снизу), ограниченные).
Сложная функция (суперпозиция функций), примеры.
Понятие числовой последовательности, примеры. Виды последовательностей
(возрастающие, убывающие, ограниченные сверху (снизу), ограниченные).
Предел последовательности, его геометрический смысл. Сходящиеся и расходящиеся
последовательности, примеры. Теорема о конечном пределе монотонной ограниченной
последовательности.
Понятие окрестности точки на прямой, - окрестности. Предел функции в точке по Коши и
по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке.
lim f ( x) A
( 0 0) (0 x x0 f ( x) A )
lim f ( x) A
(xn x0 ) ( f ( xn ) A)
xa
xa
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Какие основные элементарный функции вы знаете?
2) Как можно задать функцию?
3) Будет ли ограниченной последовательность с общим членом xn
1
? Почему?
n3
4) Приведите примеры возрастающей (убывающей) на промежутке
(последовательности).
5) Приведите пример ограниченной (неограниченной) на промежутке функции.
6) Сходится или расходится последовательность с общим членом xn
функции
(1)n
?
2n 1
8) Изобразите - окрестность точки x0 3 радиуса 1.
Для лекции имеются слайды: файл «Функции».
Литература.
Основная:
1. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.55-63.
2.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресскурс. – М.: Новое знание, 2002. – С.82-89.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть I). – С. 43-50.
Дополнительная:
3. Турецкий В.Я. Математика и информатика. - М.: Инфра, 2002. – С.180-202.
4. Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. – С.69-73.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 4».
Лекция № 9
Тема лекции: Предел функции. Односторонние пределы.
План:
1) Односторонние пределы функции в точке.
2) Бесконечные пределы. Предел функции на бесконечности.
3) Арифметические операции над функциями, имеющими пределы.
4) Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
5) Замечательные пределы.
основные понятия и положения.
Левый и правый пределы функции в точке.
lim
f ( x) A ( 0 0) ( x0 x x0 f ( x) A )
lim
f ( x) A ( 0 0) ( x0 x x0 f ( x) A )
x x0 0
x x0 0
Условия существования предела функции в точке.
Предел функции на бесконечности, его геометрический смысл.
lim f ( x) A ( 0 M 0) ( x M f ( x) A )
x
Бесконечные пределы функции в точке, геометрический смысл.
lim f ( x) K (K 0 0) (0 x x0 f ( x) K )
x x0
Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
Понятие бесконечно малой функции: lim f ( x) 0 , свойства бесконечно малых.
x x0
Эквивалентные бесконечно малые:
Бесконечно большие функции:
lim
x x0
1 ( x)
1, примеры.
2 ( x)
lim f ( x) ,
x x0
примеры. Связь между бесконечно
большими и бесконечно малыми функциями.
Теорема о связи между функцией и её
пределом. Арифметические операции над функциями, имеющими предел:
lim [ f1 ( x) f 2 ( x)] A B ; lim [ f1 ( x) f 2 ( x)] A B ; lim
x x0
x x0
sin x
1;
1 замечательный предел: lim
x0
x
x x0
f1 ( x) A
.
f 2 ( x) B
x
1
2 замечательный предел: lim 1 e .
x
x
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) В чем состоит геометрический смысл односторонних пределов функции в точке?
2) Изобразите схематически график функции в окрестности точки x 1 , у которой левый
предел в этой точке A 3 , а правый A 0 .
3) Что необходимо и достаточно для того, чтобы функция в точке имела предел?
4) Приведите пример бесконечно большой функции в точке x0 0 ; и бесконечно малой
функции в точке x 0 .
5) Задана функция ( x)
1
. В какой точке она является бесконечно большой?
x 1
6) Задана функция ( x)
x2
. В какой точке она является бесконечно малой?
x 1
Имеются слайды к лекции: файл «Производная».
Литература.
Основная:
1. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.64-67.
2.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресскурс. – М.: Новое знание, 2002. – С.90-93.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть I). – С. 50-51.
Дополнительная:
3. Турецкий В.Я. Математика и информатика. - М.: Инфра, 2002. – С. 203-204.
4. Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. – С.76-86.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 4».
Лекция № 10
Тема лекции: Непрерывные функции.
Производная функции в точке.
План:
1) Непрерывность функции в точке.
2) Односторонняя непрерывность, её геометрический смысл.
3) Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл.
4) Дифференциал функции.
основные понятия и положения.
Понятие приращения функции и приращения аргумента. Различные определения
непрерывности функции в точке. Односторонняя непрерывность, необходимое и
достаточное условие непрерывности функции в точке. Функция, непрерывная на
промежутке. Точки разрыва функции и их классификация (I рода, II рода, устранимые).
Определение производной функции в точке, её геометрический и механический
смысл. Односторонние производные. Непрерывность функции, имеющей производную.
Примеры нахождения производной по определению. Таблица производных. Основные
правила дифференцирования (производная суммы, разности, произведения, частного).
Производная сложной и степенно-показательной функции.
Дифференциал функции, его геометрический смысл. Дифференциал аргумента.
Формулы для вычисления дифференциалов. Приращение функции и дифференциал.
Инвариантность дифференциала первого порядка. Дифференциалы высших порядков.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Какие точки разрыва функции вы можете назвать?
2) Будет ли непрерывной функция
1
1
а) f ( x) 5 x 2 в точке x0 2 ; б) f ( x ) x 2 в точке x0 2 ? Поясните, почему.
5
3) Изобразите схематически на рисунке графики функций, имеющих
а) точку разрыва 1рода;
б) точку разрыва 2 рода;
в) устранимую точку разрыва.
4) Какая функция называется дифференцируемой в точке?
5) Как связаны производная функции и её дифференциал?
Для лекции имеются слайды: файл «Производная».
Литература.
Основная:
1. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.76-85.
2.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресскурс. – М.: Новое знание, 2002. – С.98-102.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть I). – С. 52-58.
Дополнительная:
3. Турецкий В.Я. Математика и информатика. - М.: Инфра, 2002. – С.204-230.
4. Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. – С.88-125.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 4».
Лекция № 11
Тема лекции: Применение дифференциального исчисления
к исследованию функций.
План:
1) Свойства функций, дифференцируемых на промежутке.
2) Экстремумы функции. Исследование функции на экстремум.
3) Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба.
4) Асимптоты графика функции.
основные понятия и положения.
Теорема 1. (признак постоянства функции).
Для того, чтобы функция f ( x) была постоянной на некотором промежутке,
необходимо и достаточно, чтобы
f '( x) 0 всюду на этом промежутке.
Теорема 2. (признак возрастания (убывания) функции).
Если
f '( x) 0 ( f '(x ) 0) для любой внутренней точки
f ( x)
промежуток, то функция
возрастает
x X ,
(убывает) на промежутке X .
Пусть функция определена на промежутке
функции в точке
x0
и
x0
X
-
- внутренняя точка X . Значение
называется максимумом (минимумом) функции в этой точке, если
существует такая окрестность
f ( x) f ( x0 ) )
Точка x0
X
где
для любой точки
U ( x0 ) , что
f ( x) f ( x0 )
x U ( x0 ), x x0 .
(соответственно
называется точкой максимума (минимума). Максимумы и минимумы
называются экстремумами функции.
Теорема 3. (необходимое условие экстремума).
Если точка x0 - точка экстремума функции
f ( x) ,
то в этой точке производная
функции либо равна нулю, либо не существует.
Теорема 4. (достаточное условие экстремума).
1) Пусть функция f ( x) непрерывна в точке
x0 ,
f '( x) при
переходе аргумента x через точку x0 меняет знак. Тогда функция в точке x0 имеет
экстремум: максимум, если знак меняется с " " на "
" ".
2) Если при переходе (слева направо) через точку x0 производная знака не меняет, то в
точке x0 экстремума нет.
а её производная
Теорема 5. (достаточное условие экстремума).
Пусть функция f ( x) имеет в точке x0 производные первого и второго порядков.
Тогда, если
f '( x0 ) 0
и
f ''( x0 ) 0 , то точка x0
- точка экстремума. В частности,
f '( x0 ) 0 и f ''( x0 ) 0 , то x0
f ''( x0 ) 0 , то x0 - точка минимума.
если
- точка максимума, если же
f '( x0 ) 0
и
Точки из области определения функции, в которых первая производная равна нулю,
бесконечна или не существует, называются критическими точками.
Кривая называется выпуклой (вогнутой) на промежутке X , если все её точки лежат ниже
(выше) касательной к кривой, проведённой в любой точке этого промежутка.
M0
Точка, отделяющая промежутки выпуклости от промежутков вогнутости, называется точкой
перегиба кривой.
f ''( x) 0 (соответственно f ''( x) 0 ) на
промежутке X , то кривая с уравнением y f ( x) вогнута (выпукла) на промежутке
X . Если при переходе через точку x0 вторая производная меняет знак, то точка x0 Теорема 6. Если вторая производная
точка перегиба.
Асимптотой кривой с бесконечной ветвью называется прямая, расстояние от которой до
точек кривой при неограниченном удалении их от начала координат стремится к нулю.
y
Различают вертикальные и невертикальные асимптоты.
Вертикальная асимптота имеет уравнение
x a;
Наклонная асимптота имеет уравнение
y kx b ,
x
где
k lim
x
f ( x)
;
x
b lim[ f ( x) kx] .
x
Общая схема исследования функции.
1. Найти область определения функции D( f ) .
2. Определить точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Исследовать функцию на чётность – нечетность.
4. Исследовать функцию на периодичность.
5. Найти промежутки монотонности функции и точки её экстремума.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.
7. Найти асимптоты графика функции, если они существуют.
8. Построить график функции.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Как определить интервалы возрастания и убывания функции?
2) какие точки из области определения называются критическими?
3) Приведите пример функции, которая возрастает на промежутке (0; ) и убывает на
промежутке (;0) .
4) Всегда ли минимум и наименьшее значение функции на промежутке совпадают?
5) Изобразите график функции такой, чтобы наибольшее значение функции было больше
её максимума.
Литература.
Основная:
1. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.86-95.
2.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресскурс. – М.: Новое знание, 2002. – С.100-117.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть I). – С. 58-62.
Дополнительная:
3. Турецкий В.Я. Математика и информатика. - М.: Инфра, 2002. – С.230-236.
4. Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. – С.140-150.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 4».
Лекция № 12
Тема лекции: Неопределённый интеграл функции одной переменной.
План:
1) Первообразная функция F ( x) для функции f ( x) , её свойства.
2) Способы вычисления неопределённых интегралов:
а) замена переменной;
б) по частям.
3) Интегрирование
а) рациональных,
б) иррациональных,
в) тригонометрических функций.
основные понятия и положения.
Понятие первообразной для функции f ( x ) , примеры
элементарных функций. Таблица простейших интегралов:
первообразных
Таблица простейших неопределённых интегралов.
1. 0 dx C ,
C const ;
x n1
C,
2. x dx
n 1
n
n 1;
9.
dx
sin 2 x ctg x C;
10.
tg xdx ln | cos x | C;
для
dx
x ln | x | C;
ax
x
4. a dx
C,
ln a
11. ctg xdx ln | sin x | C ;
3.
5.
e dx e
x
x
x
arcsin
C;
a2 x2
a
dx
1
x
arctg
C;
13. 2
x a2 a
a
dx
14.
ln x x 2 a 2 C;
x2 a2
dx
15.
ln x x 2 a 2 C;
x2 a2
dx
1
xa
16. 2
ln
C.
2
x a
2a x a
a 0, a 1; 12.
C;
6. cos xdx sin x C ;
7. sin xdx cos x C ;
8.
dx
cos 2 x tg x C;
dx
Неопределённый интеграл функции, подынтегральная функция и подынтегральное
выражение. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Методы интегрирования неопределённых интегралов.
Метод замены переменной (подстановки), примеры использования для нахождения
неопределённых интегралов. Метод интегрирования по частям, примеры. Интегрирование
некоторых видов функций.
Рациональные дроби
P( x)
, где P( x) и Q ( x ) - многочлены.
Q( x)
Элементарные (простейшие) дроби, их типы:
I.
A
,
xa
II.
A
,
n
( x a)
III.
Ax B
,
2
x px q
IV.
Ax B
.
2
n
( x px q )
Теорема о разложении правильной рациональной дроби в сумму элементарных дробей,
примеры разложений. Метод неопределённых коэффициентов.
Интегрирование иррациональных выражений, примеры.
Интегрирование тригонометрических функций, примеры.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Приведите пример двух первообразных для функции f ( x) 3x 2 .
2) Как проверить, правильно ли вычислен неопределённый интеграл от некоторой
функции?
3) Какие свойства неопределённых интегралов вы знаете?
2x 1
4) Как разложить на элементарные дроби дробь 3
?
x 5x2 6 x
5) Равен ли неопределённый интеграл от суммы функций сумме интегралов от этих
функций?
6) Равен ли неопределённый интеграл от произведения функций произведению интегралов
от этих функций?
7) Равен ли неопределённый интеграл от частного функций частному интегралов от этих
функций?
8) Каким методом можно проинтегрировать произведение функций 3x sin x ?
ln x
9) Каким методом можно проинтегрировать частное вида
?
x
Литература
Основная:
1. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.97-102.
2. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. II семестр:
Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2003. – С.3-17.
3. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть II). – С. 4-14.
Дополнительная:
4. Турецкий В.Я. Математика и информатика. - М.: Инфра, 2002. – С.237-249.
5) Методические рекомендации «Математика. Глава 4».
Лекция № 13
Тема лекции: Определённый интеграл функции одной переменной.
Несобственные интегралы.
