Определенный инт-14

Тема : Определенный интеграл - приложения
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
доцент кафедры
Высшей математики и математической физики ТПУ
Приложения определенного интеграла
Вычисление площадей
Y
y  f 2 ( x)
b
y  f1( x)
b X
a
Y
   ( )
S   ( f 2 ( x )  f1 ( x ))dx
a
2
1
S    2 ( )d
2 1
2
1
X
Вычисление площадей плоских фигур
b
S =  y ( x) dx
a
d
S =  x( y ) dy
c
b
S = [ y2 ( x)  y1 ( x)] dx
a
d
S = [ x2 ( y )  x1 ( y )] dy
c
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
xy = 2,
Строим фигуру.
y = 2 x,
y = 3.
Для решения задачи воспользуемся формулой
d
S = [ x2 ( y )  x1 ( y )] dy.
где
ñ
x1 ( y ) = 2/y, x2 ( y ) = y/2,
Значение
d = 3 определилось по построению
Значение c = 2 получим, решая систему
xy = 2, y = 2 x 
Искомая площадь
y
S =  
2 2
3
y
x ,
2
y2
 2,
2
y 2  4,
y  2
 y2
3 9 4
2
5
3
 dy =   2 ln y  |2 =   2(ln 3  ln 2)   2 ln .
y
4 4
4
2
 4

Рассмотрим вычисление площади фигуры, границы которой
заданы параметрически
x = x(t )

L: 
,
 y = y(t )
В таких случаях в интеграле для вычисления площади
делается замена переменной
t2
b
Формула
S =  y ( x) dx
a
принимает вид
S =  y (t ) x(t ) dt
t1
Таким образом , под знак интеграла подставляем выражение для y ,
'
находим дифференциал второй функции dx = x (t )dt , а также
необходимо знать пределы изменения переменной t.
 4. Найти площадь петли кривой
x = t 2  1,
y = t 3  t.
Строим кривую по таблице значений.
t
x
y
t
2 3 6
1 0 0
x
y
0 1 0
1 0 0
t
x
y
2 3 6
t2
При вычислении площади используем
симметрию области
Изменению x от  1 до 0
соответствует изменение параметра
1
1
t
S = 2  y (t ) xt dt.
t1
от
0
до
1
1 1 8
S=2  (t 3t )  (t 21) dt=2  (t 3t )  2t dt=4  (t 4t 2 ) dt= 4  = .
 5 3  15
0
0
1
0
Вычисление объемов тел ващения
Вращение вокруг оси OX
b
b
Vox = [ y2 2( x)  y1 2( x)] dx
Vox =   y 2 ( x) dx
a
a
 x = x(t )

 y = y(t )
t2
Vox =   y 2 (t ) x(t ) dt
t1
1. Найти объем тела вращения вокруг оси OX
фигуры, ограниченной линиями
y = 2 x,
y = 1, x = 0.
Для нахождения объема воспользуемся
формулой
b
Vox = [ y2 2( x)  y1 2( x)] dx.
a
В нашем случае
y2 ( x) = 1, y1 ( x) = 2 x .
Находим пределы интегрирования из условия
2 x = 1,  x = 1/4.
Тогда
1/4
1/4
Vox =   [1  (2 x ) ] dx =   (1  4 x) dx =
0
2
2
0
( x  2 x 2 ) |1/4
0 =

.
8
Вращение вокруг оси OY
d
Voy =   x 2 ( y ) dy
c
b
Voy = 2 x  y ( x) dx
a
d
Voy =  [ x2 2( y )  x1 2( y )] dy
c
2. Найти объем тела вращения вокруг оси OY
2
y
=
x
,
фигуры, ограниченной линиями
y = x.
Для нахождения объема воспользуемся
формулой
d
Voy =  [ x2 2( y )  x1 2( y )] dy.
c
x2 2( y ) = y, x1 ( y ) = y, x1 2( y ) = y 2 ,
Пределы интегрирования находим из равенства x 2 = x  x1 = 0, x2 = 1
y1 = c = 0, y2 = d = 1.
2
3

