Автономная некоммерческая организация высшего образования
«Российский новый университет»
Колледж
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
общеобразовательной учебной дисциплины
СОО.02.02 МАТЕМАТИКА
для специальности среднего профессионального образования
38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)
Москва
2023 год
Одобрен предметной
цикловой комиссией
общеобразовательных
дисциплин
Разработан на основе Федерального
государственного
образовательного
стандарта среднего общего образования по
дисциплине «Математика», с учетом
примерной основной образовательной
программы среднего общего образования,
одобренной
решением
федерального
учебно-методического объединения по
общему образованию (протокол от 28 июня
2016 г. № 2/16-з), примерной программы по
дисциплине
«Математика»,
рекомендованной ФГАУ «ФИРО» для
реализации основной профессиональной
образовательной программы СПО на базе
основного
общего
образования
с
получением среднего общего образования
2015 г (с уточнениями протокол №3 от
25.05.2017
г.),
Федеральных
государственных
образовательных
стандартов по специальностям СПО для
специальности
среднего
профессионального образования
38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет
(по отраслям)
Протокол №8
от «04» апреля 2023 г.
Председатель
предметной
(цикловой) комиссии
Заместитель директора по учебнопроизводственной работе
__________/__Замула И.Ю.
/Мальчевская И.Ю.
Составители:
Гераськина Т.А., преподаватель математики АНО ВО «Российский новый
университет» колледж.
ПАСПОРТ
ФОНДА ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
общеобразовательной учебной дисциплины
СОО. 02.02 Математика
Общая/профессиональная
компетенция
ОК 01. Выбирать способы
решения задач
профессиональной
деятельности применительно к
различным контекстам
ОК 02. Использовать
современные средства поиска,
анализа и интерпретации
информации, и
информационные технологии
для выполнения задач
профессиональной
деятельности
1
2
Раздел/Тема
Р 1, Тема 1.1, 1.2, 1.3 По/c1, 1.4,1.5
Р 2, Темы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4,
2.5, П-о/с, 2.6
Р 3, Темы 3.1, 3.2, 3.3, По/с, 3.4
Р 4, Темы 4.1, 4.2, 4.3, 4.4,
4.5, 4.6, 4.7 П-о/c, 4.8, 4.9,
4.10, 4.11
Р 5, Темы 5.1, 5.2
Р 6, Темы 6.1, 6.2, 6.3, 6.4,
6.5, 6.6, 6.7 П-о/c, 6.8, 6.9,
9.10, П-о/с 6.11
Р7, Темы 7.1, 7.2, 7.3, 7.4,
7.5, 7.6, 7.7, П-0/с,7.8,7.9,
7.10 П-о/с, 7.11, 7.12, 7.13,
7.14, 7.15, 7.16, 7.17
Р 8, Темы 8.1, 8.2, 8.3, 8.4,
8.5, 8.6
Р9, Темы 9.1, 9.2, 9.3,
9.4,9.5
Р 10, Темы 10.1, 10.2,
10.3, 10.4
Р 11, Темы 11.1, 11.2, 11.3
П-о/с, 11.4, 11.5, 11.6 По/с, 11.7
Р 12, Темы 12.1, 12.2,
12.3, 12.4
Р 13, Темы 13.1, 13.2,
13.3, 13.4, 13.5
Р 14, Темы 14.1, 14.2,
14.3, 14.4, 14.5, П-о/с, 14.6
Р 1, Тема 1.1, 1.2, 1.3 По/c2, 1.4,1.5
Р 2, Темы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4,
2.5, П-о/с, 2.6
Р 3, Темы 3.1, 3.2, 3.3, По/с, 3.4
Р 4, Темы 4.1, 4.2, 4.3, 4.4,
4.5, 4.6, 4.7 П-о/c, 4.8, 4.9,
4.10, 4.11
Р 5, Темы 5.1, 5.2
Профессиональное-ориентированное содержание
Профессиональное-ориентированное содержание
Тип оценочных
мероприятия
Тестирование
Устный опрос
Математический диктант
Индивидуальная
самостоятельная работа
Представление результатов
практических работ
Защита творческих работ
Обязательная Контрольная
Работа
Выполнение заданий на
экзамене
Практические работы № 163
Тестирование
Устный опрос
Математический диктант
Индивидуальная
самостоятельная работа
Представление результатов
практических работ
Защита творческих работ
Обязательная Контрольная
Работа
Выполнение заданий на
экзамене
ОК 03. Планировать и
реализовывать собственное
профессиональное и личностное
развитие,
предпринимательскую
деятельность в
профессиональной сфере,
использовать знания по
финансовой грамотности в
различных жизненных
ситуациях
3
Р 6, Темы 6.1, 6.2, 6.3, 6.4,
6.5, 6.6, 6.7 П-о/c, 6.8, 6.9,
9.10, П-о/с 6.11
Р7, Темы 7.1, 7.2, 7.3, 7.4,
7.5, 7.6, 7.7, П-0/с,7.8,7.9,
7.10 П-о/с, 7.11, 7.12, 7.13,
7.14, 7.15, 7.16, 7.17
Р 8, Темы 8.1, 8.2, 8.3, 8.4,
8.5, 8.6
Р9, Темы 9.1, 9.2, 9.3,
9.4,9.5
Р 10, Темы 10.1, 10.2,
10.3, 10.4
Р 11, Темы 11.1, 11.2, 11.3
П-о/с, 11.4, 11.5, 11.6 По/с, 11.7
Р 12, Темы 12.1, 12.2,
12.3, 12.4
Р 13, Темы 13.1, 13.2,
13.3, 13.4, 13.5
Р 14, Темы 14.1, 14.2,
14.3, 14.4, 14.5, П-о/с, 14.6
Р 1, Тема 1.1, 1.2, 1.3 По/c3, 1.4,1.5
Р 2, Темы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4,
2.5, П-о/с, 2.6
Р 3, Темы 3.1, 3.2, 3.3, По/с, 3.4
Р 4, Темы 4.1, 4.2, 4.3, 4.4,
4.5, 4.6, 4.7 П-о/c, 4.8, 4.9,
4.10, 4.11
Р 5, Темы 5.1, 5.2
Р 6, Темы 6.1, 6.2, 6.3, 6.4,
6.5, 6.6, 6.7 П-о/c, 6.8, 6.9,
9.10, П-о/с 6.11
Р7, Темы 7.1, 7.2, 7.3, 7.4,
7.5, 7.6, 7.7, П-0/с,7.8,7.9,
7.10 П-о/с, 7.11, 7.12, 7.13,
7.14, 7.15, 7.16, 7.17
Р 8, Темы 8.1, 8.2, 8.3, 8.4,
8.5, 8.6
Р9, Темы 9.1, 9.2, 9.3,
9.4,9.5
Р 10, Темы 10.1, 10.2,
10.3, 10.4
Р 11, Темы 11.1, 11.2, 11.3
П-о/с, 11.4, 11.5, 11.6 По/с, 11.7
Р 12, Темы 12.1, 12.2,
12.3, 12.4
Р 13, Темы 13.1, 13.2,
13.3, 13.4, 13.5
Профессиональное-ориентированное содержание
Практические работы № 163
Тестирование
Устный опрос
Математический диктант
Индивидуальная
самостоятельная работа
Представление результатов
практических работ
Защита творческих работ
Обязательная Контрольная
Работа
Выполнение заданий на
экзамене
Практические работы № 163
ОК 04. Эффективно
взаимодействовать и работать в
коллективе и команде
ОК 05. Осуществлять устную и
письменную коммуникацию на
государственном языке
Российской Федерации с учетом
особенностей социального и
культурного контекста
4
5
Р 14, Темы 14.1, 14.2,
14.3, 14.4, 14.5, П-о/с,
14.6
Р 1, Тема 1.1, 1.2, 1.3 По/c4, 1.4,1.5
Р 2, Темы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4,
2.5, П-о/с, 2.6
Р 3, Темы 3.1, 3.2, 3.3, По/с, 3.4
Р 4, Темы 4.1, 4.2, 4.3, 4.4,
4.5, 4.6, 4.7 П-о/c, 4.8, 4.9,
4.10, 4.11
Р 5, Темы 5.1, 5.2
Р 6, Темы 6.1, 6.2, 6.3, 6.4,
6.5, 6.6, 6.7 П-о/c, 6.8, 6.9,
9.10, П-о/с 6.11
Р7, Темы 7.1, 7.2, 7.3, 7.4,
7.5, 7.6, 7.7, П-0/с,7.8,7.9,
7.10 П-о/с, 7.11, 7.12, 7.13,
7.14, 7.15, 7.16, 7.17
Р 8, Темы 8.1, 8.2, 8.3, 8.4,
8.5, 8.6
Р9, Темы 9.1, 9.2, 9.3,
9.4,9.5
Р 10, Темы 10.1, 10.2,
10.3, 10.4
Р 11, Темы 11.1, 11.2, 11.3
П-о/с, 11.4, 11.5, 11.6 По/с, 11.7
Р 12, Темы 12.1, 12.2,
12.3, 12.4
Р 13, Темы 13.1, 13.2,
13.3, 13.4, 13.5
Р 14, Темы 14.1, 14.2,
14.3, 14.4, 14.5, П-о/с, 14.6
Р 1, Тема 1.1, 1.2, 1.3 По/c5, 1.4,1.5
Р 2, Темы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4,
2.5, П-о/с, 2.6
Р 3, Темы 3.1, 3.2, 3.3, По/с, 3.4
Р 4, Темы 4.1, 4.2, 4.3, 4.4,
4.5, 4.6, 4.7 П-о/c, 4.8, 4.9,
4.10, 4.11
Р 5, Темы 5.1, 5.2
Р 6, Темы 6.1, 6.2, 6.3, 6.4,
6.5, 6.6, 6.7 П-о/c, 6.8, 6.9,
9.10, П-о/с 6.11
Р7, Темы 7.1, 7.2, 7.3, 7.4,
7.5, 7.6, 7.7, П-0/с,7.8,7.9,
Профессиональное-ориентированное содержание
Профессиональное-ориентированное содержание
Тестирование
Устный опрос
Математический диктант
Индивидуальная
самостоятельная работа
Представление результатов
практических работ
Защита творческих работ
Обязательная Контрольная
Работа
Выполнение заданий на
экзамене
Практические работы № 163
Тестирование
Устный опрос
Математический диктант
Индивидуальная
самостоятельная работа
Представление результатов
практических работ
Защита творческих работ
Обязательная Контрольная
Работа
Выполнение заданий на
экзамене
Практические работы № 163
ОК 06. Проявлять гражданскопатриотическую позицию,
демонстрировать осознанное
поведение на основе
традиционных
общечеловеческих ценностей, в
том числе с учетом
гармонизации
межнациональных и
межрелигиозных отношений,
применять стандарты
антикоррупционного поведения
6
7.10 П-о/с, 7.11, 7.12, 7.13,
7.14, 7.15, 7.16, 7.17
Р 8, Темы 8.1, 8.2, 8.3, 8.4,
8.5, 8.6
Р9, Темы 9.1, 9.2, 9.3,
9.4,9.5
Р 10, Темы 10.1, 10.2,
10.3, 10.4
Р 11, Темы 11.1, 11.2, 11.3
П-о/с, 11.4, 11.5, 11.6 По/с, 11.7
Р 12, Темы 12.1, 12.2,
12.3, 12.4
Р 13, Темы 13.1, 13.2,
13.3, 13.4, 13.5
Р 14, Темы 14.1, 14.2,
14.3, 14.4, 14.5, П-о/с, 14.6
Р 1, Тема 1.1, 1.2, 1.3 По/c6, 1.4,1.5
Р 2, Темы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4,
2.5, П-о/с, 2.6
Р 3, Темы 3.1, 3.2, 3.3, По/с, 3.4
Р 4, Темы 4.1, 4.2, 4.3, 4.4,
4.5, 4.6, 4.7 П-о/c, 4.8, 4.9,
4.10, 4.11
Р 5, Темы 5.1, 5.2
Р 6, Темы 6.1, 6.2, 6.3, 6.4,
6.5, 6.6, 6.7 П-о/c, 6.8, 6.9,
9.10, П-о/с 6.11
Р7, Темы 7.1, 7.2, 7.3, 7.4,
7.5, 7.6, 7.7, П-0/с,7.8,7.9,
7.10 П-о/с, 7.11, 7.12, 7.13,
7.14, 7.15, 7.16, 7.17
Р 8, Темы 8.1, 8.2, 8.3, 8.4,
8.5, 8.6
Р9, Темы 9.1, 9.2, 9.3,
9.4,9.5
Р 10, Темы 10.1, 10.2,
10.3, 10.4
Р 11, Темы 11.1, 11.2, 11.3
П-о/с, 11.4, 11.5, 11.6 По/с, 11.7
Р 12, Темы 12.1, 12.2,
12.3, 12.4
Р 13, Темы 13.1, 13.2,
13.3, 13.4, 13.5
Р 14, Темы 14.1, 14.2,
14.3, 14.4, 14.5, П-о/с,
14.6
Профессиональное-ориентированное содержание
Тестирование
Устный опрос
Математический диктант
Индивидуальная
самостоятельная работа
Представление результатов
практических работ
Защита творческих работ
Обязательная Контрольная
Работа
Выполнение заданий на
экзамене
Практические работы № 163
ОК 07. Содействовать
сохранению окружающей
среды, ресурсосбережению,
применять знания об изменении
климата, принципы
бережливого производства,
эффективно действовать в
чрезвычайных ситуациях
ПК 4.6 Анализировать
финансово-хозяйственную
деятельность, осуществлять
анализ информации,
полученной в ходе проведения
контрольных процедур,
выявление и оценку рисков
7
8
Р 1, Тема 1.1, 1.2, 1.3 По/c7, 1.4,1.5
Р 2, Темы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4,
2.5, П-о/с, 2.6
Р 3, Темы 3.1, 3.2, 3.3, По/с, 3.4
Р 4, Темы 4.1, 4.2, 4.3, 4.4,
4.5, 4.6, 4.7 П-о/c, 4.8, 4.9,
4.10, 4.11
Р 5, Темы 5.1, 5.2
Р 6, Темы 6.1, 6.2, 6.3, 6.4,
6.5, 6.6, 6.7 П-о/c, 6.8, 6.9,
9.10, П-о/с 6.11
Р7, Темы 7.1, 7.2, 7.3, 7.4,
7.5, 7.6, 7.7, П-0/с,7.8,7.9,
7.10 П-о/с, 7.11, 7.12, 7.13,
7.14, 7.15, 7.16, 7.17
Р 8, Темы 8.1, 8.2, 8.3, 8.4,
8.5, 8.6
Р9, Темы 9.1, 9.2, 9.3,
9.4,9.5
Р 10, Темы 10.1, 10.2,
10.3, 10.4
Р 11, Темы 11.1, 11.2, 11.3
П-о/с, 11.4, 11.5, 11.6 По/с, 11.7
Р 12, Темы 12.1, 12.2,
12.3, 12.4
Р 13, Темы 13.1, 13.2,
13.3, 13.4, 13.5
Р 14, Темы 14.1, 14.2,
14.3, 14.4, 14.5, П-о/с, 14.6
Р 1, Тема 1.1, 1.2, 1.3 По/c8, 1.4,1.5
Р 2, Темы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4,
2.5, П-о/с, 2.6
Р 3, Темы 3.1, 3.2, 3.3, По/с, 3.4
Р 4, Темы 4.1, 4.2, 4.3, 4.4,
4.5, 4.6, 4.7 П-о/c, 4.8, 4.9,
4.10, 4.11
Р 5, Темы 5.1, 5.2
Р 6, Темы 6.1, 6.2, 6.3, 6.4,
6.5, 6.6, 6.7 П-о/c, 6.8, 6.9,
9.10, П-о/с 6.11
Р7, Темы 7.1, 7.2, 7.3, 7.4,
7.5, 7.6, 7.7, П-0/с,7.8,7.9,
7.10 П-о/с, 7.11, 7.12, 7.13,
7.14, 7.15, 7.16, 7.17
Р 8, Темы 8.1, 8.2, 8.3, 8.4,
8.5, 8.6
Профессиональное-ориентированное содержание
Профессиональное-ориентированное содержание
Тестирование
Устный опрос
Математический диктант
Индивидуальная
самостоятельная работа
Представление результатов
практических работ
Защита творческих работ
Обязательная Контрольная
Работа
Выполнение заданий на
экзамене
Практические работы № 163
Тестирование
Устный опрос
Математический диктант
Индивидуальная
самостоятельная работа
Представление результатов
практических работ
Защита творческих работ
Обязательная Контрольная
Работа
Выполнение заданий на
экзамене
Практические работы № 163
Р9, Темы 9.1, 9.2, 9.3,
9.4,9.5
Р 10, Темы 10.1, 10.2,
10.3, 10.4
Р 11, Темы 11.1, 11.2, 11.3
П-о/с, 11.4, 11.5, 11.6 По/с, 11.7
Р 12, Темы 12.1, 12.2,
12.3, 12.4
Р 13, Темы 13.1, 13.2,
13.3, 13.4, 13.5
Р 14, Темы 14.1, 14.2, 14.3,
14.4, 14.5, П-о/с, 14.6
Критерии оценки:
- оценка – 5 («отлично) ставится обучающимся, усвоившим взаимосвязь основных
понятий дисциплины, их значения для приобретаемой специальности, проявившим
творческие способности в понимании, изложении и демонстрации правильного
выполнения задания.
- оценка – 4 («хорошо») ставится обучающимся, усвоившим взаимосвязь основных
понятий дисциплины, их значения для приобретаемой специальности, проявившим
творческие способности в понимании, изложении и демонстрации правильного
выполнения задания с небольшими неточностями и коррекцией действий
преподавателем.
- оценка 3 («удовлетворительно») ставится обучающимся, обладающим
необходимыми знаниями, но допустившими неточности в определении понятий, в
применении знаний для решения практических заданий, не умет обосновывать свои
суждения.
- оценка 2 («неудовлетворительно») ставится обучающимся, имеющим
разрозненные и бессистемные знания, не может применять знания для
решения практических задач или отказ отвечать.
«2»
Менее 50%
«3»
От 50% до 69%
«4»
От 70% до 90%
«5»
от 91% до 100%
Фонд оценочных средств для входного контроля
Входной контроль состоит из заданий, частично взятых из открытого банка ОГЭ и
ВПР по математике. На выполнение заданий входного контроля дается 2
академических часа (90 минут). При выполнении заданий требуется представить
ход решения и указать полученный ответ. Баллы, полученные за все выполненные
задания, суммируются.
Шкала перевода баллов в отметки по пятибалльной системе
Отметка
Число баллов, необходимое для
получения отметки
«3» (удов.)
4-6
«4» (хорошо)
7-8
«5» (отлично)
9-10
Задания входного контроля
Цели: проверить уровень усвоения школьной программы студентами нового набора
и оценить их готовность к изучению математики по программе первого курса.
Вариант 1.
1. Найдите значение выражения:
2.
3.
Раскройте скобки:
Решите уравнение:
4.
5.
2
Постройте график функции: y 0,5x .
Последовательность задана условиями:
Найдите
.
6. Решите неравенство:
7. Отрезки АС и ВD – диаметры окружности с центром О. угол АСВ = 780.
Найдите угол АОD.
8. После уценки телевизора его новая цена составила 0,57 старой. На сколько
процентов уменьшилась цена телевизора в результате уценки?
9.
Решите систему уравнений:
10. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два
велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал
остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым
велосипедистом. Расстояние между городами 286 км, скорость первого
велосипедиста 10 км/ч, а скорость второго – 30 км/ч. Определите расстояние от
города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
Вариант 2.
1. Расположите числа в порядке возрастания:
2. Раскройте скобки:
3. Решите уравнение:
4.
Постройте график функции:
.
5. Даны несколько первых членов арифметической прогрессии: -8; -1; 6; …
Найдите 51-й член этой прогрессии.
6.
Решите систему неравенств:
7. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 800 , угол CАD
равен 340 . Найдите угол ABC.
8. Банк начисляет на вклад 11% годовых. Вкладчик положил на счет 15000 рублей.
Сколько рублей будет на этом счете через год?
9.
Сократите дробь:
.
10. Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 195 км – со
скоростью 65км/ч, а последние 225 км – со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю
скорость автомобиля на протяжении всего пути.
1.
Вариант 3.
Расположите числа в порядке возрастания:
2. Раскройте скобки:
3. Решите уравнение:
4. Постройте график функции:
.
5. Дана арифметическая прогрессия:
айдите разность
прогрессии.
