Программа экзамена по высшей математике спец. «Радиотехника» (4 семестр) Элементы ТФКП. 1.Комплексные числа и операции над ними. 2.Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа. 3.Свойства модуля и аргумента комплексного числа. 4.Корни -ой степени из комплексного числа. Формула для извлечения корней. 5.Комплексная экспонента и комплексный логарифм. Основные свойства экспоненты и логарифма в комплексной области. 6.Комплексная степень комплексного числа и комплексный логарифм по комплексному основанию. 7.Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удаленная точка. Сфера Римана и стереографическая проекция. 8.Окрестности точек в и в . Окрестности бесконечно удаленной точки. 9.Внутренние, граничные и предельные точки подмножеств расширенной комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел и предел последовательности. 10.Основные свойства пределов последовательностей. Комплексная экспонента как предел последовательности. Понятие области в . 11. Функции комплексной переменной и способы их задания. Примеры функций: линейная функция и ее свойства, дробно-линейная функция, степенная функция и многочлены, экспонента и логарифм. 12. Предел функции в точке и свойства пределов функции. Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутых ограниченных множествах. 13. Производная функции комплексной переменной. –дифференцируемость функции и - дифференцируемость. Условия Коши-Римана. 14.Основные правила дифференцирования функций комплексной переменной. 15.Голоморфность функции в точке. Примеры голоморфных функций. Голоморфность аналитической функции в точке. Понятие об особых точках функций. Голоморфность функции в бесконечно удаленной точке. 16. Понятие гармонической функции. Гармоничность вещественной и мнимой частей голоморфной в области функции. Сопряженные гармонические функции и существование сопряженной гармонической функции в односвязной области. 17. Однолистность функции на множестве и конформность отображения в точке. Конформность отображения в области. Признак конформности отображения в точке и геометрический смысл производной. 18. Первообразная для функции в области. Теорема единственности первообразной в области. Примеры первообразных. 19. Определение интеграла вдоль контура от функции комплексной переменной. Основные элементарные свойства интеграла. 20.Интегральная теорема Коши и теорема Коши о составном контуре. 21.Интегральная формула Коши. Теорема о среднем для голоморфных функций и принцип максимума модуля. 22.Ряды Лорана, множества их сходимости и область сходимости ряда Лорана. Голоморфность суммы ряда Лорана в кольце сходимости. 23.Теорема Лорана и единственность разложения функции в ряд Лорана. Связь рядов Лорана и рядов Фурье. 24.Изолированные особые точки функций и классификация точек. 25.Тип особой точки и характер разложения функции в ряд Лорана. 26.Принцип изолированности нулей голоморфной функции, порядок нулй и полюсов функции. 27.Определение и свойства вычетов функции в точке. Вычет в бесконечности и его свойства. 28. Теорема Коши о вычетах и теорема о полной сумме вычетов. 29. Применение вычетов к вычислению интегралов: несобственные интегралы от рациональных функций и интегралы Фурье. Лемма Жордана. Элементы теории вероятностей. 1. Случайные явления и события. Понятие о математической модели опыта со случайными исходами. 2. Пространство элементарных исходов. Примеры построения пространств элементарных исходов для опытов со случайными исходами. 3. Случайные события как подмножества пространства элементарных исходов и операции над ними. Алгебра случайных событий . Примеры построения алгебр случайных событий. 4. Вероятность на алгебре случайных событий и аксиоматическое определение вероятности по Колмогорову. Аксиомы вероятности и примеры построения вероятностных пространств. 5. Простейшие следствия из аксиом вероятности. 6. Классическое определение вероятности и примеры вероятностных моделей на классическое определение. 7. Геометрическое определение вероятности и примеры использования геометрической вероятности. Парадокс Бертрана. 8. Связь различных случайных событий. Условная вероятность и вероятность произведения событий. Свойства условной вероятности. Статистически независимые события. Примеры независимых событий в теории схем. 9. Формула полной вероятности и формула Байеса, их применение в построении вероятностных моделей. 10.Схема независимых повторных испытаний и формула Бернулли для числа успехов. 11.Асимптотические формулы в схеме Бернулли: формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. 12.Определение и примеры случайных величин. Функция распределения случайной величины и ее основные свойства. 13.Дискретные и непрерывные случайные величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. 14.Основные примеры распределений случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона, равномерное и нормальное распределения, показательное распределение. 15.Совместное распределение нескольких случайных величин и понятие независимости случайных величин. 16.Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Примеры вычисления числовых характеристик для основных распределений. 17.Свойства математического ожидания и дисперсии. 18.Закон больших чисел . Неравенство Чебышева Литература. 1.Лаврентьев М.А.,Шабат Б.В. Методы ТФКП. 2.Краснов М.Л.,Кисилев А.И.,Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. 3. Привалов И.И. Введение в ТФКП. 4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.2. 5.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. 6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. т.2. 7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей. т.1.