ЕН.Ф.1 Математика

1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН. Ф.01. МАТЕМАТИКА
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТА
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ
040101 – Социальная работа
(код и наименование специальности/тей)
Утверждено на заседании
кафедры математического анализа
и методики преподавания математики
физико-математического факультета
(протокол № от сентября 2009 г.)
Зав. кафедрой
__________________ Иванчук Н.В.
Мурманск 2009
2
РАЗДЕЛ I. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1.1. Автор программы: старший преподаватель кафедры МА и МПМ Побойкин В.Я.
1.2. Рецензенты: доцент, кандидат физ.-мат. наук Мартынов О. М., к.п.н., к.т.н., профессор кафедры
естественно-математического образования МОИПКРО Бродский И. Л.
1.3. Пояснительная записка:
В настоящее время математические методы исследования получают все более широкое распространение в естествознании. Поэтому, подготовка будущих социальных работников тесно связана с получением прочных математических знаний и практических навыков.
Знакомясь с математикой, студенты должны получить не только прочные знания, но и научиться
применять их в своей работе и исследованиях при решении теоретических и практических задач.
Для овладения предлагаемым курсом высшей математики студентам необходимо усвоить основные положения ее разделов: аналитическая геометрия, линейная алгебра, векторная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и др.
Поэтому для изучения дисциплины «Математика» необходимо знание математики в объеме курса средней школы; иметь начальные представления о работе на ПК, иметь представление об основных физических явлениях (в рамках стандарта средней школы). Особое значение придается знаниям и практическим навыкам по таким разделам этой программы как «Решение уравнений и неравенств», «Графики и
свойства элементарных функций», «Тригонометрия».
Цель
В результате изучения курса студенты должны
углубить и расширить представление о математическом мышлении, о принципах математических
рассуждений и математических доказательств;
приобрести навыки в употреблении математической символики для выражения количественных и
качественных отношений объектов; исследования, аналитического и численного решения
обыкновенных дифференциальных уравнений; использования основных приемов обработки
экспериментальных данных.
Задачи
В результате изучения курса студенты должны иметь представление об основных понятиях и методах
математического анализа, аналитической геометрии и линейной алгебры.
Место курса в общей системе подготовки специалиста
В результате изучения курса студенты должны иметь представление о математике как особом способе
познания мира, общности ее понятий и представлений.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины (должны знать, должны уметь);
В результате изучения курса студенты
должны знать
основные положения математического анализа;
линейной алгебры и аналитической геометрии;
теории дифференциальных уравнений;
теории вероятностей и статистики.
должны уметь
находить производные элементарных функций;
вычислять неопределенные и определенные интегралы от элементарных функций;
использовать матричную запись;
определять экстремумы простейших функций.
3
Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке
Иванчук Н.В. УМК дисциплины ЕН.Ф.01 Математика для специальностей: 020801 – Экология,
012500 – География, 032400.00 – Биология с дополнительной специальностью география.
1.4. Извлечение (в виде ксерокопии) из ГОС ВПО специальности (напрвления). включающие требования к обязательному минимуму содержания дисциплины и общее количество часов (выписка).
ЕН.Ф.01
Математика.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра; Дифференциальные и интегративные исчисления; ряды; дифференциальные
уравнения; элементы теории вероятности; математические модели
видов и процессов в системе социальной работы; математические
методы исследования в социальной работе.
189
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех специальностей, на которых читается данная дисциплина:
№
п/п
1
Шифр и наименование
специальности
033200 (050303) Иностранный язык с дополнительной специальностью
Курс
Семестр
1
2
Виды учебной работы в часах
Трудоемкость
57
Вид итогового
контроля
Всего
аудит.
ЛК
ПР/
СМ
ЛБ
Сам.
работа
26
16
10
–
31
Зачет
1.6. Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
п/п
1
2
3
4
5
Наименование раздела, темы
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Дифференциальное исчисление
Интегральное исчисление
Дифференциальные уравнения
Элементы теории вероятностей и статистики
ИТОГО
Количество часов
Всего
ауд.
5
5
5
5
6
26
ЛК
3
3
3
3
4
16
ПР/
СМ
2
2
2
2
2
10
ЛБ
–
–
–
–
–
–
Сам.
раб.
6
8
8
4
5
31
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
1
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1.1. Элементы алгебры матриц. Определители. Матрицы. Решение систем линейных уравнений.
1.2. Элементы векторной алгебры. Векторы. Действия над векторами, заданными геометрически и
в декартовых координатах. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
4
1.3. Элементы аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве.
Линии второго порядка на плоскости.
2
Дифференциальное исчисление
2.1. Элементарные функции. Функция. Элементарные функции. Чтение графика функции. Преобразования графиков функций.
2.2. Элементы теории пределов. Предел и непрерывность функции.
2.3. Элементы теории дифференцирования. Производная. Теоремы о производных. Дифференцирование основных элементарных функций. Производные второго порядка.
2.4. Исследование функции с помощью производной. Исследование функции с помощью первой и
второй производной. Полное исследование функции.
3.
Интегральное исчисление
3.1. Элементы теории интегрирования.. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства и
приемы интегрирования.
3.2. Определенный интеграл, его свойства. Теорема Ньютона-Лейбница. Площади и объемы.
4.
Дифференциальные уравнения
Элементы теории дифференциальных уравнений. Понятия и определения, классификация.
Дифференциальные уравнения I порядка. Линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
5.
Элементы теории вероятностей и статистики
Основные понятия теории вероятностей. Свойства вероятностей. Элементы комбинаторики.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Вероятность
гипотез. Формулы Байеса. Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона.
Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия. Законы
распределений вероятностей непрерывной случайной величины.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
Наименование
раздела дисциплины. Тема.
1
Аналитическая
геометрия и линейная алгебра
Введение в математический
анализ
2
Форма самостоятельной работы
Колво
часов
Форма контроля
выполнения сам.
работы
- повторение школьной программы
- выполнение те- контрольные работы
вар-т 1 стов,
- выполнение домашних работ по всем темам
30
- собеседование
вар-т
2
- проверка кон- углубление и расширение по пособию Резник
39
трольных работ
Н.А., Негодяева Л.Е, Темникова И.С. Начальные
вар-т
3
- проверка домашпредставления о введении в математический ананих работ
лиз: Визуальный конспект практикум. - СПб., 40
ЛОИРО, 2005.
-
использование слайд фильмов
5
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу (планы последовательного проведения занятий: ПР, СМ, ЛБ) по предлагаемой схеме:
Тема 1.1.: Элементы алгебры матриц
План: Системы линейных уравнений. Определители и их свойства. Основные сведения о матрицах.
Операции над матрицами. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера. Метод Гаусса.
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнение Найти значение
Вычислить
Построить
CE