План:
1) Понятие определённого интеграла функции одной переменной, его геометрический
смысл.
2) Свойства определённого интеграла функции одной переменной.
3) Методы интегрирования.
4) Несобственные интегралы. Их вычисление и свойства.
основные понятия и положения.
Понятие интегральной суммы для функции f ( x ) на отрезке [a; b] . Определенный
интеграл как предел интегральной суммы. Интегрируемость непрерывных на отрезке
функций. Основные свойства определенных интегралов.
Методы вычисления определённых интегралов. Формула Ньютона-Лейбница для
вычисления определённого интеграла.
Метод интегрирования с помощью замены
переменной (подстановки), примеры. Метод интегрирования по частям, примеры.
Несобственные интегралы, их классификация. Интегралы I рода (с бесконечными
пределами)
b
f ( x)dx lim
a
b
a
a
f ( x)dx ;
;
c
c
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx .
b
a
Интегралы II рода (от неограниченных функций).
b
b
b
b
f ( x)dx lim
f ( x)dx ; f ( x)dx lim
0
a
b
c
a
a
a
f ( x) dx ;
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a
0
f (c) не существует или равно .
c
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Какой геометрический смысл имеет определенный интеграл от функции f ( x) 0 не
отрезке [a; b] ?
2) Назовите основные свойства определённого интеграла.
3) Можно ли вычислить определённый интеграл от функции f ( x) tg x на отрезке
[2 ;2 ]? Почему?
4) В чём состоит геометрический смысл несобственного интеграла от f ( x) 0 на отрезке
[a; b] ?
Литература
Основная:
1.
Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.103-113.
2.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. II семестр:
Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2003. – С.19-28.
3. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть II). – С. 15-26.
Дополнительная:
4. Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. –С. 159-176.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 5».
Лекция № 14
Тема лекции: Приложения определённого интеграла.
План:
1) Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла.
2) Вычисление длин дуг.
3) Вычисление объёмов тел и поверхности тел вращения.
4) Механические приложения определённого интеграла.
основные понятия и положения.
Использование определённых интегралов для вычисления площади
криволинейной трапеции, площади фигур, ограниченных кривыми, заданными
уравнениями в различной форме, примеры.
b
S f ( x )dx , если
ba
f ( x) 0 при всех x [a; b] ;
S | f ( x ) | dx , если f ( x) принимает значения любого знака на отрезке [a; b] ;
a
b
S f 2 ( x) f1 ( x) dx , если f1 ( x) f ( x2 ) и f1 ( x) 0 , f 2 ( x) 0 ;
da
S ( y )dy , если ( y ) 0 при всех y [c; d ] ;
c
x x(t )
S y (t ) x '(t )dt , если
, где t [ ; ] ;
y
y
(
t
)
S 2 ( )d , если ( ) , а угол .
Вычисление длин дуг с помощью определённого интеграла, примеры.
b
l 1 y '( x) dx , где y y ( x), x [a; b] ;
2
a
d
l 1 x '( y ) dy , где x x( y ), y [c; d ] ;
2
c
x '(t ) y '(t ) dt , где
l
2
2
x x(t )
, t [ ; ] ;
y
y
(
t
)
l 2 ( ) '( ) d , где ( ) и [ ; ] .
2
Вычисление объёмов тел и площади поверхностей вращения вокруг оси, примеры.
b
V S ( x )dx , где S ( x) - площадь сечения, x [a; b] ;
a
b
d
V y dx , где y f ( x) 0 , x [a; b] ; V x 2 dy , где x ( y) 0 , y [c; d ] .
2
a
c
b
S x 2 y 1 y 'dx , где y y ( x) 0 и x [a; b] ;
a
d
S y 2 x 1 x 'dy , где x x( y) 0 и y [c; d ] ;
c
S x 2 y (t )
x x(t )
и t [ ; ] ;
y y(t )
x '(t ) y '(t ) dt , где
S 2 sin
2
2
( ) '( ) d .
2
2
Механические применения определённых интегралов, примеры. Понятие о
численных методах. Приближённые вычисления определённых интегралов:
а) методом хорд.
Если дано уравнение f ( x) 0 и требуется вычислить его действительный корень,
изолированный на отрезке [a; b] , то первое приближение корня находится по формуле
x1 a
(b a) f (a)
(b x1 ) f ( x1 )
, второе приближение - x2 x1
и т.д.
f (b) f ( x1 )
f (b) f (a)
б) методом касательных.
Если дано уравнение f ( x) 0 и требуется вычислить его действительный корень,
изолированный на отрезке [a; b] , то первое приближение корня находится по формуле
f ( x0 )
f ( x1 )
, второе приближение - x2 x1
и т.д., где x0 [ a; b] - число,
f '( x0 )
f '( x1 )
при котором f ( x0 ) имеет тот же знак, что и f ''( x0 ) .
x1 x0
в) методом хорд и касательных.
Если дано уравнение f ( x) 0 и требуется вычислить его действительный корень,
изолированный на отрезке [a; b] , то первое приближение корня находится по формуле
(b x1) f (a)
f ( x0 )
f ( x11 )
и x12 a
, второе приближение x21 x11
f '( x0 )
f '( x11 )
f (b) f (a)
( x x11 ) f ( x11 )
и x22 x11 12
и т.д.. Отметим, что f (a) и f (b) имеют разные знаки
f ( x12 ) f ( x11 )
и x0 [ a; b] - число, при котором f ( x0 ) имеет тот же знак, что и f ''( x0 ) .
x11 x0
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Какой геометрический смысл имеет определенный интеграл функции одной переменной?
2) Как найти площадь криволинейной трапеции, если трапеция ограничена прямыми
x a, x b, y f ( x) , причём график y f ( x) располагается выше и ниже оси Ox ?
3) Какие механические приложения определённого интеграла вы можете назвать?
4) Сравните, какой метод (хорд, касательных, комбинированный) даёт более точный
результат?
Литература
Основная:
1.
Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.110-111.
2.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. II семестр:
Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2003. – С.29-32.
3. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть II). – С. 15-26.
Дополнительная:
4. Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. –С. 159-176.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 5».
Лекция № 15
Тема лекции: Числовые ряды.
План:
1) Числовые ряды, их виды, основные понятия теории рядов.
2) Признаки сходимости числовых положительных рядов.
3) Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
4) Знакопеременные ряды, признаки их сходимости.
основные понятия и положения.
Понятие числового ряда, общего члена ряда, его частичной n -ой суммы:
u
n 1
n
s lim sn , s un .
u1 u2 u3 ... un ...; sn u1 u2 u3 ... un ;
n
n 1
Сходящиеся и расходящиеся ряды, примеры. Свойства сходящихся рядов. Остаток
ряда, теорема о связи сходимости ряда и его остатка.
1) Теорема 1. Если сходится ряд
u
n 1
c u
n 1
n
n
и его сумма равна s , то сходится и ряд
, где c const , причём его сумма равна c s .
2) Теорема 2. Если сходится ряд
u
n 1
n
и его сумма равна s1 , и сходится ряд
n 1
сумма его равна s 2 , то сходится и ряд
(u
n 1
n
u
n 1
n
и
vn ) и сумма его равна s1 s2 .
3) Если сходится ряд
v
n
, то сходится и его остаток
u
k 1
nk
.
Необходимый признак сходимости числового ряда:
Если числовой ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: lim un 0 .
n
Положительные ряды, примеры. Гармонический ряд, его расходимость.
1
1
1
1
n 1 2 3 ... n ... .
n 1
Признаки сходимости положительных числовых рядов:
Интегральный признак сходимости: Если функция y f ( x) монотонно убывает на
множестве [1; ) , то ряд f (1) f (2) f (3) ... f (n) ...
f (n) и интеграл
n 1
f ( x ) dx одновременно сходятся или расходятся.
1
Признак сравнения. Даны два числовых положительных ряда
u
n 1
n
(1) и
v
n 1
n
(2),
причём для любого n выполняется un vn . Если сходится ряд (2), то сходится и ряд
(1). Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).
Признак предельного сравнения. Даны два числовых положительных ряда
un и
n 1
v
n 1
n
.
un
const 0 , то оба ряда одновременно
n v
n
Если существует конечный предел lim
сходятся или одновременно расходятся.
a
Признак Даламбера: Дан положительный числовой ряд
n 1
n
. Если существует конечный
q 1 ряд сходится
an1
q 1 ряд расходится
предел lim
.
q , то при
n a
n
q 1 сомнительный случай
Признак Коши: Дан положительный числовой ряд
a
n 1
n
. Если существует конечный
q 1 ряд сходится
q 1 ряд расходится
предел lim n an q , то при
.
n
q 1 сомнительный случай
Знакочередующиеся ряды.
(1) a
n
n 1
n
a1 a2 ... (1) an ... или
n
(1)
n 1
n 1
an a1 a2 ... (1) n1 an ... .
Признак Лейбница для знакочередующихся рядов: Если для знакочередующегося
ряда выполнены два условия:
1) a1 a2 a3 ... an an1 ... и 2) lim an 0 , то ряд сходится.
n
Ряды с членами произвольного знака. Ряд из модулей, понятие абсолютной и
условной сходимости.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Останется ли ряд сходящимся. Если все его члены умножить на 1000?
2) Верно ли утверждение: если общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится?
3) Приведите пример числового ряда и его мажоранты.
4) Будет ли сходящимся ряд с общим членом an
n
, где n ?
n 1
Литература
Основная:
1. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. II семестр:
Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2003. – С. 52-62.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть II). – С. 27-34.
Дополнительная:
3.
Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. – С.379-390.
С. 216-233.
4. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Крамера. – М.: Банки и биржи;
ЮНИТИ, 1997. – С. 343-363.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 6».
Лекция № 16
Тема лекции: Степенные ряды.
План:
1) Функциональные ряды. Их сумма и сходимость.
2) Степенные ряды, их свойства.
3) Разложение элементарной функции в ряд.
основные понятия и положения.
Основные понятия теории функциональных рядов. Функциональные ряды.
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ... f ( x) ...
n 1
n
1
2
3
n
Сходимость функционального ряда, его сумма:
s( x) lim sn ( x) , где
n
sn ( x) f1 ( x) f 2 ( x) f 3 ( x) ... f n ( x) . Область сходимости.
Степенные ряды и их основные свойства. Понятие степенного ряда, область его
сходимости.
c ( x a)
n 0
n
c x
n 0
n
n
n
c0 c1 ( x a) c2 ( x a ) 2 .. cn ( x a ) n ... , a
(1);
c0 c1 x c2 x 2 c3 x3 ... cn x n ... (2).
Теорема Абеля о точках сходимости степенного ряда:
Если степенной ряд (2) сходится при значении x x0 0 , то он сходится и, притом
абсолютно, при всех значениях x таких, что | x || x0 | .
Если степенной ряд (2) расходится при значении x x1 , то он расходится при всех
значениях x таких, что | x || x1 | .
Радиус и интервал сходимости, нахождение области сходимости степенного ряда.
R lim
n
cn
, cn 0 при любом n .
cn1
Основные свойства степенных рядов (непрерывность суммы, дифференцирование
и интегрирование):
1) Сумма f ( x) степенного ряда на любом отрезке [a; b] , целиком принадлежащем
интервалу сходимости ряда, является непрерывной.
2) Степенной ряд (2) можно почленно дифференцировать в каждой внутренней точке его
интервала сходимости ( R; R) , причём выполняется равенство
f '( x) c1 2c2 x 3c3 x 2 ... ncn x n1 ... для всех x ( R; R) .
3) Степенной ряд (2) можно почленно интегрировать на любом отрезке [a; b] , целиком,
принадлежащем интервалу сходимости ( R; R) , причём выполняется равенство
b
a
x2
x3
x n1
f ( x)dx c0 x c1 c2 ... cn
... для всех x ( R; R) .
2
3
n 1
Ряды Тейлора и Маклорена.
f '(0)
f "(0) 2 f '''(0) 3 f ( n ) (0) n
f (0)
x
x
x
x ...
1!
2!
3!
n!
f '(a)
f "(a)
f '''(a)
f ( n ) (a )
2
3
f (a)
( x a)
( x a)
( x a)
( x a)n ...
1!
2!
3!
n!
Разложение элементарной функции в степенной ряд.
элементарных функций. Приложения степенных рядов
вычислений.
Ряды для основных
для приближённых
x x 2 x3 x n
а) e 1
... , R ;
1! 2! 3! n!
x3 x5 x 7
x 2 n1
n
... (1)
..., R ;
б) sin x x
3! 5! 7!
(2n 1)!
2n
x 2 x 4 x8
n x
... (1)
..., R ;
в) cos x 1
2! 4! 8!
(2n)!
m(m 1) 2
m(m 1)...(m n 1) n
m
г) (1 x) 1 mx
x ...
x ...,
2!
n!
n
x 2 x3 x 4
n1 x
д) ln(1 x) x
... (1)
... , R 1.
2 3 4
n
x
R 1;
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Будет ли сходиться ряд вида 1 x x x x ... при условии, что x (1; 1) ?
Как он называется? Будет ли он сходиться в точке x 2 ? Почему?
2) Как найти область сходимости степенного ряда, если известен его радиус сходимости?
2
4
6
8
3) Можно ли применять для нахождения радиуса сходимости степенного ряда
n 1
n 2x
2n
n 0
формулу R lim
n
cn
. Ответ поясните.
cn1
4) Дана функция f ( x)
c x
n 0
n
n
. Можно ли утверждать, что функция f ( x) непрерывна?
Почему?
Литература
Основная:
1. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. II семестр:
Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2003. – С. 63-72.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть II). – С.35-43.
