ЕН.Ф.3 Математика. дифференциальные уравнения. элементы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(МГПУ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН.Ф.3
Математика: дифференциальные уравнения; функции комплексной
переменной; элементы функционального анализа
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
050202 – информатика, информатика-физика
Утверждено на заседании кафедры
математического анализа и методики
преподавания математики
физико-математического факультета
(протокол №___от_________200_ г.)
Зав.кафедрой
_______________________________
Мурманск, 2007
Структура учебно-методического комплекса дисциплины
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины.
1. 1. Автор программы: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Шупова Г.М.
1.2. Рецензенты: доцент, кандидат физ.-мат. наук Мартынов О. М., к.п.н., к.т.н., профессор
кафедры естественно-математического образования МОИПКРО Бродский И. Л.
1.3. Пояснительная записка:
Цель.
Главная цель курса – научить студента основам математической культуры,
необходимой для научного обоснования курса физики, сформировать практические навыки
решения задач.
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами уравнений
математической физики, линейной алгебры и аналитической геометрии, информатики, физики.
 Залачи. В профессиональной подготовке физика курс занимает особое положение.
Данным курсом предусматривается изучение обыкновенных дифференциальных уравнений,
функций комплексного переменного и применение изученного на практике, используя методы
математического моделирования. Известно, что в качестве математических моделей реальных
процессов могут быть использованы дифференциальные уравнения. Роль обыкновенных
дифференциальных уравнений в физике велика. Многие физические процессы описываются с
помощью дифференциальных уравнений. Данный курс дает основу для дальнейшего изучения
таких дисциплин, как уравнения математической физики, методы математической физики,
теоретическая физика. Данный курс знакомит студентов с прикладными аспектами
математики, позволяет показать связь математики с решением физических задач.
 Место курса в общей системе подготовки специалиста. Настоящая программа
предназначена для изучения курса Математика студентами, обучающими по специальности
«Информатика» (050202).
Профессиональный уровень экономиста, работающего в области современной
информатики, во многом определяется уровнем освоения современного математического
аппарата и умением использовать его при анализе сложных экономических процессов,
построении моделей и, в частности, непрерывных моделей изучаемых процессов и,
основанных на данных моделях, информационных систем. Следовательно, изучение
математики вообще и ее специальных разделов при профильной подготовке информатиковэкономистов должно занимать значительное место.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате изучения
курса студент должен:
– знать основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
доказательства теорем.
– иметь представление о месте и огромной роли математики в современном мире, мировой
культуре и истории развития самой математики; о функциональном мышлении, о развитии
идей двойственности и выпуклости и принципе неподвижной точки и основанных на нем
математических доказательствах; структуре современного анализа; об основных проблемах
современного его развития (обобщённые функции, гиперфункции).
– уметь применять полученные знания к решению задач:
по разделам курса, применять теоретический материал, творчески подходить к решению
профессиональных задач, строить математические модели физических
задач, приводить их к нужному виду, выбирать и реализовывать наиболее
рациональный метод решения поставленной задачи.
 Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке.
Программа составлена в соответствии с требованиями Государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования Минобразования РФ и содержит в себе
сведения из следующих рассматривавшихся на первом курсе разделов. Введение: числовые и
абстрактные множества и отношения, действительные и комплексные числа, алгебраические
уравнения; элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Собственно
функционально аналитические сведения, представленные в данной программе, сгруппированы
вокруг базовых понятий различных типов функциональных пространств (в частности,
банаховых), изометрий, линейных функционалов, принципа неподвижных точек и вариаций.
Программа содержит также основы вариационного исчисления и теории конусов. Программа
дополняет и расширяет основной курс «Математика», относясь таким образом к списку
программ тех специальных его разделов, которые изучаются студентами в рамках других
отдельных курсов: «Математическая логика и дискретная математика», «Математические
методы в исследовании экономики», «Численные методы в экономике»... Включенные в
программу темы могут быть рекомендованы для факультативного изучения. Литература к этим
темам приведена в списке дополнительной литературы.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО (в виде ксерокопии)
Программа курса составлена на основе Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования по специальности 050202 -информатика.
ЕН.Ф.01
Математика.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра; дифференциальное и
интегральное исчисления; векторный анализ и элементы теории
поля; гармонический анализ; дифференциальные уравнения;
уравнения математической физики; функции комплексного
переменного; численные методы; основы вычислительного
эксперимента; элементы функционального анализа; вероятность и
статистика: теория вероятностей, случайные процессы,
статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические
методы обработки экспериментальных данных; вариационное
исчисление и оптимальное управление.
800
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы
№
п/п
Шифр и
наименование
специальности
050202
«информатика»
Курс
Семестр
2
3
Виды учебной работы в часах
Трудоем Всего
ЛК ПР/ ЛБ
Сам.
кость
аудит.
СМ
Работа
100
60
30
–
30
Вид
итогового
контроля
(форма
отчетности)
экзамен
40
1.6. Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
п/п
Наименование раздела, темы
Количество часов
Всего
ауд.
1
2
3
Обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
высших порядков.
Функции комплексного переменного.
ЛК
ПР
ЛБ
Сам.раб.
20
10
10
-
14
20
10
10
-
13
20
10
10
-
13
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Дифференциальные уравнения; функции комплексного переменного
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия
и определения. Поле направлений. Изоклины. Механическое истолкование уравнения 1-го
порядка и его решений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения
уравнения 1-ого порядка. Общее, частное и особое решения дифференциального уравнения 1ого порядка. Дифференциальные уравнения, не содержащие искомой функции.
Дифференциальные уравнения, не содержащие независимой переменной. Дифференциальные
уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные
уравнения. Линейные дифференциальные уравнения 1-ого порядка. Уравнение Бернулли.
Уравнение Дарбу. Уравнение Якоби. Уравнение Риккати. Уравнение в полных
дифференциалах. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро.
Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия
и определения. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение
порядка. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общие свойства. Однородное
линейное уравнение n-го порядка (характерные свойства решений). Построение общего
решения однородного линейного уравнения n-го порядка. Неоднородное линейное уравнение.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами 2-ого порядка. Метод исключения.
Математическое моделирование физических процессов с помощью дифференциальных
уравнений.
Функции
комплексного
переменного.
Определение
комплексных
чисел.
Геометрическое изображение комплексных чисел на плоскости. Операции над комплексными
числами. Свойство модуля и аргумента комплексного числа. Извлечение корня n-й степени из
комплексного числа. Предел последовательности комплексных чисел. Числовые ряды.
Бесконечность и стереографическая проекция. Множества точек на плоскости. Функция
комплексного переменного (ФКП). Предел и непрерывность ФКП.
Производная и
дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости (условия Коши –
Римана). Аналитичность функции в точке и области. Действительная и мнимая части
аналитической функции. Конформные отображения. Геометрический смысл модуля и
аргумента производной.
Определение показательной функции. Отображение посредством показательной
функции. Тригонометрические функции. Теоремы сложения для функций sin z и cos z .
Гиперболические функции, их связь с тригонометрическими. Целая степенная функция.
Функция
  n z . Выделение однозначных ветвей. Риманова поверхность
n
z.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
5.3 Темы для самостоятельного изучения.
№
1
Наименование
Форма самостоятельной работы
раздела
дисциплины, темы
Обыкновенные
Рефераты
дифференциальные
уравнения первого
порядка.
Кол-во
часов
14
Форма
контроля
Проверка
обсуждение
рефератов
и
2
3
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения высших
порядков.
Домашняя контрольная работа
Функции
комплексного
переменного.
Проработка лекционного курса и
рекомендуемой
литературы,
вопросы для самостоятельного
изучения
13
13
Проверка
контрольных
работ
Проверка
контрольных
работ,
коллоквиум
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1.Тематика и планы практических занятий по изученному материалу
Темы практических занятий по дисциплине «Обыкновенные дифференциальные
уравнения 1-го порядка»
 План.
Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка различных
видов.
Литература:
1. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. Вышейшая школа, Минск, 1967.
2. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике.
Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М., 2001.
3. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому
анализу. М., 1973
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964
5. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т.
Задачник по курсу математического анализа, часть 2, М., 1971
Темы практических занятий по дисциплине «Обыкновенные дифференциальные
уравнения высших порядков»
 План.
Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков,
допускающих понижение порядка;
интегрирование линейных дифференциальных уравнений высших порядков с
постоянными коэффициентами;
интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами 2-ого порядка методом исключения.
Литература:
1. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. Вышейшая школа, Минск, 1967.
2. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике.
Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М., 2001.
3. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому
анализу. М., 1973
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964
5. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т.
Задачник по курсу математического анализа, часть 2, М., 1971
Темы практических занятий по дисциплине «Функции комплексного переменного»
 План.
Решение задач по теории функций комплексного переменного, соответствующих
лекционному материалу.
Литература:
1. Боярчук А.К. Функции комплексного переменного: теория и практика (справочное пособие
по математике). М., 2001
2. Евграфов М.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Бежанов К.А. Сборник
задач по теории аналитических функций. М., 1969
3. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций
комплексного переменного. М., 1975
4. Болгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., Коган С.М., Лунц Г.Л., Поспелов А.С., Фролов
С.В., Шостак Р.Я., Янпольский А.Р. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2.
Специальные разделы математического анализа. М., Наука, 1986.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
 Основная литература.
1. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М., 1988
2. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. М.,
Просвещение, 1977.
3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1999.
4. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. Вышейшая школа, Минск, 1967.
5. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике.
Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М., 2001.
6. Боярчук А.К. Функции комплексного переменного: теория и практика (справочное пособие
по математике). М., 2001
 Дополнительная литература
1. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. ЛГУ,
1955.
2. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М., Наука, 1978.
3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука,
1965.
4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1952.
5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1950.
6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.,
1951.
7. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функции комплексного
переменного. М., Наука, 1976.
8. Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. М., 1958.
9. Соломенцев Е.Д. Функции комплексного переменного и их применения. М., 1988.
10. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., Наука, 1965.
11. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому
анализу. М., 1973
12. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964
13. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т.
Задачник по курсу математического анализа, часть 2, М., 1971
14. Евграфов М.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Бежанов К.А. Сборник
задач по теории аналитических функций. М., 1969
15. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций
комплексного переменного. М., 1975
16. Болгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., Коган С.М., Лунц Г.Л., Поспелов А.С., Фролов
С.В., Шостак Р.Я., Янпольский А.Р. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2.
Специальные разделы математического анализа. М., Наука, 1986.
1. 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Не предусмотрено учебным планом.
1.10. Примерные зачетные тестовые задания.
Вариант № 1
1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений:
а) ( x 2  y 2 )dx  xydy  0; б) (1  e 2 x ) y 2 dy  e x dx; в) y  xy' 2  y' ; г) y' x  y   xy 2 ;
д) (2 x  ye  x )dx  e  x dy  0 ; е) y  xy' y' 4 .
y
2. Найти решение задачи Коши: y '  x 2 ; y (1)  0.
x
3. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(2;5), если известно, что угловой
коэффициент касательной в 8 раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же
точку с началом координат.
Вариант № 2
1
1. Проинтегрировать уравнения: а) y ' ' y '  0 ; б) yy'' y' 2  0; y(0)  1; y'(0)  1 .
x
2. Определить и записать структуру частного решения y  линейного неоднородного
дифференциального уравнения по виду функции f ( x ):
3y''7 y'2 y  f ( x); a) f ( x)  3xe 2 x ; б ) f ( x)  sin 2 x  3 cos 2 x.
3. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения:
y   9 y'''  0; y(0)  1; y'(0)  1; y''(0)  0; y'''(0)  0; y' (0)  0.
4. Решить задачу Коши: 4 y''8 y'5y  5 cos x; y(0)  0; y'(0)   131 .
5. Найти общее решение уравнения: y ''4 y '4 y 
e 2 x
.
x3
 y'  y  z,
6. Найти общее решение: 
z '  10 y  z.
2
 y1 '  y1  y 2  x  x  2,
7. Решить задачу Коши: 
если y1  0, y2  2 при x  0.
2
 y 2 '  2 y1  4 y 2  2 x  4 x  7,
Вариант № 3
1. Дано комплексное число z . Требуется: 1) записать число z в алгебраической и
тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения  3  z  0.
2 2
.
1 i
2. Даны два комплексных числа z1  2 3  2i и z2  3  3 3i. Записать эти числа в
показательной форме и в этой форме выполнить над ними следующие действия: 1) z1 · z 2 ; 2)
z
z12
.
z2
3. Найти все значения корней. Изобразить их на чертеже.
3
 2  2i .
1
y
2
2
4. Найти образ окружности x  y  3 при отображении   .
z
5. Определить функцию   f ( z) по известным действительной и мнимой частям:
y
x
.
2 ; v  x 
2
x y
x  y2
6. Проверить выполнение условий Коши - Римана и найти f ' ( z ): f ( z)  ln( z 4 ).
u  y 
2
1.11. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия и определения. Поле
направлений. Изоклины. Механическое истолкование уравнения 1-го порядка и его решений.
2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения уравнения 1-ого порядка.
Общее, частное и особое решения дифференциального уравнения 1-ого порядка.
3. Дифференциальные уравнения, не содержащие искомой функции. Дифференциальные
уравнения, не содержащие независимой переменной. Дифференциальные уравнения с
разделенными и разделяющимися переменными.
4. Однородные дифференциальные уравнения.
5. Линейные дифференциальные уравнения
1-ого порядка.
6. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах.
7. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро.
8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия и определения.
9. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общие свойства. Однородное
линейное уравнение n-го порядка (характерные свойства решений).
11. Построение общего решения однородного линейного уравнения n-го порядка.
12. Неоднородное линейное уравнение.
13. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
14. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 2-ого
порядка. Метод исключения.
15. Определение комплексных чисел. Геометрическое изображение комплексных чисел на
плоскости.
16. Операции над комплексными числами. Свойство модуля и аргумента комплексного числа.
17. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа.
18. Предел последовательности комплексных чисел. Пример.
19. Числовые ряды.
20. Бесконечность и стереографическая проекция.
21. Функция комплексного переменного.
22. Предел и непрерывность ФКП.
23. Производная и дифференциал.
24. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости (условия Коши – Римана).
25. Аналитичность функции в точке и области.
26. Действительная и мнимая части аналитической функции.
27. Конформные отображения. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
28. Определение показательной функции.
29. Отображение посредством показательной функции.
30. Тригонометрические функции. Теоремы сложения для функций sin z и cos z .
31. Гиперболические функции, их связь с тригонометрическими.
32. Целая степенная функция.
33. Функция
  n z . Выделение однозначных ветвей.
34. Риманова поверхность n z .
1.13. Примерная тематика рефератов
Математическое моделирование физических процессов с помощью дифференциальных
уравнений.
1.14. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрено учебным планом.
1.15. Примерная тематика дипломных работ
Не предусмотрено учебным планом.
1.16. Методика исследования
Нет
1.17. Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания
знаний студентов по данной дисциплине
Экзаменационная оценка (отлично, хорошо, удовлетворительно, неудовлетворительно)
Раздел 3. Содержательный компонент теоретического материала
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ПЕРЕМЕННОГО.
УРАВНЕНИЯ.
ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Лекция № 1. Основные понятия и определения.
Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к
уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную
задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных
порядков.
В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного
движения материальной точки.
Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении
является функцией времени и выражается по формуле:
at 2
S  V0 t 
2
В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая
также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.
dS
dV d 2 S
V
;
a
 2 ;
dt
dt
dt
f (t )  t
- уравнение связывает функцию f(t) с независимой
2
переменной t и производной второго порядка функции f(t).
Тогда получаем: S  f (t )  V0 t 
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее
независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую
переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же
независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется
дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется
порядком дифференциального уравнения.
Пример 1.
x 3 y   8 y  x  5  0 - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем
виде записывается F ( x, y, y )  0 .
d2y
dy
 xy  x 2  y - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем
2
dx
dx
виде записывается F ( x, y, y , y )  0
x
z
z
 xy  0 - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.
x
y
Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая
дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо
неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
y2
Свойства общего решения.
1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное
уравнение имеет бесконечное множество решений.
2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С =
С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = (х, С0).
Определение. Решение вида у = (х, С0) называется частным решением
дифференциального уравнения.
Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский
математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения
вида у = (х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.
Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения
дифференциального уравнения 1- го порядка)
Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в
этой области непрерывную частную производную y   f ( x, y ) , то какова бы не была точка
(х0, у0) в области D, существует единственное решение y  (x) уравнения y   f ( x, y ) ,
определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0
значение (х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.
Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое
уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение
является следствием.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения xy   y  0 .
Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования
левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:
dy
x
y0
dx
xdy   ydx
dy
dx

