Загрузил ilp5

А. А. Хватцев, И. А. Строчков. Уравнения в частных производных

Реклама
Министерство образования и науки Российской Федерации
Псковский государственный университет
А. А. Хватцев, И. А. Строчков
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Учебное пособие
Псков
Псковский государственный университет
2016
Министерство образования и науки Российской Федерации
Псковский государственный университет
А. А. Хватцев, И. А. Строчков
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Учебное пособие
Рекомендовано к изданию кафедрой высшей математики
Псковского государственного университета
Псков
Псковский государственный университет
2016
УДК 517.95
ББК 22.161.6
Х30
Рекомендовано к изданию кафедрой высшей математики
Псковского государственного университета
Рецензенты:
– П. В. Герасименко, заслуженный деятель науки РФ, академик МАН
ВШ, д-р. тех. наук, профессор Санкт-Петербургского государственного университета путей сообщения
– М. В. Воронов, академик МАН ВШ, д-р. тех. наук, профессор Московского государственного университета
Х30
Хватцев, А. А., Строчков, И. А.
Дифференциальные уравнения в частных производных : Учебное пособие. — Псков : Псковский государственный университет,
2016. — 80 с.
ISBN 978-5-91116-484-3
В учебном пособии рассматриваются некоторые вопросы, относящиеся к курсу дифференциальных уравнений в частных производных. Излагаются основные аналитические методы решения линейных и квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка и основных уравнений второго порядка, а также вопросы приведения к каноническому виду линейных уравнений второго порядка.
В пособии приведен вывод основных уравнений математической физики, и излагаются методы решения некоторых задач математической
физики как краевых, так и задач Коши, содержащих только начальные
условия. Изложение теоретического материала сопровождается многочисленными практическими примерами. Пособие рекомендуется
студентам, обучающимся по направлению «Математика и компьютерные науки», и магистрам направления «Информационные системы
и технологии», а также начинающим преподавателям.
УДК 517.95
ББК 22.161.6
ISBN 978-5-91116-484-3
© Хватцев А. А., Строчков И. А., 2016
© Псковский государственный университет, 2016
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 4
1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ................................................................................................ 4
1.1. Основные определения. Теорема Ковалевской............................................. 4
1.2. Простейшие уравнения в частных производных .......................................... 6
2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ................................................................... 8
2.1. Линейные уравнения первого порядка .......................................................... 8
2.2. Линейные однородные уравнения первого порядка .................................... 9
2.3. Линейные неоднородные уравнения первого порядка.
Квазилинейные уравнения ....................................................................................... 15
2.4. Задача Коши для квазилинейного уравнения с тремя
переменными. Геометрическая интерпретация ..................................................... 22
3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ................................................................. 27
3.1. Классификация уравнений второго порядка ............................................... 27
3.2. Приведение линейных уравнений второго порядка
к канонической форме .............................................................................................. 30
3.3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными
коэффициентами ........................................................................................................ 32
3.4. Решение уравнений второго порядка с помощью приведения
к канонической форме .............................................................................................. 37
4. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ...... 43
4.1. Уравнения колебаний .................................................................................... 43
4.2. Уравнения электрических колебаний в проводах ...................................... 47
4.3. Уравнение теплопроводности ....................................................................... 48
4.4. Уравнения движения жидкости .................................................................... 51
4.5. Наиболее часто используемые уравнения математической физики......... 53
5. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ........... 54
5.1. Колебания бесконечной струны. Метод Даламбера ................................... 54
5.2. Колебания струны с закреплёнными концами. Метод разделения
переменных ................................................................................................................ 56
5.3. Колебания стержня, жёстко заделанного одним концом в стенку.
Метод разделения переменных ................................................................................ 61
5.4. Краевые задачи для уравнения теплопроводности.
Распространение тепла в неограниченной плите................................................... 64
5.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности ......................................... 72
6. КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ. МЕТОД
РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ФУНКЦИИ ТРЁХ ПЕРЕМЕННЫХ ....... 75
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................................................................................... 78
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ......................................................................................... 79
3
ВВЕДЕНИЕ
В данном учебном пособии излагаются некоторые вопросы, относящиеся к
курсу дифференциальных уравнений в частных производных. Рассматриваются
основные понятия и определения, аналитические методы решения линейных и
квазилинейных уравнений первого порядка и основных уравнений второго порядка (уравнений математической физики), а также вопросы приведения к каноническому виду линейных уравнений второго порядка. Изучаемый материал
излагается на уровне математической строгости, достаточном для решения
прикладных задач. Вопросы существования решений рассматриваются лишь на
уровне формулировки соответствующих теорем. Считается, что неизвестные
функции имеют все необходимые производные в той области, где рассматриваются уравнения, содержащие эти функции.
1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
1.1. Основные определения. Теорема Ковалевской
Пусть имеется некоторая функция u  u x1, x 2 ,, x m  m переменных
x1, x 2 ,, x m . Соотношение, связывающее переменные x1, x 2 ,, x m , функцию
u  u x1 , x 2 ,, x m  и её производные до некоторого порядка, называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Обозначим через
u x j частную производную функции u  u x1 , x 2 ,, x m  по переменной
x j , j  1,2,, m , а через u x j x k — смешанную производную по переменным x j и
x k . Тогда сформулированное выше определение символически можно записать
следующим образом:
F x1 , x 2 ,, x m , u , u x1 , u x 2 ,, u x m , u x1x1 , u x1x 2 , u x1x 3 ,  0 .
(1.1)


Отметим, что в уравнении (1.1) F — некоторая заданная функция своих
аргументов. В реальном уравнении некоторые из аргументов функции F могут
отсутствовать, однако, хотя бы одна из производных функции
u  u x1 , x 2 ,, x m  обязательно содержится.
Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1.1), называется
порядком этого уравнения.
Если после подставления в уравнение (1.1) функции u  u x1 , x 2 ,, x m 
это уравнение превращается в тождество при всех допустимых значениях аргументов, то функция u  u x1, x 2 ,, x m  называется решением уравнения (1.1).
Множество всех решений уравнения (1.1) образует общее решение этого уравнения. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных
содержит ровно столько произвольных функций, каков порядок этого уравнения. Число аргументов этих функций на единицу меньше числа аргументов решения u  u x1 , x 2 ,, x m  . Общее решение, записанное в неявном виде, приня4
то называть общим интегралом. Конкретный выбор произвольных функций даёт частное решение.
Предположим, что порядок уравнения (1.1) равен p . Это означает, что в
(1.1) содержится хотя бы одна частная производная порядка p функции
u  u x1 , x 2 ,, x m  . Пусть для определённости этой производной является
 pu
 u p . Предположим, что уравнение (1.1) может быть разрешено относиx1
x1p
тельно этой старшей производной, т. е. его можно записать в виде
 pu


 f  x1 , x 2 ,, x m , u , u x1 , u 2 ,, u p 1 , u x 2 , u x1x 2 ,, u p  . (1.2)
x1
xm 
x1

x1p
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений критерием того,
что полученное решение является общим решением данного уравнения, была
возможность получить из него все частные решения 1 . При этом частное решение определялось как решение, удовлетворяющее некоторым начальным
условиям (задача Коши). Такие дополнительные условия для уравнений в
частных производных могут быть различного типа. Некоторые конкретные из
них будут рассмотрены позже при изучении уравнений математической физики. Сейчас же мы ограничимся лишь начальными условиями Коши. Для уравнения (1.2) начальные условия имеют вид:
при x1  x10
u   0  x 2 , x 3 , , x m 
 u    x , x , , x 
1 2 3
m
 x1
(1.3)


u p 1   p 1 x 2 , x 3 ,, x m 
 x1
Нахождение решение уравнения (1.2), удовлетворяющего начальным условиям (1.3), называется задачей Коши.
Справедлива теорема С. В. Ковалевской 1 . Существует единственное


аналитическое в окрестности точки M 0 x10 , x 02 ,, x 0m решение уравнения (1.2),
удовлетворяющее начальным условиям (1.3), если функции 0 , 1 ,,  p 1 являются аналитическими в этой окрестности, а функция f является аналитической в окрестности начальных значений своих аргументов:


x10 , x 02 ,, x 0m , u 0  0 x10 , x 02 ,, x 0m , u x1 M 0  1 M 0 ,,
u
  p 1 M 0 ,, u p

xm M
x1p 1 M 0
0
5
 p 0 M 0 
x pm
Замечание. Функция  t1 , t 2 ,, t m  называется аналитической в окрестности некоторой точки T0 t10 , t 02 ,, t 0m , если в каждой точке этой окрестности
она представима в виде суммы степенного ряда по целым неотрицательным
степеням своих аргументов. Ясно, что такая функция в указанной окрестности
имеет производные любого порядка.


1.2. Простейшие уравнения в частных производных
Решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных
можно получить непосредственным интегрированием или, используя методы
решения обыкновенных дифференциальных уравнений 2. Рассмотрим несколько таких примеров, считая, что z  zx , y  — неизвестная функция двух
аргументов.
Пример 1.1. Найти общее решение уравнения
чу Коши: z  ln y при x  1.
z z
  xy 2 и решить задаx x
◄Будем рассматривать z как функцию аргумента x , а y будем считать
параметром. Тогда исследуемое уравнение можно считать линейным неоднородным уравнение первого порядка. Воспользуемся методом Бернулли и будем
z
 u x v  uv .
искать решение этого уравнения в виде z  u x , y vx  . Тогда
x
Подставим эти соотношения в исходное уравнение.
  v
uv
v
v  x  0


 xy 2  u x v  u  v    xy 2  
u x v  uv 
x
x

u  v  xy 2
 x
(1.4)
Решив первое уравнение системы (1.4), получим v  x . Второе уравнение
системы (1.4) после подстановки в него x вместо v принимает вид u x  y 2 .
Откуда u x , y    y 2 dx  y   xy 2  y  . Здесь y  — произвольная функ-


ция. Следовательно, zx , y   xy 2  y  x — общее решение уравнения. Теперь
определим y  так, чтобы выполнялось начальное условие. Подставляем в
общее решение x  1 и ln y вместо z :

ln y  y 2  y   y   ln y  y 2

Значит, zx , y   xy 2  ln y  y 2 x — решение задачи Коши. ►
6
Пример 1.2. Найти общее решение уравнения
◄1. Перепишем уравнение в виде
 2z
x.
xy
  z 
   x . Интегрируя по x , получим
x  y 
z x 2

 y  , где y  — произвольная функция аргумента y . Теперь проинy
2
тегрируем по y :
x2y
x2y
z
  y dy  x  
 h  y    x 
2
2
Здесь h y  и x  — произвольные функции своих аргументов.
  z 
2. Перепишем уравнение в виде
   x . Проинтегрируем по y .
y  x 
z
 xy  gx  . Теперь интегрируем по x и приходим к тому же решеПолучим
x
нию:
x2y
x2y
  gx dx  h y  
  x   h  y  ►
2
2
z z
Пример 1.3. Решить уравнение
 .
x y
◄Введём новые независимые переменные  и  с помощью соотношений
      
  x  y,   x  y . Тогда z  z
,
  zx , y , x , y  .
2
2


В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции нескольких аргументов:
z x  z   x  z  x  z   z  , z y  z   y  z  y  z   z  .
z
Следовательно,
z z

 z   z   z   z   2z   0
x y
Интегрируя по  последнее уравнение, получаем:
z     x  y  ,
где  — произвольная функция. ►
Пример 1.4. Решить уравнение
 2z
2

 2z
2
.
x
y
◄Как и в предыдущем примере введём новые переменные  и  с помощью соотношений:   x  y,   x  y  z x  z   z  , z y  z   z  .
7
Тогда,
 2z
  z  z  z 


 z   z   z   z   z   2z   z 
2 x  x 
x
x


x
Здесь учтено, что в соответствии с теоремой Шварца 3 z   z  . Аналогично:

 2z
2
 z   2z   z  .
y
Поэтому исходное уравнение сводится к уравнению:
 2z
 0.

Ясно, что решение этого уравнения получается из решения уравнения, рассмотренного ранее в примере 1.2. Надо только правую часть сделать равной нулю, затем переменные x и y заменить соответственно на  и  .
Следовательно,
z     h   x  y   h x  y  ►
2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В самом общем виде уравнение первого порядка может быть записано в
виде:
F x1 , x 2 ,  , x m , u , u x 1 , u x 2 ,  , u x m  0 ,
(2.1)

где u  u x1, x 2 ,, x m  — неизвестная функция.

2.1. Линейные уравнения первого порядка
Уравнение (2.1) называется линейным, если неизвестная функция и её
частные производные входят в это уравнение в первой степени (линейно). Такое уравнение может быть приведено к виду:
m
u
(2.2)
 X j x1, x 2 ,, x m  x  X m 1 x1, x 2 ,, x m   u  f x1, x 2 ,, x m 
j
j1
Будем
предполагать,
что
в
уравнении
(2.2)
функции
f x1 , x 2 ,, x m , X j x1, x 2 ,, x m   j  1,2,, m  1 непрерывны в некоторой об-
ласти. Кроме того, функции X j x1, x 2 ,, x m   j  1,2,, m  в этой области
имеют ограниченные частные производные и ни в одной точке этой области не
обращаются в нуль одновременно.
Если f x1, x 2 ,, x m   0 , то уравнение (2.2) принимает вид:
m
u
 X j x1, x 2 ,, x m  x
j1
j
 X m 1 x1, x 2 ,, x m   u  0
и называется однородным.
Соответственно уравнение (2.2) называется — неоднородным.
8
(2.3)
2.2. Линейные однородные уравнения первого порядка
Рассмотрим линейное однородное уравнение первого порядка, в котором
неизвестная функция является функцией двух переменных x и y , т. е.
u x1, x 2   zx , y  , и которое не содержит явно неизвестную функцию. В соответствии с (2.3) такое уравнение может быть записано в виде:
z
z
Ax , y   Bx , y   0
(2.4)
x
y
Наряду с уравнением (2.4) рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которую принято называть характеристической системой для уравнения (2.4)
 dx
 dt  Ax , y 
(2.5)

dy
  Bx , y 
 dt
Функция x , y  , не сводящаяся тождественно к постоянной, называется
первым интегралом системы (2.5), если при подстановке в неё любого решения
x t , yt  этой системы получается постоянная величина, зависящая только от
выбора решения. Первый интеграл принято записывать в виде x , y   C . Для
нахождения первого интеграла системы (2.5) поступают следующим образом.
Исключают параметр t из системы (2.5). В результате получается эквивалентное системе (2.5) уравнение:
dx
dy
(2.6)

Ax , y  Bx , y 
Если y  yx , C  — общее решение уравнения (2.6), то выразив постоянную
величину C через x , y , получают первый интеграл x , y   C системы (2.5).
Если решение уравнения (2.6) получается в виде
общего интеграла
Fx , y, C   0 , то поступают аналогичным образом.
Теорема 1. Пусть x , y   C , где C — произвольная постоянная, является
первым интегралом системы (2.5). Тогда функция z  x , y  является решением
уравнения (2.4).
Доказательство.
Пусть x t , yt  — какое-нибудь решение системы (2.5). Тогда по определению первого интеграла x t , yt   C .
Продифференцируем это равенство. В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции нескольких переменных:
 dx  dy
d
x t , yt  

0
dt
x dt y dt
9
(2.7)
С учётом (2.5) соотношение (2.7) принимает вид:


(2.8)
Ax , y   Bx, y   0
x
y
Как видим, выражения (2.8) и (2.4) с точностью до обозначений полностью
совпадают. Кроме того, равенство (2.8) справедливо для любого решения системы (2.5), т. е. оно справедливо для x , y из области определения уравнения
(2.4). Следовательно, z  x , y  — решение (2.4).☻
Справедлива и обратная теорема.
Теорема 2. Пусть z  x , y  — решение уравнения (2.4). Тогда x , y   C
является первым интегралом системы (2.5).
Доказательство.
Подставим в функцию x , y  какое-нибудь решение системы (2.5) и возьмём полную производную от полученного выражения:

d
 dx  dy 
x t , yt  


A x , y  
Bx , y 
dt
x dt y dt x
y
Так как x , y  — решение уравнения (2.4), то правая часть в последнем
выражении тождественно равна нулю, т. е.
d
x t , yt   0
(2.9)
dt
Но соотношение (2.9) является необходимым и достаточным условием того, чтобы x , y   C 2. Таким образом, x , y   C — первый интеграл системы (2.5). ☻
Известно, что если x , y   C — первый интеграл системы (2.5), то
   C , где  — произвольная функция, также является первым интегралом
системы (2.5). Из доказанных теорем 1 и 2 следует тогда, что z   — общее
решение уравнения (2.4).
Аналогично. Общее решение линейного однородного уравнения вида:
m
u
(2.10)
 X j x1, x 2 ,, x m  x  0
j
j1
строится следующим образом.
1. Составляем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
dx1
dx 2
dx m


