только теорию по пределам

Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты), 2005
http://mathematiks.ru
§ 1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1) Понятия числовой последовательности и ее предела.
Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
2) Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестности точки. Теорема
об ограниченности функции, имеющей предел.
3) Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
4) Теорема о пределе промежуточной функции.
5) Понятие непрерывности функции. Доказать непрерывность функции cos x
6) Первый замечательный предел
sin x
1
x 0
x
lim
7) Понятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно
малой.
8) Теорема о сумме бесконечно малых функций.
9) Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.
10) Теорема об отношении бесконечно малой функции к функции, имеющей предел, отличный от
нуля.
11) Теорема о пределе суммы.
12) Теорема о пределе произведения.
13) Теорема о пределе частного.
14) Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.
15) Непрерывность суммы, произведения и частного.
16) Непрерывность сложной функции.
17) Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи бесконечно больших функций с бесконечно
малыми.
18) Сравнение бесконечно малых функций.
19) Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене бесконечно милых функций
эквивалентными.
20) Условие эквивалентности бесконечно малых функций.
§ 1.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1) Доказать, что если
lim a n  a , то lim an  a
n 
Вытекает ли из существования
n
lim an
n
существование
lim a n ?
n
Указание. Доказать и использовать неравенство
b  a  ba
2) Доказать, что последовательность
3) Сформулировать на языке « 
n  расходится.
2
  » утверждение: «Число А не является пределом в точке
x 0 функции f (x) , определенной в окрестности точки x 0 ».
4)Доказать, что если непрерывная
f (x)
функция, то
F ( x)  f ( x)
функция. Верно ли обратное утверждение?
5) Сформулировать на языке « 
 »
утверждение:
есть также непрерывная
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты), 2005
http://mathematiks.ru
«Функция
f (x) , определенная в окрестности точки x 0 , не является непрерывной в этой точке».
lim f ( x)  0 ,
6) Пусть
x  x0
,
а
lim  ( x)
x  x0
не существует. Доказать что
lim f ( x) ( x) не существует.
x  x0
Указание. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного.
7) Пусть функция
f (x) имеет предел в точке x 0 . а функция  (x )
не имеет предела. Будут ли
существовать пределы:
а)
lim ( f ( x)   ( x)) ;
x x0
б) lim f ( x) ( x) ?
x  x0
Рассмотреть пример:
8) Пусть
произведение
lim x sin
x 0
1
x
lim f ( x)  0 , а функция  (x )
x  x0
x  x0 . Доказать, что
f ( x) ( x) является бесконечно большой функцией при x  x0
9) Является ли бесконечно большой при
10) Пусть
бесконечно большая при
 ' ( x)   ( x)
Доказать, что если
lim
x  x0
и
 ' ( x)   ( x)
x 0
при x
функция
1
1
cos
x
x
?
 x0
 ' ( x)
 ( x)
не существует, то lim
'
x  x  ( x)
 ( x)
тоже не существует.
0
§ 1.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Полностью Скачивайте на нашем сайте: http://mathematiks.ru/kuznecov.html
Заказать готовые решения задач из сборника задач Кузнецова Л.А. можно в интернет магазине
моментально: http://mathematiks.ru/shop/
Или написав нам письмо, форма заявки на странице: http://mathematiks.ru/zakaz.html
C появлением решебника Кузнецова, Высшая математика больше не проблема ;)
ТЕОРМЕХ из задачников: Яблонского, Мещерского, методичек Тарга для заочников: http://alltermeh.ru
ФИЗИКА из Чертова и методички Чертова для заочников: http://fiziks.ru