Определенный интеграл

Тема 10
1.
2.
3.
4.
5.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определенный интеграл.
Свойства определенного интеграла.
Основная формула интегрального исчисления (формула НьютонаЛейбница).
Примеры использования определенного интеграла при вычислении
длины дуги, площади и объема.
Несобственные интегралы.
Определенный интеграл
Пусть функция y f x  задана на некотором отрезке a,b. Разобьем
этот промежуток на части, вставив между точками a и b точки деления
a x0  x1  x2  xi 1  xi  xn b .
Возьмем в каждом промежуточном отрезке xi 1, xi  по произвольной точке
i xi 1 i  xi  и составим сумму
Sn   f i xi ,
xi  xi  xi 1 .
n
i 1
Такая сумма называется интегральной. Она дает приближенное значение
площади криволинейной трапеции под линией, задаваемой уравнением
y f x , при условии, что на заданном отрезке f x 0 .
f x  в
Определение. Определенным интегралом
функции
промежутке от a до b (обозначается  f x dx ) называется предел
b
a
 f xdx  lim
b
a
 f i xi ,
n
max xi 0 i 1
если он существует, конечен и не зависит от выбора точек i .
Точки a и b называются пределами интегрирования.
Если конечный предел интегральной суммы существует, то функция
f x  называется интегрируемой на отрезке a,b.
Теорема. Если функция непрерывна на данном отрезке, то она
интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла
Из определения определенного интеграла вытекают следующие
свойства.
81
1.  f xdx   f xdx .
b
a
a
b
b
2.   f xdx   f xdx .
b
a
b
a
3.   f x g xdx   f xdx   g xdx .
a
b
b
a
a
4. Всякая интегрируемая функция ограничена.
5. Если интегрируемые на отрезке a,b функции удовлетворяют
неравенству f x g x , то  f xdx  g xdx .
b
b
a
a
6. Если функция интегрируема на отрезках a,с  и с,b , то
b
с
b
a
b
с
 f xdx   f xdx   f xdx .
7. Если функция f x  непрерывна на отрезке a,b, а p x  сохраняет
постоянный знак, то
 f x pxdx  f c pxdx,
b
b
a
a
acb - теорема о среднем.
В частном случае, если px 1
 f xdx  f cba,
b
acb.
a
Величина f с  называется средним значением функции f x  на
отрезке a,b. Смысл этого понятия становится ясным, если мы заменим,
приближенно, определенный интеграл интегральной суммой с
одинаковым шагом разбиения x 
ba
. Тогда
n
ba
 f xdx   f xi x   hi
b
n
n
a
i 1
i 1
n
и по теореме о среднем
ba
 f  c  b  a  
n
h1  h2  hn
.
n
i 1
Пример 1. Найти среднее значение хорды d окружности диаметра
n
 hi
f  c  
D.
Рассмотрим окружность и свяжем с ней систему координат, как
указано на рисунке
82
По теореме о среднем
y
d
y f x
x
O
D
 D2
1D  
  f x dx , но  f xdx 
.
8
2 D0
0
d ср
Откуда d cр 

4
D.
Обратная задача возникает, в частности, при определении диаметра
одинаковых частиц сферической формы, распределенных случайным
образом в твердом теле по измерению их случайных диаметров в
плоскости сечения. Строгое понятие случайной величины дается в теории
вероятностей.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Пусть функция f x  интегрируема на отрезке a,b. Интеграл с
переменным верхним пределом
S x  f xdx
x
a
является функцией от x . Иллюстрацией этой функции может служить
переменная площадь13
криволинейной трапеции, изображенная на
рисунке
y
y  f x
S x 
x
O a
x
b
Функция S x  обладает следующими свойствами:
1.
Если функция f x  интегрируема на отрезке a,b, то S x 
будет непрерывной функцией на этом отрезке.
2.
Если функция f x  интегрируема на отрезке a,b и
непрерывна в точке xa,b, то в этой точке функция S x 
имеет производную S x  f x .
_______________________
13
В своей знаменитой книге «Математические начала натуральной
философии» (1687)
Исаак Ньютон писал: «Площадь кривой есть
непрестанно рождающееся количество, увеличивающееся непрерывной
флюксией (т.е. производной), пропорциональной ординате кривой».
83
Т.е. для непрерывной на отрезке a,b функции f x  всегда
существует первообразная, которая может быть записана как интеграл с
переменным верхним пределом.
Основная формула интегрального исчисления
(Формула Ньютона-Лейбница)
Используя, общепринятое обозначение для первообразной
имеем:
S x F xC .
или
F x,
 f xdx  F xC .
x
a
Постоянная C находится подстановкой на верхнем пределе значения
xa . Тогда
0  f xdx  F aC  C F a
a
a
и
 f xdx  F x F a.
x
a
Это позволяет получить основную формулу интегрального
исчисления (формулу Ньютона-Лейбница) устанавливающую связь
неопределенного
и определенного интегралов и дающую один из
способов его вычисления.
 f xdx  F b F a.
b
a
1
1
dx .
2
0 1 x
Пример 2. Вычислить интеграл 
По формуле Ньютон-Лейбница
1





