279.3.АЭП1

Вариант 3
Металлический цилиндр расположен в проводящей среде между двумя
металлическими стенками, образующими угол 60 .
2R
a
A
Дано: 0  180 B, a  80 cм, R  3 cм,   0,5  Ом  см  .
1
Задание:
1. Рассчитать проводимость между цилиндром и стенками на единицу
длины.
2. Построить график изменения потенциала вдоль биссектрисы угла, если
потенциал провода относительно стенок равен 0 .
3. Рассчитать и построить вектор напряженности электрического поля в
точке A .
Решение.
1) Проводимость между цилиндром и стенками на единицу длины.
Для решения задачи воспользуемся аналогией между полем в проводящей
среде и электростатическим полем и применим
метод зеркальных
изображений, найдем положение дополнительных зарядов.
Так
как
R
a,
то
смещением
электрической
оси
цилиндра
от
геометрической оси пренебрегаем.
1
2R
a
M
N
Найдем разность потенциалов между стенками и шаром
U  M   N 

a  a  2a

2a
ln
0
ln
.
2 0 R0  3a  3a
2 0 3R0
Емкость провода на единицу длины относительно стенок
C

U

2 0
,
2a
ln
3R0
заменив  0   , получим проводимость между цилиндром и стенками на
единицу длины
G
2
,
2a
ln
3R0
2  0,5  102
1
1
G
 109,16  Ом  м   1,092  Ом  см  .
2  80
ln
33
2
2) График изменения потенциала вдоль биссектрисы угла, если потенциал
провода относительно стенок равен 0 .
Проведем ось координат Ox и найдем потенциал во всех точках, лежащих на
этой оси.
2
2R
-I
x
a
I
1
3
I
0
4
-I
-I
6
I
5
а) x   ;0  .
  0.
б) x  0; a  R0  .

I
2
ln
a 2  x 2  ax   a  x   a 2  x 2  ax
a  x 
a 2  x 2  ax  a 2  x 2  ax
 a  x    a 2  x 2  ax 

ln
.
2  a  x    a 2  x 2  ax 
I
в) x   a  R0 ; a  R0  .
  0 .
в) x   a  R0 ;   .

I
2
ln
a 2  x 2  ax   x  a   a 2  x 2  ax
 x  a 
a 2  x 2  ax  a 2  x 2  ax
 x  a    a 2  x 2  ax 

ln
.
2  x  a    a 2  x 2  ax 
I
3
Таким образом,


0, x   ; 0  ;

  x   0, x   a  R0 ; a  R0  ;

 x  a   a 2  x 2  ax
 I
ln
, x   0; a  R0    a  R0 ;   .

2
2
2

x

a

a

x

ax





Ток между цилиндром и стенками на единицу длины
I  G0  109,16  180  1,965  104
A
.
м
Построим график функции   x  :


0, x   ; 0  ;

  x   180, x   0,77;0,83

 x  0,8  0,64  x 2  0,8 x

, x   0; 0,77    0,83;   .
62,544  ln
2
x

0,8

0,64

x

0,8
x





4
3) Вектор напряженности электрического поля в точке A .
y
2
2R
-I
a
I
1
I
3
E5
E2
0
E4
4
-I
A
E1
6
I
E6
E3
x
-I
5
Согласно принципу суперпозиции
E   Ei , i  1,6 .
Проведем оси координат Oxy , в проекции на эти оси имеем
Ex   Eix , Ey   Eiy , E  Ex2  E y2 .
В точке A
Ex  0 (в силу симметрии),
также в силу симметрии


I 
1
1
a
Ey 




2
2
2 
3
 3 
 3 
2
 2 a
a

a
a   a2




 2 
 2 


1

3a

2
a
 
2
2

a
2

3a

2



2 
2 
a
   
2 
5

2I
2
4a
2a  2 I  1 4 2 
 2

 2

  .

3a 7a 13a 2   a 
3 7 13 

Подставим численные значения, найдем значение напряженности поля в
точке A
Ex  0,
2  1,965  104  1 4 2 
В






49,97
,
  0,5  102  0,8  3 7 13 
м
В
E1  Ex2  E y2  02  49,972  49,97 .
м
Ey 
Построим вектор E в точке A
6