y
x
dy
dx
Теперь интегрируем:
 y   x
ln y   ln x  C0
ln y  ln x  C0
ln xy  C0
xy  e C0  C
C
y
это
x
общее
решение
исходного
дифференциального уравнения.
Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем
С
2  ; C  2;
1
При подстановке полученного значения постоянной в общее решение
получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи
Коши).
y
2
x
Определение. Интегральной кривой называется график y = (x) решения
дифференциального уравнения на плоскости ХОY.
Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется такое
решение, во всех точках которого условие единственности Коши не выполняется, т.е. в
окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.
Особые решения не зависят от постоянной С.
Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях
постоянной С.
Если построить семейство интегральных кривых дифференциального
уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке
касается по крайней мере одной интегральной кривой.
Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения: y   y  0. Найти
особое решение, если оно существует.
dy
 y
dx
dy
 dx
y
dy
 y   dx
ln y   x  C
y  e  x  eC
y  C1  e  x
Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение
невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем
тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С1 = 0
ошибочно, ведь C1 = eC  0.
Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при
решении дифференциальных уравнений различных типов.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется
соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную,
т.е. соотношение вида:
F ( x, y, y )  0
Если такое соотношение преобразовать к виду y   f ( x, y ) то это дифференциальное
уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно
производной.
Преобразуем такое выражение далее:
dy
 f ( x, y ); dy  f ( x, y )dx; f ( x, y )dx  dy  0;
dx
P ( x, y )
Функцию f(x,y) представим в виде: f ( x, y )  
, Q( x, y )  0; тогда при подстановке в
Q ( x, y )
полученное выше уравнение имеем:
-
P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0
это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.
Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.
Уравнения вида y’ = f(x).
Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале
a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как
y   f ( x)dx  C . Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно определить постоянную С.
Геометрическая интерпретация решений дифференциальных
уравнений первого порядка.
у
a
b
A
S
x
Как уже говорилось выше, линия S, которая задается функцией, являющейся какимлибо решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения
y   f ( x, y ).
Производная y’ является угловым коэффициентом касательной к интегральной
кривой.
В любой точке А(х, у) интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной
может быть найден еще до решения дифференциального уравнения.
Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного
построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и непрерывного перемещения
точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в
результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее
решение.
Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области
называется полем направлений.
С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование
дифференциального уравнения:
1) Задать дифференциальное уравнение первого порядка – это значит задать поле
направлений.
2) Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – это значит найти
всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем
направлений.
Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами.
Лекция № 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.
Уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение y   f ( x, y ) называется уравнением с
разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
y   ( x)( y ) .
Такое уравнение можно представить также в виде:
y   ( x)( y )  0; dy  ( x)( y )dx  0;
Перейдем к новым обозначениям ( x)   X ( x);
Получаем:
dy
 ( x)dx  0 при ( y )  0;
( y )
1
 Y ( y );
( y )
X ( x)dx  Y ( y )dy  0;
 X ( x)dx   Y ( y)dy  C
После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение
дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится
постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
 2x
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: yy 
cos y
dy
 2 x
dx
y cos ydy  2 xdx
y cos y 
 y cos ydy  2 xdx
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям:
u  y; dv  cos ydy;
y
cos
ydy


  y sin y   sin ydy  y sin y  cos y

du  dy; v  sin y 
y sin y  cos y   x 2  C
-
y sin y  cos y  x 2  C  0
это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и
не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего
(частного) интеграла от общего (частного) решения.
Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по
переменной х.
y  sin y  yy  cos y  y  sin y  2 x  0
2x
- верно
yy   
cos y
Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения
y
 ln y при условии у(2) =
y
1.
ydx
 ln y
dy
ln ydy
dx 
y
ln ydy
 dx   y
x  C   ln yd (ln y )
xC 
ln 2 y
2
ln 2 1
;  2  C  0;  C  2;
при у(2) = 1 получаем 2  C 
2
Итого: 2( x  2)  ln 2 y; или y  e  2 x 4 - частное решение;
Проверка: y   e 
2 x4

2
 2 2x  4

y e

y
2 x4
, итого
( 2 x  4)
e
2 x4
  2 x  4  ln y - верно.
2
Пример 3. Решить уравнение y   y 3 .
2
dy
y 3
dx
y
y
2
3
dy  dx
3
dy   dx
3
 xC
2
3y
1
27 y  ( x  C ) 3 - общий интеграл
1
y
( x  C ) 3 - общее решение
27
Пример 4. Решить уравнение y   x( y 2  1).
dy
 dx;
y 1
2
y
dy
 dx;
1 
2
 x2

x2
arctgy 
 C;
y  tg  C ;
2
 2

Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:
x2
x2
arctgy0  0  C0 ;  C0  arctgy0  0 ;
2
2
 x2
x2 
Получаем частное решение y  tg  arctgy0  0 .
2 
 2
yy 
 e y  0 при условии у(1) = 0.
Пример 5. Решить уравнение
x
ydy
 xe y  0
dx
y
ydy  xe y dx  0;
dy   xdx;
ey
y
 e y dy   xdx;
Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям
u  y; e  y dy  dv;
y
ye
dy

 e y y    e y dy  e  y y  e  y  e  y ( y  1);


y 
du  dy; v  e ; 
x2
e  y ( y  1) 
 C0 ;
2
2e  y ( y  1)  x 2  C
Если у(1) = 0, то 2e 0 (0  1)  1  C;  2  1  C;  C  1;
Итого, частный интеграл: 2e  y ( y  1)  x 2 1 .
Пример 6. Решить уравнение y   sin( x  y )  sin( x  y ) .
y   sin( x  y )  sin( x  y )  0
x yx y
x yx y
cos
0
2
2
y   2 sin(  y ) cos x  0
y   2 sin y cos x  0
dy
dy
 2 cos xdx;
 2 cos xdx;

sin y
sin y
y   2 sin
Получаем общий интеграл:
y
 2 sin x  C
2
ln tg
2
Пример 7. Решить уравнение 2 xe x 
Преобразуем заданное уравнение:
y
0
y
dy
0
ydx
2
dy
2 xe x dx 
0
y
dy
 x2
 2 xe dx   y  C
2
2 xe x 
2
 e  x  ln y  C
Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого
соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.
Однородные уравнения.
Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно
своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется
тождество:
f (tx, ty)  t n f ( x, y).
Пример 8. Является ли однородной функция f ( x, y)  x 3  3x 2 y ?
f (tx, ty)  (tx) 3  3(tx) 2 ty  t 3 x 3  3t 3 x 2 y  t 3 ( x 3  3x 2 y)  t 3 f ( x, y)
Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.
Определение. Дифференциальное уравнение вида y   f ( x, y ) называется однородным,
если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих
аргументов.
Любое уравнение вида P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 является однородным, если функции
P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к
уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим однородное уравнение y   f ( x, y ).
Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:
f (tx, ty)  f ( x, y ).
Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что t 
1
. Получаем:
x
 y
f ( x, y )  f 1, 
 x
Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента
u
y
, т.е.
x
 y
f ( x, y )     (u );
x
Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:
y   (u )
Далее заменяем y = ux, y   u x  ux  .
(u )  u
;
x
таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно
неизвестной функции u.
du
dx
du
dx
 ; 
   C;
(u )  u
x
(u )  u
x
u x  ux   (u ); u x  u  (u ); u  
Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя
интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.
Пример 9. Решить уравнение y  
y y 
 ln  1 .
x x

Введем вспомогательную функцию u.
y
u  ; y  ux; y   u x  u .
x
Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае
y
теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее ln u  ln .
x
Подставляем в исходное уравнение:
u x  u  u (ln u  1); u x  u  u ln u  u; u x  u ln u;
Разделяем переменные:
du
dx
 ;
u ln u
x
du
 u ln u  
dx
;
x
Интегрируя, получаем: ln ln u  ln x  C; ln u  Cx; u  e Cx ;
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
y  xeCx .
Уравнения, приводящиеся к однородным.
Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью
определенных подстановок могут приведены к однородным.
 ax  by  c 
 .
Это уравнения вида y   f 
 a1 x  b1 y  c1 
a b
Если определитель
 0, то переменные могут быть разделены подстановкой
a1 b1
x  u  ;
y  v  ;
ax  by  c  0
где  и  - решения системы уравнений 
a1 x  b1 y  c1  0
Пример 10. Решить уравнение ( x  2 y  3)dy  (2 x  y  1)dx  0.
dy
dy  2 x  y  1
 2 x  y  1;

;
Получаем ( x  2 y  3)
dx
dx
x  2y  3
Находим значение определителя
 2 1
 4 1  5  0.
1 2
 2 x  y  1  0  y  1  2 x
 x  1 / 5
Решаем систему уравнений 
; 
; 
;
x  2 y  3  0
x  2  4x  3  0  y  7 / 5
Применяем подстановку x  u  1 / 5;
y  v  7 / 5; в исходное уравнение:
(u  1 / 5  2v  14 / 5  3)dv  (2u  2 / 5  v  7 / 5  1)du  0;
(u  2v)dv  (2u  v)du  0;
dv 2u  v 2  v / u


;
du 2v  u 2v / u  1
v
 t ; v  ut ; v   t u  t ; при подстановке в выражение, записанное
Заменяем переменную
u
выше, имеем:
2t
t u  t 
2t  1
Разделяем переменные:
dt
2t
2  t  2t 2  t 2(1  t  t 2 )
u
t 

;
du
2t  1
2t  1
2t  1
du
1 1  2t
 
dt ;
u
2 1 t  t2

du
1 (1  2t )dt
 
;
u
2 1 t  t2
1
 ln 1  t  t 2  ln u  ln C1
2
ln 1  t  t 2  2 ln C1u
ln 1  t  t 2  ln
C2
C
; 1  t  t 2  22 ;
2
u
u
Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.
t
v y  7 / 5 5y  7


; u  x  1 / 5;
u x  1 / 5 5x  1
2
1
25C 2
5y  7  5y  7 

;
 
5x  1  5x  1 
(5 x  1) 2
(5x  1) 2  (5 y  7)(5x  1)  (5 y  7) 2  25C2
25x 2  10 x  1  25xy  5 y  35x  7  25 y 2  70 y  49  25C2
25x 2  25x  25xy  75 y  25 y 2  25C2  49  1  7
55
x 2  x  xy  3 y  y 2  C 2 
 C;
25
Итого, выражение x 2  x  xy  3 y  y 2  C
дифференциального уравнения.
является
В случае если в исходном уравнении вида
a
b
a1 b1
общим
исходного
 ax  by  c 
 определитель
y   f 
 a1 x  b1 y  c1 
 0, то переменные могут быть разделены подстановкой
ax  by  t.
интегралом
Пример 11. Решить уравнение 2( x  y )dy  (3x  3 y  1)dx  0.
dy
dy  3x  3 y  1
3x  3 y  1
 3x  3 y  1;


;
dx
dx
2x  2 y
2x  2 y
3 3
Находим значение определителя
 6  6  0;
2
2
Применяем подстановку 3x  3 y  t.
dy t 
  1;
dx 3
Подставляем это выражение в исходное уравнение:
t
3(t  1)
1  
; 2t (t   3)  9t  9; 2tt   6t  9t  9; 2tt   3t  9;
3
2t
Получаем 2( x  y )
2t
t
3
dt  dx;
dt   dx;
 3t  9
t 3
2
3 
3

 1  t  3 dt   2  dx;
3
t  3 ln t  3   x  C1
2
Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.
2 x  2 y  2 ln 3( x  y  1)   x  C2 ;
Разделяем переменные:
3x  2 y  2 ln 3  2 ln x  y  1  C2 ;
3x  2 y  2 ln x  y  1  C;
таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.
Лекция № 3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
Линейные уравнения.
Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно
неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:
y   P( x) y  Q( x),
при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным
однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое
уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.
P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.
Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Рассмотрим методы нахождения общего
дифференциального уравнения первого порядка вида
y   P( x) y  0 .
решения
линейного
однородного
Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не
представляет сложностей.
dy
  P( x)dx
y
ln y    P( x)dx  ln C ;
ln
y
   P( x)dx;
C
 P ( x ) dx
y  Ce 
Общее решение:
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)0) применяются в
основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
Метод Бернулли.
(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)
Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде
произведения двух функций y  uv .
dv
du
При этом очевидно, что y   u   v 
- дифференцирование по частям.
dx
dx
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
dv
du
u
v
 P ( x)uv  Q( x)
dx
dx
dv
 du

u
 v
 P( x)u   Q( x)
dx
 dx

Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена
нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может
быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.
Например, функция y  2x 2 может быть представлена как y  1  2 x 2 ; y  2  x 2 ;
y  2 x  x; и т.п.
Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что
du
 P ( x)u  0 .
выражение
dx
Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное
соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:
du
  P( x)dx;
u

du
   P( x)dx;
u
ln C1  ln u   P( x)dx;
ln u    P( x)dx;
 P ( x ) dx
u  Ce 
; C  1 / C1 ;
Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для
dv
 du

 P( x)u   Q( x) с учетом того, что выражение,
функции u в исходное уравнение u  v
dx
 dx

стоящее в скобках, равно нулю.
 P ( x ) dx dv
Сe 
 Q( x);
dx
Интегрируя, можем найти функцию v:
P ( x ) dx
Cv  Q( x)e 
dx  C ;

1
Cdv  Q( x)e 
v
P ( x ) dx
dx;
P ( x ) dx
1
Q ( x )e 
dx  C 2 ;

C
Т.е. была получена вторая составляющая произведения y  uv , которое и определяет
искомую функцию.
Подставляя полученные значения, получаем:
 P ( x ) dx 1 
P ( x ) dx
y  uv  Ce 
   Q( x)e 
dx  C2 
C

Окончательно получаем формулу:
 P ( x ) dx 
P ( x ) dx
ye 
   Q( x)e 
dx  C2  , С2 - произвольный коэффициент.


Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального
уравнения в общем виде по способу Бернулли.
Метод Лагранжа.
( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик, през. Берлинской АН,
поч. чл. Пет. АН (1776)).
Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений
еще называют методом вариации произвольной постоянной.
Вернемся к поставленной задаче:
y   P( x) y  Q( x)
Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене
ее нулем.
y   P( x) y  0
Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:
 P ( x ) dx
.
yCe 
1
Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального
уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.
Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:
 P ( x ) dx
dy dC1 ( x)  P ( x ) dx
y 

e
 C1 ( x)e 
 ( P( x));
dx
dx
Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
 P ( x ) dx
 P ( x ) dx
dC1 ( x)  P ( x ) dx
e
C1 ( x) P( x)e 
 P( x)C1 ( x)e 
 Q( x )
dx
dC1 ( x)  P ( x ) dx
e
 Q( x);
dx
Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):
P ( x ) dx
dC ( x)  Q( x)e 
dx;
1
Интегрируя, получаем:
C1   Q( x)e 
P ( x ) dx
dx  C;
Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:
 P ( x ) dx 
 P ( x ) dx dx  C  .
ye 
  Q( x)e



Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с
результатом расчета по методу Бернулли.
При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений
следует
руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.
Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений
различными методами и сравним результаты.
1
x
Пример 1. Решить уравнение x y   y  ax e .
2
2
Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду: y  
1
1
y  ae x .
x2
1
1
Применим полученную выше формулу: P  2 ; Q  ae x ;
x
1
1
1
  2 dx 
dx

x
x  x2


ye
ae
e
dx

C




1
1
1
1



y  e x   ae x e x dx  C   e x  adx  C




1
x
y  e (ax  C ).
Уравнение Бернулли.
Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида
y   Py  Q  y n ,
где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.
Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку z 
которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.
Для этого разделим исходное уравнение на yn.
y
1
 P n 1  Q;
n
y
y
Применим подстановку, учтя, что z   
(n  1) y n 2
(n  1) y 
 y  
.
2 n2
y
yn
z
 Pz  Q
n 1
z   (n  1) Pz  (n  1)Q
Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.
Решение этого уравнения будем искать в виде:

 Pdx
P1dx
z  e    Q1e  dx  C 


Q1  (n  1)Q;
P1  (n  1) P.
Пример 2. Решить уравнение xy   y  xy2 ln x.
1
y n 1
, с помощью
Разделим уравнение на xy2:
Полагаем z 
y 1 1
   ln x.
y2 x y
1
y
; z   2 .
y
y
 z 
1
z  ln x;
x
z 
1
z   ln x .
x
1
Полагаем P   , Q   ln x.
x
dx
dx


 x 
z  e    ln xe x dx  C ;
z  e ln x   ln xeln x dx  C ;


dx


z  x   ln x   C ;
z  x   ln xd (ln x)  C ;
x


 ln 2 x

z  x 
 C 
2


Произведя обратную подстановку, получаем:
 ln 2 x

1
 x 
 C .
y
2






Пример 3. Решить уравнение xy   4 y  x 2 y .
Разделим обе части уравнения на x y .
1 dy 4

y  x.
y dx x
Полагаем z 
y ; z 
1
2 y
y ;
y   2 y z ;
1
2 y z 
4
z  x;
x
dz 2 z x

 ;
dx x 2
y
Получили
линейное
неоднородное
дифференциальное
соответствующее ему линейное однородное уравнение:
dz 2 z
dz 2 z
dz 2dx

 0;

;

;
dx x
dx
x
z
x
уравнение.
Рассмотрим
dz
dx
 2  C1 ; ln z  2 ln x  ln C ; z  Cx 2 ;
z
x
Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение,
с учетом того, что:

dz
dC ( x)
 2 xC( x)  x 2
;
dx
dx
2 x 2 C ( x) x
2 dC ( x)
2 xC( x)  x

 ;
dx
x
2
dC ( x)
1
1

;
C ( x)  ln x  C 2 ;
dx
2x
2
1


Получаем: z  x 2  C 2  ln x ;
2


Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:
2
1


y  x 4  C 2  ln x  ;
2


Лекция № 4. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения
представляет собой полный дифференциал некоторой функции u  F ( x, y ).
Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего
решение легко находится в виде: du  0; u  C.
Таким образом, для решения надо определить:
1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;
2) как найти эту функцию.
Если дифференциальная форма M ( x, y )dx  N ( x, y )dy является полным дифференциалом
некоторой функции u, то можно записать:
u
u
du  M ( x, y )dx  N ( x, y )dy 
dx 
dy.
x
y
 u
 x  M ( x, y )
Т.е. 
.
 u  N ( x, y )
 y
Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по
у, а второе – по х:
  2 u M ( x, y )


y
 xy
 2
  u  N ( x, y )
 xy
x
Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие
того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это
условие также называется условием тотальности.
M ( x, y ) N ( x, y )

y
x
Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.
u
 M ( x, y ) :
Проинтегрируем равенство
x
u   M ( x, y )dx  C ( y ).
Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую
функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.
Определим функцию С(у).
Продифференцируем полученное равенство по у.
u

