1.Способ неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неопределенного линейного уравнения. Этот способ применим для правой части специального вида, которая содержит показательные функции, синусы, косинусы и многочлены или их целые рациональные комбинации. Частное решение ищется в форме, аналогичной правой части. Если правая часть имеет вид g ( x) Pm ( x)e cos lx P m e kx sin lx kx , то частное решение примет следующий вид y x Q e cos lx x Q e sin lx , где кратность корней k li среди корней Q (x) характеристического уравнения. ,Q (x) многочлены той же степени, что и Pm , P , но взятые в общем виде чн kx m kx m 1 m m m Вид правой части Корни характеризующие Вид частного решения уравнения 1. А)0 - не является корнем характеризующим уравнения. Б)0- кратности Pm (x) 2. Pm ( x )e kx yчн Qm (x) y чн x Qm (x) А) K не корень. y чн Qm ( x)e kx Б) K корень кратности y чн x Qm ( x)e kx 3. P ( x) cos lx P m ( x) sin lx m А) li не является корнем. Qm ( x) cos lx Q m ( x) sin( x) Б) l корень кратности . x (Qm ( x) cos lx Q m ( x) sin( x) А)k l числа не корень. Б)k li числа корень кратности . Qm ( x)e cos lx Q m ( x) sin lx i 4. i Pm ( x)e cos lx P m ( x)e sin lx kx kx kx x (Qm e cos lx Q m ( x) sin lx kx 2.Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Окончательно, для нахождения неизвестных функций C i , мы получим систему n уравнений n с неизвестными ' где i 1,4 Ci C1' y1 C 2' y 2 C3' y 3 C 4' y 4 0 ' ' ' ' ' ' ' ' C y C y C y C 1 1 2 2 3 3 4 y4 0 ' '' ' '' ' '' ' '' C y C y C y C 1 1 2 2 3 3 4 y4 0 ................................................... C1' y1n 1 C 2' y 2n 1 C 3' y 3n 1 C 4' y 4n 1 g x 4. Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения Бесселя. Функция Бесселя. Задача: Вертикально стоящий и изгибающийся под действием своего веса стержень длины l . Дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет вид: 1 ' 1 y y (1 )y 0 2 x 9m '' Уравнение Бесселя с индексом Общий вид: 2 . 1 m '' ' y y (1 2 ) y 0 x x 1 m 3 . Определение Функции, удовлетворяющие уравнению Бесселя, называются функциями Бесселя. функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения называют бесселевой функцией первого рода с индексом m и обозначают I m (x) Чтобы получить окончательное выражение для I (x) , вводят специальную функцию- Гамма функцию Эйлера. u Г ( x) u x 1e (интегрируем du по частям), 0 получаем, что или 1 Г ( x уравнение. 1) xГ ( x) Г ( x ) Г ( x 1) основное xфункциональное m Для x натурального получаем Г (1) 1 ; Г (2) 1Г (1) 1 , Г (3) 2 Г (2) 2 и так далее, ( Г (1) 1 0!) Г (n) (n 1)! Второе частное решение зависит от m и, окончательно y C1 I m ( x) C2 I m ( x) Иногда вместо I m (x) берут линейную комбинацию, содержащую cos m , sin mx, т.е Ym (x) , тогда Y C I ( x) C Y ( x) , 1 m 2 m функция Вебера, или функция Бесселя второго рода. Функция Бесселя и тригонометрические функции связаны тесно: при определении m они ведут себя идентично (в школе затухающие колебания ). m1 2 Уравнение Лагранжа с переменными коэффициентами 2 '' ' ( X 1) y 2 xy n(n 1) y 0. n натуральные решениямногочлены, которые выражаются формулой Родрига 1 d x 1 Pn ( x) n 2 2 n! dx n 2 n 5. Уравнение Эйлера. Определение1. Уравнение n 1 ( a 1) x y p1 x y n (a) вида ... pn1 xy p1 y g ( x) ' где p1 ... pn const , называется уравнением Эйлера. Теорема1: Уравнение Эйлера приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимого t x e переменного подстановкой (или t ln x ). Определение2 Однородное уравнение Эйлера имеет вид n 1 ( n 1) x y p1 x y n (n) ... pn1 xy pn y 0 ' Глава3. Системы дифференциальных уравнений. 1.Нормальные системы дифференциальны х уравнений. Дано: ( n) ' ( n 1) y f ( x, y, y ,..., y ) пусть y y1 , y y y2 , ' ' 1 y '' y 2' y 3 , y ( n 1) yn . y g n f ( x, y1 , y 2 ,..., y n ). n образом, из уравнения n ого порядка мы получили систему дифференциальных уравнений первого порядка. y y Таким ' 1 2 ' y 2 y3 ( n 1) yn y y ' f ( x, y , y ,..., y ) 1 2 n n n штук неизвестных функций, n уравнений. Полученная система представляет собой частный случай системы y f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) ' y 2 f 2 ( x, y1 ,..., y n ) ................................ y ' f ( x, y ,..., y ) n 1 n n ' 1 Определение1 Такая система называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Определение2. Решением системы называется совокупность n функций y1 , y 2 ,..., y n , удовлетворяющих всем уравнением системы. Определение3. Частным решением системы называется решение, удовлетворяющее начальным условиям. Замечание. Для нормальной системы дифференциальных уравнений может быть доказана теорема существования и единственности решения, частным случаем которой является теорема существования и единственности решения для дифференциального уравнения n ого порядка. Теорема: Нормальная система n дифференциальных уравнений первого порядка эквивалентна одному дифференциальному уравнению . n порядка Методы решения: 1). Переходят к уравнению n ого порядка 2). Метод интегрирования комбинаций, когда для неизвестных n функций ищут n зависимостей между функциями и штук const, затем решаютnсистему относительно искомых функций. 2. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Определение Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной, если функции f1 , f 2 ,..., f n линейны относительно искомых функций. Т.е. y a11 y1 a12 y 2 ... a1n y n b1 ' y 2 a 21 y1 a 22 y 2 ... a 2 n y n b2 ...................................................... y ' a y a y ... a y b n1 1 n2 2 nn n n n ' 1