126. Дана функция . Требуется: а) установить, является и значения аргумента 1,

Реклама
4x
и значения аргумента x1  1, x2  3 . Требуется: а) установить, является
x 1
ли функция непрерывной или разрывной при данных значениях аргумента; 2) найти односторонние
пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции.
126. Дана функция y 
Решение:
При x1  1 функция не определена.
Вычислим односторонние пределы:

 4x 
lim 
   
 x 1

  при x  1 функция имеет точку разрыва второго рода.
 4x 

lim 
   
x  1 0 x  1



x  1 0
y  3 
4  3 12

3
3 1 4
Вычислим односторонние пределы:

 4 x  4  3 12
lim 
  3

 x 1  3 1 4

 4x 
 4x 
 y  3  lim 
  xlim


  при x  3 функция непрерывна.
 3 0 x  1
x  3 0 x  1




 4 x  4  3 12

lim 
 3

x  3 0 x  1


 3 1 4

x  3 0
График функции y 
4x
:
x 1
146. Найти производные данных функций:
а) y 
4x 1
x 2  16 x  2
Решение:

  4 x  1 '
4x 1
y'  
' 
2
 x  16 x  2 





 4  0  

x 2  16 x  2 

 
x 2  16 x  2 

x  16 x  2
2

x 2  16 x  2 '  4 x  1

2
  x 2  16 x  2  '  4 x  1
1
2  x  16 x  2
x 2  16 x  2
1
4  x 2  16 x  2 
  2 x  16  0    4 x  1
2
2  x  16 x  2

x 2  16 x  2
1
4  x 2  16 x  2 
  8 x 2  64 x  2 x  16 
2
2  x  16 x  2

x 2  16 x  2
1
1


  4   x 2  16 x  2     8 x 2  62 x  16  
2
2

x  16 x  2 

2
x  16 x  2
4 x 2  64 x  8  4 x 2  31x  8
33 x

2
2
2
x  16 x  2   x  16 x  2 
x  16 x  2   x 2  16 x  2 
2


Ответ:
33x
y'  
x 2  16 x  2   x 2  16 x  2 

б) y  4
tg
 x

3
 x
Решение:



3
 tg x 

tg  x 
y'   4
 x  '  3 4
 x


 4
2
tg
 x
 
 x '  3 4


1
1 
tg  x 

 3 4
 x  4
 ln  4  
 x '


2 x
cos 2 x



2 
1
1
1 
tg  x 
tg  x 
 3 4
 x  4
 ln  4  




cos 2 x 2 x 2 x 


tg  x 

2 
4
 ln  4 
1 
tg  x 

 3 4
 x 

 2 x  cos 2 x
2 x


Ответ:

tg
 x






y '  3 4
tg
 x
2
 x
 
 
 
 

2
 4tg x   ln 4



1 



 2 x  cos 2 x
2 x


 
tg
 x
 x
   4 
2
tg
x

  x  ' 2 1 x  
 ln  4   tg
в) y  arcsin

1  4 x2

Решение:

y '  arcsin


1
1 1  4x
2
1  4x2

 ' 
1
2 1 4x
2
1
1

1  4 x2
  0  8x   


2
1
4x
2



1  4 x2 ' 
8x
2 1 4x
2
1
1  1  4 x
1

2 x
2

2


1
2 1 4x
8x
2 1 4x
2

2
3

2
 1  4 x 2  ' 
2x
x  1  4 x2
2
Ответ:
2x
y'  
x2  1  4x2
 3  x2 
г) y  ln  3 3

 x  9x 


Решение:
  3  x2 
y '  ln  3 3
 ' 
  x  9 x  

1
 3 x 
 3

 x  9x 
2
1
3
1
 
3
1
3
3  x2
x3  9 x
1


2
3


3

x

' 
  3
  x  9 x  


 3  x  '  x

2
1
 3 x 
 3

 x  9x 
2
2
3
3
1
3
3  x2
x3  9 x
1  3  x2 
  3

3  x  9x 
 9 x    x 3  9 x  '  3  x 2 
 x3  9 x 
2
 3  x2 
 3
' 
 x  9x 

2 x   x 3  9 x    3x 2  9    3  x 2  x 3  9 x 2 x 4  18 x 2   9 x 2  27  3 x 4  9 x 2 
1





