ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1 год, 3 курс, отделение механики

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1 год, 3 курс, отделение механики
1. Комплексные числа, комплексная плоскость, модуль и аргумент комплексного числа.
2. Числовые последовательности и пределы. Бесконечно удаленная точка, расширенная комплексная плоскость. Множества на плоскости и на расширенной комплексной
плоскости. Области, их порядок связности. Кривые.
3. Стереографическая проекция. Угол с вершиной в бесконечно удаленной точке.
4. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Дифференцируемость, производная, условия Коши-Римана. Понятие аналитичности (голоморфности)
функции.
5. Геометрический смысл дифференцируемости и производной. Конформные отображения. Понятие о теореме Римана.
6. Элементарные функции (линейная и дробно-линейная функции, экспонента и логарифм, степень с произвольным показателем, функция Жуковского, тригонометрические и
гиперболические функции), их применение к конформным отображениям областей. Понятие о многозначной аналитической функции и ее римановой поверхности на примерах логарифмической и степенной функций.
7. Интеграл от функции комплексного переменного, его основные свойства. Формула
Ньютона-Лейбница.
8. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши.
9. Интеграл типа Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций.
Теорема Мореры.
10. Формулы Сохоцкого.
11. Последовательности и ряды аналитических функций, теорема Вейерштрасса.
12. Степенные ряды, их основные свойства. Разложение аналитической функции в степенной ряд, единственность разложения. Связь радиуса сходимости степенного ряда с
геометрией области аналитичности его суммы.
13. Действия со степенными рядами.
14. Теорема единственности для аналитических функций. Нули аналитической функции.
I5. Ряд Лорана, теорема Лорана. Единственность разложения функции в ряд Лорана.
16. Неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда и ряда Лорана. Теорема
Лиувилля и теорема об устранимой особой точке.
17. Изолированные особые точки однозначного характера. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса, понятие о теореме Пикара.
18. Вычеты, их вычисление. Теоремы Коши о вычетах.
19. Применение вычетов к вычислению интегралов. Лемма Жордана.
20. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше, некоторые ее применения.
21. Локальное обращение аналитической функции. Принцип сохранения области.
Принцип максимума модуля и лемма Шварца. Дробно-линейность конформного отображения круга на себя.
22. Локальная однолистность, связь с конформностью. Достаточное условие однолистности. Понятие о соответствии границ при конформном отображении.
23. Аналитическое продолжение. Полная аналитическая функция в смысле Вейерштрасса и ее риманова поверхность. Изолированные особые точки многозначного характера.
24. Аналитическое продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии.
25. Принцип симметрии.
26. Конформное отображение верхней полуплоскости на многоугольник, формула
Кристоффеля-Шварца. Понятие об эллиптическом синусе.
27. Гармонические функции двух переменных, их связь с аналитическими функциями.
Принцип максимума, теоремы единственности, теорема о среднем. Интегралы Пуассона и
Шварца. Понятие о задаче Дирихле. Разложение гармонической функции в круге в ряд
гармонических полиномов, связь с тригонометрическими рядами.
28. Гидромеханический смысл аналитических функций.
Литература
1. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. M., 1984.
2. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. M., 1978.
3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.
М., 1987.
4. Евграфов М.А., Сидоров Ю.B., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Бежанов К.А. Сборник
задач по теории аналитических функций. M., 1972.
5. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М., I975.
6. Долженко Е.П., Николаева С.Н. Теория функций комплексного переменного. Методические указания. М., изд-во МГУ, 1988.
Дополнительная литература
1. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.,
1972.
2. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. T 1, 2. M., 1967.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3., ч. 2. M., 1974.
4. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М., 1974.
5. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного
переменного. М., 1976.
6. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т. 1. М., 1986.