И.И. Трянин. Определение прогиба от сдвига балки переменного

УДК 629.12.011:534.647
И.И.Трянин, д.т.н., профессор, ВГАВТ
603600, Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБА ОТ СДВИГА БАЛКИ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
ПО МЕТОДУ РИТЦА
Расчет свободных поперечных колебаний корпуса судна на ЭВМ целесообразно производить по методу Рэлея-Ритца.
Показано, что при учете деформации сдвига изменение по длине момента инерции площади поперечного сечения корпусе и приведенной площади нельзя задавать по ступенчатой линии; необходимо учитывать их непрерывность.
Расчет свободных поперечных колебаний балки на ЭВМ удобнее всего производить по методу РэлеяРитца [1]. Этот же метод следует применять и при расчете свободных колебаний корпуса судна при общей вибрации. Здесь он оказывается более простым, чем при расчете балок, так как корпус судна не имеет опор. Однако при
расчете общей вибрации, когда корпус судна рассматривается как балка переменного сечения, иногда необходимо
учитывать деформацию сдвига. Поправка на сдвиг к частоте, вычисленной без учета сдвига, может быть значительной. Так для третьего тона колебаний водоизмещающих судов она может достигать 15-20 %, а у скоростных
судов для первых трех тонов она может составлять 20 %, 40 % и 55 % соответственно [2]. Поэтому желательно
иметь точный метод расчета колебаний с учетом сдвигов.
Метод Ритца дает в пределе точные значения при выполнении определенных условий. Сходимость метода
Ритца проанализируем на простом примере свободно опертой равномерно загруженной балки при учете деформаций изгиба и сдвига. Балка имеет переменное сечение. Её момент инерции площади поперечного сечения относительно горизонтальной оси изменяется по длине балки по закону
I ( x )  I 0 [ 1  ( 2 x / l  1 )2 ( 1   )],
(1)
а приведенная площадь сечения – по аналогичному закону
f ( x )  f0 [ 1  ( 2 x / l  1 )2 ( 1   )].
(2)
Здесь: l – длина балки;
x – абсцисса сечения (начало координат на левом конце балки);
I0 , f0 –значения соответствующих величин посередине балки;
αI0 ,γf0 – на концах балки.
Интегрируя известные соотношения
EI ( x)w' '  M  qlx / 2  qx 2 / 2;
(3)
wс '  V / Gf    (ql / 2  qx) /(Gf )   ,
(4)
найдем прогиб от изгиба
w  ql 4 { u( 1  u ) / 2   [( u1  u ) ln( u1  u )  ( u  u2 ) ln( u  u2 )
 u1 ln( u1 )  u2 ln( u2 )] /( 4 1   )} /[ 8 EI0 ( 1   )]
(5)
и прогиб от сдвига
wc  ql 2 ln[ 1  4( 1   )( u  u 2 ) /  ] /[ 8Gf0 ( 1   )].
(6)
Здесь: безразмерные координаты :
u  x / l ; u1  [ 1  1 / 1   ] / 2; u 2  [ 1  1 / 1   ] / 2;
q – интенсивность поперечной нагрузки;
E,G – модули упругости.
Так как расчеты носят сопоставительный характер, то положим
(7)
q   4 EI 0 /( 4l 4 ).
(8)
Результаты вычислений по формулам (5)-(8) приведены в табл. 1. При подсчете прогиба от сдвига соотношение жесткостей балки при изгибе и сдвиге было принято равным
   4 EI 0 /(Gf0l 2 )  0,005.
(9)
Прогиб от изгиба зависит только от аргумента α, от сдвига – только от γ.
Таблица 1
Точные значения прогибов от изгиба w и сдвига wс посередине длины балки
Аргументы α, γ
0,9999
0,9
0,5
0,1
w при u=0.5
0,31720
0,32102
0,33994
0,36887
100 wс при u=0,5
0,15422
0,16248
0,21378
0,39454
При расчете по методу Ритца полагаем
w   qn sin( 2n  1 )x / l ; n  1,2,..., m.
(10)
При исследовании свободных колебаний прогиб от сдвига wс обычно полагают независящим от прогиба от
изгиба w [3]. Тогда при использовании метода Релея-Ритца прогиб от сдвига тоже надо представить в виде суммы
ряда по синусам. Это приведет к увеличению числа степеней свободы и порядка определителя (при равенстве числа членов в рядах – вдвое), приравнивание которого нулю дает уравнение частот. Появляется второй частотный
спектр, не представляющий для кораблестроения большого интереса [3]. Поэтому такой путь, приводящий к
усложнению вычислений, представляется неприемлемым.
С помощью равенств (3),(4) и известного условия равновесия прогиб от сдвига выражается через прогиб от
изгиба
wс    ( EIw' ' )' /(Gf ) dx
(11)
Интеграл берется в пределах от 0 до x. Потенциальная энергия деформации балки
   [ EI ( w' ' ) 2  ( EI ' w' ' EIw' ' ' ) 2 /(Gf )] / 2 dx;
(12)
обобщенная сила
Qi  q {sin( 2i  1 )x / l  E( 2i  1 )2 2 x[ I' sin( 2i  1 )x / l 
 ( I / l )( 2i  1 ) cos( 2i  1 )x / l ] /( Gfl 2 )}dx
(13)
Интегралы в равенствах (12) и (13) берутся в пределах от0 до l.