AB


B
определителя
обратную
матрицу
,
x 3 5
1

1
1

1
5 x1 1 1
0 1 1 1
2 1 3
0 0
1 0
0
0
0
1
Если
5 9
A 
0 3
 0 2 1
 
A2 1 2
 3 2 1
 
,
 3 4 2 3
B  C 
1 0 0 2
,
Тема 1.2: Элементы векторной алгебры
План: Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное и векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов. Векторы в декартовых координатах. Линейные операции над векторами в координатах. Линейные и нелинейные операции над векторами, заданными координатами.
Задания для самостоятельной работы:
Составить формулу Найти скалярное Решив уравнение
Вычислить объем паралле 


разложения вектора произведение век- а2хbс
пипеда, построенного


c по векторам a и торов
на векторах
Найти
координаты
век


   
a  1; 0;1
x
тора
, если
akmp
b

  
c  m p

а(5;4;1)

b(352
;; )

с(2;13
; )
b 1;1;1
 
ci
Тема 1.3: Элементы аналитической геометрии.
План: Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Плоскость в пространстве. Виды
уравнений плоскости в пространстве. Линии второго порядка на плоскости.
Задания для самостоятельной работы:
Преобразуйте уравнение прямой
Проверьте, перпендикулярны Проверьте, параллельны
3
x

4
y

1

0
или нет прямые
или нет плоскости
в общем виде
3
x2
yz50
3
x
y

5

0
к уравнению с угловым коэффициентом
,
x3y10
Тема 2.1: Элементарные функции.
3
x2
yz30
6
План: Функция, ее область определения, экстремумы. Элементарные функции. Сложная и обратные
функции. Чтение графика функции. Преобразования графиков функций
Задания для самостоятельной работы:
Постройте граПо заданным функциями
Провести
фик функции
f x x2 и g  x   x
исследование
sin2x1
составить формулы функций
функции f (x)
на промежутке
f x gx , f g x  , g  f x  ,
по ее графику
 /2; 0
f  f x 
Тема 2.2: Элементы теории пределов.
План: Предел функции. Теоремы о пределах. Непрерывность функции. Точки разрыва. Построение
графика функции с помощью предельных переходов.
Задания для самостоятельной работы:
Вычислить
Вычислить
Исследовать на непреarctg
x
, x

0

2
рывность
и
построить
sinx
x x2
fx
1
, 0
x
2

li
m
lim

эскиз
графика
функции
2
x

2
2
x
,
x
0
x
x 
3x2
3x

Тема 2.3: Элементы теории дифференцирования.
План: Производная. Теоремы о производных. Дифференцирование основных элементарных функций.
Дифференцирование сложной функции. Производные второго порядка.
Задания для самостоятельной работы:
Найти производные функций
3
x
1
cos
x
3x2
1
2cos3x
y 2
y f   y
2
y
arcctg
x
x
x
x
Тема 2.4: Исследование функции с помощью производной.
План: Возрастание-убывание функций. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значение функции. Вогнутость-выпуклость графика функций. Точки перегиба. Полное исследование функции.
Задания для самостоятельной работы:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
Исследовать функцию на экстремум