2
2
2
3
3
3  x2
9

3
x
x

9
x
x

9
x




3 3
x  9x
2 x 4  18 x 2  9 x 2  27  3 x 4  9 x 2
x 4  27


 9  3x 2    x3  9 x 
 9  3x 2    x3  9 x 
Ответ:
x 4  27
y' 
 9  3x 2    x3  9 x 
д) y   x  sin  x  
x2
Решение:
Используем логарифмическую производную:
y'
ln  y   '   y '  y  ln  y  '
y

ln  y   ln  x  sin  x  
x2
  x  ln  x  sin  x 
2


1
  x  sin  x   '   x 2 
ln  y   '   x 2  ' ln  x  sin  x    ln  x  sin  x   ' x 2  2 x  ln  x  sin  x    
 x  sin  x 

 1  cos  x   2
 2 x  ln  x  sin  x    
  x
x

sin
x




 1  cos  x   2 
x2 
y '   x  sin  x     2 x  ln  x  sin  x    
  x 
 x  sin  x   

Ответ:


 






 1  cos  x   2 
x2 
y '   x  sin  x     2 x  ln  x  sin  x    
  x 
 x  sin  x   


166. Найти

dy
d2y
и
:
dx
dx 2
ex  x2  e y  0
Решение:
Дифференцируем обе части уравнения по x , считая, что y – функция от x :
e
x
 x2  e y  '   0 '
ex  2x  e y y '  0
e y y '  ex  2x
dy e x  2 x

dx
ey
Дифференцируем обе части уравнения e x  2 x  e y y '  0 по x , считая, что y – функция от x :
e
x
 2 x  e y y ' '   0  '
e x  2  e y y ' y ' e y y ''  0
e x  2  e y y ' y ' e y y ''  0
e x  2  e y  y '   e y y ''  0
2
e y y ''  e x  2  e y  y ' 
2
 ex  2x 
ex  2x 

x
e  2  e 

e 2
y
 e
 
ey

y
y
e
e
2
x
y
d 2 y e  2  e  y '

dx 2
ey
x
2
y
Ответ:
dy e x  2 x d 2 y

, 2 
dx
ey
dx
e
x
e
2
e
y
x
 2x
ey
2
2
1
206. Дано уравнение параболы y    x 2  3 и точки C  0; 2 , которая является центром
6
окружности. Радиус окружности R  5 . Требуется: а) найти точки пересечения параболы с
окружностью; 2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках ее пересечения с
окружностью; 3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках их пересечения. Сделать чертеж.
Решение:
Уравнение заданной окружности имеет вид  x  0    y  2   52  x 2   y  2   25 .
2
2
2
Найдем точки пересечения параболы с окружностью:
2
1

x     x 2  3  2   25
6

1
4
x 2    x 4  6 x 2  9     x 2  3  4  25
36
6
2
4
2
36 x  x  6 x  9  24   x 2  3  144  900
2
36 x 2  x 4  6 x 2  9  24 x 2  72  144  900
x 4  66 x 2  675  0
a  x2
a 2  66a  675  0
D  4356  2700  7056
66  84
9
2
66  84
66  84
a2 

0
2
2
x2  9
a1 
x  3
1
1
2
y1,2    3  3    9  3  2   3; 2  и  3; 2 
6
6


Составим уравнение касательной и нормали:
1
x
y '    2x  0 
6
3
В точке  3; 2  :
Касательная: y  y  x0   y '  x0    x  x0   y  2  1  x  3  y  2  x  3  y   x  1
Нормаль: y  y  x0  
1
1
  x  x0   y  2    x  3  y  2  x  3  y  x  5
y '  x0 
1
В точке  3;2 :
Касательная: y  y  x0   y '  x0    x  x0   y  2  1  x  3  y  2  x  3  y  x  1
Нормаль: y  y  x0  
1
1
  x  x0   y  2    x  3  y  2  x  3  y   x  5
y '  x0 
1
Для нахождения углов между кривыми, найдем уравнения касательных к окружности в точках ее
пересечения с параболой:
x2   y  2  25   y  2  25  x2  y  2   25  x 2  y  2  25  x 2
2
2
Нас интересует y  2  25  x 2
y'  0
2 x
2 25  x 2
y '  3   
y '  3  
x

