Федеральное агентство по образованию Форма Ульяновский государственный университет Ф-Рабочая программа по дисциплине

Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
УТВЕРЖДЕНО
Ученым советом факультета математики и
информационных технологий
Протокол №________ от «____»_________2008 г.
Председатель __________________А.А. Бутов
(подпись, расшифровка подписи)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Дисциплина:
Теория функций комплексного переменного (3 курс)
Кафедра:
Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____
(аббревиатура)
Специальность (направление): 01.02.00 Прикладная математика и информатика
(код специальности (направления), полное наименование)
Дата введения в учебный процесс УлГУ:
«_____» ___________ 2008 г.
Сведения о разработчиках:
ФИО
Петроградский Виктор Михайлович
Аббревиатура
кафедры
АГВ
Ученая степень,
звание
д.ф.м.н.,
доцент
Заведующего кафедрой
Мищенко С.П.
(ФИО)
/_____________/
(Подпись)
«______»__________ 2008 г.
Форма А
Страница 1 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Оглавление
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. ...................................... 3
1.1. Цели ........................................................................................................... 3
1.2. Задачи ........................................................................................................ 3
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ...................... 3
3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ. ............................................................................... 4
3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы: ....................................... 4
3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы: ................... 4
4. СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................ 5
Тема 1. Комплексные числа. .............................................................................. 5
Тема 2. Дифференцируемость комплексных функций ................................... 5
Тема 3. Элементарные функции ........................................................................ 5
Тема 4. Дробно-линейное отображение ........................................................... 5
Тема 5. Интеграл ................................................................................................. 5
Тема 6. Ряды Лорана ......................................... Error! Bookmark not defined.
Тема 7. Вычисление интегралов ........................................................................ 5
Тема 8. Основы геометрической теории ........ Error! Bookmark not defined.
5. ТЕМЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ ............................................................ 6
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО
ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ ................................................ 6
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.............. 8
7.1. Список литературы: ................................................................................. 5
Форма А
Страница 2 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.
Учебная дисциплина «Теория функций комплексного переменного» является
одной из фундаментальных математических дисциплин, изучаемых студентами старших
курсов, обучающихся на специальностях математического профиля. Она является
обязательной общепрофессиональной дисциплиной
Дисциплина «Теория функций комплексного переменного» базируется на знаниях
и умениях, полученных студентами на первых двух курсах.
1.1. Цели
Целями учебной дисциплины являются:
1. овладение базовыми знаниями по теории функций комплексного переменного
2. развитие навыков решения задач
1.2.
Задачи
Основными задачами учебной дисциплины являются:
 формирование у будущих математиков фундаментальных знаний об основах
теории функций комплексного переменного
 приобретение студентами навыков и умений по решению основных задач
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения дисциплины «Теория функций комплексного переменного»
студенты должны
знать:
 элементарные функции комплексного переменного
 конформные отображения, задаваемые элементарными функциями
 свойства аналитических функций
 теорию вычетов и ее применение к вычислению интегралов
 основы геометрической теории комплексных чисел
уметь:
 производить вычисления с комплексными числами, свободно работать с
элементарными функциями комплексного переменного
 вычислять комплексные и вещественные интегралы методами ТФКП
Форма А
Страница 3 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ
3.1.
Объем дисциплины и виды учебной работы:
Вид учебной работы
1
Аудиторные занятия:
Лекции
практические и семинарские занятия
Самостоятельная работа
Всего часов по дисциплине
Текущий контроль (количество и вид,
контрольные работы)
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации
(экзамен, зачет)
Количество часов (форма обучения очная__)
В т.ч. по семестрам
Всего по плану
1
2
3
2
3
4
5
68
68
34
34
34
34
68
68
136
136
2
2
зачет,
экзамен
зачет,
экзамен
3.2.
Распределение часов по темам и видам учебной работы:
Форма обучения ___очная____
Название и разделов и тем
Всего
1
2
Виды учебных занятий
Аудиторные занятия
практиче Самосто
ятельная
ские
лекции
работа
занятия,
семинар
3
4
5
1. Комплексные числа
2. Дифференцируемость комплексных функций
3. Элементарные функции
4. Дробно-линейное отображение
5. Интеграл
6. Ряды Лорана
7. Вычисление интегралов
8. Основы геометрической теории
8
8
8
8
8
8
12
8
4
4
4
4
4
4
6
4
4
4
4
4
4
4
6
4
8
8
8
8
8
8
12
8
Итого
108
34
34
108
Форма А
Страница 4 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
4. СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1. Комплексные числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа, модуль и аргумент. Геометрическая
интерпретация комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень
(формула Муавра) чисел, заданных в тригонометрической форме. Нахождение обратного
числа. Формула извлечения корня n-ой степени
Тема 2. Дифференцируемость комплексных функций.
Условия Коши-Римана дифференцируемости функции. Геометрический смысл
производной. Конформные отображения (первого и второго рода). Гармонические
функции.
Тема 3. Элементарные функции.
Явные формулы для функций: Exp(z), Sin(z), Cos(z), Ln(z). Алгоритм вычисления
функций Arcsin(z), Arccos(z), Arctg(z), Arcctg(z). Отображение плоскости, заданные
формулами f(z)=z2, f(z)=1/z.
Тема 4. Дробно-линейное отображение.
Свойства дробно-линейного отображения: конформность, круговое свойство, свойство
симметрии. Задание дробно-линейного отображения по 3 точкам. Инверсия.
Тема 5. Интеграл.
Интеграл вдоль кривой и его свойства. Теорема Коши. Теорема Коши для неодносвязной
области. Формула Коши. Степенные ряды и операции над ними. Дифференцируемость
степенных рядов в круге сходимости. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Теорема Лиувилля.