2;
2
f xxlnx
на заданном отрезке f xx x
Тема 3.1: Элементы теории интегрирования.
План: Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Простейшие
табличные интегралы. Простейшие приемы интегрирования.
Задания для самостоятельной работы:
dx
Найти интеграл
sin
x dx
3
xdx
x  7x dx
x5sin

2

9x2 4
cosx4
2
Тема 3.2: Определенный интеграл и его приложения.
План: Определение и основные свойства определенного интеграла. Теорема Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла. Несобственный интеграл. Площади и объемы.
Задания для самостоятельной работы:
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить объем тела,
1

площадь
ограниченного
линиями
2
2
2
ln
x
dx
y

0
затушеванy

4

x

2
,
, x  0, x  0
sinxcosxdx 0
ной фигуры
0
Тема 4: Элементы теории дифференциальных уравнений.
План: Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Уравнения I порядка с разделяющимися переменными. Линейные и однородные уравнения I порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Задания для самостоятельной работы:
7
Решите задачу Коши
x  x  sin x
y
y
y0   1
Найти общее
решение
x y  1
Найти подходящую замену для приведения
дифференциального уравнения к уравнению
2
2
с разделяющимися переменными x y  5 y  y
Тема 5: Элементы теории рядов.
План: Сходящиеся числовые ряды. Необходимый признак сходимости знакоположительного ряда. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Знакопеременные числовые ряды. Признак Лейбница.
Степенные ряды. Основные свойства степенных рядов. Разложение в ряд Маклорена основных функций. Формула и ряд Тейлора. Приближенное вычисление с помощью рядов.
Задания для самостоятельной работы:
Исследовать ряд
Исследовать ряд на сходимость
Разложите в ряд Маклорена

n
n
функцию
3n

 3
x


1
2
n
на сходимость  5n!


2
n

1
f x ex
1
Тема 6: Элементы теории вероятностей и статистики.
План: Основные понятия теории вероятностей. Свойства вероятностей. Элементы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса. Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона. Дискретные случайные
величины. Математическое ожидание и дисперсия. Законы распределений вероятностей непрерывной
случайной величины.
Задания для самостоятельной работы:
Имеется 30 флажков:
В партии из 10 деталей 7 стандартСпортсмен стреляет по мишени,
10 красных, 5 синих и 15 ных. Найти вероятность того, что разделенной на три области. Веробелых. Найти вероят- среди шести взятых наудачу деталей 4 ятность попадания в первую обность того, что выбран стандартных.
ласть равна 0,38, во вторую – 0,54.
цветной флажок.
Найти вероятность того, что
спортсмен при одном выстреле
попадет либо в первую, либо во
вторую область.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
Основная:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие
издания].
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и
последующие издания].
4. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - М.: Наука,1966 [и последующие издания].
5. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1
курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М.
Высшая школа. Изд 7-е, 2001.
7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике:
Учебное пособие для студентов вузов. 4-е издание. М.Высшая школа
8. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М., Наука, 1985.
9. Локоть Н.В. Математика для нематематиков. Учебное пособие для студентов-гуманитариев. Мурманск, 1997.
Дополнительная:
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука,
1988.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
3. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
4. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
5. Математика в современном мире. М., Мир, 1967.
8
6. Турецкий В.Я. Математика и информатика. Екатеринбург, 1999.
7. Резник Н.А., Негодяева Л.Е, Темникова И.С. Начальные представления о введении в математический
анализ: Визуальный конспект практикум. - СПб., ЛОИРО, 2005.
1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
1.9.1. Перечень используемых технических средств
ПК (Pentium100 и средой WIN95 и выше) с мультимедийным проектором.
1.9.2. Перечень используемых пособий.
Резник Н.А., Негодяева Л.Е, Темникова И.С. Начальные представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. - СПб., ЛОИРО, 2005.
1.9.3. Перечень видео- и аудиоматериалов программного обеспечения.
Слайд фильмы на ПК с мультимедийным проектором,
Компьютерная программа GeoGebra (динамичная математика).
1.10.
Примерные зачетные тестовые задания.
№ 1 Определители
1. Определите значение параметра a , при
 2 x  7  ay
котором система 
имеет
4 x  3 y  12
единственное решение
2. Вычислить определитель
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
№ 3 Производная и интеграл
1. Вычислить производную функции
cos x
2x
составить формулы функций
а) f x gx б) f  g x 
в) f  f x 
д) x  g x 
№ 4 Дифференциальные уравнения
1. Найти общее решение уравнения:
x y
x
2. Решите задачу Коши:
1
2
x
)dx
а) x cos(
x
y  1 y  x  y   tg
x
1
б) ln2x 1
2. Найти интегралы
2
2. Запишите формулу
функции (b)
3. По заданным функциям
f xcos
xи
g x 
x  y  z  1