6. Решите неравенство:
7. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB.
Радиус окружности равен 20. Найдите AC, если BC = 32.
8. Товар на распродаже уценили на 45%, при этом он стал стоить 770 рублей.
Сколько рублей стоил товар до распродажи?
9. Решите уравнение:
.
10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после
стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в стоячей
воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт
отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.
Вариант 4.
1. Найдите значение выражения:
2. Раскройте скобки:
3. Решите уравнение:
4. Постройте график функции:
.
5. Арифметическая прогрессия задана условиями:
Найдите
сумму первых 9 ее членов.
6.
Решите систему неравенств:
7. В равнобедренной трапеции высота равна 5 см, меньшее основание – 7 см, угол
при основании 450. Найдите большее основание.
8. Стоимость проезда в электричке составляет 131 рубль. Студентам
предоставляется скидка 50%. Сколько будет стоить проезд для 3 взрослых и 5
студентов?
9. Решите уравнение:
10. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В,
расстояние между которыми 224 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив
скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего
затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите
скорость велосипедиста на пути из А в В.
Вариант 5.
1.
Найдите значение выражения:
2.
3.
4.
5.
Раскройте скобки:
Решите уравнение:
Постройте график функции:
Последовательность задана формулой
.
. Сколько членов этой
последовательности больше 9?
6. Решите неравенство:
7. Диагональ прямоугольника образует угол 510 с одной из его сторон. Найдите
острый угол между диагоналями этого прямоугольника.
8. Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 12% годовых. Вкладчик
положил на счет 12000 рублей. Сколько рублей будет на этом счете через год?
9. Решите уравнение:
10. Расстояние между пристанями А и В 90 км. Из А в В по течению реки
отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая,
прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени
плот прошел 52 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость
течения реки 4 км/ч.
Вариант 6.
1.
Найдите значение выражения:
2.
Раскройте скобки:
3.
Решите уравнение:
4. Постройте график функции:
5. Выписано несколько членов геометрической прогрессии: …; -6; х; -24; -48;…
Найдите х.
6. Решите неравенство:
7. Найдите больший угол равнобедренной трапеции АВСD, если диагональ АС
образует с основанием АD и боковой стороной АВ углы, равные 120 и 130
соответственно.
8. Поступивший в продажу в феврале мобильный телефон стоил 2800 рублей. В
сентябре он стал стоить 2520 рублей. На сколько процентов снизилась цена?
9.
Решите систему уравнений:
10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после
стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в стоячей
воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часов, а в пункт
отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.
1 семестр
Тема 1.1.
Числа и вычисления. Выражения и преобразования.
Теоретический опросник:
1. Какие числа называются натуральными? Обозначение.
2. Какие числа входят в множество целых чисел? Обозначение.
3. Какое множество называется множеством рациональных чисел и как это
множество обозначается?
4. Какие обыкновенные дроби обращаются в конечные десятичные?
5. Какие десятичные дроби называются бесконечными периодическими?
6. Что называется периодом бесконечной периодической десятичной дроби?
7. Какие числа называются иррациональными и как обозначается множество
иррациональных чисел?
8. Что понимается под абсолютной величиной действительного числа?
Тема 1.2. Геометрия на плоскости
Практическая работа № 1
Тема: Виды плоских фигур и их площадь.
Практико-ориентированные задачи в курсе геометрии на плоскости.
Цель работы: Развитие навыков вычисления площадей плоских фигур
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями:
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Математический диктант
Критерии оценки математического диктанта – 1 правильный ответ – 10
баллов.
Запишите формулы для вычисления площади (ученики работают в тетрадях)
а) Квадрата;
б) Прямоугольника
в) Параллелограмма (через основание и высоту)
г) Параллелограмма (через стороны и синус угла)
д) Треугольника (через основание и высоту)
е) Треугольника (через стороны и синус угла)
ж) Треугольника (формула Герона)
з) Трапеции
и) Прямоугольного треугольника
Устные упражнения.
Критерии оценки-1 правильный ответ – 10 баллов.
Вычислите площадь фигур:
Практическая работа
Каждый ученик получает индивидуальное задание, работает
самостоятельно
Критерии оценки – 1 правильный ответ – 20 баллов.
Выполните необходимы измерения и вычислите площадь фигур
Решение задач
Работа по карточкам
Критерии оценки- 1 задача – 30 баллов.
1 карточка Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 8 см и 12
см.
2 карточка. Найдите площадь равнобедренного треугольника, у
которого угол при основании 300, а боковая сторона равна 6 см.
Тема 1.3.
Процентные вычисления
Практическая работа № 2
Тема: Простые проценты, разные способы их вычисления. Сложные проценты.
Цель работы: Развитие навыков работы с простыми и сложными процентами
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
ВАРИАНТ 1
Задача 1. Предприятие получило кредит на один год в размере 100 тыс. долл. С
условием возврата 160 тыс. дол. Рассчитайте процентную и учетную ставки.
Задача 2. Предприятие за взятый кредит через год должно вернуть 400 тыс. руб.
Определите величину кредита, если учетная ставка равна 25%. Чему равен дисконтфактор.
Задача 3. Кредит в размере 40 тыс. долл. Определите двухгодовые процентную
ставку и учетную ставки и дисконт-фактор.
Задача 4. Вклад 5 тыс. руб. положен в банк на 3 месяца с условием, что доход от
финансовой сделки составит 800 руб. Определите квартальную процентную и
учетную ставки и дисконт-фактор. Чему равен индекс роста вклада за квартал?
ВАРИАНТ 2
Задача 1. Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление
потребительского кредита на следующих условиях:35% стоимости покупок
оплачиваются сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и
20% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.
Задача 2. Доходы от трех финансовых операций, проведенных в течение одного и
того же срока, составили соответственно 10, 8 и 20 тыс. руб. Сравните между собой
нормы прибыли этих операций, если в них было вложено 50,20 и 100 тыс. руб.
Чему будут равны учетная ставка и дисконт-фактор в каждой финансовой
операции?
Задача 3. Предполагается инвестировать три проекта в размере соответственно 40,
20 и 80 тыс. долл. Ожидается, что в зависимости от ситуации доходности этих
инвестиций за два года могут колебаться в следующих границах: для первой – от 15
до 30 %, для второй от 35 до 505, для третьей от 10-15%. Определите, какой
минимальный и какой максимальный доход можно получит за 2 года.
Задача 4. В результате инвестирования первоначальный капитал за первый год
вырос в 1,4 раза, за второй год общий капитал вырос в 1,6 раза и за третий год вся
сумма выросла в 1,3 раза. Чему равен индекс роста суммы? Определите, на сколько
процентов увеличилась первоначальная сумма за 3 года.
ВАРИАНТ 3
Задача 1. Имеются два варианта вложения капитала на 2 года. Согласно первому
варианту, исходный капитал на первый год увеличится на 50%, а за второй год вся
сумма увеличится на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый
год 30% от суммы предыдущего года. Какой вариант лучше?
Задача 2. Клиент банка получил от помещения денег на депозит на год 900 долл.
Какая сумма была помещена на депозит, если индекс роста ее за это время составил
1,4?
Задача 3. Индекс роста вклада за четыре квартала, следующие друг за другом,
составили 1,15;1,1;1,12 и 1,05. На сколько процентов за это время увеличился
вклад? Определите учетную ставку и дисконт-фактор: а – за полгода, б – за год.
Задача 4. Партия товара была куплена предпринимателем за 200 тыс. руб., а
продана за 325 тыс. руб. Сколько процентов прибыли получил предприниматель?
ВАРИАНТ 4
Задача 1. Товарооборот магазина в июле составил 940 тыс. руб., а в июле – 890
тыс.руб. На сколько процентов уменьшился товарооборот в июле?
Задача 2. За продажу дачного участка комиссионер получил 8 тыс. руб., что
составило 5% с продажи цены. Определите, за какую сумму был продан дачный
участок.
Задача 3. Предприниматель, купив первую и вторую партию товара соответственно
за 36 тыс. руб., продал их соответственно за 48 тыс. руб. и за 58 тыс. руб. При
продаже какой партии был получен больший процент прибыли?
Задача 4. Найдите: а) 3% «на 100» с 412 руб.; б) 5% «на 100» с 735 руб.; в) 10% «на
100» с 2300 руб.; г) 25% «на 100» с 42 тыс. руб.; д) 50% «на 100» с 9 тыс. руб.
Тема 1.4.
Уравнения и неравенства.
Практическая работа №3
Тема: Линейные, квадратные, дробно-линейные уравнения и неравенства
Цель работы: Развитие навыков работы с уравнениями и неравенствами
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Тема 2.5.
Параллельные, перпендикулярные, скрещивающиеся прямые.
Практическая работа №4
Тема: Аксиомы стереометрии
Цель работы: Развитие навыков работы с аксиомами стереометрии
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант № 1
№ 1. Прямая а параллельна плоскости α, a прямая b лежит в плоскости α. Определите,
могут ли прямые а и b:
а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися.
ОТВЕТ: а) да; б) нет; в) да.
№ 2. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD (AD II ВС).
а) Докажите, что треугольники M AD и МВС имеют параллельные средние линии.
б) Найдите длины этих средних линий, если AD : ВС = 5 : 3, а средняя линия трапеции
равна 16 см.
ОТВЕТ: б) 6 см; 10 см.
№ 3. Через вершину А квадрата ABCD проведена прямая КА, не лежащая в
плоскости квадрата.
a) Докажите, что КА и CD — скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между КА и CD, если ∠АКВ = 85°, ∠АВК = 45°.
ОТВЕТ: б) 50°.
Вариант № 2
№ 1. Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b пересекает плоскость α.
Определите, могут ли а и b:
а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися.
ОТВЕТ: а) нет; б) да; в) да.
№ 2. Треугольник АВС и трапеция KM NPимеют общую среднюю линию EF, причем
KP II M N, EF II AC.
а) Докажите, что АС II КР. б) Найдите КР и M N, если КР : M N= 3 : 5, АС= 16 см.
ОТВЕТ: б) 6 см; 10 см.
№ 3. Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD.
а) Докажите, что МС и AD — скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между МС и AD, если ∠M BC = 70°, ∠BM C = 65°.
ОТВЕТ: б) 45°.
Практическая работа №5
Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости, параллельность двух прямых,
перпендикулярных плоскости, перпендикулярность плоскостей
Цель работы: Развитие навыков работы с прямыми и плоскостями
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант № 1
1.Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то
как расположена вторая прямая по отношению к третьей?
а) параллельна б) перпендикулярна
в) скрещивается
г) совпадают
2.Сколько прямых, перпендикулярных к данной плоскости проходит через данную
точку пространства?
а) одна
б) две
в) ни одной
г) бесконечное множество
3. Через точку, удаленную от плоскости на расстояние 5см, проведены к этой
плоскости две наклонные по 13см каждая. Угол между проекциями этих наклонных
равен 60°. Найдите расстояние между основаниями наклонных.
4. Плоскости треугольника АВК и прямоугольника АВСD перпендикулярны. Найти
расстояние от точки К до вершины прямоугольника С, если АВ=10 см, AD=8 см,
АК=28 см.
5. Из точки А, лежащей вне плоскости α, проведены на плоскость перпендикуляр
АВ длиной 8см и наклонная АС, которая на 2 см длиннее своей проекции. Найдите
длину наклонной.
Вариант № 2
1.Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то как они расположены по
отношению друг к другу?
а) параллельны
б) перпендикулярны в) скрещиваются
г) пересекаются
2.Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к
другой плоскости, то как расположены такие плоскости?
а) параллельны
б) перпендикулярны
в) скрещиваются г) совпадают
3. Через точку, удаленную от плоскости на расстояние 12 см, проведены к этой
плоскости две наклонные по 20 см каждая. Угол между проекциями этих
наклонных равен 60°. Найдите расстояние между основаниями наклонных.
4. Плоскости треугольника АВК и прямоугольника АВСD перпендикулярны. Найти
расстояние от точки К до вершины прямоугольника С, если АВ=16 см, AD=12 см,
АК=21 см.
5. Из точки А, лежащей вне плоскости α, проведены на плоскость перпендикуляр
АВ длиной 8см и наклонная АС, которая на 4 см длиннее своей проекции. Найдите
длину наклонной.
Тема 2.6.
Решение задач. Прямые и плоскости в пространстве
Практическая работа № 6
Тема: Расположение прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей.
Скрещивающиеся прямые.
Цель работы: Развитие навыков работы с прямыми и плоскостями в пространстве
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07, ПК-4.6
Вариант 1
Часть 1. Задание с выбором ответа (1 балл).
А1
Какой плоскости не
принадлежит точка А?
А) РDВ
С) АРС
В) АDС
Д) ВDС
А6
Укажите точку
пересечения прямой M D
с плоскостью ABC
А) D
В) С
С) А
Д) M
А10
Как располагаются
прямые AD1 и D1C1?
А) параллельны
В) пересекаются
С) перпендикулярны
А2
На каких плоскостях
лежит прямая DB?
А) АDC и ADB
В) ADB и ABC
С) ADB и DCB
Д) DKB и DCA
А7
Укажите прямую
пересечения плоскостей
АВС и АВВ1
А) DВ
В) DС
С) ВС
Д) AВ
А11
Найдите угол между
прямыми AD1 и ВВ1
А) 180º
В) 60 º
С) 90 º
Д) 45 º
A3
В какой точке
пересекаются прямая
PC и плоскость ADB?
A4
По какой прямой
пересекаются плоскости
AВС и ADC?
A5
Какие прямые лежат в
плоскости BDC?
А) DB, AC,DK. AB
В) KB, DA,DK. CP
В) DС
С) DP, DC,DK. CA
Д) ВA
Д) DB, DC,DK. CB
Туго натянутая нить закреплена в
точках 1,2,3,4,5, расположенных
на стержнях SA,SB,SC. Укажите
количество точек в которых
отрезки нити соприкасаются
А) 0
В) 1
С) 2
Д) 3
А13
Найдите рёбра, параллельные
грани АВВ1А1
А) АD, ВC, A1 D1, B1С1
В) АВ, ВC, A1 D1, B1С1
С) DD1, CC1, C1 D1, DС
А) Р
В) С
С) А
Д) D
А8
Плоскости α и β
пересекаются по
прямой с. Выберите
верную запись:
А) α × β= с В) α ∩ β= с
С) α ║ β= с Д) α ∩ β= С
А12
Найдите точку
пересечения прямых
DC и CC1
А) D
В) С
С) А
Д) К
А) DВ
С) АС
А9
А14
Укажите рёбра,
перпендикулярные
плоскости АВВ1
А) DА, ВC,СС1. AB
В) СB, DA,D1А1. C1А1
С) DС, ВC,DА. C 1В1
А18
Укажите общий
перпендикуляр для
прямых AD и CC1
А) DС
В) СА
С) DD1
Д) ВС
А15
Выберите верное
утверждение
А) AD║ BA В) AB ⊥ D 1С1
С) DC║ BC Д) DС ⊥BC
А16
Как расположены друг
к другу рёбра куба,
выходящие из одной
вершины?
А) Перпендикулярны
В) Параллельны
А19
Плоскости α и β параллельны.
Каково взаимное расположение
прямых AD и BC?
А) Пересекаются
В) Скрещиваются
А17
Отрезок ВD перпендикулярен
плоскости α. СD является::
А) Перпендикуляром
В) Наклонной
С) Проекцией наклонной
А20
Прямые a и b параллельные и лежат в плоскости α.
Через каждую из этих прямых проведена плоскость,
перпендикулярная α . Каково взаимное расположение
полученных плоскостей?
А) Пересекаются
В) Скрещиваются
С) Параллельны
Д) Совпадают
Часть 2. Задание с развёрнутым ответом (2 балла).
В1
Через концы отрезка M N и его
середину К проведены параллельные
прямые, пересекающие плоскость α в
точках M 1, , N1 и К1. Найдите длину
отрезка КК1 , если отрезок MN не
пересекает α и ММ1 = 6 см, NN1= 2 см.
В4
Через вершину острого угла прямоугольного
треугольника АВС с прямым углом С
проведена прямая АD, перпендикулярная
плоскости треугольника. Чему равно
расстояние от точки D до вершины С, если АС
= 6 см; АD = 8 см.
В5
Наклонная равна 2 см.
Чему равна проекция этой
наклонной на плоскость,
если наклонная составляет
с плоскостью угол равный
45 º?
Часть 3. Задание с развёрнутым ответом (3 балла).
С1
Из точки А к плоскости α проведены
два отрезка АС и АВ . Точка D
принадлежит АВ, точка Е принадлежит
АС. DЕ параллельна α и равна 5 см. Найти
длину отрезка ВС, если
А
В
В2
Даны две параллельные плоскости.
Через точки А и В одной из
плоскостей проведены две
параллельные прямые до пересечения
в точках А1 и В1. Найдите длину
отрезка А1 В1 если АВ = 10 см.
= .
В3
Из точки М проведены к
плоскости α до пересечения в точках
N и К два отрезка. Точки D и Е –
середины отрезков MN и МК. Найдите
длину отрезка NК, если DЕ = 4 см.
В6
В7
Дан куб АВСDА1В1С1D1 ..
Отрезки двух наклонных,
проведённые из одной точки до Чему равен угол между
пересечения с плоскостью, равны плоскостью А1В1С1D1 и
плоскостью проходящей
15 и 20 см, проекция одного из
через прямые А1В1 и СD
отрезков равна 16 см. Найдите
проекцию другого отрезка.
С2
Из точки О пересечения диагоналей квадрата
АВСD к е го плоскости восстановлен
перпендикуляр ОМ так, что ∠ ОВМ = 60 º.
Найдите косинус угла АВМ.
С3
Из точки А построены три
взаимоперпендикулярных
отрезка АВ, АС и AD.
Найдите длину отрезка СD
если АС = а, ВС = в, ВD = с
С4
В кубе со
стороной а найдите
расстояние между
прямыми ВD1 и
СС1.
Часть 1. Задание с выбором ответа (1 балл).
А1
Какой плоскости не
принадлежит точка В?
А) РDВ
С) АРС
В) АDС
Д) ВDС
А6
Укажите точку
пересечения прямой
NC1 с плоскостью
A1B1C1
А) D1
В) С1
С) А 1
Д) В1
А10
Как располагаются
прямые DD1 и DC?
А) параллельны
В) пересекаются
С) перпендикулярны
А14
Укажите рёбра,
перпендикулярные
плоскости АВС
А) DА, ВC,СС1. AB
В) СB, DD1,D1А1. C1А1
С) АА1, ВВ1,DD1. C 1С1
А18
Укажите общий
перпендикуляр для
прямых AВ и CC1
А) DС
В) СА
С) DD1
Д) ВС
Вариант 2
А2
На каких плоскостях
лежит прямая DА?
А) АDC и ADB
В) ADB и ABC
С) ADB и DCB
Д) DKB и DCA
А7
Укажите прямую
пересечения плоскостей
АВD и АDD1
А) DВ
В) ВВ1
С) ВС
Д) AD
А11
Найдите угол между
прямыми AА1 и ВС
А) 180º
В) 60 º
С) 90 º
Д) 45 º
А15
Выберите верное
утверждение
А) AD ⊥BA В) AB ⊥ D 1С1
С) DC║ BВ1
Д) DС ║ BC
A3
В какой точке
пересекаются прямая
DК и плоскость ADB?
A4
По какой прямой
пересекаются плоскости
AВС и ADВ?
А) Р
С) А
А) DВ
С) АС
В) К
Д) D
А8
Прямые а и b
пересекаются в точке
С. Выберите верную
запись:
А) a ×b= с В) a ∩ b= с
С) a║ b= с Д) a∩ b= С
А12
Найдите точку
пересечения прямых
DC и D1P
А) D
В) С
С) А
Д) К
А16
Можно ли провести
плоскость через четыре
произвольные точки
пространства?
А) Да
В) Нет
А19
Плоскости α и β параллельны.
Каково взаимное расположение
прямых AС и BD?
А) Параллельны
В) Скрещиваются
А9
В) DС
Д) ВA
A5
Какие прямые лежат в
плоскости BDА?
