Вопросы экзамена по геометрии для ИиМ

Вопросы экзамена по геометрии
для ИиМ-1 (1 семестр)
доц. Абруков Д.А.
1. Параллельность прямых, лучей и плоскостей. Направление. Признак
эквиполлентности направленных отрезков.
2. Векторы. Лемма о равенстве векторов. Теорема об откладывании
вектора.
3. Сложение и вычитания векторов. Свойства сложения векторов. Теоремы существования суммы и разности векторов.
4. Умножение вектора на число. Теоремы о коллинеарных и компланарных векторах. Линейная зависимость векторов. Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов. Геометрический смысл линейной
зависимости векторов на плоскости и в пространстве.
5. Базис векторного пространства. Координаты вектора, свойства координат векторов. Ортонормированный базис, длина вектора.
6. Скалярное произведение двух векторов. Геометрический и физический смысл скалярного произведения. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.
7. Скалярное произведение двух векторов. Свойства скалярного произведения. Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном
базисе.
8. Векторные подпространства. Признак векторного подпространства.
Примеры.
9. Аффинная и прямоугольная декартова система координат на плоскости. Координаты точки. Координаты вектора.
10. Деление отрезка в данном отношении. Выражение координат точки,
делящий отрезок в данном отношении, следствие, возможные случаи.
11. Ориентация плоскости. Правый и левый базисы. Ориентированный
угол между векторами на плоскости. Теорема Шаля. Координаты вектора в
ортонормированном базисе.
12. Формулы преобразования аффинной системы координат. Матрица
перехода. Частные случаи преобразования системы.
13. Формулы преобразования прямоугольной декартовой системы координат. Определение полярных координат.
14. Полярная система координат. Присоединенная прямоугольная декартова система координат. Обобщенные полярные координаты. Построение точки в обобщенной полярной системе координат.
15. Алгебраическая линия. Окружность.
16. Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором (параметрическое, каноническое, общее).
17. Исследование общего уравнения прямой. Уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом. Основные задачи на прямую.
18. Взаимное расположение двух прямых. Основные задачи на прямую.
19. Расстояние от точки до прямой.
20. Направленный угол между двумя прямыми.
21. Эллипс: определение, каноническое уравнение.
22. Эллипс: определение, свойства, способы построения.
23. Гипербола: определение, каноническое уравнение.
24. Гипербола: определение, свойства, способы построения.
25. Парабола: определение, каноническое уравнение, свойства, способы
построения.
26. Директрисы эллипса и гиперболы. Геометрический смысл эксцентриситетов эллипса и гиперболы.
27. Уравнение прямой, эллипса, гипербол и параболы в полярных координатах.
28. Общее уравнение линии второго порядка. Идея классификация линий второго порядка. Классификация линий второго порядка.