y
y
 1 1 
2
1


Voy =  ( y  y ) dy =    |0 =    = .
3
 2 3 6
0
 2
1
4. Найти объем тела вращения вокруг оси OY
фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = 0, 0  x  .
При нахождении объема тела
вращения по формуле
d
Voy =   x 2 ( y ) dy
c
придется решать интеграл
2
Воспользуемся формулой V

oy
= 2 x  y ( x) dx
Voy = 2 x  sin x dx =
 arcsin
b
a
y dy,
что не очень просто
0
 x  cos x |0  sin x |0 =   cos( ) =   (1) =  .
Интеграл решали по частям:
u  x,
dv  sin x  dx
du  dx
v   cos x
Приложения определенного интеграла
Вычисление длин кривых
b
L : y  f ( x), a  x  b
l

1   f ' ( x)  dx
2
a

L :    ( ),     
l

 ( )   ' ( ) d
2
2

 x  x(t )
L: 
, t1  t  t2
 y  y (t )
t2
l

t1
x' (t )   y' (t ) dt
2
2
 x = 2 cos3 t ,
Найти длину части астроиды 
от значения t1 = 0 до t2 = /2.
3
 y = 2 sin t
Кривая задана параметрически, поэтому
длину дуги вычисляем по формуле
t2
L=

xt2  yt2 dt.
t
1
Причем параметр t
должен меняться от меньшего значения к большему
Предварительно находим
xt = 6 cos2 t sin t ,
yt = 6 sin 2 t cost ,
xt2  yt2 = 36 cos 4 t sin 2 t  36 sin 4 t cos 2 t = 36 sin 2 t cos 2 (cos 2 t  sin 2 t ) =
= 36 sin 2 t cos 2 t = 9 sin 2 2t.
xt2  yt2 = 9 sin 2 2t = 3 sin 2t .
Так как
cos t и sin t положительны в первой четверти, получим
/2
L=3  sin 2t dt=
0
3
3
3
cos 2t |0/2 =  cos cos0  =   11=3.
2
2
2
Вычисление длин кривых
4. Вычислить длину дуги кривой:
y  ln sin x ,  / 3  x  2 / 3
b
l

1   y ' ( x)  dx
2
a
2 / 3
l

1
y ' ( x) 
( cos x)   ctg x
sin x
2 / 3
1  ctg x  dx 
2
 /3

 /3
2 / 3
1
 dx 
sin x
2 / 3
dx

sin x
 /3

x
 lntg
 lntg(  / 3)  lntg(  / 6)  2 ln 3
2  /3
Несобственный интеграл I рода

b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx
b  
a
a
b
b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx
a   

a
3. Вычислить несобственные интегралы или доказать их
расходимость:

dx
dx
d ( x  2)
1)  2
 lim  2
 lim 

2
x  4 x  5 b    0 x  4 x  5 b    0 ( x  2)  1
0
b
b

 lim arctg( x  2) 0  lim arctg( b  2)  arctg 2   arctg 2
b   
b   
2
b

2)

0
b
1 d ( x 2  4)
2
 lim 
 lim x  4  
2
2
0
x  4 b 2 0 x  4 b
xdx
b
Несобственный интеграл II рода
b 
b
lim f ( x )  
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx
x  b
  0
a
b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx
lim f ( x )  
x a
2
1)

1
3
dx
 lim
2  x    0
a
b
  0
a
2 

1
3
a
2 
dx
33
2
  lim
(2  x )

   0 2
1
2 x
3
3
3 2
  ( lim   1) 
2    0
2
dx
d ln x
1
1
1
2) 
 lim  2  lim

 lim

2




0




0




0
x ln x
ln x
ln x 1
ln 2
ln( 1   )
1
1
2
2
2
Исследование на сходимость
1
1)

0
1
dx
3
1 x4
3
1 x4
1
1

3
1
(1  x)(1  x)(1  x 2 )
dx
33
3
2
  (1  x) 
3
2
2
1 x
0
0


(2 x  3)dx
2)
2
3
x
 7x 1
1


dx

 ln x 1  
x
1

x  1
~
3
1
4(1  x)
Сходится, следовательно,
и исходный интеграл
сходится
2 x  3 x   2 x 2 1
~
 
2
2
3x  7 x  1
3x 3 x
Расходится, следовательно, и
исходный интеграл расходится