А) DB, AC,DK. AB
В) KB, DA,DK. CP
С) DP, DВ,DА. ВA
Д) DB, DC,DK. CB
Туго натянутая нить закреплена в
точках 1,2,3,4,5, 6 расположенных
на стержнях SA,SB,SC. Укажите
количество точек в которых
отрезки нити соприкасаются
А) 0
В) 1
С) 2
Д) 3
А13
Найдите рёбра, параллельные
грани АDD1А1
А) ВС, CC1, ВВ1, B1С1
В) АВ, ВC, A1 D1, B1С1
С) АD, ВC, A1 D1, АС
А17
Отрезок ВD перпендикулярен
плоскости α. СВ является::
А) Перпендикуляром
В) Наклонной
С) Проекцией наклонной
А20
Прямые a и b-скрещивающиеся.Через а
проведена плоскость α ║ b,. Через прямую b
проведена плоскость β║а, . Каково взаимное
расположение плоскостей α и β?
А) Пересекаются
В) Скрещиваются
С) Параллельны
Д) Совпадают
Часть 2. Задание с развёрнутым ответом (2 балла).
В1
Через концы отрезка M N и его
середину К проведены параллельные
прямые, пересекающие плоскость α в
точках M 1, , N1 и К1. Найдите длину
отрезка КК1 , если отрезок MN не
пересекает α и ММ1 = 12см, NN1= 4 см.
В4
Через вершину острого угла прямоугольного
треугольника АВС с прямым углом С
проведена прямая АD, перпендикулярная
плоскости треугольника. Чему равно
расстояние от точки D до вершины С, если АС
= 3 см; АD = 4 см.
В5
Наклонная равна 2 см.
Чему равна проекция этой
наклонной на плоскость,
если наклонная составляет
с плоскостью угол равный
60 º?
Часть 3. Задание с развёрнутым ответом (3 балла).
С1
Из точки А к плоскости α проведены
два отрезка АС и АВ . Точка D
принадлежит АВ, точка Е принадлежит
АС. DЕ параллельна α и равна 5 см. Найти
длину отрезка ВС, если
А
В
В2
Даны две параллельные плоскости.
Через точки А и В одной из
плоскостей проведены две
параллельные прямые до пересечения
в точках А1 и В1. Найдите длину
отрезка АА1 если ВВ1 = 16 см.
= .
В3
Из точки М проведены к
плоскости α до пересечения в точках
N и К два отрезка. Точки D и Е –
середины отрезков MN и МК. Найдите
длину отрезка DЕ , если NК = 4 см.
В6
В7
Дан куб АВСDА1В1С1D1 ..
Отрезки двух наклонных,
проведённые из одной точки до Чему равен угол между
пересечения с плоскостью, равны плоскостью А1В1С1D1 и
плоскостью проходящей
7 и 10 см, проекция одного из
через прямые АВ и С1D1
отрезков равна 8 см. Найдите
проекцию другого отрезка.
С2
Из точки О пересечения диагоналей квадрата
АВСD к е го плоскости восстановлен
перпендикуляр ОМ так, что ∠ ОВМ = 30 º.
Найдите косинус угла АВМ.
С3
Из точки А построены три
взаимоперпендикулярных
отрезка АВ, АС и AD.
Найдите длину отрезка ВD
если АС = а, ВС = в, СD = с
С4
В кубе со
стороной а найдите
расстояние между
прямыми В1D и
АА1.
Часть 1. Задание с выбором ответа (1 балл).
А1
Какой плоскости не
принадлежит точка С?
А) РDВ
С) АРС
В) АDС
Д) ВDС
А6
Укажите точку
пересечения прямой
NA1 с плоскостью
A1C1D1
А) D1
В) В1
С) А1
Д) N1
Вариант 3
А2
На каких плоскостях
лежит прямая DС?
А) АDC и ADB
В) ADB и ABC
С) ADB и DCB
Д) DСB и DCA
А7
Укажите прямую
пересечения плоскостей
АВС и DСС1
А) DВ
С) ВС
В) DС
Д) AВ
A3
В какой точке
пересекаются прямая
DМ и плоскость AСB?
A4
По какой прямой
пересекаются плоскости
AВС и ВDC?
А) Р
С) А
А) DВ
С) АС
В) С
Д) D
А8
Плоскости α и β
пересекаются по
прямой b. Выберите
верную запись:
А) α × β= b В) α ∩ β= B
С) α ║ β= b Д) α ∩ β= b
А9
В) ВС
Д) ВA
A5
Какие прямые лежат в
плоскости BАC?
А) АB, AC,СР. СB
В) KB, DA,DK. CP
С) DP, DC,DK. CA
Д) DB, DC,DK. CB
Туго натянутая нить закреплена в
точках 1,2,3,4,5, 6 расположенных
на стержнях a,b,c. Укажите
количество точек в которых
отрезки нити соприкасаются
А) 0
В) 1
С) 2
Д) 3
А10
Как располагаются
прямые BP и D1C1?
А) параллельны
В) скрещиваются
С) перпендикулярны
А11
Найдите угол между
прямыми AD1 и А 1В1
А) 180º
В) 60 º
С) 90 º
Д) 45 º
А12
Найдите точку
пересечения прямых
DА и АА1
А) D
В) С
С) А
Д) К
А13
Найдите рёбра, параллельные
грани АВСD
А) АD, ВC, A1 D1, B1С1
В) АВ, ВC, A1 D1, B1С1
С) А 1В1, В 1C1, A1 D1, D 1С 1
А14
Укажите рёбра,
перпендикулярные
плоскости СDD1
А) DА, ВC,СС1. AB
В) СB, DA,D1А1. C1В1
С) DС, В1A1,BА. C 1D1
А18
Укажите общий
перпендикуляр для
прямых СD и ВВ1
А) DС
В) СА
С) DD1
Д) ВС
А15
Выберите верное
утверждение
А) AD║ DC В) AB ⊥ D 1С1
С) DC║ BC Д) DС ⊥DD1
А16
Две точки круга лежат
в плоскости. Лежит ли
весь круг в этой
плоскости?
А)Нет
В) Да
А17
Отрезок ВD перпендикулярен
плоскости α. ВD является::
А) Перпендикуляром
В) Наклонной
С) Проекцией наклонной
А19
Отрезки АВ и СD лежат в
плоскостях α и β. Прямые АС и
ВD параллельны. Каково взаимное
расположение плоскостей α и β?
А) Пересекаются
В) Параллельны
А20
Три луча АВ, АС, АК попарно перпендикулярны. Как
расположен каждый из лучей по отношению плоскости,
определяемой двумя другими лучами.
А) Перпендикулярен
В) Скрещивается
С) Параллелен
Д) Совпадает
Часть 2. Задание с развёрнутым ответом (2 балла).
В1
Через концы отрезка M N и его
середину К проведены параллельные
прямые, пересекающие плоскость α в
точках M 1, , N1 и К1. Найдите длину
отрезка NN1 , если отрезок MN не
пересекает α и ММ1 = 6 см, KK1= 4 см.
В4
Через вершину острого угла прямоугольного
треугольника АВС с прямым углом С
проведена прямая АD, перпендикулярная
плоскости треугольника. Чему равно
расстояние от точки D до вершины С, если АС
= 12 см; АD = 16 см.
В5
Наклонная равна 2 см.
Чему равна проекция этой
наклонной на плоскость,
если наклонная составляет
с плоскостью угол равный
30 º?
Часть 3. Задание с развёрнутым ответом (3 балла).
С1
Из точки А к плоскости α проведены
два отрезка АС и АВ . Точка D
принадлежит АВ, точка Е принадлежит
АС. DЕ параллельна α и равна 12 см.
Найти длину отрезка ВС, если
В2
Даны две параллельные плоскости.
Через точки А и В одной из
плоскостей проведены две
параллельные прямые до пересечения
в точках А1 и В1. Найдите длину
отрезка АВ если А1 В1 = 3 см.
А
В
= .
В3
Из точки М проведены к
плоскости α до пересечения в точках
N и К два отрезка. Точки D и Е –
середины отрезков MN и МК. Найдите
длину отрезка DЕ, если NК = 12см.
В6
В7
Дан куб АВСDА1В1С1D1 ..
Отрезки двух наклонных,
проведённые из одной точки до Чему равен угол между
пересечения с плоскостью, равны плоскостью А1В1С1D1 и
плоскостью проходящей
4 и 5 см, проекция одного из
через прямые А1D1 и СВ
отрезков равна 4 см. Найдите
проекцию другого отрезка.
С2
Из точки О пересечения диагоналей квадрата
АВСD к е го плоскости восстановлен
перпендикуляр ОМ так, что ∠ ОВМ = 45 º.
Найдите косинус угла АВМ.
С3
Из точки А построены три
взаимоперпендикулярных
отрезка АВ, АС и AD.
Найдите длину отрезка СD
если АС = 3 см, ВС = 4 см,
ВD = 5 см
С4
В кубе со
стороной а найдите
расстояние между
прямыми DВ1 и
СС1.
Часть 1. Задание с выбором ответа (1 балл).
А1
Какой плоскости не
принадлежит точка D?
А) РDВ
С) АРС
В) АDС
Д) ВDС
А6
Укажите точку
пересечения прямой NC
с плоскостью ABD
А) D
В) С
С) А
Д) M
Вариант 4
А2
На каких плоскостях
лежит прямая СB?
А) АDC и ADB
В) СDB и ABC
С) ADB и DCB
Д) DKB и DCA
А7
Укажите прямую
пересечения плоскостей
АВС и CDD1
А) DВ
С) ВС
В) DС
Д) AВ
A3
В какой точке
пересекаются прямая
DM и плоскость ADB?
A4
По какой прямой
пересекаются плоскости
AВС и PDC?
А) Р
С) А
А) DВ
С) PС
В) С
Д) D
А8
Плоскости α и β
пересекаются по
прямой с. Выберите
верную запись:
А) α × β= с В) α ∩ β= с
С) α ║ β= с Д) α ∩ β= С
А9
В) DС
Д) ВA
A5
Какие прямые лежат в
плоскости PDC?
А) DB, AC,DK. AB
В) KB, DA,DK. CP
С) DP, DC,DM. CP
Д) DB, DC,DK. CB
Туго натянутая нить закреплена
в точках 1,2,3,4,5, 6
расположенных на стержнях
a,b,c.d Укажите количество точек
в которых отрезки нити
соприкасаются
А) 0
В) 1 С) 2
Д) 3
А10
Как располагаются
прямые DD1 и AA1?
А) параллельны
В) пересекаются
С) перпендикулярны
А11
Найдите угол между
прямыми AD и DC
А) 180º
В) 60 º
С) 90 º
Д) 45 º
А12
Найдите точку
пересечения прямых
AB и AD1
А) D
В) С
С) А
Д) К
А13
Найдите рёбра, параллельные
грани DCC1D1
А) АВ, ВВ1, A1 В1, AA1
В) АD, ВC, A1 D1, B1С1
С) АD, ВC, A1 D1, DС
А14
Укажите рёбра,
перпендикулярные
плоскости АDD1
А) DА, ВC,СС1. AB
В) СB, DA,D1А1. C1А1
С) DС, В1A1 ,BА. D1C1
А15
Выберите верное
утверждение
А) AD║ BC В) AB ⊥ D 1С1
С) DC║ BC Д) DС ⊥BA
А16
Две точки
треугольника лежат в
плоскости. Лежит ли
весь треугольник в
этой плоскости?
А) Нет
В) Да
А17
Отрезок ВD перпендикулярен
плоскости α. СD является::
А) Перпендикуляром
В) Наклонной
С) Проекцией наклонной
А19
Плоскости α и β параллельны.
Каково взаимное расположение
прямых AB и CD?
А) Параллельны
В) Скрещиваются
А20
Прямые a и b-скрещивающиеся.Через а проведена
плоскость α ║ b,. Через прямую b проведена плоскость
β║а, . Каково взаимное расположение плоскостей α и β?
А) Пересекаются
В) Скрещиваются
С) Параллельны
Д) Совпадают
А18
Укажите общий
перпендикуляр для
прямых BС и DD1
А) DС
В) СА
С) DD1
Д) ВС
Часть 2. Задание с развёрнутым ответом (2 балла).
В1
Через концы отрезка M N и его
середину К проведены параллельные
прямые, пересекающие плоскость α в
точках M 1, , N1 и К1. Найдите длину
отрезка NN1 , если отрезок MN не
пересекает α и ММ1 = 10 см, KK1= 7см.
В4
Через вершину острого угла прямоугольного
треугольника АВС с прямым углом С
проведена прямая АD, перпендикулярная
плоскости треугольника. Чему равно
расстояние от точки D до вершины С, если АС
= 6 см; АD = 8 см.
В5
Наклонная равна 2 см.
Чему равна проекция этой
наклонной на плоскость,
если наклонная составляет
с плоскостью угол равный
60 º ?
Часть 3. Задание с развёрнутым ответом (3 балла).
С1
Из точки А к плоскости α проведены
два отрезка АС и АВ . Точка D
принадлежит АВ, точка Е принадлежит
АС. DЕ параллельна α и равна 5 см. Найти
длину отрезка ВС, если
А
В
В2
Даны две параллельные плоскости.
Через точки А и В одной из
плоскостей проведены две
параллельные прямые до пересечения
в точках А1 и В1. Найдите длину
отрезка А1 В1 если АВ = 6 см.
= .
В3
Из точки М проведены к
плоскости α до пересечения в точках
N и К два отрезка. Точки D и Е –
середины отрезков MN и МК. Найдите
длину отрезка NК, если DЕ = 10 см.
В6
В7
Дан куб АВСDА1В1С1D1 ..
Отрезки двух наклонных,
проведённые из одной точки до Чему равен угол между
пересечения с плоскостью, равны плоскостью А1В1С1D1 и
плоскостью проходящей
4 и 5 см, проекция одного из
через прямые C1D1 и AB
отрезков равна 4 см. Найдите
проекцию другого отрезка.
С2
Из точки О пересечения диагоналей квадрата
АВСD к е го плоскости восстановлен
перпендикуляр ОМ так, что ∠ ОВМ = 45 º.
Найдите косинус угла АВМ.
С3
Из точки А построены три
взаимоперпендикулярных
отрезка АВ, АС и AD.
Найдите длину отрезка СD
если АС = c, ВС = в, ВD = a
С4
В кубе со
стороной а найдите
расстояние между
прямыми AC1 и
BB1.
Ответы
Вариант А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 А8
Вариант А9 А10 А11 А12 А13 А14 А15 А16
1
Д
С
А
С
Д
А
Д
В
1
В
С
Д
В
С
С
Д
А
2
В
А
Д
Д
С
В
Д
Д
2
Д
С
С
Д
А
С
Д
В
3
А
Д
В
В
А
С
В
Д
3
Д
В
Д
С
С
В
Д
А
4
С
В
Д
С
С
В
В
Д
4
В
А
С
С
А
С
А
А
В1
В2
В3
В4
В5
В6
В7
С1
С2
С3
45º
20 см
√2/4 √2a2+c2-b2 a2√2/2
Вариант А17 А18 А19 А20
С4
1
В
А
В
С
4 см 10 см
8 см
10 см √2 см
9 см
2
С
Д
В
С
8 см 16 см
2 см
5 см
√13 см 45º 12,5 см √6/6 √c2+b2-2a2 a2√2/2
3
А
Д
В
А
2 см
3 см
6 см
20 см √3 см
4
В
А
В
С
4 см
6 см
20 см 10 см
1 cм
1 см
√7 см
45º
48 см
0,5
√7 см
45º 40/3 см
0,5
3 см
a2√2/2
√2a2+c2-b2 a2√2/2
Тема 3.1.
Декартовы координаты в пространстве. Расстояние между двумя точками.
Координаты середины отрезка.
Практическая работа№ 7
Тема: Декартовы координаты в пространстве. Расстояние между двумя точками.
Координаты середины отрезка.
Цель работы: Развитие навыков работы с декартовыми координатами в
пространстве
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Вариант 1
1
2
3
4
5
6
7
8
Вариант 2
Дано точки: А(0;-9;11), В(5;45;0),С(0;0;7),
Р(-3;2;3), Е(2;0;0), К(0;-20;0).Какие из
них лежат на координатных осях?
Дано точки: А(-60;9), В(0;15;-10),С(0;0;7),
Р(-33;0;0), Е(0;0;50), К(0; 20;0).Какие из них
лежат на координатных осях?
Дано точки: А(0;-9;11), В(5;45;0),С(0;0;7),
Р(-3;2;3), Е(2;0;0), К(0;-20;0).Какие из
них лежат в координатных плоскостях?
Дано точки: А(0;-9;11), В(5;-45;0),С(0;0;7),
Р(-3;2;3), Е(2;0;0), К(0;-20;0).Какие из них лежат
в координатных плоскостях?
Дано точки: А(4; 3;-5), В(7; 2;5),С(4;2;6), Дано точки: А(-23;1), В(2;3;1),С(-2;-8;1),
Р(-7;2;-5).Какие из них лежат на одной
Р(-2;0;-1), Какие из них лежат на одной прямой,
прямой, параллельной оси абсцисс?
параллельной оси ординат ?
Дано точки: А(6;-4;10), В(6;7;12),С(4;7;-12),
Р(-6;13;10). Какие из них лежат в одной
плоскости, параллельной плоскости yz?
Дано точки: А(4;3;-2), В(-6;-7;8),С(-4;3;2),
Р(8;-1;-2). Какие из них лежат в одной плоскости,
параллельной плоскости xy?
Найдите координаты точки А, которая
делит отрезок МК в отношении 3:1,
считая от точки М, если М(3;-5;1), К(1;7;5).
Найдите координаты точки А, которая делит
отрезок МК в отношении 3:1, считая от
точки М, если М(4;-5;2), К(12;-3;4).
Расстояние между точками А(4;-5;2) и
В(1;у;-4) равно 7. Найдите у.
Расстояние между точками А(-2;3;z) и В(1;-5;2) равно 7√2. Найдите z.
Лежат ли точки А(5;6;7) , В(-1;-1;-4) и
С(11;13;18) на одной прямой?
Лежат ли точки А(-3;-7;4) , В(2;3;-1) и С(-4;-9;5)
на одной прямой?
На оси абсцисс найдите координаты
точки, равноудаленной от точек А(4;5;6) и В(2;3;-4).
На оси ординат найдите координаты точки,
равноудаленной от точек А(-2;3;1) и В(1;2;-4).
9
Точка А лежит на оси у, точка В лежит в Точка А лежит на оси х, точка В лежит в
плоскости xz, точка C(-2;1;-3) –
плоскости уz, точка C(2;-9;-4) – середина отрезка
середина отрезка АВ. Найдите
АВ. Найдите координаты точек А и В.
координаты точек А и В.
Тема 3.2
Векторы в пространстве. Угол между векторами. Скалярное произведение
векторов.
Практическая работа№ 8
Тема: Вектора и действия над ними. Скалярное произведение векторов.
Цель работы: Развитие навыков работы с векторами
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Вариант 1
Исходные данные: А(5;1;1), В(1;1;1) и С(3;-1;2)
Найти: 1. Координаты вектора АВ, вектора АС, вектора ВС.
2. Длину вектора АВ, вектора АС, вектора ВС.
3. Разность векторов □((АВ ) ⃗и ) (ВС) ⃗.
4. Координаты точки D(х0;у0; z0) – середины стороны ВС.
5. Скалярное произведение □((АВ ) ⃗и ) (ВС) ⃗.
Контрольные вопросы:
Что такое вектор и как его обозначают?
Как умножается вектор на число?
Вариант 2
Исходные данные: А(2;1;5), В(-2;1;5) и С(-2;4;5)
Найти: 1. Координаты вектора АВ, вектора АС, вектора ВС.
2. Длину вектора АВ, вектора АС, вектора ВС.
3. Сумму векторов □((ВС ) ⃗и ) (АС) ⃗.
4. Координаты точки D(х0;у0; z0) – середины стороны ВС.
5. Скалярное произведение □((ВС ) ⃗и ) (АС) ⃗.
Контрольные вопросы:
Какие векторы называются равными?
Что такое скалярное произведение векторов?
Вариант 3
Исходные данные: А(1;4;2), В(2;2;4) и С(0;2;4)
Найти: 1. Координаты вектора АВ, вектора АС, вектора ВС.
2. Длину вектора АВ.
3. Разность векторов ((АС ) ⃗и ) (ВС) ⃗.
4. Координаты точки D(х0;у0; z0) – середины стороны ВС.
5. Скалярное произведение ((АС ) ⃗и ) (ВС) ⃗.
Контрольные вопросы:
Как находятся координаты вектора по координатам его концов?
Как найти расстояние между точками в пространстве?
Вариант 4
Исходные данные: А(2;5;3), В(3;3;5) и С(1;3;5)
Найти: 1. Координаты вектора АВ, вектора АС, вектора ВС.
2. Длину вектора АВ, вектора АС, вектора ВС.