.
dx

F
1

F
0

arctg
1

arctg
0

2
4
1

x
0
1

Этот результат приводит к одной из красивейших математических
формул, открытой в 18 веке, – знакопеременному ряду Лейбница,
позволяющему вычислить число  .
Для этого воспользуемся формулой суммы геометрической
прогрессии
84
n
1q n
1
2
n 1 q
или 1 q  q  q 
.
1 q  q  q 

1q
1q 1 q
Подставим в последнее тождество q  x 2 . Тогда
1
n 1 2n  2
2
4
6



1

x

x

x




1
x
 Rn x,
2
1 x
n 1
2
x 2n
где Rn x 1
- остаточный член.
1 x 2
n
Интегрируя
1
m
 x dx 
0
полученное
равенство
от
0
до
1, с учетом
1
находим
m1
1 1
1

1 1 1
n 1 1
dx  1    1
  Rn xdx .

2
4
3 5 7
2n1 0
0 1 x
Можно показать, что интеграл в правой части стремится к нулю при
n , что и доказывает справедливость представления числа
Лейбница

рядом
4

1 1 1 1 1
1     .
4
3 5 7 9 11
Пример 3.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y ln x и прямыми
x  , x  2, y  0.
y
y  ln x
x
O
e2
e
2
dx
 2
2
u ln x du 
2
2
2
S   ln xdx
x  x ln x   dx 2     

 
dv  dx v  x
85
Пример 4.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y  x 2  2x и
прямой y x  2 .
y
y  x2
y  x 2  2x
x
2
1
S 
2
O
x3 x 2
2


 x  2  x  2 x dx  



3 2
1
1 1
8
9
 2 x     2  2 4
3 2
3
2
2
Примеры использования определенного интеграла
при вычислении длины дуги, площади поверхности и объема тел
вращения
Пусть дуга, задана функцией y  f  x  на отрезке a,b. Тогда ее
 
длина L находится как предел интегральной суммы
L
lim
n
 li ,
max li 0 i 1
li  xi  yi  - элементарная хорда, соединяющая точки xi 1, yi 1 
и xi , yi , x0 a , xn  b .
2
2
Откуда
2
 y 
L  lim  1 i  xi .
 x 
max xi  0 i 1
 i
n
Или
L   1 y2 dx .
b
a
86
При параметрическом способе задания дуги уравнениями
x  xt ,
t1  t  t2 .

 y  yt ;
t2
xt 2  yt 2 dt .
L 
t1
Пример 5.
Найти длину дуги кривой y  3 x x между точками ее
1
3
пересечения с осью Ox .
Находим точки пересечения с осью Ox : x1 0,
L   1 
x2
x1
3

0


3
2
y dx   1 

0



3  
2
 1
dx   1 
2 x

0
1 
x  x 2 
3 
3



 

x  2 x 1
dx  
4x
02 x
3
1 1  1 
   x  dx 
2 4  x 
0
x2 3 .
3 1 x
2
2
1 
 x  dx 
2 
13
1
dx   2 x 2
2
3
1 2
  x2 
2 3
0
 3  3  2 3.
Пример 6.
Найти длину петли кривой x a t 2 1,


y
a 3 
 t 3t 

3
a0
В точках t1   3 и t2  3 петля замыкается.
L   xt   yt  dt  
t2
2
3
2
2at 
2
 3
t1
3
 a   t 2 1dt
 3
3
 3

t

 a  t 
 3


 3
  at 2  a 
2
3
dt   a 2t 4  2a 2t 2  a 2 dt 
 3
 2a 3  3 .  4a 3.


Площадь поверхности, получаемой вращением дуги, заданной
функцией y  f x , x  a,b , вокруг оси Ox , находится как предел
интегральной суммы

 
Sx 
lim
 2 f i li ,
n
max li 0 i 1
87
li 
xi 2 yi 2
- элементарная хорда дуги, i 
xi 1  xi
, x0 a ,
2
xn  b , 2 f i l - площадь поверхности элементарного усеченного
i
конуса с радиусами оснований f xi 1  и f xi  и образующей li .
Или
Sx 
 2 f i
n
lim
max xi  0 i 1

2
 y 
1 i  xi .
 x 
 i
Откуда
S x  2  y 1 y dx .
b
2
a
При параметрическом способе задания
t2
S x  2  yt  xt 2  yt 2 dt .
t1
Площадь поверхности, получаемой вращением дуги, заданной
функцией y  f x , x  a,b , вокруг оси Oy , находится как предел
интегральной суммы

