Олимпиада по высшей математике на физическом факультете КемГУ 2011/2012 уч. год Задания для 2 курса 1. Пусть a 1 . Сколько различных векторов содержит последовательность: x0 x , x1 a x0 , x2 a x1 , ... ? Решение: Рассмотрим несколько первых членов последовательности. Имеем: x2 a x1 a (a x0 ) a (ax0 ) x0 (a ) 2 a (ax0 ) x0 , т.к. (a ) 2 1 . Далее x3 a x2 a (a (ax0 ) x0 ) a x0 x1 ; x4 a x3 a x1 x2 ; x5 a x4 a x2 x3 x1 ; x6 x2 … . Итак, различных векторов в последовательности будет 5: x0 , x1 , x2 , x1 , x2 . Если x0 a , то 4: x0 , x1 , x0 , x1 . 2. Известны уравнения двух сторон ромба 3x 4 y 7 0, 4 y 3x 10 0 и уравнение одной из его диагоналей x y 2 0 . Составить уравнение вписанной в ромб окружности. Решение: Центр окружности совпадает с центром симметрии ромба, а ее диаметр – с высотой ромба. ( x 0,5) 2 ( y 2,5) 2 0,09 . 3. Вычислить интеграл: 1 arcsin 0 x dx . 1 x Решение: Использовать метод интегрирования по частям. 1 1 1 x x 1 arcsin dx x arcsin ( x /(1 x))dx / 4 1/ 2 I1 . Заменяя в 0 1 x 1 x 0 2 0 t2 11 1 dt 2(t arctg t ) 0 2(1 / 4) . Поэтому 2 1 t 0 1 I1 1 x t , получаем I1 2 arcsin 0 x dx / 2 1. 1 x 4. Решить уравнение: y 3x 2 /( x 3 y 1), y(0) 1. Решение: Положить z x 3 y 1 . Тогда y 1 ln x 3 y 2 . Другой способ: относительно x это уравнение Бернулли. 5. Найти y (x) из уравнения y 2 4 y x 2 0 в виде ряда Маклорена и определить интервал сходимости этого ряда, если y(0) 0 . Решение: Решить сначала уравнение как квадратное относительно y (x) с x2 1 3 5 ... (2n 1) 2 n x , сходится учетом y(0) 0 . y 2 4 x 2 n 8 8 n ! n 1 при x 2 . 2