3. Сумму векторов ((АВ ) ⃗и ) (ВС) ⃗ .
4. Координаты точки D(х0;у0; z0) – середины стороны ВС.
5. Скалярное произведение ((АВ ) ⃗и ) (ВС) ⃗.
Практическая работа№ 9
Тема: Уравнение плоскости. Геометрический смысл определителя 2Х2.
Цель работы: Развитие навыков работы с уравнением плоскости
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Тема 3.3
Практико – ориентированные задачи на координатной плоскости
Практическая работа № 10
Тема: Координатная плоскость. Вычисление расстояний и площадей на
плоскости
Цель работы: Развитие навыков работы с координатной плоскостью
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Практическая работа № 11
Тема: Количественные расчеты
Цель работы: Развитие навыков количественных расчетов
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Тема 3.4.
Решение задач. Координаты и векторы
Практическая работа № 12
Тема: Декартовы координаты в пространстве. Векторы в пространстве. Сложение
и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Компланарные векторы.
Скалярное произведение векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным
векторам. Простейшие задачи в координатах. Координаты вектора, расстояние
между точками, координаты середины отрезка, скалярное произведение векторов
в координатах, угол между векторами, угол между прямой и плоскостью, угол
между плоскостями.
Цель работы: Развитие навыков работы с векторами в пространстве
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Вариант №1
Вариант №2
Задание №1. Дан
–
Задание №1. Дан
–
параллелепипед. Точки К и Т – середины параллелепипед.
Причем
АК:КВ=3:2,
ребер ВС и
соответственно. Разложите А Т: Т =1:4. Разложите векторы: а) ⃗ ; б)
⃗ ; б)
⃗ ; в) ⃗; г)
⃗;
векторы: а)
Т⃗; в) ⃗ ; г) Т⃗; д) ⃗; е) АС ⃗; ж) КТ⃗
⃗
д) ⃗; е) ⃗ ; ж)
по векторам А ⃗, А ⃗ , АА ⃗.
по векторам ⃗ , ⃗ , ⃗.
Задание №2. Дан АВСD – тетраэдр.
Задание №2. Дан АВСD – тетраэдр. Точка Т – середина ребра CB, H - точка
Точка М – точка пересечения медиан пересечения медиан треугольника АВС.
⃗=#⃗,
⃗=$⃗, Разложите векторы:
треугольника АВС, причем
а) ⃗; б) ⃗; в) +⃗
⃗ =%⃗. Разложите векторы:
по векторам: ⃗, ⃗ , ⃗.
а) &⃗; б) ⃗ ; в) &⃗
по векторам: #⃗, $⃗, %⃗.
Тема 4.2.
Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения.
Практическая работа № 13
Тема: Преобразования простейших тригонометрических выражений
Цель работы: Развитие навыков работы с простейшими тригонометрическими
выражениями
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Вариант 1
1. Вычислите cos 2
8
sin 2
8
.
2. Упростите выражение tg 2
1 tg 2
4 sin
2
cos
.
2
tg
cos 2 .
tg 2 tg
4. Найдите значение выражения sin 75o sin15o.
3. Докажите тождество
1. Вычислите 2 cos 15 tg15 .
2
o
2. Упростите выражение
Вариант 2
o
2tg
(1 cos 4 ).
1 tg 2
tg 2 tg
sin 2 .
tg 2 tg
4. Найдите значение выражения cos 15 o cos 75o.
3. Докажите тождество
1. Вычислите 2 sin
12
cos
Вариант 3
12
.
2. Упростите выражение 4 sin cos 3 4 sin 3 cos .
1
.
sin 2
7
7
4. Найдите значение выражения 4 sin cos .
12
12
3. Докажите тождество ctg ctg 2
Вариант 4
1. Вычислите 1 2 sin 60 .
2
1 4 sin 2 cos 2
.
2. Упростите выражение
2 cos 2 1
1
.
3. Докажите тождество 1 tg tg 2
cos 2
5
5
4. Найдите значение выражения cos 4 sin 4 .
12
12
Тема 4.3.
Синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус
двойного угла. Формулы половинного угла.
Практическая работа № 14
Тема: Преобразования простейших тригонометрических выражений.
Цель работы: Развитие навыков преобразования простейших
тригонометрических выражений
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Вариант 1
1. Вычислите 2 sin
/
/
− ctg .
4
2. Упростите выражение 2 tg α + sin α −
9=> ;
3. Упростите выражение <
?@ ;
A +<
789 ;
7?@;
.
789: ;
A − 2 sin α.
4. Найдите значение B и выразите его в радианах, если 0° < x° < 90° и
sin 32° + sin 28° = 2 sin x cos 2°.
Вариант 2
1. Вычислите sin 56° cos 34° + cos 56° sin 34°.
2. Упростите выражение
789 ;I789 ;
789 ;
+ 2 sin α.
3. Упростите выражение 2 cos α − Jtgα cos α) − Jctgα sin α) .
4. Найдите значение Bи выразите его в радианах, если 0° < x° < 90° и
cos 74° + cos 16° = 2 cos x cos 29°
Вариант 3
1. Вычислите 2 cos
/
4
/
+ tg .
2. Упростите выражение ctg α + cos α −
3. Упростите выражение
9=> ;N9=> ;
789 ;N789 ;
9=>: ;
.
J1 − cos 4α).
4. Найдите значение Bи выразите его в радианах, если 90° < x° < 180° и
sin 57° + sin 41° = 2 sin x cos 8°.
Вариант 4
1. Вычислите cos 111° cos 69° − sin 111° sin 69°.
2. Упростите выражение
9=> ;N9=> ;
3. Упростите выражение
9=> ;I9=> ;
789 ;
ctgα − 1.
789 ;I789 ;
J1 + cos 4α).
4. Найдите значение x и выразите его в радианах, если 90° < x° < 180° и
cos 62° − cos 18° = −2 sin x sin 22°.
Тема 4.6.
Преобразование графиков тригонометрических функций
Практическая работа № 15
Тема: Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций.
Преобразование графиков тригонометрических функций.
Цель работы: Развитие навыков работы с графиками тригонометрических
функций
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Вариант №1
1. Перечислите основные свойства функции синус.
2. Исследуйте функцию и постройте график функции y cos x
3. Постройте график функции
а) y 2 cos x ;
б) y tgx ;
в) y sin x 3 .
Вариант №2.
1. Перечислите основные свойства функции косинус.
2. Исследуйте функцию и постройте график функции y sin x
3. Постройте график функции
1
2
б) y ctgx ;
в) y 3 sin x .
а) y cos x ;
Вариант № 3.
1. Перечислите основные свойства функции тангенс.
2. Исследуйте функцию и постройте график функции y tgx .
3. Постройте график функции
а) y 3 sin x ;
б) y ctgx ;
в) y 4 cos x .
Вариант № 4.
1. Перечислите основные свойства функции котангенс.
2. Исследуйте функцию и постройте график функции y ctgx .
3. Постройте график функции
1
4
б) y tgx ;
1
в) y cos x .
4
а) y sin x ;
Тема 4.7.
Описание производственных процессов с помощью графиков функций
Практическая работа № 16
Тема: Использование свойств тригонометрических функций в профессиональных
задачах.
Цель работы: Развитие навыков использования свойств тригонометрических
функций в профессиональных задачах
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Вариант №1
1. Перечислите основные свойства функции синус.
2. Исследуйте функцию и постройте график функции y cos x
3. Постройте график функции
а) y 2 cos x ;
б) y tgx ;
в) y sin x 3 .
Вариант №2.
1. Перечислите основные свойства функции косинус.
2. Исследуйте функцию и постройте график функции y sin x
3. Постройте график функции
1
2
б) y ctgx ;
а) y cos x ;
в) y 3 sin x .
Вариант № 3.
1. Перечислите основные свойства функции тангенс.
2. Исследуйте функцию и постройте график функции y tgx .
3. Постройте график функции
а) y 3 sin x ;
б) y ctgx ;
в) y 4 cos x .
Вариант № 4.
1. Перечислите основные свойства функции котангенс.
2. Исследуйте функцию и постройте график функции y ctgx .
3. Постройте график функции
1
4
б) y tgx ;
1
в) y cos x .
4
а) y sin x ;
Практическая работа № 17
Тема: Использование свойств тригонометрических функций в профессиональных
задачах.
Цель работы: Развитие навыков использования свойств тригонометрических
функций в профессиональных задачах
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Вариант №1
1. Постройте графики следующих функций:
а) y cos(х ) ;
2
б) y sin( х ) .
2. Постойте график функции y 2 cos(x ) .
2
3. Исследуйте функцию y 1,5 sin 2 x и постройте ее график.
Вариант №2.
1. Постройте графики следующих функций:
а) y cos(х ) ;
2
б) y sin( х ) .
1
2
2
x
3. Исследуйте функцию y 2 cos и постройте ее график.
2
2. Постойте график функции y cos( x ) .
Вариант № 3.
1. Постройте графики следующих функций:
а) y cos( х ) ;
б) y sin( х ) ;
2
2. Постойте график функции y 3 sin( x ) .
2
3. Исследуйте функцию y 2 cos 2 x и постройте ее график.
Вариант № 4.
1. Постройте графики следующих функций:
а) y cos( х ) ;
б) y sin( х ) .
2
2. Постойте график функции y 4 sin( x ) .
2
x
3. Исследуйте функцию y sin 1 и постройте ее график.
3
Тема 4.9.
Тригонометрические уравнения и неравенства
Практическая работа № 18
Тема: Решение тригонометрических уравнений основных типов: простейшие
тригонометрические уравнения, cводящиеся к квадратным, решаемые
разложением на множители, однородные.
Цель работы: Развитие навыков решения тригонометрических уравнений
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Вариант 1
1. Решите уравнение: sin 2B − cos B = 0.
2. Упростите выражение J%OPB − 1)Jcos B + 1) = 0.
3. Упростите выражение
sin B − sin 3B
=0
1 + cos B
Вариант 2
1. Решите уравнение cos 7B + cos B = 0.
2. Упростите выражение JOPB + 1)Jsin B − 1) = 0.
3. Упростите выражение
cos 3B + cos B
=0
1 + sin B
Вариант 3
1. Решите уравнение √3 cos B + sin 2B = 0.
2. Упростите выражение
cos B
=0
1 + sin B
3. Упростите выражение J1 + cos 2B) OPB = cos B.
1. Вычислите sin B + sin 5B = 0 .
2. Упростите выражение
Вариант 4
sin B
=0
1 − cos B
3. Упростите выражение J1 − cos 2B) %OPB = sin B.
Практическая работа № 19
Тема: Простейшие тригонометрические неравенства.
Цель работы: Развитие навыков решения простейших тригонометрических
неравенств
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Вариант 1
1. Решите неравенства:
2
а) cos x ;
4
2
б) tg 2 x tg .
3
2. Решите неравенства:
3
а) 4 sin x 2 2 ;
4
4
б) sin 2 3x 0,75.
3
1. Решите неравенства:
Вариант 2
1
а) sin x ;
6
x
б) tg tg .
3
6
2
2. Решите неравенства:
а) 3 cos1,5 x 1,5;
6
б) cos 2 0,25.
3
x
3
1. Решите неравенства:
x
5
а) cos cos ;
3
3
x
б)1 2 cos 0.
2
3
2. Решите неравенства:
Вариант 3
а) 2 sin x 1 0.
4
x
б) tg 1.
4
4
1. Решите неравенства:
Вариант 4
3
а) sin 2 x sin ;
4
4
б) 3 2 sin 3 x 0.
2. Решите неравенства:
а) 2 cos x 3 0.
3
б) ctg 1.
x
3
3
Тема 4.11.
Решение задач. Основы тригонометрии. Тригонометрические функции
Практическая работа № 20
Тема: Преобразование тригонометрических выражений. Решение
тригонометрических уравнений и неравенств, в том числе с использованием
свойств функций.
Цель работы: Развитие навыков работы с тригонометрическими функциями
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
Вариант 1
Решите уравнения:
1.
2.
3.
4.
5. Решите уравнение:
6. Найдите корни уравнения
Вариант 2
Решите уравнения:
1.
2.
3.
4.
принадлежащие отрезку
5. Решите уравнение:
6. Найдите корни уравнения
Вариант 3
Решите уравнения:
принадлежащие отрезку
1.
2.
3.
4.
5. Решите уравнение:
6. Найдите корни уравнения
Вариант 4
Решите уравнения:
принадлежащие отрезку
1.
2.
3.
4.
5. Решите уравнение:
6. Найдите корни уравнения
Решение заданий контрольной работы
Вариант 1
1.
Ответ:
2.
принадлежащие отрезку
Ответ:
3.
cos х = а
cos х = 1
или
cos х = –3
нет решений.
Ответ:
4.
tg x = а
tg x = –1
или
Ответ:
5.
tg x = а
tg x = 1
Ответ:
6.
tg 3x = 1
или
tg x = 3
при
при
при
при
при
Ответ:
Вариант 2
1.
Ответ:
2.
Ответ:
3.
sin х = а
sin х = 1
или
sin х = 2
нет решений.
Ответ:
4.
tg x = а
tg x = 1
или
Ответ:
5.
tg x = а
tg x = –1
Ответ:
6.
при
при
при
или
tg x = 3
при
при
при
при
Ответ:
Вариант 3
1.
Ответ:
2.
Ответ:
3.
cos х = а
cos х = 1
или
нет решений.
Ответ:
4.
tg x = а
tg x = 1
или
Ответ:
5.
tg x = а
tg x = 4
Ответ:
6.
при
при
или
при
при
при
Ответ:
Вариант 4
1.
Ответ:
2.
Ответ:
3.
sin х = а
sin х = –1
или
sin х = 3
нет решений.
Ответ:
4.
tg x = а
или
Ответ:
5.
tg x = а
tg x = –1
Ответ:
6.
tg 3x = –1
при
при
при
при
при
при
или
при
Ответ:
Тема 5.2
Применение комплексных чисел
Практическая работа № 21
Тема: Выполнение расчетов с помощью комплексных чисел. Примеры
использования комплексных чисел.
Цель работы: Развитие навыков работы с комплексными числами
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК07, ПК-4.6
1 вариант
2 вариант
Количеств
о баллов
№ 1. Изобразите на плоскости заданные комплексные
числа:
z1= 4i
z1= -5i
1
z2 = 3 + i
z2= 4 + i
1
z3= - 4 +3i
z3 = -7 + 2i
1
z4= - 2 -5i
z 4= -3 – 6i
1
№ 2. Произведите сложение и вычитание комплексных
чисел:
А) (3 + 5i) + (7 – 2i).
(3 – 2i) + (5 + i).
2
б) (6 + 2i) + (5 + 3i).
(4 + 2i) + (– 3 + 2i).
2
в) (– 2 + 3i) - (7 – 2i).
(– 5 + 2i) - (5 + 2i).
2
(– 3 – 5i) - (7 – 2i).
2
г) (5 – 4i) - (6 + 2i).
№ 3. Произведите умножение комплексных чисел:
a) (2 + 3i)(5 – 7i).
(1 –i)(1 + i).
2
б) (6 + 4i)(5 + 2i).
(3 + 2i)(1 + i).
2
в) 11) (3 – 2i)(7 – i).
(6 + 4i)3i.
2
г) (– 2 + 3i)(3 + 5i).
(2 – 3i)(– 5i).
2
№ 4. Выполните деление комплексных чисел:
+2i
а) 5−3i
б)
1−i
1+i
5+i
2
2
a) 2+3i
б)
1+i
1−i
№ 5. Выполните действия:
a) (3 + 2i)(3 – 2i).
а) (7 – 6i)(7 + 6i).
б) (5 + i)(5 – i).
б) (4 + i)(4 – i).
в) (1 – 3i)(1 + 3i).
в) (1 – 5i)(1 + 5i).
№ 6. Решите уравнения:
2
а) x – 4x + 13 = 0.
а) 2,5x2 + x + 1 = 0.
б) 4x2 – 20x + 26 = 0.
б) x2 + 3x + 4 = 0
2
2
2
3
3
№7. На рисунке показано графическое изображение
комплексных чисел. Перерисуйте рисунок в тетрадь. Обозначьте
комплексные числа как z1, z2, z3. Запишите
соответствующие аналитические формы.
2
Критерии оценки
Набранное количество баллов
21 – 28 баллов
29 - 34 баллов
35 - 38 балла
оценка
3
4
5
Эталон ответа
Вариант 1
Вариант 2
А)1 + i
Б) – i
1.
z1
z2
z3
z4
2.
А) 8 – i
Б) 1 + 4i
В)- 10
Г) -10 – 3i
3.
А) 2
Б) 1 + 5i
В)-12 + 18i
Г) 10i - 15
4.
А)1 – i
Б)i
2
2
А)13
Б)26
В)10
5.
А)85
Б)17
В)26
2
2
2
6.
А) – 0,2 + 0,6i
Б)2,5 + 0,5i
3
3
z1
z2
z3
z4
А) 10 + 3i
Б) 11 + 5i
В) -9 – 6i
Г) -1 - 6i
А)10 + 3i
Б)22 + 32i
В)19 – 17i
Г) -21 - i
А) 2 + 3i
Б)1,5 + √7 i
А)z1 = -3 + 5i
Б)z2 = 3 + 3i
В)z3 = 4 – 7i
7.
А)z1 = -7 + 3i
Б)z2 = 2 + -5i
В)z3 = -2 -7i
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Тема 6.1
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
Практическая работа № 22
Тема: Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования.
Цель работы: Развитие навыков работы с производной
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант 1.
1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону
S (t ) t 3 15t 2 1.
В какой момент времени ускорение тела будет равно нулю.
2. Исследовать функцию y x 3 3x 1 . Найти координаты точек экстремума и
промежутки выпуклости функции.
3. Найти производные функций:
x sin x 6 x 2
3 sin
a) y
x
2
3
b) y 4 x 5
c) y x cos x
Вариант 2.
1. При движении тела по прямой расстояние S(t) в метрах от начальной точки М
изменяется по закону S (t ) 3t 3 2t 2 4t 5 . (t – время в секундах). Через сколько
секунд после начала движения мгновенное ускорение тела будет равно 58 м/с2.
1
3
2. Исследовать функцию y x 3 x 2 . Найти промежутки монотонности и
координаты точек перегиба.
3. Найти производные функций:
x cos x 6 x 5
3x 2
a) y
x
b) y 4 x 5 7
c) y x 2 sin x
Вариант 3.
1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону
S (t ) 5t 3 15t 2 12. В какой момент времени ускорение тела будет равно нулю?
1
2. Исследовать функцию y x 3 2 x 2 4 x 1. Найти
3
экстремума и промежутки выпуклости функции.
3. Найти производные функций:
координаты
точек
x sin x x cos x 3 x 2
sin
x
10
3
1
b) y x 2
7
1
c) y 8 5 x 2
x
a) y
Вариант 4.
1. Тело движется по прямой так, что его скорость (в метрах в секунду)
изменяется по закону (t ) t 2 8t 5 . Какую скорость приобретет тело в
момент, когда его ускорение станет равным 12 м 2
с
1 3
2. Исследовать функцию y x x 2 3x 9 . Найти промежутки монотонности и
3
координаты точек перегиба.
3. Найти производные функций:
x 2 x 3x 2
cos
x
23
5
b) y 6 x 5
c) y x cos x
a) y
Тема 6.2.
Производные суммы, разности, произведения и частного.
Практическая работа № 23
Тема: Производные суммы, разности, произведения и частного.
Цель работы: Развитие навыков работы с формулами дифференцирования
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Тема 6.5.
Геометрический и физический смысл производной
Практическая работа № 24
Тема: Геометрический и физический смысл производной.
Цель работы: Развитие навыков работы с производной
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07, ПК-4.6
Вариант Ι
Вариант ΙΙ
№ 1 Найти производную функции:
а) 3B − R
№ 1 Найти производную функции:
а) 3B − :
Q
б) J4 − 3B)4
в) S Q UbcB
б)
в)
г)
Q
Q
4
J + 7)
S Q %TUB
V
г)
WXYQ
№ 2 Найти значение производной функции
Z JB ) = 1 − 6 R√B в точке Ba = 8
V
fgWQ
№ 2 Найти значение производной функции
Z JB ) = 2 − в точке Ba =
√Q
h
№ 3 Записать уравнение касательной к графику функции
Z JB ) = UbcB − 3B + 2 в точке Ba = 0
№ 3 Записать уравнение касательной к графику функции
Z JB ) = 4B − UbcB + 1 в точке Ba = 0
№ 4 Найти значения B, при которых значения производной
QI
функции Z JB ) = : положительны.