Дополнительная:
3. Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. – С. 391-401.
4. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Крамера. – М.: Банки и биржи;
ЮНИТИ, 1997. – С. 366-380.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 6».
Лекция № 17
Тема лекции: Комплексные числа.
План:
1) Понятие комплексного числа, его геометрический смысл.
2) Тригонометрическая форма комплексного числа.
3) Операции над комплексными числами.
4) Решение уравнений в множестве комплексных чисел.
основные понятия и положения.
Опр. Комплексным числом называется выражение вида a bi , где a, b , i 1 ,
причём a называется действительной, b - мнимой частью комплексного числа, i мнимой единицей. Если a 0 , то число z b i называется мнимым числом.
Геометрический смысл комплексного числа.
y
z a bi
b
r
z a bi
a
O
x
Замечание. Действительную часть a комплексного числа z принято иначе обозначать
Re z , а мнимую - Im z . Таким образом, если z a bi , то a Re z, b Im z .
Все действительные числа можно изобразить точками числовой прямой
(; ) . Любое комплексное число z a bi изображается точкой M (a; b) на
плоскости Oxy , где абсцисса a - действительная, а ордината b - мнимая часть
комплексного числа.
Опр. Число вида z2 a bi называется сопряжённым числу z1 a bi .
Примеры:
1) Пусть z1 2 3i - комплексное число, 2 a - действительная, b 3 - мнимая часть.
Сопряжённым для него будет число z2 2 3i .
2) Числа z1 3i и z2 3i - сопряжённые мнимые числа.
Опр. Число | z | r a b называется модулем комплексного числа, а угол
аргументом комплексного числа, причём
2
2
при a 0, b 0 ;
arctg
2
2
b
при a 0, b 0 ;
a
при a 0, b 0 ;
arctg
При этом запись комплексного числа в виде
arctg
-
b
при a 0 ;
a
b
при a 0, b 0 .
a
z r cos i sin ,
где a r cos , b r sin ,
называется тригонометрической формой комплексного числа.
Операции над комплексными числами.
1) Сложение и вычитание комплексных чисел.
z1 a1 b1i и z2 a2 b2i ,
Если даны два комплексных числа
складывать и вычитать, то есть
то их можно почленно
z1 z2 (a1 b1i ) (a2 b2i ) (a1 a2 ) (b1 b2 )i .
2) Умножение комплексных чисел.
а) Если даны два комплексных числа
почленно умножать, причём
z1 a1 b1i и z2 a2 b2i , то их можно
z1 z2 (a1 b1i ) (a2 b2i ) a1 a2 b1i a2 a1 b2i b1i b2i (a1a2 b1b2 ) (a1b2 a2b1 )i ,
откуда
z1 z2 (a1a2 b1b2 ) i (a1b2 a2b1 ) .
б) Если числа записаны в тригонометрической форме:
z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) и z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) ,
то, выполняя преобразования, имеем
z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 )
r1 r2 (cos1 cos2 i sin 1 cos2 cos1 i sin 2 i 2 sin 1 sin 2 )
r1 r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 ))
r1 r2 (cos(1 2 ) i sin(1 2 )) .
Таким образом, получаем, что
z1 z2 r1 r2 (cos(1 2 ) i sin(1 2 )) .
В частном случае имеем, что z r (cos n i sin n ) .
3) Деление комплексных чисел.
z1 a1 b1i и z2 a2 b2i ,
а) Если даны два комплексных числа
почленно умножать, причём
n
n
то их можно
z1 a1 b1i (a1 b1i )(a2 b2i ) (a1a2 b1b2 ) i (a2b1 a1b2 )
или
z2 a2 b2i (a2 b2i )(a2 b2i )
a22 b22
z1 a1a2 b1b2
a b ab
2
i 2 21 12 2 .
2
z2
a2 b2
a2 b2
б) Если числа записаны в тригонометрической форме:
z1 r1 (cos1 i sin1 ) и z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) , то, выполняя
преобразования, имеем
z1 r1 (cos1 i sin 1 )
r (cos1 i sin 1 ) r2 (cos i sin 2 )
1
z2 r2 (cos2 i sin 2 ) r2 (cos2 i sin 2 ) r2 (cos2 i sin 2 )
z1 r1r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i (cos 2 sin 1 sin 2 cos 1 ))
2
z2
r2 (cos 2 2 sin 2 2 )
r1
cos(1 2 ) i(sin 1 sin 2 ) .
r2
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
11.Какое число называется комплексным числом? А мнимым числом?
12.По какой оси откладывается действительная часть комплексного числа? а мнимая?
13.Как изобразить комплексное число z 1 5i на плоскости?
14.Будут ли числа 2i 1 и 2i 1 сопряженными или нет? Почему?
15.Чему равен аргумент комплексного числа z 2i ? z 4 ? z 1 i ? z 1 i ?
16.Даны два сопряжённых числа, записанных в тригонометрической форме.. Что можно
сказать о их модулях и аргументах? Приведите пример и поясните ответ.
Имеются слайды для лекции: файл «Комплексные числа».
Литература
Основная:
1. Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. – С. 402-405.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть II). – С. 53-56.
Дополнительная:
3. Щипачев B.C. Курс высшей математики. - М.: Изд-во МГУ, 1982. – Ч. 2. –С. 249-255.
Лекция № 18
Тема лекции: Функции комплексной переменной.
Аналитические функции.
План:
1) Основные понятие теории функций комплексной переменной.
2) Аналитические функции комплексной переменной.
3) Примеры функций к.п. и основных трансцендентных функций комплексной
z
переменной ( e , sin z, cos z ).
основные понятия и положения.
Основные понятия теории функций комплексной переменной как обобщение теории
функций действительной переменной.
Опр. Функция f ( x) действительной переменной x , определённая на некотором интервале
(a; b) конечном или бесконечном, называется аналитической в этом интервале, если в
окрестности каждой его точки x0 она представима в виде суммы степенного ряда,
расположенного по целым неотрицательным степеням ( x x0 ) :
f ( x) c0 c1 ( x x0 ) c2 ( x x0 )2 ... cn ( x x0 )n ... .
x
Произвольный многочлен, функции e ,sin x,cos x являются аналитическими на всей
числовой оси, функция ln x - аналитическая на интервале (0 : ).
В математическом анализе доказывается, что сумма, разность, произведение и
частное аналитических функций есть функция аналитическая (в интервале, где делитель не
обращается в нуль); аналитическими также являются производная и интеграл от
аналитической функции. Отправляясь от этих положений, легко понять, что все наиболее
важные функции, к которым приводят задачи математического анализа, геометрии,
механики, физики, являются аналитическими.
Будем обозначать множество комплексных чисел плоскости .
Опр. Пусть E - некоторое множество точек комплексной плоскости, т.е. E , причём
каждому числу z поставлены в соответствие одно или несколько комплексных чисел w .
Тогда говорят, что на множестве E определена функция комплексной переменной z ,
значениями которой являются w , то есть w f ( z ) .
Если каждому
z E соответствует единственное значение w , то функция
называется однозначной, если – несколько значений, то – многозначной.
n
Например, w z , n ,
w | z | , w Re z , w Im z - однозначные функции,
w n z - многозначная функция,
определённые на всей плоскости.
Функция
определённая на всей плоскости. Функция w Arg z - тоже многозначная функция,
определённая на множестве всех точек, 0 . Если множество E действительно, т.е.
расположено на числовой оси: E , то z x является действительной переменной.
Если все значения
w действительны, то приходим к понятию функции одной
действительной переменной, как частному случаю понятия функции комплексной
переменной.
В общем случае положим: z x iy и w u iv . Тогда предложение «функция
w f ( z ) (например, однозначная) определена на множестве E » эквивалентно
следующему: «каждой точке из E с координатами ( x; y ) поставлены в соответствие
действительное число u и действительное число v ». Иными словами, на E определены
две действительные функции u ( x; y ) и v ( x; y ) двух действительных переменных
x y . Итак, одно комплексное соотношение
w f ( z ) эквивалентно двум
действительным соотношениям u ( x; y ) и v ( x; y ) .
Например, соотношение
w z 2 ( x iy)2 x 2 y 2 2ixy эквивалентно
2
2
следующим: u x y , v 2 xy .
Если значения переменной z изображать с помощью точек одной плоскости
(плоскости z ), а значения функции w с помощью точек другой плоскости (плоскости w ),
то функция w f ( z ) осуществляет отображение точек плоскости z на соответствующие
точки плоскости w .
Замечание. Понятия окрестности точки, предела функции в точке, непрерывной функции в
точке дословно повторяют соответствующие определения для функции действительной
переменной.
Например, число A называется пределом функции w f ( z ) в точке z 0 , если для
любого сколь угодно малого числа ( z ) 0 найдётся такое число 0 , что для всех
значений z ( z z0 ) , удовлетворяющих неравенству | z z0 | , следует неравенство
| w A | . При этом пишут
lim f ( z ) A .
z z0
Аналитические функции.
Опр. Аналитической функцией комплексной переменной на некотором множестве
точек комплексной плоскости называется функция, представимая в окрестности любой из
этих точек в виде суммы степенного ряда , в котором коэффициенты ci , z0 .
f ( z ) cn ( z z0 ) n .
n 0
Опр. Ряд с комплексными членами z1 z2 z3 ... zn ... называется сходящимся, если
существует конечный предел при n его частичной n -ой суммы s s1 s2 ... sn ,
который называется суммой ряда s lim sn и пишется: s
n
z
n
(1).
1
Очевидно, что этот ряд сходится тогда и только тогда, когда сходятся два ряда:
x1 x2 x3 ... xn ... , члены которого - действительные части членов ряда (1),
и ряд y1 y2 y3 ... yn ... , члены которого – комплексные части членов ряда(1).
Примеры ф.к.п. Основные трансцендентные функции комплексной переменной.
Пример 1. Функция w z , например, осуществляет однозначное отображение
внутренности круга g плоскости z с центром в начале координат и радиусом. Равным 2,
на внутренность круга G плоскости w с центром в начале координат радиусом , равным 4.
Действительно, точки внутри круга радиуса 2 определены неравенством | z | 2 . Так как
w z 2 , то это неравенство равносильно неравенству | w | 4 .
Легко видеть, что это отображение области g на область G однозначное, но не
2
2
взаимно-однозначное, так как z w и ( z ) w для точек z и z , лежащих внутри
круга z .
2
Пример 2. Из примера 1 ч следует, что каждой точке w , лежащей внутри круга G ,
соответствуют две точки z и z , лежащие внутри круга g , симметричные относительно
начала координат. Следовательно, функция
z w , осуществляющая отображение
множества G на множество g , обратная к функции w f ( z ) , многозначна (двузначна).
Пример 3. Аналогично можно показать, что функция w
n
z - многозначная функция.
Введём определения основных трансцендентных функций комплексной переменной.
Очевидно, когда показатель степени является комплексным числом, определение степени
a z , вводимое в алгебре, теряет смысл. Принимая во внимание известные для
x
действительных значений x разложения функций e , sin x, cos x в степенной ряд,
положим по определению:
z z 2 z3
zn
(3);
e 1 ... ...
1! 2! 3!
n!
z z3 z5
z 2 n1
n
sin z ... (1)
...
(4);
1! 3! 5!
(2n 1)!
2n
z2 z4 z6
n z
cos z 1 ... (1)
... . (5)
2! 4! 6!
(2n)!
z
Ряды, стоящие в правых частях этих равенств, сходятся, причём абсолютно, при любом
комплексном значении z .
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Дайте определение окрестности точки z
радиуса .
2) Какая функция комплексной переменной называется непрерывной в точке z 0 ?
3) Почему ряды, стоящие в правых частях равенств, указанных выше, сходятся абсолютно?
4) Поясните, почему функция w
4
z многозначная.
Литература
Основная:
1.
Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций . М.: Высшая
школа, 2002._ С.21-28;
2. Евграфов М.А. Аналитические функции. – М.: Наука, 2005. – С.93-103.
3. Текст лекции № 17.
Лекции № 19
Тема лекции: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Их виды.
План:
1) Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
2) Дифференциальные уравнений 1 порядка, их виды.
3) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
4) Однородные дифференциальные уравнения 2 порядка и метод их интегрирования.
5) Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка, их общее решение.
основные понятия и положения.
Понятие дифференциального уравнения. Порядок и степень ОДУ. Обыкновенные
дифференциальные уравнения (ОДУ) и уравнения в частных производных. Решение
дифференциального уравнения, общие, частные и особые решения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие ОДУ I
порядка, уравнения,
разрешённые и неразрешённые относительно производной.
Геометрический смысл ОДУ I порядка. Интегральные кривые. Поле направлений.
Начальные условия. Частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Теорема существования и единственности решения для дифференциального уравнения
первого порядка.
Виды ОДУ I порядка, их интегрирование. Уравнения с разделяющимися
переменными, способ их решения. Однородные уравнения, метод подстановки для их
интегрирования, примеры. Линейные уравнения I порядка, нахождение их общего решения,
примеры.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Какой геометрический смысл имеет решение ОДУ 1 порядка? Сделайте схематический
чертёж.
2) Какая кривая называется интегральной кривой?
3) Приведите пример дифференциального уравнения 2 порядка 3 степени; 3 порядка 2
степени.
4) Приведите пример линейного уравнения второго порядка.
5) Будет ли функция f ( x) x 2 y однородной? Почему?
6) Приведите пример однородной функции нулевого порядка и неоднородной функции.
7) Дано общее решение некоторого дифференциального уравнения 1 порядка:
y x 2 Cx и начальные условия y(1) 0 . Найдите частное решение, удовлетворяющее
заданным начальным условиям.
