Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Естественно-научный институт
УТВЕРЖДАЮ:
Заведующий кафедрой
профессор Смагин С.И.
___________________
«___»_________2010г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины
«Теория функций комплексной переменной»
для специальности: 190105.65 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем»
Составитель: доцент Иванов Андрей Николаевич
Обсуждена на заседании кафедры «Прикладная математика»
«__» ____________ 20____ г., протокол № ___
Одобрена на заседании
методической
комиссии
«Естественно-
научного института»
«___» ____________ 20____ г., протокол № ___
Одобрена на заседании методической комиссии «Институт
экономики»
«___» ____________ 20____ г., протокол № ____
2010 г.
1
Введение
Рабочая программа составлена в соответствии с содержанием и
требованиями Государственного образовательного стандарта для
специальности
090105.65 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем» (группа 22К).
Программа учебного курса «Теория функций комплексной переменной» (ТФКП) включает наименование тем и основных вопросов,
которые излагаются при чтении лекций и проведении практических занятий, список рекомендуемой учебной и специальной литературы, вопросы итогового контроля.
2
1. Цели и задачи дисциплины,
ее связь с другими дисциплинами
Основные цели:
– обучение основным математическим методам, необходимым для
анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске
оптимальных решений для осуществления научно-технического прогресса и выбора наилучших способов реализации решений;
– формирование качеств личности студентов, развитие их способностей к логическому и абстрактному мышлению.
Основные задачи:
– на примерах математических понятий и методов продемонстрировать студентам действие законов диалектики, сущность научного
подхода, специфику дисциплины и ее роль в осуществлении научнотехнического прогресса;
– научить студентов приемам исследования и решения математически формализованных задач;
– выработать у студентов умение эффективного анализа литературы по дисциплине и ее приложениям;
– показать общность комплексных чисел, по сравнению с действиетльными числами и общность функции комплексного переменного, по
сравнению с функцией действиетльного переменного;
– закрепить и углубить основные понятия действительного анализа
через аналогичные понятия комплексного анализа;
– показать роль класса аналитических функций в решении задач
механики и физики;
– установить межпредметную связь геометрии, алгебры и действительного анализа через комплексный анализ.
Связь с другими дисциплинами. Методы ТФКП представляют инструмент научного анализа реальных процессов, поэтому применяются во всех научных дисциплинах, как естественнонаучного цикла, так и
гуманитарного цикла.
В рамках ГОС для данной специальности дисциплина ТФКП должна преимущественно устанавливать междисциплинарные связи с базовыми общеобразовательными курсами и курсами специализации.
Курс матеметики:
– решение алгебраических уравнений над полем комплексных чисел;
– преобразования плоскости как конформные отображения;
– комплексное число как радиус-вектор;
– вычисление несобственных интегалов с помощбю вычетов;
– аналитические функции как гармонические функции;
– операционный метод как метод решения обыкновенных диффе3
ренциальных уравнений.
Курс физики:
– сила тока, полное сопротивление цепи, мощность как комплексные величины;
– профиль крыла самолета как образ функций Жуковского;
– гармонические функции в гидродинамике;
– комплексные ряды как модели периодических сигналов;
– аналитические функции в анализе плоского установившегося
движения жидкости и плоского электростатического поля.
2. Объем дисциплины и её распределение по видам работ
Вид занятий
Всего
Лекции
Практические занятия
Лабораторные занятия
Самостоятельная работа
Контрольная работа
(аудиторные часы)
РГР
Итого часов
Зачет
Экзамен
36
18
96
Количество часов
Распределение по семестрам
1
2
3
4
36
18
96
+
+
3
150
1
3
150
+
3. Требования ГОС к обязательному минимуму
содержания основной образовательной программы
Индекс
ЕН.Ф
Дисциплина и ее основные разделы
Федеральный компонент
Всего
часов
1900
ЕН.Ф.01 Математика :
900
Теория функций комплексного переменного:
голоморфные функции; условия Коши-Римана; степенные ряды в комплексной области; экспонента и логарифмы в комплексной области; аналитические функции и их основные
свойства; нули аналитической функции; полюсы; мероморфные функции; криволинейные интегралы; гладкие пути; дифференциальные формы; гомотопия; односвязные и звездные
области; гармонические функции и их связь с аналитическими
функциями; целые функции; теорема Лиувилля; принцип максимума модуля; формула Грина; интеграл типа Коши; ряды
Лорана; изолированные особые точки и их классификация; вычеты; принцип аргумента; вычисление интегралов с помощью
вычетов.
4
4. Научная новизна дисциплины и её место
в профессиональной подготовке выпускника
Научная новизна обусловлена авторским подходом к чтению лекций и проведению практических работ. Особенностью курса является
рассмотрение методов теории функции комплексного переменного к
решению задач действтельного анализа и задач физики.
Изучение ТФКП как раздела математики – фундаментальной и
сложной научной дисциплины способствует личностному развитию
будущего выпускника. Как абстрактная дисциплина, математика выступает инструментом совершенствования мыслительных операций,
образующих основу абстрактного мышления. Образное мышление,
при работе с геометрической интерпретацией абстрактных задач, также интенсивно совершенствуется.
Кроме того, дисциплина способствует выработке аккуратности,
пунктуальности и дисциплинированности в поведении будущего выпускника, так как решение математической задачи требует четкой и
строгой математической записи, внимательности.
Выработанная способность выделять главное и пользоваться полученным результатом решения математической задачи, безусловно,
скажется на уровне выполнения курсовых и выпускных квалификационных работах, что способствует повышению профессиональной подготовки будущих специалистов.
5. Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо
при изучении данной дисциплины
Дисциплина «Теория функций комплексного переменного» рассчитана на студентов средних курсов, которые прослушали, в рамках
дисциплины «Математика», следующие курсы:
– аналитическая геометрия;