№ 4 Найти значения B, при которых значения
NQ
производной функции Z JB ) = : отрицательны
№ 5 Найти точки графика функции Z JB ) = B − 3B , в
которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.
№ 5 Найти точки графика функции Z JB ) = B + 3B , в
которых касательная к нему параллельна оси
абсцисс.
№ 6 Найти производную функции d JB ) = log JUbcB)
№ 6 Найти производную функции d JB ) = cosJlog B)
Q I
Q Ii
Тема 6.6.
Физический смысл производных в профессиональных задачах.
Практическая работа № 25
Тема: Физический(механический) смысл производной – мгновенная скорость в
момент времени t: v=S’(t).
Цель работы: Развитие навыков работы с производной
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант № 1
1.
Тело движется по закону S(t)=6t3+2t+3. Найдите скорость движения в
момент времени t= 3с.
2.
Температура тела при нагревании изменяется в зависимости от времени t по
закону Т(t) = 3 t3 + 2 t. Вычислите скорость изменения температуры в момент
времени t = 9с.
3.
Найдите силу F, действующую на материальную точку массой 3 кг,
движущуюся прямолинейно по закону S (t) = 2 t3 – t2 при t =2.
Вариант № 2
1.
Материальная точка движется прямолинейно S (t) = t3 - 4t2. Найдите
скорость и ускорение в момент времени t = 5 с.
2.
Точка движется прямолинейно по закону S (t) = 2 t3 - 3t + 1. В какой момент
времени ускорение равно 2м/с?
3.
Точка движется прямолинейно по закону S (t) = 2 t3 + 3t – 1. В какой момент
времени скорость тела будет 7 м/с.
Тема 6.10.
Нахождение оптимального результата с помощью производной в
практических задачах
Практическая работа № 26
Тема: Наименьшее и наибольшее значение функции.
Цель работы: Развитие навыков работы с функциями
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
1 вариант
2 вариант
Чему равно наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
У=2х − 3х − 12х + 1 на отрезкеj0,3k
У=1+3х − х на отрезке j−1,1k
2 Какое наибольшее или наименьшее значение имеет функция у = х − 3х на интервале
(−∞; 1)
(1;+∞)
3.
Найти вторую производную функции
l
4
h
А)у=4х − 5х + 5х − 2х + 8
А) у=5х − 6хh + 3х − 9х + 7
Б)у=sin 4х − 5х
Б) у=8х+cos 3х
В)
4.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба
1.
у = хh − х +6
у = хh − 6х + 1
5. Площадь участка равна 90000м . Каким Площадь участка равна 16000м . Каким должны
должны быть его размеры, чтобы на забор ушло быть его размеры, чтобы на забор ушло
наименьшее количество сетки рабицы?
наименьшее количество сетки рабицы?
Тема 6.11.
Решение задач. Производная функции, ее применение.
Практическая работа № 27
Тема: Формулы и правила дифференцирования. Исследование функций с
помощью производной. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Цель работы: Развитие навыков работы с функциями
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант № 1
1. Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума
f(х) = х3 – 9х2 + 15х.
2. Чему равно наибольшее и наименьшее значение функции у = – х2 + 4х + 2 на
промежутке [0;4]
3. Исследовать с помощью производной функцию и постройте график
hQ : I
а) f(х) =2– 3х2 – х3 ;
б) f(х) =
Q
Вариант № 2
1. Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума
f(х) = х3 – 6х2 + 9х?
2. Чему равно наибольшее и наименьшее значение функции у = 2х2 - 8х + 11 на
промежутке [0;4]
3. Исследовать с помощью производной функцию и постройте график
а) f(х) =2х3 -3 х2 - 4
f(х) =
mQ : N
Q
Тема 7.7.
Примеры симметрий в профессии.
Практическая работа № 28
Тема: Симметрия в природе, архитектуре, технике, в быту.
Цель работы: Развитие навыков работы с симметрией
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Тема 7.8.
Правильные многогранники, их свойства.
Практическая работа № 29
- 54 -
Тема: Понятие правильного многогранника. Свойства правильных
многогранников.
Цель работы: Развитие навыков работы с правильными многогранниками
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
I этап.
1. Записать определение правильного многогранника.
Многогранник называется правильным, если его грани - …………
...................................... многоугольники и в каждой вершине сходится дно и то же число
……………………..
2. Перечислить свойства правильного многогранника:
А) все ребра правильного многогранника ………………………..
………………………………………………………………………..
Б) все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром ………………………………………………………………………..
3. Перечислить правильные многогранники
А)
…………………………………………..
Грани - ……………………………………………………………..
Б)
…………………………………………..
Грани - ……………………………………………………………..
В)
…………………………………………..
Грани - ……………………………………………………………..
- 55 -
Г)
…………………………………………..
Грани - ……………………………………………………………..
Д)
…………………………………………..
Грани - ……………………………………………………………..
Угол правильного n-угольника равен
Градусная мера угла
правильного
n-угольника
n=
iao J………… )
……
Правильный n-угольник
n=3
n=4
n=5
n=6
Пусть при вершине сходится n ребер, тогда плоских углов при этой вершине ….., причем
они все …………….. между собой.
Пусть один из углов из этих плоских углов равен х, тогда сумма плоских углов при
вершине ………, и по свойству многогранного
угла получим nх….. 3600, откуда х …......
Количество плоских углов при одной вершине
3
4
5
6
7
Градусная
мера одного
угла меньше
II этап.
Задание: Доказать, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются
правильные шестиугольники, семиугольники и n-угольники при n≥6.
Доказательство:
Угол правильного n-угольника при n≥6 не меньше .……0. С другой стороны, при каждой
вершине многогранника должно быть не менее ……плоских углов. Поэтому если бы
существовал правильный многогранник, у которого грани - ……………………. n-угольники
при n≥6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не
меньше …………………………..
По свойству многогранного угла: сумма всех плоских углов при каждой вершине
выпуклого многогранника ………………………..
Вывод: ………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………
- 56 -
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
Задание: Доказать, что существует всего 5 правильных многогранников
Доказательство:
Форма граней
Градусна
я мера
плоского
угла
Правильный
треугольник
Число
ребер
при
одной
вершин
е
3
Сумма
плоских
углов
при
одной
вершин
е
Противоречит
ли теореме о
сумме
плоских углов
многогранног
о угла
Число граней
такого
многогранник
а
Название
правильного
многогранник
а
4
5
6
3
Правильный
четырехугольни
к (………….)
4
Правильный
пятиугольник
3
4
Вывод: …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….
Задание: Доказать, что Эйлерова характеристика справедлива для всех правильных
многогранников.
Правильный
многогранник
Форма
грани
Эйлерова
характеристика
Число
граней
вершин
рёбер
………………
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Вывод: ………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
Задание: Вывести формулы для нахождения площадей правильных многогранников.
Форма
грани
Число
граней
Площадь
одной грани
Площадь
поверхности
- 57 -
Правильный
многогранник
правильного
многогранника
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Икосаэдр
Вывод: ………………………………………………………………………….
Тема 7.15.
Комбинации многогранников и тел вращения.
Практическая работа № 30
Тема: Комбинации геометрических тел.
Цель работы: Развитие навыков работы с геометрическими телами
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
1 вариант
1.Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник с площадью 4 см². Найдите
площадь сферы, описанной около конуса, и объем шара, описанного около конуса.
2. В правильной треугольной призме периметр основания равен 18 см. Диагональ
боковой грани призмы образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем
шара, описанного около призмы.
3. Около сферы описан куб, и в сферу вписан куб. Найдите отношение полных
поверхностей этих кубов и отношение их объемов.
4. Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен 60°.
Высота пирамиды равна 9 см. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду.
5. В цилиндр вписана сфера, а в эту сферу вписан еще один цилиндр, подобный
данному. Найдите отношение объемов цилиндров.
2 вариант
1.Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник с углом при вершине
120°, образующая конуса равна 6см. Найдите объем шара, описанного около
конуса.
2. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна 12 см и
образует с боковым ребром призмы угол 60°. Найдите объем шара, описанного
около призмы.
3. Около куба описана сфера, и в него вписана сфера. Найдите отношение
площадей этих сфер и отношение объемов шаров.
- 58 -
4. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6√3 см и образует с высотой
угол 30°. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду, и площадь сферы,
вписанной в пирамиду.
5. В цилиндр вписан шар, а в этот шар вписан еще один цилиндр, подобный
данному. Найдите отношение полных поверхностей цилиндров.
Тема 7.16.
Геометрические комбинации на практике.
Практическая работа № 31
Тема: Использование комбинаций многогранников и тел вращения в практикоориентированных задачах.
Цель работы: Развитие навыков работы с геометрическими телами,
многогранниками и телами вращения
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Тема 7.17.
Решение задач. Многогранники и тела вращения.
Практическая работа № 32
Тема: Объемы и площади поверхности многогранников и тел вращения.
Цель работы: Развитие навыков работы с геометрическими телами,
многогранниками и телами вращения
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант №1
1. Найдите площадь полной поверхности и объем тела, полученного при
вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см вокруг его оси
симметрии, параллельной большей стороне.
2. Найдите площадь полной поверхности и объем тела, полученного при
вращении прямоугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг его
катета.
3. Найдите объем шара и площадь его поверхности, если его радиус - 4 см.
4. Написать уравнение сферы радиуса 3 дм с центром в точке A(1; -2; 5).
5. Радиусы двух шаров - 5 мм и 4 мм. Определите радиус шара, объем которого
равен суммарному объему данных шаров.
Вариант №2
- 59 -
1. Найдите площадь полной поверхности и объем тела, полученного при
вращении прямоугольника со сторонами 4 см и 8 см вокруг его оси
симметрии, параллельной большей стороне.
2. Найдите площадь полной поверхности и объем тела, полученного при
вращении прямоугольника с катетом 4 см и гипотенузой 5 см вокруг его
катета.
3. Найдите объем шара и площадь его поверхности, если его радиус - 5 см.
4. Написать уравнение сферы радиуса 3 дм с центром в точке A(1; -2; 4).
5. Радиусы двух шаров - 3 мм и 4 мм. Определите радиус шара, объем которого
равен суммарному объему данных шаров.
Тема 8.5.
Определенный интеграл в жизни.
Практическая работа № 33
Тема: Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона Лейбница.
Цель работы: Развитие навыков работы с определенным интегралом
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант 1.
1. Найдите значение первообразной функции:
а) Z JB ) = B a
q
б) ZJB ) = cosJ2B + )
в) ZJB ) = J2 − 6B)h
2. Для функции Z JB ) = −4х
найдите ту производную, график которой
проходит через точку А(-1;3).
3. Вычислите неопределенный интеграл:
sJ2UbcB + 4S Q − 3Q )tB
u
1
sJB v − 6B + 4B − 2B − 1 − )tB
B
4. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислите определенный интеграл:
а) wa Jх − 2)tB
б) w
z yQ
Q
q
в) wa J−UbcB)tB
5. Пользуясь геометрическом смыслом определенного интеграла, вычислите:
- 60 -
N
h
а) wN J−B)tB
б)wa J2 − B)tB
6. Применив основные свойства интегралов, вычислите:
{
q
а)wau %TUBtB + w{ %TUBtB
QR
б)wa J
N
u
+ 2B − 1)tB
Q
в) wa J − B )tB
7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=sinx, y=0, B =
q
, B=
q
.
б) y=-x2+6, y=5.
Вариант 2.
1. Найдите значение первообразной функции:
а) Z JB ) = B
q
б) ZJB ) = sinJ5B + )
4
в) ZJB ) = J2B − 1)h
2. Для функции Z JB ) = −6х
найдите ту производную, график которой
проходит через точку B (1;-2).
3. Вычислите неопределенный интеграл:
sJ3%TUB − 5S Q + 4Q )tB
:
1
sJB R + 5B h − 4B + 2 + )tB
B
4. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислите определенный интеграл:
а) wa J1 − х )tB
б) w
z : yQ
Q
q/
в) wa
%TUBtB
5. Пользуясь геометрическом смыслом определенного интеграла, вычислите:
а) w BtB
б)wa J1 − B)tB
6. Применив основные свойства интегралов, вычислите:
{
q/
а)wa} %TUBtB + w{
}
%TUBtB
- 61 -
б)wa J3B −
Q
Q:
+ 1)tB
в) wa J + 2B )tB
7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=cosx, y=0, B = −
q
q
, B= .
б) y=x2+1, y=5.
Практическая работа № 34
Тема: Решение задач на применение интеграла для вычисления физических
величин и площадей.
Цель работы: Развитие навыков работы с определенным интегралом
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Содержание практической работы.
1. Вычислить определенные интегралы:
3
2
а)
1
2
dx
1 x
5
2 ;
б)
4 x dx ;
3
4
2. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой
формулой v = v(t) (время измеряется в секундах, а скорость в сантиметрах в
секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t =
0) и V(t)= 3t2 − 4t + 1?
3.Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а) х – у + 2 = 0, у =0, х = −1, х = 2;
4 (задание для дополнительного решения). Дан прямолинейный неоднородный
стержень, плотность в точке x определяется по формуле = x . Найдите массу
стержня длиной L, если: x = x2 − х + 1, L = 6.
4.Контрольные вопросы.
1. Формула Ньютона-Лейбница.
2. Геометрический смысл определённого интеграла.
3. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченная линиями?
4. По какой формуле вычисляется объем тела, образованное вращением вокруг
оси OX криволинейной трапеции?
5. По какой формуле вычисляется работа, производимая силой?
Тема 8.6.
Решение задач. Первообразная функции, ее применение.
Практическая работа № 35
- 62 -
Тема: Первообразная функции. Правила нахождения первообразных. Ее
применение.
Цель работы: Развитие навыков преобразования функции и работы с
первообразными
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Задания для самостоятельного решения:
1. Докажите, что F(x) – первообразная для функции f(x) на указанном
промежутке, если:
Q:
а) F(x)= ,
f(x)=x,
б) F(x)=B N − ,
x ∈ J−∞; +∞);
f(x)=-2x-8,
m
x ∈ J0; +∞);
в) F(x)=3 √B + √2, f(x)= u , x ∈ J0; +∞);
h √Q
2
2. Для функции f(x)=x найдите первообразную,график которой проходит
проходит через точку М (-1;2)
3. Найти общий вид первообразной для функции f:
u
1
2
; в) f(x) x - 5 cosx; г) f(x) (2x - 3) 5 ; д)
4
x
x
1
3
f(x)
2 cos( x ).
4
(3 - 2x) 3
5x 2
а) f(x) 2 - x 4 ; б) f(x) 1 -
Контрольные вопросы:
1. Что такое первообразная?
2. В чем заключается основное свойство первообразной?
3. Сформулируйте три правила первообразной.
Тема 9.3.
Свойства степени с рациональным и действительным показателем.
Практическая работа № 36
Тема: Свойства степени с рациональным и действительным показателем.
Цель работы: Развитие навыков работы со степенями
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант 1
1. Вычислите:
2 128
32
.
2. Найдите значения выражений: а) 25 81;
3. Упростите: а)
5
24 5 20
5
15
,
б) 2 3 10 24 .
б) 3 3 4 5 310 .
- 63 -
4. Вычислите: А) 0,5 0,04
5. Выполните действия:
1
144
6
Б) 1,5 7
4 3 2 5 3 60 .
В) 2 1,5 .
25
49
2
Вариант 2
1. Вычислите: 3 108 .
3
2. Найдите значения выражений: а) 400 2,25 ; б) 5 530 .
3. Упростите: а)
27 4 15 ,
4
5
4
б) 6 74 3 76 .
1
196 1,5 0,36
2
4. Вычислите: А)
5. Выполните действия:
9
1
16
Б) 2 1
В) 2 0,5 .
2
3 2 2 7 2 56 .
Вариант 3
1. Вычислите: 5 3 108 .
3
4
2. Найдите значения выражений: а) 0,49 16 ; б) 4 616 .
3. Упростите: а)
3
375 3 15 ,
3
45
б) 5 311 3 312 .
4. Вычислите: А) 0,8 225 0,5 1,21
Б) 2 3
5. Выполните действия: 4 3 3 2 ( 27
25
36
В) 0,5 20 .
2
2).
Тема 9.5.
Степени и корни. Степенная функция.
Практическая работа № 37
Тема: Определение степенной функции. Использование ее свойств при решении
уравнений и неравенств.
Цель работы: Развитие навыков работы со степенной функцией
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Тема 10.2.
Решение показательных уравнений и неравенств.
Практическая работа № 38
Тема: Решение показательных уравнений методом уравнивания показателей и
методом введения новой переменной.
Цель работы: Развитие навыков решения показательных уравнений
- 64 -
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Практическая работа № 39
Тема: Решение показательных уравнений функционально-графическим методом.
Цель работы: Развитие навыков решения показательных уравнений
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант 1
1.
Изобразите схематично график функции:
а) € = 0,4Q
б) € = < A
√
2.
Q
Построить график функции:
а) € = 3Q
Q
б) € = < A
3.
Найдите значение выражения € = 2Q , при указанных значениях переменной
B:
а) B = 3
б) B = −6
1.
Изобразите схематично график функции:
а) € = •√2‚
б) € = < A
2.
Вариант 2
Q
Q
Построить график функции:
- 65 -
а) € = < A
Q
б) € = 2Q
3. Найдите значение выражения € = 2Q , при указанных значениях переменной
x:
а) B = 4
б) B = −5
Практическая работа № 40
Тема: Решение показательных неравенств.
Цель работы: Развитие навыков решения показательных неравенств
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант 1.
Часть А.
А1. Решите неравенство 2 2006
1) 1;1 ;
2) x R ;
x
3) 0; ;
4) ;0 .
3) ;0,8 ;
4) 0,8; .
3) решений нет;
4) ; .
81
А4. Решите неравенство 3
1) ;1 ;
2) ;9 ;
3) 9; ;
4) ;8 .
2 2 0
А5. Решите неравенство
1) 1;1 ;
2) ;1 ;
3) 1; ;
4) 1.
1
А6. Решите неравенство
49
1) ;0,3 ;
2) ;4,3 ;
3) 4,3; ;
4) 0,3; .
3) 1,5; ;
4) 0,5; .
x 1
1
1
А2. Решите неравенство 5
5
5
1) ;1, 2 ;
2) 1,2; ;
1
x2
2
А3. Решите неравенство
4
1)
0; ;
2) ;0 ;
1
x
x 5
x
7 x 2 , 3
2 x 1
А7. Решите неравенство 3
1)
0,5; ;
1
9
2) ;0,5 ;
- 66 -
2 x 1
0,16
А8. Решите неравенство 0, 4
2) ;1,5 ;
1) 1,5; ;
3) 0,5; ;
4) ;0,5 .
1
3) ; ;
5
2
4) ; .
5
3) 0,5; ;
4) ;0,5 .
3) 4; ;
4) 11; .
3) ;3,5 ;
4) 3,5; .
3) ;1 ;
4) 1; .
3) ;2 3; ;
4) ;1 6; .
3) 3; ;
5
4) ; .
3
3) 0;
4) 2,5; .
А17. Найдите наибольшее целое решение неравенства
1) - 2;
2) - 1;
3) 0;
2 25 x 5 4 x 31,57 10 x
1
А9. Решите неравенство
3
2
1) ; ;
5
2 5 x
1 0
2
2) ; ;
5
А10. Решите неравенство 49 7 7
1) 1; ;
2) ;3 ;
x
3 x 3
x 12
1
А11. Решите неравенство 1,69
1) 12 ; ;
2) ;12 ;
2 x 1
27
А12. Решите неравенство 3
1) 1,5; ;
2) ;1,5 ;
2
4 x 5
0,1
А13. Решите неравенство 10
1) ; ;
2) 1; ;
x 2 5 x 6
А14. Решите неравенство 2
1) 1;6 ;
2) 2;3 ;
1
А15. Решите неравенство
5
1)
;3 ;
4x
3 x 7
0,04
5
2) ; ;
3
А16. Решите неравенство 4 32 0
2) 3;5 ;
1) 2; ;
x
4) 2.
x
x
35
2 3
А18. Найдите число целых решений неравенства
12
3 2
1) 0;
2) 1;
3) 2;
4) 4.
Часть В.
- 67 -
В19. Укажите количество целых решений неравенства
2 125 5 0
В20. Укажите количество целых решений неравенства
5 516 2 0
x
x
x
x
3x
4 x 2 x2
2 x 3
0,1
В21. Решите неравенство 0,1
2
В22. Укажите число целых решений неравенства 2
x
21x 3 0
Вариант 2.