8) Дано общее решение некоторого дифференциального уравнения 2 порядка:
y ln x C1 x C2 и начальные условия y(1) 0 , y '(1) 0 . Найдите частное решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям.
9) Сколько произвольных постоянных содержит общее решение уравнения 2 порядка? 2
порядка? 5 порядка? Почему?
Литература
Основная:
1.
Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.130-136.
2.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. II семестр:
Экспресс –курс. – М.: Новое знание, 2003. – С. 37-42
3.Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть II). – С. 44-52.
Дополнительная:
4.
Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. – 416-431.
5.
Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Крамера. – М.: Банки и биржи;
ЮНИТИ, 1997. – С. 319-333.
Лекция № 20
Тема лекции: Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка
с постоянными коэффициентами.
План:
1) Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
основные понятия и положения.
Уравнения высших порядков, основные
понижение порядка, их виды:
а) уравнения вида у
(n)
понятия.
Уравнения,
допускающие
f ( x) ;
б) уравнения, не содержащие в своей записи искомой функции y ;
в) уравнения, не содержащие в своей записи переменной x .
Методы и примеры интегрирования уравнений такого вида.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, однородные:
y " p1 ( x) y ' p2 ( x) y 0 ,
и неоднородные
y " p1 ( x) y ' p2 ( x) y f ( x) ,
их решения, общее решение, начальные условия. Линейно независимые решения. Теоремы о
решениях линейного неоднородного уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами, однородные:
y " p y ' q y 0
( p, q const ) ,
y " p y ' q y f ( x)
и неоднородные
( p, q const ) .
Характеристическое уравнение
k pk q 0 . Общее решение однородного
линейного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Способы
нахождения
частных
решений
неоднородного
линейного
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (метод
неопределенных коэффициентов).
Алгоритм
нахождения
общего
решения
неоднородного
линейного
дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами:
1) Записать для уравнения y " p y ' q y f ( x) характеристическое уравнение
2
k 2 pk q 0 и найти его корни.
2) Записать общее решение линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами:
а) если D 0 , то yоб . C1e 1 C2e
kx
k2 x
;
б) если D 0 , то yоб . C1e xC2e ;
kx
kx
в) если D 0 , то yоб . e (C1 cos x C2 sin x) , где k1,2 i .
x
3) Подобрать по таблице соответствующий вид частного решения с неопределёнными
коэффициентами и найти коэффициенты.
4) Записать общее решение неоднородного линейного ДУ в виде
Yоб . неод. yоб . одн. yчаст. неод.
ТАБЛИЦА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ НЛДУ
Правая часть
неоднородного
линейного ДУ
f ( x) Pn ( x)
Корни
характеристического
уравнения
0 - не корень
характеристического
уравнения
0
корень
характеристического
уравнения
кратности
Вид частного решения
yч. Qn ( x)
yч. x d Qn ( x)
d
f ( x) Pn ( x)e x
- не корень
характеристического
уравнения
- корень
характеристического
уравнения
кратности
yч. Qn ( x) e x
yч. x d Qn ( x) e x
d
f ( x) e x ( Pn ( x)cos x i - не корень
Qm ( x)sin x)
характеристического
уравнения
yч. e x Rs ( x)cos x Ts ( x)sin x
s max(n; m)
характеристического
уравнения
кратности
yч. x d e x Rs ( x)cos x Ts ( x)sin x
s max(n; m)
i - корень
d
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Приведите пример однородного и неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами.
2) Назовите вид характеристического уравнения для ЛОДУ y " 3 y ' 2 y 0 . Как
запишется его общее решение? Ответ пояснить.
2x
3) Как запишется частное решение ЛДУ, если его правая часть такова f ( x) e cos3x ?
4) Как запишется частное решение ЛДУ, если его правая часть f ( x) e ( x 1)cos x ?
Имеется слад таблицы: файл «Дифференциальные уравнения».
5x
2
Литература
Основная:
1.
Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.136-144.
2.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. II семестр:
Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2003. – С.42-51.
3. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть II). – С. 57-64.
Дополнительная:
4. Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. –С. 443-449.
6.
Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Крамера. – М.: Банки и биржи;
ЮНИТИ, 1997. – С. 333-342..
Лекция № 21
Тема лекции: Элементы функционального анализа.
Коллоквиум.
План:
1. Метрические пространства.
2. Линейные нормированные пространства.
Вопросы для обсуждения.
1. Эквивалентные множества, понятие мощности множества, примеры множеств, из
записи и изображения.
2. Основные теоремы о мощности числовых множеств, примеры счётных и несчётных
множеств.
3. Теоремы о счётных множествах, примеры.
4. Теоремы о множествах мощности континуума, примеры.
5. Понятие метрического пространства, метрики. Примеры метрических пространств.
6. Понятие предельной точки множества. Открытые и замкнутые множества, п римеры.
7. Теорема об объединении замкнутых множеств, пример.
8. Теорема о дополнении замкнутого множества, пример.
9. Теорема об объединении открытых множеств, пример.
10. Полнота метрических пространств, примеры.
11. Понятие линейного нормированного пространства, примеры.
12. Понятие линейного функционала, примеры.
ЛИТЕРАТУРА:
2) Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. – М.:
Наука, 1998.
3) Макаров И.П. Дополнительные
Просвещение, 1998.
Лекция № 22
главы
математического
анализа.
–
М=:
Тема лекции: Элементы теории множеств.
План:
1) Основные понятия теории множеств (множество, элемент множества, подмножество).
2) Равенство множеств. Взаимно однозначное соответствие между элементами множеств.
Мощность множества.
3) Операции над множествами, их свойства.
4) Элементы комбинаторики.
основные понятия и положения.
Понятие множества как основное неопределяемое понятие. Предмет теории
множеств. Способы задания множеств и изображения. Подмножество множества, примеры
множеств и подмножеств.
Равные и неравные множества. Понятие взаимно однозначного соответствия
множеств. Эквивалентные множества, понятие мощности множества, сравнение мощностей
множеств.
Операции над множествами: объединение множеств, пересечение, разность,
дополнение подмножества до множества, декартово произведение множеств.
Элементы комбинаторики: кортежи и множества. Основные правила комбинаторики.
Перестановки из m элементов с повторениями и без повторений. Размещения из m по k
элементов с повторениями и без повторений. Сочетания из m по k элементов с
повторениями и без повторений, основные свойства числа сочетаний.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Как изобразить кругами Эйлера множества A (3;5] и B {x | x , 2 x 4} ?
Почему так?
2) Каким множеством (конечным или бесконечным) является множество вида
A {x | x , 5 x 0} ? Почему? Можно ли перечислить все его элементы?
3) Каким множеством (конечным или бесконечным) является множество вида
A {x | x , 5 x 0} ? Можно ли перечислить все его элементы?
4) Верно ли утверждение: A B B A ? Поясните ответ.
5)
Сколько
элементов
будет
в
декартовом
произведении
множеств
A B {(a; b) | a {1;2;4}; b [2;3)} ?
Имеются слайды для лекции: файл «Множества».
Литература
Основная:
1. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – М.: ИНФРА-Ь, 2002. – С. 22-42.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть III). – С. 4-12.
Дополнительная:
4. Щипачев B.C. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1985. –С. 10-11.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 8».
Лекция № 23
Тема лекции: Случайные события, операции над ними.
План:
1) Из истории теории вероятностей.
2) Случайные события. Операции над случайными событиями.
3) Классический подход к понятию вероятности случайного события.
4) Свойства вероятности случайного события. Вероятность суммы случайных событий.
основные понятия и положения.
Из истории возникновения и становления теории вероятностей. Роль теории
вероятностей в развитии других разделов математики.
Понятия элементарного события, множества элементарных событий, случайного
события. Достоверные, невозможные и случайные события, примеры. Случайные события,
их задание, изображение. Связь алгебры случайных событий с алгеброй множеств.
Операции над случайными событиями, их геометрическая интерпретация. Свойства
операций над случайными событиями. Несовместные и совместные события,
противоположные события, примеры.
Понятие схемы случаев, примеры. Классический подход к понятию вероятности,
свойства вероятности случайных событий, её нахождение. Основные теоремы о
вероятности суммы совместных и несовместных событий.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Приведите примеры достоверных, невозможных и случайных событий.
2) Как изобразить кругами Эйлера два события: А - «Петя – экстраверт», В - «Петя – сан3
3) Как изобразить кругами Эйлера два события: А - «Петя – спортсмен», В - «Петя –
отличник». Ответ пояснить.
4) Приведите пример совместных и случайных несовместных событий.
5) Какова вероятность события А: «появление чётного числа на игральной кости» при одном
броске?
6) Приведите пример такого случайного события, вероятность появления которого была бы
равна 0,5.
7) Чему равна вероятность появления «девятки» при вытаскивании одной карты из колоды в
36 карт?
Имеются слайды для лекции: файл «Элементы ТВ».
Литература
Основная:
1. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.149-160.
2. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. II семестр:
Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2003. – С.7-13.
3. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть III). – С. 13-17.
Дополнительная:
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая
школа, 1997. – С.17-35.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 8».
Лекция № 24
Тема лекции: Условная вероятность.
План:
1) Условная вероятность события. Теорема произведения вероятностей.
2) Формула полной вероятности
3) Формула Байеса.
4) Примеры решения вероятностных задач.
основные понятия и положения.
Зависимые события. Понятие условной вероятности:
P( A / B)
P( A B)
P( A B)
, P( B / A)
P( B)
P( A)
Понятие независимого события. Нахождение вероятности произведения двух
зависимых и независимых событий:
Теорема. Вероятность произведения двух случайных событий равна произведению
вероятности одного из них на условную вероятность другого события:
P( A B) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B) .
Замечания.
1) Теорема умножения может быть распространена на любое конечное число
случайных событий. Например, для 3 случайных событий выполняется
P( A B C) P( A) P( B / A) P(C / A B) .
2) Если события A и B независимы, то условная вероятность каждого из них
равна вероятности этого события: P( A / B) P( A) и P( B / A) P( B) .
3) Теорема произведения для независимых событий запишется:
P( A B) P( A) P( B) .
4) Если события A1 , A2 ,..., Ak - совокупность независимых событий, то для их
вероятностей выполняется условие:
P( A1 A2 ... Ak ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( Ak ) .
Понятие полной вероятности случайного события. Формула полной вероятности
случайного события:
Пусть H1 , H 2 , H 3 ,..., H n - полная группа попарно несовместных событий, A интересующее нас случайное событие, которое может совместно произойти с каждым из
этих событий, причём только с одним. Значит, для события A выполняется равенство
A A H1 A H 2 A H 3 ... A H n .
Так как все слагаемые – несовместные события. То по теореме о сумме вероятностей имеем
P( A) P( A H1 ) P( A H 2 ) P( A H 3 ) ... P( A H n ) . Но по теореме
умножения
вероятностей
для
любого
P( A H i ) P( H i ) P( A / H i ) . Заменяя
произведения их значениями, получим
1 i n
в
выполняется
предыдущем равенстве
равенство
вероятности
P( A) P( H1 ) P( A / H1 ) P( H 2 ) P( A / H 2 ) P( H 3 ) P( A / H 3 ) ... P( H n ) P( A / H n ).
Формула Байеса: если в предыдущих условиях событие A уже произошло, и
необходимо узнать, вероятность того, что оно случилось из-за k - той гипотезы, то
применяют формулу Байеса:
P( H k / A)
P( H k ) P( A / H k )
P( H k ) P( A / H k )
.
P( H1 ) P( A / H1 ) P( H 2 ) P( A / H 2 ) ... P( H n ) P( A / H n )
P( A)
Применение формулы Байеса для пересчёта влияния гипотез на случайное событие
(байесовский подход).
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Имеются 2 урны с шарами, в каждой из них есть чёрные и белые шары. Из первой урны во
вторую переложили шар. Каким он может быть? Сколько существует гипотез?
2) Есть две колоды карт по 36 карт. Из одной колоды в другую переложили одну карту.
Какая это карта по масти?
3) Сколько может быть гипотез в предыдущем случае? Равновозможны ли они? Какова
вероятность каждой гипотезы?
4) На 3 полках стоят книги по математике, среди которых имеются книги по теории
вероятностей. На верхней полке 5 книг, из них 3- по ТВ; на средней полке 10 книг, из них 5 –
по ТВ; на нижней полке 2- по ТВ и 3 – по другим разделам математики. С нижней полки вы
достаёте книги в 2 раза чаще, чем с остальных, а со средней и верхней – с одинаковой
частотой. Вы выбрали наугад полку и книгу.
а) Какова вероятность, что это книга по ТВ?
б) Выбранная книга оказалась по ТВ. Какова вероятность, что вы её взяли со 2 полки?
Решение: а) Пусть событие A - искомое. По условию задачи возможны 3 гипотезы: H 1 выбрана верхняя, H 2 - средняя, H 3 - нижняя полка. Тогда вероятности гипотез таковы:
1
P( H 3 ) . На первой полке книгу по ТВ можно выбрать с
2
3
5
2
вероятностью P( A / H1 ) , на второй - P( A / H 2 )
, на третьей - P( A / H 3 ) .
5
10
5
Таким образом, полная вероятность события A найдется по формуле полной вероятности
1 3 1 5 1 2 19
.
P( A)
4 5 4 10 2 5 40
P( H 2 ) P( A / H 2 ) 14 53 6
б) P( H 2 / A)
19 .
P( A)
19
40
P( H1 ) P( H 2 )
1
и
4
Имеется слайд для решения задачи: файл «Условная вероятность».