 
Sy 
li 
xi 2 yi 2
n
 2 i li ,
lim
max li 0 i 1
- элемент дуги, i 
Или
xi 1  xi
, x0 a , xn  b .
2
2
 y 
S y  lim  2 i 1 i  xi .
 x 
max xi  0 i 1
 i
n
Откуда
b
2
S y  2  x 1 y dx .
a
При параметрическом способе задания
t2
S y   xt  xt 2  yt 2 dt .
t1
88
Пример 7.
Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой
9ay 2  x3a  x2 вокруг оси Oy .
S y 22  x 1 y dx,
3a
2
0
y
3a  x
x
3 a
1  a
x 
y  
 

2 x
a 
,
3a
x  a
1  a
x 
2 3a x  a
S y  4  x 1   2  dx  4  x
dx 
dx 
 x
4 x
a
4 xa
x
a0
0
0
2
3a

2
a
3
1
5
3  3a

3
a

2
2  2 2 2 2 
2
2
 x dx 
 ax dx   x  ax  
3
a
a  5

0
0
0
3a

9
 56
2
2  2 2


2

3a  a3a 3a   4 3a  1   a 2 3.
 9a

5

3
5
a  5



Пример 8.
Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки
циклоиды xat sin t , y a1cos t  вокруг ее оси симметрии.
Ось симметрии первой арки циклоиды x 
осям
2 a
. Перейдем к новым
2
x1  x a , y1  y
и найдем поверхность, образованную вращением вокруг оси Oy1 .
2
S y   2  x1 t  x1 t 2  y1 t 2 dt 

2
 2  at  a sin t  a  a 2 1cos t 2  a 2 sin 2 t dt 

2
2
t
2  t sin t   1cos t dt  4 a  t sin t  sin dt 
2


2
2
2
t
t
t
2
2
2t
2 2
 4 a  t sin dt 8 a  cos  sin dt  4 a  sin dt 
2
2
2
2



 2 a
2
2
89
t
sin
2
t
2
 4 a 2  t sin dt 16 a 2
3
2

2
3
2
t
 8 2 a 2 cos

2

2
2

t
t
t 
2 1
2 2
2
 4 a  t sin dt 16 a  8 a  4 a   2t cos  4 sin  
2
3
2
2 


1
1
16 a 2  8 2 a 2 16 2 a 2 16 a 2 16 a 2  8 2 a 2 
3
3
32
8
8 2 a 2   a 2   a 2 3  4.
3
3
2
Объем тела, получаемого вращением дуги, заданной функцией
y  f x , x  a,b , вокруг оси Ox , находится как предел интегральной
суммы

Vx 
 
lim
  f i
n
max xi 0 i 1
2 xi ,
xi 1  i  xi , x0 a , xn  b ,
  f i 2 xi - объем элементарного цилиндра радиуса f i

и высотой
xi .
Или
Vx 
  f i  xi .
n
lim
2
max xi 0 i 1
Откуда
b
V x    y 2 dx .
a
При параметрическом способе задания
t2
V x    yt 2 xtdt .
t1
Пример.
………………………………….
Объем тела, получаемого вращением дуги, заданной монотонной
функцией y  f x , x  a,b , вокруг оси Oy , находится как предел
интегральной суммы

 
Vy 
n
2
 i yi ,
lim
max yi 0 i 1
90
yi  f xi  f xi 1 , xi 1  i  xi , x0 a , xn  b .
Или
Vy 
n
  i
lim
2
max xi  0 i 1
yi
xi ,
xi
откуда
f b 
V y    x y dx или V y    x y 2 dy .
b
2
f a 
a
При параметрическом способе задания
y
V y    xt 2 t dt .
xt
t1
t2
Пример.
………………………………….
Несобственные интегралы
Пусть функция f x  определена в промежутке a,  и интегрируема
в любой конечной его части a, A . Т.е.
интеграл  f x dx существует при
A
a
любом Aa .
Определение. Предел lim  f x dx конечный (или бесконечный)
A 
A
a
называется несобственным интегралом и обозначается

 f xdx .
a
Если предел бесконечный или не существует, то говорят, что
интеграл расходится.
Аналогично определяются несобственные интегралы
 f xdx
b
и


 f xdx .

Пример.
………………………………………………………………………
91
Пусть функция f x  определена во всех точках промежутка a,b за
исключением одной его точки xc и интегрируема в промежутках a,c  и
c,b. Т.е. существуют интегралы
Определение.
 с 
lim   f
 0 a
xdx
с 
b
a
c 
 f x dx ,  f xdx при любом  0 .
Конечный

x dx 


 f
b
c 

или
называется
бесконечный
несобственным интегралом и
обозначается
 f xdx .
b
a
Пример.
………………………………………………………………………
92
предел