2√Q > −2006
Часть А.
А1. Решите неравенство
1) 1;1 ;
2) x R ;
3) 0; ;
4) ;0 .
3) ;0,8 ;
4) 0,8; .
3) 1; ;
4) ;0,6 .
3) 1; ;
4) ;2 3; .
3) 4; 4 ;
4) 2; 2 .
2) ;0 ;
3) 0; ;
4) ;0 .
1
16
2) 0,1; ;
3) ;0,1 ;
4) 0,9; .
x 1
5
А2. Решите неравенство 5
1)
;4 ;
2) ;6 ;
2
А3. Решите неравенство
5
1)
1; ;
1
5
x 1
1
2) 0; ;
А4. Решите неравенство 9 3
1) 2;3 ;
2) 0;1 ;
x
x
60
2
А5. Решите неравенство 2 x 16
1) ;4 4; ; 2) ;2 2; ;
3 x2
А6. Решите неравенство 3
1)
0; ;
А7. Решите неравенство
1)
0,1; ;
1
9
210 x5
1
А8. Найдите число целых отрицательных решений неравенства
4
1) 1;
2) 0;
x 3
2
3) 5;
4) 6.
3) ; 0,25 ;
4) 0,25 ; .
1 4 x
А9. Решите неравенство 81 9
1) ;0,75 ;
2) 0,75; ;
- 68 -
4
А10. Решите неравенство
11
;2 ;
1)
6 x 3
1
2) 0,5; ;
2 x 3
27
А11. Решите неравенство 3
1) ;3 ;
2) 0,6; ;
3) ;4 ;
4) 4; .
3) 3; ;
4) ;3 .
x
5 x 12
7x
1
1
А12. Решите неравенство
8
8
1) ;1 ;
2) 6; ;
3) ;6 ;
3 x6
1
А13. Найдите решение неравенства 2
1) ;2 ;
2) 2; ;
3) ;2 2; ;
4) 1; .
4) 2.
2 x
2 3x
А14. Решите неравенство 5
1) ; ;
2) 1; ;
А15. Решите неравенство
6
1) ; ;
7
1
4
5 x 6
1
4
2) ;2 ;
3x
А16. Решите неравенство 8 2
2) ;3 ;
1) ;15 ;
3) ;1 ;
4) 1; .
3) 2; ;
6
4) ; .
7
3) 3; ;
4) 15 ; .
2x
4 x 15
А17. Найдите длину отрезка числовой оси, являющегося решением неравенства
2 2 x 1 7 2 x 1 9 14 x
1
;
3
1)
2)
2
;
3
4)
3) 1 ;
4
.
3
А18. Найдите наименьшее целое значение переменной x , являющееся решением неравенства
1
x
3 12
1
x
3 1
1
4
3x
3
1) 0;
2) 1;
3) - 2;
А19. Найдите сумму целых чисел, являющихся решением неравенства
4) 3.
x
1
372 3 x 1
3
1) 512;
2) 1024;
3) 2016;
Часть В.
В20. Укажите количество целых решений неравенства
4) 4096.
3 181 3 0
x
x
- 69 -
В21. Укажите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства
2 x 2 2 x 1 2 x 1 2 x2 9
В22. Укажите наименьшее целое решение неравенства
2 4 x 3 10 x 5 25 x
Тема 10.3.
Системы показательных уравнений.
Практическая работа № 41
Тема: Решение систем показательных уравнений.
Цель работы: Развитие навыков решения систем показательных уравнений
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант 1.
1. Решите систему уравнений:
а) 53х = 54у + 7;
б)
3х – 5 · 2у = 4001;
в)
2х + 2у = 6;
2х · 4у = 16.
3 · 2у + 3х = 8097.
х + у = 3.
2. Решите систему уравнений:
а) 3х · 5у = 75;
б) 9х – 4 · 3х + 3 = 0;
3у · 5х = 45.
5 · 23х + 1 ˂ 20.
3. При каких значениях а уравнение 9х – (а + 5) · 3х + 3а + 6 = 0 имеет
единственное решение?
4. Решите неравенство: а · 4х ≥ 64а.
Вариант 2.
1. Решите систему уравнений:
а) 2 · 3х = 18;
б)
2х + 3у = 17;
в)
2х – 2у = 16;
4х · 5у = 16.
2х + 2 – 3у + 1 = 5.
х + у = 9.
2. Решите систему уравнений:
а) 2х · 3у = 72;
б) 3х2 - 1 = 1;
3х · 2у = 108.
– 4 · 23х - 1 > – 8.
3. При каких значениях а уравнение 25х – (а + 9) · 5х + 5а + 20 = 0 имеет
единственное решение?
4. Решите неравенство: а · 5х ˂ 25а.
Тема 10.4.
Решение задач. Показательная функция.
Практическая работа № 42
Тема: Решение показательных уравнений методом уравнивания показателей и
методом введения новой переменной. Решение показательных неравенств.
Цель работы: Развитие навыков решения показательных уравнений и неравенств
разными методами
- 70 -
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант №1.
Решите уравнение:
1
2)
1) 4 3 x 17 64 ;
2 3 x
2
4 x7 ;
4) 9 7 3 18 0 ;
x
3) 5 x 1 5 x 1 130 ;
5) 20 x 3 x 4 1 .
2
x
Решите неравенство:
1
1)
7
4 x 8
49 3 x ;
4) 2
x 1
2
x 2
1) 3
2
3
5)
4
96 ;
7 x4
9
.
16
Вариант №2.
Решите уравнение:
5 x 12
3) 6 x x 4 36 ;
2) 34 x 7 27 x 8 ;
1
81 ;
2)
5
4) 4 x 17 2 x 16 0 ;
2 x 3
25 4 3 x ;
3) 2 x 3 2 x 1 60 ;
5) 8 2 x 7 x 4 1 .
2
Решите неравенство:
1
1)
6
3 x 12
36 x 7 ;
4) 3
x1
2) 45 x 1 16 2 x 8 ;
3
x 3
3) 7 x 2 x 7 7 ;
2
5
5)
7
270 ;
4 x
25
.
49
Вариант №3.
Решите уравнение:
1
9
2)
1) 62 x11 216 ;
3 x
3 x 8 ;
4) 25 x 8 5 x 15 0 ;
3) 4 x 2 4 x 1 260 ;
5) 11 x 4 x 5 1 .
2
Решите неравенство:
1
1)
8
4 x9
64 5 x ;
4) 9
x 1
2) 2 7 x 12 8 x 1 ;
9 810 ;
x
3) 5 x 3 x 2 25 ;
2
2
5)
3
2 x 10
8
.
27
- 71 -
Вариант №4.
Решите уравнение:
1
2)
1) 5 4 x 7 125 ;
4
x 5
2 25 x ;
5) 14 x 7 x 8 1 .
4) 16 18 4 32 0 ;
x
3) 3 x 1 3 x 1 78 ;
2
x
Решите неравенство:
1
1)
2
6 x 15
8 2 x ;
4) 6
x 1
2) 53 x11 25 x8 ;
6
x 2
3) 4 x 5 x 12 16 ;
2
3
5)
5
252 ;
3 x 13
9
.
25
Тема 11.2.
Свойства логарифмов. Операция логарифмирования.
Практическая работа № 43
Тема: Свойства логарифмов. Операция логарифмирования.
Цель работы: Развитие навыков решения показательных уравнений и неравенств
разными методами
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант 1
1. Вычислить:
1) log 32
2) log
< A
2. Вычислить:
1) 4„8@u l
3) log < A
l
5) log
64
4) log a, 125
6) log l 49√7
2) 9„8@R i
3) < A
N „8@:,v
3. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:
1) log NхJ5х − 3)
2) log lJх − х − 6)
4. Решить уравнение:
1) log х = 4
2) log …J3х + 7) = −2
5. Найти значение выражения:
1) log m 0,2 + log m 5
2) log 56 −
u
log 49
3) 2log a √15 + 0,5 log a 144 − log a 6
4)
„8@† 4h
„8@† h
- 72 -
6. Упростить выражение:
1) log a,l log l 343 − log a,l 4
2)
„8@: m
„8@u m
Вариант 2
1. Вычислить:
1) log m 81
2) log h < A
4
3) log 0,125
5) log l 243
4
4) log a, 64
6) log 4 < u A
2) 25„8@v i
3)3hN „8@R
√4
2. Вычислить:
1) 17„8@…† 4
3. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:
1) log J хIl)J3 − 9х)
2) log Jх + 3х − 10)
4. Решить уравнение:
2) log a, J12 − 8х) = −4
1) log х = 3
5. Найти значение выражения:
1) log 12 + log < A
2) 3 log 3 − log 5,4
3) log a, 28 − 4log a, √21 +
4)
u
„8@‡:
log a, 144
„8@‡: i
6. Упростить выражение:
1) log , log a 10000 + log ,
2)
„8@:v 4
< A
4
„8@…:v 4
Тема 11.4.
Решение логарифмических уравнений и неравенств.
Практическая работа № 44
Тема: Решение логарифмических уравнений и неравенств.
Цель работы: Развитие навыков решения логарифмических уравнений и
неравенств разными методами
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
- 73 -
Решите уравнение:
1) log 4 3 x 2 3 ;
2) log 3 4 x 6 log 3 2 3 ;
3) log 22 x 5 log 2 x 6 0 ;
4) log 7 x 6 log 7 x 1 ;
Решите неравенство:
1) log 3 4 x 10 2 ;
2) log 1 2 x 16 2 ;
Вариант №1.
2
3) log 5 3 2 x 1 ;
4) log 2 x 4 0
3
Вариант №2.
Решите уравнение:
1) log 5 6 x 5 2 ;
2) log 2 5 x 8 log 2 3 4 ;
3) log 27 x 3 log 7 x 2 0 ;
4) log 3 x 2 log 3 x 1 ;
5) log 6 x log6 x 4 log36 x 6 .
Решите неравенство:
1) log 5 3 x 7 1 ;
2) log 1 2 x 12 1 ;
8
3) log 7 5 x 2 ;
4) log 3 2 x 6 0
5
Тема 11.6.
Логарифмы в природе и технике.
Практическая работа № 45
Тема: Применение логарифма. Логарифмическая спираль в природе. Ее
математические свойства.
Цель работы: Развитие навыков работы с логарифмами.
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Тема 11.7.
Решение задач. Логарифмы. Логарифмическая функция.
Практическая работа № 46
- 74 -
Тема: Логарифмическая функция. Решение простейших логарифмических
уравнений.
Цель работы: Развитие навыков работы с логарифмическими функциями и
решения логарифмических уравнений.
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант 1
1. Найдите область определения функции € = lgJ5B − 3).
2. Решите уравнение:
1) ˆTP… J2B + 5) = −2;
†
2) ˆTP4 JB + 5B − 10) = ˆTP4 JB + 2).
3. Решите неравенство ˆTPa, JB + 6) ≥ ˆTPa, J4 − B ).
4. Вычислите значение выражения
Šg‹u iIŠg‹u
Šg‹R
.
NŠg‹R 4
5. Решите уравнение:
1) ˆTP JB − 1) + ˆTP JB + 3) = 1;
2) ˆTP B + 25ˆTPQ 2 = 10.
6. Найдите множество решений неравенства ˆTP B − 2ˆTP B − 3 ≥ 0.
7. Составьте уравнение касательной к графику функции Z JB ) = S NlQ в точке с
абсциссой Ba = 0.
8. Постройте график функции € = Œlg %TU B.
Вариант 2
1. Найдите область определения функции € = lgJ4B + 5).
2. Решите уравнение:
1) ˆTP J3B − 1) = ;
2) ˆTPl JB − 12B − 4) = ˆTPl J8 − B ).
3. Решите неравенство ˆTPa,hJB − 5) ≤ ˆTPa,hJ7 − B ).
4. Вычислите значение выражения
Š‹ aaNŠ‹
.
Šg‹‡ IŠg‹‡ l
5. Решите уравнение:
1) ˆTP4 JB + 1) + ˆTP4 J2B + 1) = 1;
2) ˆTP B + ˆTPQ 5 = 2.
6. Найдите множество решений неравенства ˆTP B + 4ˆTP B − 5 ≥ 0.
7. Составьте уравнение касательной к графику функции Z JB ) = lnJ4B − 3) в точке
с абсциссой Ba = 1.
8. Постройте график функции € = Œlg Ubc B.
Вариант 3
1. Найдите область определения функции € = log J3x − 2).
2. Решите уравнение:
1) ˆTP… J4B + 1) = −3;
:
2) ˆTPi JB + 2B − 9) = ˆTPi JB + 3).
3. Решите неравенство ˆTPa, JB + 9) ≥ ˆTPa, J3 − B ).
- 75 -
4. Вычислите значение выражения
Šg‹‡ iIŠg‹‡
Šg‹R: hNŠg‹R:
.
5. Решите уравнение:
1) ˆTP4 JB − 2) + ˆTP4 JB − 11) = 2;
2) ˆTPl B + 4ˆTPQ 7 = 4.
6. Найдите множество решений неравенства ˆTPh B − 3ˆTPh B + 2 ≥ 0.
V
7. Составьте уравнение касательной к графику функции Z JB ) = S u в точке с
абсциссой Ba = 0.
8. Постройте график функции € = Œlog a, J1 + Ubc B).
Вариант 4
1. Найдите область определения функции € = log l J2x − 9).
2. Решите уравнение:
1) ˆTPi J5B + 2) = ;
2) ˆTP JB − 9B + 19) = ˆTP J4 − B ).
3. Решите неравенство ˆTPa,4JB − 6) ≤ ˆTPa,4J8 − B ).
4. Вычислите значение выражения
Šg‹† miNŠg‹†
Šg‹v aIŠg‹v ,
.
5. Решите уравнение:
1) ˆTPh JB + 3) + ˆTPh JB + 15) = 3;
2) ˆTP B + 9ˆTPQ 3 = 6.
6. Найдите множество решений неравенства ˆP B − lg B − 2 ≥ 0.
7. Составьте уравнение касательной к графику функции Z JB ) = lnJ5B + 6) в точке
с абсциссой Ba = −1.
8. Постройте график функции € = Œlog a,hJ1 + %TU B).
Тема 12.2.
Операции с множествами.
Практическая работа № 47
Тема: Операции с множествами. Решение прикладных задач.
Цель работы: Развитие навыков работы со множествами и решения прикладных
задач.
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Решите задачи:
1. Найдите множество корней уравнения: ( x 2 1)( x 2 5 x 6) 0 .
2. Найдите все подмножества множества А={3; 4; 5}.
3. Найдите множества: A B; A B; A C; A C; B C; B C , если:
A = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2},
B = {4; 3; 2; 1; 0; -1; -2},
C = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}.
4. Найти А\В, если А = {-2; -1; 0; 1; 2}, B = {2; 4; 6; 8}.
5. Найдите дополнение множества А до множества В, если:
а) A = {1; 2; 3}, B = {0; 1; 2; 3; 5};
- 76 -
b) A = {1; 2; 3}, B = {0; 0,5; 1; 2; 3; 4};
c) A = {0; 1}, B = {-1; 0; 1; -2}.
6. Найдите A B , A B , А\В и В\А, если:
1) А={3;4;5}, B={3;5;6};
2) A={0;1;7;8}, B={-7;0;6;9};
3) A={1;3;5;7}, B={2;4;6;8}.
Контрольные вопросы:
1) Какими способами можно задать множество?
2) Какие множества называются равными?
3) Что называется подмножеством данного множества?
4) Какое множество называется пустым?
5) Что называется пересечением множеств?
6) Что называется объединением множеств?
7) Что называется разностью множеств?
8) Что называется дополнением множества?
9) Какие числа называются целыми?
10) Какие операции определены в множестве целых чисел?
11) Какие числа называются рациональными?
12) Какие операции определены в множестве рациональных чисел?
13) Какая бесконечная десятичная дробь называется периодической?
14) Что называется периодом бесконечной десятичной дроби?
15) Каким образом можно представить рациональное число в виде
десятичной дроби?
16) Каким образом можно представить рациональное число в виде
бесконечной периодической дроби?
17) Что называется множеством действительных чисел?
Тема 12.3.
Графы.
Практическая работа № 48
Тема: Понятие графа. Связный граф, дерево, цикл граф на плоскости.
Цель работы: Развитие навыков работы с графами
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Тест: Основы теории графов
Задание №1
Графом называется…
пара двух конечных множеств: множество точек и множество линий,
1)
+
соединяющих некоторые пары точек;
- 77 -
2)
-
3)
-
4)
-
пара двух бесконечных множеств: множество точек и множество линий,
соединяющих некоторые пары точек;
множество линий, соединяющих некоторые пары точек;
пара двух конечных множеств: множество точек и множество линий.
Задание №2
Точки графа называются…
1)
Ответ:
узлами
Задание №3
Линии графа называются…
1)
Ответ:
ребрами
Задание №4
Если ребро графа соединяет две его вершины, то говорят, что это ребро им…
1)
Ответ:
инцидентно
Задание №5
Если существует ребро, инцидентное двум вершинам графа, то эти вершины являются…
1)
Ответ:
смежными
Задание №6
Ребро, имеющее совпадающие начало и конец, называется…
1)
Ответ:
петлей
Задание №7
Ребра называются смежными, если они...
инцидентны одной и той же вершине;
1)
+
2)
-
3)
-
параллельны;
являются кратными.
Задание №8
Какие из графов являются подграфами данного графа G:
- 78 -
1)
+
2)
+
3)
+
4)
-
Задание №9
Эйлеров цикл…
1)
+
содержит каждое ребро только один раз;
2)
содержит каждую вершину только один раз;
3)
проходит через все вершины и ребра графа только один раз.
Задание №10
Гамильтонов цикл…
1)
содержит каждое ребро только один раз;
2)
+
содержит каждую вершину только один раз;
3)
проходит через все вершины и ребра графа только один раз.
Задание №11
В эйлеровом графе все вершины
1)
+
четной степени;
2)
нечетной степени.
Задание №12
В полуэйлеровом графе допускаются
1)
-
3 вершины нечетной степени;
- 79 -
2)
3)
+
-
2 вершины нечетной степени;
1 вершина нечетной степени.
Задание №13
Какой из циклов графа с множеством вершин {a,b,c,d,e,f} является гамильтоновым?
1)
abeca
2)
fbecdf
3)
+
abecdfa
4)
abcdfca
Задание №14
Какой граф является гамильтоновым:
1)
-
2)
+
3)
+
Задание №15
Граф содержит 7 дуг. Его эйлеров цикл будет состоять из:
1)
6 дуг;
2)
+
7 дуг;
3)
8 дуг;
4)
5 дуг.
Задание №16
Простая цепь это:
1)
маршрут минимальной стоимости;
2)
маршрут, где нет повторяющихся вершин;
3)
маршрут, где нет повторяющихся ребер;
4)
+
маршрут, где нет повторяющихся вершин и ребер.
Задание №17
Расстояние между вершинами есть...
- 80 -
1)
2)
+
сумма длин ребер, входящих в путь;
длина кратчайшего пути.
Задание №18
Дерево есть...
1)
связный граф;
2)
граф без циклов;
3)
остовный подграф графа;
4)
+
связный граф без циклов.
Задание №19
Если любые две вершины графа можно соединить простой цепью, то граф называется:
1)
2)
3)
4)
+
-
связным;
несвязным;
деревом;
остовом.
Задание №20
Сколько вершин содержит гамильтонов цикл графа с 5 вершинами?
1)
+
5;
2)
4;
3)
6;
4)
7.
Задание №21
Ребра называются кратными, если они...
1)
инцидентны одной и той же вершине;
2)
параллельны;
3)
являются смежными;
4)
+
имеют одинаковые направления.
Задание №22
Расстояние до вершины дерева называют:
1)
+
ярусом вершины;
2)
высотой вершины;
3)
удаленностью вершины;
4)
этажом.
- 81 -
Задание №23
Конечный связный граф с выделенной вершиной (корнем), не имеющий циклов, называют…
1)
Ответ:
деревом
Задание №24
а2
. Глубина элемента а2 в дереве
1)
0;
2)
1;
3)
+
2;
4)
3.
равна:
Задание №25
а2
Степень вершины а2 в графе
1)
0;
2)
1;
3)
2;
4)
+
3.
равна:
Задание №26
В графе из n вершин остов содержит:
1)
n+1 ребро;
2)
+
n-1 ребро;
3)
n ребер;
4)
2n ребер.