– дифференциальное исчисление функции одной и многих переменных;
– интегральное исчисление функции одной и многих переменных;
– числовые, функциональные ряды над полем действительных чисел;
– векторный анализ (теория поля);
– дифференциальные уравнения.
5
6. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Номер
темы
Перечень контролируемых учебных элементов.
Студент должен:
Тема
11 .. КК оо м
м пп лл ее кк сс нн ы
ы йй аа нн аа лл ии зз
Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа.
Опрерации над комплексными числами
1.1.
Комплексные числа: модуль комплексного числа
1.2.
Комплексные числа: аргумент комплексного числа
1.3.
Тригонометрическая форма комплексного числа
1.4.
Операции над комплексными числами: деление
1.5.
Операции над комплексными числами: возведение в степень (в тригонометрической форме)
знать: определения модуля комплексного
числа
уметь: вычислять модуль комплексного
числа
знать: определение аргумента комплексного числа
уметь: вычислять аргумент комплексного
числа
знать: геометрическую иллюстрацию
комплексных чисел на плоскости
уметь: записывать комплексное число в
тригонометрической форме
знать: - определение операции деления
комплексных чисел
- определение комплексно- сопряженных
чисел
уметь: выполнять операцию деления
комплексных чисел в алгебраической
форме
знать: формулу возведения в степень
комплексного числа, заданного в тригонометрической форме
уметь: применять формулу возведения в
степень комплексного числа, заданного в
тригонометрической форме
Теория функций комплексной переменной
1.6.
Конформные отображения
1.7.
Дифференцирование функции комплексного переменного
1.8.
Особые точки функций комплексного переменного
1.9.
Вычеты и их применение
6
знать: свойства элементарных функций
при конформных отображениях
уметь: находить образы точек при заданных отображениях
знать: определение производной функции комплексного переменного
уметь: вычислять производные функций
комплексного переменного
знать: определение особой точки функции комплексного переменного
уметь: определять особые точки функций
комплексного переменного
знать: определение вычета функции в
изолированной особой точке и формулы
для его нахождения
уметь: находить вычет функции в изолированной особой точке
Номер
темы
Тема
1.10.
Показательная функция в комплексной области. Формулы Эйлера
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
Перечень контролируемых учебных элементов.
Студент должен:
знать: показательную форму записи комплексного числа. Формулу Эйлера
уметь: выписывать показательную форму
комплексного числа
знать: формулу Эйлера для вычисления
тригонометрических функций комплексОсновные элементарные функции в ной переменной
комплексной плоскости
уметь: применять формулу Эйлера для
вычисления значений тригонометрических функций комплексной переменной
знать: правило отображения в комплексОтображение в комплексной плосной плоскости
кости
уметь: отображать комплексное число
знать: мнимую и действительную часть
Мнимая и действительная части
функции комплексного переменного
функции комплексного переменно- уметь: определять мнимую и действиго
тельную часть функции комплексного переменного
знать: интегральную формулу Коши
Интегральная формула Коши
уметь: применять интегральную формулу
Коши; определять особую точку
знать: геометрическую интерпретацию
Геометрическая интерпретация
комплексного числа
комплексных чисел
уметь: изображать на плоскости множества комплексных чисел
7
7. Тематическое содержание курса
7.1. Содержание лекционного курса
Номер
семестра и
недели
Номер
лекции
1
2
3.1.
1
3.2.
2
Тема лекции
Содержание лекции
3
Модуль 1. Комплексная
плоскость.
Тема. Дейсвия над элементами комплексной плоскости.
Модуль 1. Комплексная
плоскость.
Тема. Множества на комплексной плоскости.
4
Понятие комплексной плоскости и ее элементов. Формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами в
различных формах.
3.3.
3
Модуль 1. Комплексная
плоскость.
Тема. Последовательности
в С.
3.4.
4
Модуль 1. Комплексная
плоскость.
Тема. Числовые ряды в С.
5
Модуль 2. Дифференцирование КФКП.
Тема. Понятие функции
комплексной переменной
(ФКП).
3.5.
3.6.
6
3.7.
7
Модуль 2. Дифференцирование КФКП.
Тема. Предел и непрерывность ФКП.
Модуль 2. Дифференциро-
Кол-во
Литература
часов
5
6
2
[1-18]
2
[1-18]
2
[1-18]
2
[1-18]
2
[1-18]
Предел функции комплексной переменной. Непрерывность
функции комплексной переменной. Элементарные функции
комплексной переменной.
2
[1-18]
Производная функции комплексного переменного. Условия
2
[1-18]
Расширенная комплексная плоскость. Уравнения кривых на
комплексной плоскости. Некоторые линии в С. Области в С.
Принцип теории пределов комплексных чисел. Сходимость
последовательности комплексных чисел. Основные теоремы
теории пределов последовательностей комплексных чисел.
Определение комплексной экспоненты через предел числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно
большие последовательности комплексных чисел.
Понятие числового ряда с комплексными членами. Виды сходимости комплексного ряда. Основные теоремы теории комплексных числовых рядов.
Отображение множеств. Понятия комплексной функции действительного и комплексного переменного. Комплексная
функция действительного переменного. Комплексная функция
комплексной переменной. Геометрическая интерпретация.
Обратная функция комплексного переменного. Выделение
однозначных ветвей.
9
Номер
семестра и
недели
Номер
лекции
1
2
3.8.
8
3.9.
9
3.10.
10
Тема лекции
Содержание лекции
3
4
вание КФКП.
Даламбера-Эйлера (Коши-Римана).
Тема.
Дифференцирование ФКП.
Аналитические функции. Гармонические функции. Связь гарМодуль 2. Дифференциро- монических функций с аналитическими функциями. Восставание КФКП.
новление аналитической функции по заданной её действиТема.
Аналитические тельной или мнимой части. Приложение аналитических функфункции.
ций в задачах теории поля и уравнениях математической физики.
Модуль 3. Интегрирование
КФКП.
Криволинейный интеграл по кривой в комплексной плоскости.
Тема. Криволинейный и
Неопределенный интеграл ФКП.
неопределенный интегралы ФКП.
Модуль 3. Интегрирование
Основная теорема Коши для односвязной области. Основная
КФКП.
теорема Коши для односвязного замыкания. Основная теореТема. Основные теоремы
ма Коши для многосвязного замыкания. Следствия основных
интегрального исчисления
теорем Коши. Вычет КФКП. Основная теорема о вычетах.
ФКП.