(2.11)
X1x1, x 2 ,, x m  X 2 x1, x 2 ,, x m 
X m x1, x 2 ,, x m 
2. Решив систему (2.11), находим m  1 независимых первых интегралов
этой системы:
1 x1 , x 2 ,, x m  C1
 x , x ,, x  C
 2 1 2
m
2
(2.12)











 m 1 x1 , x 2 ,, x m  C m 1
10
Интегралы (2.12) называются независимыми (функционально независимыми), если между функциями  j , j  1,2,, m  1 не существует связи типа
 1 ,  2 ,,  m 1   0 . Из теории неявных функций следует, что достаточным
условием независимости функций  j , j  1,2,, m  1 является отличие от нуля
определителя Якоби из этих функций по каким-либо m  1 переменным, т. е.
1
1

x jm 1
x j1
D1 ,  2 ,,  m 1 
 

 0
D x j1 , x j2 ,, x jm 1
 m 1
 m 1

x j1
x jm 1


3. Общее решение уравнения (2.10) записываем в виде:
u  1 x1, x 2 ,, x m ,  2 x1, x 2 ,, x m ,,  m 1 x1 , x 2 ,, x m  
(2.13)
Замечание. Для нахождения нужного числа независимых первых интегралов системы (2.11) существует два основных метода: метод исключения и метод интегрируемых комбинаций.
Метод исключения заключается в сведении системы (2.11) к одному уравнению m  1 -го порядка или к одному уравнению порядка k k  m  1 и некоторой системе независимых уравнений. Такое сведение достигается дифференцированием одного из уравнений системы (2.11) и использованием всех уравнений этой системы. Обычно приходится дифференцировать m  2  раза, но
бывают случаи, когда достаточно продифференцировать только r r  m  2 
раз. В результате получается некоторое число r тождеств, из которых, исключая r  1 переменную, получаем одно уравнение относительно одной из неизвестных функций. Если это уравнение может быть проинтегрировано, все
остальные неизвестные находятся с помощью дифференцирования и алгебраических преобразований.
Проиллюстрируем описанную выше процедуру на примере системы:
dx
dy
dz
.
(2.14)


y yz  1 z  12
Представим эту систему в виде:
 dy
 y  z  1
 dx  z  1





y2
2



dz
z

1
z

 

y

 dx
y
Первое из этих уравнений продифференцируем по x : y  z . Теперь воспользуемся вторым уравнением и получим:
y2 .
(2.15)
y 
y
11
Порядок этого уравнения можно понизить на единицу введением новой
функции y  pyx , y  pp . Тогда (2.15) примет вид:
p  0
p2
pp 

y
py  p
Уравнение p  0 означает, что y  0  z  1 , т. е. получается тривиальное
и малоинтересное решение.
Общее решение уравнения (2.15) определяется уравнением с разделяющимися переменными py  p . Проинтегрировав это уравнение, получаем
Так
как
ln p  ln y  ln C1  p  y  C1y  ln y  C1x  C 2  y  e C1x  C 2 .
y  z  1 , то два независимых первых интегралов системы (2.14) определяются
z  1x .
z 1
и C 2  ln y 
соотношениями: C1 
y
y
Второй метод нахождения нужного числа независимых первых интегралов
системы (2.11) заключается в выделении так называемых интегрируемых комбинаций, т. е. в получении уравнений, которые являются следствиями уравнений этой системы, но могут быть уже проинтегрируемы непосредственно.
При использовании симметричной записи (2.11) нормальной системы
дифференциальных уравнений для получения интегрируемых комбинаций часто используют свойство равных отношений. Суть этого свойства заключается
в следующем. Пусть выполняется соотношение:
a1 a 2
a

 k   .
(2.16)
b1 b 2
bk
Тогда,
1a1   2 a 2     k a k
 .
(2.17)
1b1   2 b 2     k b k
В самом деле. Из соотношения (2.16) находим a j  b j , j  1,2,, k . Теперь
подставим найденные значения для a j в выражение (2.17). В результате полу-
чим:
1b1   2 b 2     k b k   
1b1   2 b 2     k b k
Коэффициентами 1,  2 ,,  k линейных комбинаций в (2.17) являются
числа или выражения. Они подбираются таким образом, чтобы выражение в
числителе полученной дроби являлось дифференциалом выражения, стоящего в
знаменателе, или чтобы знаменатель дроби обратился в нуль. Каждая интегрируемая комбинация даёт один первый интеграл.
Для иллюстрации рассмотрим систему:
dx
dy
dz
.


x  z y  z 2z
12
Складывая числители и знаменатели первой и третьей дробей и числители
и знаменатели первой и второй дробей, получаем две интегрируемые комбинации:
dx  dz dz dy  dz dz

и
 .
xz
2z
yz
2z
Интегрируя первую комбинацию, находим первый интеграл:

dx  dz dz
dz  x  1 dz
x  z 2
.



 2 ln x  z  ln z  ln C1  C1 
xz
2z
zx
2 z
z
Аналогично, из второй комбинации получаем ещё один первый интеграл:
C2

y  z 2
.

z
Следует также помнить, что при решении многих задач приходится комбинировать эти два метода: часть интегралов находят, например, методом исключения, а другую часть отыскивают методом интегрируемых комбинаций или
при составлении интегрируемых комбинаций используют найденные уже первые интегралы. Проиллюстрируем конкретным примером и эти идеи, для чего
рассмотрим систему:
dx dy
dz
.


x
y z  xy
Первый независимый интеграл получаем интегрированием уравнения
dx dy
x

 ln x  ln у  ln C1  C1  . Из последнего соотношения нахоx
y
y
дим: xy  C1y 2 . Это выражение подставляем в третью дробь системы и получаем вторую интегрируемую комбинацию:
dy
dz
dz z


  C1y .
y z  C1y 2
dy y
Таким образом, получили линейное неоднородное уравнение первого порядка.
Решать
это
уравнение
будем
методом
Бернулли:
zy   u y vy , z  u v  vu . Подставим эти соотношения в последнее уравнение и получим систему:
  v
v  y
v  y
v 
y


 z  uv  C 2  C1y y .




u


C
u

C

C
y


1
2
1
u v  C y

1
Теперь находим второй независимый интеграл:
C2 
z  C1y 2 z  xy
.

y
y
13
z
z
 2y  0 .
x
y
◄Составляем уравнение для определения характеристик:
dx
dy
dy
2y
.



2x  y 2 y
dx 2 x  y
Получили обыкновенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решение этого уравнения ищем в виде y  u x x . Тогда y  u x  u .
Пример 2.1. Найти общее решение уравнения 2 x  y 
du
 u2
Последнее уравнение в результате такой замены принимает вид
x
.
dx
2u
2u
dx
2
du 
  ln ux  C . Возвращаемся к прежРазделяем переменные: 
x
u
u2
 2x

2x
 ln y  — общее ре ln y . Следовательно, z  
y
 y

шение, где  — произвольная функция.►
z
z
Пример 2.2. Найти общее решение уравнения x  2 y   y  0 .
x
y
◄Составляем уравнение для определения характеристик:
dx
dy

 ydx  x  2 y dy  0 .
x  2y  y
Полученное уравнение является уравнением в полных дифференциалах,

x  2 y    y  . Решение этого уравнения имеет вид u x, y   C , причём
т. к.
x
y
u
u
 y, а
 x  2 y . Из первого соотношения находим u  xy  y  . Имеем,
x
y
u
 x  2 y  x      2 y  y   y 2 .
y
ним переменным: C 


Следовательно, u x , y   xy  y 2 , а z   xy  y 2 ,
где  — произвольная функция, общее решение рассматриваемого уравнения в
неявном виде, ►
u
u
u
Пример 2.3. Найти общее решение уравнения x
 y  z 0.
x
y
z
◄Запишем систему (2.11) для данного уравнения:
dx dy dz
(2.18)

 .
x
y
z
Интегрируя первую пару из этой системы, получим независимый первый
интеграл:
dx dy
y

 ln y  ln x  ln C1  C1  .
x
y
x
14
Теперь интегрируем вторую пару из системы (2.18) и получим второй независимый первый интеграл системы (2.18).
dx dz
z
  C2 
x
z
x
Общее решение исходного уравнения в соответствии с (2.13):
y z
u   ,  , где  — произвольная функция. ►
x x
Пример 2.4. Найти общее решение уравнения:
x  z  u  y  z  u  2z u  0
x
y
z
◄Запишем систему (2.11) для данного уравнения:
dx
dy
dz


x  z y  z 2z
Два первых независимых интеграла этой системы получены выше при иллюстрации метода интегрируемых комбинаций:
C1

x  z 2

,C
2

y  z 2

.
z
z
Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:
 x  z 2 y  z 2 
►
u  
,


z
z


2.3. Линейные неоднородные уравнения первого порядка.
Квазилинейные уравнения
Теперь рассмотрим линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка, в котором неизвестная функция zx , y  является
функцией двух переменных.
z
z
(2.19)
Ax , y   Bx, y   zD( x , y)  f x, y 
x
y
Решение уравнения (2.19) получим, рассмотрев вначале более общее уравнение:
z
z
(2.20)
Ax , y, z   Bx , y, z   C( x , y, z)
x
y
Это уравнение называется квазилинейным неоднородным уравнением в
частных производных первого порядка. Это уравнение линейно относительно
частных производных, но может быть нелинейным относительно неизвестной
функции zx , y  . Если Ax , y, z   Ax , y  и Bx , y, z   Bx , y  , т. е. Ax , y, z  и
Bx , y, z  не зависят от переменной z , а Cx , y, z   f x , y   zDx , y  , уравнение
(2.20) переходит в (2.19).
15
Решение уравнения (2.20) будем искать в виде неявной функции:
  x , y, z   C ,
(2.21)
где C — произвольная постоянная. В соответствии с правилом дифференцирования неявных функций:
y

z
z
 x ,

(2.22)
x
 z y
z
Подставив эти выражения в уравнение (2.20), получим:
A x , y, z 



 Bx , y, z 
 C ( x , y, z )
0
x
y
z
(2.23)
Сравнивая уравнение (2.23) с (2.10), замечаем, что уравнение является линейным однородным уравнением относительно функции трёх переменных
x, y, z  . Записав для уравнения (2.23) характеристическую систему в симметdx
dy
dz
и найдя два независимых первых


ричном виде
Ax , y, z  Bx , y, z  Cx , y, z 
интеграла 1 x, y, z   C1 и  2 x, y, z   C 2 этой системы, получим общее решение уравнения (2.20)
 1 x , y, z ,  2 x , y, z   0 ,
(2.24)
где  — произвольная функция.
Если окажется, что переменная z входит только в один из первых интегралов, например в  2 , то общее решение уравнения (2.20) можно записать в виде
 2 x, y, z   f 1  , где f — произвольная функция.
Пример 2.5. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения:
z
z
2x
 y  x   x 2 .
x
y
◄ Записываем характеристическую систему в симметричном виде:
dx
dy
dz


2x y  x x 2
Один первый интеграл получим, проинтегрировав уравнение:
dx dz
2dz


 x  4z  x 2  C1  C1  4z  x 2
2
2x x
dx
Складывая числители и знаменатели первой и второй дробей, получаем интегрируемую комбинацию:

dx  y  dx
x  y 2
.

 2 ln x  y  ln x  ln C 2  C 2 
xy
2x
x
Следовательно, можем написать общее решение уравнения в виде:
2

2 x  y  

 4z  x ,
 0.


x


16
(2.25)
Так как z входит только в один первый интеграл, то соотношение (2.25)
можно переписать следующим образом:
 x  y 2 
2
 ►
4z  x  f 


x


Пример 2.6. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения
z
z
x2
 y2
 x 2  y2 .
x
y
◄ Записываем характеристическую систему в симметричном виде:
dx dy
dz
.


x 2 y2 x 2  y2
Две интегрируемые комбинации имеют вид:
dx dy
dx  dy
dz
.
и


2
2
2
2
2
2
x
y
x y
x y
1 1
Интегрируя первую комбинацию, находим C1   .
y x
Из второй комбинации, соответственно получим C 2  x  y  z . Так как z
входит только в один первый интеграл, то общее решение можно записать в виде:
1 1
x  y  z     , где  — произвольная функция. ►
y x
Пример 2.7. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения:
z
z
tgx
 ctgy  z .
x
y
◄ Записываем характеристическую систему в симметричном виде:
dx
dy dz


tgx
ctgy z
Первая интегрируемая комбинация получается естественным образом:
dx
dy
cos xdx
sin ydy
sin x
.



 ln sin x  ln cos y  ln C1  C1 
tgx
ctgy
sin x
cos y
cos y
Вторая интегрируемая комбинация также достаточно очевидна:
d  sin x  cos y  dz
cos xdx  sin ydy dz


 .
sin x  cos y
sin x  cos y
z
z
sin x  cos y
.
z
Так как z входит только в один первый интеграл, то общее решение можно
записать в виде:
 sin x 
sin x  cos y
 , где  — произвольная функция. ►
 
z
cos
y


Следовательно, ln sin x  cos y  ln z  ln C 2  C 2 
17
Пример 2.8. Найти общее решение квазилинейного уравнения:
z
z
x 2z  y2z  x  y
x
y
◄ Записываем характеристическую систему в симметричном виде:
dx
dy
dz


x 2z y2z x  y
dx

dy
. После сокращения на z ,
x 2z y2z
dx dy
1
1
1 1
получим

     C1  C1   . Один первый интеграл
y
x
x y
x 2 y2
найден. Для получения ещё одного первого интеграла составляем интегрируемую комбинацию, вычитая числители и знаменатели первой и второй дробей:
dx  dy
dz
d x  y 
dz
d x  y 




 zdz .
xy
x 2z  y 2z x  y
z x 2  y2 x  y
Возьмём из этой системы первую пару


После интегрирования имеем:
z2
z2
 C 2  C 2  ln x  y 
.
ln x  y 
2
2
Следовательно, общее решение, записное неявно, имеет вид:
1 1
1 1
z2 
z2
  , ln x  y    0  ln x  y 
 f    ►
x y
2 
2
x y

Пример 2.9. Найти общее решение квазилинейного уравнения
z
z
xy  x  2z   yz .
x
y
◄ Записываем характеристическую систему равнения:
dx
dy
dz
(2.26)


xy x  2z yz
Один независимый первый интеграл получим, решив уравнение:
dx dz
dx dz
z



 ln z  ln x  ln C1  C1  .
xy yz
x
z
x
Чтобы найти второй независимый первый интеграл системы (2.26) перепишем эту систему в виде:
x   xy

(2.27)
 y  x  2z
z  yz

Продифференцируем второе уравнение системы (2.27), после чего заменим
производные x  и z с помощью двух других уравнений этой же системы.
y  x   2z  xy  2 yz  yx  2z   yy .
18
В итоге получили уравнение y  yy . Порядок этого уравнения с помощью
замены y  py , y  pp можно понизить на единицу: pp  yp Откуда следует:
либо p  0 , либо p  y . Первое уравнение даёт не интересующее нас тривиальвторого уравнения находим
ное решение
y  0  y  const . Из
y2
dp  ydy  p 
 C2  C 2  2 C2  2p  y 2  2 x  4z  y 2 . Два независимых
2
первых интеграла системы (2.26) получены. Следовательно, общее решение
уравнения в неявной форме имеет вид:
z

 , 2 x  4z  y 2   0 ►
x

Аналогично.
Чтобы решить квазилинейное уравнение в частных производных первого
порядка:
m
u
(2.28)
 X j x1, x 2 ,, x m , u  x  Fx1, x 2 ,, x m , u  ,
j
j1
в котором неизвестная функция u  u x1 , x 2 ,,x m  является функцией m переменных, надо:
1) написать характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
dx1
dx m
du


X1 x1, x 2 ,, x m 
X m x1 , x 2 ,, x m  Fx1, x 2 ,, x m , u 
(2.29)
2) найти m независимых первых интегралов этой системы:
1 x1, x 2 ,, x m , u  C1
 x , x ,, x , u  C
 2 1 2
m
2


 m x1 , x 2 ,, x m , u  C m
(2.30)
3) общее решение уравнения (2.28) в неявном виде записывается так:
1,  2 ,,  m   0 ,
(2.30)
где  — произвольная функция.
4) Если окажется, что переменная u входит только в один из первых интегралов, например в 1 , то общее решение уравнения (2.28) можно записать в
виде:
1 x1, x 2 ,, x m , u     2 ,3 ,,  m  ,
(2.31)
где  — произвольная функция.
19
Пример 2.10. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения
y  z  u  x  z  u  x  y  u  u .
x
y
z
◄ Характеристическая система имеет вид:
dx
dy
dz
du
.



yz zx xy u
Используя первую, вторую и четвертую дроби, составляем первую интегрируемую комбинацию:
dx  dy
du
dx  y  du



 ln u  ln C1  ln x  y  C1  u x  y  .
y  z  z  x  u
 x  y  u
Используя вторую, третью и четвертую дроби, составляем вторую интегрируемую комбинацию:
du dz  y 

 C 2  u z  y  .
u  z  y 
Наконец, используя первую, вторую, третью и четвертую дроби, составляем третью интегрируемую комбинацию:
dx  y  z  du

2x  y  z  u
Интегрируя это уравнение, находим третий независимый первый интеграл
xyz
характеристической системы: C3 
. Следовательно,
u2

x  y z
  0 .►
 u x  y , u z  y ,
2
u


Пример 2.11. Найти общее решение квазилинейного уравнения
u  x  u  u  y  u  z u  x  y
x
y
z
◄ Характеристическая система имеет вид:
dx
dy
dz
du
.



ux uy z xy
Первую интегрируемую комбинацию получаем, используя первую, вторую
и третью дроби:
dx  dy
dz
dx  y  dz


  ln x  y  ln z  ln C1 .
u  x  u  y   z
xy
z
xy
.
Следовательно, один первый интеграл имеет вид C1 
z
Вторая интегрируемая комбинация получается использованием всех дробей характеристической системы:
d x  y  2 u 
dz
   ln x  y  2u   ln z  ln C 2 .
u  x  u  y  2x  y 
z
20
Следовательно, второй независимый первый интеграл имеет вид:
C 2  z x  y  2 u  .
(2.32)
Для получения третьего независимого первого интеграла поступим следуC  2uz
. Теперь подющим образом. Из соотношения (2.32) находим: x  y  2
z
ставим это выражение в четвёртую дробь характеристической системы и расdz
zdu
du 2u C 2




