Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный университет Форма Ф-Рабочая программа по дисциплине ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ Требования к зачету Необходимо знать следующие алгоритмы и решать задачи: 1. Геометрическая интерпретация комплексного числа. a. Нахождение тригонометрической формы комплексного числа. b. Умножение, деление и возведение в степень (формула Муавра) чисел, заданных в тригонометрической форме. 2. Формула извлечения корня n-ой степени. 3. Применение условий Коши-Римана для изучения аналитичности функции. 4. Нахождение аналитической функции по гармонической компоненте. 5. Явные формулы для функций: Exp(z), Sin(z), Cos(z), Ln(z), степень с произвольным показателем, гиперболические функции. 6. Алгоритм вычисления функций Arcsin(z), Arccos(z), Arctg(z), Arcctg(z). 7. Нахождение образа обобщенной окружности при дробно-линейном отображении. 8. Нахождение образа области, ограниченной частями обобщенных окружностей, при дробно-линейном отображении. 9. Нахождение образа области, ограниченной отрезками прямых, при отображении Exp(z). 10. Ряды Тейлора функций Exp(z), Sin(z), Cos(z), ln(1+z), (1+z)α и области их сходимости. 11. Разложение функций в ряд Лорана (Тейлора) в заданном кольце, нахождение области сходимости ряда Лорана (Тейлора). 12. Определение типа изолированной особой точки (в том числе бесконечной) a. с помощью изучения предела. b. путем разложения в ряд Лорана. 13. Нахождение вычета в конечной точке a. Полюс первого порядка - путем вычисления предела, 2 формулы; b. Формула вычета для полюса k-ого порядка; c. Нахождение коэффициента С-1 – для произвольного типа особой точки. 14. Нахождение вычета в бесконечной точке: a. Использование теоремы о полной сумме вычетов; b. Равенство нулю вычета в бесконечности для быстро убывающей рациональной функции; c. Нахождение коэффициента – С-1. 15. Вычисление комплексных интегралов вдоль кусочно-гладкой кривой a. С использованием параметризации b. Путем вычисления вычетов внутри области c. Путем вычисления вычета в бесконечности и использование теоремы о полной сумме вычетов 16. Применение комплексных интегралов для вычисления вещественных интегралов. a. рациональных функций b. рациональных функций от Sin(z) и Cos(z). c. Вычисление вещественных интегралов при помощи леммы Жордана. ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА Форма А Страница 1 из 3 Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный университет Форма Ф-Рабочая программа по дисциплине 1. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Сопряжение. Формула Муавра. Извлечение корней. 2. Условия Коши-Римана. 3. Гармонические функции. 4. Элементарные функции: Exp(z), Sin(z), Cos(z), Ln(z), Arcsin(z). 5. Геометрический смысл производной. 6. Свойства дробно-линейного отображения. 7. Задание дробно-линейного отображения по 3 точкам. 8. Интеграл вдоль кривой и его свойства. 9. Теорема Коши. Теорема Коши для неодносвязной области. 10. Формула Коши. 11. Степенные ряды и операции над ними. 12. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. 13. Дифференцируемость степенных рядов в круге сходимости. 14. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры. 15. Существование первообразной. Теорема Морера. Эквивалентные определения аналитической функции. 16. Разложение в ряд Лорана функции, аналитичной в кольце. 17. Классификация изолированных особых точек. 18. Теорема Сохоцкого. Бесконечность как изолированная особая точка. 19. Вычеты и их вычисление. 20. Вычет в бесконечности. 21. Вычисление вещественных интегралов. 22. Вычисление вещественных интегралов при помощи леммы Жордана. 23. Теорема единственности. Примеры применения. 24. Риманова поверхность для корня и Ln(z). 25. Функция Жуковского. 26. Функция sin(z) как конформное отображение. 27. Принцип аргумента. Теорема Руше. 28. Лемма о сохранении области. Принцип максимума. 29. Теорема Римана (доказательство единственности). Форма А Страница 2 из 3 Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный университет Форма Ф-Рабочая программа по дисциплине 1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ. 7.1. Рекомендуемая литература: 1. А.И. Маркушевич. Краткий курс теории аналитических функций. Москва. Наука. 1978. 2. Б.В.Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть I. Москва. Наука. 1976. 3. Волковыский Л.И. Лунц Г.Л. Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. Москва. Наука. 1970. Форма А Страница 3 из 3