Литература
Основная:
1.
Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.159-165.
2.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. II семестр:
Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2003. – С.14-19.
3. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть III). – С. 17-18.
Дополнительная:
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая
школа, 1997. – С.37-47.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 8».
Лекция № 25.
Тема лекции: Повторные испытания.
Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона.
План:
1) Повторные события. Схема Бернулли.
2) Локальная теорема Муавра-Лапласа, её применение.
3) Теорема Пуассона для нахождения вероятности редких событий.
4) Интегральная теорема Лапласа.
основные понятия и положения.
Независимые повторные испытания. Понятие о схеме Бернулли для повторных
случайных событий. Формула Бернулли для нахождения вероятности появления искомого
события m раз в n независимых испытаниях:
P( B) Pn (m) Cnm p m q nm ,
где p - вероятность «успеха», q 1 p - вероятность «неуспеха».
Формула Бернулли для нахождения вероятности появления искомого события от m1
до m2 раз в n независимых испытаниях:
Pn (m1 A m2 )
m2
C
mm1
m
n
p m q n m .
Рекомендации по применению схемы Бернулли ( n - невелико, np 10 ).
Локальная теорема Муавра-Лапласа:
Если вероятность наступления события A в каждом из n независимых испытаний равна
p , где 0 p 1 , а число испытаний n достаточно велико и np 10 , то вероятность
Pn ( m) того, что в n независимых испытаниях событие A наступит ровно m раз,
приближённо равна
Pn (m)
m np
1
1
f (u )
f
,
npq
npq npq
где значение функции f (u ) находится по таблицам.
Понятие редкого события. Формула Пуассона для вычисления вероятности редких
событий при независимых повторных испытаниях:
Pn (m)
m e
m!
, np .
Интегральная теорема Лапласа:
Если производится большое число независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность наступления случайного события A постоянна и равна p , то вероятность
того, что число m появления события A удовлетворяет неравенству:
Pn (a m b)
где
1
Ф( ) Ф( ) ,
2
и находятся из условий: np npq m np npq , а значения функции
Ф( x) - из таблиц.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Как найти вероятность того, что при 5 бросках монеты «решка» выпадет ровно 4 раза?
Какой формулой нужно воспользоваться? Почему?
2) Монету бросили 100 раз. Какую формулу нужно применить для вычисления вероятности,
что ровно 40 раз выпадет «герб»? Поясните выбор.
3) В контейнере 500 деталей, среди которых 0,5% бракованных. Какой теоремой можно
воспользоваться для нахождения вероятности того, что наудачу выбранная деталь –
бракованная?
4) В партии 1000 холодильников. Вероятность изготовления некачественного холодильника
равна 0,05. Какой теоремой воспользоваться, чтобы найти вероятность того, что в партии
окажется от 980 до 995 качественных холодильников?
Литература
Основная:
1. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. II семестр:
Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2003. – С.20-26.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть III). – С. 19-26.
Дополнительная:
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая
школа, 1997. – С.55-60
5. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – М.: ИГФРА-Ь, 2002. – С. 317-323.
4. Методические рекомендации «Математика. Глава 8».
Лекции № 26-27
Тема лекции: Случайные величины и их числовые
характеристики.
План:
1) Случайные величины, их классификация.
2) Дискретные случайные величины, примеры ДСВ.
3) Характеристики ДСВ.
4) Непрерывные случайные величины, и способы их задания.
5) Основные характеристики непрерывных случайных величин.
основные понятия и положения.
Случайные величины (дискретные и непрерывные). Закон распределения и функция
распределения случайной величины.
Дискретная случайная величина(ДСВ), свойства её функции распределения. Способы
задания ДСВ (табличный, графический, функцией распределения). График функции
распределения ДСВ, примеры.
Числовые характеристики ДСВ (математическое
ожидание и дисперсия), их вычисление.
Непрерывные случайные величины (НСВ). Интегральная функция НСВ, её свойства,
примеры. Дифференциальная функция (плотность) распределения случайной величины, её
свойства. Числовые характеристики НСВ, примеры их вычисления.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Вероятность какого события является значением функции распределения?
2) Каким множеством является множество значений дискретной случайной величины?
3) Приведите пример ДСВ.
4) Каким множеством является множество значений непрерывной случайной величины?
5) Приведите пример НСВ.
6) Какие арифметические операции можно производить над случайными величинами?
7) Какая характеристика СВ даёт представление о её средних значениях?
8) Какая характеристика СВ помогает оценить степень рассеивания этой величины?
9) Чему равны наименьшее и наибольшее значения функции распределения СВ?
10) Как связаны функция распределения и плотность распределения непрерывной СВ?
Литература
Основная:
1. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
– СПб: Специальная
литература, 1999. – С.166-176.
2. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. 3 семестр: Экспресскурс. – М.: Новое знание, 2002. – С. 26-35.
3. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2004, (Часть III). – С. 44-47.
4. Гмурман В.Г. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,
1997. – С.64-65; 75-78; 85-90; 111-120..
Дополнительная:
5. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – М.: Инфра, 2002. – С.324-365.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. – М.: Высшая школа, 1998. – С. 52-105.
7. Методические рекомендации «Математика. Глава 9».
Лекция № 28
Тема лекции: Виды распределений случайных величин.
План:
1) Основные виды распределений ДСВ, их свойства.
2) Основные виды распределений НСВ, их свойства.
3) Нормальное и стандартное нормальное распределение НСВ.
основные понятия и положения.
Примеры распределений дискретной случайной величины и их числовые
характеристики:
а) биномиальное распределение ДСВ:
Опр. Распределение
называется биномиальным (распределением Бернулли), если
дискретная случайная величина X - число успехов при n независимых испытаниях,
имеет распределение
pm P( X m) Cnm p m q nm ,
где p - вероятность «успеха», q 1 p - вероятность «неуспеха» в каждом испытании.
Математическое ожидание и дисперсия ДСВ X находятся по формулам:
M ( X ) np , D( X ) npq .
б) распределение Пуассона:
Опр. Говорят, что ДСВ X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые
значения m 0,1,2,... с вероятностями
где
e m
,
pm P( X m)
m!
0
m 0
m 0
pm e
-
m
m!
параметр
распределения.
e e 1 . Значения
При
этом
выполняется,
что
pm приводятся в таблицах распределения
Пуассона.
Математическое ожидание и дисперсия ДСВ X находятся по формулам:
M ( X ) , D( X ) .
Основные примеры распределений непрерывной случайной величины, их числовые
характеристики:
а) равномерное распределение:
Опр. Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределённой
на отрезке [a; b] , если плотность p( x) её распределения постоянна на этом отрезке и
равна нулю вне его:
1
, x [a; b]
f ( x) b a
.
0, x [a; b]
Функция распределения НСВ, распределённой по равномерному закону распределения
имеет вид:
xa
0,
xa
F ( x)
, a xb .
b
a
xb
1
Математическое ожидание и дисперсия НСВ, распределённой равномерно на
находятся по формулам:
[a; b] ,
ab
(b a ) 2
M ( x)
, D( x)
.
2
12
б) показательное (экспоненциальное) распределение:
Опр. Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение с
параметром , если её плотность вероятности имеет вид:
e x , x 0
f ( x)
, где 0 .
0,
x
0
Функция распределения НСВ, распределённой по показательному закону распределения
имеет вид:
1 e x , x 0
F ( x)
.
0,
x
0
Математическое ожидание и дисперсия НСВ, распределённой по показательному закону,
находятся по формулам:
M ( x)
1
, D( x)
1
2
.
в) нормальное распределение:
Опр. Нормальным (гауссовым) распределением НСВ называется распределение, которое
описывается плотностью
(при этом
f ( x)
1
2
e
( x a )2
2 2
и a - параметры нормального распределения).
График плотности нормального распределения называют «палаткой Эйлера» (см. рис.).
Если положить 1 и a 0 , то получится стандартное нормальное распределение:
Опр.
Стандартное
нормальное
распределение
НСВ
–
распределение,
которое
2
описывается плотностью
x
1
f ( x)
e 2
2
.
График плотности стандартного нормального распределения изображён на рис.4. В
математике доказывается, что график плотности любого нормального распределения может
быть сведён к графику стандартного нормального распределения двумя операциями: сдвигом
по оси Ox на | a | единиц и растяжением (сжатием) относительно оси Oy в раз.
y
y
O
1.
2.
D( f )
O
x
a
Свойства нормального распределения:
;
1
E( f ) 0 :
;
2
3. График нормального распределения симметричен относительно прямой
4. В точке x a имеется максимум
f max
1
2
5. Площадь фигуры, ограниченной осью
распределения, равна 1.
6. «Правило 3 сигм»:
на промежутке (a 3 ; a 3 ) находится
на промежутке
на промежутке
x
Ox
x a;
;
и графиком плотности нормального
67% всех значений распределения;
(a 2 ; a 2 ) находится 95,7% всех значений распределения;
(a ; a ) находится 99,7% всех значений распределения;
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Назовите параметры биномиального распределения.
2) Какие значения может принимать пуассоновски распределённая случайная величина?
3) Объясните смысл параметра в распределении Пуассона. Какие значения он может
принимать?
4) Математическое ожидание ДСВ, распределённой по закону Пуассона, равно M ( x)
1
.
2
Чему равна его дисперсия? Почему?
5) Задана НСВ, распределённая равномерно на [2;4] . Чему равна D ( x) и M ( x) ? Почему?
6) Задано нормально распределённая величина X функцией распределения
1
f ( x)
e
0,3 2
( x 1)2
0,18
.
Чему равны параметры нормального распределения a и ?
7) Как влияют параметры нормального распределения a и на форму графика плотности
нормального распределения? Ответ поясните графически.
Имеются слайды для лекции: файл «Распределения СВ».
Литература
Основная:
1.
Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В.
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей.
- СПб: Специальная
литература, 1999. – С.172-184.
2.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. II семестр:
Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2003. – С.36-45.
3. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2003, (Часть III). – С. 34-36.
Дополнительная:
4. Гмурман В.Г. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,
1997. – С.124-130; 149-150.
5. Методические рекомендации «Математика. Глава 8».
Лекции № 29-30
Тема лекции: Математическая статистика.
Методы обработки данных эксперимента.
План:
1) Основные понятия математической статистики.
2) Выборочные аналоги интегральной функции и функции распределения.
3) Характеристики вариационных рядов.
4) Статистические графики выборочных распределений.
5) Интервальные оценки числовых характеристик СВ.
основные понятия и положения.
Элементы математической статистики. Основные понятия математической
статистики. Генеральная совокупность и выборка, Репрезентативность выборки.
Погрешность репрезентативности. Способы задания выборки. Частота и частность
появления признака.
Выборочные аналоги интегральной функции и функции
распределения, связь теоретической и эмпирической функций распределения случайной
величины.
Статистические характеристики вариационных рядов (выборочное среднее, дисперсия
и среднее квадратическое отклонение), их свойства. Точечные оценки числовых
характеристик случайной величины, их свойства (состоятельность, эффективность,
несмещённость).
Статистические графики выборочных распределений: гистограммы, полигоны и
кумулянты частот (частностей). Примеры построения графиков:
x
гистограмма
x
полигон
Интервальные оценки числовых характеристик случайной величины. Доверительные
интервалы для генеральной средней и генеральной дисперсии.
проблемы для обсуждения и вопросы для самоконтроля.
1) Какие способы задания выборки вы можете указать?
2) Влияет ли способ задания выборочных значений на вид графиков (гистограммы, полигона
и кумулянты) и способы его построения? Ответ поясните.
3) Какая оценка математического ожидания СВ является несмещённой? Эффективной?
состоятельной?
4) Укажите состоятельную оценку дисперсии СВ. Является ли она одновременно
несмещённой оценкой генеральной дисперсии?
5) Сформулируйте нулевую и альтернативную статистические гипотезы. Являются они
направленными или ненаправленными? Почему?
Имеются слайды для лекции: файл «Графики».
Литература
Основная:
1. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. 3 семестр: Экспресскурс. – М.: Новое знание, 2002. – С. 60-97.
2. Локоть Н.В.
Математика.
Учебно-методическое пособие для студентов
гуманитарных факультетов МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2004, (Часть III). – С. 44-61.
3. Гмурман В.Г. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,
1997. – С.187-217.
Дополнительная:
5. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – М.: Инфра, 2002. – С.386-401; 418-424.
6. Методические рекомендации «Математика. Глава 9».
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глоссарий).
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ.
МАТРИЦЫ.
Алгебраическое дополнение Aij элемента
aij квадратной матрицы A aij
i j
M ij .
взятый со знаком ( 1)i j , то есть Aij 1
Вырожденная матрица – такая матрица, у которой определитель равен нулю
- это минор,
Диагональные элементы квадратной матрицы – те элементы, у которых номер столбца
равен номеру строки.
Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, кроме
диагональных, равны нулю.
Единичная матрица – диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны
единице. Обозначение:
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
.
E
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
Квадратная матрица – матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов.
Обозначение: An n или А.
Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Обозначение:
a11 a12 a13 ... a1n
a
a22 a23 ... a2 n
, или А, или A aij , i 1, 2, 3,..., m; j 1, 2, 3,..., m.
Am n 21
...
...
... ... ...
am1 am 2 am 3 ... amn
Матрица-столбец – матрица, которая состоит из одного столбца.
Обозначение: Am 1 .
Матрица-строка – матрица, которая состоит из одной строки.
Обозначение: A1 n .
Минор порядка k матрицы A - это определитель квадратной матрицы, полученный из
матрицы A вычёркиванием каких-либо её строк и столбцов.