 N ( x, y ) 
M ( x, y )dx  C ( y ).
y
y 

Откуда получаем: C ( y )  N ( x, y )   M ( x, y )dx.
y
Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство.
Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие
будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.
С ( y)x   N ( x, y)     M ( x, y)dx  N ( x, y)      M ( x, y)dx  
x
x y
x
y  x

N ( x, y ) M ( x, y )


 0.
x
y
Теперь определяем функцию С(у):



C ( y )    N ( x, y )   M ( x, y )dx  dy  C
y


Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:



u   M ( x, y )dx    N ( x, y )  M ( x, y )dx  dy  C.
y


Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:



 M ( x, y)dx    N ( x, y)  y M ( x, y)dx dy  C.
Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не
обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более
компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.
Пример. Решить уравнение (3x 2  10 xy)dx  (5 x 2  1)dy  0
M ( x, y) (3x 2 10 xy)

 10 x;
y
y
N ( x, y ) (5 x 2  1)

 10 x.
x
x
Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение
является уравнением в полных дифференциалах.
Определим функцию u.
u   M ( x, y )dx  C ( y )   (3x 2  10 xy)dx  C ( y )  x 3  5 x 2 y  C ( y );
Проверим условие тотальности:
u
 5 x 2  C ( y)  N ( x, y)  5 x 2  1;
y
C ( y )  1; C ( y )   (1)dy   y  C1 ;
Итого, u  x 3  5 x 2 y  y  C1 .
Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
u  x 3  5 x 2 y  y  C1  С 2 ;.
x 3  5 x 2 y  y  C.
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции
у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.
y   p.
dp
y   f ( p) .
Для уравнения первого типа получаем: y  f ( p );
dx
dp
;
dx
В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение
разделяющимися переменными.
f ( p)
f ( p)
dx 
dp;
x
dp  C.
p
p
Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:
Делая замену, получаем: p  f ( p )
с
f ( p)

dp  C
x  
p

 y  f ( p)

Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической
форме.
Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки
и аналогичных рассуждений получаем результат:
 y  pf ( p)dp  C


 x  f ( p)
Уравнения Лагранжа и Клеро.
( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик
ин. поч. член Петерб. АН )
Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение,
линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y’.
P( y ) x  Q( y ) y  R( y )  0
Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.
P( y )
R( y )
y  xf ( p)  ( p), f ( p)  
, ( p)  
.
Q( y )
Q( y )
Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что dy  pdx , получаем:
pdx  f ( p)dx  xf ( p)dp  ( p)dp.
Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть x  F ( p, C ), то общее решение
уравнения Лагранжа может быть записано в виде:
 x  F ( p, C )

 y  xf ( p)  ( p)  F ( p, C ) f ( p)  ( p)
Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е.
линейное) относительно функции и аргумента вида:
y  xy   ( y ).
Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.
С учетом замены y   p , уравнение принимает вид:
y  xp  ( p).
dp
dp
dp
dp
y  p  x
 ( p ) ;
p px
 ( p ) ;
dx
dx
dx
dx
x  ( p) dp  0;
dx
Это уравнение имеет два возможных решения:
dp  0 или x  ( p )  0.
В первом случае: p  c;
y  cx  (c)
Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.
Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:
 y  xp  ( p)

 x  ( p)  0
Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит
произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является
частным решением.
Это решение будет являться особым интегралом.
Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений
первого порядка.
Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.
y
y    x  1; y (1)  0.
x
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
y
y
dy y
dy dx
y    0;
y  ;
 ;
 ;
x
x
dx x
y
x
dy
dx
 y   x ; ln y  ln x  ln C;
y  Cx;
Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:
y  C ( x) x;


Дифференцируя, получаем: y  C ( x) x  C ( x);
Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение
дифференциальное уравнение:
C ( x) x  C ( x)  C ( x)  x  1
xC ( x)  x  1
1
 1
C ( x)  1  ;
C ( x)   1  dx  C ;
x
x

C ( x)  x  ln x  C;
в
исходное
Итого, общее решение: y  x( x  ln x  C ).
C учетом начального условия y (1)  0 определяем постоянный коэффициент C.
0  1  ln 1  C ;
C  1.
Окончательно получаем: y  x 2  x ln x  x.
Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение:
1
2 x  ln x  x   1  x  ln x  1  x  1; верно
x
Ниже показан график интегральной кривой уравнения.
1. 5
1
0. 5
0. 5
1
1. 5
2
- 0. 5
Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков.
Лекция № 5. Основные понятия и определения. Уравнения, допускающие
понижение порядка.
Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение
вида:
F ( x, y, y ,..., y ( n ) )  0
В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):
y ( n )  f ( x, y, y ,..., y ( n1) ).
Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков
имеют бесконечное количество решений.
Определение. Решение y  (x) удовлетворяет начальным условиям x0 , y 0 , y 0 ,..., y 0( n 1) ,
если ( x0 )  y 0 ,
( x0 )  y 0 , .... ,  ( n 1) ( x0 )  y 0( n 1) .
Определение.
Нахождение
решения
уравнения
F ( x, y, y ,..., y ( n ) )  0 ,
удовлетворяющего начальным условиям x0 , y 0 , y 0 ,..., y 0( n 1) , называется решением задачи
Коши.
Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования
решения задачи Коши).
Если функция (n-1) –й переменных вида f ( x, y, y ,..., y ( n1) ) в некоторой области D (n-1)мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по
y, y ,..., y ( n 1) , то какова бы не была точка ( x0 , y 0 , y 0 ,..., y 0( n 1) ) в этой области, существует
единственное решение y  (x) уравнения y ( n )  f ( x, y, y ,..., y ( n1) ) , определенного в
некотором интервале, содержащем точку х0, удовлетворяющее начальным условиям
x0 , y 0 , y 0 ,..., y 0( n 1) .
Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть
найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.
Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения
уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить
решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда
возможно понижение порядка.
Уравнения вида y(n) = f(x).
Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может
быть найдено последовательным интегрированием.
y ( n 1)   f ( x)dx  C1 ;
y ( n2)  
 f ( x)dx  C dx  C   dx f ( x)dx  C x  C ;
1
2
1
2
…………………………………………………………….
x n1
x n2
y   dx  dx.... f ( x)dx  C1
 C2
 ...  Cn ;
(n  1)!
(n  2)!
Пример. Решить уравнение y   e 2 x с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;
y0  1; y0  0.
1
y    e 2 x dx  C1  e 2 x  C1 ;
2
1
1

y     e 2 x  C1 dx  e 2 x  C1 x  C 2 ;
4
2

1
1
 1
y    e 2 x  C1 x  C 2   e 2 x  C1 x 2  C 2 x  C 3 ;
2
4
 8
Подставим начальные условия:
1
1
1
1   С 3 ;  1   C 2 ; 0   C1 ;
8
4
2
1
5
7
C1   ; C 2   ; C 3  ;
2
4
8
1
1
5
7
Получаем частное решение (решение задачи Коши): y  e 2 x  x 2  x  .
8
4
4
8
Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения.
10
7. 5
5
2. 5
- 10
-8
-6
-4
-2
2
- 2. 5
-5
- 7. 5
4
Уравнения, не содержащие явно искомой функции
и ее производных до порядка k – 1 включительно.
Это уравнения вида: F ( x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( n ) )  0.
В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят
замену переменной:
y ( k )  z; y ( k 1)  z ; ... y ( n )  z ( nk ) .
Тогда получаем: F ( x, z, z ,..., z ( nk ) )  0.
Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и
совокупность его решений выражается соотношением:
z  ( x, C1 , C2 ,..., Cnk ).
Делая обратную подстановку, имеем:
y ( k )   ( x, C1 , C 2 ,..., C n  k )
Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный
ответ:
y  ( x, C1 , C2 ,..., Cn ).
y 
Пример. Найти общее решение уравнения y  
.
x
Применяем подстановку z  y ; z   y ;
z
dz z
dz dx
dz
dx
z  ;
 ;
 ;
 ;

x
dx x
z
x
z
x
ln z  ln x  ln C1 ;
z  C1 x;
Произведя обратную замену, получаем:
C
y   C1 x;
y    C1 xdx  1 x 2  C2 ;
2
C
C

y    1 x 2  C 2 dx  1 x 3  C 2 x  C3 ;
6
 2

Общее решение исходного дифференциального уравнения:
y  Cx 3  C 2 x  C3 ;
Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х
кроме значения х =0.
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Это уравнения вида F ( y, y ,..., y ( n ) )  0.
Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных
y   p.
dy  dy  dy dp
y  



p;
dx
dy dx dy
 dp 
d 
p
2
dy 
dy  dy  dy dy 
d 2 p 2  dp 

y  



p
p
p    p; и т.д.
dx
dy dx dy
dy
dy 2
 dy 
Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

dp
d n1 p 
F1  y, p, ,..., n1   0
dy
dy 

Если это уравнение проинтегрировать, и Ф( y, p, C1 , C2 ,..., Cn1 )  0 - совокупность его
решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение
первого порядка:
Ф( y, y , C1 , C 2 ,..., C n1 )  0.
Пример. Найти общее решение уравнения yy   ( y ) 2  4 yy   0.
Замена переменной: p  y ;
yp
y  
dp
p;
dy
dp
 p 2  4 yp  0;
dy
 dp

p y
 p  4 y   0;
 dy

dp
dp
p
 p  4 y  0;
 4 ;
dy
dy
y
Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной:
p
u .
y
du
dy
u
y  4  u;
du  4 ;
dy
y
dy
 du  4 y ; u  4 ln y  4 ln C1 ; u  4 ln C1 y ;
p  4 y ln C1 y ;
1) y
dy
, получаем:
dx
dy
 4 y ln C1 y ;
dx
С учетом того, что p 
x
dy
 4 y ln C y   dx;
1
1 d (ln C1 y ) 1
 ln ln C1 y  C 2 ;
4  ln C1 y
4
Общий интеграл имеет вид: ln ln C1 y  4 x  C ;
2) p  0;
y   0;
y  C;
Таким образом, получили два общих решения.
Лекция № 6. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с
произвольными коэффициентами.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка
называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных
y , y ,..., y ( n ) вида:
p 0 y ( n )  p1 y ( n 1)  p 2 y ( n  2)  ...  p n 1 y   p n y  f ( x);
где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0  0.
Левую часть этого уравнения обозначим L(y).
p 0 y ( n )  p1 y ( n 1)  p 2 y ( n  2)  ...  p n 1 y   p n y  L( y );
Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным
уравнением, если f(x)  0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным
уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные числа, то уравнение L(y) =
f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с
постоянными коэффициентами.
Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое
отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из
общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные
уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений
высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при
решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное
уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое
уравнение “близким” к нему линейным.
Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных
уравнений высших порядков.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с
произвольными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение вида p 0 y ( n )  p1 y ( n 1)  p 2 y ( n  2)  ...  p n 1 y   p n y  0
p 0 y ( n )  p1 y ( n 1)  p 2 y ( n  2)  ...  p n 1 y   p n y  L( y )
Определение.
Выражение
называется линейным дифференциальным оператором.
Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:
1) L(Cy)  CL( y );
2) L( y1  y2 )  L( y1 )  L( y2 );
Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:
1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное
число, также является его решением.
2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его
решением.
Структура общего решения.
Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного
дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n
линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка
y1
y2
...
yn
y1
y 2
...
y n
,
W
...
...
...
...
y1( n 1) y 2( n 1) ... y n( n 1)
то этот определитель называется определителем Вронского.
( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)
Теорема. Если функции y1 , y 2 ,..., y n линейно зависимы, то составленный для них
определитель Вронского равен нулю.
Теорема. Если функции y1 , y 2 ,..., y n линейно независимы, то составленный для них
определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.
Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного
дифференциального уравнения y1 , y 2 ,..., y n была фундаментальной необходимо и достаточно,
чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.
Теорема. Если y1 , y 2 ,..., y n - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то
общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной
комбинацией этих решений.
y  C1 y1  C 2 y 2  ...  C n y n ,
где Ci –постоянные коэффициенты.
Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных
однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка.
Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного
дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы
решений.
Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта
задача не может быть решена в общем виде.
Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть
решена.
Теорема. Если задано уравнение вида y  p1 ( x) y  p2 ( x) y  0 и известно одно
ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле:
1  p1 ( x ) dx
y  C 2 y1  2 e 
dx  C1 y1 .
y1
Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное
решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.
Лекция № 7. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с
произвольными коэффициентами. Системы линейных дифференциальных уравнений
высших порядков. Метод исключения.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Решение дифференциального уравнения вида y ( n )  a1 y ( n 1)  ...  a n y  0 или, короче,
L( y )  0 будем искать в виде y  e kx , где k = const.
Т.к. y   kekx ;
y   k 2 e kx ; ... y ( n )  k n e kx , то
L(e kx )  e kx (k n  a1 k n 1  ...  a n ).
При этом многочлен F (k )  k n  a1 k n 1  ...  a n называется характеристическим
многочленом дифференциального уравнения.
Для того, чтобы функция y  e kx являлась решением исходного дифференциального
уравнения, необходимо и достаточно, чтобы
L(e kx )  0; т.е. e kx F (k )  0.
Т.к. ekx  0, то F (k )  0 - это уравнение называется характеристическим уравнением.
Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение
k  a1 k n 1  ...  a n  0 имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki
соответствует решение дифференциального уравнения.
n
В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n
различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные
корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.
Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило
нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами.
1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:
a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;
б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m
решений:
e kx ; xekx ; ... x m1e kx .
в) каждой паре комплексно – сопряженных корней   i характеристического
уравнение ставится в соответствие два решения:
e x cos x и e x sin x .
г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней   i
характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:
e x cos x, xex cos x, ... x m1e x cos x,
e x sin x, xex sin x, ...x m1e x sin x.
3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.
Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного
однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Пример 1. Решить уравнение y   y  0 .
Составим характеристическое уравнение: k 3  1  0;
(k  1)(k 2  k  1)  0;
k1  1;
D  1  4  3;
Общее решение имеет вид: y  C1e  e
x
1
3
k2   
i;
2 2

x
2
k 2  k  1  0;
1
3
k3   
i;
2 2

3
3 
x  C 3 sin
x .
C 2 cos
2
2 

Пример 2. Решить уравнение (1  x 2 ) y   2 xy   2 y  0.
Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными
коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать
какое - либо частное решение.
Таким частным решением будет являться функция y1  x.
y1  1; y1  0;
0  2x  2x  0;
Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:
2x
2y
y  
y 
 0.
2
1 x
1 x2
2x
1  1 x 2 dx
e
dx  C 2 x;
x2
2
e  ln(1 x )
y  C1 x 
dx  C 2 x;
x2
1
dx
1
1 
y  C1 x  2
 C 2 x;
y  C 2 x  C1 x   2 

dx;
2
2(1  x) 2(1  x) 
x (1  x )
x
Общее решение имеет вид: y  C1 x 
 1 1 1 x 
y  C 2 x  C1 x   ln
;
 x 2 1 x 
Окончательно: y  C 2 x  C 3 x ln
1 x
 C4 ;
1 x
Пример 3. Решить уравнение y IV  y  0.
Составим характеристическое уравнение: k 4  1  0.
(k 2  1)( k 2  1)  0;
k1  1; k 2  1; k 3  i; k 4  i.
Общее решение: y  C1e x  C 2 e  x  C3 cos x  C 4 sin x.
Пример 4. Решить уравнение y   4 y   4 y  0.
Характеристическое уравнение: k 2  4k  4  0;
k1  k 2  2.
Общее решение: y  C1e 2 x  C 2 xe2 x .
Пример 5. Решить уравнение y   2 y   5 y  0.
Характеристическое уравнение: k 2  2k  5  0;
D  16;
k1  1  2i;
k 2  1  2i.
Общее решение: y  e  x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x).
Пример 6. Решить уравнение y   7 y   6 y   0.
k (k 2  7k  6)  0;
Характеристическое уравнение: k 3  7k 2  6k  0;
k1  0; k 2  1; k 3 6;
Общее решение: y  C1  C 2 e x  C 3 e 6 x ;
Пример 7. Решить уравнение y   y   2 y  0.
Характеристическое уравнение: k 2  k  2  0;
k1  1; k 2  2;
Общее решение: y  C1e  x  C 2 e 2 x .
Пример 8. Решить уравнение y V  9 y   0.
Характеристическое уравнение: k 5  9k 3  0;
k1  k 2  k 3  0;
k 3 (k 2  9)  0;
k 4  3;
k 5  3;
Общее решение: y  C1  C 2 x  C3 x 2  C 4 e 3 x  C5 e 3 x ;
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с произвольными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение вида y ( n )  p1 ( x) y ( n 1)  ...  p n ( x) y  f ( x).
С учетом обозначения y ( n )  p1 ( x) y ( n 1)  ...  p n ( x) y  L( x) можно записать:
L( x)  f ( x).
При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения
непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном).
Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
y  p1 ( x) y ( n 1)  ...  p n ( x) y  f ( x) в некоторой области есть сумма любого его решения и
общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
(n)
Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения.
Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:
L(Y )  f ( x).
Пусть y1 , y 2 ,..., y n - фундаментальная система решений линейного однородного
уравнения L( y )  0 . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:
y  C1 y1  C2 y 2  ...  Cn y n ; Ci  const.
Далее покажем, что сумма Y  C1 y1  C2 y 2  ...  Cn y n является общим решением
неоднородного уравнения.
L(Y  C1 y1  C2 y 2  ...  Cn y n )  L(Y )  L(C1 y1 )  L(C2 y 2 )  ...  L(Cn y n )  L(Y )  f ( x)
Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является
частным решением.
Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного
неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение
соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное
решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором.
На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных.
Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:
n
y  C1 y1  C 2 y 2  ...  C n y n   Ci y i ;
i 1
Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:
n
y   C i ( x) y i ;
i 1
Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:
n
 C i( x) y i  0
 i 1
n
 C i( x) y i  0
 i 1
..........................

n
( n 1)
 f ( x)
 C i( x) y i
 i 1
Пример 9. Решить уравнение y   y  x  sin 2 x.
Решаем линейное однородное уравнение y   y  0.
k 2  1  0; k1  i; k 2  i.
y  e x ( A cos x  B sin x);   0;   1;
y  A cos x  B sin x;
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
y  A( x) cos x  B( x) sin x;
Составляем систему уравнений:
 A( x) cos x  B ( x) sin x  0

 A( x) sin x  B ( x) cos x  x  sin 2 x
Решим эту систему:
cos x

B ( x)   A( x)
  A( x)

 x  sin 2 x

sin x


 sin x
2
 A( x) sin x  A( x) cos x  x  sin 2 x

B ( x)  cos x( x  sin 2 x)

sin x

Из соотношения A( x)  2 sin 2 x cos x  x sin x найдем функцию А(х).