3. Решите систему  x  y  z  0
x  y  z  1

а)
№ 2 График функции
1. Провести исследование
функции по ее графику (a)
dx
б)  2
0 x 2
№ 5 Элементы теории вероятностей
1. В урне имеется 60 шаров, из них 15 белых.
Наудачу вынимают один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется
белым.
2. В ящике имеется 15 деталей, среди которых
10 окрашенных. Наудачу извлечены три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
3. Вероятность того, что студент знает первый
вопрос экзаменационного билета, равна 0,4,
а того, что он знает второй вопрос этого же
билета – 0,8. Найти вероятность того, что
студент знает только один из предложенных
вопросов выбранного билета.
y  2 y  e 2 x  x 3 ,
y( 0 )  1 , y( 0 )  1
№ 6 Случайные величины
1. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х
– числа появлений события А в двух независимых
испытаниях, если вероятности появления события в
этих испытаниях одинаковы и известно, что М (Х) =
0,9.
2. Непрерывная случайная величина Х задана плотно3
3
x в интервале
стью распределения f(x) sin
2
  
 0;  ; вне этого интервала f (x)  0 . Найти ве3

роятность того, что Х примет значение, принадле  
жащее интервалу  ;  .
6 4
9
1.11. Примерный перечень вопросов к зачету
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определители 2 и 3 порядков, их свойства и вычисление.
1. Теорема Крамера. Решение систем методом Крамера.
2. Матрицы, сложение матриц, умножение на число.
3. Обратная матрица. Решение систем матричным способом.
4. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.
5. Скалярное произведение двух векторов, его свойства и применение.
6. Векторное произведение двух векторов, его свойства и применение.
7. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
8. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей в пространстве.
Дифференциальное исчисление
9. Функция, область ее определения. Исследование функции по графику.
10. Преобразования графика функции.
11. Производная. Определение и геометрический смысл.
12. Производная сложной функции.
Интегральное исчисление
13. Простейшие табличные интегралы и их доказательство.
14. Методы интегрирования подстановкой и по частям.
15. Основные свойства определенного интеграла.
16. Теорема Ньютона-Лейбница.
17. Вычисление площади плоской фигуры и объема тела.
Дифференциальные уравнения
18. Дифференциальные уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными.
19. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка.
(n)
 f(x) .
20. Дифференциальные уравнения вида y
21. Уравнение второго порядка вида ( x, y, y )  0 .
22. Дифференциальные уравнения второго порядка вида ( y , y, y )  0
23. Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка с числовыми коэффициентами. .
Ряды
24. Необходимый признак сходимости.
25. Геометрическая прогрессия и обобщенный ряд Дирихле. Признаки сравнения.
26. Признак Даламбера сходимости числовых знакоположительных рядов.
27. Радикальный признак Коши сходимости числовых знакоположительных рядов.
28. Интервал и радиус сходимости степенных рядов.
29. Ряд Тейлора для дифференцируемой функции.
Элементы теории вероятностей и статистики
31. Основные понятия теории вероятностей.
32. Свойства вероятностей.
33. Элементы комбинаторики.
34. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
35. Формула полной вероятности.
36. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.
37. Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона.
38. Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия.
39. Законы распределений вероятностей непрерывной случайной величины.
1.12. Комплект экзаменационных билетов (утвержденных зав.кафедрой до начала сессии) – нет.
1.13. Примерная тематика рефератов – нет.
1.14. Примерная тематика курсовых работ – нет.
1.15. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ – нет.
1.16. Методика(и) исследования (если есть) – нет.
10
1.17. Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний студентов по данной дисциплине – нет.
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины (или ее разделов) и контрольные задания для студентов заочной формы обучения – нет.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Линейная алгебра.
Лекция 1. Матрицы, определители и их свойства. Сложение и умножение матриц.
План.
1. Основные понятия. Действия над матрицами. Элементарные преобразования матриц. (ПК, проектор, слайд фильмы).
2. Свойства определителей. Обратная матрица. Ранг матрицы.
Основные понятия:
1. Матрица, ее элементы. Квадратная матрица. Диагональная матрица. Единичная матрица. Треугольная матрица. Нулевая матрица. Вектор-столбец (вектор-строка). Транспонированная матрица. Ступенчатая матрица.
2. Определители первого, второго и п-го порядка. Минор элемента определителя. Алгебраическое
дополнение. Вырожденная и невырожденная матрицы. Союзная (присоединенная) матрица. Обратная матрица. Ранг матрицы. Базисный минор. Свойства ранга матрицы.
Матрицы. Матрицей А размера m  n называется прямоугольная таблица из
m строк и n
столбцов,
состоящая из чисел или других математических выражений a ij (называемых элементами матрицы), где
n.
i 1,2,...,
m, j 1,2,...,
a11 a12  a1j

a21 a22  a2j

  