. Полученное уравнение явсмотрим уравнение
z 2uz  C 2
dz z
z2
ляется линейным неоднородным уравнением, если в нём рассматривать u , как
функцию аргумента z . Будем решать это уравнение методом Бернулли. Положим u z   t z w z   u   t w  w t . В этом случае последнее уравнение примет
вид:
  2w
w 
 0 w  z 2

C
2 tw 
z



t w   w t 

   22  
C2
C2
z 

z
t    4  t  3  C 3
t w   C 2
z
3z


z2
Следовательно,
C
3uz  C 2 u  x  y

.
u  tw  C3z 2  2  C3 
3
2
3z
3z
3z
В качестве третьего независимого первого интеграла возьмём:
uxy
.
C3  3C3 
z2
Значит, общее решение уравнение имеет вид:
xy
u  x  y
, zx  y  2u ,
  0 .►

 z

z2
Пример 2.12. Найти общее решение квазилинейного уравнения:
u
u
u
x
 y  z  u   xy .
z
x
y
◄ Составляем характеристическую систему уравнения:
dx dy
dz
du



x
y z  u xy
Возьмём первую пару из этой системы и получим первый интеграл:
dx dy
x

 ln x  ln y  ln C1  C1  .
x
y
y
Перепишем характеристическую систему в виде:
x   x
 y  y

 u   x y  xy  2 xy  2u   u   2u   0  u   2u  C 2 .

z   z  u
u   xy
21
Подставим теперь в последнее уравнение xy вместо u  . Получим второй
независимый первый интеграл: C 2  xy  2u . Для нахождения ещё одного первого интеграла в последнюю дробь характеристической системы подставим
xy  C 2  2u и рассмотрим интегрируемую комбинацию:
dz  u  C 2  dx
dz  du
dx



 ln z  u  C 2  ln x  ln C3 
z  u  C 2  2u  x
z  u  C2
x
z  u  C2
z  u  xy
 C3 
.
C3 
x
x
x
z  u  xy 
  0 определяет общее
Следовательно, уравнение  , xy  2u ,
y
x


решение в неявной форме. ►
2.4. Задача Коши для квазилинейного уравнения с тремя
переменными. Геометрическая интерпретация
Рассмотрим неоднородное квазилинейное уравнение (2.20), которое для
удобства перепишем в виде:

z z 
F x , y, z, ,   0 .
(2.33)
x y 

Предположим, что это уравнение разрешено относительно одной из частz
ных производных, например,
, т. е.
x
z
z
(2.34)
 f ( x , y, z , ) .
x
y
Задача Коши для уравнения (2.34) формулируется следующим образом:
найти решение z  x , y  уравнения (2.34), которое при заданном начальном
значении x  x 0 обращается в заданную функцию y  , т. е. z  y  при
x  x0 .
Аналогично, если уравнение (2.33) разрешено относительно частной проz
, т. е.
изводной
y
z
z
(2.35)
 g ( x , y, z , ) ,
x
y
то задача Коши формулируется так: найти решение z   x , y  уравнения
(2.35), которое при заданном начальном значении y  y 0 обращается в заданную функцию x  .
Функция z  x , y  в координатном пространстве 0 xyz представляет некоторую поверхность. Так как в нашем случае функция z  x , y  является
решением дифференциального уравнения (2.34), то будем называть эту по22
верхность интегральной поверхностью. Как известно 3 , уравнение плоскости,
касающейся в точке x, y, z  поверхности, задаваемой уравнением z  x , y  ,

X  x    Y  y  , где X, Y, Z — координаты текущей
имеет вид: Z  z 
x
y


точки на касательной плоскости, а частные производные
и
пропорциx
y
ональны косинусам углов, которые образует вектор нормали к касательной
плоскости в точке x, y, z  (угловые коэффициенты этой плоскости). Следовательно, уравнение (2.34) связывает координаты x , y, и z точки искомой интегральной поверхности и угловые коэффициенты касательной плоскости к этой
поверхности в данной точке.
Пара соотношений z  y  и x  x 0 определяет плоскую кривую z  y  ,
которая лежит в плоскости x  x 0 , параллельной плоскости 0 yz .
Таким образом, с геометрической точки зрения задача Коши для уравнения
(2.34) состоит в отыскании поверхности, удовлетворяющей уравнению (2.34) и
проходящей через кривую: z  y  , x  x 0 .
Аналогично, задача Коши для уравнения (2.35) заключается в нахождении
интегральной поверхности, проходящей через кривую: z  x , y  y 0 .
В рассмотренных задачах Коши переменные x и y являются не совсем
равноправными.
Это связано с тем, уравнение (2.33) предварительно разрешается или отноz
z
или относительно
сительно
.
x
y
Можно сформулировать так называемую обобщённую задачу Коши, в которой это неравенство переменных устраняется.
Для уравнения (2.33) найти интегральную поверхность, проходящую через
кривую, заданную системой параметрических уравнений:
x  t , y  t , z  t  .
(2.36)
Чтобы решить обобщённую задачу Коши надо найти два независимых первых интеграла уравнения (2.33). В эти первые интегралы:
1 x , y, z   C1 ,  2 x , y, z   C 2 ,
(2.37)
вместо x , y, и z подставить их выражения (2.36) через параметр t . В результате
получатся два уравнения вида:
1 t   C1,  2 t   C 2 .
(2.38)
Исключив из системы (2.38) параметр t , получим соотношение:
 C1 , C 2   0
(2.39)
Наконец подставив в (2.39) вместо C1 и C 2 их выражения из (2.37), получим уравнение искомой поверхности.
В том случае, когда в оба уравнения (2.38) параметр t не входит, то это
означает, что кривая (2.36) является интегральной кривой характеристической
системы уравнения (2.33), и задача Коши имеет бесконечно много решений.
23
Пример 2.13. Найти частное решение уравнения
z
z
 2 x  0 при услоx
y
вии, что z  y 2 , если x  1.
dx
dy
◄Имеем:

 dy  2 xdx  y   x 2  C  C  y  x 2 . Следова1  2x
тельно, z   y  x 2 — общее решение. Теперь потребуем, чтобы выполнялось


начальное условие: y 2  y  1 . Чтобы определить функцию  , обозначим
t  y  1 . Тогда  t   t  12 . Окончательно, получаем:

 
2
z   y  x 2  y  x 2  1 .►
Пример 2.14. Найти частное решение уравнения y 2
z
z
 xy  x при
x
y
условии, что z  y 2 , если x  0 .
◄Сначала найдём общее решение уравнения. Характеристическая система
dx dy dz
имеет вид:

 . Проинтегрируем первую пару из этой системы и по2 xy
x
y
лучим один независимый интеграл:
dx

dy
 xdx  ydy  x 2  y 2  C1 .
xy
y2
Теперь возьмём вторую пару и получим второй независимый интеграл:
dy dz
  ln y  C 2  z  C 2  z  ln y .
xy x
Следовательно, общее решение может быть представлено в форме:




 x 2  y 2 , z  ln y  0  z  ln y   x 2  y 2 , где
функция.

— произвольная
 
Воспользуемся начальными условиями: y 2  ln y    y 2 . Обозначим через t   y 2 . Тогда последнее выражение принимает вид t    t  ln  t .
Следовательно,




z  ln y   x 2  y 2  ln  x 2  y 2  z  ln y  y 2  x 2  ln y 2  x 2 .►
Пример 2.15. Найти частное решение уравнения
yz
z
z
 xz  xy при
x
y
условии, что z 2  y 2  a 2 , если x  a .
◄Найдём общее решение уравнения. Характеристическая система имеет
dx dy dz
.
вид:


yz xz xy
24
Проинтегрируем первую пару из этой системы и получим один независиdx dy
мый интеграл

 xdx  ydy  x 2  y 2  C1 . Аналогично из второй пары
yz xz
получаем второй интеграл y 2  z 2  C 2 . Учитывая, что переменная z входит
лишь во второй независимый интеграл, общее решение можем представить в


форме y 2  z 2   x 2  y 2 .
Решение задачи Коши можно найти двумя способами.
Первый способ.
Как и в примере 2.12 для определения функции  используем начальные
условия:

 



y2  a 2  y 2   a 2  y 2  2y2  a 2   a 2  y 2 .


Обозначим t  a 2  y 2 . Тогда,  t   a 2  2t   x 2  y 2  a 2  2 x 2  2 y 2 .
Окончательно получаем 2 x 2  y 2  z 2  a 2 .
Второй способ.
Исключим переменные x , y, z из соотношений:
x  a
 2 2
2
2
2
у  z  a
C 2  2 y  a
2


C

C

a
2

2
1
2
2
2
2
.
C1  a  y
C1  x  y
C  у 2  z 2
 2
Теперь в последнем соотношении заменим постоянные C1 и C 2 их значениями. В результате получим 2 x 2  y 2  z 2  a 2 .►
Пример 2.16. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
y  z  z  z  x  z  x  y и проходящую через линию z  y   x .
x
y
dx
dy
dz
◄Из уравнений характеристической системы
состав

yz zx xy
ляем две интегрируемые комбинации:
dx  dxy  dz
dz
xdx  ydy  zdz
dz
.
и


y  z   z  x   x  y  x  y x y  z   yz  x   zx  y  x  y
Из первой комбинации следует:
Из второй комбинации:
d x  y  z 
dz

 x  y  z  C1 .
0
xy
xdx  ydy  zdz
dz

 x 2  y2  z 2  C2 .
0
xy
25
Два независимых первых интеграла характеристической системы получены. Теперь исключаем переменные x , y и z из системы:
x  y  z  C1
C1   x
 2
2
2




x
y
z
C
 C 2  3C12 .


2
2
C 2  3x
z  y   x

Подставляя в последнее соотношение вместо C1 и C 2 их выражения через
переменные x , y и z , получаем уравнение искомой поверхности:
3x  y  z 2  x 2  y 2  z 2 .►
Найти поверхность, удовлетворяющую
Пример 2.17.
уравнению
z
z
xy 3
 x 2z 2
 zy3 и проходящую через линию x  z 3 , y  z 2 .
y
x
dx
dy
dz
составля◄Из уравнений характеристической системы


3
2 2
3
xy
z x
zy
dx
dz
ем интегрируемую комбинацию
. Сократив на y 3 и проинтегрировав

3
3
xy
zy
x
после этого, получаем первый интеграл C1  . Из последнего соотношения
z
выражаем x  C1z . После подстановки этого соотношения в характеристическую систему, получаем ещё одну интегрируемую комбинацию:
dy
dz

 C2  y4  x 2z 2 .
2 4
3
C1 z
y z
Теперь исключаем переменные x , y и z из системы:
x

C1  z

4
2 2
4
2 2
C 2  y  x z  C 2  0  y  x z  0 .

3
2
x   z , y  z

Имеем



y 4  x 2 z 2  0  y 2  xz y 2  xz  0 .
Из
начального
условия
x  z 3 можно сделать вывод, что xz  z 4  0 . Следовательно, y 2  xz  0 ,
причём равенство возможно лишь, когда y  0 и хотя бы одна из переменных x
или z также равна нулю. Но в этом случае исходное уравнение превращается в
тождество 0  0 . Таким образом, окончательно получаем y 2  xz  0 .►
Пример 2.18. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
z
z
x
 y  2 xy и проходящую через линию y  x , z  x 2 4.
x
y
26
◄Характеристическая система уравнения имеет вид:
ставляем интегрируемую комбинацию
dx dy dz
. Со

x
y 2 xy
dx dy
, из которой получаем первый

x
y
x
 x  C1y . Подставим найденное выражение для x в третью
y
характеристической
системы
и
рассмотрим
уравнение
интеграл: C1 
дробь
dy
dz

 C 2  C1y 2  z  C 2  xy  z . Два независимых первых интеграла
y 2C1y 2
найдены. Следовательно, общее решение уравнения может представлено в
форме:
x

 , xy  z   0
(2.40)
y

Переменная z входит только во второй интеграл, поэтому соотношение
(2.40) можно переписать в виде
x
x
xy  z     z  xy    ,
(2.41)
y
y
 
 
где  — произвольная функция.
В качестве параметра t возьмём x . Тогда система параметрических уравнений, определяющих заданную линию примет вид: x  y  t , z  t 2 . Подставив
в первые интегралы эти выражения вместо x , y, и z , получим: C1  1, C 2  0 .
Оба полученных соотношения не содержат параметр t . Следовательно, данная
задача Коши имеет бесконечно много решений. Подставим в (2.41) начальные
условия: y  x, z  x 2 . Тогда получим: x 2  x 2  1  1  0 . Этому требоваx x
x
x
 1.
нию удовлетворяют, например, функции     1 или    cos
y
 y y
y
Таким образом, окончательно получаем: все решения данной задачи Коши
x
можно записать в виде: z  xy    , где  — произвольная функция, но та y
кая, что 1  0 .
3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3.1. Классификация уравнений второго порядка
Пусть u x , y  — неизвестная функция и пусть a11, a12 , a 22 , a , b, c, f — заданные функции двух независимых переменных x и y .
27
Дифференциальное уравнение:
a11 u xx  2a12 u xy  a 22 u yy  a u x  b u y  c u  f x , y  .
(3.1)
называется линейным уравнением в частных производных второго порядка.
Если функции a11, a12 , a 22 , a , b, c, f зависят не только от переменных x и y ,
но и от неизвестной функции u x , y  , то уравнение (3.1) называется квазилинейным.
Введём новые переменные  и  с помощью соотношений:
  x , y 
(3.2)






x
,
y

и будем предполагать, что функциональный определитель (определитель Якоби):
x  x  x x
J

(3.3)
 y  y  y y
отличен от нуля.
В этом случае у преобразования (3.2) существует обратное преобразование,
т. е. из системы (3.2) можно получить:
x  , 
(3.4)

 y  , 
В соответствии с правилом дифференцирования сложных функций нескольких переменных 3 имеем:
u x  u   x  u  x , u y  u   y  u  y




u xx  u   x  u  x  x  u   x  u  x  x  u   2x  u   x   x 


 u  x  x  u  x   x  u  x x  u   x  x  u 2x  u  x  x 


 u  2x  2u  x  x  u 2x  u   x   x   x  x 


 u  x   x  x  x  u  2x  2u  x  x  u 2x  u   xx  u xx
Аналогично,


u xy  u   x  y  u   x  y   y  x  u  x  y  u   xy  u  xy
u yy  u   2y  2u   y  y  u 2y  u   yy  u  yy .
Подставим в уравнение (3.1) полученные выражения для производных. В
результате это уравнение примет вид:


a11 u   2a12 u   a 22 u   F , , u , u  , u   0 ,
где,
28
(3.5)
a11  a11 2x  2a12  x  y a 22  2y
a12  a11 x  x  a12  x  y   y  x  a 22  y  y


(3.6)
a 22  a11 2x  2a12  x  y a 22  2y
F , , u , u  , u   u  a11 xx  2a12  xy  a 22  yy  a x  b y 
.
 u  a11 xx  2a12  xy  a 22  yy  a x  b y  cu  f






Выберем одну из переменных  или  таким образом, чтобы один из коэффициентов a11 или a 22 в уравнении (3.5) обратился в нуль, т.е. чтобы уравнение (3.5) кроме смешанной производной u  содержало ещё только одну
частную производную второго порядка: или u  , или u  . Например, потребуем, чтобы a11  0 . Тогда переменная   x , y  должна быть решением уравнения:
a11 2x  2a12  x  y a 22  2y  0 .
(3.7)
Умножим уравнение (3.7) на a11 и после этого представим получившееся
выражение как разность квадратов. Тогда уравнение (3.7) можно переписать в
виде:
 a     a  a 2  a a   a     a  a 2  a a    0
 11 x  12
12
11 22  y  11 x 
12
12
11 22  y 

 

 

Как видим, решение уравнения (3.7) сводится к решению совокупности двух
линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка
a     a  a 2  a a   0
12
11 22  y
 11 x  12

.
(3.8)

a     a  a 2  a a   0
12
11 22 y
 11 x  12

Общий интеграл каждого из уравнений (3.8) находится интегрированием
соответствующих уравнений для характеристик (см. п. 2.1.1):
2

dy
 dx
dy a12  a12 a11a 22


a

2
a11
 dx
 11 a12  a12 a11a 22

(3.9)
 dx
dy
2
 dy a12  a12 a11a 22


 
 a11 a  a 2 a a
a11
12
12 11 22

 dx
Решение уравнений (3.9) существенно зависит от знака подкоренного вы2
 a11a 22 . Именно по знаку этого выражения определяется тип
ражения a12
уравнения (3.1).
Принята следующая классификация уравнений в частных производных второго порядка.
Уравнение (3.1) в точке M называется уравнением:
2
 a11a 22  0 ;
1) гиперболического типа, если a12
29
2
2) эллиптического типа, если a12
 a11a 22  0 ;
2
 a11a 22  0 .
3) параболического типа, если a12
Замечание.
1) Можно легко проверить, что справедливо равенство:


2
2
a12
 a11a 22  a12
 a11a 22 J 2 .
(3.10)
Соотношение (3.10) означает, что тип уравнения (3.1) не изменяется при
преобразовании переменных.
2) Тип уравнения (3.1) может зависеть от точки M , другими словами, в
разных точках одно и то же уравнение может быть разного типа.
Пример 3.1. Рассмотрим уравнение
(3.11)
xu xx  2u yy  0 .
2
 a11a 22  2 x . Следовательно, при
◄Здесь a11  x , a12  0, a 22  2 , a12
x  0 уравнение (3.11) является уравнением гиперболического типа, при x  0
— параболического типа, а при x  0 — эллиптического типа. ►
3.2. Приведение линейных уравнений второго порядка
к канонической форме
Характеристическим уравнением уравнения (3.1) называют обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка
(3.12)
a11dy 2  2a12 dxdy  a 22 dx 2  0 .
Так как x и y являются независимыми переменными, то всегда можно
считать, что dx  0 . Поэтому, уравнение (3.12) можно рассматривать как квадdy
ратное уравнение относительно y 
. Разрешив это уравнение относительно
dx
y , получим пару уравнений (3.9). Пусть x , y   C1 и x , y   C 2 общие интегралы этой пары. Их принято называть характеристиками уравнения (3.1).
2
 a11a 22  0 и, следовательно,
1. Для уравнений гиперболического типа a12
правые части уравнений (3.9) действительные и различные. Семейства характеристик уравнения (3.1) определяются общими интегралами
  x , y 
x , y   C1 и x , y   C 2 уравнений (3.9). Положим 
, тогда коэф




x
,
y

фициенты a11 и a 22 обратятся в ноль и уравнение (3.5) приводится к виду
F
u   
  , , u, u  , u  .
(3.12)
2a12
Уравнение (3.12) называется канонической формой уравнений гиперболического типа.
Можно получить другую каноническую форму уравнения гиперболического типа, которая также достаточно часто используется на практике.