A( x)   2 sin 2 x cos x  x sin x dx  2 sin 2 x cos xdx   x sin xdx 
2 3
sin x   x sin xdx 
3
u  x; dv  sin xdx;  2 3
2 3

  sin x  x cos x   cos xdx  sin x  x cos x  sin x  C1 .
3
du  dx; v   cos x  3
Теперь находим В(х).
u  x; dv  cos xdx;
2
3
B( x)   x cos xdx  2 cos 2 x sin xdx  
  x sin x   sin xdx  cos x 
3
du  dx; v  sin x; 
2
 cos 3 x  x sin x  cos x  C 2 .
3
Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:
2
2
y  sin 3 x cos x  x cos 2 x  sin x cos x  C1 cos x  sin x cos 3 x  x sin 2 x  sin x cos x  C 2 sin x 
3
3
2
 sin x cos x(sin 2 x  cos 2 x)  x(sin 2 x  cos 2 x)  C1 cos x  C 2 sin x.
3
1
Окончательный ответ: y  sin 2 x  x  C1 cos x  C 2 sin x;
3
Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного
уравнения методом подбора.
Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения
решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной
системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной
задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными
коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Уравнения с правой частью специального вида.
Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида
правой части неоднородного уравнения.
Различают следующие случаи:
I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
f ( x)  P( x)e x ,
где P( x)  A0 x m  A1 x m 1  ...  Am - многочлен степени m.
Тогда частное решение ищется в виде:
y  x r e x Q(x)
Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r
– число, показывающее сколько раз число  является корнем характеристического уравнения
для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Пример 10. Решить уравнение y   4 y   x .
Решим соответствующее однородное уравнение: y   4 y   0.
k 3  4k  0; k (k 2  4)  0; k1  0; k 2  2; k 3  2;
y  C1  C 2 e 2 x  C3 e 2 x ;
Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.
P( x)  x;   0.
Частное решение ищем в виде: y  x r e x Q(x) , где r  1;   0; Q( x)  Ax  B.
Т.е. y  Ax 2  Bx.
Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.
Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное
уравнение.
y   2 Ax  B; y   2 A; y   0;
1
0  8 Ax  4 B  x;  8 A  1; A   ; B  0;
8
2
x
Итого, частное решение: y   .
8
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
f ( x)  e x P1 ( x) cos x  P2 ( x) sin x
Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
y  x r e x Q1 ( x) cos x  Q2 ( x) sin x
где число r показывает сколько раз число   i является корнем характеристического
уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены
степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений
рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных
уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему
в комбинацию.
Т.е. если уравнение имеет вид: L( y)  f1 ( x)  f 2 ( x) , то частное решение этого уравнения
будет y  y1  y2 , где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений
L( y)  f1 ( x) и L( y)  f 2 ( x)
Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.
Пример 11. Решить уравнение y   y  x  sin 2 x.
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций
f1(x) + f2(x) = x + (-sinx).
Составим и решим характеристическое уравнение: k 2  1  0;
k1, 2   i;
1. Для функции f1(x) решение ищем в виде y1  x r e x Q( x) .
Получаем:   0, r  0, Q( x)  Ax  B; Т.е. y1  Ax  B;


y1  A;
y1  0;
Ax  B  x;
A  1; B  0;
Итого: y1  x;
2. Для функции f2(x) решение ищем в виде: y 2  x r e x (Q1 ( x) cos x  Q2 ( x) sin x) .
Анализируя функцию f2(x), получаем: P1 ( x)  0; P2 ( x)  1;   0;   2; r  0;
Таким образом, y2  C cos 2 x  D sin 2 x;

y 2  2C sin 2 x  2 D cos 2 x;

y 2  4C 2 cos x  4 D sin 2 x;
 4C cos 2 x  4 D sin 2 x  C cos 2 x  D sin 2 x   sin 2 x;
 3C cos 2x  3D sin 2x   sin 2x
1
A  0; B  ;
3
1
Итого: y 2  sin 2 x;
3
1
Т.е. искомое частное решение имеет вид: y  y1  y 2  sin 2 x  x;
3
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
1
y  sin 2 x  x  C1 cos x  C 2 sin x;
3
Рассмотрим примеры применения описанных методов.
Пример 12. Решить уравнение y   2 y   y  3e x .
Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного
дифференциального уравнения:
k 2  2k  1  0;
k1  k 2  1;
Общее решение однородного уравнения: y  C1e x  C2 xex .
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:
y  x r e x Q(x)
  1; r  2; Q( x)  C;
y  Cx 2 e x .
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
y   2Cxex  Cx 2 e x ;
y   2Ce x  2Cxex  2Cxex  Cx 2 e x .
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
2Ce x  4Cxex  Cx 2 e x  4Cxex  2Cx 2 e x  Cx 2 e x  3e x .
3
2C  3;
C .
2
3 2 x
Частное решение имеет вид: y  x e .
2
3
Общее решение линейного неоднородного уравнения: y  C1e x  C 2 xe x  x 2 e x .
2
2
Пример 13. Решить уравнение y   y   x  1.
Характеристическое уравнение: k 3  k  0; k (k 2  1)  0; k1  0; k 2  1; k 3  1;
Общее решение однородного уравнения: y  C1  C 2 e x  C 3 e  x .
Частное решение неоднородного уравнения: y  x r e x Q(x) .
  0; r  1; Q( x)  Ax 2  Bx  C.
y  Ax 3  Bx 2  Cx
Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:
y   3 Ax 2  2Bx  C; y   6 Ax  2B; y   6 A;
6 A  3 Ax 2  2Bx  C  x 2  1;
 3 A  1;  2 B  0; 6 A  C  1;
1
A   ; B  0; C  1;
3
Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
1
y  C1  C 2 e x  C 3 e  x  x 3  x.
3
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение. Совокупность соотношений вида:
 F1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y1 , y 2 ,..., y n )  0
 F ( x, y , y ,..., y , y  , y  ,..., y  )  0
 2
1
2
n
1
2
n

......................................................
 Fn ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y1 , y 2 ,..., y n )  0
где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой
дифференциальных уравнений первого порядка.
Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных
относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой
дифференциальных уравнений.
Такая система имеет вид:
 dy1
 dx  f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n )

 dy 2  f ( x, y , y ,..., y )

2
1
2
n
(1)
 dx
........................................

 dy n  f ( x, y , y ,..., y )
n
1
2
n
 dx
Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных
уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.
Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства
функции f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ), f 2 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ), … f n ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) непрерывны и имеют
непрерывные частные производные по y1 , y 2 ,..., y n , то для любой точки ( x0 . y10 , y 20 ,..., y n 0 )
этой области существует единственное решение
y1  1 ( x), y 2   2 ( x), ... y n   n ( x)
системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой
окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям x0 . y10 , y 20 ,..., y n0 .
Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1)
y1  1 ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) ,
y 2   2 ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) ,
будет
совокупность
функций
…
y n   n ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.
Нормальные системы линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы
трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.
Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными
коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:
 dy
 dx  a11 y  a12 z  a13u

 dz
(2)
  a 21 y  a 22 z  a 23u
dx

 du
 dx  a31 y  a32 z  a33u

Решения системы (2) обладают следующими свойствами:
1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями
этой системы.
2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже являются
решениями системы.
Решения системы ищутся в виде: y  e kx ; z  e kx ; u  e kx , , , , k  const
Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx,
получаем:
(a11  k )  a12  a13   0

a 21  (a 22  k )  a 23   0
a   a   (a  k )   0
32
33
 31
Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно,
чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:
a11  k
a12
a13
a 21
a 22  k
a 23  0
a31
a32
a33  k
В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени
относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три
корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):
y1  1e k1x ,
z1  1e k1x ,
u1   1e k1x ,
y 2   2 e k2 x ,
z 2   2 e k2 x ,
u 2   2 e k2 x ,
y 3   3 e k3 x ,
z 3   3 e k3 x ,
u 3   3 e k3 x .
Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет
решением системы (2):
y  C11e k1x  C 2  2 e k2 x  C3  3 e k3 x ;
z  C11e k1x  C 2  2 e k2 x  C3 3 e k3 x ;
u  C1  1e k1x  C 2  2 e k2 x  C 3  3 e k3 x .
Пример 14. Найти общее решение системы уравнений:
 x  5x  2 y

 y  2x  2 y
Составим характеристическое уравнение:
5k
2
 0;
(5  k )( 2  k )  4  0;
10  5k  2k  k 2  4  0;
2
2k
k 2  7k  6  0;
k1  1;
k 2  6;
Решим систему уравнений:
(a11  k )  a12  0

a21  (a22  k )  0
(5  1)1  21  0
41  21  0
Для k1: 

21  (2  1)1  0
21  1  0
Полагая 1  1 (принимается любое значение), получаем: 1  2.
(5  6) 2  2 2  0
 1 2  2 2  0
Для k2: 

2 2  (2  6) 2  0
2 2  4 2  0
Полагая  2  2 (принимается любое значение), получаем:  2  1.
 x  C1e t  2C 2 e 6t
Общее решение системы: 
 y  2C1e t  C 2 e 6t
Этот пример может быть решен другим способом:
Продифференцируем первое уравнение: x   5 x   2 y ;
Подставим в это выражение производную у =2x + 2y из второго уравнения.
x   5 x   4 x  4 y;
Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:
x  5x  4x  2x  10x
x  7 x  6x  0
k1  6;
x  Ae  Be 6t ;
t
k2  1
x  Ae t  6Be 6t ;
2 y  x  5 x  Ae t  6 Be 6t  5 Aet  5Be 6t ;
1
y  2 Ae t  Be 6t ;
2
t
6t
1
 x  C1e  2C 2 e
B  C 2 , получаем решение системы: 
Обозначив A  C1 ;
2
 y  2C1e t  C 2 e 6t
Пример 15. Найти решение системы уравнений
 y  y  z

z   y  z  x
Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не
является однородным (в уравнение входит независимая переменная х).
Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:
y   y   z .
Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: y   y   y  z  x .
С учетом первого уравнения, получаем: y   2 y   x.
Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.
y   2 y   x;
y   2 y   0;
k 2  2k  0; k1  0; k 2  2.
Общее решение однородного уравнения: y  C1  C 2 e 2 x .
Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле
y  x r e x Q( x);   0; r  1; Q( x)  Ax  B;
y  Ax 2  Bx; y   2 Ax  B; y   2 A;
1
1
2 A  4 Ax  2 B  x;
A ; B ;
4
4
Общее решение неоднородного уравнения:
y  C1  C 2 e 2 x 
1
x( x  1).
4
Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:
1
z  C1  C 2 e 2 x  ( x 2  x  1).
4
Функции комплексного переменного
Лекция № 8. Комплексные числа и действия с ними.
Определение комплексного числа.
Опр. 1.Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару
действительных чисел x, y записанную в форме z = x + iy, где i- новый объект
("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем i2 = -1.
Первая компонента комплексного числа z, действительное число x,
называется действительной частью числа z, это обозначается так: x = Re z; вторая
компонента, действительное число y, называется мнимой частью числа z: xy = Im
z.
Опр.2. Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равны тогда и
только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:
z1  z 2  ( x1  x2 )( y1  y2 ) .
Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел
не вводятся отношения "больше" или "меньше".
Геометрически комплексное число z = x + iy изображается как точка с
координатами ( x, y) на плоскости. Плоскость, на которой изображаются
комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.
Опр. 3. Суммой двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2
называется комплексное число z, определяемое соотношением z =(x1 + x2) + (y1 +
y2) i, т.е. Re(z1 + z2) = Re z1 + Re z2, Im(z1 + z2) = Im z1 + Im z2.
Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как
векторы на плоскости, покоординатно.
Опр. 4.Произведением двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2
называется комплексное число z, определяемое соотношением z = (x1x2 - y1y2) +
(x1y2 + x2y1) i, т.е.
Re(z1 z2) = Re z1 Re z2 – Im z1 Im z2; Im(z1 z2) = Re z1 Im z2 + Im z1 Re z2.
Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью z1 = x1 + 0 i и z2 = x2
+ 0 i получим
z1 + z2 = (x1 + x2) + (0 + 0) i , z1 z2 = (x1x2 – 0 0) + (0 x1 + 0 x2) i, т.е. для множества
комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения
не выводят за пределы этого множества. Отождествим каждое такое число с
действительным числом x, равным действительной части комплексного числа,
т.е. будем считать, что z  x  0i  x . Теперь действительные числа подмножество множества комплексных чисел С. Далее, числа с нулевой
действительной частью, т.е. числа вида z = 0 + yi = yi, называются мнимыми
числами. Мнимое число с единичной мнимой частью будем записывать просто
как i: 0 + 1i = i; квадрат этого числа, по определению умножения, равен
i 2  i  i  (0  1i )(0  1i )  (0  0  1  1)  i (0  1  1  0)  1 , что обосновывает данное в опр.1.
свойство "мнимой единицы".
Легко убедиться, что операция сложения на множестве комплексных чисел
Z имеет свойства, аналогичные аксиомам, которым удовлетворяет операция
сложения действительных чисел:
I.1. z1 + z2 = z2 + z1;
I.2. (z1 + z2) + z3= z1 + (z2 + z3) ;
I.3. Существует такой элемент 0  Z , что 0 + z = z для z  Z . Этот элемент –
число 0 = 0 + 0i.
I.4. Для каждого элемента z  Z существует такой элемент - z, что z + (- z) =
0. Этот элемент - число – x - iy. Сумма чисел z1 = x1 + iy1 и - z2 = - x2 - iy2 и
называется разностью чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2: z1 - z2 = z1 +(- z2) = (x1 - x2)
+ i (y1 - y2).
Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём
понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.
Опр. 5. Число z  x  yi называется числом, сопряжённым к числу z = x + iy.
Часто сопряжённое число обозначается также символом z * .
Опр.6. Действительное число z  x 2  y 2 называется модулем
комплексного числа z = x + iy.
Геометрически модуль числа z - длина радиуса вектора точки z; модуль
разности чисел z1 и z2 равен расстоянию между этими точками:
| z1  z 2 || ( x1  iy1 )  ( x 2  iy2 ) | ( x1  x 2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2 .
Найдём произведение сопряжённых чисел:
z  z  ( x  yi )( x  yi )   x  x  y  ( y) 
  x  ( y)  y  x i  x 2  y 2  z . Таким образом, z  z - всегда неотрицательное
2
действительное число, причём z  z  0  z  0 .
Для нахождения частного комплексных чисел
z1
( z 2  0) домножим
z2
числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю:
z1 z1  z 2
( x  y1i )  ( x 2  y 2 i ) ( x1 x 2  y1 y 2 )  ( y1 x 2  x1 y 2 )i x1 x 2  y1 y 2 y1 x 2  x1 y 2

 1



i
z2 z2  z2 ( x2  y2 i)  ( x2  y2 i)
x2 2  y2 2
x2 2  y2 2
x2 2  y2 2
.
Для операции умножения справедливы свойства
II.1. z1z 2  z 2 z1 ;
II.2. ( z1z 2 ) z3  z1 ( z 2 z3 ) ;
II.3. Произведение числа 1  1  0i  Z на любое число z  Z равно z;
II.4. Для каждого числа z  Z , z  0 существует такое число z 1  Z , что
z  z 1  1 , z 1 
1
z
x  iy
;


2
z zz
z
Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:
III.1. (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3.
Операция сопряжения имеет следующие свойства:
IV.
__
____
z  z
z  z; z  z  2 Re z; z  z  2 Im z  i ; z  z | z | 2 ; z1  z 2  z1  z 2 ; z1  z 2  z1  z 2 ;  1   1
 z2  z2
_______
______
.
Примеры выполнения арифметических действий с
комплексными числами: пусть z1 = 2 - 3 i, z2 = 4 + 5 i.
Тогда z1 + z2 = (2 – 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (-3 + 5) i = 6 +
y
(С)
z
|z
|



2 i; z1z2 = (2 – 3i) (4 + 5i) =  2  4  (3)  5  i 2  2  5  (3)  4i  23  2i ;
z1 2  3i (2  3i )( 4  5i ) (8  15)  (12  10)i
7 22



   i.
z 2 4  5i (4  5i )( 4  5i )
16  25
41 41
Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного
числа в виде z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа.
Изобразим число z как точку на плоскости с декартовыми координатами x, y.
Если теперь перейти к полярным координатам ,  , то x   cos , y   sin , z   ,
поэтому z  z cos   i sin . Угол  называется аргументом комплексного числа z
и обозначается arg z :   arg z . Аргумент комплексного числа определён
неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных 2 ): если, например,    / 6 ,
то значения  , равные  / 6  2,  / 6  4 и т.д. тоже будут соответствовать числу
z; значение аргумента, удовлетворяющее условиям    arg z   , называют
главным; для обозначения всех значений аргумента комплексного числа z
применяется символ Arg z : Arg z  arg z  2k, k  0,1,2,... .
Запись комплексного числа в виде z  z cos(arg z)  i sin(arg z)  z cos   i sin 
называется тригонометрической формой числа.
Число 0 = 0 + 0i - единственное число, модуль которого равен нулю;
аргумент для этого числа не определён.
Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден:
x | z | cos , x | z | sin  . Формулы для перехода от алгебраической формы к
тригонометрической таковы:
| z |
arctg  y / x , x  0;
arctg  y / x   , x  0, y  0;

arctg  y / x   , x  0, y  0;

 / 2, x  0, y  0;
2
2
x  y ; arg z  
  / 2, x  0, y  0;
0, если x  0, y  0;

, если x  0, y  0;
не определён, если x , y  0.