Подставив в уравнение Лагранжа
∂П/∂qi=Qi ,
i=1,2,…,m
(14)
равенства (12), (13) и (10), получим систему уравнений для определения обобщенных координат qi .
Для вычисления интегралов, входящих в равенства (12)-(14), надо знать законы изменения I(x) и f(x) по
длине балки. В рассматриваемом примере они даются равенствами (1) и (2). В расчетах общей вибрации обычно
используется закон ступенчатой линии [2]. Балка (корпус судна) делится на n1 участков равной длины (шпаций); на
каждом участке момент инерции I считается постоянным и равным значению посередине участка. При таком законе (f также распределена по ступенчатому закону) интегралы на длине участка легко вычисляются аналитически,
а потом суммируются по всем участкам. Была составлена программа расчета на ЭВМ для определения функций
w(x) и wс(x) по методу Ритца.
Однако результаты такого расчета вызывают сомнения, так как на границах участков при ступенчатом законе изгибающий момент M претерпевает разрыв первого рода. Срезывающая сила находится как производная от
изгибающего момента V=M′ . В точках разрыва непрерывности функция недифференцируема.
Поэтому для сравнения был составлен второй вариант программы, где интегралы вычислялись по правилу
трапеций в предположении непрерывности функций, а значения I, I′ и f брались на границах участков. Результаты
вычислений по обеим программам приведены в табл. 2. В табл. 2 обозначено:
w, wс – прогибы от изгиба и сдвига посередине длины балки, вычисленные по программе, в которой функции I(x), f(x) считались непрерывными;
w* , wс* - те же прогибы, вычисленные в предположении, что I(x) и f(x) изменяются по ступенчатой линии.
В расчете 2* принято β0 =0,5; 18* - β0 =0,05; 19* - β0 =0,05, n1 =20; 20* - β0 =0.05, n1=20, m=10.
Таблица 2
Значения прогибов от изгиба и сдвига, вычисленные по двум вариантам метода Ритца (n1=40, m=15, β0=0,005)
№
α
γ
w
w*
100wс
100wс*
1
2*
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18*
19*
20
0,9999
0,9999
0.9
0.5
0.1
0,9999
0,9999
0,9999
0,9
0,9
0,9
0,5
0,5
0,5
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9
0,5
0,1
0,9
0,5
0,1
0,9
0,5
0,1
0,9
0,5
0,1
0,1
0,1
0,1
0,31709
0,31714
0,32102
0,33994
0,36885
0,31709
0,31709
0,31709
0,32102
0,32102
0,32102
0,33994
0,33995
0,33994
0,36885
0,36885
0,36891
0,36917
0,37222
0,37158
0,31709
0,32110
0,34033
0,36943
0,31709
0,31709
0,31709
0,32110
0,32112
0,32115
0,34035
0,34043
0,34064
0,36946
0,36958
0,37000
0,37983
0,37957
0,37956
0,15416
15,422
0,15413
0,15392
0,15283
0,16243
0,21399
0,40555
0,16240
0,21393
0,40538
0,16217
0,21351
0,40376
0,16093
0,21103
0,38608
3,8816
3,8919
3,8931
0,15422
0,14632
0,10745
0,042114
0,16206
0,21362
0,38915
0,15428
0,20384
0,37567
0,11385
0,15455
0,30401
0,045244
0,066173
0,15491
1,5999
1,5997
1,5989
Анализ табл. 2 и её сравнение с табл. 1 приводит к следующим выводам.
Расчет в предположении непрерывности I и f дает точные значения прогиба от изгиба и прогиба от сдвига.
Использование ступенчатой линии приводит к сравнительно небольшим ошибкам в погибах от изгиба и к значительным – в прогибах от сдвига; при большой неравномерности (α=0,1) прогиб от сдвига находится по методу
Ритца с ошибкой в 3 и более раз. С достаточной для практики точностью длину балки можно разбивать на 20
участков (шпаций). Увеличение числа членов в ряду с 10 до 15 мало изменило результат.
Следовательно, расчет свободных колебаний корпуса судна с учетом сдвига по методу Рэлея-Ритца надо
вести по схеме непрерывного изменения жесткостных характеристик по длине судна; схема ступенчатой линии
здесь не пригодна. На каждом шпангоуте обычным порядком вычисляются моменты инерции I и площади f . Производные I′(x) могут быть вычислены по формулам
I 1'  ( 1,5 I 1  2 I 2  0 ,5 I 3 ) / c;
(15)
I j ' 0 ,5( I j 1  I j 1 ) / c; 2  j  n1 ;
(16)
I n11'  ( 0 ,5 I n11  2 I n1  1,5 I n11 ) / c ,
(17)
где c - шпация (длина участка). Формулы (15) – (17) получены в предположении, что на двух соседних
участках момент инерции I(x) меняется по закону параболы второй степени.
Список литературы
1. Трянин, И.И. Расчет свободных поперечных колебаний балки переменного сечения с распределенными и сосредоточенными массами при произвольных опорах / И.И.Трянин – Современные технологии в кораблестроительном и
энергетическом образовании, науке и производстве. Материалы Всероссийской научно-технической конференции. –
Н.Новгород: НГТУ, 2006. – с.434 – 439.
2. Давыдов , В.В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций / В.В.Давыдов, Н.В.Маттес. – Л: Судостроение, 1974. – 336 с.
3. Постнов, В.А. Вибрация корабля / В.А.Постнов, В.С.Калинин, Д.М.Ростовцев. – Л.: Судостроение, 1983. –
248 с.