30

Введём новые переменные  и  с помощью соотношений
1
1
1
1
    ,      . Тогда         , а    .
2
2
2
2
1
1
u   u     u   x  u   u  , u  u     u    u   u  .
2
2
1  1
1


1
 
u   u    u   u      u   u     u   u    
 2
  2   2
  2
 
1
u   u   u  .
4
После подстановки полученных соотношений уравнение (3.12) примет вид:
u   u   4  1 , , u, u  , u  .
(3.13)

 













2
 a11a 22  0 , и оба уравнения
2. Для уравнения параболического типа a12
dy a12
(3.9) принимают вид

. Пусть это уравнение имеет общий интеграл
dx a11
  x , y 
, где   x , y  — любая функция, но такая
x , y   C . Положим 
  x , y 
что, определитель Якоби J  0 . В этом случае, как отмечено выше, у преобразования (3.2) существует обратное преобразование (3.4). Если   x , y  является линейной функцией своих аргументов, то в качестве   x , y  также
удобно выбрать линейную функцию.
2
 a11a 22 , то соотношения (3.6) можно переписать в виде:
Так как a12
2


a
a11  a11  x  12  y   0
a11 




a
a
a12  a11   x  12  y   x  12  y   0
a11 
a11


Уравнение (3.5) приводится к виду:
F
u   
  , , u , u  , u  .
(3.14)
a 22
Уравнение (3.14) называется канонической формой уравнений параболического типа.


2
 a11a 22  0 и, следовательно,
3. Для уравнения эллиптического типа a12
правые части уравнений (3.9) комплексно сопряжённые. Если уравнение (3.1)
имеет действительные коэффициенты, то комплексно сопряжёнными будут и
общие интегралы x , y   C1 и x , y   C 2 уравнений (3.9), т. е.
x , y   x , y   i x , y , x , y   x , y   i x , y , i 2  1; ,   R .
31
Положим   x, y     i,   x , y     i . Как известно, если линейное дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами
имеет комплексное решение, то в отдельности его действительная и мнимая части также являются решениями этого уравнения 2. Поэтому в качестве новых
переменных выберем  и  . Кроме того, имеем:
a11  0  a11 2x  2a12  x  y a 22  2y 




 a11  x  i  x 2  2a12  x  i  x   y  i  y  a 22  y  i y 2 

 

 a11 2x  2a12  x  y a 22  2y  a11 2x  2a12 x  y a 22 2y 




 2i a11 x  x  a12  x  y   y x  a 22  y y  a11  a 22  2 i a12
Отсюда следует, что a11  a 22 , а a12  0 . Следовательно, уравнение (3.5)
приводится к виду:
u   u    2 , , u , u  , u  .
(3.15)
Уравнение (3.15) называется канонической формой уравнений эллиптического типа.


3.3. Канонические формы линейных уравнений
с постоянными коэффициентами
Линейным уравнением в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение
a11 u xx  2a12 u xy  a 22 u yy  a u x  b u y  c u  f x , y  ,
(3.16)
в котором u x , y  — неизвестная функция, f x , y  — заданная функция двух независимых переменных x и y , а a11, a12 , a 22 , a , b, c — заданные действительные числа.
Правые части уравнений (3.9) в этом случае будут некоторые числа, необязательно действительные. Следовательно, общими интегралами этих уравнений
являются: x , y   y  1x  C1 и x , y   y   2 x  C 2 . Значит, dy  1dx или
dy   2 dx . Подставив полученные выражения для дифференциала dy в характеристическое уравнение (3.12) , получаем после сокращения на dx 2 квадратное уравнение:
a112  2a12   a 22  0 .
(3.17)
Числа 1 и  2 являются корнями уравнения (3.17). Возможны следующие
ситуации.
2
1. Если a12
 a11a 22  0 , то корни уравнения (3.17) 1 и  2 — действительные и различные. Уравнение (3.16) гиперболического типа. С помощью новых переменных:
32
 
 
  y  1x ,   y   2 x или   y  1 2 x ,   2 1 x .
2
2
уравнение (3.16) приводится к виду u     0 или u   u     0 .
(3.18)
2
2. Если a12
 a11a 22  0 , то 1   2   . Уравнение (3.16) параболического
типа. С помощью новых переменных
  y  x ,   x .
(3.19)
уравнение (3.16) приводится к виду u     0 .
2
3. Если a12
 a11a 22  0 , то корни уравнения (3.17) 1 и  2 — комплексно
сопряжённые. 1, 2    i    0  .
Уравнение (3.16) эллиптического типа. С помощью новых переменных:
  y  x ,    x .
(3.20)
уравнение (3.16) приводится к виду u   u     0 .
Замечание. В канонических формах выражение  в самом общем случае
имеет вид:   d1u   d 2 u   cu  f .
Пример 3.2. Определить тип уравнения и привести его к каноническому
виду:
u xx  2u xy  3u yy  u x  u y  0 .
(3.21)
◄ Характеристическое уравнение для (3.21) имеет вид 2  2  3  0 .
Корни характеристического уравнения — вещественные и различные:
1  3,  2  1. Следовательно, уравнение (3.21) гиперболического типа.
1. Введём переменные   y  3x ,   y  x . Имеем:
 x  3,  y   x   y  1,
u x  u   x  u x  u   3u  , u y  u   y  u  y  u   u 
u xx  u   3u   x  u   3u   x  3 u   3u   u   3u  






 u xx  9u   6u   u 
Аналогично,
u xy  3u   2u   u  ,
u yy  u   u   u 
Напомним, что в соответствии с теоремой Шварца 3 смешанные производные u  и u  равны везде, где они непрерывны. Этот факт учтён при получении выражений для производных второго порядка.
После подстановки полученных соотношений уравнение (3.21) принимает
вид:
 16u   u   3u   u   u  

u  

1
u  u
8
 


33
2. Введём переменные   y  x ,   2x . Имеем:
 x  1,  y  1,  x  2,  y  0
u x   u   2u  , u y  u  ,
u xx  u   4u   4u  , u xy  u   2u  , u yy u 
Уравнение (3.21) приводится к виду:
1
u   u    u  ►
2
Пример 3.3. Определить тип уравнения и привести его к каноническому
виду:
u xx  4u xy  4u yy  u x  u y  0 .
(3.22)
◄ Характеристическое уравнение 2  4  4  0 имеет два одинаковых
корня 1   2  2 . Следовательно, уравнение (3.22) параболического типа.
1. Введём переменные   y  2 x ,   x . Имеем:
 x  2,  y  1,  x  1,  y  0
u x  2u   u  , u y  u  ,
u xx  4u   4u   u  , u xy  2u   u  , u yy u 
Уравнение (3.22) приводится к виду:
u   u   u  .
2. Так как уравнение параболического типа, то выражение для второй переменной   x , y  выбирается достаточно произвольно. Возьмём теперь
  y  2 x ,   y  2x . В этом случае будем иметь:
 x  2,  y  1,  x  2,  y  1
u x  2u   2u  , u y  u   u  ,
u xx  4u   8u   4u  , u xy  2u   2u  ,
u yy u  2u   u 
Подставим эти выражения для производных в исходное уравнение. Получим:
4u   8u   4u   4  2u   2u   4 u   2u   u  

 

 


  2u   2u   u   u   0
Отсюда получаем ещё одну каноническую форму равнение (3.22)
16u   3u  u   0 .►
Пример 3.4. Определить тип уравнения и привести его к каноническому
виду:
(3.23)
u xx  4u xy  5u yy  u x  u y  0 .
34
◄ Характеристическое уравнение имеет вид 2  4  5  0 . Вычислим
дискриминант: D  4 2  4  5  4 . Следовательно, характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряжённых корня 1,2  2  i .
Уравнение (3.23) эллиптического типа.
Характеристики y  x  C для исследуемого уравнения имеют вид
y  2  i x  C .
Введём
переменные
  Rey  2  i x   y  2 x , а
  Imy  2  i x   x . Как видим, новые переменные точно такие же, что и в
примере 3.3. Поэтому выражения для производных будут также такими же, что
и в предыдущем примере. Подставив их в уравнение (3.23), получим:
u   u   u   u  . ►
Пример 3.5. Определить тип уравнения и привести его к каноническому
виду:
(3.24)
u xx  2u xy  10u yy  u x  2u y  0 .
◄ Характеристическое уравнение имеет вид 2  2  10  0 . Вычислим
дискриминант: D  4  40  36 . Следовательно, характеристическое уравнение
имеет два комплексно сопряжённых корня 1,2  1  3i . Уравнение (3.24) эллиптического типа. Введём переменные
  Imy  1  3i x   3x . Тогда,
u x  u   3u  , u y  u , u yy  u  ,
  Rey  1  3i x   y  x, а
u xx  u   6u   9u  , u xy   u   3u 
Уравнение (3.24) принимает вид:
9u   9u   u   3u   0 .
Если в качестве новых переменных взять   y  x ,   3x , то уравнение
(3.24) приняло бы вид:
9u   9u   u   3u   0 .
Замечание. В случае линейных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами канонические формы допускают дальнейшее упрощение. Для
этого вместо неизвестной функции u вводят новую неизвестную функцию v с
помощью соотношения
u ,   v, e    ,
(3.24)
где  и  — некоторые постоянные числа.
Подстановка (3.24) надлежащим выбором чисел  и  позволяет в канонических формах уравнений гиперболического и эллиптического типов избавиться от производных первого порядка. В канонической форме уравнения параболического типа таким же образом удаётся обратить в нуль коэффициенты при
одной из производных первого порядка и при самой неизвестной функции.
35
Из соотношения (3.24) находим:

u   v  e     ve      e    v   v





u   e    v   v , u   e    v   2v    2 v ,

u   e    v   2 v    2 v


u   e    v   v   v    v

Подставим теперь эти соотношения, например, в каноническую форму для
эллиптического уравнения u   u   d1u   d 2 u   cu  f  0 . После сокращения на e    получим:


v   v   v  2  d1   v  2  d 2   v  2   2  d1  d 2  c  f1  0
Возьмём   0,5d1 ,   0,5d 2 . Тогда,


v   v   v  2   2  d1  d 2  c  f1  0
Совершенно аналогично производится упрощение остальных канонических форм.
Пример 3.6. Выполнить упрощение канонической формы, полученной при
решении примера 3.2.:
1
u   u   u 
8


◄ Произведём замену (3.24). Тогда получим:
1
1
1




v   v       v       v       0 .
8
8
8




1
1
Возьмём   , а    и окончательно получим:
8
8
1
v   v  0 ►
64
Пример 3.7. Выполнить упрощение канонической формы, полученной при
решении примера 3.3.
u   u   u 
◄ Сделаем замену (3.24). После сокращения на e    получим:
v   2 v    2 v  v   v  v    v


v   v  2  1  v  2      v   0
Возьмём   0,5 , а   0,25 , тогда коэффициенты при v  и v обратятся
в нуль, и последнее уравнение примет вид:
v   v   0 ►
36
3.4. Решение уравнений второго порядка с помощью приведения
к канонической форме
Интегрирование уравнений второго порядка является, вообще говоря,
весьма не простой задачей. Однако в некоторых случаях приведение уравнения
второго порядка к каноническому виду позволяет добиться этого достаточно
простыми методами. Проиллюстрируем это утверждение примерами.
Пример 3.8. Определить тип уравнения, привести его к каноническому виду и найти общее решение этого уравнения:
a 2 u xx  u yy  x , a  0 .
◄Здесь характеристическое уравнение приводится к виду a 2 2  1  0 и
имеет два различных действительных корня 1,2   a 1   b . Следовательно,
исследуемое уравнение гиперболического типа. Введём переменные
  y  bx ,   y  bx . Тогда  x  b,  x  b,  y   y  1 . u x  b u   u  ,

u y  u  u,



u xx  b 2 u   2u   u  , u yy  u   2u   u  .
Подставим полученные соотношения в исходное уравнение:


a 2 b 2 u   2u   u   u   2u   u  
2b

.
(3.25)
u  
8b
Проинтегрируем уравнение (3.25) сначала по , а затем по  (или наоборот, см. пример 1.2). В результате получим:
   
u      
, где  ,  — произвольные функции.
16b
Возвращаясь к переменным x и y , окончательно получаем:

 



x
x  x x 2  a 2 y2


u x , y    y     y   
►
2
a
a


8a
Пример 3.9. Определить тип уравнения, привести его к каноническому виду и найти общее решение этого уравнения:
u xx  2u xy  u yy  u x u y  0 .
2
 a11a 22  1  1  0 . Уравнение параболического типа. Соста◄ Здесь a12
вим характеристическое уравнение 2  2  1  0 , которое имеет два одинаковых корня 1   2  1. Следовательно, y  x  C является общим интегралом
уравнения характеристик. Возьмём   x  y,   y .
Тогда,
 x   y   y  1,  x  0 .
37
Далее,
u x  u  , u y  u   u  , u xx  u  , u xy  u   u 
u yy  u   2u   u 
Подставим выражения для производных в решаемое уравнение:
u   2 u   u   u   2u   u   u   u   u   0 


(3.26)
u   u   0 .
Порядок уравнения (3.26) можно понизить на единицу заменой
v  v,   u  . Тогда u   v  , а (3.26) принимает вид:
v
v  v 
   ln v    ln C1    v  C1  e   u   C1  e  
v
u ,   C1  e   C 2  
C1  , C 2   — произвольные функции.
Вернёмся к старым переменным и получим:
u x , y   C1 x  y e y  C 2 x  y  ►
Пример 3.10. Решить в полуплоскости y  0 задачу Коши для уравнения
2
y 2 u xy  u yy  u y  0 при условии, что u y 1  1  x , u y y 1  6 .
y
◄ Здесь характеристическое уравнение имеет вид  y 2 dxdy  dx 2  0 , ко-
 y 2 dy  dx  0
торое распадается на совокупность 
. Интегрируя эту совокупdx  0
y3
 x  C2 . Для удобства втоность, находим два общих интеграла x  C1 и
3
рой интеграл перепишем в виде y 3  3x  C 2 . Новые переменные вводим с помощью соотношений   x ,   y 3  3x . Тогда
 x  1,  y  0,  x  3,  y  3y 2 , u x  u   3u  , u y  3y 2 u 


u xy  u   3u  3y 2 ,




u yy  3y 2 u   y  3y 2 u   y  6 yy y u   3y 2 u  3y 2


В соответствии с правилом дифференцирования обратной функции y  y  1 .
Следовательно,
u yy  6 yu   9 y 4 u  .
После подстановки выражений для производных решаемое уравнение приводится к виду 3y 4 u   0 . Так как по условию y  0 , то, следовательно,
u   0 .
38
(3.27)
Воспользуемся решением примера 3.8 и определим общее решение уравнения (3.27)


u       u x , y   x    y 3  3x .
Вид функций  и  определим с помощью начальных условий:
x   1  3x   1  x x   1  3x   1  x

.
(3.28)

2




1
3
x
2





1
3
x
3
y
6





y 1
Интегрируя последнее уравнение из (3.28), находим t   2 t  C . Следова-


тельно,  y 3  3x  2 y 3  6 x  C, 1  3x   6 x  2  C . Теперь из первого
уравнения системы (3.28) определяем, что x   5x  1  C . Наконец,
u x , y   2 y 3  x  1 ►
Пример 3.11. Найти решение задачи Коши:


4 y 2 u xx  2 1  y 2 u xy  u yy 
1  y 2 2u x  u y   0 ,
2y
u y  0  x, u y y  0  1

(3.29)

◄ Характеристическое уравнение 4 y 2 dy 2  2 1  y 2 dxdy  dx 2  0 можно
рассматривать как квадратное уравнение относительно производной y .