Минор M ij элемента
aij квадратной матрицы A aij
n -го порядка – это определитель
матрицы ( n 1) -го порядка, полученный из определителя матрицы вычёркиванием i -ой
строки и j -го столбца.
Невырожденная матрица – такая матрица, у которой определитель не равен нулю.
1
Обратная матрица для квадратной матрицы A - это матрица A такая, что для ни х
1
1
выполняется условие A A A A E .
Определитель квадратной матрицы A - число A , которое находится по правилу:
а) для матрицы первого порядка A11 a11 определитель A a11 ;
a
б) для матрицы A2 2 11
a21
a11
в) для матрицы A33 a21
a
31
a11 a12 a13
A a21 a22
a31 a32
a12
a22
a12
a22
a32
определитель A
a11
a12
a21 a22
a11 a22 a21 a12 ;
a13
a23 определитель
a33
a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a21a32 a13 a13a22 a31 a12 a21a33 a32 a23a11 .
a33
Произведением матрицы А на число k называется матрица B k A , элементы которой
bij k aij , где i 1, 2, 3,..., m; j 1, 2, 3,..., n.
Произведением матрицы Am n на матрицу Bn k называется матрица, каждый элемент
которой равен сумме произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие
элементы j -го столбца матрицы В.
Ранг матрицы – это число, равное наибольшему порядку отличных от нуля миноров этой
матрицы.
Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C=A+B,
элементы которой
cij aij bij ,
где
i 1, 2, 3,..., m; j 1, 2, 3,..., n.
Транспонирование матрицы – переход от матрицы A к матрице AT , у которой строки и
столбцы поменялись местами.
Эквивалентная матрица – это матрица, полученная из данной матрицы элементарными
преобразованиями.
Элементарные преобразования строк матрицы - это следующие преобразования:
а) отбрасывание нулевой строки,
б) умножение элементов какой-либо строки на число, не равное нулю;
в) перестановка строк местами;
г) прибавление к каждому элементу какой-либо строки соответствующих элементов
другой строки, умноженной на некоторое число.
Элементы главной диагонали квадратной матрицы – элементы a11 , a22 , a33 ,..., ann .
Элементы матрицы – числа, составляющие матрицу.
Обозначение:
aij , где i - номер строки,
j - номер столбца.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Матричная форма записи системы (1) – это запись её в виде A X B , где
a11 a12 a13 ... a1n
x1
a
x
a22 a23 ... a2 n
21
- матрица системы, X 2 - матрица-столбец переменных,
A
...
...
... ... ...
am1 am 2 am3 ... amn
xn
b1
b
B 2 - матрица-столбец свободных членов.
bm
Неоднородная система – такая система линейных уравнений, у которой хотя бы один из
свободных членов системы (1) не равен нулю.
Неопределённая система уравнений – это система, имеющая более одного решения.
Несовместная система – система, не имеющая решений.
Однородная система – такая система линейных уравнений, у которой все свободные члены
системы (1) равны нулю.
Определённая система уравнений – это система, имеющая единственное решение.
Равносильные или эквивалентные системы уравнений – это системы, имеющие одно и то
же множество решений.
Решение системы (1) – такая совокупность n чисел, при подстановке которых вместо
неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество.
Система m линейных уравнений с n неизвестными x1 , x2 , x3 ,..., xn
- это система вида
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1
a x a x a x ... a x b
21 1
22 2
23 3
2n n
2
(1) ,
.........................................................
am1 x1 am 2 x2 am3 x3 ... amn xn bm
где числа a11 , a12 ,...a1n ,..., amn - коэффициенты при неизвестных, а числа b1 , b2 , b3 ,..., bm свободные члены уравнений.
Совместная система – система, имеющая хотя бы одно решение.
ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
ВЕКТОРЫ.
Вектор – это направленный отрезок. Обозначение: a или AB
Векторное произведение [a b ] двух векторов a и b - это вектор, удовлетворяющий
условиям:
1) | [a b ] | a b sin( a ; b ) ; 2) [a b ] a и [a b ] b ;3) a , b , [a b ] - правая .
Длина вектора AB - число, равное длине отрезка [ AB ] .
Коллинеарные вектора – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.
Обозначение: a b .
Координаты вектора a на плоскости - это числа x и y такие, что a x i y j .
Обозначение: a ( x; y ) .
a в пространстве - это числа
Координаты вектора
x , y , z такие, что
Обозначение: a ( x; y; z ) .
a xi y j zk .
Нулевой вектор – это вектор, у которого начало вектора совпадает с концом вектора.
Обозначение: AA 0 .
Орты – это три взаимно перпендикулярных друг другу вектора, имеющие длину, равную
единице.
Обозначение: i , j , k ; i j k 1 .
Правая тройка – это такая упорядоченная тройка некомпланарных векторов a , b , c , в
которой кратчайший поворот от 1-го вектора ко 2-ому совершается против часовой стрелки;
левая – если по часовой стрелке.
Произведение вектора a на число - это вектор, длина которого равна a , а
направление совпадает с вектором a , если 0 , противоположно вектору a , если 0 .
Разность векторов AB и AC - вектор CB , имеющий начало в точке С и конец в точке В.
Скалярное произведение (a b ) вектора a
на вектор b - это число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: ( a b ) a b cos( a ; b ) .
Смешанное произведение (a b c ) трёх векторов a , b и c - это скалярное
произведение вектора a на векторное произведение векторов [b c ] .
Обозначение: (a b c ) (a [b c ]) .
Сумма векторов AB и BC - вектор AC , имеющий начало в точке А и конец в точке С.
AM
Точка М делит отрезок АВ в отношении , если
.
MB
Упорядоченная тройка векторов – такая, в которой указано, какой вектор первый, какой –
второй, какой – третий.
c
c
левая
a
правая
b
b
a
ПРЯМАЯ.
Канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
x x0 y y0 z z0
параллельно вектору a (m; n; p) 0 :
.
m
n
p
Направляющий вектор прямой – вектор, параллельный прямой (например, вектор
a (m; n; p ) ).
Нормальное уравнение прямой на плоскости: x cos y sin p 0 (где p - длина
перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, - угол, который этот
перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ox ).
Общее уравнение прямой на плоскости: Ax By C 0 ( A2 B2 0 ).
A x B1 y C1 z D1 0
Общие уравнения прямой в пространстве: 1
.
A2 x B2 y C2 z D2 0
x x0 mt
Параметрические уравнения прямой в пространстве: y y0 nt , где t - параметр.
z z pt
0
Угол между двумя прямыми в пространстве – это угол между их направляющими
векторами.
Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки M1 ( x1; y1; z1 ) и
x x1
y y1
z z1
.
M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) :
x2 x1 y2 y1 z2 z1
Уравнение прямой на плоскости с заданным угловым коэффициентом: y kx b .
Уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку, с заданным угловым
коэффициентом: y y0 k ( x x0 ) .
Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки M ( x1; y1 ) и
y y1
x x1
.
M ( x2 ; y2 ) :
y2 y1 x2 x1
ПЛОСКОСТЬ.
Вектор нормали плоскости – это любой вектор, перпендикулярный этой плоскости.
Общее уравнение плоскости: Ax By Cz D 0 (причём A2 B2 C 2 0 ).
y
Уравнение плоскости в отрезках: x z 1 (где a, b, c - абсцисса, ордината и
a b c
аппликата точек пересечения плоскостью осей координат).
Уравнение плоскости, проходящей через точку M ( x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно вектору
N ( A; B; C ) : A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 .
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, M1 ( x1; y1; z1 ), M 2 ( x2 ; y2 ; z2 )
x x1
y y1 z z1
и M 3 ( x3 ; y3 ; z3 ) : x2 x1 y2 y1 z2 z1 0 .
x3 x1 y3 y1 z3 z1
Угол между двумя плоскостями в пространстве – это угол между их векторами нормали.
ТЕМА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ.
ФУНКЦИЯ.
Асимптота кривой с бесконечной ветвью – прямая, расстояние от которой до точек кривой
стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат.
Бесконечно большая величина в точке x0 - это функция, предел которой равен
бесконечности в точке x0 .
Бесконечно малая величина в точке x0 - это функция, предел которой равен 0 в точке x0 .
Возрастающая функция – функция, у которой большему значению аргумента соответствует
большее значение функции, то есть x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) .
Выпуклая (вогнутая) на промежутке кривая – такая кривая, все точки которой лежат ниже
(выше) касательной кривой, проведённой в каждой тоске этого промежутка.
Дифференциал аргумента – это приращение аргумента: dx x .
Дифференциал функции f ( x ) - это произведение производной функции на дифференциал
аргумента: df f '( x ) dx .
Дифференцирование функции – вычисление её производной.
Дифференцируемая в точке функция – функция, которая имеет производную в этой точке;
дифференцируемая на промежутке функция – функция, которая имеет производную в
каждой точке этого промежутка.
Критические точки – точки из области определения функции, в которых производная
f '( x ) 0 , бесконечна или не существует.
Левый предел функции в точке. Число A называется левым пределом функции f ( x ) в
точке x0 , если для любого сколь угодно малого числа 0 найдётся такой число 0 , что
для всех x , удовлетворяющих неравенству x0 x x0 , выполняется неравенство
f ( x ) A .
Обозначения: f ( x ) A при x x0 0 или
lim
x x0 0
f ( x ) A .
Максимум (минимум) функции f ( x ) в точке x0 - это значение функции в точке x0
такое, для которого существует окрестность U ( x0 ) такая, что в каждой её точке выполняется
неравенство f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 )) .
Монотонная функция – возрастающая или убывающая, или невозрастающая, или
неубывающая функция.
Неубывающая функция – функция, у которой большему значению аргумента соответствует
не меньшее значение функции, то есть x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) .
Невозрастающая функция – функция, у которой большему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции, то есть x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) .
Непрерывная в точке x0 функция – это функция, у которой предел в точке x0 равен её
lim f ( x ) f ( x0 )
значению в этой точке:
x x0
Непрерывная на промежутке функция – функция, непрерывная в каждой точке этого
промежутка.
Нечётная функция – это функция f ( x ) , определённая на симметричном множестве X , для
любого элемента x X которой справедливо равенство f ( x ) f ( x ) .
Общего вида функция – это функция, которая не является ни чётной, ни нечётной.
Окрестность точки x0 радиуса 0 – любой интервал ( x0 ; x0 ) .
Отображение множества X в множество Y – это закон, по которому каждому элементу
x X соответствует единственный элемент y Y .
Обозначения: f : X Y или y f ( x ) .
Периодическая функция – функция, для которой существует число T 0 такое, что для
любого элемента x X справедливы условия а) если x T X , то и x T X ;
б) f ( x T ) f ( x T ) f ( x ) .
Правый предел функции в точке. Число A называется правым пределом функции f ( x )
в точке x0 , если для любого сколь угодно малого числа 0 найдётся такой число 0 ,
что для всех x , удовлетворяющих неравенству x0 x x0 , выполняется неравенство
f ( x ) A .
Обозначения: f ( x ) A при x x0 0 или
lim
x x0 0
f ( x ) A .
Предел функции в точке. Число A называется пределом функции f ( x ) в точке x0 , если
для любого сколь угодно малого числа 0 найдётся такой число 0 , что для всех x ,
удовлетворяющих неравенству 0 x x0 , выполняется неравенство f ( x) A .
Обозначения: f ( x ) A при x x0 или
lim f ( x ) A .
x x0
Предел функции на бесконечности. Число A называется пределом функции f ( x ) на
бесконечности, если для любого сколь угодно малого числа 0 найдётся такой число
M 0 , что для всех x , удовлетворяющих неравенству x M , выполняется неравенство
f ( x) A .
Обозначения: f ( x ) A при x или
lim f ( x) A .
x
Приращение аргумента – разность x x0 x .
Приращение функции – разность y y0 y .
Производная функции f ( x ) в точке x0 - предел отношения приращения функции к
приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
f ( x ) f ( x0 )
y
Обозначения: f '( x0 ) lim
или y '( x0 ) lim
.
x x0
x 0 x
x x0
Симметричное множество X – такое множество, для любого элемента x X которого
элемент x X .
Точка перегиба – точка графика функции, отделяющая промежутки выпуклости от
промежутков вогнутости.
Точка разрыва f ( x ) – точка x0 , в которой функция не является непрерывной, причём:
1) если в точке x0 существуют конечные односторонние пределы A , A и A A , то
точка x0 - точка разрыва I рода;
A A f ( x0 ) или функция в точке не
определена, то точка x0 - устранимая точка разрыва;
3) если в точке x0 хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен,
то точка x0 - точка разрыва II рода.
Убывающая функция – функция, у которой большему значению аргумента соответствует
меньшее значение функции, то есть x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) .
Чётная функция – это функция f ( x ) , определённая на симметричном множестве X , для
любого элемента x X которой справедливо равенство f ( x ) f ( x ) .
2) если в точке x0 выполняется
условие
Числовая функция y f ( x ) - это отображение f : X Y , в котором X и Y - числовые
множества.
Эквивалентные бесконечно малые - бесконечно малые функции, предел отношения
( x)
которых равен 1:
lim 1
1.
x x0 2 ( x )
Экстремумы функции – её максимумы и минимумы.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.
Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность – это последовательность, у
которой любой последующий её член не меньше (не больше) предыдущего.
Ограниченная последовательность – это последовательность, которая ограничена сверху и
снизу.
Ограниченная сверху (снизу) последовательность – это последовательность, для которой
существует число M (или m), что для любого её члена выполняется xn M ( xn m) .