A
ai1 ai2  aij

   

am1 am2  anj
 a1n 

 a2n 

 
 ain 

 

 amn
Квадратная матрица п-го порядка – это матрица размера n  n . Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. Единичная матрица – диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.
Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
Ступенчатая матрица – матрица, у которой крайний элемент каждой строки находится правее
крайнего элемента предыдущей строки.
Транспонированная матрица – матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером.
Элементарные преобразования матриц:
— умножение некоторого ряда матрицы на число λ ≠ 0;
— прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на произвольное
число;
— перестановка местами двух параллельных рядов.
Определители.
11
a11 a12
Определитель второго порядка задается равенством
.
a21 a22
a11 a12 a13
Определитель третьего порядка задается равенством
a21 a22 a23 .
a31 a32 a33
Свойства определителей.
1. Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит только из нулей, то определитель равен
0.
2. Если какие-либо две строки (столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен 0.
3. Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь
определитель умножится на это число.
4. Если две строки (два столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак.
5. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить какую-либо другую строку (столбец),
умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.
6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
Невырожденные матрицы.
Минор элемента определителя – определитель младшего порядка, получаемый из данного определителя в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент (на пересечении
которых стоит данный элемент).
Алгебраическое дополнение элемента a ij – это его минор, взятый со знаком «+», если сумма i  j
– четное число, и со знаком «–», если эта сумма нечетная.
Вырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой равен нулю. Невырожденная
матрица – квадратная матрица, определитель которой не равен нулю.

1

1
A
A
A

E
Обратная матрица – матрица A 1 , такая что A
, где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.
Матричное уравнение – краткая запись системы уравнений, эквивалентных одному уравнению,
составленному из матриц. Решение матричного уравнения AX = B есть X  A1B , где A – матрица системы; X, B – матрицы-столбцы, составленные из неизвестных и свободных членов соответственно;
A 1 – матрица, обратная A.
Литература:
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей
математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.,
Наука, 1988.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
5. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
Лекция 2. Системы линейных уравнений.
План.
12
1. Основные понятия. Исследование систем линейных уравнений. (ПК, проектор, слайд фильмы).
2. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений. (ПК, проектор, слайд фильмы).
3. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Основные понятия:
1. Система линейных алгебраических уравнений. Коэффициенты и свободные члены системы. Основная и расширенная матрицы системы. Решение системы. Совместная и несовместная системы. Определенная и неопределенная система. Эквивалентные системы. Однородная и неоднородная системы. Исследование систем линейных уравнений.
2. Определитель системы. Формулы Крамера.
3. Матричный способ решения системы.
4. Этапы решения системы методом Гаусса. Прямой и обратный ход.
Система
линейных
алгебраических
уравнений
–
система
вида
а
x
a
x2...
a
b

11
1
12
1
nx
n
1

a
x
a
x2...
a
b

21
1
22
2
nx
n
2
.

..........
..........
..........
..........
......


a
a
...
a
xnb
m
1x
1
m
2x
2
mn
m

Числа i 1,2,...,m, j 1,2,...,n – коэффициенты системы. Свободные члены системы – числа
b1 ,..., bm .
Вектор-столбец (вектор-строка) – матрица, содержащая один столбец или одну строку.
a11 a12 ... a1n 


a21 a22 ... a2n 
Основная матрица системы – A
 .


a a ... a 
 m1 m2 mn
a11 a12 ...a1n b1 


a21 a22 ...a2n b2 
Расширенная матрицы системы – матрица системы A
, дополненная столб

a a ...a b 
 m1 m2 mn m
цом свободных членов. Свободные члены системы – числа b1 ,..., bm .
Совместная система – система, имеющая хотя бы одно решение. Несовместная система – система, не имеющая ни одного решения. Определенная система – система, имеющая только одно решение. Неопределенная система – система, имеющая более одного решения.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна.
Эквивалентные системы – две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных, множества решений которых совпадают.
b
...

b
0
1
2
m
Однородная система – система, в которой b
.
13
Формулы Крамера.
а
x
a
x2...
a
b

11
1
12
1
nx
n
1

a
x
a
x2...
a
b

21
1
22
2
nx
n
2
.

..........
..........
..........
..........
......


a
a
...
a
xnb
m
1x
1
m
2x
2
mn
m

x1 
b1 a12  a1n
a11 b1  a1n
a11  b1
b2 a22  a2n
a21 b2  a2n
a21  b2
,
  
bn an2  ann
x2 
  
an1 bn  ann
,…,
xn 

an1  bn
a11  a1n
   
an1  ann
, где  xi – определитель, получающийся из  за-
меной i-го столбца на столбец свободных членной.
Решение системы линейных уравнений: x1 
 x1

, x2 
 x2

, … , xn 
xn

, где   0 .
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
1. Находим  . Если   0 , то система совместна и определена.
2. Находим матрицу A 1 , обратную к матрице системы.
3. Для этого находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
A11 A21 ... An1 


A12 A22 ... An2 



4. Записываем матрицу A  A 
.


A A ... A 
 1n 2n nn

T
ij
1
5. Находим матрицу A 1 : A 
1 
A .