2

2
Дискриминант этого уравнения равен D  4 1  y 2  16 y 2  4 1  y 2  4 .
Следовательно, уравнение (3.29) гиперболического типа. Квадратное
1
1
.
уравнение имеет два действительных решения: y   , y 
2
2y2
1
2
Найдём их общие интегралы: y   x  C1 , y 3  x  C 2 . Для удобства
2
3
2
перепишем эти интегралы в виде: C1  x  2 y, C2  x  y3 .
3
Новые переменные введём с помощью соотношений:
2
  x  y 3 ,   x  2 y . Тогда,
3
 x   x  1,  y  2 y 2 ,  y  2, u x  u   u  , u y  2 y 2 u   2u  ,






u xy  u   u   y  u   u   y  2 y 2 u   2u   2 1  y 2 u 






u yy   2 y 2 u   2u   y   2 y 2 u   2u   y 





 
 u   2 y 2   y   2 y 2   y  4 y 4 u  8 y 2 u   4u  
 4 yu   4 y 4 u  8y 2 u   4u 
u xx  u   2u   u 
39
После подстановки выражений для производных неизвестной функции через новые переменные решаемое уравнение (3.29) принимает вид:


4 1  y 2 u   0  u   0 .
Следовательно, общее решение уравнения (3.29) равно:
2 

u       u x, y    x  y 3   x  2 y  .
3 

Вид функций  и  определим с помощью начальных условий:
u y  0  x   x   x
x    x   x
t

  t    C


2
2
u y y  0    2 y  2 y  0  1 2  1
Следовательно,
x
x
x    C  x  x    C
2
2
2 
x 1
x

u x , y    x  y 3   x  2 y    y 3  C   y  C 
3 
2 3
2

1
u x , y   x  y 3  y ►
3
Пример 3.12. Найти решение задачи Коши:

(3.30)

xu xx  2 x 2 u xy  x 3u yy  u x  0 ,
u
y
x2
2
 0, u y
y
x2
2
(3.31)
 x2
◄ Характеристическое уравнение имеет вид:
xdy 2  2 x 2 dxdy  x 3dx 2  0
dy
с дискриминантом, рави является квадратным уравнением относительно
dx
ным нулю. Следовательно, уравнение (3.31) относится к уравнениям параболиx2
ческого типа. Выражение C  y 
— общий интеграл характеристического
2
x2
уравнения. Возьмём   y 
,   y . Тогда,
2
 x  x ,  x  0,  y   y  1, u x  u  x , u y  u   u  , u xx  u  x 2  u  ,


u xy  u   u  x , u yy  u   2u   u 
Уравнение (3.31) приводится к виду:
x 3u   0  u   0 .
40
Дважды интегрируя по  последнее уравнение, получаем:


x 2 
x 2 


u         u x , y   y y 
 y
.




2
2




Произвольные функции  ,    определяются из системы:
(3.32)
   
   
 
x2
2
2
 x  x 0
 2
(3.33)

2
 2 x
2
2
2
 x  2  x   x  x
Система (3.33) получается после подстановки выражения (3.32) в начальные условия.
Введём обозначение t  x 2 , после чего продифференцируем первое уравнение системы (3.33). В результате получим:
t
1


t


t   t   0 t   2 t
 2

2


t
2
t   t t   t   t
 t    2 t    t

2
Подставим найденные выражения для функций   и    в (3.32) и получим:
x2
u x , y   y 
►
4
Пример 3.13. Найти в области x , y  0 решение задачи Коши:
2
x 2 u xx  2 xyu xy  3y 2 u yy  0 .
(3.34)
u x 1  0, u x x 1  y
◄ Составим уравнение характеристик x 2 dy 2  2 xydxdy  3y 2 dx 2  0 . Дискриминант этого уравнения равен D  2 xy 2  4 x 2 3y 2  16 x 2 y 2 в области x , y  0
принимает только положительные значения. Уравнение относится к уравнениям гиперболического типа. Два общих интеграла характеристического уравнеy
ния можно представить в виде C1  yx 3 , C 2  .
x
y
Введём новые переменные   yx 3 ,   . Тогда,
x
1
y
, y 
 x  3yx 2 ,  y  x 3 ,  x 
x
x2
y
1
u x  3x 2 yu  
u  , u y  x 3u   u  ,
x
x2
41




y
y
u xx   3x 2 yu  
u    x   3x 2 yu  
u    x 




x2
x2
 6 xyu  
2y
x
3
u   9 x 4 y 2 u   6 y 2 u  
u xy  3x 2 u  
1
x2
y2
x
4
u   3x 5 yu   2 xyu  
u yy  x 6 u   2x 2 u  
1
x
2
u 
y
x3
u 
u 
Уравнение (3.34) преобразуется к виду:
 16x 2 y 2 u   4xy u   0  4u   u   0 .
(3.35)
Проинтегрируем (3.35) по переменной  . Получим:
4u   u    .
(3.36)
4h   h  0
u   hg   gh  , 4 hg   gh   gh     
.
4hg    
(3.37)
где   — произвольная функция.
Уравнение (3.36) является линейным относительно u ,  . Будем решать
его методом Бернулли. Положим u ,   g, h ,  . Тогда,


1
Интегрируя первое уравнение системы (3.37), находим h   4 . Второе
уравнение системы(3.37) после этого принимает вид:
5
5
1
4 4 g      g,      4 d         .
4
(3.38)
Таким образом,
1
1

 y 
3
u  gh   4      u x , y   x y 4   x 3 y     .
  
(3.39)
 x 
Произвольные функции  ,  определяются из системы (3.40), которая получается после подстановки (3.39) в начальные условия:
1

u
4
 x 1  y y    y   0

3
1

3 4
u x x 1  y y   y   y 4 y 3y  yy   y

4
42
(3.40)
Из первого уравнения системы (3.40) следует, что y   y  . Тогда из
второго уравнения системы (3.40) находим, что:
3
1
1
4y   y 4  y   y 4  C
3
Следовательно,
3


1 3 3
 3 1
1 y 4
u x , y    x y 4  C     C  x y 4
3 x 
3



1
u x , y   x 3 y  y . ►
3
 

 

4. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
4.1. Уравнения колебаний
Под струной принято понимать тонкую натянутую нить, закреплённую на
концах. Если вывести её из состояния равновесия, она может свободно колебаться, то есть изменять свою форму. Пусть T0 величина силы натяжения
струны. Предположим, что эта величина столь велика, что действием сил тяжести можно пренебречь.
Пусть длина струны равна  и в
T x 2 
2
положении равновесия струна прямоy
 x 2 
линейна и располагается вдоль оси
OX между точками x  0 и x   .
Будем рассматривать малые по

x

1
перечные упругие колебания струны.
1
Это означает, что все точки струны
T x 1 
могут двигаться только в направлении
оси OY (рис. 1).
x1
x2 x
0
Рис. 1
Если обозначить через u x , t  отклонение от положения равновесия точки
струны с абсциссой x в момент времени t , то предполагается, что смещения
u
ux, t  и производная u x 
являются малыми величинами, то есть будем
x
пренебрегать их квадратами и произведениями.
Для получения уравнения движения струны рассмотрим произвольный
элемент струны, концы которого в положении равновесия имеют координаты
x1 и x 2 , так что длина этого элемента равна x 2  x1 . В момент времени t этот
участок занимает положение 1 2 (рис. 1).
43
Длина элемента 1 2 в силу наших предположений равна:
dl 
x2

1  u x 2 dx  x 2  x1 ,
(4.1)
x1
т. е. в процессе малых колебаний удлинение участка струны не происходит. Это
означает, что величина натяжения струны, возникающая при её движении, пренебрежимо мала по сравнению с тем натяжением, которому струна была подвергнута в положении равновесия.
В соответствии с законом упругости Гука величина растяжения участка
струны пропорциональна величине его натяжения Tx  и направлена по касательной к струне, поэтому Tx1 cos x1   Tx 2 cos x 2  , где x  угол между
касательной к кривой ux, t  в точке x и осью OX . Для малых отклонений
u x , t  :
1
1
cos x  

 1.
(4.2)
2
2
1  tg x 
1  u x 
Следовательно,
Tx1   Tx 2   T0 .
(4.3)
Согласно принципу Даламбера все силы, действующие на элемент 1 2 ,
уравновешены. Проекция сил натяжения на ось OY на участке 1 2 равна:
T0 sin x 2   T0 sin x1  ,
(4.4)
где,
ux
tgx 
u
sin x  


.
2
2

x
1  tg x 
1  u  
x
Следовательно,
T0 u x x 2 , t  u x x1, t   T0
x2 2

 u
x1 x
2
dx .
(4.5)
Пусть px, t  — внешняя сила, действующая на единичном отрезке струны в направлении оси OY , тогда величина проекции на ось OY этой силы на
элементе 1 2 равна:
F
x2
 px, t dx .
(4.6)
x1
Пусть x  — плотность участка единичной длины в точке x , тогда
инерционная сила на элементе 1 2 струны будет равна:
x2
  x 
x1
44
 2u
t 2
dx .
(4.7)
По принципу Даламбера:
x2 

 2u
 2u







T
x
p
x
,
t

dx  0 .
 0 2
2


x
t

x1 
(4.8)
В силу произвольности точек x1 , x2 из (4.8) следует, что подынтегральное
выражение равно нулю:
x 
 2u
2
 T0
 2u
2
 p x , t  .
(4.9)
t
x
Таким образом, (4.9) является уравнением колебания струны. Считая
струну однородной, т. е. x     const , запишем:
 2u
t
2
2 u
 f x , t  ,
a
2
2
x
где,
(4.10)
T0
px , t 
.
, f x , t  


Для решения конкретной задачи колебания струны необходимо задать
форму струны и распределение скоростей точек струны в начальный момент
времени t  0 :
u
u t  0 0 x ,
 1 x  .
(4.11)
t t  0
Кроме того, необходимо задать граничные условия на концах струны.
Например, если струна закреплена на концах, то:
u x  0  0, u x    0 .
(4.12)
Условия (4.11) называют начальными, (4.12) — граничными (краевыми)
условиями.
Таким образом, задача о колебании струны сводится к решению следующей математической задачи: найти то решение уравнения (4.10), которое удовлетворяет начальным условиям (4.11) и в случае струны с закреплёнными
концами, граничным условиям (4.12).
В общем случае вместо краевых условий (4.12) могут быть заданы условия движения струны на концах в виде:
(4.13)
u 0, t   1 t , u , t    2 t  .
Иногда рассматривают колебания бесконечной струны x   ,   или
полубесконечной струны x  0,   .
Если f x , t   0 , то говорят о свободных колебаниях струны.
Когда рассматриваются малые колебания тонкой упругой плёнки (мембраны), занимающей область D плоскости XOY , то уравнение поперечных колебаний мембраны имеет вид:
a2 
45
  2u  2u 
  p  x , y, t  .

 T
x, y 
(4.14)
2
2
2



t
x
y


В случае однородной мембраны   const и уравнение (4.14) приводится
к виду:
  2u  2u 
 2u
  f  x , y, t  ,

 a2
2
2
2

y 
t
 x
T
p  x , y, t 
a
, f x , y, t  
.
(4.15)


Если внешняя сила, действующая на мембрану, отсутствует, получаем
уравнение свободных колебаний мембраны:
2
2
 2u
2   u  u 
a

.
(4.16)
 x 2 y 2 
t 2


Как и в задаче колебания струны, в случае колебания мембраны задаётся
начальная форма мембраны и начальное распределение скоростей точек мембраны.
u t  0   0 x , y  ;
 2u
u
(4.17)
 1  x, y  .
t t 0
Если на границе L (контур) мембрана закреплена, то должно выполняться граничное условие:
(4.18)
u L  0.
Помимо поперечных колебаний рассматривают и продольные колебания
стержней, струн, пружин.
При продольных колебаниях рассматривается смещение точек вдоль
стержня. Если обозначить через u x, t  величину смещения точки x в момент
времени t вдоль стержня x  0,  , то уравнение продольных колебаний стержня примет вид:
 2u
 
u 
(4.19)
 k x    x  2  Fx , t  ,
x 
x 
t
где k x , k x   0 — модуль Юнга в точке x , x  — плотность материала
стержня.
Если стержень однороден k x   const, x   const  , то уравнение продольных колебаний имеет вид:
 2u
t
2
2 u
a
 f x , t  ; a 2 
2
2
x
46
k
Fx , t 
.
, f x , t  


(4.20)
Кроме того задаются: начальное смещение точек стержня:
u t  0   0 x  .
и условия на его концах, например,
u0, t   0 — конец стержня  x  0 закреплён и
u, t   t  — задан закон смещения второго конца в каждый момент
времени.
4.2. Уравнения электрических колебаний в проводах
Если протяжённость электрической цепи велика (например, линия передачи электроэнергии, телеграфная линия), то такую цепь нельзя характеризовать сосредоточенными параметрами (сопротивлением, ёмкостью, самоиндукцией), а следует говорить о линии с распределёнными параметрами. Принято
считать, что такие линии обладают активным сопротивлением R , самоиндукцией L , ёмкостью C и утечкой изоляции G , рассчитанными на единицу длины.
Для определённости будем рассматривать двухпроводную линию 5 . Пусть
напряжение между проводами и электрический ток на расстоянии x от начала
x  0 линии в момент времени t равны u x, t  и ix, t  соответственно.
Для составления уравнений, которым должны удовлетворять функции u x , t  и ix , t  ,
i
i  dx
выделим участок линии от точки с абсцисi
x
сой x до точки с абсциссой x  dx . С точностью до бесконечно малых более высокого
u
u  dx порядка, чем dx напряжение и ток в точке
u
x
x  dx в момент времени t будут равны
u  u x dx
x
x  dx
и i  i x dx соответственно (рис. 2).
Рис. 2
В соответствии с законом Ома
u  u  u x dx   iRdx  i t Ldx .
(4.21)
i  i  i x dx   uGdx  u t Cdx .
(4.22)
После раскрытия скобок и сокращения на dx получаем систему
i
u
 C  Gu  0 ;
(4.23)
x
t
u
i
 L  Ri  0 .
(4.24)
x
t
так называемых телеграфных уравнений.
Продифференцируем уравнение (4.23) по x , а уравнение (4.24) по t и исключим из этих уравнений напряжение u . В результате получим уравнение:
 2i
x
2
 CL
 2i
t
2
 CR  GL 
47
i
 GRi .
t
(4.25)
Аналогично, исключив из уравнений (4.23) и (4.24) ток i , получим:
 2u
 2u
u
 GRu .
(4.26)
2
2

t
x
t
Уравнения (4.25) и (4.26) называют телеграфными уравнениями.
В случае, когда G  0 (потерями через изоляцию можно пренебречь) и сопротивление R очень мало ( R  0 ), получаем уравнения колебаний:
 CL
 CR  GL 
 2i
2
2
 2u
1
2  i
2 u
a
 0;
a
 0 ; a2 
.
LC
t 2
x 2
t 2
x 2
(4.27)
При расчёте конкретной линии передачи электроэнергии или телеграфной
линии полученные уравнения должны быть дополнены начальными и граничными условиями.
Начальные условия обычно задаются в виде:
u t  0  x , i t  0  x  .
(4.28)
С помощью уравнений (4.23) и (4.24) и соотношений (4.28) легко можно
найти производные u t и i t при t  0 .
Если в начале линии x  0 включён источник питания Et  , а на конце
линии x   имеется нагрузка с сопротивлением R l , то граничные условия принимают вид:
u x  0  Et , u x    R li x   .
(4.29)
В частности если конец x  0 находится под напряжением Et  , а конец
x   замкнут накоротко, то условия (4.29) трансформируются в
u x  0  Et , u x    0 .
(4.30)
Ясно, что возможны и другие комбинации условий на концах линии.
4.3. Уравнение теплопроводности
Пусть температура некоторой среды (тела) в точке Mx , y, z  в момент
времени t равна u M, t  . Будем считать эту среду изотропной и обозначим через M , cM  , и k M  , соответственно, плотность, удельную теплоёмкость
и коэффициент теплопроводности. Обозначим через FM, t  интенсивность источников тепла в точке M среды в момент времени t . Если температура среды
в разных точках различная, то в этой среде будет происходить процесс передачи тепла от более нагретых участков среды к менее нагретым. Процесс переда
чи тепла характеризуется вектором плотности потока тепла q . Направление
этого вектора совпадает с направлением потока тепла в данный момент време
ни, а величина (модуль) вектора q равна количеству тепла, протекающего в
единицу времени через площадку, единичной площади, перпендикулярную

направлению потока тепла. Вектор q удовлетворяет закону Фурье:

q  k M u  k M gradu  ,
(4.31)
48
     
i
j  k — оператор Гамильтона.
x
y
z
Для составления дифференциального уравнения, которому должна удовлетворять функция u M, t  , выделим в среде бесконечно малый объём
dv  dxdydz с центром в точке Mx, y, z  . Составим баланс тепла для этого
объёма.
Количество тепла, выделяемого в этом объёме за время t , равно
dQ1  FM, t dvt . Количество тепла, затраченного на нагрев этого объёма за
время t , равно
u
dQ 2  cM M dvu M, t  t   u M, t   cM M dv t .
t
Количество тепла, вытекающего из объёма dv за время t , равно

dQ 3    q dvt . В соответствии с законом сохранения энергии
dQ1  dQ 2  dQ3 . Следовательно,
  q   c u  FM, t  .
(4.32)
t