При решении задач на перевод алгебраически
заданного комплексного числа в тригонометрическую
форму следует изобразить это число на комплексной
плоскости С и, таким образом, контролировать полученный
результат. Примеры: записать в тригонометрической форме
числа z1  1  3i , z2 = -1 – i, z3  3  i , z 4  i ,
z5 = -5 – 3i. Решение: z1  2(cos(2 / 3)  i sin( 2 / 3)) ,
(С)
z1
2
2
-4
-2
z5
z2 z4
-2
z 2  2 (cos( 3 / 4)  i sin( 3 / 4)) , z3  2(cos(  / 6)  i sin(  / 6)) ,
z1
z 4  cos( / 2)  i sin(  / 2) ,
z5  34cosarctg 3 / 5    i sin arctg 3 / 5   .
z3
z
5/6
/3
Более интересный пример: привести к
/6
тригонометрической форме число z   sin(  / 3)  i cos(  / 3) .
Изобразим на комплексной плоскости С вместе с точкой z точку
z1  cos( / 3)  i sin(  / 3) . Из рисунка понятно, что arg z     / 6  5 / 6 , поэтому
/3
(C)
z  cos(5 / 6)  i sin( 5 / 6) .
В тригонометрической форме легко интерпретируются такие действия, как
умножение, деление, возведение в степень. Пусть z1  z1 cos 1  i sin 1  ,
z 2  z 2 cos 2  i sin 2  . Тогда z1  z 2   z1 cos 1  i sin 1   z 2 cos 2  i sin 2  
  z1  z 2  cos1  i sin 1 cos2  i sin  2    z1  z 2 
 cos 1 cos 2  sin 1 sin 2   i cos 1 sin 2  sin 1 cos 2    z1  z 2  cos(1  2 )  i sin( 2  2 )
.
Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
аргументы складываются.
Рассмотрим деление комплексных чисел. Очевидно, если z 2  0 ,
z 2  z 2 cos 2  i sin 2  , то сопряженное число равно
z 2  z 2 cos 2  i sin 2   z 2 cos(2 )  i ( sin 2 ) , т.е. операция сопряжения не
меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому
z1 z1  z 2 | z1 |  | z 2 | cos(1   2 )  i sin( 1   2 ) | z1 |
cos(1  2 )  i sin( 1  2 ) .



z2 z2  z2
| z2 |  | z2 |
| z2 |
Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга,
аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Показательная форма комплексного числа.
Ряд Маклорена для функции е х  1  х 
х 2 х3
xn

 ... 
 ... сходится к
2!
3!
n!
функции при любом действительном х. Формально запишем это разложение для
х  i : е i  1  i 
(i) 2 (i) 3 (i) 4 (i) 5
(i) n



... 
 ...
2!
3!
4!
5!
n!
Степени числа i: i 2 = -1; i 3 = i 2 i = - i ; i 4 = i 2 i 2 = 1 ; i 5 = i 4 i = i ; i 6 = i 2 = -1;
далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже
справедливо: i -1 = - i ; i - 2 = -1; i - 3 = i ; i -4 = 1 ; и т.д.). Поэтому
 2 i3  4 i5 6
n




...  i n
 ... 
2!
3!
4!
5!
6!
n!
  2  4 6
 

3 5  7
 1 


 ...  i   


 ... . В круглых скобках стоят ряды для

 

2!
4!
6!
3!
5!
7!

 

cos  и sin  , которые сходятся для любого действительного  ; поэтому получаем
е i  1  i 
e i  cos   i sin  . Эта формула называется формулой Эйлера. Теперь любое
комплексное число z можно представить как z  z e i  Arg z  z e i arg z  z e i  ; эта
форма записи называется показательной. В этой форме умножение и деление
комплексных чисел выполняются и интерпретируются также легко, как и в
тригонометрической:



z1  z 2  z1  e i1  z 2  e i 2   z1  z 2  e i ( 2   2 )   z1  z 2  cos(1  2 )  i sin( 2  2 ) ;
z1  e i1
z1
|z |
|z |

 1 e i (1   2 )  1 cos(1   2 )  i sin( 1   2 )  .
i

z2
| z2 |
z2  e 2 | z2 |
Индукцией по показателю степени n легко доказывается формула
Муавра: если z  z cos   i sin , то z n  z n cos n  i sin n , или, в показательной
форме, z n  z n  e in . С помощью этой формулы легко вычислять высокие
степени комплексных чисел и выводить формулы для синусов и косинусов
1 i 3 

кратных углов: 

 1 i 
20
20
 2(cos(  / 3)  i sin(  / 3) 
 
 

 2 (cos(  / 4)  i sin(  / 4) 
 1
2 20 e i  20  / 3
e i  (6  2 / 3)
e i  2 / 3
3
  512(1  i 3 ) ; в

 210
 1024
 1024   i
1
2 
210 e i  ( 5)
e i 
 2
качестве второго примера выведем формулы для cos 5 и sin 5 : если
z  cos   i sin  , то, по формуле бинома Ньютона,
z 5  (cos   i sin ) 5  C 50 cos 5   C15 cos 4   i sin   C 52 cos 3   i 2 sin 2   C 35 cos 2   i 3 sin 3  
 C 54 cos   i 4 sin 4   C 55  i 5 sin 5  
 cos 5   5i cos 4  sin   10 cos 3  sin 2   10i cos 2  sin 3   5 cos  sin 4   i sin 5  
 (cos 5   10 cos 3  sin 2   5 cos  sin 4 )  i (5 cos 4  sin   10 cos 2  sin 3   sin 5 ) . С другой
стороны, (cos   i sin ) 5  cos 5  i sin 5 , поэтому,
приравнивая действительные и мнимые части этих
двух представлений пятой степени числа z , получим
cos 5  cos 5   10 cos 3  sin 2   5 cos  sin 4  ,
sin 5  5 cos 4  sin   10 cos 2  sin 3   sin 5  .
В заключение рассмотрим операцию извлечения
корня n-ой степени из комплексного числа z. По
определению, любое число w, такое, что w n= z,
называется корнем n -ой степени из числа z. Пусть
z  z cos Arg z  i sinArg z  , w  w cos arg w  i sin arg w  .
y
5
2
z1
z2
-/15
x
z0
z3
-/3
2
z4
z
Тогда w n  w n cos n arg w  i sin n arg w   z cos Arg z  i sinArg z  . Числа равны, если
равны их модули и аргументы, поэтому |w| n= |z|, n arg w n= Arg z, откуда w  n z ,
arg w 
1
1
Arg z  (arg z  2k) , при этом n различных значения корня n -ой степени
n
n
из числа z получаются при k = 0, 1, 2, …, n-1.
Пример: найти все значения 5 1  3i . Число z  1 3i в
тригонометрической форме равно z  2(cos(  / 3)  i sin(  / 3)) . Все пять значений
корня даются формулой z k  5 2 (cos(  / 15  2k / 5)  i sin(  / 15  2k / 5)) при k = 0, 1,
2, 3, 4. Они расположены на окружности радиуса 5 2 . Значение, соответствующее
k = 0, имеет аргумент ( / 3) : 5   / 15 , остальные расположены с интервалом по
 , равным 2 / 5 , в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в эту
окружность.
Сфера Римана. Бесконечно удалённая точка.
Риман предложил применять для геометрического
представления комплексной плоскости сферу. Вместе с
координатами х, у в плоскости C рассмотрим трёхмерную
прямоугольную систему координат , ,  , такую, что оси
,  совпадают с осями х, у, а ось  им перпендикулярна.
Поместим в это пространство сферу единичного диаметра

N
P (, , )
х ()
у ()
z ( x, y )
 2  2   2   , касающуюся плоскости х, у в начале координат своим южным
полюсом. Каждой точке z ( x, y )  x  iy  C поставим в соответствие точку P (, , )
сферы, получающуюся при пересечении луча, проведённого через точку z и
северный полюс N сферы, со сферой. Очевидно, соответствие z  P взаимно
однозначно отображает плоскость С на сферу с единственной исключённой
точкой - северным полюсом N. Такое соответствие z  P называется
стереографической проекцией.
Пополним комплексную плоскость С новым объектом - бесконечно
удалённой точкой z   , которую будем считать прообразом северного полюса N
при стереографической проекции. Такую пополненную плоскость будем
называть замкнутой комплексной плоскостью и обозначать С . Если не прибегать
к стереографической проекции, то несобственная точка z   рассматривается
как единственная предельная точка любой последовательности z n  комплексных
чисел таких, что | z n |   , независимо от того, по какому пути точки
n
последовательности удаляются от начала координат.
Задание кривых и областей на комплексной плоскости.
Так как | z  z 0 | ( x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2 равен расстоянию между точками z и z0, то
1. | z  z 0 | R - уравнение окружности радиуса R с центром в точке z0.
2. | z  z 0 | R - замкнутая область, ограниченная этой окружностью, т.е. круг
радиуса R с центром в точке z0, включающий свою границу.
3. | z  z 0 | R - открытая область, состоящая из точек, находящихся вне
круга радиуса R с центром в z0; круг не включен в эту область.
4. | z  z1 |  | z  z 2 | 2а - эллипс, построенный на точках z1 и z2,
рассматриваемых как фокусы (большая полуось равна 2а, малая -
| z1  z 2 | 2
a 
)
4
2
(рис. 1.). Области, лежащие внутри и вне эллипса, описываются
соответствующими неравенствами.
5. | z  z1 |  | z  z 2 |  2а - гипербола с фокусами в точках z1 и z2; расстояние
у
у
у
β
z1
2a
2a
z1
z0
х
х
z2
Рис. 1.
7.517
Рис. 2.
х
Рис. 3.
z2
10
между фокусами 2с= | z1  z2 | , между вершинами 2а (рис.2). Уравнение
| z  z1 |  | z  z 2 | 2а даёт ветвь гиперболы, расположенную ближе к фокусу z2;
f ( x)
5
неравенство | z  z 2 |  | z  z1 | 2а - открытую область, содержащую фокус z1 и
ограниченную соответствующей ветвью гиперболы.
0.333
α
0
1
0.01
2
x
3
3
6. Re z  a (или x  a ) - прямая, параллельная оси Оу. Re z  a - область,
лежащая справа от этой прямой (включая прямую); Re z  a - область слева от
прямой (прямая не включена в область). Im z  b (или y  b) - прямая
параллельная оси Ох; Im z  b , Im z  b - области, расположенные выше и ниже
этой прямой.
7. аrg z   - луч, выходящий из точки z  0 под углом  к оси Ох.
аrg( z  z 0 )   - луч, выходящий из точки z 0 под углом  к оси Ох.
  аrg( z  z 0 )   - область, расположенная между лучами, выходящими из точки
z 0 (рис. 3.).
Пример построения области на комплексной плоскости, заданной
системой неравенств:
построить область
Определим, какая область даётся неравенством
1
1

Im z  3  6 ,

D : | z  2 |  | z  2 | 2,
Im z  1.


1
1
1
1
1



 :
z  3 6 z  3 x  iy  3 ( x  3)  iy
1
( x  3)  iy
1
y
,


; Im

2
2
( x  3)  iy ( x  3)  y
z  3 ( x  3) 2  y 2
Im
y
1
1
1
  6 y  ( x  3) 2  y 2  ( x  3) 2  ( y  3) 2  9  
2
2
6
z 3 6
( x  3)  y
у
замкнутый круг радиуса 3 с центром в точке z0  3  3i .
поэтому Im
Неравенство | z  2 |  | z  2 | 2 даёт область,
находящуюся справа от правой ветвью гиперболы с
полюсами z   2 , включающую эту ветвь. Параметры
гиперболы: с  2 , a  1  b  1 . Последнее неравенство
определяет полуплоскость y  1 . В результате получаем
заштрихованную область, изображённую на рисунке
справа.
С
4
2
2
4
Окрестности точек плоскости С .
Под  - окрестностью точки z 0  C понимается открытый круг радиуса  с
центром в точке z 0 : U ( z0 , )  {z || z  z0 | } . Проколотая окрестность точки z 0  C любая ее окрестность, из которой исключена сама точка z 0 :
0
U ( z 0 , )  {z | 0 | z  z 0 | } .  - окрестность несобственной точки z 0   - это
внешность круга радиуса  с центром в начале координат (включающая саму
точку z 0   ): U (, )  {z  C || z | } . Проколотая  - окрестность точки z 0   0
множество U (, )  {z  C || z | } .
Лекция № 9. Функции комплексной переменной.
Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от
общего определения функциональной зависимости. Напомним, что областью на
плоскости мы называем любое открытое связное множество точек этой
6
х
плоскости. Область односвязна, если любая подобласть, ограниченная
непрерывной замкнутой самонепересекающейся кривой, лежащей в этой области,
целиком принадлежит области.
Рассмотрим две плоскости комплексных чисел: C = {z| z = x + iy} и W = {w|
w = u + iv}. Пусть в плоскости С задана область D и задано правило, ставящее в
соответствие каждой точке z  D определённое комплексное число w W . В этом
случае говорят, что на области D определена однозначная функция w = f(z) (или
определено отображение f : z  w ). Область D называется областью
определения функции, множество w | w  W , w  f ( z ), z  D - множеством значений
функции (или образом области D при отображении f.
Если каждому z  D ставится в соответствие несколько значений w W (
т.е. точка z имеет несколько образов), то функция w = f(z) называется
многозначной.
Функция w = f(z) называется однолистной в области D  C , если она
взаимно однозначно отображает область D на область G  W (т.е. каждая точка
z  D имеет единственный образ w  G , и обратно, каждая точка w  G имеет
единственный прообраз z  D .
Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной.
Так как
w = u + iv, z = x + iy, то зависимость w = f(z) можно записать в виде
w = u + iv = f(z) = f(x + iy) = Re f(x+ iy) + i Im f(x+ iy). Таким образом, задание
комплекснозначной функции w = f(z) комплексной переменной z
равносильно заданию двух действительных функций u = u(x, y) = Re f(z), v =
v(x, y) = Im f(z) двух действительных переменных х, у.
Примеры: 1. w = z 3. Выражаем z 3 через х,у: z 3 = (x + iy) 3 = x 3 + 3 x 2 i y +
3xi2y2+i3y3=
3
2
2
3

3
 x  3ix y  3 xy  iy  x  3 xy
2
 i 3x
2
y y
3

3
2

u( x, y)  x  3 xy ,
 u  iv  
2
3

v ( x, y)  3 x y  y .
2. w = e z. Здесь
z
u  iv  e  e
x  iy
x
 e e
iy
x

u( x, y)  e cos y,
 e (cos y  i sin y)  
x

v ( x, y)  e sin y.
x
Дальше многие свойства ФКП (функций комплексной переменной) мы
будем формулировать в терминах её действительной части u(x, y) и мнимой
части v(x, y), поэтому техника выделения этих частей должна быть хорошо
отработана.
Геометрическое изображение ФКП.
Задание функции w = f(z) как пары
u = u(x, y), v = v(x, y) наводит на мысль изображать ФКП как пару поверхностей
u(x, y), v(x, y) в трёхмерном пространстве, однако этот способ неудобен, так как
он не позволяет осмыслить пару (u, v) как комплексное число. Иногда
изображают поверхность | f ( z ) || f ( x, y) | u2 ( x, y)  v 2 ( x, y) , которую называют
рельефом функции w = f(z) . На эту поверхность наносят линии уровня функции
Arg f(z) ; при наличии определенного опыта этой информации достаточно для
того, чтобы составить представление об изменении функции в полярных
координатах. Однако универсальный способ изображения ФКП состоит в том,
что рисуют множества, соответствующие друг другу при рассматриваемом
отображении. Чаще всего берут координатные линии (декартовых или полярных
координат) и находят их образы.
Примеры. 1. Линейная функция w = a z + b, где
a  a1  ia2 | a | e i arg a , b  b1  ib2 - фиксированные комплексные числа, a1, b1 - их
действительные части, a2, b2 - их мнимые части.
Представим эту функцию в виде суперпозиции двух функций: w1 = az и w
= w1 + b. Отображение z  w1  az , согласно интерпретации умножения чисел в
тригонометрической форме, приводит к увеличению (уменьшению) аргумента
числа z на arg a и растяжению (сжатию) его модуля в | a | раз; отображение
w1  w  w1  b приводит к сдвигу точки : w1 на вектор : b(b1, b2). Таким образом,
линейная функция w = a z + b растягивает (при | a | 1 ) каждый вектор z в | a | раз (
или сжимает его в
1
раз при | a | <1), поворачивает на угол arg a и сдвигает на
|a|
вектор b. В результате все прямые преобразуются в прямые, окружности - в
окружности.
v1
v
W1
у
W
С
arga
b
х
u1
u
2. Степенная функция w = z 2. Рассмотрим эту функцию в верхней
полуплоскости
C + = {z | y = Im z >0}. В показательной форме w = z 2 = (|z | e i arg z)2 = |z | 2 e 2 i arg z.
Следовательно, полуокружность {| z | r , 0  arg z  } переходит в окружность с
выколотой точкой {| w | r 2 , 0  arg w  2} ,
луч {0 | z | , arg z  0 } - в
2  
луч {0 | w | , arg z  20 } .