3.11.
11
3.12.
12
3.13.
13
5
6
2
[1-18]
2
[1-18]
2
[1-18]
2
[1-18]
2
[1-18]
2
[1-18]
n
Модуль 3. Интегрирование Интегрирование степеней z  a . Интеграл Коши КФКП.
Следствия интегральной формулы Коши. Способы вычислеКФКП.
Тема. Интеграл Коши ФКП. ния интегралов по контуру. Принцип максимума модуля. Интегральные формулы Шварца и Пуассона.
Функциональные последовательности. Предел функциональМодуль 4. Функциональные ной последовательности. Функциональные ряды. Сумма ряда.
ряды в С.
Область сходимости. Степенной ряд. Круг сходимости. Сумма
Тема. Понятие функцио- степенного ряда. Примеры нахождения суммы степенных рянальной последовательно- дов. Свойства степенных рядов. Примеры решения двух оссти и ряда в С.
новных задач теории функциональных рядов на комплексной
плоскости.
Модуль 4. Функциональные Разложение аналитических функций в степенной ряд. Теореряды в С.
ма Тейлора. Ряды Тейлора для некоторых функций.
10
Кол-во
Литература
часов
Номер
семестра и
недели
Номер
лекции
1
2
3.14.
14
3.15.
15
3.16.
16
3.17.
17
3.18.
18
Тема лекции
Содержание лекции
3
Тема. Ряд Тейлора ФКП.
4
Ряд по целым степеням. Теорема Лорана. Следствия теореМодуль 4. Функциональные
мы Лорана (теорема Лиувилля). Разложение рациональных
ряды в С.
дробей в ряд Лорана. Ряд Лорана в бесконечно удаленной
Тема. Ряд Лорана ФКП.
точке.
Модуль 5. Геометрия аналитических фукций в С.
Нули аналитической функции. Классификация изолированных
Тема. Нули и особые точки особых точек. Понятие целых и мероморфных функций.
ФКП.
Модуль 5. Геометрия ана- Понятие вычета ФКП через ряды Лорана. Вычисление вычелитических фукций в С.
тов в правильной точке и во всех типах особых точек. ПримеТема. Вычет ФКП и его нение вычетов к вычислению интегралов. Принцип аргумента
применение.
аналитической функции.
Модуль 5. Геометрия ана- Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
литических фукций в С.
Прямая и обратная задачи конформного отображения. КонТема. Конформные отоб- формные отображения некоторых элементарных функций
ражения.
комплексного переменного.
Модуль 5. Геометрия аналитических фукций в С.
Конформность отображений: линейного, дробно-линейного и
Тема. Конформные отобстепенного.
ражения
элементарных
функций.
11
Кол-во
Литература
часов
5
6
2
[1-18]
2
[1-18]
2
[1-18]
2
[1-18]
2
[1-18]
7.2. Содержание практического курса
Номер семестра
и недели
Номер практического
занятия
Содержание практического занятия
Кол-во
часов
Литература
1
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
2
3
4
5
3.8.
1
Действия над комплексными числами.
2
[1-18]
2
Построение кривых и областей в С.
2
[1-18]
3
Исследование сходимости числовых рядов в С.
2
[1-18]
4
Исследование функции на дифференцируемость в точке и области.
Восстановление действительной и мнимой частей ФКП.
2
[1-18]
5
Вычисление криволинейных и неопределенных интегралов ФКП.
2
[1-18]
6
Вычисление контурных интегралов ФКП.
2
[1-18]
3.14.
7
Нахождение области сходимости степенных рядов. Разложений ФКП
в ряд Тейлора.
2
[1-18]
3.15.
3.16.
3.17.
8
Разложение ФКП в ряд Лорана.
2
[1-18]
3.18.
9
Вычисление интегралов действительного анализа с применением
вычетов.
2
[1-18]
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
12
8. Самостоятельная работа студентов
Цель и задачи самостоятельной работы. Самостоятельная работа студентов направлена на развитие практических навыков, навыков
правильного оформления результатов решения математических задач, закрепление теоретических основ дисциплины, работу с учебнометодической литературой, углубленное изучение дисциплины
«ТФКП».
Формы самостоятельной работы:
– проработка лекционного материала;
– домашняя работа над решением задач;
– выполнение расчетно-графической работы (РГР) (типового расчета (ТР)).
Самостоятельная работа студентов состоит из непрерывной аудиторной и внеаудиторной работы по выполнению текущих заданий и
различных форм циклической работы по выполнению индивидуальных расчетно-графических работ по целым разделам (темам) курса
ТФКП. Каждая РГР состоит из трех частей:
– теоретические вопросы;
– теоретические упражнения;
– задачи и примеры.
Теоретические вопросы и теоретические упражнения являются
общими для всех студентов, примеры и задачи для каждого студента
индивидуальные. Контроль за выполнением РГР проводится в два
этапа:
1 этап – предварительная проверка правильности письменных отчетов о решении задач и теоретических упражнений;
2 этап – защита РГР в письменной или устной форме.
Студенты должны выполнить следующие РГР:
1. Комплексная плоскость.
2. Дифференцирование и интегрирование ФКП.
3. Ряды над полем комплексных чисел. Вычеты и их применение.
