УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физико- математических дисциплин и информатики

УТВЕРЖДАЮ
зав. кафедрой физикоматематических дисциплин и
информатики
_____________Кирюхова Е.Н.
16 сентября 2015 г, протокол № 1
ВОПРОСЫ
к экзамену по дисциплине «Математика» в 3 семестре 2015/2016 учебного года
в группах ТО-21, АТП-21, ТМ-21, ИСТ-21, ИСТ-22, ИСТз-21
Раздел 6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
1. Определение двойного интеграла и его свойства.
2. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
Повторные интегралы.
3. Тройной интеграл и его свойства.
4. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат.
5. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве.
6. Элементы площади и объема в криволинейных координатах.
7. Замена переменных в двойных и тройных интегралах.
8. Двойной и тройной интегралы в некоторых системах координат (полярные,
цилиндрические и сферические координаты).
9. Применение кратных интегралов.
10. Криволинейные интегралы первого рода и их вычисление.
11. Криволинейные интегралы второго рода и их вычисление.
12. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода.
13. Формула Грина.
14. Определение площади кривой поверхности.
15. Поверхностные интегралы первого рода и их вычисление.
16. Сторона поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности.
17. Поверхностные интегралы второго рода и их вычисление.
18. Формула Остроградского-Гаусса.
19. Формула Стокса.
Раздел 8. Векторный анализ и элементы теории поля.
Скалярные и векторные поля. Векторные линии.
Потенциальная функция векторного поля.
Поток векторного поля.
Дивергенция векторного поля.
Циркуляция векторного поля.
Ротор векторного поля.
Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса в векторной форме, их
физический смысл.
8. Дифференциальные операции первого и второго порядков.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Раздел 9. Интегралы, зависящие от параметра.
1. Непрерывная зависимость интеграла (по конечному промежутку) от
параметра.
2. Дифференцирование по параметру под знаком интеграла.
3. Интегрирование по параметру под знаком интеграла.
4. Равномерная сходимость несобственного интеграла (по бесконечному
промежутку) относительно параметра. Критерий Вейерштрасса.
5. Непрерывная зависимость несобственного интеграла от параметра.
6. Интегрирование по параметру под знаком несобственного интеграла.
7. Дифференцирование по параметру под знаком несобственного интеграла.
8. Гамма-функция (эйлеров интеграл второго рода), ее свойства.
9. Бета-функция (эйлеров интеграл первого рода), ее свойства.
Раздел 10. Числовые и функциональные ряды.
1. Сумма числового ряда. Необходимое условие сходимости.
2. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
(сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши).
3. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.
5. Функциональные ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
функциональных рядов.
6. Свойства равномерно сходящихся рядов (непрерывность суммы, почленное
интегрирование и дифференцирование).
7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Вычисление радиуса сходимости
степенного ряда.
8. Основные свойства степенных рядов.
9. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложимости функции в ряд Тейлора.
10. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.
11. Вычисление значение функций интегралов с помощью степенных рядов.
Раздел 11. Ряд и интеграл Фурье.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Тригонометрическая система функций. Тригонометрический ряд Фурье.
Условия сходимости ряда Фурье.
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
Ряд Фурье для функций с периодом 2l.
Ряд Фурье в комплексной форме.
Представление функции интегралом Фурье.
Косинус и синус преобразования Фурье.
Раздел 12. Элементы теории функций комплексной переменной.
Комплексные числа. Геометрическое изображение. Свойства.
Понятие функции комплексной переменной. Предел и непрерывность.
Основные элементарные функции комплексной переменной.
Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия КошиРимана.
5. Интегрирование функций комплексного переменного.
6. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.
7. Степенные ряды в комплексной области.
8. Ряды Тейлора и Лорана. Классификация особых точек.
9. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах.
10. Понятие конформного отображения. Критерий конформности.
11. Общие теоремы конформности отображений. Функция Жуковского.
1.
2.
3.
4.
Раздел 13. Операционное счисление.
1. Преобразование Лапласа и его свойства.
2. Обратное преобразование Лапласа. Теоремы разложения.
3. Применение метода интегрального преобразования Лапласа к решению
линейных дифференциальных уравнений и систем.
4. Решение уравнений математической физики с помощью преобразования
Лапласа.
Раздел 14. Уравнения математической физики.
Уравнение колебаний струны.
Уравнение теплопроводности.
Метод Даламбера решения уравнений колебания струны.
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности методом
преобразования Фурье.
5. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом Фурье.
6. Метод сеток для решения уравнений математической физики.
1.
2.
3.
4.
Составитель
Бруй И. Н.