Задание №27
Упорядоченное объединение деревьев, представляющее собой несвязный граф, называется…
1)
Ответ:
лесом
Задание №28
Дерево, в котором поддеревья каждого узла образуют упорядоченное подмножество
называется..
1)
Ответ:
упорядоченным
- 82 -
Задание №29
Если каждая из вершин неориентированного графа соединена рёбрами с остальными, то такой
граф называется:
1)
гиперграфом;
2)
мультиграфом;
3)
цепью;
4)
+
полным графом.
Задание №30
Последовательность ребер, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и
никакое ребро не встречается более одного раза – это…
1)
2)
3)
4)
+
-
цикл;
путь;
дорога;
прекция.
Задание №31
После удаления из дерева одной из концевых вершин вместе с инцидентным ей ребром
получается:
1)
орграф;
2)
+
дерево;
3)
цепь;
4)
связь.
Задание №32
Ребро графа является |____| тогда и только тогда, когда в графе нет циклов,содержащих это
ребро.
1)
связным мостом;
2)
связным графом;
3)
+
мостом;
4)
орграфом;
Задание №33
Ребро связного графа G называется _____, если после его удаления G станет несвязным и
распадется на два связных графа G’ и G".
1)
Ответ:
мост
Задание №34
- 83 -
Бинарное дерево уровня n называется ____, если каждый его узел уровня n является листом, а
каждый узел уровня меньше, чем n, имеет непустое левое и правое поддеревья.
1)
Ответ:
полным
Задание №35
Висячие вершины дерева, за исключением корневой, называются...
1)
Ответ:
листьями
Задание №36
Любой граф, изоморфный плоскому называется:
1)
Кратный
2)
Симметрический
3)
Хроматический
4)
+
Планарный
Задание №37
Граф называется |____|, если существует такое разбиение множества его вершин на две части,
что концы каждого ребра принадлежат разным частям.
1)
2-хроматичным
2)
+
Двудольным
3)
Двойным
4)
Симметричным
Задание №38
Для того, чтобы конечный связный граф был деревом, необходимо и
достаточно, чтобы число его ребер было:
1)
2)
3)
4)
+
Больше или равно числу его вершин
Равно числу его вершин
На единицу больше числа его вершин
На единицу меньше числа его вершин
Задание №39
Выберите верные утверждения:
1)
+
Цикломатическое число дерева равно нулю.
2)
+
Цикломатическое число леса равно нулю.
3)
Цикломатическое число леса равно всегда положительно
4)
Для остальных графов цикломатические числа — отрицательные.
Задание №40
- 84 -
Некоторое множество вершин графа такое, что для любых двух вершин из этого множества
существует путь из одной в другую, и не существует пути из вершины этого множества в
вершину не из этого множества, называется…
1)
Цикломатическим числом
2)
Кольцевой суммой
Компонентой связности
3)
+
4)
-
Степенью
Задание №41
Для того чтобы связный граф G являлся простым циклом, необходимо и достаточно, чтобы
каждая его вершина имела степень, равную:
1)
2;
2)
1;
3)
3;
4)
+
0.
Задание №42
Способы задания графа:
1)
+
Геометрический
2)
Указание вершин
3)
Перечисление ребер
4)
+
Матричный
Задание №43
Геометрическое представление плоского графа называется его…
1)
Ответ:
реализацией
Задание №44
Если граф имеет матрицу смежности и не имеет петель, на главной диагонали у него всегда
стоят:
1)
+
нули;
2)
единицы.
Задание №45
Выберите верные утверждения.
В матрице инцидентности для неориентированного графа:
1)
2)
3)
+
-
bij = 1, если вершина Vi инцидентна ребру Xj;
bij = 0, если вершина Vi инцидентна ребру Xj;
bij = -1, если вершина Vi не инцидентна ребру Xj;
- 85 -
4)
+
bij = 0, если вершина Vi не инцидентна ребру Xj.
Задание №46
Выберите верные утверждения.
В матрице инцидентности для ориентированного графа:
1)
2)
3)
4)
+
+
+
bij = 1, если вершина Vi является началом дуги Xj;
bij = -1, если вершина Vi является концом дуги Хj;
bij = 0, если вершина Vi является концом дуги Хj;
bij = 0, если вершина Vi не инцидентна дуге Xj.
Задание №47
Выберите верные утверждения.
1)
+
Матрица смежности неориентированного графа является симметрической.
Матрица
смежности
неориентированного
графа
меняется
при
2)
транспонировании
Матрица смежности неориентированного графа не меняется при
3)
+
транспонировании.
4)
Матрица смежности неориентированного графа не является симметрической.
Задание №48
Граф называется ______, если каждому его ребру поставлено в соответствие некоторое число.
1)
Ответ:
сеть
Задание №49
Минимально возможное описание сущности некоторого явления, объекта, события или
процесса называется…
1)
Слот;
2)
+
Фрейм;
3)
Сеть;
4)
Вес.
Задание №50
Набор стандартных единиц, содержащих определенный минимум информации о содержании
и назначении фрейма - это...
1)
Ответ:
слот
Задание №51
Любой подграф связного графа G, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом,
называется…
1)
Ответ:
остов
- 86 -
Задание №52
Если вершине инцидентна петля, то степень этой вершины равна (запишите число):
1)
Ответ:
2
Задание №53
Вершина графа, имеющая степень, равную нулю, называется:
1)
нулевой;
2)
отдельной;
3)
+
изолированной;
4)
висячей.
Задание №54
Граф, состоящий из изолированных вершин, называется...
1)
Ответ:
нуль-граф
Задание №55
Вершина графа, имеющая степень, равную 1, называется:
1)
изолированной;
2)
+
висячей;
3)
свободной;
4)
связной.
Задание №56
Число нечетных вершин любого графа — …
1)
Ответ:
четно
Задание №57
На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге
можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует
различных путей из города А в город Ж?
1)
Ответ:
33
- 87 -
Задание №58
На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л. По каждой дороге
можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует
различных путей из города А в город Л?
1)
Ответ:
36
Задание №59
На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. По каждой дороге можно
двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных
путей из города А в город З?
1)
Ответ:
14
Задание №60
На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге
можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует
различных путей из города А в город К?
- 88 -
1)
Ответ:
12
Задание №61
На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге
можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует
различных путей из города А в город К ?
1)
Ответ:
12
Задание №62
На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге
можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует
различных путей из города А в город К?
1)
Ответ:
13
Задание №63
Рыцарь, находясь в пункте А, узнал, что Прекрасной Даме, в пункте К, через 14 часов может
грозить опасность. Взяв с собой карту, он немедленно выехал на помощь. Числа на рисунке
обозначают время движения (в часах) от пункта до пункта. Успеет ли рыцарь спасти
Прекрасную Даму? (Ответ запишите в форме: Нет АБЕК 17 или Да АБЕК 17)
- 89 -
1)
Ответ:
Да АБВЖГИЗК 14
Задание №64
Винни-Пух вышел на прогулку, взяв с собой карту. Числа на рисунке обозначают время
движения (в минутах) от пункта до пункта. Помогите Винни-Пуху найти кратчайший путь от
своего дома в пункте А до дома Пятачка в пункте К. Перечислите пункты, через которые
должен пройти Винни-Пух, и подсчитайте время, которое он затратит на весь путь. (Ответ
запишите в форме: АВЖЗДК 80)
1)
Ответ:
АБЕДЗК 60
Задание №65
Атос поскакал в гости к Портосу, взяв с собой карту. Числа на рисунке обозначают время
движения (в часах) от пункта до пункта. Помогите Атосу найти кратчайший путь от своего
поместья в пункте Е до поместья Портоса в пункте Д. Перечислите пункты, через которые
должен проехать Атос, и подсчитайте время, которое он затратит на весь путь. (Ответ запишите
в форме: ЕКЗИГД 20)
1)
Ответ:
ЕЖВБАД 12
- 90 -
Задание №66
Рыцарь, находясь в пункте А, узнал, что Прекрасной Даме, в пункте О, ровно через сутки может
грозить опасность. Взяв с собой карту, он немедленно выехал на помощь. Числа на рисунке
обозначают время движения (в часах) от пункта до пункта. Успеет ли рыцарь спасти
Прекрасную Даму? Обоснуйте ответ, указав кратчайший маршрут и время, затраченное на весь
путь. (Ответ запишите в форме: Нет АБВГО 38 или Да АБВГО 38)
1)
Ответ:
Нет АКЛДО 25
Задание №67
Во дворе живут 4 пёсика: Бобик, Робик, Тобик и Толстолобик. Каждому из них случалось
драться с кем-нибудь из остальных, причём у Бобика, Робика и Тобика число тех, с кем они
дрались – разное. Со сколькими собаками двора дрался Толстолобик?
1)
Ответ:
2
Задание №68
Лес состоит из 10 деревьев. Всего в лесу 200 вершин. В нём ___ребер.
1)
Ответ:
190
Задание №69
Каждое ребро графа покрасили в синий или зелёный цвет так, что ни из одной вершины не
выходит двух одноцветных рёбер. Синих рёбер оказалось на 5 больше, чем зелёных. Какое
наименьшее число компонент связности может иметь этот граф?
1)
Ответ:
5
Задание №70
Сколько всего рёбер в графе, степени вершин которого равны 3, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4, 5?
1)
10;
2)
20;
3)
+
18.
Задание №71
- 91 -
В деревне Вишкиль 9 домов. Из каждого дома тянется четыре шланга к четырём другим домам.
Сколько шлангов в деревне?
1)
16;
2)
+
18;
3)
36.
Задание №72
Какое минимальное количество рёбер нужно убрать из полного графа с 15 вершинами, чтобы
он перестал быть связным?
1)
2)
3)
+
-
18;
14;
15.
Задание №73
Сколько рёбер в полном графе с 20 вершинами?
1)
180
2)
200
3)
+
190
Задание №74
Цикломатическое число графа рассчитывается по формуле: v(G) = m(G) + c(G) – n(G), где:
1)
3
m(G)
1)
число связных компонент графа
2)
1
c(G)
2)
число вершин
3)
2
n(G)
3)
число его ребер
Задание №75
Соотнесите понятия и определения:
Цепь
1)
2
2)
4
1)
Цикл
2)
Маршрут
3)
1
4)
3
3)
Путь
4)
Последовательность
ребер
не-ориентированного
графа,
в
которой
вторая
вершина
предыдуще-го ребра совпадает с
первой вершиной следующего
Маршрут , в котором ребро
встречается только один раз
Упорядоченная последовательность
ребер ориентированного графа, в
которой конец предыдущего ребра
совпадает с началом следующего и
все ребра единственны
Путь, у которого совпадают начало
и конец
- 92 -
Задание №76
Соотнесите понятия и определения:
Связные графы
1)
2
2)
3
Планарные(плоские) графы
1)
2)
Остовы
3)
1
3)
Изоморфные графы
4)
4
4)
Любые подграфы связного графа,
содержащие все вершины графа G и
являющиеся деревом
Графы, между любыми двумя
вершинами которых есть маршрут
Графы, которые имеют изоморфные
им графы, в изображении которых
на плоскости ребра пересекаются
только в вершинах
Графы,
имеющие
взаимнооднозначное соответствие между их
ребрами и вершинами, причем соответствующие ребра соединяют
соответствующие вершины
Задание №77
Установите соответствие:
Объединение
графов
1)
3
1)
- 93 -
Пересечение
графов
2)
2
2)
Подграф
3)
3
3)
Кольцевая сумма
4)
4
4)
Задание №78
Установите соответствие:
- 94 -
Граф
со
вершинами
1)
смежными
4
1)
Полный граф
2)
3
2)
Граф
со
ребрами
3)
смежными
1
3)
Граф с петлей
4)
2
4)
Задание №79
Соотнесите понятия и определения:
Строго бинарное дерево
1)
4
1)
Полное бинарное дерево
2)
3)
1
2
2)
Бинарное дерево
3)
Бинарное дерево, каждый узел
уровня n которого является листом,
а каждый узел уровня меньше, чем
n, имеет непустое левое и правое
поддеревья.
подмножество множества деревьев,
когда каждый узел либо является
листом,
либо
образует
два
поддерева: левое и правое.
дерево, в котором поддеревья
каждого
узла
образуют
упорядоченное подмножество.
- 95 -
Упорядоченное дерево
4)
3
4)
такой граф, у которого каждый узел,
не являющийся листом, содержит
два и только два поддерева — левое
и правое.
Задание №80
Укажите степени вершин графа
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
2
5
3
3
3
4
4
Задание №81
Укажите степени вершин графа
1)
2)
3)
4)
5)
6)
V1
V2
V3
V4
V5
V6
5
4
5
6
4
5
Задание №82
- 96 -
Укажите степени вершин графа
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
4
4
4
4
5
5
6
Задание №83
Укажите степени вершин графа
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
4
3
5
2
3
4
5
Задание №84
Найдите цикломатическое число графа G
- 97 -
1)
Ответ:
6
Задание №85
Найдите цикломатическое число графа G
1)
Ответ:
9
Задание №86
Найдите цикломатическое число графа G
- 98 -
1)
Ответ:
10
Задание №87
Найдите цикломатическое число графа G
1)
Ответ:
7
Задание №88
Найдите цикломатическое число графа G
1)
Ответ:
0
Тема 12.4.
Решение задач. Множества, Графы и их применение.
Практическая работа № 49
Тема: Операции с множествами. Описание реальных ситуаций с помощью
множеств. Применение графов к решению задач.
Цель работы: Развитие навыков работы с графами
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
1.
На каком рисунке изображены отношения между множествами,
если:
С – множество двузначных чисел,
D ={3, 34, 43, 56, 103}?
C
D
D
C
C
D
C
D
- 99 -
а)
б)
в)
г)
2. На каком рисунке изображены отношения между множествами, если:
С – множество двузначных чисел,
D – множество натуральных чисел, не меньших 10?
C
D
а)
D
C
б)
C
D
C
в)
D
г)
3. Какое высказывание является верным, если:
А – множество натуральных чисел, кратных 2
В – множество натуральных чисел, кратных 6?
а) А В
б) В А
в) А В
г) А = В
4.
Пересечение множеств решений неравенств х f 2
изображено на рисунке
и х 0
а)
б)
в)
г)
д)
5.
Объединение множеств решений неравенств х f 2
изображено на рисунке
и х 0
а)
б)
в)
- 100 -
г)
д)
6. Объединение множеств решения неравенств х > - 5 и х ≤ 7, 5 изображено
на рисунке
а)
б)
в)
г)
д)
7. Пересечение множеств решения неравенств х > - 5 и х ≤ 7, 5 изображено
на рисунке
а)
б)
в)
г)
д)
8. Какая фигура принадлежит пересечению множеств С и D, если:
С – множество ромбов;
D – множество прямоугольником.
а) ромб
б) прямоугольник
в) квадрат
9. Какие треугольники не принадлежит объединению множеств, если:
- 101 -
С – множество равнобедренных треугольников;
D–множество прямоугольных
треугольников?
а) прямоугольные равнобедренные;
б) равнобедренные, но не прямоугольные;
в) прямоугольные, но не равнобедренные;
г) не прямоугольные и не равнобедренные.
10.
Множеству Р U М I К равно множество:
а) Р I ( М U К )
б) (М U Р) I ( Р U К ) в) (Р I М ) U ( I )
11. А – множество натуральных чисел кратных 4,
С – множество
натуральных чисел кратных 2. Множеству С \ А принадлежит
а) 8
б) 12
в) 26
г) 13
12. Реши задачу
Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в
баскетбольной. 8 человек занимается и в той, и в другой секции. Сколько
школьников не занимается ни в баскетбольной, ни в волейбольной секции?
а) 3
б) 13
в) 19
13. При помощи отношения « иметь один и тот же остаток при делении на
3» множество
натуральных чисел разбивается на
а) два класса;
б) три класса;
в) четыре класса.
14. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и
только те элементы, которые принадлежат множеству
а) А и множеству В;
б) А или множеству В;
в) А, но не принадлежат множеству В;
г) В, но не принадлежат множеству А;
15. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и
только те элементы, которые принадлежат множеству
а) А и множеству В;
б) А или множеству В;
в) А, но не принадлежат множеству В;
г) В, но не принадлежат множеству А;
16.Верным является равенство
а) А I Ø = Ø
б) А U Ø = Ø
в) А I Ø = А
г) А I А = Ø.
17.
Если А В, то
а) А I В = А
б) А I В = В
- 102 -
в) А U В = А
г) А U В = А I В
18.У Коли 10 книг, 2 книги он подарил другу. Сколько книг у него осталось?
Над множествами в задаче выполняются операции:
а) Объединение;
б) Пересечение;
в) Разбиение множества на классы;
г) Вычитание множеств.
19.У школы посадили 4 липы и 3 березы. Сколько всего деревьев посадили у
школы? Над множествами в задаче выполняются операции:
а) Объединение;
б) Пересечение;
в) Разбиение множества на классы;
г) Вычитание множеств.
20.
Запиши по порядку числа от 10 до 19. Подчеркни и прочитай
четные числа. Над множествами в задаче выполняются операции:
а) объединение;
б) пересечение;
в) разбиение множества на классы;
г) вычитание множеств.
21. А= {1, 3}; В= {3,5}. Декартово произведение множеств А и В ( А х В)
изображено
на
рисунке:
а)
б)
в)
г)
21.
Установи порядок выполнения действий в
выражениях
А∩В∩С
22.
Установи порядок выполнения действий в
выражениях
А∩ВUС∩D
23.
Установи порядок выполнения действий в
выражениях
АUВ∩СUD
24.
Установи порядок выполнения действий в
выражениях
А\В∩С
следующих
следующих
следующих
следующих
Тема 13.1.
- 103 -
Основные понятия комбинаторики.
Практическая работа № 50
Тема: Перестановки, размещения, сочетания.
Цель работы: Развитие навыков работы с основными понятиями комбинаторики
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант 1
Часть А
Реши задание в черновике и запиши в тетради "Ответ:" с номером верного ответа. Каждое
верно выполненное задание - 1 балл.
1. Вычислить: 8!
1)5040;
2)40320;
3)8; 4) нет верного ответа; 5) 512
2. Вычислить: Р
1)5; 2)24; 3)720; 4) нет верного ответа; 5) 120
3. На совещании присутствовали 20 представителей разных компаний. Все они обменялись
визитками. Сколько визиток было использовано?
1) 380
2) 20
3) невозможно определить
4) 400
4
4. Вычислить:
a
1) нет верного ответа 2) 420 3) 210 4) 30240 5) 24
5. Сколькими способами 7 человек могут занять очередь в железнодорожную кассу?
1) 4900 2) 5040 3) 42 4) 7 5) нет верного ответа
6. Запиши в "Ответ:" номера верных утверждений, касающихся размещений.
1) вычисляется по формуле n!
2) важен порядок следования элементов
3) вычисляется по формуле
Y!
JYN•)!∙•!
4) порядок следования элементов не важен
5) вычисляется по формуле
Y!
JYN•)!
Часть Б
В тетради запиши номер задания, выполни его решение и запиши "Ответ:". Каждое верно
выполненное задание - 2 балла.
7. Вычислите:
а)
Р’
Р…o
б) A124 C107
8. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 поезда?
9. Из 28 спортсменов надо выбрать капитана команды и его заместителя. Сколькими способами
это можно сделать?
Часть В
Выполни в тетради подробное решение задания и запиши "Ответ:" . Каждое верно выполненное
задание - 3 балла.
10. Найдите значение выражения: “h + 2∙ m - 3∙ i
11. Из пяти цифр 1,4,5,7,0 составили все возможные варианты трёхзначных чисел (без
повторения цифр в числе). Сколько существует таких вариантов?
12. В аэроклубе тренировались десять лётчиков и обслуживали их 16 техников-механиков. Для
участия в соревнованиях необходимо выделить двоих лётчиков, из которых один пилот, а
- 104 -
второй штурман, и троих техников-механиков. Сколько возможных вариантов существует,
чтобы послать команду на соревнования?
Вариант 2
Часть А
Реши задание в черновике и запиши в тетради "Ответ:" с номером верного ответа. Каждое
верно выполненное задание - 1 балл.
1. Вычислить: 7!
1)7;
2)120; 3)5040; 4) нет верного ответа; 5) 40320
2. Вычислить: Р4
1)24; 2)720; 3) 120; 4) нет верного ответа; 5) 6
3. В классе 25 человек. На выпускном вечере они обменялись своими фотографиями. Сколько
фотокарточек было использовано?