9. Форма контроля усвоения материала
Цель и задачи контроля. Основной задачей контроля за качеством
усвоения материала курса является обеспечение постоянной, систематической работы студентов в течение семестра.
Систематическая работа над изучением теоретического материала, выполнение практических и индивидуальных заданий в соответствии с планом занятий, своевременное принятие мер к отстающим
студентам обеспечат качественное усвоение материала.
13
Основные формы промежуточного контроля:
– контроль остаточных знаний по итогам семестра;
– рубежный контроль (результаты на момент аттестационной недели);
– по контрольным работам студентов;
– по самостоятельным работам студентов.
Мониторинг за качеством усвоения теоретического и практического
материала по дисциплине «ТФКП» осуществляется на основе модульно-рейтинговой системы.
Форма итогового контроля. По курсу «ТФКП» учебным планом
предусмотрен экзамен. На экзаменах выясняется, прежде всего, усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических (типовых)
задач. Основные положения теории, правила должны формулироваться точно, с пониманием их математической сущности. Решение
типовых задач должно быть проведено уверенно и без ошибок.
При выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым настоящей программой.
10. Вопросы к экзаменам
1. Комплексная плоскость (Понятие комплексного числа, его формы записи, геометрическая интерпретация).
2. Взаимосвязь форм комплексных чисел. Формула Эйлера. Операции с комплексными числами.
3. Кривые и области в C .
4. Расширенная комплексная плоскость (Сфера Римана, стереографическая проекция, бесконечно удаленная точка).
5. Последовательность комплексных чисел (Понятие, ограниченная, неограниченная последовательность, бесконечно малая и бесконечно большая последовательности, связь б.м. последовательности с
б.б.).
6. Предел последовательности комплексных чисел (Определения
по Гейне и Коши, сходимость к бесконечно удаленной точке, теорема
о сходимости последовательности, действия над пределами последовательностей, фундаментальная последовательность, критерий Коши).
7. Сходимость комплексных числовых рядов. Блок-схема исследования рядов с комплексными членами.
8. Признаки сходимости и абсолютной сходимости рядов с комплексными членами.
9. Отображение комплексной плоскости. Функция комплексной пе14
ременной. Геометрическая интерпретация.
10. Обратная функция комплексной переменной. Выделение однозначных ветвей.
11. Предел функции комплексной переменной (Определения по
Гейне, Коши, на языке окрестностей, необходимое и достаточное
условие существования предела ФКП, критерий Коши, свойства пределов, бесконечный предел в точке, предел в бесконечно удаленной
точке).
12. Непрерывность функции комплексной переменной (Определения по Коши и на языке приращений непрерывности ФУП в точке, непрерывность в области, равномерная непрерывность, необходимое и
достаточное условие непрерывности ФКП в точке, свойства, точка
разрыва, примеры).
13. Производная функции комплексной переменной.
14. Условия Даламбера-Эйлера.
15. Аналитические функции. Свойства аналитических функций.
16. Гармонические функции. Связь гармонических функций с аналитическими функциями. Восстановление аналитической функции по
заданной ее действительной или мнимой части.
17. Криволинейный интеграл по кривой в комплексной плоскости.
Контурный интеграл.
18. Свойства криволинейного интеграла функции комплексной переменной. Неопределенный интеграл ФКП.
19. Основная теорема Коши для односвязной области.
20. Основная теорема Коши для многосвязной области.
21. Следствия основных теорем Коши. Понятие интеграла Коши.
22. Интегральная формула Коши, ее следствия.
23. Способы вычисления интеграла по контуру.
24. Функциональные последовательности. Предел функциональной последовательности.
25. Функциональные ряды. Сумма ряда. Область сходимости.
26. Степенной ряд. Круг сходимости. Сумма степенного ряда. Примеры нахождения суммы степенных рядов.
27. Свойства степенных рядов. Теорема Тейлора. Ряд Тейлора.
Ряды Тейлора для некоторых функций.
28. Ряд по целым степеням. Теорема Лорана.
29. Следствия теоремы Лорана. Разложение рациональных дробей
в ряд Лорана.
30. Нули аналитической функции.
31. Классификация изолированных особых точек. Порядок полюса.
Связь нуля и полюса.
32. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке.
Основная теорема о вычетах. Обобщенная теорема о вычетах.
33. Вычисление вычетов в правильной точке и во всех типах особых точек.
15
34. Применение вычетов к вычислению интегралов.
11. Примерный календарный план дисциплины
ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Институт/факультет Управления, автоматизации и телекоммуникаций
Специальность/направление 190105.65 «Комплексное обеспечение
подготовки информационной безопасности автоматизированных систем»
Курс 2
Группа (ы) 22К
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
занятий по дисциплине
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
полное наименование дисциплины
в _3_ семестре 2010/2011 учебного года
Число часов лекций
Число часов практических занятий
Число часов лабораторных занятий
Всего аудиторных занятий
Число часов самостоятельной работы
Форма отчетности
Лектор
36
18
0
54
96
экзамен
доцент, Иванов А.Н.
должность, Ф.И.О.
Руководители групповых занятий
доцент, Иванов А.Н.
должность, Ф.И.О.
2
2
Контроль качества
усвоения материала
2
4
5
6
7
8
2
Действия над комплексными числами.
Комплексная плоскость.
Понятие комплексной плоскости и
ее элементов. Формы записи комплексных чисел. Действия над
комплексными числами в различных формах.
Множества на комплексной
плоскости.
Кривые и области в C. Расширенная комплексная плоскость.
16
Рейтинг
1
3
Тема и содержание
практических и
лабораторных занятий
Формы проведения.
Использование ТСО, ЭВМ
2
Количество часов
Количество часов
1
Тема и содержание лекции
Формы проведения.
Использование ТСО, ЭВМ
Недели
1. План лекций, практических и лабораторных занятий
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
2
17
Формы проведения.
Использование ТСО, ЭВМ
Контроль качества
усвоения материала
6
7
8
Рейтинг
4
5
2
Построение кривых и областей в С.
2
Исследование сходимости
числовых рядов в С.
Рейтинг
2
4
Тема и содержание
практических и
лабораторных занятий
2
Исследование функции на
дифференцируемость в
точке и области. Восстановление действительной
и мнимой частей ФКП.
Рейтинг
3
3
Последовательности в С.
Последовательности комплексных
чисел. Предел последовательности. Критерий Коши.
Числовые ряды в С.
Понятие числовых рядов с комплексными членами. Виды сходимости числовых рядов в С. Признаки абсолютной сходимости
числовых рядов в С. Критерий
Коши для числовых рядов в С.
Понятие функции комплексной
переменной (ФКП).
Отображение комплексной области. Функция комплексной переменной. Геометрическая интерпретация.
Обратная функция комплексного
переменного. Выделение однозначных ветвей.
Предел и непрерывность ФКП.
Предел и непрерывность функции
комплексной переменной.
Элементарные функции комплексной переменной.
Дифференцирование ФКП.
Производная функции комплексного переменного. Условия Даламбера-Эйлера (Коши-Римана).
Аналитические функции.
Понятие аналитической функции,
их свойства. Гармонические
функции. Связь гармонических
функций с аналитическими функциями. Восстановление аналитической функции по заданной её
действительной или мнимой части.
Криволинейный и неопределенный интегралы ФКП.
Понятие криволинейного интеграла ФКП, его свойства. Понятие
неопределенного интеграла ФКП.
Таблица интегралов.
Количество часов
Количество часов
2
Формы проведения.
Использование ТСО, ЭВМ
Недели
1
Тема и содержание лекции
13 2
14 2
15 2
16 2
17 2
18
Контроль качества
усвоения материала
7
8
Рейтинг
Формы проведения.
Использование ТСО, ЭВМ
6
2
Вычисление криволинейных и неопределенных
интегралов ФКП.
2
Вычисление контурных
интегралов ФКП.
2
Нахождение области сходимости степенных рядов.
Разложений ФКП в ряд
Тейлора.
2
Разложение ФКП в ряд
Лорана.
Рейтинг
12 2
5
Рейтинг
11 2
4
Тема и содержание
практических и
лабораторных занятий
Рейтинг
10 2
3
Основные теоремы интегрального исчисления ФКП.
Основная теорема Коши для односвязной области. Основная
теорема Коши для односвязного
замыкания. Основная теорема
Коши для многосвязного замыкания. Следствия основных теорем
Коши.
Интеграл Коши ФКП.
Построение интеграла Коши ФКП.
Интегральная формула Коши, ее
следствия. Способы вычисления
контурных интегралов.
Функциональные ряды в С.
Функциональные последовательности. Предел функциональной
последовательности. Функциональные ряды. Сумма ряда. Область сходимости. Степенной ряд.
Круг сходимости. Сумма степенного ряда. Примеры нахождения
суммы степенных рядов.
Ряд Тейлора ФКП.
Свойства степенных рядов. Теорема Тейлора. Ряд Тейлора. Ряды Тейлора для некоторых функций.
Ряд Лорана ФКП.
Ряд по целым степеням. Теорема
Лорана. Следствия теоремы Лорана.
Разложение ФКП в ряд Лорана.
Разложение рациональных дробей в ряд Лорана. Ряд Лорана в
бесконечно удаленной точке.
Нули и особые точки ФКП.
Нули аналитической функции.
Классификация изолированных
особых точек.
Вычет ФКП и его применение.
Понятие вычета ФКП. Основная
теорема о вычетах. Вычисление
вычетов в правильной точке и во
