Примерный вариант решения заданий СТУДЕНЧЕСКОЙ ИНТЕРНЕТ-ОЛИМПИАДЫ 2014. 1 КУРС. 1. Пусть M n (R) – множество вещественных матриц n -го порядка. Укажите все значения n , при которых существует матрица A M n (R) такая, что A2 E , где E – единичная матрица. Решение. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц, то имеем: A 2 E 1n A 2 2 Следовательно, при нечетном значении n должно выполняться равенство A 1 , что невозможно, так как квадрат определителя матрицы A M n (R) – вещественное положительное число. Остается вариант n – четное число, тогда искомые матрицы существуют. В качестве примера можно рассмотреть матрицу, все элементы имеют вид: (1) i , если i j n 1, aij 0, если i j n 1. Тогда элемент сij матрицы A2 при i j имеет вид сii ai1 a1i ai 2 a2i ... ai ( n1i ) a( n1i )i ... ain ani 0 0 ... (1) i (1) n1i 0 ... 0 1, при i j имеет вид сij ai1 a1 j ... ai ( n1 j ) a( n1 j ) j ... ai ( n1i ) a( n1i ) j ... ain anj 0 ... 0 (1) n1 j ... (1) i 0 ... 0 0. 0, если i j, 1, если i j, Таким образом, сij 2 т.е. A E . Пример подобной матрицы 4-го порядка: 0 0 0 0 A 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2. Записать уравнение траектории материальной точки, которая в каждый момент времени вдвое ближе к прямой 5 x 3 y 7 0 , чем к точке A(3;1) . Решение. Обозначим материальную точку через M ( x; y) . Расстояние от точки M ( x; y) до прямой равно определяется по формуле 5x 3 y 7 34 . Расстояние от точки M ( x; y) до точки A(3;1) x 32 y 12 . По условию: 2 5x 3 y 7 34 x 32 y 12 . Преобразуем полученное уравнение: 2 25 x 2 9 y 2 49 30 xy 70 x 42 y x 2 6 x 9 y 2 2 y 1 ; 17 33 x 2 60 xy y 2 38 x 50 y 81 0 . Поскольку 33 1 30 2 0 , то траектория точки представляет собой гиперболу. 3. Функция f (x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки 5 f ( x) log 7 x 1 x 7, f (7) 0. Найти lim . x 7 f (7) Решение. f ( x) log 7 x 1 f ( x ) f (7 ) lim 1 lim 1 x 7 f (7 ) x 7 f ( 7 ) 5 f (7) f ( x ) f (7) f ( x ) f (7) 5 ln 7 f (7) x 7 ln 1 7 35 ln 7 f ( x) f (7) 35 ln 7 f ( x ) f (7 ) exp lim lim exp x 7 x 7 f ( 7 ) x 7 f ( 7 ) x 7 35 ln 7 exp f (7) f (7 ) 4. Дан треугольник ABC. На прямой AC найти такую точку M, чтобы сумма радиусов окружностей, описанных вокруг треугольников AMB и CBM, была наименьшей. Решение. Пусть точка M лежит на прямой AC . Обозначим величину угла BMA через , тогда угол BMC равен . Пусть радиус описанной около треугольника BMA окружности равен R A , а радиус окружности, описанной около треугольника BMC , равен RC . По теореме синусов: RA AB BC BC , RC . 2 sin 2 sin 2 sin Введем функцию аргумента , 0; , значение которой равно сумме радиусов R A и RC , и найдем точку ее минимума: f ( ) AB BC AB BC 1 1 c . 2 sin 2 sin 2 sin sin f ( ) c 1 cos sin 2 f ( ) 0 Следовательно, точка M на AC . 2 – основание перпендикуляра, опущенного из вершины B 5. Найти наименьшее значение a, при котором сумма 204 n a 199 n делится на 2015 при всех нечетных n. Решение. Число 2015 можно разложить на множители 5 и 403. Сумма 204 n a 199 n будет делиться на 2015, если она будет делиться на 5 и на 403. Преобразуем исходную сумму: 204 n a 199 n 199 5n a 199 n 5k 199 n a 199 n 5k (a 1) 199 n . Поскольку 5 и 199 взаимно простые числа, то исходная сумма будет делиться на 5, если a 1 будет кратно 5, т.е. a 5 p 1. С другой стороны, 204 n a 199 n 403 199 n a 199 n 403t 199 n a 199 n 403t (a 1) 199 n . Таким образом, поскольку 403 и 199 взаимно простые числа, исходная сумма будет делиться на 403, если a 1 будет кратно 403, т.е. a 403s 1 . Равенство 5 p 1 403s 1 возможно при наименьшем значении s 1. Таким образом, наименьшее значение a , при котором сумма 204 n a 199 n делится на 2015, равно 404. 6. Функция f (x) непрерывна на отрезке [0;1] и дифференцируема в промежутке (0;1) . Известно, что функция f (x) удовлетворяет условию 8 f ( x 5 ) f 2 ( x 7 ) 16 . Докажите, что на (0;1) существует точка c такая, что f (c) 0 . Решение. При x 0 неравенство 8 f ( x 5 ) f 2 ( x 7 ) 16 примет вид 8 f (0) f 2 (0) 16 f (0) 42 0 f (0) 4. Аналогично, при x 1 неравенство 8 f ( x 5 ) f 2 ( x 7 ) 16 примет вид 8 f (1) f 2 (1) 16 f (1) 42 0 f (1) 4. Т.е. на отрезке для функции выполнены условия теоремы Ролля, следовательно, В интервале (0;1) существует точка c такая, что f (c) 0 . 7. Найти расстояние между графиками y 1 log 5 x и y 52014 x . 2014 Решение. Поскольку функции взаимно обратны, то их графики симметричны относительно прямой y x . Следовательно, расстояние между графиками равно удвоенному расстоянию от одного из графиков, например, y 52014 x , до прямой y x . Найдем на графике функции y 52014 x точку x0 , расстояние от которой до прямой y x минимально. Это та точка, касательная в которой параллельна прямой y x , т.е. угловой коэффициент касательной равен 1: k 1 y( x0 ) 1 . Получаем уравнение относительно x0 1 2014 ln 5 5 2014 x0 1 ln 2014 ln 5 1 . x0 ln 2014 ln 5, y ( x0 ) 5 2014 2014 Расстояние от найденной точки до прямой x y 0 равно 1 1 ln 2014 ln 5 ln 2014 ln 5 1 1 2 1 , 2014 2014 ln 2014 ln 5 5 ln 2014 ln 5 5 2 2014 2 2014 расстояние между графиками функций равно 1 1 ln 2014 ln 5 . 2 ln 2014 ln 5 5 2014 2014