Исключив из уравнений (4.31) и (4.32) q , получим:
u
c    ku   FM, t  .
(4.33)
t
Если среда однородна, т. е. , c, k  const , то уравнение (4.33) приводится
к виду:
k
u
FM, t 
,
(4.34)
 a 2 u  f M, t , a 2  , f M, t  
c
t
c
где  
где  
2
2

2
2

2
2
— оператор Лапласа.
z
y
x
Уравнение (4.34) называется уравнением теплопроводности или уравнением Фурье.
Для полного описания процесса распространения тепла в среде необходимо задать начальное распределение температуры и условия на границе среды.
Начальное распределение температуры обычно задаётся в форме:
u t  0  M  .
(4.35)
Граничные условия характеризуют контакт исследуемой среды (тела) с
окружающей средой или взаимный контакт двух нагретых тел. Наиболее употребительными являются следующие граничные условия.
1). Граничные условия первого рода. Это условие используется, если на
границе S среды поддерживается заданное распределение температуры:
u S  u0 .
49
(4.36)
2). Граничные условия второго рода. В этом случае на границе S среды
задан поток q тепла:
u
k
(4.37)
S q,
n
u
— производная функции u по
где k — коэффициент теплопроводности, а
n
нормали к поверхности S. Задание теплового потока на границе равносильно
заданию на этой границе нормальной производной:
u
S   M, t  .
n
(4.38)
3). Граничные условия третьего рода. Эти условия задаются в том случае, если на границе S тела происходит теплообмен с окружающей средой по
закону Ньютона:
u
k
 h u  u 0  S  0 ,
(4.39)
n
где h — коэффициент теплообмена, u 0 — температура окружающей среды.
4). Граничные условия четвёртого рода. В этом случае на границе соприкосновения двух тел или тела и окружающей среды задаётся равенство температур и равенство тепловых потоков.
При любых заданных начальных и граничных условиях требуется найти
функцию u M, t  , удовлетворяющую уравнению (4.33) или (4.34) в любой точке
M в любой момент времени t .
Замечание.
Если речь идёт о распространении тепла в очень тонкой однородной пластине, т.е. изменение температуры происходит только в направлении осей OX
u
и OY , а
 0 , то u (M, t )  u ( x , y, t ) , и уравнение (4.34) в случае отсутствия в
z
пластине источников тепла принимает вид:
2 
 2
u
2  u  u 

.
a
 x 2 y 2 
t


(4.40)
Если изучается распространение тепла в длинном стержне (в этом случае
поперечными размерами сечения тела по сравнению с его длиной можно пренебречь), то уравнение (4.40) преобразуется к виду:
2
u
2 u
.
a
2
t
x
50
(4.41)
4.4. Уравнения движения жидкости
Движение жидкости в каждой точке Mx , y, z  в произвольный момент
времени t определяется заданием её вектора скорости:

v v x M, t , v y M, t , v z M, t  .


Величинами, характеризующими распределение скорости, являются:

плотность x , y, z, t  , давление px , y, z, t  и наличие внешних сил f x , y, z, t  .
Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим некоторый объём V идеальной жидкости, ограниченный замкнутой поверхностью S.
Полная сила, действующая на этот объём при отсутствии внешних сил

f x , y, z, t  , равна 6:

  pd s ,
S

где вектор d s по абсолютной величине равен площади ds элемента поверхно
сти S и направлен по нормали к ней. Принято направлять d s по внешней нор
мали. Если n  cosn, x , cosn, y , cosn, z  — единичный вектор внешней нор 
мали к поверхности S в данной
точке
M
,
то
s
d
 nds . 



Так как pn  p cosn , x i  p cosn , y  j  p cosn , z k , то по формуле Остроградского:

  pnds    gradpdv .
(4.39)
S
V
Для получения уравнения движения жидкости
применим к выделенному
 
объёму жидкости второй закон Ньютона ( ma  F ):


dv

dV


gradp
dV


f
(4.40)
 dt

 dV .
V
V
V

dv
При вычислении ускорения
какой либо точки Mx , y, z  при её движеdt

нии вдоль линии тока (т. е. по траектории её движения r M, t   x t , yt , zt  ),
воспользуемся формулой дифференцирования сложных функций нескольких
переменных:






dv v v dx v dy v dz v  
(4.41)





 v v .
dt t x dt y dt z dt t
Подставим соотношение (4.41) в уравнение (4.40) и учтём произвольность объёма V . В итоге получим уравнение движения идеальной жидкости в
векторной форме:


v  
1
(4.42)
 v v   grad p  f ,
t

Уравнение движения идеальной жидкости (4.42) принято называть уравнением Эйлера.
51
Уравнение (4.42) (три уравнения для проекций на оси x, y, z ) связывают

четыре искомые величины: проекции вектора скорости v v x , v y , v z и давление


px, y, z, t  . Еще одним уравнением, связывающим эти неизвестные, является
уравнение неразрывности.
Уравнение неразрывности получается аналогично уравнению (4.42). Если
отсутствуют источники или стоки жидкости внутри выделенного объёма V , то
изменение количества жидкости внутри V в единицу времени равно потоку
этой жидкости через поверхность S жидкой частицы. Следовательно,



(4.43)
  dV     vn ds .
t  V

S
Преобразуя поверхностный интеграл в соотношении (4.43) по формуле
Остроградского, получим:
 
 
(4.44)
  t  divv dV  0 .
V
Из (4.44) в силу произвольности V следует уравнение неразрывности


 divv   0 .
(4.45)
t
Кроме того необходимо записать термодинамическое уравнение состояния, связывающее в общем случае давление, плотность, температуру, энтропию.
В случае изотермического течения (течения при постоянной температуре)
уравнение состояния можно записать в виде:
  p  .
(4.46)
Таким образом, уравнения течения идеальной жидкости представляют
систему трёх векторных уравнений:


v  
1
 v v   grad p  f
t



 divv   0
t
p  
При решении конкретной задачи (например, задачи обтекания тела, имеющего поверхность S , потоком идеальной жидкости) необходимо ещё задать
начальные и граничные условия.
В качестве начальных условий обычно понимают распределение скорости
в момент времени t  0 :
 
v  U  x , y, z , t  t  0 .
(4.47)
Что касается граничных условий, то для идеальной жидкости необходимо задать нормальную составляющую скорости на обтекаемой поверхности:
v  n  MS  q n M, t .
(4.48)
52
В случае, когда исследуется движение жидкости, которая имеет малую
плотность, но большую скорость, уравнения движения идеальной жидкости
принято называть уравнениями газовой динамики. Такие условия возникают,
например, при изучении аномальных явлений (вихри, смерчи); при решении задач авиации; при исследовании движения судна на воздушной подушке, на
подводных крыльях и т. д.
Если в условиях рассматриваемой задачи можно считать (в некотором
приближении), что   const , то получаем уравнения гидродинамики несжимаемой жидкости. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости принимает вид:

(4.49)
divv  0 .
Если условия задачи таковы, что допустимо введение функции тока



x , y, z  ; v  rot  , то уравнение (4.49) будет выполняться автоматически. Этот
факт зачастую существенно упрощает задачу.
4.5. Наиболее часто используемые уравнения
математической физики
В разделах 4.1–4.4 достаточно подробно представлены выводы уравнений в частных производных, к которым приводят некоторые задачи физики и
механики. Понятно, что этот ряд примеров можно было бы ещё долго продолжать. Однако, анализ этих примеров показывает, что наиболее часто применяются следующие уравнения математической физики.
1. Уравнение Лапласа
u  0 .
(4.50)
Уравнение Лапласа встречается в гидро- и аэродинамике, теории упругости, теории теплопроводности, электростатике, магнитостатике и в других
науках.
2. Уравнение Пуассона
u  f x, y, z  .
(4.51)
Область применимости уравнения Пуассона — та же, что и для уравнения Лапласа. Различие заключается только в том, что уравнение Лапласа описывает поля, не имеющие внутренних источников, а уравнение Пуассона используется для характеристики полей с распределёнными внутренними источниками.
3. Волновое уравнение
2
a u 
 2u
2
  f  x , y, z , t  .
(4.52)
t
Это уравнение применяется для описания волновых процессов, которые
могут иметь разную природу.
4. Уравнение теплопроводности
u
  f  x , y, z , t  .
(4.53)
a 2 u 
t
53
5. Уравнение Гельмгольца
u  k 2 u  f x , y, z , k  const .
(4.54)
Уравнение Гельмгольца описывает изменение амплитуд установившихся
периодических колебаний заданной частоты.
6. Уравнение Шредингера
2m
E  V   0 .
(4.55)
 
2

Уравнение Шредингера является одним из основных уравнений квантовой механики. Здесь x  — волновая функция; m и E — масса и энергия частицы, соответственно; Vx  — потенциал внешнего силового поля;  — постоянная Планка.
Все перечисленные выше уравнения являются уравнениями второго порядка. Но в математической физике используются уравнения и более высокого
порядка. Например, в теории упругости для описания процесса изгиба тонких
пластин применяется уравнение четвёртого порядка:
D u  qx , y ,  u 
4
4
 4u
4
2
 4u
2
x y
x
где D — цилиндрическая жёсткость пластины.
2

 4u
y
4
.
(4.56)
5. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
5.1. Колебания бесконечной струны. Метод Даламбера
Рассмотрим задачу колебания бесконечной струны, если в начальный момент времени известна форма струны и распределение скоростей точек струны.
В соответствии с п. 4.1 речь идёт о нахождении решения задачи Коши:
 2u
2
 a2
 2u
2
0
t
x
u x , o   x 

, x   ,   .
 u




x
,
o
x


 t
Характеристики уравнения (5.1) определяются из уравнения:
dx 2  a 2 dt 2  0 ,
(5.1)
(5.2)
(5.3)
и имеют вид:
x  at  c1 , x  at  c 2 .
С помощью новых переменных:
  x  at,   x  at ,
приводим уравнение колебания струны к канонической форме:
 2u
  u 
 0 или
   0.
   

54
(5.4)
(5.5)
(5.6)
Интегрируя (5.6) по переменной  , получим:
u
 1  ;

1  — произвольная (интегрируемая) функция.
Интегрируя (5. 7) по переменной , находим:
u ,    1 d   2  
(5.7)
(5.8)
 2   — произвольная функция.
Следовательно,
u ,       .
(5.9)
Замечание. В уравнении (5.9)  — произвольная функция, т. к.
   1 d — интеграл от произвольной функции.
Учитывая (5.5) и (5.9), получим общий интеграл уравнения (5.6), а, значит, и уравнения (5.1):
u x , t   f1 x  at   f 2 x  at  .
(5.10)
Для определения функций f1 и f 2 потребуем, чтобы соотношение (5.10)
удовлетворяло начальным условиям (5.2):
u x , t  t  0  f1 x   f 2 x   x  .
(5.11)
u
x, t  t  0  af1 x   af 2 x   x  .
(5.12)
t
Интегрируя (5.12), получим:
1 x
f1 x   f 2 x    q dq  C .
ax
(5.13)
0
Решив теперь систему уравнений (5.11) и (5.13), находим:

1
1 x
f1 x   x  
 q dq  C1;
2
2a x

0
(5.14)

x

1
1
f 2 x   2 x   2a   q dq  C1.

x0
Подставив (5.14) в (5.10), получим:

x  at
x  at   x  at  1  x  at

u x , t  
(5.15)
 q dq   q dq  .
2
2a  x
x0
 0

Учитывая свойства определённых интегралов, выражение (5.15) можно
переписать в виде:
x  at   x  at  1 x  at
u x , t  

 q dq .
2
2a x  at
55
(5.16)
Полученное решение представляет собой суперпозицию (наложение)
двух волн, одна из которых:
x  at  1 x  at

 q dq ,
2
2a x
0
движется со скоростью а вправо, а вторая:
u1 x , t  
(5.17)
1
1 x  at
u 2 x , t   x  at  
 q dq ,
2
2a x
(5.18)
0
с такой же скоростью движется влево.
Решение (5.16) задачи Коши (5.1), (5.2) принято называть решением в
форме Даламбера.
Пример 5.1. Методом Даламбера найти уравнение u  u x , t  формы однородной бесконечной струны, совершающей свободные колебания. В начальный момент времени t  0 форма струны и распределение скоростей точек
струны определяются заданными функциями:
u
x, o   e  x , x   ,   .
u x , o   x 2  x ,
t
◄ Воспользуемся соотношением (5.16). Имеем:
x  at   x  at 

2
(5.19)
1
 x  at 2  x  at   x  at 2  x  at   2 x  x 2  at 2
2
x  at
x  at
1
1 x  at  q
1
q







q
dq
e
dq
e


2a x  at
2a x  at
2a
x  at
(5.20)
x
at
 at
x
e
e e
e



sh at 
2
a
a
Подставив соотношения (5.19) и (5.20) в выражение (5.16), получаем:

u x , t   2 x  x  at 
2
2

e x

sh at  ►
a
5.2. Колебания струны с закреплёнными концами.
Метод разделения переменных
Рассмотрим следующую задачу. Однородная струна длиной  закреплена
на концах x  0 и x   . В начальный момент времени t  0 точки струны выведены из положения равновесия, т. е. струна приняла известную форму
y  x , x  0,  и, кроме того, точки струны приобрели заданные скорости
u
t  0   x  .
t
56
Требуется найти положение каждой точки струны и её скорость в произвольный момент времени t  0 .
Математическая постановка этой задачи формируется следующим образом: требуется найти решение уравнения колебания струны (5.1), удовлетворяющее граничным условиям:
u x  0  0;
(5.21)
u x    0.
при начальных условиях:
u t  0  x ;
(5.22)
u




x
.
t 0
t
Решаем задачу методом разделения переменных (методом Фурье). Суть
этого метода заключается в следующем. Положим:
u x , t   Xx Tt  .
(5.23)
Подставим (5.23) в уравнение (5.1) и разделим переменные, т. е. представим уравнение (5.1) в виде:
Xx  Tt 
.
(5.24)

X  x  a 2 T t 
Так как левая часть равенства (5.24) зависит только от переменной x , а
правая — от переменной t , то это равенство возможно, тогда и только тогда,
когда каждая из этих частей является постоянной величиной. Обозначим эту
постоянную через  2 . Такое обозначение не является случайным. Ниже будет
показано, что решение уравнения (5.1), удовлетворяющее произвольным
начальным условиям (5.22) и граничным условиям (5.21) возможно лишь при
условии, что  2  0 . Соотношение (5.24) теперь приобретает форму:
Xx  Tt 
 2 .

2
X x  a T t 
Откуда получаем систему:
T  a 2 2 T  0
.

2
X   X  0
Граничные условия (5.21) примут вид:
X0   0, X   0 .
(5.25)
(5.26)
Уравнения в системе (5.25) являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение второго из этих уравнений имеет вид:
Xx   C1 cos x  C 2 sin x .
57
(5.27)
Постоянные C1 и C 2 выберем так, чтобы выполнялись граничные условия (5.26). Подставив (5.27) в (5.26), получим систему:
C1  0
.
(5.28)

C1 cos   C 2 sin    0
При C1  0 имеется две возможности выполнения соотношения (5.28):
либо C 2  0 , либо sin    0 . Если C 2  0 , то Xx   0  u x, t   0 . Следовательно, в этом случае выполнение начальных условий (5.22) при произвольных
x  и x  невозможно. Значит, sin    0 , т. е.
n

,
(5.29)

где, вообще говоря, n любое целое число. Если n  0 , то   0 и Xx   0 , и
вновь получаем тривиальное решение u x , t   0 . Если   0 , то решение второго из уравнений системы (5.25) имеет вид: Xx   C1e x  C 2 e  x , и удовлетворить обоим граничным условиям (5.26) можно, лишь если C1  C 2  0 . Следовательно, n может принимать только целые положительные значения:
Таким образом,
 n 
Xx   X n x   c n sin  x , n  N .
(5.30)
  
Подставив (5.29) в первое уравнение (5.25), находим:
 na 
 na 
Tn t   a n cos
t   b n sin 
t
(5.31)
  
  

 na 
 na   n 
u n x , t   a n cos
t   b n sin 
t  sin  x  .
(5.32)
  
     

Уравнение (5.1) — линейное. Поэтому его общее решение получается
суммированием решений (5.32), т. е.
 
 na 
 na   n 
u x , t    a n cos
t   b n sin 
t  sin  x  .
(5.33)






 

n 1 
Доказано 7, что ряд (5.33) является решением (5.1), удовлетворяющим
граничным условиям (5.21), если он сходится равномерно. Тогда его можно
дважды почленно дифференцировать как по x так и по t .
В этом случае,
u  na 
 na 
 na    n 
 
t   b n cos
t   sin  x 
(5.34)
  a n sin 
t n 1  
  
     
Удовлетворяя начальным условиям (5.22), получаем, что коэффициенты
an и bn находятся из разложения функций x  и x  в соответствующие ряды Фурье:
58

 n 
x   x 
  
 a n sin
n 1

 bn
n 1
na  nx 
sin 
   x 

  
(5.35)
Откуда,
2
 n 
a n   x sin  x dx
0
  
bn 

2
 nx 



x
sin

dx

na 0
  
(5.36)
Доказано 7 так же, что ряд (5.33) с коэффициентами (5.36) даёт решение
задачи (5.1), (5.21), (5.22), если функции x  и x , x  0,  имеют непрерывные производные  x  ,  x  , x  , x  и x  , причем 0      0
и 0      0 ; 0      0 .
Замечание. Задача нахождения нетривиальных решений уравнения
X  2 X  0 , удовлетворяющих граничным условиям (5.26), называется задачей Штурма-Лиувилля. Решения этой задачи принято называть собственными
функциями, а соответствующие значения  n — собственными числами.
Пример 5.2. Решить задачу (5.1), (5.21), (5.22) о колебании струны, если
4x
x   0 , а x   sin
.