3
Вся верхняя полуплоскость   5
6
С + перейдёт в плоскость W
с выброшенной
положительной полуосью.
Представим это
отображение в декартовых
координатах. Так как

2

у  3

С
 
2
3

v

3
W

6

u

1 2 3 х
1

4
3
4
9

5
3
w = z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2 ixy, то u(x, y) = x2 - y2, v(x, y) = 2 xy. Найдём образы
координатных линий. Прямая y = y0 перейдёт в кривую, параметрические
уравнения которой
v
2
0
u = x2 – y02,
С
у
v = 2 xy0 (х 4
параметр).
1
3
Исключая х,
получим уравнение
2
0
параболы
v2
u
 y 02 .
2
4 y0
W
u
1
Луч
{ x  x 0 , 0  y  }
перейдёт в u = x02 –
y2 ,
-2
-1
1
2
х
-1
-2
1
4
v = 2 x0 y (параметр y>0). Исключая у, получим ветвь параболы u  x 02 
2
3
v2
4x 02
.
Из v = 2 x0 y следует, что v сохраняет знак x0, поэтому это будет верхняя ветвь
при x0 >0, и нижняя при x0 <0. Луч x0 = 0 перейдет в луч u < 0, v = 0.
Мы рассматриваем функцию w = z2 в верхней полуплоскости С +, несмотря
на то, что она определена во всей плоскости С, по той причине, что она
однолистна в этой полуплоскости. Нижняя полуплоскость C - = {z | y = Im z <0}
при отображении w = z2 также накроет всю плоскость W (за исключением
положительной полуоси). Если рассматривать весь образ плоскости С при этом
отображении, то он будет состоять из двух экземпляров плоскости W (двух
листов, накрывающих эту плоскость).
На этом примере мы получили алгоритм построения образов линий и
областей при отображении w = f (z). Если w = u(x, y) + iv(x, y), то, чтобы найти
уравнение образа линии L : F(x, y) = 0 при отображении, надо из системы
F ( x , y )  0,
уравнений u  u( x, y ), исключить переменные х и у; в результате будет получено
v  v ( x , y );

уравнение (u, v )  0 образа линии L в плоскости W. Чтобы найти образ области
D, ограниченной замкнутой кривой L, надо найти образ этой линии, если образ замкнутая линия, дальше надо определить, переходит ли D в область,
ограниченную этой линией, или во внешность этой области.
Пример: пусть z1 = 1 + i, z2 = 2 + i, z3 = 1 + 2 i. Найти образ треугольника
z1z2z3 при отображении w
v
= z2.
Находим, куда
у
W
С
отображаются вершины
z3
w3
w2
треугольника. w1 = z12 = (1
+ i)2 = 1 + 2i- 1 = 2i;
z2
z1
w1
w2 = z22 = (2 + i)2 = 4 + 4i1 = 3 + 4i;
х
w3 = z32 = (1 + 2i)2 = 1 +
u
4i- 4 = -3 + 4i. Сторона
z1z2 является частью прямой у= у0=1. Эта прямая отображается, как мы видели, в
параболу u 
v2
v2
 y02 
 1 . Нам нужна часть этой параболы между точками w1
4
4 y02
и w2. Далее, сторона z1z3 является частью прямой х= х0=1, отображаемой в
параболу
v2
v2
2
u  x0 
 1
4
4 x 02
; берём участок этой параболы между точками w1 и
w3. Сторона z 2 z3 лежит на прямой х+у=3; уравнение образа этой прямой
 x  y  3,

получим, исключив из системы u  x 2  y 2 , переменные х и у:
v  2 xy,

u9
u9
u  9  9 u2
y  3  x, u  x 2  (3  x ) 2  6 x  9  x 
 v  2
. Участок
3 
 
6
6 
6  2 18
этой параболы между точками w2 и w3 и даст образ стороны z 2 z3. Изображение
треугольника построено. Легко убедиться, что область, ограниченная этим
треугольником, переходит во внутренность криволинейного треугольника w1w2w3
(для этого достаточно найти, например, образ одной точки этой области).
3. Более общая степенная функция w = z n, где n - натуральное число,
действует аналогично функции w = z2. Так как w = z n = (|z | e i arg z) n = |z | n e i n arg z,
то это отображение увеличивает в n раз все углы с вершиной в точке z = 0.
Любые две точки z1 и z2 с одинаковыми модулями и аргументами,
отличающимися на число, кратное
2
(и только они), переходят в одну точку w,
n
т.е. "склеиваются" при отображении. Следовательно, отображение неоднолистно
ни в какой области, содержащей такие точки. Пример области, в которой это
отображение однолистно - сектор D   z | 0  arg z 

2 
 . Этот сектор преобразуется
n
в область G  w | 0  arg z  2, т.е. в плоскость W с выброшенной положительной
полуосью. Любая область, заключенная в секторе раствора меньше
2
,
n
однолистно отображается в W.
Предел ФКП.
Определение. Пусть функция w = f(z) определена в проколотой
окрестности точки z0 = x0 + iy0. Комплексное число w0 = u0 + iv0 называется
пределом функции при z  z 0 , если для любой  -окрестности U (w0 , ) (  >0)
0
точки w0 найдётся такая проколотая  -окрестность U ( z 0 , ) точки z0, что для всех
0
z  U ( z 0 , ) значения f(z) принадлежат U ( w0 , ) . Другими словами, если z0 -
собственная точка плоскости, то для любого  >0 должно существовать такое
 >0, что из неравенства 0 | z  z 0 |  следует неравенство | f ( z )  w 0 | 
(аналогично расписывается определение для несобственной точки z 0   ). Таким
образом, на языке  -  определение предела ФКП полностью совпадает с
определением предела функции одной действительной переменной; обозначается
предел, как обычно: w 0  lim f ( z ) .
z  z0
Неравенство | f ( z )  w 0 |  означает, что | u( x, y)  iv( x, y)  (u0  iv0 ) |  , или
| u( x, y)  u0   i (v ( x, y)  v 0 ) |  . Для модуля комплексных чисел справедливы все
основные свойства абсолютной величины, в частности | z1  z 2 || z1 |  | z 2 | ,
поэтому | u( x, y)  u0   i (v ( x, y)  v 0 ) |  
| u( x, y)  u0 | ,
Отсюда легко получить, что
| u( x, y)  u0 |  | v ( x, y)  v 0 |   
| v ( x, y)  v 0 | .
lim
u( x, y )
u0 
( x, y) ( x 0 , y 0 )

. Таким образом, существование
w 0  lim f ( z )   
lim
v ( x, y )
z  z0
v 0  ( x , y ) 
( x0 , y0 )

предела функции комплексной переменной равносильно существованию
пределов двух действительных функций u(x, y) и v(x, y) двух действительных
переменных. Поэтому в комплексный анализ автоматически переносятся все
теоремы о пределах функции в точке (предел суммы функций и т.д.). Так же
можно доказать, что если w0 | w0 | (cos(arg w0 )  i sin(arg w0 ))  0 , то
 lim | f ( z ) || w 0 |,
 z  z0
(для существования нулевого предела
 lim f ( z )  w 0  
arg( f ( z ))  arg( w 0 )
z  z0
 z lim
  z0
достаточно, чтобы  lim | f ( z ) | 0 ).
z  z0
Непрерывность ФКП.
Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z0 = x0 + iy0.
Функция называется непрерывной в точке z0, если:
1. существует lim f ( z ) ;
z  z0
2. f ( z 0 )  lim f ( z ) .
z  z0
Как и в случае предела, можно показать, что w = f(z) будет непрерывной в
точке z0 = x0 + iy0 тогда и только тогда, когда функции u(x, y) и v(x, y)
непрерывны в точке (x0, y0), поэтому на ФКП переносятся все основные теоремы
о непрерывности функций.
Дифференцируемость функции комплексной переменной.
Определение производной. Аналитичность ФКП.
Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в
окрестности точки z  х  iy  С . Производной функции w = f(z) в точке z
f ( z  z )  f ( z )
w
dw
. Функция, имеющая
 lim
 f ( z ) 
z
dz
z  0
z  0 z
называется предел lim
конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.
В этом определении важно, что стремление z  0 может проходить по
любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства
существование производной f’(z) не сводится к существованию частных
производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных
условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия аналитичности функции в точке и в области.
Определение. Однозначная функция называется аналитической
(регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой
окрестности этой точки.
Однозначная функция называется аналитической в области D, если она
аналитична в каждой точке этой области.
Примеры. 1. f(z) = z2. В этом случае f ( z  z )  ( z  z) 2  z 2  2z  z  (z) 2 ;
w  f ( z  z )  f ( z )  2z  z  (z ) 2 ;
w
w
 2z  z; lim
 lim 2z  z   2z . Таким
z
z 0 z
z  0
образом , эта функция дифференцируема в любой точке, и её производная равна
2z.
2. f(z) = | z |2 = x2 + y2. Докажем, что эта функция не имеет производной ни в
какой точке z  0 . Будем стремить z  0 по двум путям: по прямой,
параллельной действительной оси Ох (в этом случае z  х ), и по прямой,
параллельной мнимой оси Оу (в этом случае z  iy ). В первом случае





w w
w
w  ( x  x) 2  y 2  x 2  y 2  2 x  x  (x) 2 ;

 2 x  x; lim
 2 x , во
z x
z  x  0 z
втором

w w 1
z  iy
w  x 2  ( y  y ) 2  x 2  y 2  2 y  y  (y) 2 ;

 (2 y  y )  i (2 y  y );
у
z iy i
w
lim
 2iy . Эти пределы равны, только если 2 x  2iy  С
z  iy  0 z
z
 x  y  0 . Таким образом, функция f(z) = | z |2 = x2 + y2 может
быть дифференцируема в единственной точке z = 0, во всех
w
остальных точках пределы lim
различны в зависимости от
z  0 z
способа стремления z  0 , т.е. f (z ) не существует.
z  x
х
Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).
Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о
необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно,
аналитичности) функции.
Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) была дифференцируема
в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) = Re f(z) и
v(x, y) = Im f(z) были дифференцируемы в точке (х,у), и чтобы в этой точке
выполнялись соотношения
u v
 ,
x y
u
v
 .
y
x
Доказательство. Необходимость. Здесь мы применим идею, которой
воспользовались, когда доказывали, что функция f(z) = | z |2 = x2 + y2 не имеет
производных в точках z  0 : подойдём к точке z двумя путями - по направлениям
z  х ( y  0 ) и z  iy ( x  0 ).
В первом случае:
w  u( x  x, y)  iv( x  x, y)  u( x, y)  iv( x, y)  u( x  x, y)  u( x, y) 
 xu
 x v u
w
v
 lim
 i lim

i
.
x
x
z  x  0 x
x  0 x
x  0 x
1
Во втором случае: (напомню, что  i )
i
w  u( x, y  y)  iv( x, y  y)  u( x, y)  iv( x, y)  u( x, y  y)  u( x, y)  i v( x, y  y)  v( x, y) 
 i v ( x  x, y )  v ( x, y )    x u  i x v;
lim
 yu
 yv
w
u v
 i lim
 lim
 i
 . Пределы должны
y y
z  iy  0 iy
y  0 y
y  0 y
u
v
u v
u v v
u
быть равны, поэтому
i
 i


 ,
 .
x
x
y y
x y x
y
  y u  i y v ;
lim
Достаточность. По предположению теоремы, функции u(x, y), v(x, y)
дифференцируемы в точке (х,у), поэтому
u
u
v
v
x 
y  (x, y ), v 
x  y  (x, y ), где (x, y ) ,
x
y
x
y
(x, y ) - бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с
(x , y )
(x, y )
 0 . Найдём
 0 , lim
 (x) 2  (y) 2  , т.е. lim


0


0
w
f ( z  z )  f ( z )
.
f ( z )  lim
 lim
z
z  0 z
z  0
 u

u
w  u( x  x, y  y )  iv( x  x, y  y )   u( x, y )  iv( x, y )   u  iv   x 
y  (x, y )  
y
 x

u 
 v
  u
v
u   v
v 
 i  x  y  (x, y )    x 
y   i  x  y   (x, y )  i(x, y )  .
y
y   x
y 
 x
  x
Последнее слагаемое - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с
| (x, y )  i(x , y ) |
|   i |
||
||
 lim
 lim
 lim
 0 ; далее, в
| x  iy |

0
0
0 
0 
z  x  iy : lim
предыдущих слагаемых, пользуясь формулами Коши-Римана, оставим только
частные производные по х, т.е. заменим
v  v
u
u
на  ,
на
; тогда
x  y
x
y
v   v
u 
 u
x  y   i  x  y    ( x,y )i ( x,y ) 

w  x
x   x
x 


z
x  iy
u
v
(x  iy )  i  x  iy     i  
u v   i 
x
 x

i 
. Отсюда следует,
x  iy
x
x x  iy
w u
v

 i , т.е. функция дифференцируема в точке
x
x
z  0 z
что существует f ( z)  lim
(х,у).
Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из
формул f ( z ) 
u
v v
u u
u v
v v
u
i

i

i

i

i
, эти равенства
x
x y
y x
y y
x y
y
следуют из условий Коши-Римана. При вычислении производных можно
пользоваться всеми правилами действительного анализа:

 f
f g  fg 
(Cf )  Cf , ( f  g )  f   g , ( fg )  f g  fg ,   
(в точках, где g ( z )  0) .
g2
g
Примеры вычисления производных.
1. Выше мы доказали, что функция f(z) = z2 имеет производную, равную 2z, в
каждой точке. Проверим, что для этой функции выполняются условия КошиРимана. Так как
w = z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2 ixy, то u  x 2  y 2 , v  2 xy,
Тогда f ( z ) 
u
v u
v
 2x  ,
 2 y   .
x
y y
x
u
v
i
 2 x  i  2 y  2( x  iy)  2 z .
x
x
2. Для функции w = e z мы получили u(x, y) = e z cos y, v(x, y) = e z sin y.
u
v u
v
 e x cos y  ,
 e x sin y   , т.е. функция дифференцируема.
x
y y
x
u
v
f ( z ) 
i
 e x cos y  i  e x sin y  e x (cos y  i  sin y )  e x  e iy  e x  iy  e z .
x
x
Поэтому
Геометрический смысл производной.
w
означает, что w  f ( z )  z   (z )  z , где  (z )  0 .
z  0
z  0 z
Равенство f ( z )  lim
Отсюда, в частности, следует, что если функция дифференцируема в точке, то
она непрерывна в этой точке. Будем писать w  f ( z )  z , пренебрегая слагаемым
высшего порядка малости. Пусть в точке z существует f ( z )  0 . Возьмём точки z
и z  z ; пусть w = f(z), тогда w | f ( z) | e i arg f ( z )  z | f ( z) |  | z | e i (arg f ( z )  arg(z )) .
таким образом, | w | в | f ( z ) | больше | z | , arg w больше arg z на arg f ( z ) для
любого z (с точностью до бесконечно малых высшего порядка).
Следовательно, в окрестности любой точки z, в которой f ( z )  0 , отображение