25  x 2
3
25   3
3
25   3
2
2


3
3

25  9 4
3
3

4
25  9
В точке  3; 2  :
3
3
9
3
17
Касательная: y  y  x0   y '  x0    x  x0   y  2    x  3  y  2   x   y   x 
4
4
4
4
4
В точке  3;2 :
3
3
9
3
17
Касательная: y  y  x0   y '  x0    x  x0   y  2    x  3  y  2   x   y    x 
4
4
4
4
4
Острый угол между параболой и окружностью в точке  3; 2  есть острый угол между их
3
17
касательными y   x  1 и y   x  :
4
4
3
7

k k
4  4  7  7    arctg  7   81.87
tg    1 2 
1
1  k1  k2 1  1 3
4
4
1 
Острый угол между параболой и окружностью в точке  3;2 есть острый угол между их
3
17
касательными y  x  1 и y    x  :
4
4
3
7
k k
4  4  7  7    arctg  7   81.87
tg     1 2 
1
1  k1  k2 1  1 3
4
4
1
Рисунок:
226. Исследовать функцию и начертить ее график y 
8x
 x  2
2
.
Решение:
1) Область определения функции: x  2  0  D  y  :  ;2   2;  
2) Функция не определена при x  2 . Вычислим односторонние пределы:

 8x 

lim 



2
x 20 

x

2





  при x  2 функция имеет точку разрыва второго рода.
 8x 

lim 
   
2
x 20 


  x  2 
3) y   x  
8 x
  x  2
2

8x
 x  2
4)
2
  y  x   функция общего вида.


 8 x   8 x  '  x  2    x  2  ' 8 x 8   x  2 2  2   x  2   8 x 8   x  2   2  8 x 8 x  16  16 x
y'  




' 
4
4
3
3
  x  2 2 
 x  2
 x  2
 x  2
 x  2


8 x  16

3
 x  2
2
2
y '  0 при 8 x  16  0  8 x  16  x  2
y ' не определена при x  2
Функция возрастает, при x   2; 2 
Функция убывает, при x   ; 2   2;  
y  2  
8   2 
 2  2 
2

16
 4 
2

16
 1
16
Точка минимума:  2; 1
6)


8 x  16  '  x  2    x  2  ' 8 x  16  8   x  2 3  3   x  2 2  8 x  16 
 8 x  16 
 8 x  16 
y ''   


'  
'  
6
6
  x  2 3 
  x  2 3 
x

2
x

2








8   x  2   3   8 x  16 
8 x  16  24 x  48
16 x  64 16 x  64




4
4
4
4
 x  2
 x  2
 x  2
 x  2
3
y ''  0 при 16 x  64  0  16 x  64  x  4
y '' не определена при x  2
Кривая выпукла, при x   ; 4
Кривая вогнута, при x   4;2   2;  
y  4  
8   4 
 4  2 
2

32
 6 
2
8

Точка перегиба:  4;  
9


32
16
8
 
36
18
9
3
 8x 
7) Вертикальная асимптота x  2 , так как lim 
  
2
x 2 0 

x

2




Наклонные асимптоты:
 8x
2

x  2
 f  x 


k  lim 
  lim
x 
x
 x  x  






  lim  8   0
 x    x  2 2 




8


 8x 


8x
0


x
b  lim  f  x   kx   lim 
 lim 

0
  lim  2


2
x 
x  
 x  x  4 x  4  x
4 4  1 0  0
x

2





1  2
x x 

y  0 - наклонная асимптота выродилась в горизонтальную.
8) Точки пересечения графика функции с осями координат:
а) С осью Ox :
8x
 x  2
2
 0  x  0   0;0 
б) С осью Oy :
y  0 
80
 0  2
9) График:
2
 0  y  0   0;0 
Скачать