Основная теорема алгебры. Существование первообразной. Теорема Морера.
Эквивалентные определения аналитической функции.
Тема 6. Ряды Лорана
Ряд Лорана и область его сходимости. Разложение в ряд Лорана функции, аналитичной в
кольце. Классификация изолированных особых точек. Теорема Сохоцкого.
Бесконечность как изолированная особая точка.
Тема 7. Вычисление интегралов
Вычеты и их вычисление. Вычет в бесконечности. Вычисление вещественных
интегралов. Вычисление вещественных интегралов при помощи леммы Жордана.
Тема 8. Основы геометрической теории.
Форма А
Страница 5 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Теорема единственности. Примеры применения. Риманова поверхность для корня и
Ln(z). Функция Жуковского. Функция sin(z) как конформное отображение.
Принцип аргумента. Теорема Руше. Лемма о сохранении области. Принцип максимума.
Теорема Римана (доказательство единственности).
5. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1. Операции над комплексными числами
2. Дифференцируемость комплексных функций.
3. Элементарные функции.
4. Дробно-линейное отображение.
5. Ряды Лорана и Тейлора, изолированные особые точки.
6. Вычисление комплексных и вещественных интегралов. Вычеты.
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО
ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ
Требования к зачету
Необходимо знать следующие алгоритмы и решать задачи:
1. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
a. Нахождение тригонометрической формы комплексного числа.
b. Умножение, деление и возведение в степень (формула Муавра) чисел, заданных в
тригонометрической форме.
2. Формула извлечения корня n-ой степени.
3. Применение условий Коши-Римана для изучения аналитичности функции.
4. Нахождение аналитической функции по гармонической компоненте.
5. Явные формулы для функций: Exp(z), Sin(z), Cos(z), Ln(z), степень с произвольным
показателем, гиперболические функции.
6. Алгоритм вычисления функций Arcsin(z), Arccos(z), Arctg(z), Arcctg(z).
7. Нахождение образа обобщенной окружности при дробно-линейном отображении.
8. Нахождение образа области, ограниченной частями обобщенных окружностей, при
дробно-линейном отображении.
9. Нахождение образа области, ограниченной отрезками прямых, при отображении
Exp(z).
10. Ряды Тейлора функций Exp(z), Sin(z), Cos(z), ln(1+z), (1+z)α и области их сходимости.
11. Разложение функций в ряд Лорана (Тейлора) в заданном кольце, нахождение области
сходимости ряда Лорана (Тейлора).
12. Определение типа изолированной особой точки (в том числе бесконечной)
a. с помощью изучения предела.
b. путем разложения в ряд Лорана.
13. Нахождение вычета в конечной точке
a. Полюс первого порядка - путем вычисления предела, 2 формулы;
b. Формула вычета для полюса k-ого порядка;
c. Нахождение коэффициента С-1 – для произвольного типа особой точки.
14. Нахождение вычета в бесконечной точке:
a. Использование теоремы о полной сумме вычетов;
Форма А
Страница 6 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
b. Равенство нулю вычета в бесконечности для быстро убывающей рациональной
функции;
c. Нахождение коэффициента – С-1.
15. Вычисление комплексных интегралов вдоль кусочно-гладкой кривой
a. С использованием параметризации
b. Путем вычисления вычетов внутри области
c. Путем вычисления вычета в бесконечности и использование теоремы о полной
сумме вычетов
16. Применение комплексных интегралов для вычисления вещественных интегралов.
a. рациональных функций
b. рациональных функций от Sin(z) и Cos(z).
c. Вычисление вещественных интегралов при помощи леммы Жордана.
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
1. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Сопряжение. Формула Муавра.
Извлечение корней.
2. Условия Коши-Римана.
3. Гармонические функции.
4. Элементарные функции: Exp(z), Sin(z), Cos(z), Ln(z), Arcsin(z).
5. Геометрический смысл производной.
6. Свойства дробно-линейного отображения.
7. Задание дробно-линейного отображения по 3 точкам.
8. Интеграл вдоль кривой и его свойства.
9. Теорема Коши. Теорема Коши для неодносвязной области.
10. Формула Коши.
11. Степенные ряды и операции над ними.
12. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
13. Дифференцируемость степенных рядов в круге сходимости.
14. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Теорема Лиувилля.
Основная теорема алгебры.
15. Существование первообразной. Теорема Морера. Эквивалентные определения
аналитической функции.
16. Разложение в ряд Лорана функции, аналитичной в кольце.
17. Классификация изолированных особых точек.
18. Теорема Сохоцкого. Бесконечность как изолированная особая точка.
19. Вычеты и их вычисление.
20. Вычет в бесконечности.
21. Вычисление вещественных интегралов.
22. Вычисление вещественных интегралов при помощи леммы Жордана.
23. Теорема единственности. Примеры применения.
24. Риманова поверхность для корня и Ln(z).
25. Функция Жуковского.
26. Функция sin(z) как конформное отображение.
27. Принцип аргумента. Теорема Руше.
28. Лемма о сохранении области. Принцип максимума.
29. Теорема Римана (доказательство единственности).
Форма А
Страница 7 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
7.1.
Рекомендуемая литература:
1. А.И. Маркушевич. Краткий курс теории аналитических функций.
Москва. Наука. 1978.
2. Б.В.Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть I.
Москва. Наука. 1976.
3. Волковыский Л.И. Лунц Г.Л. Араманович И.Г.
Сборник задач по теории функций комплексного переменного.
Москва. Наука. 1970.
Форма А
Страница 8 из 8