6. Находим решение системы уравнений по формуле:
x1
  1
x2XA B
x 
 3
Метод Гаусса – метод приведения к треугольному виду определителя (при его вычислении) или расши-
14
ренной матрицы системы (путём эквивалентных её преобразований при решении системы линейных
уравнений). Один из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных алгебраических систем, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений:
— умножение некоторого уравнения системы на число λ ≠ 0;
— прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;
— перестановка местами уравнений.
Литература:
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей
математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.,
Наука, 1988.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 – ч. 1, 2.
5. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
Лекция 3. Векторная алгебра. Произведение векторов.
План.
1. Основные понятия. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось, ее свойства.
Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора.
2. Скалярное произведение векторов, его свойства.
3. Векторное произведение векторов, его свойства. Площади параллелограмма и треугольника.
4. Смешанное произведение векторов, его свойства и применение. Объем параллелепипеда.
Основные понятия:
1. Скалярные и векторные величины. Вектор. Длина (модуль) вектора. Единичный вектор. Равные
векторы. Коллинеарные и компланарные векторы. Сумма векторов и разность векторов. Правила
сложения. Произведение вектора на число. Признаки коллинеарности и компланарности векторов. Проекция точки на ось. Проекция вектора на ось. Угол между векторами. Формула разложения вектора по ортам координатных осей. Координаты вектора. Радиус-вектор точки.
2. Скалярное произведение векторов. Ортогональные векторы.
3. Правая и левая тройка векторов. Векторное произведение векторов.
4. Векторно-скалярное (смешанное) произведение векторов.
Векторы.
Скалярные величины – величины, которые полностью определяются своим численным значением.
Площадь, длина, объем, температура, работа, масса и т.д.
Векторные величины – величины, которые определяются не только своим числовым значением, но
и направлением. Сила, скорость, ускорение и т.д.
Вектор – направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное
направление. Обозначение: АВ или а . Вектор ВА , называется противоположным вектору АВ .
Длина (модуль) вектора АВ – длина отрезка АВ. Обозначение: АВ или а .
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается: 0 . Нулевой
вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и
обозначается: е .
Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. они
могут быть направлены одинаково и противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому
вектору.
Равные векторы – коллинеарные векторы, которые одинаково направлены и имеют одинаковые
длины. а  b . Равные векторы называются также свободными. Вектор можно переносить параллельно
самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.
15
ab
аb .
ab
Компланарные векторы – три вектора в пространстве, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами.
Операции сложения и вычитания векторов, умножение вектора на число.
Правила сложения – правило треугольника (трех точек), правило параллелограмма, правило многоугольника. Сумма двух векторов а и b – вектор с , соединяющий начало вектора а с концом вектора b , отложенного от конца вектора а .
BC
AC
Правило треугольника: AB
.
AC
AD
Правило параллелограмма: AB
(где ABDC – параллелограмм).
16
Правило многоугольника – правило сложения трех и более векторов.
Разность векторов а и b – вектор с , такой что b  с  а .
AC
CB
Правило вычитания векторов: AB
.

а

0
Произведение вектора
на число  0 – вектор, который имеет длину   а , его направление совпадает с направлением вектора а , если   0 и имеет противоположное направление, если
0.
Проекция точки М на ось l – основание M 1 перпендикуляра MM 1 , опущенного из точки на ось.
17
Проекция вектора АВ на ось l – положительное число А1 В1 , если вектор А1 В1 и ось l одинаково
направлены и отрицательное число  А1 В1 , если вектор А1 В1 и ось l противоположно направлены.
Обозначение: пр l АВ .
Основные свойства проекций:
acos

la
1. пр
. Проекция вектора а на ось l равна произведению модуля вектора а на косинус
угла между вектором и осью.
2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.
 
a

пр
3. пр
. При умножении вектора а на число его проекция на ось также умножается на
l
la
это число.
Угол  между вектором а и осью l (или угол между двумя векторами):
Разложение вектора по ортам координатных осей.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Оxyz. выделим на координатных
осях Оx, Оy, Оz единичные векторы (орты), обозначаемые i , j , k соответственно. Пусть а  OM .
Проведем через конец вектора а плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно M1,M2,M3 . Получим прямоугольный
параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор
OM
. Тогда
пр
xaOM
1

OM
M
N

NM
1
1
. По определению суммы нескольких векторов: а
.
пр
пр
yaOM
2
z aOM
3
,
,
OM2  ay , OM3  az .
а