всех типах особых точек. Применение вычетов к вычислению интегралов.
Количество часов
Количество часов
2
Формы проведения.
Использование ТСО, ЭВМ
Недели
1
Тема и содержание лекции
Контроль качества
усвоения материала
4
5
6
7
8
2
Вычисление интегралов
действительного анализа с
применением вычетов.
Конформные отображения.
Геометрический смысл модуля и
аргумента производной. Прямая и
обратная задачи конформного
отображения. Конформные отображения некоторых элементарных
функций комплексного переменного.
19
Рейтинг
Тема и содержание
практических и
лабораторных занятий
Формы проведения.
Использование ТСО, ЭВМ
18 2
3
Количество часов
Количество часов
2
Формы проведения.
Использование ТСО, ЭВМ
Недели
1
Тема и содержание лекции
Рейтинговые баллы по неделям и видам работ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
ПЛМ (проработка
36
лекционного материала)
ДЗ (домашнее задание)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
РГР №1. Комплексная
20
2
7
14
плоскость.
РГР №2.
Дифференцирование и
20
7
12
14
интегрирование ФКП.
РГР №3. Ряды над полем
комплексных чисел. Вычеты
20
12 16
14
и их применение.
Рейтинг за неделю
1 1 1 1 1 1 15 1 1 1 1 15 1 1 1 15 1 1
Рейтинг с нарастанием
1 2 3 4 5 6 21 22 23 24 25 40 41 42 43 58 59 60
* Заполнение граф плана обязательно, кроме граф "Срок выдачи" и "Срок сдачи"
Рейтинговый балл устанавливается преподавателем суммарно по всем видам занятий
Рейтинг по
виду
работ
Наименование вида работы
(подготовка к аудиторным
занятиям, РГР, КП, КР и т.д.)
Часы
самост.
работы
Срок
выдачи
Срок
сдачи
2. Выполнение плана самостоятельной работы*
0
18
14
14
14
60
60
3. Другие виды самостоятельной работы, не включенные в график п.2
(подготовка к лекциям, зачету, тестированию; экскурсии и т.п.)
№
Рейтинговый балл
Вид работы
1
2
3
40
Число
часов
4
Экзамен
Согласовано:
Директор института/
декан факультета
Е.З. Савин
«___» ________ 20__ г.
Зав. кафедрой
С.И. Смагин
«___» ________ 20__ г.
А.Н. Иванов
«___» ________ 20__ г.
Составил(и):
Лектор (должность) доцент
20
12. Учебно-методическое обеспечение
1. Белоцерковский, П. М. Методические указания к решению задач по
разделу "Вычисление функций комплексного переменного" по дисциплине "Высшая математика" для факультета "ЭлЖД" [Текст] : методические указания / П. М.
Белоцерковский ; МИИТ. - М. : [б. и.], 1980. - 36 с. - б.ц.
2. Белоцерковский, П. М. Методические указания к решению задач по
разделу "Приложение функций комплексного переменного к дифференциальным
уравнениям" по дисциплине "Высшая математика" [Текст] : для студентов спец.
фак. "ЭлЖД" / П. М. Белоцерковский ; МИИТ. - М. : [б. и.], 1982. - 34 с. - б.ц.
3. Бицадзе, А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / А. В. Бицадзе. – М. : Изд-во «Наука», 1972. – 264 с. (Библиотека
ДВГУПС).
4. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2:
Учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я Кожевникова. – 6-е изд. –
М. : ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005. – 416 с. : ил. (Библиотека ДВГУПС).
5. Жукова, В. И. Теория функции комплексного переменного [Текст] : практикум / В. И. Жукова. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 1999. – 21 с. (Библиотека
ДВГУПС).
6. Зимина О. В. Высшая математика. Специальные разделы [Текст] / О. В.
Зимина, А. И. Кириллов, Т. А. Сальникова. – 2-е изд., испр. – М. : ФИЗМАТЛИТ,
2006. – 400 с. – (Решебник).
7. Кононенко, Э. Д. Методические указания к проведению практических
занятий по теме "Элементы теории функций комплексного переменного" [Текст] /
Э.Д. Кононенко, В.А. Матвеев ; ХабИИЖТ. Каф. "Высшая математика". - Хабаровск
: [б. и.], 1983. - 40 с. - б.ц.
8. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного /
М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. – 6-е изд., стер. – СПб. : Изд-во «Лань», 2002. – 688
с. – (Учебники для вузов. Специальная литература). (Библиотека ДВГУПС).
9. Ломакина, Е. Н. Комплексные числа [Текст] : метод. указ. и задания к
сам. раб. для студентов 1-курса естеств.-науч. факультета / Е. Н. Ломакина. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2003. – 24 с. (Библиотека ДВГУПС).
10. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. / К. Н. Лунгу,
Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шеыченко. – 3-е изд., испр. и доп. – М. : Айрис-пресс, 2004. – 576 с. – (Высшее образование).
11. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. / К. Н. Лунгу,
Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шеыченко. – 3-е изд., испр. и доп. – М. : Айрис-пресс, 2004. – 592 с. – (Высшее образование).
