doc, 268 кб

11 класс.
1. Решить уравнение arctg (2011 x )  2 arcctg x   .
Решение.
arctg (2011 x)  2(  / 2  arcctg x)  arctg (2011 x)  2arctg x 
  x1  0,
2x


tg (arctg (2011 x ))  tg (2arctg x ) ,

2011 x 
2009
2
   x2, 3  

1 x
,


2011

2arctg x (  / 2,  / 2).


arctg x (  / 4,  / 4).
 x  ( 1,1).
2009
Ответ: 0, 
.
2011
2. Пассажирский поезд вышел из пункта A в пункт B . Через 26 часов из пункта
B навстречу ему вышел скорый поезд и еще через 4 часа поезда встретились. За
сколько часов каждый поезд проходит путь между этими городами, если
известно, что скорому поезду для этого требуется на 12 часов меньше, чем
пассажирскому?
Решение.
S  AB , v1 , v2 -скорости пассажирского и скорого поездов
Пусть
соответственно. Тогда
v
v

 S  30v1  4v2 , 1  30 1  4 2 ,
 30 4
S
S
S
S    1,



Пусть x  , y  .  x y
S S
S S


12
.
v1
v2 
v v
   12.
 x  y  12.
 1
2
 v1 v2
30
4
x  y  12,
  1, y 2  22 y  48  0, y  24, x  24  12  36.
y  12 y
Ответ: 36, 24.
3. Решить неравенство 1  log 2 7 x 2  14 x  8  1  log 8 7 x 2  14 x  8 .
Решение:
7 x  14 x  8  0,

ОДЗ: log 2 7 x 2  14 x  8  1, x  R .

2
log 8 7 x  14 x  8  1,
2
Пусть log 2 7 x  14 x  8  y , тогда неравенство:
1
2
1
1 y  1 y  1 y  1 y  y2
,
3
3
9 ,
1
 y  y2
3 .
1 2
 y  0,
y  y  0  y 2  3 y  0  y  y  3  0  
3
 y  3,
2






Так как

 y  0,
 y  3.


log 2 7 x 2  14 x  8  y  0 , то
 x  1,

 x  0,
2
2
7 x  14 x  8  1, 7 x  1  0,  

 2

 x  2,
7 x  14 x  8  8, 7 x x  2   0,  
  x  0,
 
  x  2,
Ответ:  ;2   1 0; .
4. К графику функции
3
Следовательно,




log 2 7 x 2  14 x  8  0,

2
log 2 7 x  14 x  8  3,
 x  1,
 x  0,

 x  2.
x проведена касательная в точке, абсцисса x0 которой принадлежит
отрезку 1;4 . При каком значении x0 площадь треугольника, ограниченного этой касательной,
осью Ох и прямой x  5 , будет наименьшей? Чему равна эта площадь?
Решение:
Пусть
, f  x   3 x , f x  
1
33 x 2
графику функции в точке с абсциссой :
, тогда f x0  
f x   3 x0 
1
33 x02
. Уравнение касательной к
x  x0  .
33 x02
Эта касательная пересекает ось Ох в точке А(хА,0), причем из уравнения (1)
1
x А  x0  ,
0  3 x0 
33 x02
1
x А  x0   3 x0 ,
2
3
3 x0
1
(1)
x А  x0  3x0 ,
x А  2x0 .
Таким образом, А 2 x0 ,0 . Координаты точки пересечения касательной с прямой x  5 (В(5,
уВ)) удовлетворяют уравнению (1):
1
5  x0  ,
y B  3 x0 
33 x02
откуда y B 
2 x0  5
.
33 x02
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника, ограниченного касательной (1), осью
Ох и прямой x  5 , равна
2
2 x  5 1 2 x0  5
1
S x0   2 x0  5 0

2
6 3 x02 .
33 x02
Найдем
, при котором S x0  принимает наименьшее значение:
1 2 x0  54 x0  5
S x0  
,
3
9
x05
5
5
 5
S x 0   0  x 0    1,4, x0   1,4 . S x0   0 при x 0   0,  и S x0   0 при
4
2
 4
5 
x 0   ,4  .
4 
5
В точке x 0  функция S x0  принимает наименьшее значение, которое равно:
4
 5  2253 2
.
S   3
 4  12 25
Ответ: x 0 
2253 2
5
S

.
4,
123 25


5. Решить уравнение x 2  2 x 2 x  2  9
2x 2
x2  2 x
 0.
Решение:
Уравнение равносильно:
2 x  2  0,
 2
 x2  2 x  9
 x  2 x  3  0,
x2  2 x  3 x2  2 x  3
  0  2 x  2
2 x  2 2


0
 2
x2  2 x
 x  2 x 
 x  2 x  3  0,
 2
 x  2 x  0,
Из первого уравнения совокупности x  1, второе уравнение равносильно совокупности


2



 x  0,
 2
 x  2 x  3  0,
, откуда x  3, третье уравнение не имеет действительных корней. Из
 x  0,


 x 2  2 x  3  0,
x  0
последнего уравнения системы следует, что 
.
 x  2,
Ответ:  3;1;1;3.
6. В правильной треугольной пирамиде
ABCS высота HS  2 , сторона
основания AB  3 . Точка M является серединой ребра SB . Плоскость 
проходит через середину высоты пирамиды перпендикулярно прямой CM .
Найти углы между плоскостями  и (ABC) , между плоскостью  и прямой
( AC ) , между плоскостью  и прямой (SB) .
Решение.
Введем систему координат: A(0,0,0), Ax  ( AC ), Az || HS, Ay  Axz . Тогда
C ( 3, 0, 0), B(
3 3
3 1
, , 0), S ( , , 2) . Следовательно,
2 2
2 2



 
 3
  
3
11 
M 
,1,1, CM 
,1,1, AC 3, 0, 0 , SB0, 1,  2, | CM |
, | AC |  3, | SB |  5 .
2
 2

 2




Вектор n{0, 0,1}  ( ABC ) . Пусть 1 ,  2 , 3 есть углы между плоскостями  и
(ABC ) , между плоскостью  и прямой ( AC ) , между плоскостью  и прямой


(SB) соответственно. Обозначим  1 , 2 , 3 углы между векторами n и CM ;
 
2
| CM  n |
AC и CM ; CM и SB соответственно. Тогда cos1  | cos 1 |  
,


11
| CM |  | n |




| 3 / 2 |
3
,

11
3 11 / 2
| 3 |
6
6
sin  3 | cos 3 |

,  3  arcsin
.
5 11 / 2
55
55
1  arccos
2
,
11
Ответ: arccos
sin  2 | cos 2 |
2
6
3
, arcsin
, arcsin
.
11
55
11
 2  arcsin
3
,
11