Предел последовательности {xn } - число a , для которого выполняется, что для любого
сколь угодно малого числа 0 найдётся такой номер n0 N , что для всех элементов с
номерами n n0 выполняется неравенство xn a .
Обозначения: {xn } a при n или
lim xn a .
n
Сходящаяся последовательность – последовательность, имеющая конечный предел.
Числовая последовательность – это функция, определённая на множестве натуральных
чисел.
Обозначение: {an } или {xn } .
ТЕМА 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ.
n
Интегральная сумма для функции f ( x ) на [a; b] - сумма вида sn f (ci ) xi (*).
i 1
Неопределённый интеграл функции f ( x ) - это совокупность всех её первообразных.
f ( x)dx F '( x) C .
Обозначение:
Несобственные интегралы I рода (или с бесконечным пределом) – это интегралы вида
a
f ( x )dx lim
b
b
b
a
f ( x )dx ;
f ( x )dx lim
a
b
a
f ( x)dx ;
c
f ( x ) dx
f ( x) dx
f( x) dx
.
c
Несобственные интегралы II рода (или от разрывной функции) – это интегралы вида
b
b
a
a
f ( x )dx lim
0
f ( x )dx ;
b
b
a
a
f ( x )dx lim
0
f ( x )dx ;
b
c
b
a
a
c
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx ,
где с – точка разрыва функции.
Определённый интеграл функции f ( x ) на отрезке [a; b] - конечный предел интегральных
сумм вида (*), не зависящий от способа разбиения [a; b] на части и выбора точки ci , при
условии, что длина наибольшего из отрезков разбиения стремится к нулю:
b
a
n
f ( x )dx lim f ( ci ) xi .
0
i 1
Первообразная функции f ( x ) - это функция F ( x ) такая, что F '( x ) f ( x ) .
Пределы интегрирования - числа a и b ; a - нижний, b - верхний предел.
Подынтегральная функция - f ( x ) ; подынтегральное выражение - f ( x ) dx .
ТЕМА 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЯДОВ.
Абсолютно сходящийся ряд - ряд с членами произвольного знака, у которого ряд,
составленный из модулей его членов, сходится.
Гармонический ряд – ряд вида
n1
; (он расходящийся).
n 1
Знакопеременный ряд – числовой ряд с членами любого знака.
Знакочередующийся ряд – числовой ряд, у которого члены поочерёдно то
положительны, то отрицательны.
Интервал сходимости степенного ряда вида (1) – интервал ( R; R ) ; для ряда вида (2) –
интервал ( a R; a R ) .
Область сходимости степенного ряда – множество всех значений переменной x , при
подстановке которых полученный числовой ряд сходится.
Общий член числового ряда – член un .
Радиус сходимости степенного ряда – число R lim
n
cn
такое, что для всех x R
cn 1
степенной ряд сходится, при x R - расходится.
Расходящийся числовой ряд – ряд, сумма которого равна бесконечности или не
существует.
Ряд с положительными членами – ряд, у которого все члены положительные числа.
Степенной ряд – функциональный ряд вида (1):
cn x n
или
(2)
cn ( x a )n ,
n 0
n 0
где число a const , числа cn - коэффициенты степенного ряда.
Сумма числового ряда – конечный предел последовательности частичных сумм ряда
при условии, что n , т.е.
S lim Sn .
n
Сходящийся числовой ряд – ряд у которого есть конечная сумма.
Условно сходящийся ряд - ряд с членами произвольного знака, у которого ряд,
составленный из модулей его членов, расходится, а сам ряд – сходится.
Функциональный ряд – ряд, членами которого являются функции переменной x .
Обозначение:
fn ( x) .
n 1
Частичная
n -ая сумма числового ряда – сумма первых
Sn u1 u2 u3 ... un .
Числовой ряд – бесконечная последовательность чисел
знаком сложения.
n
его членов:
u1 , u2 , u3 ,..., un ,... , соединённых
Обозначения: u1 u2 u3 ... un ... или
n 1
n 1
un . un
ТЕМА 6. ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Дифференциальное уравнение – это уравнение, связывающее искомую функцию одной
или нескольких переменных, эти переменные и производные данной функции.
Дифференциальное уравнение I порядка – уравнение вида F ( x, y, y ') 0 .
ОДУ I порядка, разрешённое относительно производной - уравнение вида y ' f ( x, y ) .
Интегральная кривая - график решения дифференциального уравнения.
Интегрирование дифференциального уравнение – процесс нахождение его решений.
Линейное уравнение I порядка – уравнение, которое может быть записано в виде:
y ' p( x) y q( x) , где p ( x ) и q( x) - непрерывные функции.
Линейное дифференциальное уравнение II порядка (ЛДУ) – уравнение вида
y '' p1 ( x) y ' p2 ( x) y f ( x) .
Линейное дифференциальное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами уравнение вида y '' py ' qy f ( x) , где p и q - некоторые числа, f ( x) - функция
переменной x .
Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) – уравнение, связывающее функцию
y f ( x) одной переменной, саму переменную x и производные различных порядков
Обозначение: F ( x, y, y ', y '',... y ( n ) ) 0 .
y ', y '', y ''',... y ( n ) .
Общее решение ОДУ – такое решение y f ( x, c1 , c2 ,..., cn ) , которое является функцией от
переменной x и n произвольных постоянных c1 , c2 ,..., cn .
Общее решение ЛДУ II порядка – это решение, содержащее две произвольные постоянные:
y f ( x, c1, c2 ) .
Общее решение однородного ЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами имеет
следующий вид:
а) если D p 2 4q 0 и
характеристическое уравнение имеет два различных
действительных корня k1 k2 , то общее решение запишется Y C1ek1x C2ek2 x ;
б) если D p 2 4q 0 и характеристическое уравнение имеет два равных корня
k1 k2 k , то общее решение запишется Y C1ekx xC2ekx ;
в) если D p 2 4q 0 и
характеристическое уравнение имеет два различных
k1,2 i ,
комплексных
корня
то
общее
решение
запишется
x
Y e (C1 cos x C2 sin x) .
Однородная функции k -го порядка – это функция z f ( x, y ) , которая при подстановке
вместо x и y соответственно tx и ty , удовлетворяет равенству
f (tx, ty) t k f ( x, y) .
Однородная функция нулевого порядка – это функция z f ( x, y ) , которая при
подстановке вместо x и y соответственно tx и
ty , удовлетворяет равенству
f (tx, ty ) f ( x, y ) .
Однородное ЛДУ II порядка – уравнение вида y '' p1 ( x) y ' p2 ( x) y 0 .
Порядок ОДУ – наивысший порядок n производных, входящих в уравнение.
Решение дифференциального уравнения – это функция y f ( x) , которая при подстановке
её и её производных в уравнение обращает его в тождество.
Степень ОДУ – показатель степени производной наивысшего порядка, входящей в ОДУ.
Уравнения с разделяющимися переменными – уравнения, которые могут быть записаны в
виде: f1 ( x) g1 ( y) f 2 ( x) g2 ( x) y ' 0 или f1 ( x) g1 ( y) dx f 2 ( x) g2 ( x) dy 0
Характеристическое уравнение для однородного ЛДУ II порядка с постоянными
коэффициентами - квадратное уравнение вида k 2 pk q 0 .
Частное решение ОДУ – решение, получаемое из общего решения при некоторых
конкретных значениях постоянных.
ТЕМА 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. КОМБИНАТОРИКА.
Кортеж – любой упорядоченный набор элементов.
Обозначение: A (a1 , a2 ,..., an ) , где n - длина кортежа.
Множество – первичное, основное понятие, оно не определяется. Под множеством
понимают совокупность элементов, обладающих некоторым свойством, называемым
характеристическим.
Обозначения: A {a; b; c;...; d } или A {x | x B; P( x)} ( P ( x ) -характеристическое
свойство для элементов множества).
Объединение множеств A и B - такое множество A B , которое состоит из всех
элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.
Обозначение: A B {x | x A или x B} .
Перестановка из m элементов без повторений – любой кортеж длины m , состоящий из
различных элементов, а число таких кортежей равно Pm m!
Перестановка из m элементов с повторениями – любой кортеж из m элементов, в
котором 1-ый элемент повторяется m1 раз;
2-ой элемент повторяется m2 раз;
……………………………………..;
k -ый элемент повторяется mk раз, причём k m и m1 m2 ... mk m ,
m!
а их число равно Pm (m1 , m2 ,..., mk )
.
m1 ! m2 ! ... mk !
Подмножество B множества A - такое множество, каждый элемент которого является и
элементом множества A .
Обозначение: B A или A B .
Пересечение множеств A и B - такое множество A B , которое состоит из всех
элементов, принадлежащих одновременно каждому из этих множеств.
Обозначение: A B {x | x A и x B} .
Равные кортежи – кортежи, у которых длины равны и элементы, стоящие на одинаковых
местах, тоже равны.
Размещение из m элементов по k элементов без повторений – любой кортеж длины k ,
составленный из различных элементов m - элементного множества, а их число равно
m!
.
Amk
(m k )!
Размещение из m элементов по k элементов с повторениями – любой кортеж длины k ,
составленный из элементов m - элементного множества, а их число равно Amk mk .
Разность множеств A и B - такое множество A \ B , которое состоит из всех элементов,
принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В .
Обозначение: A \ B {x A, x B} .
Сочетание из m элементов по k элементов без повторений – любое k - элементное
m!
подмножество m - элементного множества, а их число равно Cmk
.
(m k )! k !
Сочетания из m элементов по k элементов с повторениями – любые различные составы
кортежей длины
m -элементного множества, а их число равно
k , выбранные из
(m k 1)!
.
Cmk
(m 1)! k )!
Факториал: обозначается
n! (читается: «эн-факториал») - произведение n
последовательных натуральных чисел от 1 до n .
Обозначение: n! 1 2 ... n .
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Вероятность случайного события A - отношение числа благоприятных для A исходов
опыта к числу всех исходов данного опыта (при условии, что исходы испытания образуют
полную группу равновозможных событий).
m
Обозначение: P ( A) , ( n - число всех исходов, m - благоприятных исходов).
n
Гипотезы H1 , H 2 ,..., H n - это события, образующие полную группу, такие, что событие A
может наступить только вместе с одним из них.
Достоверное событие – событие, которому принадлежат все элементарные события данного
опыта.
Испытание или опыт – процесс, приводящий при определённых условиях к одному из
нескольких возможных исходов.
Множество элементарных событий – это множество всех исходов некоторого опыта.
Обозначение: Е {е1 ; е2 ; е3 ;...; еп }, е1 , е2 ,..., еп - элементарные события.
Невозможное событие – событие, у которого нет элементарных событий .
Обозначение: .
Независимые события – это события, для которых вероятность появления одного из них не
зависит от того, произошло ли другое событие или нет, то есть P( A / B ) P ( A) .
Несовместные случайные события – такие события, произведение которых - пустое
множество, то есть A B .
Полная группа случайных событий – множество событий A1 , A2 ,..., Ak , которые попарно
несовместны и в сумме составляют невозможное событие, то есть:
1) Ai Aj (i j, 1 i, j k ) ;
2) A1 A2 ... Ak U , где U - достоверное.
Произведение случайных событий A и B - случайное событие C A B , которое состоит
из всех элементарных событий, принадлежащих A и B одновременно.
Обозначение: A B {ei | ei A и ei B} .
Противоположные события – такие события A и B , что A B E (или B E \ A ).
Обозначение: A .
Равновозможные события – такие случайные события возможности появления которых в
данном опыте одинаковы.
Разность случайных событий A и B - случайное событие C A / B , которое состоит из
всех элементарных событий, принадлежащих A , но не принадлежащих B .
Обозначение: A \ B {ei | ei A, ei B} .
Случайное событие – любое подмножество элементарных событий, то есть А E .
Событие A влечёт за собой событие B , если любое элементарное событие,
принадлежащее A , одновременно принадлежит и B .
Обозначение: A B .
Совместные случайные события – такие события, произведение которых - непустое
множество, то есть A B .
Сумма случайных событий A и B - случайное событие C A B , которое состоит из всех
элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий A или B .
Обозначение: A B {ei | ei A или ei B} .
Условная вероятность события A при условии, что событие B произошло, - число вида
P( A B)
при условии, что P( B) 0
P( A / B)
P( B)
Условная вероятность события B при условии, что событие A произошло, - число вида
P( A B)
при условии, что P( A) 0 .
P( B / A)
P( A)
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.
Биномиальное распределение СВ X - числа появления события A в n независимых
испытаниях, в каждом из которых P( A) p , - это такое распределение, в котором
A,
вероятность возможного значения
X m , где m - число появления события
m m nm
вычисляется по формуле Бернулли: P( X m) Pm (n) Cn p q , ( где q 1 p ).
Вариационный ряд – расположение выборочных данных (оценок) в порядке возрастания
или убывания.
Обозначение: X ( x1 , x2 ,..., xn ) , где x1 , x2 ,..., xn - варианты, n - объём выборки.
Выборочная дисперсия значений СВ X - среднее арифметическое отклонения квадратов
наблюдаемых значений СВ от их среднего арифметического.
n
Обозначение: D( X )
(x X )
2
i 1
.
n
Выборочная совокупность (выборка) – это часть генеральной совокупности.
Выборочная функция распределения СВ – функция F ( X ) , задающая для каждого
cum fi
события X x .
n
cum fi
cum wi .
Обозначение: F ( X )
n
Выборочное среднее квадратическое – это корень квадратный из выборочной дисперсии.
значения x накопленную частность cum wi
Обозначение: ( X ) D( X ) .
Генеральная совокупность (или ГС) некоторого признака – это все носители данного
признака.
