Санкт-Петербургское государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
Санкт-Петербургское государственное бюджетное
образовательное учреждение среднего профессионального образования
«Промышленно-экономический колледж»
Заочное отделение
Специальность: "080114 Экономика и
бухгалтерский учет (по отраслям) "
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
по дисциплине
Математика
студента группы
32201
зачетная книжка № 13-2-006
ФИО студента
Дюсембекова Валерия Вячеславовна
Адрес
г. Санкт-Петербург, Трамвайный проспект 21, корп. 3, кв. 3.
E-mail:
[email protected]
телефон:
8(921) 890-74-35
ВАРИАНТ 6
1. Вычислить пределы функций:
1. lim
x  2
х6 2 х3
х 2  2х
2x  6x 3  5
2. lim
x  3 х 2  x 3  2
sin 3x  sin x
3. lim
x 0
2x 2
 x  5
4. lim 

x 
 x 
x
Решение
1)
2)
3)
4)
2. Построить график функции, определив вид точек разрыва:

2
 ( х  3) при х  2

f ( x)   х  1 при  2  х  1

х2
при х  1

1 х

Решение
Исследуем поведение функции в точках -2 и 1
Т.к. односторонние пределы в данной точке равны
между собой и равны значению функции в этой
точке, то в точке
функция непрерывна.
Т.к. один из односторонних пределов в данной точке равен бесконечности,
то в точке
– неустранимый разрыв 2-го рода.
3. Найти производные функций:
5
 83 х 2
2
х
x 1
1) f ( x)  6 x 4 
4) f ( x)  tg
2) f ( x)  5 
4 cos 2 x
1  3 sin 2 x
3) f ( x)  ln x  2 x  3 ln x 
x
Решение
1)
2)
3)
4)
 3x  y  4 z  13

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера 2 x  3 y  3z  25
 5x  2 y  2 z  4

Решение
Определитель системы:
Определитель системы отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.
Вычисляем определители:
Тогда:
Ответ:
5. Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и
построить график функции f(x)= x3 + 6x2 – 12.
1.Найдем область определения данной функции:
, т.е областью определения является любое действительное
число.
2)Исследуем функцию на четность/нечетность, периодичность
, т.е. функция ни четная ни
нечетная, непериодическая.
3)Функция непрерывна на всей области определения, точек разрыва нет.
4)Найдем точки пересечения с осями координат
С осью OY: x=0, y=-12. Получили точку А(0;-12)
С осью OX: y=0 ,
.
5)Найдем промежутки возрастания, убывания функции, для этого найдем производную
функции.
.
.
+
возрастает
-4
0
20
Точка
максимума
убывает
0
0
-12
Точка
минимума
+
возрастает
Функция возрастает на каждом из промежутков ()и
Функция убывает на промежутке (-4 )
(0;-12) – точка минимума
(-4;20) – точка максимума
6)Найдем промежутки выпуклости, вогнутости функции, точки перегиба.
– критическая точка 2 рода
На промежутке (-
)
, значит функция выпуклая на нем,
.
Точка (-2;4 ) – точка перегиба
7)Асимптот функция не имеет:
Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва функции.
Наклонных асимптот нет, т.к.
6. Найти интегралы:

2
2
5
dx


1)   x 3  3  2 х dx; 2) 
; 3)  2 sin x  sin 2 xdx
2х
2 х 2  3 ln x


0
7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y + 2х - x2 =2,
x - у + 2=0. Сделать чертёж.
Решение
Построим графики заданных функций:
Вершина параболы в точке (1;1)
Заштрихованная область D сверху ограничена прямой
, а снизу – параболой
.
Площадь искомой области D найдем как разность
площадей криволинейных
трапеций.
Таким образом,
-нижний и верхний пределы
интегрирования данных функций соответственно.
Ответ:
8. Найти сумму, разность, произведение и частное от деления комплексных чисел Z1 и
Z2;изобразить заданные числа на координатной плоскости
Z1=5-3i, Z2= 2+5i
Im z
Z2
Re z
Z1
9. Найти вероятность случайного события в задаче.
Имеется 8 карандашей, среди которых 5 синих и 3 красных. Наугад извлекают 4
карандаша. Найти вероятность того, что среди извлеченных карандашей 3 синих.
Решение
Пусть событие А заключается в том, что среди извлеченных 4-х карандашей 3
синих.
Вероятность события А найдем по формуле
Количество всевозможных исходов извлечь из 8 имеющихся карандашей любые 4
равно сочетанию из 8 по 4.
Количество благоприятных исходов событию А заключается в извлечении 3 синих
карандашей из 5, и 1 красного из 3, т.е.
Получим
Ответ:
10. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить
функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции
распределения.
xi
yi
Решение
-3
0,2
-1
0,4
2
0,3
5
0,1
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = (-3)*0.2 + (-1)*0.4 + 2*0.3 + 5*0.1 =-0,6-0,4+0,6+0,5= 0.1
Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi - M[x]2.
Дисперсия D[X].
D[X] = 32*0.2 + 12*0.4 + 22*0.3 + 52*0.1 - 0.12 =1,8+0,4+1,2+2,5-0,01= 5,9-0,01=5.89
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ(x) = D[X] = 5.89 = 2.43
Функция распределения F(x)
График распределения:
1
0,9
1
0,6
0,5
0,2
-3
-1
2
5
Многоугольник распределения:
1
0,4
0,3
0,2
0,1
-3
-1
2
5
1. Литература: МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по выполнению домашней
контрольной работы по дисциплине «МАТЕМАТИКА», Лисичкин В. Т. Математика :
учебник/ Рек. Мин. образования РФ. -М: Высшая школа, 2003. -477 с.
2. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник : рекомендовано
Мин.образования/ ред. Ермаков В. И.. -М, 2004. -656 с.