12. Мантуров, О. В. Курс высшей математики: Ряды. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной переменной. Численные ряды. Теория вероятностей [Текст] : Учеб. для втузов / О.В. Мантуров. - М. : Высш. шк.,
1991. - 448 с. : ил. - 2.00 р., 30.00 р.
13. Маркушевич, А. И. Комплексные числа и конформные отображения
[Текст] / А.И. Маркушевич. - 3-е изд. - М. : Наука, 1979. - 56 с. : ил. - (Популярные
лекции по математике ; вып. 13). - 0.10 р.
14. Монастырская, М. В. Функции комплексного переменного. Элементы
операционного исчисления [Текст] : метод. руководство и типовые задания / М.В.
Монастырская, А.И. Недвецкая ; УЭМИИТ. - Екатеринбург : [б. и.], 1987. - 40 с. б.ц.
21
15. Пантелеев, А. В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах: учебное пособие / А. В. Пантелеев,
А. С. Якимова. – М. : Высшая школа, 2001. – 445 с. : ил. (Библиотека ДВГУПС).
16. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть. –
2-е изд., испр. – М. : Айрис-пресс, 2004. – 256 с. : ил.
17. Привалов, И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного
[Текст] : Учебник / И. И. Привалов. - 14-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 1999. - 432 с. (Высшая математика). - ISBN 5-06-003612-X (Библиотека ДВГУПС).
18. Свешников, А. Г. Теория функций комплексной переменной: учебник
для вузов / А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов. 6-е изд., стереотип. – М. :
ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 336 с. – (Курс высшей математики и математической физики). (Библиотека ДВГУПС).
13. Учебно-методическая карта дисциплины
Номер
семестра
и недели
Аудиторные занятия
Шифр
лекции
Шифр практического занятия
Наглядные и
методические
пособия, ТСО
3.1.
Л-Т.1.
МП
3.2.
Л-Т.2.
ПЗ-Т.1.
МП
3.3.
3.4.
3.5.
Л-Т.3.
Л-Т.4.
Л-Т.5.
ПЗ-Т.2.
МП
МП
МП
3.6.
Л-Т.6.
ПЗ-Т.3.
МП
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
Л-Т.7.
Л-Т.8.
Л-Т.9.
Л-Т.10.
Л-Т.11.
Л-Т.12.
Л-Т.13.
3.14.
Л-Т.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
Л-Т.15.
Л-Т.16.
Л-Т.17.
Л-Т.18.
ПЗ-Т.4.
ПЗ-Т.5.
ПЗ-Т.6.
ПЗ-Т.7.
ПЗ-Т.8.
ПЗ-Т.9.
МП
МП
МП
МП
МП
МП
МП
МП
МП
МП
МП
МП
Самостоятельная работа студентов
Содержание,
темы
часы
ПЛМ
ПЛМ, ДЗ,
РГР-1.
ПЛМ
ПЛМ, ДЗ
ПЛМ
ПЛМ, ДЗ,
РГР-2.
ПЛМ
ПЛМ, ДЗ
ПЛМ
ПЛМ, ДЗ
ПЛМ
ПЛМ
ПЛМ
ПЛМ, ДЗ,
РГР-3.
ПЛМ
ПЛМ, ДЗ
ПЛМ
ПЛМ, ДЗ
2
2
20
2
2
2
2
20
2
2
2
2
2
2
2
2
20
2
2
2
2
Принятые обозначения:
Р – рейтинг,
РГР – расчетно-графическая работа,
ДЗ – домашнее задание,
ПЛМ – проработка лекционного материала,
МП – методические пособия.
22
Формы
контроля
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
14. Технологическая карта дисциплины
Трудоемкость дисциплины (зач. ед.)
Число часов в семестре
Число часов в неделе
Лекций
Лабораторных работ
Практических (семинарских) занятий
Самостоятельной работы
Форма отчетности
190105.65
«Комплексное
обеспечение
информационной
безопасности
автоматизированных систем»
3 семестр
Учебно-методическая
литература
Неделя рубежного контроля
Рейтинговый балл
раздел
один
Затраты времени
в часах
15
Учебно-методическая
литература
Геометрия аналитических фукций в С.
[1-18]
2
4
2
4
8
[1-18]
3
4
4
[1-18]
8
[1-18]
6
8
6
22
6
[1-18]
5
6
4
[1-18]
6
[1-18]
10
12
24
40
6
[1-18]
7
2
[1-18]
6
[1-18]
14
42
8
[1-18]
8
9
4
[1-18]
8
[1-18]
16
18
58
60
22
ТСО
раздел
один
Затраты времени
в часах
12
Номер практического
(семинарского)
занятия
Функциональные
ряды в С.
8
Учебно-методическая
литература
раздел
один
[1-18]
ТСО
10
4
Затраты времени
в часах
Интегрирование
КФКП.
1
2
Номер
лабораторной
работы
раздел
один
Практические (семинарские) занятия
[1-18]
Учебно-методическая
литература
5
Лабораторные работы
Рубежный
контроль
8
ТСО
Дифференцирование
КФКП.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Затраты времени
в часах
Номера разделов
основных учебников
1
раздел
один
Номер лекции
Неделя начала изучения элемента модуля
Комплексная плоскость
Наименование элемента модуля
Самостоятельная
работа
Аудиторная работа
Лекции
5
150
3
36
нет
18
96
экзамен
15. Примерные задачи на экзамен
1. Вычислить контурный интеграл с помощью вычетов
z  1dz
 3 5 .
z 3 z  z
2. Найти вычеты во всех особых точках функции
fz 
fz
z 2
.
z  j z  4 2
3. Вычислить значение функции
fz
в точке
f  z   chz , z 0  ln 2  j .
4. Вычислить предел последовательности z n , используя методы
действительного анализа раскрытия неопределенностей и с помощью
теоремы о сходимости последовательности комплексных чисел, сделать вывод о сходимости этой последовательности, если
zn 
3n  2 j
.
4nj  1
n
5. Решить уравнение вида z  a 
найденные корни на комплексной плоскости
0 , a C .
Изобразить
z 6  j  0.
6. Построить множество, заданное соотношением
 z  1  z  2 j  4,