Закон распределения случайной величины – это соотношение, устанавливающее связь
между возможными значениями случайной величины и соответствующими им
вероятностями.
Дискретная случайная величина (или ДСВ) - - такая случайная величина, которая
принимает конечное или счетное множество значений с определёнными вероятностями.
Дисперсия D ( X ) дискретной СВ – математическое ожидание квадрата отклонения
величины X от её математического ожидания.
Обозначение: D( X ) M ( X 2 ) [ M ( X )]2 .
Дисперсия непрерывной СВ – это число D( X )
x
2
f ( x)dx [ M ( X )]2 .
Интервальный ряд – запись значений выборки в виде упорядоченной совокупности
интервалов (классов) с соответствующими частотами или частностями попадания вариантов
в каждый из них:
Интервалы
[ x1; x2 ) [ x2 ; x3 ) [ x3 ; x4 ) … [ xk 1 ; xk )
…
f3
fk
Частота f i
f1
f2
… wk
w3
Частность wi
w2
w1
Кривая распределения – это график функции распределения НСВ.
Математическое ожидание M ( X ) дискретной СВ – сумма произведений всех возможных
значений СВ на соответствующие вероятности появления этих значений.
n
Обозначение: M ( X ) x1 p1 x2 p2 ... xn pn xi pi .
i 1
Математическое ожидание непрерывной СВ - это интеграл вида M ( X )
xf ( x)dx .
Накопленная частота cum f i – число выборочных значений СВ X , меньших x , то есть
cum f1 f1 ;
cum f 2 f1 f 2 ;
cum f3 f1 f 2 f3 ;
………………………..
cum f k f1 f 2 f 3 ... f k ;
……………………………..
cum f n f1 f 2 f 3 ... f n .
Непрерывная случайная величина (или НСВ) - - такая величина, которая принимает все
значения из некоторого промежутка, конечного или бесконечного.
Несмещённая оценка n генеральной характеристики - такая оценка, для которой
равенство M ( n ) выполняется для любого фиксированного числа наблюдений n .
Нормальное (гауссово) распределение НСВ – распределение, которое описывается
плотностью вида
1
f ( x)
e
2
( x m )2
2 2
, где
m
и
- параметры нормального
распределения.
Относительная частота (или частность) варианта – это отношение частоты данного
варианта к объёму выборки, выраженное в долях единицы или в процентах:
f
f
wi i или wi i 100% .
n
n
Плотность распределения непрерывной СВ или дифференциальная функция – это
производная функции распределения.
Обозначение: f ( x) F '( x) .
Показательное (экспоненциальное) распределение НСВ – такое распределение, которое
0 при x 0
описывается плотностью вида f ( x)
, где 0 .
x
e при x 0
Пуассона распределение СВ X - числа появления события A
в n независимых
испытаниях, в каждом из которых P( A) p , - это такое распределение, в котором
A,
вероятность возможного значения
X m , где m - число появления события
m
e
вычисляется по формуле Пуассона: Pn (m)
, (причём np , p 0, np 10 ).
m!
Равномерное распределение НСВ на отрезке [a; b] - такое распределение, которое
1
для x [a; b]
описывается плотностью вида f ( x) b a
.
0 для x [a; b]
Размах W выборки - разность между наибольшим и наименьшим вариантами.
Редкое событие – случайное событие, вероятность появления которого близка к нулю.
Репрезентативность выборки – свойство выборки хорошо отражать свойства ГС.
xi
x1
x2 … xk
Ряд распределения дискретной СВ X - это таблица вида
pi
p1 p2 … pk
( причём p1 p2 ... pn 1 ).
Случайная величина (или СВ) – величина, которая в результате испытания может принять
то или иное значение с определённой вероятностью.
Состоятельная оценка n генеральной характеристики - такая оценка, для которой для
любого 0 выполняется равенство limn P(| n | ) 1 .
n
Среднее арифметическое выборочных значений – число X
x
i 1
i
.
n
Среднее квадратическое отклонение ( X ) - корень квадратный из дисперсии.
Обозначение: ( x) D( X ) .
Стандартное нормальное распределение НСВ – это нормальное распределение с
параметрами m 0 и 1 .
Статистический ряд – запись значений выборки в виде таблицы из двух строк:
xi x1 x2 … xk
fi
f1 f 2 … f k
Точечная статистическая оценка n – приближённая выборочная характеристика
неизвестной характеристики генеральной совокупности.
Функция распределения или интегральная функция случайной величины X - функция
F ( x ) , задающая вероятность того, что случайная величина X принимает значения меньшие,
чем x , то есть F ( x) P( X x) .
Функция распределения ДСВ – функция вида P( X xi ) pi .
xi x
xi x
0 при x xi
pi при x1 x x2
Обозначение: F ( x) p при x x x .
2
2
3
...
1 при x xn
Частота f i i -того варианта выборки – количество встречаемости этого варианта в ряду
распределения.
W
Ширина интервала (класса) – число, равное
, где k - количество интервалов
k 1
(классов), W - размах.
Эффективная несмещённая оценка – такая несмещённая оценка, которая среди всех
прочих несмещённых оценок обладает наименьшей дисперсией.
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по
темам лекций.
Примеры решения задач по темам, на которые предложены аналогичные задания в
экзаменационных (зачётных) билетах.
Тема 1. Элементы высшей алгебры.
3 1 4 0
1) Найти ранг матрицы
A 1 0 1 1
5 3 2 1
Решение. Приведём матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразований:
3 1 4 0
1 0 1 1
A 1 0 1 1 () 3 1 4 0 ()
5 3 2 1
5 3 2 1
1 0 1 1
1 0 1 1
0 1 1 3 () 0 1 1 3 ,
0 3 3 6
0 0 6 3
Так как в последней матрице три ненулевых строки, то ранг равен 3.
2) Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:
3x1 2 x2 x3 5
2 x1 x2 x3 6
x 5 x 3
1
2
.
Решение.
Запишем систему в матричной форме: A X B , где
3 2 1
x1
5
.
A 2 1 1 , X x2 , B 6
1 5 0
x
3
3
3 2 1
Найдём
. Так как | A | 0 , то матрица A - невырожденная и у неё
| A | 2 1 1 2
1
5
0
существует обратная матрица. Тогда X A1 B .
Найдём A1 , пользуясь алгоритмом нахождения обратной матрицы:
3 2 1
| A | 2 ; 2) AT 2 1 5 ;
1 1 0
Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы AT :
A13 (1)4 (2 1) 3 ;
A11 (1)2 (0 5) 5 ; A12 (1)3 (0 5) 5 ;
A21 (1)3 (0 1) 1; A22 (1)4 (0 1) 1 ; A23 (1)5 (3 2) 1 ;
A31 (1)4 (10 1) 11; A32 (1)5 (15 2) 13 ; A33 (1)6 (3 4) 7 .
3
5 5
1
1
Найдём 1
.
A
A
1 1 1
| A|
2
11 13 7
3 5
5 5
4 2
Тогда
1
1 .
1
X A B 1 1 1 6 2 1
2
2 2 1
11 13 7 3
Отсюда x1 2, x2 1, x3 1.
Тема 2. Элементы аналитической геометрии.
1) Найти угол между прямыми
x 1 y 1 z 2
x 3 y 2 z 1
и
.
2
0
1
1
2
3
Решение. Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими
векторами. Так как направляющие векторы прямых соответственно запишутся a1 (2;0;1) и
2 (1) 0 2 1 3
1
1
a2 (1; 2;3) , то cos
, arccos
.
2
2
2
2
2
2
70
70
2 0 1 (1) 2 3
2) Написать уравнение прямой, проходящей через точку M (2; 1;0) и перпендикулярной
плоскости 5x 2z 2 0 .
Решение. Уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , с
x x0 y y0 z z0
направляющим вектором a (m; n; p ) запишется
. Так как x0 2 ,
m
n
p
x 2 y 1 z
.
y0 1 , z0 0 и a (5;0; 2) , то уравнение запишется
5
0
2
Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
2x 1
1) Найти предел lim
.
x 2 x 1
Решение. Так как имеем неопределённость вида (1) , то применим второй замечательный
3x
x
1
предел: lim 1 e . Выполняя преобразования, получим
x
x
2
2x 1
lim
lim
1
x 2 x 1
x
2x 1
3x
2 x 1 6 x
2 2 x 1
6
2 x 1
2 1
2
2
x e3 .
lim 1
x
2x 1
2) Найти дифференциал функции f ( x) x 2 sin 3x .
Решение. По определению df f '( x)dx . Так как f '( x) ( x 2 sin 3x) ' 2 x sin 3x x 2 3cos3x , то
df (2 x sin 3x 3x 2 cos3x)dx .
Тема 4. Интегральное исчисление функции одной переменной.
2
1) Найти
x ln xdx .
1
u ln x
2
Решение.
x ln xdx
1
1 x2
2 ln 2
2 2
2
1
dx
x
3
2 ln 2 .
4
du
dv xdx
v
2
x
2
x2
ln x
2
2
2
1
1
2
x 2 dx
1
1
2 ln 2 ln1 xdx
2 x
2
21
2) Исследовать на сходимость несобственный интеграл
dx
1 x
0
2
.
Решение. По определению несобственного интеграла 1 рода имеем
b
dx
dx
b
lim
arctg x 0 lim arctg b arctg 0 . Так как предел существует и
0 1 x 2 b 0 1 x 2 blim
b
2
конечен, то интеграл сходится и равен
.
2
Тема 5. Теория рядов.
n2
.
n
n 1 2
Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Тогда
1) Исследовать на сходимость ряд
a
(n 1)2 2n 1
n 1 1
lim n1 lim n1 2 lim
1 . Так как полученный предел меньше 1, то ряд
n a
n
2 n
2 n n 2
n
сходится.
2
2) Найти область сходимости степенного ряда
(1)n n
x .
3
n 0 n
Решение. Так как радиус сходимости степенного ряда R lim
n
cn
, где cn - коэффициент
cn1
n 1
1 1
1
lim
lim 1 1 . Таким образом. интервал
общего члена ряда, то R lim :
n n n 1
n
n n
n
сходимости данного ряда ( 1;1) . Исследуем сходимость в концах интервала сходимости.
1
Если x 1 , то ряд примет вид 3 , а он сходится. Если x 1 , то ряд примет вид
n 0 n
(1) n
, но он является сходящимся, так как ряд из модулей членов сходится. Значит,
3
n 0 n
область сходимости данного ряда [1;1] .
Тема 6. Дифференциальные уравнения.
1) Найти частное решение дифференциального уравнения xy ' 2 y 2 x 4 , удовлетворяющее
заданным начальным условиям y (1) 1 .
2
Решение. Разделим обе части уравнения на x 0 и получим y ' y 2 x3 - неоднородное
x
линейное уравнение 1 порядка. Найдём его общее решение методом подстановки. Пусть
2
y uv , тогда y ' u ' v uv ' . Подставляя в уравнение, получим u ' v uv ' uv 2 x 3 или
x
2
2
u ' v u v ' v 2 x 3 . Приравнивая выражение в скобках к нулю, получим v ' v 0 или
x
x
dv 2
dv 2dx
v . Разделяя переменные и интегрируя, имеем
или ln v 2ln x , или v x 2 .
dx x
v
x
2
2
Подставляя значение v x в уравнение, находим u ' x 2 x 3 , или u ' 2x и u x 2 C .
Тогда yоб . uv x 2 ( x 2 C ) . При x 1 y 1(1 C ) 1 и C 0 . Тогда частное решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям запишется yчаст. x 4 .
2) Найти общее решение уравнения y " 4 y ' 5 y 0 .
Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение запишется:
k 2 4k 5 0 .
4 16 4 1 5 4 2i
2 i .
Корни уравнения – комплексные k1;2
2
2
Если корни характеристического уравнения комплексные сопряженные k1;2 i , то
общее решение имеет вид y e x (C1 cos x C2 sin x) . Так как в нашем случае 2 ,
1 , то yоб. e2 x C1 cos x C2 sin x .
Тема 7. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
1) В урне 7 чёрных и 3 белых шара. Какова вероятность, что при поочерёдном вынимании 3
шаров они пойдут в таком порядке: чёрный, белый, чёрный?
Решение. искомое событие А – сложное, то есть A Aч Aб Aч и вероятность этого события
7 3 6 7
находится как условная вероятность P( A) P( Aч ) P( Aб / Aч ) P ( Aч / Aч Aб )
.
10 9 8 40
2) Задана дискретная случайная величина X законом распределения. Найти её
математическое ожидание и дисперсию.
xi
1
2
4
5
pi
0,2
0.3
0,4
0,1
Решение. Математическое ожидание найдём по формуле
M ( X ) xi pi 1 0, 2 2 0,3 4 0, 4 5 0,1 2,9 , а дисперсию – по формуле
D( X ) M ( X 2 ) [M ( X )]2 12 0, 2 22 0,3 42 0, 4 52 0,1 (2,9) 2 1,89 .
Тексты задач (практических ситуаций) для самостоятельного решения при подготовке
к итоговой аттестации (не более 2-х).
Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y x 2 и y x .
Задача 2. С какой вероятностью при 6 подбрасываниях игральной кости ровно 5 раз выпадет
3 очка?
РАЗДЕЛ 6. Изменение в рабочей программе, которые произошли после
утверждения программы.
Характер
изменений в
программе
Номер и дата
протокола заседания
кафедры, на котором
было принято
данное решение
Подпись заведующего
кафедрой,
утверждающего
внесенное изменение
Подпись декана
факультета (проректора
по учебной работе),
утверждающего данное
изменение