z  w  f (z ) действует следующим образом: любой вектор z растягивается в
| f ( z ) | раз и поворачивается на угол arg f ( z ) .
|Δz||f´(z)|
w+Δw
Конформность дифференцируемого
у
v
отображения.
|Δz| z+Δz
arg(Δz)+ argf́ (z)
Пусть через точку z проходят
arg(Δz)
две гладкие кривые L1 и L2,
z
w
касательные l1 и l2 к которым
х
u
образуют с осью Ох углы,
v
соответственно, 1 и  2 . Образы
L'2
L1
L2
этих кривых L1 и L 2 при
L'1
дифференцируемом отображении у
z
z  w  f (z ) имеют касательные l 1 и
l 2 , образующие с действительной
w
θ'1
θ1
L2
осью Ou углы  1 и  2 . Согласно
θ2
l2
θ'2
х
u
L'2
L1
предыдущему пункту,
l'1
l1
1  1  arg( f ( z)) , 2  2  arg( f ( z)) ,
l'2 L'1
т.е. 2  1  2  1 . Таким образом,
дифференцируемое отображение при f ( z )  0 сохраняет углы между кривыми.
Сохраняется и направление отсчёта углов (т.е. если 1 >  2 , то  1 >  2 ).
Любое преобразование плоскости в плоскость, обладающее эти свойством
(т.е. свойством сохранения углов), называется конформным. Если при этом
сохраняется направление отсчёта углов, то преобразование называется
конформным преобразованием первого рода; если направление отсчёта углов
меняется на противоположное, то преобразование называется конформным
преобразованием второго рода. Мы доказали, что аналитическая в некоторой
области G функция w = f(z) осуществляет конформное отображение первого
рода во всех точках, в которых производная отлична от нуля.
Пример конформного отображения второго рода – недифференцируемая
функция w  z .
Раздел 4. Словарь терминов (глоссарий)
(страницы указаны в кн. Л.Д.Кудрявцева
"Курс математического анализа" . Все тома есть в электронной библиотеке факультета )
Часть 1
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 1
688 стр. М.: "Высшая школа", 1981
Абеля неравенство 582
- преобразование 582
- признак 585
- теорема о сходимости степенного ряда 621, 624
Архимеда свойство действительных чисел 43
Архимеда спираль 511
Асимптота 236, 243
Асимптотическое равенство 146, 397
- разложение 661—664
Асимптотический ряд 657
Астроида 286, 501, 511
Безу теорема 400
Базис стандартный пространства 317
Бернулли неравенство 74
Биективное отображение (биекция) 10
Больцано—Вейерштрасса теорема 63, 297
Бонне теорема 481
Валлиса формула 478
Вейерштрасса признак равномерной сходимости 603, 609
- теорема 121, 332
Вектор-функция 248, 320, 481, 653
Верхняя (нижняя) грань множества 38, 40, 42, 60, 90
Взаимно однозначное отображение или соответствие (инъекция) 9, 78, 83
Винтовая линия 272
Гамильтона символ (набла) 365
Гёльдера неравенство 465, 565
Гейне—Бореля лемма 314
Градиент функции 362, 364
Граница множества 306
График функции 8, 92, 239, 242, 321
Гульдина теорема 510
Даламбера признак 559, 578
Дарбу интегралы (верхний и нижний) 446
- суммы 443, 444, 445
Двоичная запись чисел 81
Дедекинда принцип 19
- признак 591
Декарта лист 247
Десятичная дробь 77, 78
Десятичное приближение 77
Диаметр множества 340
Дини теорема 615
Дирихле признак 534, 583, 609
- функция 92, 326, 443
Дифференциал функции 159, 161, 165, 177, 190, 251, 343, 345, 346, 350, 355, 362
Дифференциальный бином 426
Длина вектора 317
- кривой 268
Допустимое преобразование параметра 258
Дробь рациональная 95, 406, 410
Дуга кривой 263
Дю Буа Реймона признак 591
e (число) 62, 141, 159, 589
Евклида алгоритм 405
Евклидово пространство 317
Жордана теорема 309
Замена переменной 108, 121, 384, 474
Замыкание множества 302
Изоморфизм 30, 82, 677
Интеграл абсолютно сходящийся 530
- неопределенный 379
- несобственный 512
- определенный 440
Интегралы табличные 383
- эллиптические 437, 501
Интегральный признак к сходимости рядов 561
Интегрирование подстановкой 385
- по частям 387, 477
Интервал 34
- выпуклости вверх (вниз) 231
- сходимости ряда 634
Инъекция 9
Кантора теорема о несчетности действительных чисел 85
- - о равномерной непрерывности 336, 340
Кардиоида 287, 497
Касательная 164, 265, 361
Колебание функции на множестве 340, 341
Компакт 309, 315
Компактности свойство 63
Композиция функций 11, 94
Контур 256
Координаты полярные 286
Корень из числа 23, 130, 392
- многочлена 399, 400
Коши—Адамара формула 629
- критерий 66, 113, 530, 551, 600, 606
- признак 560, 578
- теорема о среднем 199
- форма остаточного члена формулы Тейлора 213, 638
- Шварца неравенство 289, 319
Кратность корня 400
Кривая 255, 260, 263, 307
- гладкая 266
- кусочно-гладкая 266
- ориентированная 262
- параметрически заданная 259, 262
- плоская 256, 273
- спрямляемая 268
Кривизна кривой 278
Кривизны радиус 279
- центр 283
Круг сходимости степенного ряда 622
Лагранжа теорема 196
- форма остаточного члена в формуле Тейлора 213, 638
- формула 197, 200
Лейбница признак 567
- формула 186
Лемниската 511
Линейность интеграла 454
Логарифмическая спираль 502
Ломаная 267
Лопиталя правило 201, 202, 204
Мажоранта 526
Маклорена формула 212, 216
Максимальный элемент числового множества 36
Минимальный элемент числового множества 37
Минковского неравенство 465, 565
Многочлен(полином) 95, 131, 214
Множество замкнутое 302
- линейно связное 308
- неограниченное 35—37
- несчетное 84
- ограниченное 35—37
- открытое 299
- пустое 6
- счетное 83
Множества равномощные 82
Модуль действительного числа 29
- комплексного числа 390
- непрерывности 337
Морфизм 8
Набла (символ Гамильтона) 365
Наибольшее значение функции 91
Наименьшее значение функции 91
Неопределенности 201, 204, 219, 220
Непрерывность действительных чисел 18, 30, 31, 44
Неравенство треугольника 317
Нормаль главная 281
- к кривой 281
Носитель кривой 261
- точки кривой 261
Ньютона—Лейбница формула 471, 472, 517
Область 308, 309
- выпуклая 309
- замкнутая 309
- определения функции 8, 91
Образ 10
Общий делитель 403
- - наибольший 403
Окрестность точки 34, 96, 291, 293, 301
- - проколотая 96, 323
Окружность соприкасающаяся 287
Остаток ряда 547, 593
Остроградского метод 419
Отображение 8
- взаимно однозначное (инъекция) 9
- отрезка 255
Отрезок 5, 34
Пара 8
- упорядоченная 8
Пеано аксиомы 12
- форма остаточного члена формулы Тейлора 212
Первообразная 378, 474, 482
Период 645
Площадь (мера) открытого множества 485
- поверхности вращения 505
Подпоследовательность 58, 295
Покрытие множества 311
Поле 27
Поле действительных чисел 29, 31
- комплексных чисел 395
- упорядоченное 29
Полнота действительных чисел 31
Полуинтервал 34
Полукубическая парабола 234, 285
Последовательность 12, 48, 295, 327, 396, 591, 665
- бесконечно большая 53, 553
- - малая 67—68, 397
- кратная 665
- монотонная 61
- ограниченная 59, 297, 592
- стремящаяся к бесконечности 298, 666
- сходящаяся 49, 54, 295, 592, 595
- фундаментальная 65
Последовательности одного порядка 397
- эквивалентные 397
Предел вектор-функции 249
- последовательности 49, 50, 51, 53, 54, 87, 88, 295, 303
- функции 97—106, 249, 322, 323, 441
Представление кривой 257, 258, 260, 263
Признак сравнения 524, 555
- сходимости ряда, интегральный 561, 562
Принцип вложенных отрезков 43
Произведение множеств 8
- последовательностей 68
- ряда на число 548
Производная 157, 184, 186
- бесконечная 157
- вектор-функции 251
- логарифмическая 181
- обратной функции 173, 188
- параметрически заданной функции 189
- по направлению 363
- сложной функции 175, 188, 367
- функции, заданной неявно 180
- частная 341
- - смешанная 370
Промежуток 34
Прообраз 9, 10
Пространство n-мерное 289, 317
Равномерная непрерывность 334
Радиус сходимости степенного ряда 622, 632, 634
Разбиение отрезка 267, 438
Расстояние 288, 289, 306
Расширенное множество действительных чисел 33
Римана интегральная сумма 439, 445
- теорема о перестановке членов ряда 580
Ролля теорема 194
Ряд 545
- гармонический 551, 587
- знакопеременный 567
- кратный 668, 672
- Лейбница 650
- степенной 621, 624
- суммируемый 590
- сходящийся 592, 666, 672
- - абсолютно 569, 592, 669
- - равномерно 602
- Тейлора 636, 637, 640, 655
- функциональный 591
Сечение 17
Символ всеобщности 13
- существования 13
Скалярное произведение векторов 317
Скорость вращения вектор-функции 276
Соответствие (отображение) 7, 8
Степень многочлена 399
- числа 23, 133
Стирлинга формула 651
Сужение функции 10
Сумма кривых 263
- (объединение) множеств 6
- последовательностей 67
Сумма ряда 546, 666
- - частичная 547, 592, 666
- - - прямоугольная 667
- - - сферическая 667
- - - треугольная 667
- рядов 549
Суперпозиция функций 11, 94
Сюръекция 9
Тейлора многочлен 212, 214
- ряд 636, 637, 640, 655
- формула 212, 216, 218, 637, 638, 646
Точка 20
- возрастания (убывания) функции 225
- кривой 256, 261
- - кратная 256, 261
- - неособая 266
- - особая 266
- максимума(минимума) функции 222, 227
- множества внутренняя 299
- - граничная 306
- - изолированная 302
- - предельная 302
- перегиба 234
- прикосновения множества 303
- разрыва функции 118, 119
- устранимого разрыва 118
- экстремума 222
- n-мерного пространства 288
Ферма теорема 192
Френе формула 281
Френеля интегралы 543
Функции гиперболические 182, 183
- одного порядка 145
- тригонометрические 139
Функция 7, 8, 11, 89
- аналитическая 630, 635
- бесконечно большая 110
- - малая 110, 149
- векторная 248
- возрастающая (убывающая) 111, 125, 221
- выпуклая вверх (вниз) 230, 231, 232
- дифференцируемая 159, 163, 185, 344, 348, 372, 477
- заданная параметрически 189
- интегрируемая 439, 512
- кусочно-непрерывная 463
- кусочно-непрерывно дифференцируемая 477
- логарифмическая 137
- многозначная (однозначная) 11
- непрерывная в точке 115, 119, 131, 162, 327, 330, 398, 468, 469
- - на множестве 121, 328, 332, 469
- непрерывно дифференцируемая 185, 348, 372
- неявная 94
- обратная 126, 130
- ограниченная 90, 145
- периодическая 14, 645
- показательная 134—136, 159
- равномерно непрерывная 334, 335, 336
- - стремящаяся к нулю 349
- рациональная 95, 131, 421
- сложная 94, 120, 330, 351, 353, 354
- степенная 138
- строго монотонная 125
- трансцендентная 96
- четная 14
- элементарная 332
Цепная линия 499
Циклоида 189
Числа действительные (вещественные) 15, 16, 20, 31, 78, 79, 80, 85
- иррациональные 15, 23, 86
- комплексные 15, 389, 394
- натуральные 12, 15, 43
- отрицательные 15
- рациональные 15, 23, 83
- целые 23
Число существенно комплексное 390
Шлемильха—Роша форма остаточного члена 213
Эволюта кривой 283
Эйлера подстановки 424
- постоянная 587
- формулы 644
Эквивалентность отображений отрезка 259
- функций 146, 152
Экстремум 222—229
Эллипс 501
Часть 2
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 2
584 стр. М.: "Высшая школа", 1981
База топологии 567, 568
Базис пространства 423, 446
Бета-функция 322
Вихрь (ротор) 275, 278, 290
Вложение пространства 478
Вложения теоремы 435
Гельдера условие 365—366
Гомеоморфизм 52, 71, 257
Градиент вектора 274
- функции 245, 273
Дельта-функция (\delta-функция) 512, 523, 524
Дивергенция 275, 278, 285
Диффеоморфизм 68
Дифференциал отображения 62
Зависимость системы функций 85
Изоморфное отображение 425, 439, 454, 491
Интеграл Дарбу 149
- Дирихле 353, 393
- зависящий от параметра 158, 298, 303
- криволинейный 189, 192
- Лапласа 402
- несобственный 219, 303, 327
- поверхностный 264, 265, 266, 270, 272
- повторный 158
- Пуассона 222
- Римана 131
- Фурье 391
- Эйлера первого рода (гамма-функция) 322
- - второго рода (бета-функция) 322
Контур граничный 201
- ограничивающий поверхность 287
Координаты 447
- криволинейные 184
- сферические 187, 223
- цилиндрические 187
Коэффициенты Фурье 346, 389, 483, 484
Край поверхности 233
Кривая Пеано 129
Липшица условие 366
Лист Мёбиуса 259, 260
Матрица линейного оператора 56
- Якоби 35, 65, 86
Мера Жордана 114
Метод касательных (метод Ньютона) 547, 548, 550, 553
- хорд 548
Метрика (расстояние) 411, 440
Многочлен интерполяционный 553, 555
- Тейлора 9
- тригонометрический 373
Множество измеримое по Жордану 114
- квадрируемое 115
- кубируемое 115
- ограниченное 313, 437
- плотное в пространстве 415, 444, 468
Множители Лагранжа 96
Мультиндекс 11
Неравенство Бесселя 379, 485
- Коши-Буняковского 450
- - Шварца 448
- Минковского обобщенное 167
Норма 59, 426, 430, 431, 433
Носитель поверхности 237
- функции 349
Область односвязная 211, 294
Оператор 55, 519
- Лапласа 82, 218
- линейный 433, 436
- непрерывный 519, 520
- ограниченный 432, 433, 447
Ориентация границы 198, 202
- контура 198
- края поверхности 262
- поверхности 254, 261
Ортогональность 343, 471
Отображение 45
- дифференцируемое 61, 68
- линейное 55
- локально гомеоморфное 71
- непрерывное 45, 46, 52, 519—520
- обратное 52
- равномерно непрерывное 49
- регулярное 238
Отождествление 415, 416, 439, 454, 579
Плоскость касательная 242
Площадь (мера) поверхности 251
Поверхность 233, 236
- гладкая 246
- дифференцируемая 234, 239
- заданная неявно 240
- кусочно-гладкая 258, 263
- неориентируемая (односторонняя) 261
- ориентированная 255, 262
- ориентируемая (двусторонняя) 259, 261, 263
Подпространство 412, 422
- натянутое на векторы 103
Поле векторное 273
- - потенциальное 276, 294, 297
- - соленоидальное 291, 297
- скалярное 273
Полиномы Лежандра 473, 480, 490
Полунорма 426, 449
Пополнение пространства 419, 456, 467
Последовательность асимптотическая 335
- дельта-образная 516, 525
- сходящаяся 413, 436, 437, 516, 521, 530
- фундаментальная 411, 440
Последовательности эквивалентные 416
Потенциал 273, 342
Поток векторного поля через поверхность 277, 278, 297
Предел отображения по фильтру 574
- последовательности точек 413, 516
- фильтра 573, 575
Преобразование Фурье 398, 399, 401, 406, 410, 509, 533—542
Приближение наилучшее 484
Продолжение функции 13, 347
- функционала 519
Произведение полускалярное 447, 498
- скалярное 447
Производная отображения 62
Пространство банахово 481
- гильбертово 455, 496
- линейное 421
- метрическое 411
- нормированное 426
- обобщенных функции 524, 531
- полунормированное 426
- сопряженное 519
- со сходимостью 517
- топологическое 567
Равенство Парсеваля 380, 487, 488, 497, 498
Ряд асимптотический 335
Ряд Стирлинга 340
- Тейлора 19, 544
- тригонометрический 343, 346
- Фурье 346, 359, 360, 362, 365, 377, 381, 385—388, 484
Свертка функций 406, 407
Система замкнутая 490
- ортогональная 471
- полная 376, 444, 445, 478
Сумма Дарбу 141
- интегральная Римана 131, 195
- Фейера 368
- Фурье 352, 355
Точка особая 72, 345
- поверхности 233, 237
- - внутренняя 237
- - краевая 237
- - самопересечения 80, 233, 237
Узлы 553, 559
Фильтр 569, 570
Финитная функция 349, 350, 502
Формула Грина 199, 202, 203, 218
- квадратурная 556, 558
- обращения 398
- Остроградского—Гаусса 283, 284, 285
- прямоугольников 556
- Симпсона 558
- Сохоцкого 526
- Стирлинга 334
- Стокса 287, 289
- Тейлора 4, 5, 8, 11, 543, 545, 546
- трапеций 556, 557
Функции координатные 45, 54
Функционал 57, 515, 517
Функция абсолютно интегрируемая 328
- гармоническая 92
- интегрируемая 132, 219
- Лагранжа 96
- локально интегрируемая 522
- обобщенная 522, 525, 526, 527, 528, 529
- характеристическая 349
- Хевисайда 514, 528
Циркуляция 276, 278, 287
Числа Бернулли 340
Член остаточный интерполяции 555
- - формулы Тейлора 4, 7
Эквивалентности отношение 414, 459, 565
Экстремум 20, 93
Ядро Дирихле 353
- отображения 424
- Фейера 368
Якобиан (определитель Якоби) 35, 67
Часть 3
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа, т. 3
352 стр. М.: "Высшая школа", 1989
Абсолютно интегрируемая функция 8
- сходящийся интеграл 8
Аксиомы расстояния 96
- Фреше 275
Алгебраическая сумма подмножеств линейных пространств 144
Арцела Ч. 134
База топологии пространства 331, 332
- фильтра 335
Базис пространства 140, 167
Банах С. 111, 163
Банахово пространство 163
Бесконечномерное линейное пространство 147
Бессель Ф. 51
Билинейное отображение 147, 148
Буняковский В.Я. 192
Вандермонд А.Т. 316
Вектор 139
Вес 322
Вложение пространств 227
Вольтерра В. 113
Вполне ограниченное множество метрического пространства 121
Гато Р. 183
Гёльдер О. Л. 36, 38
Гильберт Д. 98, 201
Гильбертов кирпич 123
Гильбертово пространство 97, 98, 201
Главное значение интеграла 79, 80
Гомеоморфизм 132
Грам И. 221
периодическая, абсолютно, интегрируемая, функция, 2\pi, 19
Действительное линейное пространство 137, 138
Дельта-последовательность 41, 284, 285
Дельта-функция 269, 282, 283
Диаметр подмножества 105
Дичи У. 24
Дирихле Л. 17
Дирак П. 269, 274
Дифференциал Гато 184
- отображения 180
- Фреше 180
Дифференцируемое в точке отображение 180
- - - по заданному направлению отображение 183
Единичная функция 287
Естественное вложение 215
- отображение 209
\varepsilon-окрестность 100
\varepsilon-сеть 121
Замкнутая ортогональная система 239
Изометричное соответствие 99
Изометричные пространства 99
Изоморфизм 146, 159, 179
Изоморфное отображение 146, 159, 179
Изоморфные линейные пространства 146, 159, 179, 200
Интеграл Дирихле 17
- Фурье 69
- - в комплексной форме 81
Интегральное уравнение Вольтерра 113, 114
Интегралы Лапласа 86
Интервал в линейном нормированном пространстве 183
Интерполяционный многочлен 316
- - Лагранжа 317
Квадратурная формула 318, 322
- - точная для многочленов данной степени 322
Класс эквивалентности 205, 206
Компакт в метрическом пространстве 120, 121
Комплексное линейное пространство 138
Конечное покрытие 127
Конечномерное линейное пространство 140
Константа вложения 227
Континуум 133
Коши О. 101, 105, 109, 192, 243, 341
Коэффициенты разложения элемента по данному базису 168
- Фурье 9, 231, 233
Критерий линейной независимости элементов 221
Кронекер Л. 140
Кусочно-непрерывная производная 55
Лагранж Ж.-Л. 317
Лежандр А.М. 143
Лаплас П. 86
Лебег А. 23, 154
Лейбниц Г. 31
Лемма Л.Шварца 185, 186
Линейная комбинация элементов пространства 139
- оболочка множества 140
Линейно зависимая система векторов 139
- независимая система векторов 139
Линейное отображение 145
- пространство 192
- - с почти скалярным произведением 192
- - со скалярным произведением 192
- - - сходимостью 275
Линейность дифференциала 182
- квадратурной формулы 322
- преобразования Фурье 83
Линейный оператор 145
- функционал 255, 276
Липшиц Р. 37
Локальная база топологии пространства 332
Локально интегрируемая функция 281
Метод "вилки" 309
- касательных (метод Ньютона) 312, 315
- хорд 310, 312
Метрика 96
- порожденная заданной нормой пространства 161
Метрическое пространство 96
Минимальное свойство коэффициентов Фурье 232
Многочлены Лежандра 143
- Чебышева 143, 144
Мультилинейное отображение 148
Наилучшее приближение элемента с помощью линейных комбинаций 233
Направление 334
Натуральный фильтр 333
Неподвижная точка отображения 111
Непрерывное отображение в точке 107, 108, 111
- - пространства в пространство 108, 158, 159, 278, 279
Непрерывный функционал 276
Неравенство Бесселя 51, 234
- Коши-Буняковского 192, 194
- Коши-Шварца 243
- треугольника 149, 192
n-мерное пространство 140
n-мерный вектор 140
Норма 149
- билинейного отображения 176
- порожденная скалярным произведением 193
Нормированное линейное пространство 149
Носитель функции 12
Нулевой функционал 277
- элемент 138
Ньютон И. 312
Обобщенная функция 281
- - медленного роста 291
Образ фильтра 337
Обратное преобразование Фурье 82
Обращение в нуль обобщенной функции на интервале 285
Ограниченное билинейное отображение 176
- множество 105, 158
- по полунорме (по норме) множество 158
Ограниченный оператор 171
Окрестность точки топологического пространства 331
Определитель Вандермонда 316
- Грама 221
Ортогонализация 225
Ортогональная проекция элемента в подпространство 251
- система элементов 6, 220
Ортогональное дополнение множества 250
Ортогональные элементы 220
Ортонормированная система элементов 220
Остаточный член интерполяции 317
Открытое подмножество топологического пространства 331
Отношение эквивалентности 205, 329
Отрезок в линейном нормированном пространстве 183
Парсеваль М. 52, 236
Периодическое продолжение функции 10
Пикир Ш.Э. 111
Планшерелъ М. 265
Плотное множество в пространстве 116, 165
Подпространство 98, 139, 249
Подфильтр 334
Покрытие множества 127
Полная система функций в смысле равномерного приближения 47
- - - - - среднего квадратичного приближения 48
- - элементов пространства 165, 166, 226, 227, 237
Полное линейное нормированное пространство 163
- метрическое пространство 102
Полный фильтр 335
Положительная определенность скалярного произведения 191
- полуопределенность почти скалярного произведения 191
Полунорма 148, 149
- порожденная почти скалярным произведением 193
Полунормированное линейное пространство 148, 149
Пополнение пространства 116, 120, 164, 202, 285
Последовательность Коши 101, 105, 106
Постоянная обобщенная функция 282
Почти скалярное произведение 191, 192
Правильное разбиение 8
Предгильбертово пространство 201
Предел отображения 107
- - по направлению 339
- - - фильтру 338, 340
- последовательности точек метрического пространства 100
- фильтра 337
Предкомпактное множество 134
Преобразование Фурье 81, 82, 266
- - обобщенной функции 297
Признак Дини 24, 26
Принцип неподвижной точки Пикара-Банаха 111, 113
- локализации 21
- сжимающих отображений 111, 113
Продолжение функционала 278
Произведение линейных пространств 147, 174
- фильтров 336
- элемента линейного пространства на число 138
Производная Гато 183
- n-го порядка 187, 188
- обобщенной функции 286
- по направлению 183
- Фреше 182
Простая гармоника 27
Пространство обобщенных функций 283
- - - медленного роста 291
- основных функций D 280
- - - S 289, 290
- со сходимостью см, также, указатель, основных, обозначений, 275
Противоположные элементы 138
Прямая сумма подпространств 145
Равенство обобщенных функций 285
- Парсеваля 52
- Парсеваля-Стеклова 236
Равномерно непрерывное отображение 108
- ограниченное семейство функций 134
- сходящаяся последовательность отображений 109
Равностепенно непрерывное семейство функций 134
Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области 65, 66
- элемента пространства по базису 167
Разность элементов линейного пространства 138
Расстояние 96
- порожденное заданным скалярным произведением 193
Регулярная точка 23
Риман Б. 11, 154
Ряд в линейном нормированном пространстве 166
- Лейбница 31
- обобщенных функций 289
- Фурье 9, 62, 233
- - в комплексной форме 64
- - для нечетной функции 28, 63
- - - четной функции 27, 28, 63
Свертка функций 90
Связное метрическое пространство 133
Сепарабельное пространство 127, 166
Сжимающее отображение 111
Сильный дифференциал 184
Символ Кронекера 140, 141
Симметричная билинейная форма 188
Симпсон Т. 319
Скалярное произведение 191, 192
Слабая производная 184
Слабый дифференциал 184
Соболев С.Л. 274
Сопряженное пространство 256, 278
Сохоцкий Ю.В. 285
Среднее квадратичное отклонение 48
Стеклов В.А. 236
Ступенчатая функция 259
Сумма ряда 65, 167, 198
- Фейера 39
- Фурье 9, 16
- элементов линейного пространства 138
Сходящаяся по полунорме (по норме) последовательность элементов пространства 156
- последовательность отображений 108
- - точек метрического пространства 99
- - функционалов 277
- - функций 280, 290
Сходимость в смысле p-среднего 157
- - - среднего квадратичного 157
Сходящийся интеграл 8
- ряд 65, 166, 198, 289
Счетное покрытие 127
Теорема Арцела 134, 137
- о замкнутых и полных системах 239, 240
- - композиции непрерывных отображений метрических пространств 110
- - конечных приращениях отображений линейных нормированных пространств 186, 187
- - линейных функционалах гильбертовых пространств 256, 258
- - неподвижной точке сжимающих отображении 111, 113
- - пополнении линейного нормированного пространства 164, 165
- - - - пространства со скалярным произведением 201, 202
- - - метрического пространства 116, 120
- - - пространства CL_ 2, 216, 217
- - порядке приближения интегралов с помощью квадратурных формул 324, 326
- - последовательности Коши подмножеств полного метрического пространства 106, 107
- - почленном дифференцировании тригонометрического ряда Фурье 54
- - - интегрировании тригонометрического ряда Фурье 58, 60
- - пределе отображения по фильтру 341, 343
- - - фильтра 338
- - представлении функции интегралом Фурье 75, 78
- - преобразовании Фурье в пространстве S 293, 295
- - - - - - S' 299
- - разложении множества на подмножества, состоящие из эквивалентных элементов 329, 330
- - - пространства в прямую сумму его ортогональных подпространств 254, 255
- - существовании ортонормированных базисов 240
- - сходимости тригонометрического ряда Фурье в данной точке 37, 38
- об изоморфизме гильбертовых пространств 240, 242, 243
- - ортогонализации 224, 225
- - эквивалентности нормированных конечномерных линейных пространств 151, 153
- Римана о коэффициентах ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции 11, 15, 16
- Фейера 42, 44
Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими и
алгебраическими многочленами 45, 46, 48
- о единственности рядов Фурье 238, 248
- - компактах в метрическом пространстве 126, 127, 131, 133
- - линейных ограниченных операторах 172, 175
- - минимальном свойстве коэффициентов Фурье 50, 52, 230, 232
- - непрерывных отображениях метрических пространств 132, 133
- - полноте тригонометрических и алгебраических многочленов в пространствах непрерывных
функций 48, 50
- - преобразованиях Фурье абсолютно интегрируемых функций 86, 89, 93, 94
- - производных отображений в линейных нормированных пространствах 182, 183
- - равномерно сходящихся тригонометрических рядах Фурье 7, 8, 56, 58, 249
- - сходимости рядов Фурье 52, 53, 235, 238, 245
- об ограниченных билинейных отображениях 176, 177, 179, 180
- - ортогональных проекциях 251, 254
- Планшереля 265, 268
Топология пространства 331
Точка пространства 96, 139
T-периодическая функция 9, 10
Треугольная матрица 142
Тригонометрическая система функций 6
Тригонометрический многочлен 44
- ряд 6
- - Фурье 9
Узел 322
- интерполяции 316
Упорядоченное множество 334
Условие Гёльдера 36
- Липшица 37
Фейер Л. 39, 41
Раздел 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам лекций (одна
из составляющих частей итоговой государственной аттестации)
Пример 1. Даны множества точек: a) z  i  3 ; б) 1  z  2 ; в)

