массовые явления и закон больших чисел

[ массовые явления и закон больших чисел - закон больших чисел в форме Чебышева – пример - теорема
Чебышева - теорема Бернулли - центральная предельная теорема Ляпунова ]
Массовые явления и закон больших чисел
Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что
эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно
большой конечной выборки из фиксированного распределения
близко к теоретическому среднему – математическому
ожиданию этого распределения.
Общий смысл закона больших чисел — совместное действие
большого числа одинаковых и независимых случайных факторов
приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.
В теории вероятностей большое значение имеет установление
закономерностей, происходящих с вероятностями близкими единице. Особую
роль играют закономерности, возникающие в результате наложения большого
числа независимых или слабо зависимых случайных факторов.
Массовые явления и закон больших чисел
Рассмотрим случайные величины xn , являющиеся некоторыми
заданными симметрическими функциями от первых n величин
последовательности zn = fn (1, 2, … , n ) . Если существует
последовательность a1, an, … ,an, .. , такая что при любом e > 0
lim P {| n  an |  ε }  1
n 
то последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными
функциями fn .
Часто эта функция – среднее арифметическое
ai  M i
.
Слабый закон больших чисел.
1
n
i

ni
1
величин i ,
Закон больших чисел в форме Чебышева
Для любой случайной величины  , имеющей конечную дисперсию,
при каждом e > 0 имеет место неравенство
P{|ξ  Mξ |  ε} 
Неравенство Чебышева.
Доказательство
P{|ξ  Mξ )  ε} 
f(x)
|x 

dFξ (x) 
|x Mξ | ε

M
M-e
M+e
x


(x  Mξ ) 2 dFξ (x)
|x Mξ | ε
1
dFξ (x)  2
ε
|x Mξ | ε
|x  Mξ |
1
ε
ξ (x)
MξdF
| ε
1
ε2
Dξ
ε2


Dξ
(x  Mξ ) dFξ (x)  2
ε

2
Пример
@
Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,
найти оценку того, что случайная величина не попадет в
интервал ( m - 3s ; m + 3s )
Решение
f(x)
D
s2
1
P(|  m |  3s)  2 

e
( 3s) 2 9
Это самая верхняя граница для оценки
Точное решение
1
P(|   m |  3s)  1 
2
m
m-3s
m+3s
x
m  3s
s
e

m s
3
s
t2

2
dt  1  2( 3 )  0.0027
Теорема Чебышева
Если 1, 2, … , n – последовательность попарно независимых с.в., имеющих
конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной D1 < C, D2 < C ,....,
то каково бы не было постоянное e > 0 , справедливо следующее:
Доказательство
n
 
 n


 k 1 k
lim P 

n 
n



k

k
1
n
n
,
M 
Mk

k
1
k 1
n



 e 1



n
D 
C
Ho
ne
 Mk
На основании неравенства Чебышева
n
D
P{|  M |  e} > 1  2
e
P{|  M |  e} > 1 
n
2
Dk

k
1
n2

C
n
Перейдем к пределу и получим доказательство
Центральная предельная теорема Ляпунова
Центральная предельная теорема Ляпунова относится к законам
распределения случайных величин и устанавливает условия, при которых
возникает нормальный закон распределения.
Пусть 1, 2, .... - независимые и одинаково распределенные случайные
величины с конечной и ненулевой дисперсией 0  D1   .
Тогда имеет место слабая сходимость:
1  2  ...  n  nM1
 N ( 0,1)
nD1
последовательности «центрированных и нормированных» сумм
случайных величин к стандартному нормальному распределению.
Если X представляет собой сумму очень большого числа взаимно
независимых случайных величин X1, X2, …., Xn , влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то величина X имеет
распределение вероятности, близкое нормальному.