Лекция ТВиМС 7

М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 7.
§ 6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин
1. Равномерное распределение
Говорят, что непрерывная СВ X имеет равномерное распределение с параметрами a
и b , если на интервале (a, b) , которому принадлежат все возможные значения СВ,
плотность постоянна:
0, x a,
1
f ( x)
, a x b,
b a
0, x b.
Функция распределения
0, x a,
x a
, a x b,
b a
1, x b.
F ( x)
Примером равномерно распределенной СВ является ошибка измерения, которая
может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя
целыми делениями прибора.
(b a ) 2
a b
Математическое ожидание M ( X )
, дисперсия D ( X )
.
12
2
2. Показательное распределение
Говорят, что непрерывная СВ X имеет показательное распределение с параметром
0 , если
e x , x 0,
f ( x)
0, x 0.
Примером СВ, распределенной по показательному закону, может служить время
между появлением двух последовательных событий, наступающих в случайные моменты
времени (события простейшего потока).
Функция распределения
1 e x , x 0,
F ( x)
0, x 0.
Тогда
P( X a) 1 e a ,
P( X
P(a
Математическое ожидание
X
M (X )
a
a) e
b)
e
1
a
,
e
b
, дисперсия
(X )
1.
M (X )
Основное свойство показательного распределения: P( X
D(X )
1
2
. Коэффициент
вариации V ( X )
a b/ X
a)
P( X
b) .
М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
3. Нормальное распределение
Говорят, что непрерывная СВ X распределена по нормальному закону (закону
Гаусса) с параметрами a и , если ее плотность распределения имеет вид:
( x a )2
1
e
2
f ( x)
2
2
.
Обозначают X ~ N (a, ) .
Замечание. Если a 0 и
1 , т.е. X ~ N (0,1) , то нормальное распределение
называется нормированным (стандартным).
Функция распределения
1
2
F ( x)
1
2
или F ( x)
0
1
2
( x)
0
x
e
(
x2
2
x a
( x a )2
x
e
2
2
dx
),
dx - нормированная функция Лапласа.
0
Вероятность попадания значений СВ X в ( , ) : P(
X
)
0
(
a
)
0
(
a
).
2
Математическое ожидание M ( X ) a , дисперсия D( X )
. В этом состоит
вероятностный смысл параметров распределения.
Вероятность того, что отклонение нормально распределенной СВ от параметра a
по абсолютной величине будет меньше заданного положительного числа
P( X
a
) 2
0
( ).
Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой
(кривой Гаусса). График строится с помощью методов дифференциального исчисления.
( x a )2
Функция f ( x)
1
e
2
всех x . lim f ( x)
0 . Экстремум (локальный максимум) при x
x
График
2
2
определена на всей вещественной оси, положительна для
a равен f (a)
1
.
2
,
a
симметричен относительно прямой x a . Точки перегиба x
1
f (a
)
e.
2
Изменение параметра a не меняет форму кривой, а лишь приводит к сдвигу вдоль
оси Ox : вправо, если a растет, влево, если a убывает.
1
Если изменяется параметр
, значение максимума
изменяется. С
2
возрастанием
кривая становится более пологой, при убывании
- растягивается в
М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
направлении оси Oy . Однако при любых значениях a и
нормальной кривой и осью Ox равна 1 по свойству плотности
площадь, ограниченная
f ( x)dx 1 .
Правило трех сигм
P( X
a
)
2
Обозначим t
0
( )
t . Тогда P( X
a
t) 2
0
(t ) . Если t
3 и
t
3 , то
P( X a 3 ) 2 0 (3) 2 0,49865 0,9973 , т.е. вероятность того, что отклонение
среднего будет по модулю меньше утроенного среднего квадратического отклонения,
равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что это отклонение по модулю
превысит 3 , очень мала. Такое может произойти лишь в 0,27% случаев. Такие события
можно считать практически невозможными.
В этом сущность правила трех сигм. Если случайная величина распределена
нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не
превосходит утроенного с.к.о.
На практике его применяют так: если распределение изучаемой СВ неизвестно, а
правило трех сигм выполняется, то есть основания предполагать, что изучаемая СВ
распределена нормально.
В противном случае она не распределена нормально.
4. Логнормальное распределение
СВ X имеет логнормальное распределение с параметрами
и
Y имеет нормальное распределение с параметрами
x [0, ) .
f ( x)
ln x
и
,
, если X
0,
expY , где
,
2
2
(x
2 ) , x [0,
).
2
Математическое ожидание M ( X ) e
медиана M e e ,
мода M 0
e
2
2
,
,
2
2
дисперсия D( X ) (e
.
1)e2
Пишут X ~ LogN ( , ) . Если X ~ LogN ( , ) , то Y ln X ~ N ( , ) .
Логнормальное распределение часто используют в математической статистике и
эконометрике.
5. Распределение Пирсона (распределение 2 )
Распределением Пирсона с k степенями свободы называют распределение суммы
квадратов k независимых СВ, распределенных по нормальному нормированному закону:
k
2
X i2 , X i ~ N (0,1) , i 1, k , X i X j
Ø при i
j.
i 1
Замечание. При k
30 распределение Пирсона приближается к нормальному.
М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
6. Т-распределение Стьюдента
Распределением Стьюдента с k степенями свободы называют распределение
X0
,
T
2
k
X 0 - СВ, распределенная по нормированному нормальному закону,
2
- СВ, не зависящая
от X 0 и имеющая распределение Пирсона с k степенями свободы.
Замечание. С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро
приближается к нормальному.
7. F-распределение Фишера
Распределением Фишера с k и m степенями свободы называют распределение
2
k k
,
F
2
m m
где k2 и m2 - независимые СВ, имеющие распределения Пирсона с k и m степенями
свободы соответсвенно.
Замечание. При больших значениях k и m это распределение приближается к
нормальному.