◄ Так как x   0 , то в силу соотношений (5.36) a n  0 .
Имеем,
4  n x  cos 4  n x , n  4
1 
 cos




4x
nx  2 

sin
sin



 1 1  cos 8x , n  4
 2 
 
0, n  4

4x
nx

 sin  sin  dx    , n  4 .
 2
0
Следовательно,
0, n  4
2  4x
nx
2 
bn 
sin
sin
dx 
 

na 0
na  , n  4


2

, b n  0, n  1,2,3,5,
b4 
4a
Подставим найденные коэффициенты a n и b n в (5.31) и получим:
59
4x
4at

sin
sin
►
4a


Пример 5.3. Найти функцию u x , t  , удовлетворяющую на отрезке
u x , t  
x  0,12 волновому
уравнению
 2u
t 2
 16
 2u
x 2
с
граничными
u 0, t   u 12, t   0 и заданным начальным условиям
условиями
u x ,0 
  x   0 и
t
 3x
 80 , 0  x  6
u x ,0   x   
.


3
12

x

 80 , 6  x  12
◄ Ясно, что можно воспользоваться выше полученным решением (5.33),
в котором a  4,   12 , а коэффициенты an и bn вычисляются по формулам
(5.36).
Так как x   0 , то b n  0 . Остаётся вычислить лишь a n .
6
312  x  nx 
2  6 3x
nx
an 
 sin 12 dx   80 sin 12 dx  .
12  0 80
0

(5.37)
Интегралы, стоящие в правой части (5.37), вычислим по частям.
w  12  x , dw  dx
12
312  x  nx
 80 sin 12 dx  dv  sin nx dx, v   12 cos nx 
6
12
n
12
3 
nx  12 12 12
nx 
 12
12  x   cos    cos dx  

80 
12  6 n 6
12
 n


2
3 
6  12
n  12 
nx 12 

   sin
0
cos

80 
n
2  n 
12 6 


2
3  6  12
n  12 
n 

cos
   sin  .
(5.38)
80  n
2  n 
2 


Аналогично,
2
6
3x
nx
3  6  12
n  12 
n 



sin
dx
cos
sin
.
(5.39)


 80 12
 n


80
2
n
2


0


Подставим теперь соотношения (5.38) и (5.39) в выражение (5.37). Получим:
9
1
n
(5.40)
an  
sin .
8 n2
2
60
n
 0 , если n  2m, m  N . Следовательно, a 2m  0 .
2
2m  1   1m 1 .
Заметим также, что sin
2
Поэтому, подставив выражения для коэффициентов an и bn в (5.33) и
учитывая сделанные замечания, получаем:
Заметим, что sin

2m  1t sin 2m  1x
 1m 1
cos
u x , t  

3
12
8 2 m 1 2m  12
9

►
5.3. Колебания стержня, жёстко заделанного одним концом
в стенку. Метод разделения переменных
Рассмотрим задачу о колебаниях тонкого упругого стержня длиной  ,
один конец  x  0  которого жёстко заделан в стенку, а второй конец x   
свободен. В начальный момент времени t  0  стержень выведен из положения
равновесия так, что он принял форму:
u x ,0   x  ,
(5.41)
а точкам стержня приданы скорости
u
(5.42)
t  0   x .
t
Требуется определить функцию u x , t  , которая определяет форму стержня и скорости его точек, в произвольный момент времени t ,  t  0 .
Математическая постановка задачи заключается в следующем. Требуется
найти решение волнового уравнения (5.1), удовлетворяющее начальным условиям (5.41) и (5.42), а также граничным условиям:
u 0, t   0 ,
(5.43)
u
, t   0 .
(5.44)
x
Будем решать задачу методом разделения переменных: также как и раньше ищем неизвестную функцию в виде произведения (5.23). После подстановки
(5.23) в волновое уравнение и разделения переменных, получим уравнение:
X
T
 2 ,
 a2
(5.45)
T
X
которое равносильно системе двух уравнений:
(5.46)
T  2 T  0 ;
X 
Решая эту систему, найдём:
2
a2
X  0.
T  a sin t  b cos t ;
61
(5.47)
(5.48)
 
 
X  c sin  x   d cos x  .
(5.49)
a
a





 
  
u x , t   A sin t  B cos t  c sin  x   d cos x   .
(5.50)
a
a





Потребуем, чтобы функция (5.50) удовлетворяла первому граничному
условию (5.43), получим:
dA sin t  B cos t   0 .
(5.51)
Откуда следует, что
d  0.
(5.52)
Удовлетворяя второму граничному условию (5.44), находим:
c
 
cos    0
a
a 
 
Заметим, что c  0 , т.к. иначе Xx   0 . Следовательно, cos    0 
a 
2n  1 , n  0,1, , то есть  может иметь бесчисленное множество зна

a
2
чений (собственных чисел):
2n  1a , n  0,1,.
  n 
(5.53)
2
Каждому числу n соответствует своё частное решение:
2n  1x .
u n x , t   a n sin  n t   b n cos n t sin
(5.54)
2
В силу линейности волнового уравнение его общее решение равно:


2n  1x .
u x , t    u n x , t    a n sin  n t   b n cos n t sin
(5.55)
2

n 0
n 0
Теперь потребуем, чтобы выполнялись начальные условия, т. е.

2n  1x  x 
u x ,0    b n sin
2
n 1

2n  1x  x  .
u
a n  n sin


t 0
t
2
n 1
Два последних соотношения представляют разложение функций x  и
x  в соответствующие тригонометрические ряды Фурье, так что
2n  1x dx .
2
b n   x sin
2
0
(5.56)
an 
(5.57)
2n  1x dx .
2 
x sin

2
n 0
62
Таким образом, решение сформулированной в начале параграфа задачи
получено в виде ряда (5.55), в котором коэффициенты b n и a n вычисляются по
формулам (5.56) и (5.57) соответственно.
Пример 5.4. Для волнового уравнения (5.1) решить задачу с условиями
x
5x
u 0, t   u x , t   0 , u x ,0   x   sin
, u t x ,0   sin .
2
2
◄ Не трудно заметить, что выражения для x  и x  получаются из
2n  1x , если положить n  2 и n  0 соответственно. Другими
выражения sin
2
словами, заданные выражения функций x  и x  являются разложениями
этих функций в нужные тригонометрические ряды Фурье. Следовательно,
b 2  1, b n  0, n  0,1,3, , и a 0  0  1, a n  0, n  1,2, . Подставив значения коэффициентов b n и a n в (5.55), получим:
at
5at
2
5x
x
sin
u x , t   sin
sin
 cos
►
2
2
2
a
2
Пример 5.5. Для волнового уравнения (5.1) решить задачу с условиями
x
5x
u 0, t   u x , t   0 , u x ,0   x   x , u t x ,0   sin
 sin
.
2
2
◄ Так же как и в примере 5.4 можно показать, что функция u t x,0  x 
уже представлена своим разложением в нужный ряд Фурье.
1 2
1
2
. Имеем далее,
При этом a 0  0  a 2  2  1  a 0 
 , a2 

 0 a
 2 5a
bn 
2n  1x dx  2 ( x  cos 2n  1x  2  
2
x
sin



2
2
0
 
 2n  1 0
2


2n  1x 
2n  1x
 2 
2 

dx )  
cos

 sin
2n  1 0
2
2
 2n  1 
0

8
2n  12  2
2n  1 
sin
2
8 1n
2n  12  2
Следовательно,
x 2
5x
5at
at
2


sin
sin
sin
u x , t   sin
2
2
2 5a
2
a

2n  1at sin 2n  1x
 1n

cos

2
2
 2 n  0 2n  12
8 
Пример 5.5. Для волнового уравнения (5.1) решить задачу с условиями
x
7 x
3x
 cos
.
u x 0, t   u , t   0, u x ,0  cos , u t x ,0   cos
2
2
2
63
◄ Используя метод разделения переменных, как это описано выше, получаем решение уравнения (5.1) в форме (5.50). Откуда,
u 
x
x 

 a sin t  b cos t  c cos
 d sin
(5.58)

x a
a
a


Чтобы выполнялось первое граничное условие u x 0, t   0 , должно быть
c  0 . Тогда второе граничное условие u , t   0 может быть выполнено, если

d  0 или cos  0 . При d  0 получаем тривиальное решение u  0 . Следоваa
тельно, как и раньше собственные значения  n определяются соотношением
(5.53), но общее решение уравнения (5.1) имеет вид:


2n  1x
u x , t    u n x , t    a n sin  n t   b n cos n t cos
(5.59)
2

n 0
n 0
Коэффициенты b n и a n являются коэффициентами разложения функций
x  и  x  в ряды Фурье по косинусам кратных дуг и вычисляются по формулам:
2n  1x dx .
2
b n   x cos
2
0
2n  1x dx .
2 



an 
x
cos

2
n 0
(5.60)
(5.61)
Функции x  и  x  задают начальные условия (5.41) и (5.42).
В рассматриваемом примере выражения функций x  и  x  уже являются соответствующими рядами Фурье.
Следовательно, b 0  a11  a 3 3  1 , а все остальные коэффициенты b n и
a n равны нулю. Выражение (5.59) тогда принимает вид
x 2
3x 2
7 x
at
3at
7at

►
cos
cos

cos
u x , t   cos
cos
cos
2 3a
2 7 a
2
2
2
2
5.4. Краевые задачи для уравнения теплопроводности.
Распространение тепла в неограниченной плите
Рассмотрим уравнение теплопроводности для однородной среды, полученное в разделе 4.3:
u
 a 2 u  f M, t  .
t
Краевые задачи для уравнения теплопроводности ставятся следующим
образом:
- найти функцию u M, t  , удовлетворяющую уравнению теплопроводности в некоторой области переменных x , y, z, t , начальному условию:
u t  0  M , M x , y, z  .
64
и граничному условию:
u
u  
S   M, t  ,
n
где M   0, M   0, M, t  — заданные функции, n — внешняя нормаль к
границе S среды.
В случае   1,   0 имеем первую краевую задачу.
В случае   0,   1 имеем вторую краевую задачу.
В случае   0,   0 имеем третью краевую задачу.
Неограниченная плита представляет собой тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями, например, x  0 и x   . Изменение температуры
происходит только в направлении оси OX , в двух других направлениях темпеu u
ратура неизменна, т. е.

 0 . Следовательно, задача является одномерy z
ной и уравнение теплопроводности, в случае f M, t   0 , имеет вид:
2
u
2 u
.
(5.62)
a
t
t 2
Одним из методов, который широко используется для решения перечисленных выше краевых задач распространения тепла в неограниченных плитах,
является метод разделения переменных. Применение метода разделения переменных в данных задачах мало чем отличается от его использования при решении волнового уравнения.
Рассмотрим задачу о нахождении функции u x , t  , 0  x   , удовлетворяющей уравнению (5.62), начальному условию:
u t  0  x  .
(5.63)
и граничным условиям:
u 0, t   u , t   0 .
(5.64)
Решение ищем в виде u x , t   Tt Xx  , причём нас интересует, только
нетривиальное решение. Разделяя переменные, приведём уравнение (5.62) к
форме
T X

 .
(5.65)
2
X
a T
Так как ищется нетривиальное решение задачи, то граничные условия
принимают вид:
X0   X   0 .
(5.66)
Рассматривая отдельно случаи, когда параметр  принимает отрицательные значения, положительные значения или значения, равные нулю, приходим
к выводу: нетривиальные решения, удовлетворяющие однородным граничным
условиям (5.66), получаются только тогда, когда   0 . Для удобства обозначим
  2 ,   0 .
65
Собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля являются:
2
 na 

 t
n
Xx   X n x   sin  n x ,  n 
, n  N . Тогда Tt   Tn t   e    .

Общее решение уравнения (5.62), удовлетворяющее граничным условиям
(5.64), является суммой ряда:
2
u x , t  


 na 
 t


 sin nx .

a ne
(5.67)

n 1
Потребовав, чтобы сумма ряда (5.67) удовлетворяла начальному условию
(5.63), приходим к выводу: коэффициенты a n являются коэффициентами разложения функции x  в ряд по синусам кратных дуг и вычисляются по формулам:
2
nx
a n   x sin
dx , n  N .
0

(5.68)
Пример 5.6. Решить методом Фурье уравнение теплопроводности
x 35  x 
и
u t  49u xx на отрезке 0  x  35 при начальном условии u x ,0  
140
граничных условиях u 0, t   u , t   0 .
◄ Вычислим коэффициенты a n
2 x 35  x  35
nx 35
2 35 x 35  x  nx
 cos

an 
sin
dx  по частям  (

35 0 140
35
35
140
т
35 0
nx
2 35  2 x 35
nx 35
70 35 nx
35 35 35  2 x


cos
dx )  (
sin

 sin 35 dx ) 
35 0 140n 0
т 0 140
35
n 140 т


1   1n 1 
n3
35


0, n  2m
Заметим, что 1   1n 1  
. Следовательно,
2, n  2m  1, m  N
70
и
a 2m  0, a 2m 1 
3
3
 2m  1
u x , t  
70 

1
3 m 1 2m  13
2
 2 m 1 
 t

2m  1x ►
e  5  sin
35
Пример 5.7. Решить методом Фурье для уравнения теплопроводности
(5.62) краевую задачу: u x 0, t   u , t   0, u x ,0   A  x , A  const .
66
◄ Будем искать решение в виде u x , t   Tt Xx  . После подстановки
этого выражения в уравнение (5.62), разделения переменных и решения получившихся уравнений для функций Xx  и Tt  найдём:
Xx   C1 cos x  C 2 sin x
.
(5.69)

2 2


a
t
Tt   C3e
Граничные условия при этом примут вид:
X0   0
.
(5.70)

X   0
Удовлетворяя первому условию из (5.70), получим C 2  0 . Удовлетворяя
второму условию из (5.70), находим собственные значения:
2n  1
, n  0,1,2,
(5.71)
n 
2
и соответствующие им собственные функции:
2n  1x
Xx   X n x   cos
.
(5.72)
2
Решением краевой задачи является сумма ряда:
u x , t  

 a n cos
n 0
2n  1x
e
2

2n 12  2 a 2 t
4 2
(5.73)
Коэффициенты a n вычисляются по формуле
2
2n  1x
a n   u x ,0 cos
dx , n  0,1,2,
0
2
(5.74)
В нашем случае
интегрируем
2A 
8A
  x cos  2n  1x dx 


по частям
 0
2
 2 2n  12
Таким образом,
an 
u x , t  
8A 

1
 n  0 2n  1
2
2
cos
2n  1x
e
2

2n 12  2 a 2 t
4 2
Пример 5.8. Найти решение уравнения u t  36u xx 
►

x
cos , удовле10
2
творяющее условиям u x ,0   u 0, t   u 2, t   0, x  0,2 .
◄ Будем искать решение уравнения теплопроводности в виде
u x , t  

 Tn t X n x  ,
n 0
где X n x  — собственные функции задачи Штурма-
Лиувилля: X  2 X  0, X0   0, X2   0 . Собственными функциями и соб67
ственными числами этой задачи являются соответственно X n x   sin
и n 
2n  1
, n  0,1,2, . Следовательно,
4
u x , t  

 Tn t sin
n 0
2n  1x
4
2n  1x
4
(5.75)

x
cos
в ряд Фурье по собственным функциям, т. е.
10
2


x
2n  1x
cos
.
(5.76)
   n sin
10
2 n 0
4
Разложим функцию
Умножим равенство (5.76) на sin
x в пределах от 0 до 2 . Тогда получим:
n 
 2
 cos
10
0
x
2
sin
 2n  1x
4
2n  1x
, а затем проинтегрируем по
4
dx 
 2
x n  1,5
20 0
2
(  sin
dx 
n  1,5
n  0,5 

 1
 1 cos
cos

x n  0,5

2
2


  sin
dx )   
n  0,5
n  1,5
2
20


0




2
2
1 1
1  1
2n  1
 


10  n  1,5 n  0,5  10 n 2  n  0,75
2
(5.77)
3 



При получении (5.77) учтено, cos n    cos n    0 .
2 
2


После подстановки соотношений (5.75) и (5.77) исходное уравнение примет вид:

2n  1
2n  1x 1 
2n  1x
2

.
T
36
T
sin
sin



 n

n n
2
4
10
4
n 0
n  0 n  n  0,75


Т. е. функции Tn являются решениями линейного неоднородного дифференциального уравнения:
1
2n  1
Tn  362n Tn 
.
(5.78)
10 n 2  n  0,75
Решение уравнения (5.78) может быть представлено в виде:
2
Tn  C n e  36 n t 
2n  1
.
2
2


360 n  n  0,75  n
68
(5.79)
Подставим теперь (5.79) в (5.75)
 
 2n  1x
2
2n  1
 sin
. (5.80)
u x , t     C n e 36 n t 
2
2 

4



360
n
n
0
,
75
n 0 
n
Чтобы выполнялось начальное условие u x ,0   0 , коэффициенты C n
должны быть равными:
2n  1
.
Cn  
2
2
360 n  n  0,75  n
Таким образом, окончательно получаем:

 362n t 




2
n
1
1
e




 sin  x ,   2n  1 ►
u x , t   
n
n
2
2
4
n  0 360 n  n  0,75  n






Замечание. В примере 5.8 показано применение метода разделения переменных в том случае, когда дифференциальное уравнение является неоднородным, а граничные условия — однородны. Если же граничные условия в задаче
неоднородны, то необходимо выполнить замену искомой функции так, чтобы
эти условия для новой функции стали бы однородными.
Пример 5.9. Найти решение уравнения u t  a 2 u xx , u  u x , t  , удовлетворяющее начальному условию
u x ,0   T0
и граничным условиям
u 0, t   0, u x , t   Ae  t .
◄ Введём новую неизвестную функцию vx , t  с помощью соотношения:
u x , t   vx , t   Axe  t .
(5.81)
Тогда u t  v t  Axe  t , u x  v x  Ae  t , u xx  v xx .
Уравнение теплопроводности преобразуется к виду:
v t  a 2 v xx  Axe  t .
Граничные условия для функции vx , t  станут однородными:
v0, t   v x , t   0 ,
а начальное условие примет вид:
vx,0  T0  Ax .
Будем искать решение уравнения (5.81) в виде vx , t  
X n x 
(5.82)
(5.83)
(5.84)

 Tn t X n x  , где
n 0
—
собственные
функции
задачи
Штурма
–
Лиувилля:
X  2 X  0, X0   0, X   0 . Собственными числами и собственными функ2n  1
циями этой задачи являются соответственно  n 
, n  0,1,2, и
2
2n  1x
. Следовательно,
X n x   sin
2
69
v x , t  

 Tn t sin  n x  .
(5.85)
n 0
Разложим функцию x в ряд Фурье по собственным функциям, т. е.
x

  n sin  n x  .
(5.86)
n 0
Умножим (5.86) на sin  m x  , а затем проинтегрируем получившееся соотношение по x в пределах от 0 до  . Тогда получим:
интегрируем
2
2
2n  1
2

 n   xsin  n x dx 

sin

 1n
по частям
2
0
2n
2n
Следовательно,
2   1n
x 
sin  n x  .
 n  0 2n
(5.87)
Теперь подставим соотношения (5.85) и (5.87) в уравнение (5.82):
 2A 1
2 2









T
t

a

T
t
sin

x

 n

n n
n
2

n
n 0
n 0
e  t sin  n x  .
n
Следовательно, функции Tn t  являются решениями линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:
2A 1n  t
2
2
Tn t   a  n Tn t  
e .
2n
Если  n 
(5.88)
1
, то решение уравнения (5.88) имеет вид:
a
2 2
Tn t   Ce  a  n t  Be  t .
(5.89)
В выражении (5.89) C — произвольное постоянное число, а константу
B определяем методом неопределённых коэффициентов подстановкой выраже-
ния Tn t   Be  t в уравнение (5.88).
B
2A 1n

.
2n a 2 2n  1
Таким образом,
2A 1n e  t 
 a 2 2n t

vx , t    Ce

sin  n x  .
2 2 2


a
1




n 0 

n
n
Потребуем, чтобы (5.90) начальному условию (5.84):
 
2A 1n 

v x ,0    C 
sin  n x   T0  Ax
2 2 2


a
1




n 0 

n
n
 




70
(5.90)
Из
n  C 
последнего
2A 1n


2n a 2 2n  1
соотношения
заключаем,
что
выражения
являются коэффициентами разложения T0  Ax в ряд
Фурье по собственным функциям sin  n x  . Значит,
2
2  cos n x  
2

 n   T0  Ax sin  n x dx  T0
A
 1n 
0

n
2n
0

2T 0 2A


 1n
 n 2n
2A 1n
2T 0 2A 1n a 2


C  n 
2n a 2 2n  1  n  a 2 2n  1




   2T
2A 1n a 2
0



v x , t   
  n  a 2 2  1

n 0  
n
  a 2 2 t 2A 1n e  t 
 sin  x  
e
n 
n
2 2 2

 n a  n  1 

2  T
A 1n a 2   a 2 2n t
u x , t   vx , t   Axe  t    0 
e
sin  n x  
2 2 
 n  0   n
1  a n 




2Ae  t    1n sin  n x  

 xAe  t

 n  0  2n a 2 2n  1 
Подставим сюда разложение (5.87) вместо x . Тогда получим:
2   T0 A 1n a 2   a 2 2n t
u x , t   

e
sin  n x  
2 2 
 n  0   n
1  a n 


2a 2 Ae  t   1n sin  n x 
1
2n  1
, n 
, n 



2
a
a 2 2n  1
n 0
Можно показать (читателю предлагаем проделать это самостоятельно), что
2a   1n sin  n x 

 n  0 a 2 2n  1

x
sin  cos 
a
a
лучаем:
1
является
разложением
в
ряд
Фурье
функции
по собственным функциям sin  n x  . Поэтому окончательно по-
2   T0 A 1n a 2   a 2 2n t

u x , t   
e
sin  n x  
2 2 
 n  0   n
1  a n 
2n  1
aAe t
x
1

sin ,  n 
, n 

a
2
a
cos
a
71
►
5.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности
Задача нахождения функции u x, t     x  , t  0 , удовлетворяющей уравнению:
2
u
2 u
a
 f x , t  .
(5.91)
t
t 2
и начальному условию (5.63) называется задачей Коши.
Физический смысл задачи заключается в определении температуры однородного бесконечного стержня в любой момент времени t  0 , если известна
его температура x  в начальный момент времени t  0 . Считается, что боковая поверхность стержня теплоизолирована, так что через неё тепло из стержня
не уходит.
Доказано 7, что если функция f x , t  имеет ограниченные частные производные второго порядка, а функция x  — ограничена, то решение задачи
Коши в классе ограниченных функций u x , t  всегда существует, единственно и
выражается формулой Пуассона:
u x , t  
1

 e
2a t  

  x 2
4 a 2 t d 
t 
f ,  
0   2a t   
 
  x 2
2
e 4a t    dd .

(5.92)
Пример 5.10. Решить задачу Коши:
x2
u t  u xx  sin t , u x ,0  e 2

◄ Чтобы избежать сложностей при вычислении двойного интеграла,
входящего в формулу Пуассона, введём новую функцию vx , t  так, чтобы для
этой функции уравнение теплопроводности стало однородным. Добиться этого
можно
с
помощью
подстановки
u x , t   vx , t   cos t .
Тогда
u t  v t  sin t , u xx  v xx и функция vx , t  должна удовлетворять однородному
уравнению v t  v xx . Начальное условие для функции vx , t  принимает вид
x2
v x ,0   1  e 2 .

В соответствии с формулой Пуассона (5.92)
v x , t  

1

2 t  
1 

e
2 t  

  x 2
2


4 t d 
(1  e 2 )  e
  x 2

4t
2
  x 2
  

1
4 t d
d 
e 2 e

2 t  
72
(5.93)
Преобразуем интегралы, стоящие в правой части соотношения (5.93).
  x 
1    4t
x
d
1   y2
1.
d  y 
, dy 

e
 e dy  1
2 t  
2 t
2 t
 

 y2
2
Здесь учтено, что

e
dy   (интеграл Пуассона).

2
2
2
  x 2
      x  x
  

4 t d  e 2 4 t 4 t 2 t d 
2.  e 2  e



2
2
x2
1 2 t 
x 
 
 

 e 21 2 t   e 4 t  1 2 t  d .


Введём новую переменную y 
2
1 2 t 
x 
 
 

4 t  1 2 t  d 
e


1  2t 
x 
 
 . Тогда,
1  2t 
2 t 
2 t   y2
2 t 
.
e
dy 

1  2t 
1  2t
Следовательно,
2
2
x2




x


1    2  4t
1
21 2 t 
e
e
d
e




2 t  
1  2t
x2

1
v x , t   1 
e 21 2 t  .
1  2t
x2
e 21 2 t   cos t . ►

1
1  2t
Использование формулы Пуассона, как правило, приводит к необходимости вычисления достаточно сложных интегралов. В тоже время часто удаётся
решить задачу Коши методом разделения переменных, не применяя выше упомянутую формулу. Рассмотрим несколько такого рода примеров.
u x , t   1 
Пример 5.11. Решить задачу Коши:
u t  4u xx  t  1e t , u x ,0  2 .
◄ Предположим, что неизвестная функция может быть представлена в
виде произведения u x , t   Tt Xx  . Потребуем выполнения начального условия u x ,0   T0 Xx   2 . Это условие будет выполнено, если положить
T0   2 , а Xx   1 . Следовательно, u t  T , u xx  0 , а решаемая задача Коши
73
сводится
к
нахождению
T t  ,
функции
удовлетворяющей
уравнению
T  t  1e t и начальному условию T0   2 . Имеем,
Tt    t  1e t dt  te t  C
T0   0e 0  C  2  C  2, Tt   te t  2, u x , t   Tt   1  te t  2 .►
Пример 5.12. Решить задачу Коши:
u t  u xx  e  t cos x, u x ,0   cos x
◄ Введём новую функцию
v x , t 
с
помощью
соотношения
u x , t   vx , t e  t . Тогда u t  v t  v e  t , u xx  v xx e  t , а дифференциальное
уравнение и начальное условие преобразуются к виду v t  v  v xx  cos x и
vx ,0   cos x .
Будем искать функцию vx , t  в виде vx , t   Tt Xx  . Подставив это выражение в начальное условие, получим vx ,0   T0 Xx   cos x 
T0  1, Xx   cos x , т.е. vx , t   Tt cos x . После подстановки последнего выражения в дифференциальное уравнение найдём Tt   1  Tt   t  C . Из
условия T0   1 следует, что C  1 . Следовательно, vx , t   t  1cos x , а
u x , t   t  1e  t cos x ►
Пример 5.13. Решить задачу Коши:
u t  u xx  3t 2 , u x ,0   sin x
◄ Введём новую функцию
v x , t 
с
помощью
соотношения
u x , t   vx , t   t 3 . Тогда u t  v t  3t 2 , u xx  v xx , а дифференциальное уравнение и начальное условие преобразуются к виду v t  v xx и vx ,0   sin x . Пусть
vx , t   Tt Xx  . Подставив это выражение в начальное условие, получим
vx,0  T0Xx   sin x  T0  1, Xx   sin x . Значит, vx , t   Tt sin x . Уравнение T  T  0 для определения Tt  получается после подстановки
vx , t   Tt sin x в уравнение v t  v xx . Следовательно, Tt   Ce  t . Учитывая,
что T0   1 , находим C  1 . Таким образом,
u x , t   e  t sin x  t 3 . ►
74
6. Колебания прямоугольной мембраны. Метод разделения
переменных для функции трёх переменных
Раcсмотрим следующую задачу. Прямоугольная мембрана D со сторонами а и b (рис. 3), расположенная в плоскости XOY , закреплена по периметру.
В момент времени t  0 она выведена из состояy
ния равновесия так, что прямоугольник
1  x   2
d
, 0  1   2 , 0  1   2 внутри


b
y





1
2
D
2
мембраны сместился вдоль оси OZ , перпендикуd
лярной плоскости XOY , на величину  и получил скорость V . Требуется найти положение и
1
2
1
x скорость точек области D в момент времеa
0
ни t , t  0 .
Рис. 3
С математической точки зрения задача заключается в следующем. Требуется определить функцию u x , y, t  , удовлетворяющую уравнению малых поперечных колебаний мембраны:
2
2
 2u
2   u  u 
q

.
(6.1)
 x 2 y 2 
t 2


с граничными:
u x  0  u x  a  0, u y  0  u y  b  0 .
(6.2)
и начальными условиями:
, x , y   d
 V , x , y   d
u
.
u  x , y, t  t  0  
;
t 0  




0
,
x
,
y
D
\
d
0
,
x
,
y
D
\
d


t



(6.3)
Будем искать решение задачи (6.1) – (6.3) методом разделения переменных:
u x, y, t   Tt x, y  .
После подстановки (8.4) уравнение (6.1) приводится к виду:
 2
T
2
q T
или

x 2

(6.4)
 2
y 2

 2 ,   const .
T  q 2 T  0 .
 2
x 2

 2
y 2
 2   0 .
75
(6.5)
(6.6)
(6.7)
Теперь с помощью подстановки x , y   Xx Yy  разделим переменные
в уравнении (6.7)
Yy  Xx 

 2   p12  p 22 
Y  y  X x 
Xx   p 2 Xx   0
1
.
(6.8)

2
Yx   p 2 Yy   0


Решение системы уравнений (6.8) можно записать в форме:
Xx   c1 cos p1x  c 2 sin p1x
.

Yy   c3 cos p 2 y  c 4 sin p 2 y
Условия закрепления (5.63) приводятся к виду:
X0   Xa   0
.





Y
0
Y
b
0



Потребуем выполнение первых двух условий из (6.10)
c1  0
c  0
 1

c 2 sin p1a  0 p1a  n , n  1,2,
Аналогично, удовлетворяя двум другим условиям из (6.10),
c3  0, p 2 b  m, m  1,2, .
Следовательно,
nx
my
x , y   mn x , y   C sin
, m, n  1,2, .
sin
a
b
Решение уравнения (6.6) имеет вид:
Tt   Tmn t   a mn cosq mn t   b mn sin q mn t 
(6.9)
(6.10)
(6.11)
находим
(6.12)
(6.13)
2
n 2 
2
2  m
где  mn  

.
2
 2
(6.14)
b
a


Следовательно, частные решения уравнения (6.1), удовлетворяющие граничным условиям (6.2), записываются в виде:
nx
my
u mn x , y, t   a mn cosq mn t   b mn sin q mn t sin
sin
, (6.15)
a
b
а общим решением является выражение:
u  x , y, t  


  u mn x, y, t  .
(6.16)
m 1 n 1
Теперь потребуем, чтобы (6.16) удовлетворяло начальным условиям (6.3):
 
nx
my
(6.17)
    a mn sin
sin
, x , y   d .
a
b
m 1 n 1
V


  qb mn  mn sin
m 1 n 1
nx
my
sin
, x , y   d .
a
b
76
(6.18)
Другими словами неизвестные коэффициенты a mn и qb mn  mn в (6.17) и
(6.18) являются соответствующими коэффициентами в разложении  и V в
двойные ряды Фурье.
nx
my
являются ортогональными соответи sin
Системы функций sin
a
b
ственно на отрезках 0, a  и 0, b , а в соотношениях (6.17) и (6.18) x  1,  2  и
y  1,  2  . Поэтому предварительно нормируем эти системы функций на промежутках 1, 2  и 1, 2 :
A 2mn
2
 sin
2 nx
1
a
dx
2
 sin
2 mx
a
1
dy  1 
2n1  
a  2n 2

A 2mn   2  1 
 sin
 sin
 
2n 
a
a 

(6.19)
2
m

2
m

a


2  sin
1    4
   2  1 
 sin

2n 
b
b 

Теперь коэффициенты a mn и qb mn  mn находятся из соотношений:
2

2
nx
mx
a mn A mn  sin
dx  sin
dy   ,
a
b
1
1
2

2
nx
mx
qb mn  mn A mn  sin
dx  sin
dy  V .
a
b
1
1
и равны:
V

.
(6.20)
, b mn 
A mn
A mn q mn
Окончательное выражение для функции u x , y, t  получается после подстановки соотношений (6.14), (6.15) и (6.20) в (6.16).
a mn 
77
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В пособии рассмотрены далеко не все методы решений задач, связанных
с дифференциальными уравнениями в частных производных. Среди совсем неупомянутых, но достаточно широко применяемых приёмов, следует отметить
различные интегральные преобразования. В частности при решении задач о
распространении тепла весьма эффективным является применение преобразования Лапласа и преобразования Фурье. Но изучение этих приёмов выходит за
рамки данного пособия.
78
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений: учебник /
В. В. Степанов. 11-е изд., исправленное. М.: Издательство ЛКИ, 2016. 512 с.
2. Хватцев А. А. Дифференциальные уравнения: учебное пособие /
А. А. Хватцев. Псков: Издательство ППИ, 2010. 68 с.
3. Хватцев А. А. Математический анализ: конспект лекций / А. А. Хватцев. 2-е изд. Псков: Издательство ППИ, 2008. 131 с.
4. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям:
учеб. пособие для вузов / А. Ф. Филиппов. 8-е изд. дополненное. М.: Интегралпресс, 1998. 208 с.
5. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в
системе Maple: учебник для вузов / Д. П. Голоскоков. СПб.: Питер, 2004. 539 с.
6. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. том VI.
Гидродинамика / Л. Д. Ландау, В. М. Лифшиц. Изд. четвёртое, стереотипное.
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 736 с.
7. Тихонов А. А. Уравнения математической физики: учебное пособие /
А. А. Самарский, А. Н. Тихонов. Изд. 7-е. М.: Изд-во МГУ, 2004. 798 с.
79
Учебное издание
Хватцев Александр Алексеевич
Строчков Илья Александрович
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
Учебное пособие
Технический редактор: А. А. Хватцев
Компьютерная вёрстка: А. А. Хватцев
Корректор: С. Н. Емельянова
Подписано в печать 31.08.2016. Формат 60×90/16.
Гарнитура Times New Roman. Усл. п. л. 5,0.
Тираж 70 экз. Заказ № 5256.
Изготовлено на Versant 2100.
Адрес издательства:
Россия 180000, г. Псков, ул. Л. Толстого, д. 4а, корп. 3а.
Издательство Псковского государственного университета
ISBN 978-5-91116-484-3
9 785911 164843
Скачать