OM

OM
OM
1
2
3. Проекции векторов обозначим OM1  ax ,
18
Формула разложения вектора по ортам координатных осей:
а

a
i
a
a
k
x
yj
z
.
Координаты вектора – числа ax , ay , az , проекции вектора на соответствующие координатные оси.
Радиус-вектор точки М – вектор, соединяющий начало координат с точкой М пространства.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов – число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Ортогональные векторы – два вектора, скалярное произведение которых равно нулю.
Векторное произведение неколлинеарных векторов а и b – вектор с , такой что 1) вектор с
перпендикулярен векторам а и b , т.е. с  а , с  b ; 2) длина вектора с равна площади параллело
грамма, построенного на векторах а и b как на сторонах, т.е. са bsin
; 3) векторы а , b и с
образуют правую тройку.
Векторно-скалярное (смешанное) произведение трех векторов а , b и с – число, равное скалярному произведению вектора на вектор а  b на вектор с .
Литература:
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей
математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.,
Наука, 1988.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
5. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
6. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
Аналитическая геометрия.
Лекция 4. Метод координат на плоскости. Прямая на плоскости.
План.
1. Прямоугольная система координат. Полярная система координат. Связь между прямоугольными
и полярными координатами. (ПК, проектор).
2. Основные приложения метода координат на плоскости. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. (ПК, проектор).
3. Преобразование систем координат на плоскости. Параллельный перенос осей координат. Поворот осей координат. (ПК, проектор).
4. Уравнение линии. Уравнения прямой на плоскости. (ПК, проектор).
5. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой. (ПК, проектор).
6. Плоскость и прямая в пространстве.
Основные понятия:
1. Система координат. Прямоугольная (декартова) система координат. Координатная плоскость. Координаты точки. Полярная система координат. Полярные координаты, полярный радиус, полярный угол.
2. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.
3. Преобразование системы координат. Параллельный перенос осей координат. Поворот осей координат. Формулы поворота осей.
4. Уравнение линии. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Полярное
уравнение прямой. Нормальное уравнение прямой.
5. Угол между прямыми в плоскости. Расстояние от точки до прямой.
6. Уравнение поверхности. Уравнение сферы. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение
прямой в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Полярная система координат на плоскости определяется выбором точки O (полюс), луча OA (полярная ось, обычно горизонтальный луч), масштаба длины и положительного направления поворотов вокруг точки O (обычно против часовой стрелки). Произвольной точке M ставят в соответствие: ρ – рас-
19
стояние от точки M до полюса O,  – угол, на который надо повернуть луч OA до совмещения с лучом
OM (0≤  <2π). ρ и  называются полярными координатами точки M (ρ – полярный радиус,  – по2
2
лярный угол), связь их с декартовыми координатами: x = ρ cos  , y = ρ sin  ,  x  y . Координатные линии – концентрические окружности (ρ = const) и лучи (  = const). Полярная система координат удобна при исследовании ряда кривых, фигур, а также при изучении циклических процессов, вращательных движений, крутильных колебаний и т.д.
Параллельный перенос осей координат.
Поворот осей координат.
y'sin

,
xx'cos
Формулы поворота осей: 
.
y

y
'
sin


y
'
cos

.

Преобразование системы координат (параллельный перенос осей координат и поворот осей).
20
2
2





AB

x

x

y

y
2
1
2
1
Расстояние между двумя точками Ax1 ; y1  и Bx2 ; y2 : d
.
Деление отрезка АВ: Ax1 ; y1  и Bx2 ; y2  в данном отношении   0 : x
Если   1 , т.е. АМ = МВ, то x 
x1  x2
y1  y2
и y
.
2
2
x1 x2
y1 y2
и y
.
1
1
x3x1 x2x1
1
 S

2y3y1 y2y1
Площадь треугольника АВС с вершинами Ax1 ; y1  , Bx2 ; y2 , Сx3 ; y3 :
.
Уравнения прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y  kx  b , где k  tg  – угловой коэффициент прямой.
By
C0.
Общее уравнение прямой: Ax
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: yy0kxx
0, где
k  tg  (  – угол, образуемый прямой с осью Ох).
yy
xx
1
1
Уравнение прямой, проходящей через две точки: y y x x .
2
Уравнение прямой в отрезках:
x y
 1, числа
a b
a
1
2
1
и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на
осях координат.
p, где p – расстояние от полюса О до данной прямой, 
Полярное уравнение прямой: rcos
– угол между полярной осью ОР и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой.
21
cos


y
sin


p

0
Нормальное уравнение прямой: x
, где p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,  – угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох.
Угол между прямыми в плоскости.
Литература:
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
2. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - М.: Наука,1966 [и последующие издания].
3. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей
математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.,
Наука, 1988.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
6. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
7. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
Лекция 5. Кривые второго порядка.
План.
1. Линии (кривые) второго порядка. Окружность. Каноническое уравнение окружности. (ПК, проектор, презентация).
2. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. (ПК, проектор, презентация).
3. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. (ПК, проектор, презентация).
4. Парабола. Каноническое уравнение параболы. (ПК, проектор, презентация).
Основные понятия:
22
1. Кривые второго порядка. Окружность.
2. Эллипс. Центр, вершины, оси и полуоси эллипса.
3. Гипербола. Центр, вершины, действительные и мнимые оси и полуоси гиперболы. Основной
прямоугольник гиперболы. Асимптоты гиперболы. Равносторонняя гипербола.
4. Парабола. Вершина параболы. Ось симметрии параболы.
Кривые второго порядка.