 z  1  z  2 j  1.
f  z  найти её действительную
Re f  z  и мнимую Im f  z  части
7. Для данной функции
23
f  z   sin z  j  .
8. Найти аналитическую функцию
f  z  , для которой
Re f  z   u x , y   x 2  y 2  3x  y , f  0  j .
9. Вычислить интеграл
 z Re z ,
L
L
– дуга параболы
точке
z  1  2j .
y  2x 2 , начало которой в точке z  0
и конец в
10. Вычислить интеграл
 z sin z ,
L
L
– произвольная линия, соединяющая точки
z  0, z 
j
.
2

11. Исследовать на сходимость числовой ряд
 zn :
n 1

jn

n 1 n
.
12. Разложить функцию в ряд Лорана в окрестностях ее особых точек
z2  j
fz 
2.
z  1  j z  3
13. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце аналитичности с
центром в точке z 0  2  j
24
z2  j
fz 
2.
z  1  j z  3
14. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки z 0
fz 
1
z 2
.
2
z  5z  6
15. Вычислить контурный интеграл

z
4 .

2
z 1 1 z  1
sin
16. Найти область сходимости ряда
3n z  1n

n
n 1  3n  2 2

.
17. Используя условия Коши-Римана, найти область аналитичности
z
функции f  z   e и найти ее производную в этой области.
16. Примеры расчетно-графических работ
РГР № 1 «Комплексная плоскость»
ЗЗааддааччаа 11 –– 66
Записать комплексные числа в алгебраической, показательной и
тригонометрической формах. Изобразить их на комплексной плоскости радиус-векторами.
1
1
j
.
2
2
2. z   3  j .
2
3. z 3  3 j .
1. z 1

 1  2 j .
2
2

5. z 5  3 cos
 j sin  .

5
5 
2
2 

6. z  2 cos   j sin   .
6

3
3 
4. z 4
25
ЗЗааддааччаа 77 –– 1177
Вычислить значение функции
fz
в точке.
f1 z   z 2  2  5 j z  j , z 0  2  3 j .
4  3j
8. f  z  
, z  1 j 3.
2
0
z
2
2
5
9. f  z   z , z 
.

j
0
3
2
2
j
10. f  z   3 z , z  , z 2  8 .
4
1
2
z
11. f5  z   e , z 1  1  j , z 2  ln 2  10j .

12. f6  z   sin z , z 
 j.
0
2
13. f7  z   cos z , z 0  2j .
14. f8  z   sh z  j  , z 0  2  j .
15. f9  z   chz , z 0  ln 2  j .
16. f10  z   Ln  jz  , z 1  1  j , z  j ; найти главное значе2
7.
ние логарифма.
17.
f11 z   z 1 j , z 0 
1 j
.
2
ЗЗааддааччаа 1188 –– 2211
n
Решить уравнение вида z  a 
ные корни на комплексной плоскости.
0 , a C .
Изобразить найден-
z 6  j  0.
3
19. z  27  0 .
4
20. z  1  j  0 .
2
21. z  4  0 .
18.
ЗЗааддааччаа 2222
Найти корни уравнения
плексной плоскости.
z 8  3z 4  1  0
ЗЗааддааччаа 2233
26
и построить их на ком-
Найти действительные корни уравнения
2  j x   j  1y  2  2 j .
ЗЗааддааччаа 2244 –– 2299
Определить вид линии, заданной уравнением в комплексной форме и построить ее в C .
24.
z  2  j  3.
z  3  2j  z  3  4 j .
26. z  2 j  z  1  2 j  4 .
27. z  1  j  z  4  2 j  3 .
4
28. arg z  1  2 j  
.
3
29. Im z  4  j   2 .
25.
ЗЗааддааччаа 3300 –– 3344
Построить множество, заданное соотношением
3  z  j  5.
Im  1    1 ;
  z 
2
31. 

 arg z  .

2


32. 
 arg z  .
4
4
30.
33.
34.
z  2  z  2  3.
 z  2  j  1;

1  Re z  3;

0  Im z  3.
ЗЗааддааччаа 3355 –– 4400
Определить вид линии, заданной уравнением в параметрической
форме.
z t   4t 2  4t  3  j 12t  6 , t  R .
t 2
3 t
j
36. z t  
, t  R \  3;2.
t 2
3 t
1  jt
 3e jt , t  R .
37. z t    e
3
35.
27
2
.
3tg 3t
2
2
39. z t   3t  6t  5  j  t  2t  3 , t  R .
38.
z t   2 cos ec 3t  j

40. z t   t  4  j 1 
тическое значение корня).
ЗЗааддааччаа 4411 –– 4455
Для данной функции
мнимую
41.
42.
43.
44.
45.
Im f  z 

1 t2
fz

,

1  t  1
(берется арифме-
найти её действительную
Re f  z 
и
части.
f  z   jz 2  z .
zj


f z 
.
z  Re z  2
jz 2
fz  e .
f  z   sin z  j  .
f  z   ch 2 jz  1 .
ЗЗааддааччаа 4466 –– 4499
Вычислить предел последовательности z n , используя методы
действительного анализа раскрытия неопределенностей и с помощью
теоремы о сходимости последовательности комплексных чисел, сделать вывод о сходимости этой последовательности, если
3n  2 j
.
4nj  1
2n 2  3 j
47. z n 
.
1  jn
46. z n
 n j  n j.
2n 2  3 j n 2  j
49. z n 
.

4n  2 j 2n  j
48. z n

ЗЗааддааччаа 5500 –– 5577

Исследовать на сходимость числовой ряд
 zn .
n 1

sin n  j cos n
50. 
.
2
n
n 1

2n 2  3nj  1
54. 
.
2
n 1 n j  2
28

1  j 
51.  



2
n 1

52.
n

n 2  2nj  5
55. 
.
4
n 1 n j  5
 jn
56. 
.
n
n 1
 j    1n  n
57. 
.
2
n
n 1
.
n2
2j
 

n 1  3 
 cos jn
53. 
n .
n 1 3
.
РГР № 2 «Дифференцирование и интегрирование ФКП»
Выполнять по практикуму: Жукова, В. И. Теория функции комплексного
переменного [Текст] : практикум / В. И. Жукова. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС,
1999. – 21 с. (Библиотека ДВГУПС).
РГР № 3 «Ряды над полем комплексных чисел. Вычеты и их
применение»
Выполнять по практикуму: Жукова, В. И. Теория функции комплексного
переменного [Текст] : практикум / В. И. Жукова. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС,
1999. – 21 с. (Библиотека ДВГУПС).
29