 arg z   ; г)
2
2 z  1  z 2 . Какие из этих множеств являются областями?
Решение. В соответствии с определениями 1-9 заключаем, что множества z  i  3 открытый круг с центром в точке –i радиуса 3, множество 1  z  2 -открытое круговое

 arg z   - открытый угол (см. рис.7)
2
кольцо с центром в начале координат, множество
являются областями. Построив множество г): [ x  ( y  1)  2][ x  ( y  1)  2]  0 (см.
2
2
2
2
рис.10) убеждаемся, что оно не является областью (не выполняется для него условие
связности).
( z)
( z)
( z)
R3
( z)
1
0
i
0
0
0
2
б
Рис.10.
Пример 2. Найти действительную и мнимую часть функции w  z  iz .
3
Решение.
w  u  iv  ( x  iy)3  i( x  iy)  ( x3  3xy 2  y) 
Имеем
+ i(3x y  y  x) ; отсюда u  x  3xy  y ; v  3x y  x  y .
2
3
3
2
2
3
Пример 3.
x 3 y   8 y  x  5  0 - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем
виде записывается F ( x, y, y )  0 .
d2y
dy
 xy  x 2  y - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем
2
dx
dx
виде записывается F ( x, y, y , y )  0
x
y2
z
z
 xy  0 - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.
x
y
Задачи для самостоятельного решения
1. Изобразить множества; выяснить, какие из них являются областями, какие нет, какие из них
- ограниченные области, какие не ограничены:
а) Re z   ; б)   Re z   ; в) Im z   ; г)   Re z   ;   Im z   ;
д) r  z  z0  R .
2. Написать в комплексной форме уравнение следующих линий (t- действительный параметр):
а) x  2 cost , y  2 sin t ; б) x  2t , y  t  1; в) y  2 x ; г) 2 x  3 y  1 ;
x2 y2

 1.
д)
4
9
3. Какие линии заданы комплексным уравнением (t-действительный параметр):
i
t
а) z  (1  i )t ; б) z  t  it  4 ; в) z  cost  i sin t ; г) z  t  ; д) z  t (it  1) ?
2
2
4. Для указанных функций найти действительную и мнимую части:
а) w  z  iz ; б) w  z  i ; в) w  i  z ; г) w 
2
2
3
1
iz  1
z
; д) w 
; е) w  .
z
1 z
z
5. Найти образы данных точек при указанных отображениях: а) z0  i , w  z ;
2
z0  1  i , w  ( z  i ) 2 ;
в) z0  1 , w 
б)
z
1
; г) z0  2  3i , w  .
z i
z
6. На какие линии плоскости (w) отображает функция w  z следующие линии плоскости (z):
2
а) прямую x  2 ; б) прямую y  1 ; в)гиперболу xy  1 ; г)окружность x  y  4 ?
2
7. Найти уравнение линий плоскости (w), на которые функция w 
линии
плоскости
г) arg z  
2
(z):
а)
1
z ;
2
б)
2
1
отображает следующие
z
в) arg z 
Re z  0 ;
3
;
4

; д) Re z  Im z ; е) z  z .
2
8. Выделить действительную и мнимую части у следующих функций:
а) w  e
z
; б) w  e
z2
;
в) w  sin z ;
г) w  ch( z  i) ; д) w  2
z2
;
е) w  sh z ;
ж) w  tg z .
9. Записать комплексные числа в показательной форме: а) 1; б) i; в) 1+i; г) e (cos3  i sin 3) ;
2
д) cos 2  i sin 2 .
10. Вычислить: а) Ln(1) ; б) Ln(1  i ) ; в) Ln( 3  4i) ; г) Ln( i ) .
11. Записать в алгебраической форме : а) sin i ; б) cos i ; в); tg
i
i
; г) ctg i ; д) sh ;
2
2
е) t h i .
12. Вычислить: а) Arc sin i ; б) Arctg 2i ; в) Arc cos i ; г) Arsh i ; д) Arth i .
2i
13. Найти: а) 3
1 i
i
; б)1 ; в) (1)
2
2i
 3 i
1 i 
i
 
; г) (1  i) ; д) 
 ; е) 
2
2
 2

; ж) (1  i)
33i
.
Решить уравнения:
14. e  i  0 . 15. 4 cos z  5  0 . 16. sh iz  i . 17. sin z  i . 18. e
z
19. e
2z
ix
 cos x ( x  R) .
 2e z  3  0 .
Вычислить пределы:
z 2  4iz  3
cos z
sin iz
20. lim
. 21. lim
. 22. lim arg z . 23. lim
.
i ch z  i sh z
z i
z i
z  i
z  0 ch iz
z
4
24. lim
z  / 2
e 2iz  1
e i
iz
.
Доказать непрерывность на всей комплексной плоскости следующих функций:
25. w  z . 26. w  z  Re z . 27. w  e . 28. w  cos z .
z
Как доопределить данные функции в точке z  0 , чтобы они стали непрерывными в этой
точке:
29. f ( z ) 
z  Re z
z  Im( z )
. 30. f ( z ) 
. 31. f ( z )  e
2
z
z
2

1
z
. 32. f ( z ) 
z
.
z
33. Доказать, что функция e не имеет предела при z   .
z
Указание. Положить z  iy , так что e  cos y  i sin y .
z
34. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде
 ( x, y )  C ).
y y
1 x2
 1  0.
1 y2
1 x2
 1,
1 y2
y y
dy
1 x2
y
 1,
dx 1  y 2
y
1 y2
dy  
dx
1 x2
,
 1  y 2   arcsin x  C ,
C  arcsin x  1  y 2 .
Раздел 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения
программы.
Характер
изменений в
программе
Раздел 7.
Номер и дата
протокола заседания
кафедры, на котором
было принято
данное решение
Подпись заведующего
кафедрой,
утверждающего
внесенное изменение
Подпись декана
факультета (проректора
по учебной работе),
утверждающего данное
изменение
Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое
звание и степень
преподавателя
Старший
преподаватель
кафедры МА и МПМ
Шупова Г.М.
Учебный
год
Факультет
2007-2008
ФМФ
Специальность
050201 – информатика-физика
Указания по использованию формы программы учебной дисциплины:
- программа составляется по каждой из закрепленных за кафедрой дисциплин;
форма программы хранится на кафедре в электронном варианте и на бумажном носителе,
на котором ставятся подписи лиц, утверждающих программу (распечатывается кафедрой).