L16-2

Деформация сдвига.
Прикрепим прямоугольный брусок однородного вещества нижним основанием А и
приложим к верхней грани ВС касательную силу F (рис.16.3). Тело деформируется все плоскости, параллельные основания бруска, будут смещенными друг относительно
друга на угол  :
  tg  a / b
(16.9)
1,
где
a - смещение плоскости, отстоящей на расстоянии b от основания бруска.
Величина  называется относительным сдвигом, или углом сдвига. Если угол сдвига
является разным для разных плоскостей -
    b  , то деформация сдвига называется
неоднородной. Однородный сдвиг, который мы рассматриваем, характеризуется
постоянным значением  .
рис. 16.3
Пусть  - площадь основания бруска. Тогда приложенная сила
тангенциальное напряжение
  F / .
F
создаст
(16.10)
Закон Гука для малой деформации сдвига выражается формулой
  G .
(16.11)
Коэффициент G, зависящий от материала тела, называется модулем сдвига и
характеризует упругие свойства тела при деформации сдвига.
Энергия упругой деформации сдвига равна
U  12 FBB  12  h  12  V ,
где
BB   h –
смещение верхнего основания бруска,
(16.12)
h–
его толщина,
V  h
–
объем. Для объемной плотности упругой энергии сдвига получим:
w   / 2   2 / 2G.
(16.13)
Как отметили выше, все постоянные упругости могут быть выражены с помощью
модуля Юнга и коэффициента Пуассона. Формула, связывающая модуль сдвига с ними,
выглядит так:
G  E / 2 1   .
(16.14)
Кручение.
Если нижнее основание однородного цилиндра прикрепить, а на верхнее основание
приложить пара сил с крутящим моментом М, то возникшая деформация в цилиндре
называется кручением. Верхнее основание цилиндра будет крученной на угол φ,
который называется углом кручения и является количественной характеристикой
деформации кручения (рис.16.4).
рис. 16.4
Заметим, что угол кручения зависит от расстояния
цилиндра
от
закрепленного
основания:
   b .
b
Так
рассматриваемой точки
что
кручение
является
неоднородной деформацией.
Закон Гука для малых деформаций кручения выражается формулой
M  f ,
где
f
– модуль кручения. В отличие от коэффициентов
(16.15)
E,  , G
модуль кручения
f
,
помимо материала, зависит также от формы и размеров тела. Кручение представляет
собой неоднородный сдвиг. В этом не трудно убедиться, если мысленно разбить
цилиндр на параллельные основанию элементарные диски, или на тонкие
коаксиальные трубки (рис.16.5).
рис.16.5
Вычислим
модуль
кручения
цилиндра.
Для
этого
сначала
рассмотрим
квазистатическое кручение тонкой (толщиной  r ) трубки радиуса r , высоты h , под
действием приложенного к верхнему основанию касательного напряжения  . На
площадь
верхнего
основания
  2 r r
будет
действовать
 M   r . При квазистатическом кручении на угол 
совершит работу  A   M  / 2 . Разделяя эту работу на
крутящий
момент
 M   f  
трубки  V  2 rh r ,
момент силы
объем
получим объемную плотность упругой энергии
w   M  / 4 rh r   M 2 / 2 f  V   r 3 2 r / h f .
(16.16)
Эту энергию можно получить, рассматривая кручение трубы как сдвиг. Тогда
получили бы формулу (16.13). Сравнивая эти выражения для объемной плотности
энергии деформации трубки, получим следующее значение для модуля кручения
 f  2 Gr 3 r / h.
Интегрируя полученное выражение по r от 0 до радиуса цилиндра
модуль кручения сплошного цилиндра с длиной h :
f   GR 4 / 2h.
R,
получим
(16.17)
Изгиб.
Это тоже неоднородная деформация. Рассмотрим изгиб однородной прямоугольной
балки на двух опорах, или прикрепленной одним концом в горизонтальном положении,
к вертикальной стенке (рис. 16.6). Деформация изгиба количественно характеризуется
величиной, называемой стрелой прогиба  . Это – наибольшее смещение балки из-за
деформации изгиба. Плоскость симметрии балки, перпендикулярная стрелы прогиба
(на рис. 16.6 она указана прерывистыми линиями), называется нормальной
плоскостью.
а
б
в
рис. 16.6
Верхние от нормальной плоскости части балки при изгибе подвергаются сжатию
(растяжению), а нижние части – наоборот – растяжению (сжатию). Линейные размеры
нормальной плоскости при этом остаются неизменными. Это и доказывает
неоднородность характера деформации изгиба.
Закон Гука для малых деформаций изгиба можно представить в виде
F  k,
(16.18)
где F – деформирующая сила, k – коэффициент, зависящий от формы, размеров, а
также модуля Юнга материала тела. Это вполне понятно, так как изгиб, как видели,
есть совокупность сжатия и растяжения. Расчеты показывают, что стрела прогиба
балки (под собственным весом P ) на двух опорах (рис.16.б.б) определяется формулой
  3 P / 4Eab3 ,
а для закрепленной к стенке балки (рис.16.6в)
  3 3 P / 4 Eab3 .
Здесь также предполагается, что изгиб балки обусловлен собственным весом
P.