Неравенство Коши и геометрия

Неравенство Коши и геометрия
Задача 1. Дана трапеция с основаниями a и b. Параллельно основаниям
трапеции проведены две прямые: одна проходит через точку пересечения
диагоналей, другая делит трапецию на две равновеликие части. Выразите через
a и b длины отрезков этих прямых, заключённых между боковыми сторонами
трапеции. Сравнивая найденные длины между собой и с длиной средней линии
трапеции, получите неравенства между различными средними a и b.
Задача 2. Докажите: если A, B, C – углы треугольника, то
A
B
C 1
sin  sin  sin  .
2
2
2 8
Задача 3. Докажите: если A, B, C – углы треугольника, то
sin A  sin B  sin C 2  2 sin A  sin B  sin C .
Задача 4. Докажите, что для любого треугольника выполняется
неравенство
p 2  27r 2 ,
где p – полупериметр, r – радиус вписанной окружности.
Задача 5. Докажите, что для любого треугольника выполняется
неравенство
R  r  2S ,
где R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, S –
площадь треугольника.
Задача 6. Докажите, что для любого треугольника выполняется
неравенство
S  2 Rr 3 ,
где R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, S –
площадь треугольника.
Задача 7. Докажите: если a, b, c – стороны треугольника, а p –
полупериметр, то выполняется неравенство
1
1  9
 1
p


 .
ab bc ca 4
Задача 8. Докажите, что из всех прямоугольников с диагональю c
наибольшими периметром и площадью обладает квадрат.