y

x

x
y
R
Уравнение окружности: 
, где R – радиус окружности,  x 0 ; y 0  – коор0
0
динаты центра окружности.
x2 y2
Уравнение эллипса: 2  2 1, где a – большая полуось, b – малая полуось эллипса.
a
b
2
2
y
x
Уравнение гиперболы: 2  2 1, где a – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.
a
b
Центр, вершины, действительные и мнимые оси и полуоси гиперболы. Основной прямоугольник
гиперболы. Асимптоты гиперболы.
2
Линии,
определяемые уравнениями
второй степени относительно
переменных x и y,
Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0
называются
кривыми
второго порядка
2
2
Уравнение
2
Ax + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0
определяет на плоскости
окружность,
эллипс,
гиперболу
или
параболу
Окружность
Уравнение окружности
Окружностью радиуса R
с центром в точке М 0
называется множество всех
точек М плоскости,
удовлетворяющих условию
x  x0 2   y  y0 2  R 2
М0 М = R
Эллипс
Эллипсом называется множество
всех точек плоскости, сумма
расстояний от каждой из которых
до двух данных точек этой
плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная,
большая чем расстояние между
фокусами
Каноническое уравнение
эллипса
2
2
x
y
2 + 2 =1
a
b
где а – большая полуось,
b – малая полуось эллипса
23
Точки А, В, С и D называются
вершинами эллипса,
точка О – центром эллипса
Если фокусы эллипса лежат на оси
Oy, то эллипс имеет вид
Гипербола
Каноническое уравнение
гиперболы
Гиперболой называется множество
всех точек плоскости, модуль
разности расстояний от каждой из
которых до двух заданных точек,
называемых фокусами, есть
величина постоянная, меньшая,
чем расстояние между фокусами
Парабола
Параболой называется
множество всех точек
плоскости, каждая из которых
одинаково удалена от заданной
точки, называемой фокусом, и
заданной прямой, называемой
директрисой
x2 y2
2 - 2 =1
a b
Каноническое уравнение
параболы
y 2 = 2 px
где число p>0, равное
расстоянию от фокуса F до
директрисы l, называется
параметром параболы
24





x

x
y

y
z

z
R
Уравнение сферы: 
, где R – радиус сферы, x0 ; y0 ; z0  – ко0
0
0
ординаты центра сферы.
Общее уравнение линий второго порядка всегда определяет: либо окружность, либо эллипс,
либо гиперболу, либо параболу. При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в
точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы
– в пару параллельных прямых
.
2
2
2
2

By

Cz

D

0
Общее уравнение плоскости в пространстве: Ax
.
A
xB

C
zD
0

1
1y
1
1
Общее уравнение прямой в пространстве: 
.
A
x

B
y

C
z

D

0
2 2 2 2
Литература:
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
2. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - М.: Наука,1966 [и последующие издания].
3. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей
математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.,
Наука, 1988.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
6. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
7. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
Дифференциальное исчисление.
Лекция 6. Элементарные функции. Элементы теории пределов.
План.
1. Функция. Способы задания функций. Основные характеристики функции. Элементарные функции и их графики. Исследование функций и построение графиков. Чтение графика функции.
Преобразования графиков функций. (ПК, проектор).
2. Последовательности. Предел последовательности.
3. Предел и непрерывность функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.
Основные понятия:
Функция. Область определения и множество значений функции. График функции. Элементарные
функции. Четная и нечетная функции. Возрастающая и убывающая функции. Ограниченная
функция. Периодическая функция. Обратная функция. Сложная функция. Сдвиги графиков вдоль
осей координат. Растяжение и сжатие графиков.
25
Числовая последовательность. Рекуррентная формула. Монотонная последовательность. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно малая последовательность. Предел последовательности. Бесконечно большая последовательность.
Предел функции. Непрерывность функции в точке. Непрерывная на промежутке функция. Точки
разрыва первого и второго рода. Первый и второй замечательные пределы.
Функция – соответствие f , которое каждому элементу x  X сопоставляет один и только один элемент y  Y , где X и Y – непустые множества. y  f x  , x  X или f : X Y . Функция f
отображает множество X на множество Y .
График функции f  x  и – множество всех точек плоскости с координатами x; f x  , где
x D f  .
Преобразования графиков функций.
1. График функции y  f x  можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика
некоторой уже известной функции.
1) График функции y  f xa получается из графика функции y  f x  сдвигом вдоль оси Oy на
a единиц (вверх, если a  0 , и вниз, если a  0 ).
2) График функции y  f xb получается из графика функции y  f x  сдвигом вдоль оси Ox на
b единиц (вправо, если b  0 , и влево, если b  0 ).
3) График функции y  kf x получается из графика функции y  f x  растяжением вдоль оси Oy в
k раз.
4) График функции y  f mx получается из графика функции y  f x  сжатием по оси Ox в
m раз.
5) График функции получается из графика функции