1) 625 2) 25
3) невозможно определить
4) 600
4. Сколькими способами 6 человек могут занять места за праздничным столом, накрытым на
шестерых?
1) нет верного ответа 2) 6 3) 3600
4) 720
5) 30
5. Вычислить: m
1) 15120 2) 1260 3) 270 4) 126 5) нет верного ответа
6. Запиши в "Ответ:" номера верных утверждений, касающихся сочетаний.
1) вычисляется по формуле n!
2) важен порядок следования элементов
3) вычисляется по формуле
Y!
JYN•)!∙•!
4) порядок следования элементов не важен
5) вычисляется по формуле
Y!
JYN•)!
Часть Б
В тетради запиши номер задания, выполни его решение и запиши "Ответ:". Каждое верно
выполненное задание - 2 балла.
7. Вычислите:
Р…’
а)
Р:o
б) A104 C104
8. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами
можно
сделать
этот
выбор?
9. Из 24 участников собрания надо выбрать председателя, его заместителя и секретаря.
Сколькими способами это можно сделать?
Часть В
Выполни в тетради подробное решение задания и запиши "Ответ:" . Каждое верно выполненное
задание - 3 балла.
10. Найдите значение выражения: 3∙ “ + 2∙ a - l
11. Из четырех цифр 2,3,6,0 составили все возможные варианты двузначных чисел (без
повторения цифр в числе). Сколько существует таких вариантов?
12. В автомотоклубе тренировались восемь автогонщиков и обслуживали их 12 автомехаников.
Для участия в соревнованиях необходимо выделить двоих автогонщиков, из которых один
рулевой, а второй штурман, и троих автомехаников. Сколько возможных вариантов существует,
чтобы послать команду на ралли?
Тема 13.2.
Событие, вероятность события. Сложение и умножение вероятностей.
- 105 -
Практическая работа № 51
Тема: Событие, вероятность события. Сложение и умножение вероятностей.
Цель работы: Развитие навыков работы с событиями и вероятностью
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до
сотых.
2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из
Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из
Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает
последним, окажется из Швеции.
3. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка
экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме
«Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по
теме «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно
относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть
неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата.
Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
5. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар.
Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая
фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите
вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется
бракованным.
Тема 13.3.
Вероятность в профессиональных задачах.
Практическая работа № 52
Тема: Относительная частота события, свойство ее устойчивости.
Цель работы: Развитие навыков работы с событиями и вероятностью
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант 1.
А.1.
- 106 -
Четыре спортсмена сделали по 100 выстрелов по мишеням. Для каждого спортсмена
определите частоту попаданий по мишени и частоту промахов.
№
спортсме
на
образец
1
2
3
Чи
сло
поп
ада
ний
95
Частота
попаданий
Частота
промахов
Сумма частоты попаданий
и частоты промахов.
95
0,95
100
1) 100-95=5
5
2)
0,05
100
0,95 + 0,05 =
93
90
88
В.1.
В партии из 1000 деталей отдел технического контроля обнаружил 12 нестандартных деталей.
Какова относительная частота появления стандартной детали?
В.2.
В кооперативном доме 93 квартиры, из которых 3 находятся на первом этаже и 6 – на
последнем. Квартиры распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не
достанется квартира, расположенная на первом или последнем этаже?
С.1.
Многократная проверка показала, что всхожесть семян огурцов определённого сорта равна 0,9.
Посадили 85 семян этого сорта. Найдите ожидаемое число проросших семян.
Вариант 2.
А.1.
Четыре спортсмена сделали по 100 выстрелов по мишеням. Для каждого спортсмена
определите частоту попаданий по мишени и частоту промахов.
№
спортсме
на
образец
1
2
3
Чи
сло
поп
ада
ний
95
92
80
87
Частота
попаданий
Частота
промахов
Сумма частоты попаданий
и частоты промахов.
95
0,95
100
1) 100-95=5
5
2)
0,05
100
0,95 + 0,05 =
В.1.
Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова
вероятность того, что купленный билет окажется без выигрыша?
В.2.
Из 40 деталей, лежащих в ящике, три бракованные. Из ящика наугад вынимают одну деталь.
Какова вероятность того, что эта деталь окажется без брака?
- 107 -
С.1.
На учениях по стрельбе из винтовки относительная частота поражения цели у некоторого
стрелка оказалась равной 0,8. Сколько попаданий в цель можно ожидать от этого стрелка на
соревнованиях, если каждый участник произведёт по 20 выстрелов?
Практическая работа № 53
Тема: Статистическое определение вероятности. Оценка вероятности события.
Цель работы: Развитие навыков работы с событиями и вероятностью
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
1. Среди 20 лотерейных билетов 3 выигрышных. Найти вероятность того, что из
4 купленных билетов ровно 2 билета будут выигрышными.
2. В игре «Спортлото» участник отмечает на карточке 6 из 49 видов спорта.
Найти вероятность того, что он угадает по крайней мере три из шести видов
спорта.
3. Найти вероятность того, что среди шести карт, наудачу взятых из колоды в 36
карт, будет ровно два туза.
4. Найти вероятность того, что среди шести карт, наудачу взятых из колоды в 36
карт, будет пять карт одного цвета, а шестая – другого.
5. В ящике имеются 10 белых и 15 черных шаров. Наудачу извлекаются 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них будет ровно два белых шара.
6. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают семь костей. Найти
вероятность того, что среди них окажется по крайней мере одна кость с
шестью очками.
7. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают семь костей. Найти
вероятность того, что среди них окажется хотя бы два дубля.
8. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают семь костей. Найти
вероятность того, что суммарное число очков на каждой кости меньше 7.
9. Студент в состоянии удовлетворительно ответить на 20 билетов из 25.
Преподаватель разрешает один раз заменить не понравившийся студенту
билет на другой. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен.
10. Из студенческой группы, в которой 10 студентов и 12 студенток, для
анкетирования произвольным образом отбирают пять человек. Найти
вероятность того, что среди них будет хотя бы одна студентка.
Тема 13.4.
Дискретная случайная величина, закон ее распределения.
Практическая работа № 54
Тема: Закон распределения дискретной случайной величины. Ее числовые
характеристики.
- 108 -
Цель работы: Развитие навыков работы с дискретной случайной величиной и
законом ее распределения
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
1. В двух коробках находятся однотипные диоды. В первой – 20 шт., из них 2
неисправных; во второй – 10 шт., из них 4 неисправных. Наугад была выбрана
коробка, а затем из нее наугад был выбран диод. Он оказался неисправным.
Найти вероятность того, что он был взят из второй коробки.
2. В двух коробках однотипные конденсаторы. В первой – 20 штук, из них 3
неисправных; во второй – 40 штук, из них 2 неисправных. Наугад была
выбрана коробка, а затем из нее наугад был выбран конденсатор. Он оказался
неисправным. Найти вероятность того, что он был взят из первой коробки.
3. На базе находятся лампы, изготовленные на двух заводах. Из них 70 %
изготовлено на первом заводе, а 30 % – на втором. Известно, что 90 % ламп,
изготовленных на первом заводе, соответствуют стандарту, а среди ламп,
изготовленных на втором заводе, соответствуют стандарту лишь 80 %. Найти
вероятность, что взятая наугад лампа с базы будет соответствовать стандарту.
4. Радиосообщение может быть передано днем (с вероятностью 3/4), либо ночью
(с вероятностью 1/4). Из-за помех вероятность его успешного приема
составляет днем 60 %, а ночью 80 %. Найти вероятность, что сообщение будет
принято.
5. В город поступило 3000 л молока с первого завода и 3500 – со второго завода.
Известно, что средний процент непригодного молока среди продукции
первого завода равен 1,5 %, второго – 1 %. Найти вероятность того, что
купленный литр молока в этом городе окажется непригодным.
6. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% — государственные
органы, 20% — другие банки, остальные — физические лица. Вероятности
того, что взятый кредит не будет возвращён, составляют 0,01, 0,05 и 0,2
соответственно. Определить, какая доля кредитов в среднем не
возвращается.
Тема 13.6.
Составление таблиц и диаграмм на практике.
Практическая работа № 55
Тема: Первичная обработка статистических данных. Графическое их
представление.
Цель работы: Развитие навыков работы со статистическими данными
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
- 109 -
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
В задачах 31-40 , используя заданный закон распределения случайной величины
” и данную функцию • = –J”) , выполните следующие действия:
1. Найдите вероятность “ J” = BX ) = “X .
2. Найдите функцию распределения dJB) и постройте ее график.
3. Найдите ряд распределения случайной величины •.
4. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин ” и •.
1.
x 0
2 3 5
p 0,1 0,2 P3 0,4
• = 2X − 3.
2.
x -1 0
1
4
p P1 0,3 0,2 0,3
Практическая работа № 56
Тема: Нахождение средних характеристик, наблюдаемых данных.
Цель работы: Развитие навыков работы со статистическими данными
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
В задачах № 41 – 50 найти математическое ожидание M η , дисперсию Dη и
вероятность P(η>a/2) непрерывной случайной величины η с плотностью
вероятностей p(x) , заданной графически (все графики составлены из участков
прямых и парабол).
1.
2.
3.
4.
- 110 -
6.
5.
Тема 13.7.
Решение задач. Элементы комбинаторики, статистики и теории
вероятностей.
Практическая работа № 57
Тема: Элементы комбинаторики. Событие, вероятность события. Сложение и
умножение вероятностей.
Цель работы: Развитие навыков работы с вероятностью
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант №1
1. Вычислите:
2. Вычислите:
С83 С52
С 43
5!4! 5!!0!
а)
б)
6!
4!!
а)
б)
A83 A52
A43
3. В чемпионате по футболу участвует 16 команд. Сколькими способами (без учета
способностей) могут распределиться золотая, серебряная и бронзовая медали?
4. Сколько существует способов составить пятизначные числа из пяти цифр, не
повторяя их?
5. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию из восьми
человек. Сколькими способами можно составить комиссию, если в нее должен
входить хотя бы один математик?
Вариант №2
1. Вычислите:
2. Вычислите:
а)
а)
4
9
С С 41
С32
б)
A75 A53
A75
7!2! 9!!0!
б)
4!
3!!
3.Сколько существует, способов составит, пятизначное число из цифр
1,2,3,4,5,6,7,8,9 не повторяя их.
4. Сколько существует способов жеребьевки семи команд?
5. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время
каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
- 111 -
Вариант №3
1. Вычислите:
2. Вычислите:
А А114
С113
11!8! 5!!0!
а)
б)
7!
2!!
а)
4
12
б)
A155 A155
С144
3. В чемпионате по футболу участвует 16 команд. Сколькими способами (без учета
способностей) могут распределиться золотая, серебряная и бронзовая медали?
4.Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3
человек?
5. Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со
следующими буквами: Л, И, М, П, О, П, О?
Тема 14.4.
Уравнения и неравенства с параметрами.
Практическая работа № 58
Тема: Знакомство с параметром. Простейшие уравнения и неравенства с
параметром.
Цель работы: Развитие навыков работы с уравнениями и неравенствами с
параметром
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Тема 14.5.
Составление и решение профессиональных задач с помощью уравнений.
Практическая работа № 59
Тема: Решение текстовых задач профессионального содержания.
Цель работы: Развитие навыков работы с текстовыми задачами
профессионального содержания.
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
- 112 -
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Практическая работа № 60
Тема: Решение текстовых задач профессионального содержания.
Цель работы: Развитие навыков работы с текстовыми задачами
профессионального содержания.
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Практическая работа № 61
Тема: Решение текстовых задач профессионального содержания.
Цель работы: Развитие навыков работы с текстовыми задачами
профессионального содержания.
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Практическая работа № 62
Тема: Решение текстовых задач профессионального содержания.
Цель работы: Развитие навыков работы с текстовыми задачами
профессионального содержания.
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Тема 14.6.
Решение задач. Уравнения и неравенства.
Практическая работа № 63
Тема: Общие методы решения уравнений. Уравнения и неравенства с модулем и
с параметрами.
Цель работы: Развитие навыков решения уравнений и неравенств
Задачи работы: Овладение обучающимися общими и профессиональными
компетенциями
Формируемые компетенции ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07,
ПК-4.6
Вариант 1
Решите следующие задания:
:
1. 3 Q NQ = 9
2. 2QN + 2QI = 36
3. 25Q + 10 ∙ 5QN − 3 = 0
4. 5. 2 sin B = √3
- 113 -
6. √B − 10 = √−3B
q
7. sin <B − A + 1 = 0
8. 2Ubc B − 3 sin B − 2 = 0
q
9.cos <B + A ≤ −
h
√
10.B + √B < 2
11. JB − 1)√B − B − 2 ≥ 0
12. 3Q − 3QN > 26
Решите следующие задания:
:
1. 2 Q N Q =
Q
QN
Вариант 2.
h
2. 5 − 5
= 600
Q
QI
3. 9 + 3
−4 = 0
4. 5. 2 cos B = 1
6. √B − 4B = √6 − 3B
q
7. cos <B + A − 1 = 0
4
8. Ubc2B − %TUB = 0
q
9. sin <B − A ≥ −
4
10. B − 3√B > 4
11.JB − 3)√B − 6B + 8 ≤ 0
12. 2QI + 2QI < 9
- 114 -
Общее положение
Материалы промежуточной аттестации предназначены для контроля и
оценки образовательных достижений обучающихся.
Материалы промежуточной аттестации разработаны на основании:
- Федерального государственного образовательного стандарта среднего
профессионального образования по специальностям среднего профессионального
образования 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)
программы дисциплины СОО.02.02 Математика.
Материалы
промежуточной
аттестации
включают
контрольноизмерительные материалы для проведения промежуточного контроля по
дисциплине.
1. Результаты освоения дисциплины, подлежащие проверке
2.1. Перечень знаний, умений.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
знать:
основные методы арифметики, стереометрии, теории вероятностей
уметь:
решать арифметические задачи
решать вероятностные задачи
2.2. Форма аттестации.
Формой аттестации по дисциплине является обязательная контрольная
работа за первый семестр и экзамен за второй.
2.3. Основные показатели оценки результатов
Результаты
обучения
Основные показатели оценки
результата
Освоенные умения
Умение решать - выполнять арифметические действия
арифметические над числами, сочетая устные и
задачи
письменные приемы;
- находить приближенные значения
величин и погрешности вычислений
(абсолютная и относительная);
- сравнивать числовые выражения;
- находить значения корня, степени,
логарифма, на основе определения,
используя при необходимости
инструментальные средства;
Тип
задания/метод
оценки
Экспертная
оценка
выполнения
задания
промежуточной
аттестации
- 115 -
Умение решать
вероятностные
и
статистические
задачи
- выполнять преобразования
выражений, применяя формулы,
связанные со свойствами степеней,
логарифмов;
- находить значение
тригонометрических выражений на
основе определения, используя при
необходимости инструментальные
средства;
- выполнять преобразования
тригонометрических выражений,
применяя формулы, связанные со
свойствами тригонометрических
функций;
- решать тригонометрические
уравнения и неравенства
- решать простейшие комбинаторные
задачи методом перебора, а также с
использованием известных формул
комбинаторики, теории вероятностей
и математической статистики
Освоенные знания
Знать основные - перечисление последовательности
методы
действий при выполнении
арифметики,
арифметических действий над
стереометрии,
действительными числами;
теории
- перечисление свойств логарифмов и
вероятностей
правил действия над ними;
- перечисление аксиом стереометрии
формулировка следствий из них;
- формулировка и доказательство
теорем о расположении прямых и
плоскостей в пространстве;
- формулировка и перечисление
основных функций и формул
тригонометрии;
- перечисление последовательности
действий при решении задач
тригонометрии;
- формулировка основных методов
решения тригонометрических
уравнений;
Экспертная
оценка
выполнения
задания
промежуточной
аттестации
Экспертная
оценка
выполнения
задания
промежуточной
аттестации
- 116 -
- формулировка определений и
перечисление
свойств скалярного, векторного и
смешанного
произведения векторов
2. Оценка уровня освоения дисциплины
Оценивание знаний и умений проводится в рамках промежуточного контроля.
3.1. Материалы промежуточного контроля
Темы для проведения итоговой контрольной работы по дисциплине
МАТЕМАТИКА
1.
Определение целых и рациональных, действительных чисел.
2.
Определение процента. Нахождение процента от числа, числа по проценту
3.
Определение корня n-ой степени и его свойств.
4.
Преобразование иррациональных выражений
5.
Определение логарифма, десятичного и натурального логарифма. Запись
основного логарифмического тождества. Свойства логарифмов. Переход к новому
основанию.
6.
Логарифмические уравнения, неравенства.
7.
Расположение прямых и плоскостей в пространстве.
8.
Определение основных понятий комбинаторики: перестановки, сочетания,
размещения
9.
Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний
10. Вывод уравнений сферы, плоскости и прямой
11. Определение радианной меры угла, синуса, косинуса, тангенса и котангенса
числа. Вращательное движение. Числовая окружность
12. Значения тригонометрических функций для углов 30º, 45º, 60º, 90º
13. Доказательство основных тригонометрических тождеств, формул
приведения.
14. Запись формул синуса и косинуса двойного угла; формул половинного угла
15. Запись формул синуса, косинуса и тангенса суммы и разности двух углов
16. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и
произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс
половинного аргумента
17. Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа. Решение
простейших и однородных тригонометрических уравнений
- 117 -
18.
Решение простейших тригонометрических неравенств
Критерии оценивания письменной работы.
Оценка
5 (отлично)
4 (хорошо)
Баллы
12 - 13 баллов (при
условии решенных
геометрических
задач)
9 - 11 баллов (при
условии решенной
одной
геометрической
задачи)
Процент
выполнения
90 – 100%
70 – 89%
3 (удовлетворительно)
7 – 8 баллов
50 – 69%
2 (неудовлетворительно)
менее 7 баллов
менее 50 %
Критерии ошибок:
- к грубым ошибкам относятся ошибки, которые обнаруживают незнание
учащимися формул, правил, основных свойств, теорем и неумение их применять;
незнание приемов решения задач, рассматриваемых в учебниках, а также
вычислительные ошибки, если они не являются опиской;
- к негрубым ошибкам относятся: потеря корня или сохранение в ответе
постороннего корня; отбрасывание без объяснений одного из них и равнозначные
им;
- к недочетам относятся: нерациональное решение, описки, недостаточность или
отсутствие пояснений, обоснований в решениях.
Оценка «5» ставится, если:
- работа выполнена полностью;
- в логических рассуждениях и обоснованиях решения нет пробелов,
ошибок;
- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность,
описка).
Оценка «4» ставится, если:
- работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения
недостаточны;
- допущена одна ошибка, или есть два-три недочета в выкладках, рисунках,
чертежах, графиках и т.д.
- 118 -
Оценка «3» ставится, если:
- допущено более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках,
рисунках, чертежах, графиках, но учащийся обладает обязательными умениями
по проверяемой теме.
Оценка «2» ставится, если:
- допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не обладает
обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Комплект материалов для проведения итоговой контрольной работы по
дисциплине.
В состав комплекта входят задания для обучающихся (2 варианта) и
оценочная ведомость.
Рекомендации по проведению и оцениванию итоговой контрольной
работы.
К проведению контрольной по математике для каждого обучающегося
готовится:
- варианты контрольной;
- краткая инструкция для обучающихся;
- критерии оценивания;
- листы для чистового оформления работы и для черновика.
Методические рекомендации по написанию итоговой работы для
обучающихся.
1. Внимательно прочитайте задание.
2. На выполнение письменной итоговой контрольной работы по математике
дается 1 астрономический час (60 минут).
3.В первую очередь следует решить те задания, которые не вызывают трудностей.
4. Выполненную работу учащийся подписывает, фотографирует и выгружает на
Школьный портал.
Автономная некоммерческая организация высшего образования
«Российский новый университет»
Колледж
Обязательная контрольная работа
за 1 семестр по дисциплине СОО.02.02 Математика
- 119 -
для специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)
Вариант 1.
1. Представить в виде обыкновенной дроби 4,7(42).
2. Упростить выражение и найти его значение:
…
1
+ 243v ∙ 9a .
125
3. Перевести в градусную меру:
5N :
а) −
h q
;
б)
q
h
.
4. Найдите cos 2n, если cos n = −
q
5. Вычислить: 5sin + 3tg
h
q
h
√
q
и› <n <
q
q
.
- 5cos - 10ctg .
h
h
6. Вычислить:
а) 3log 42 + log 43 + log 49;
б) log2781+log279.
7. Решить уравнение: log h J5B − 9) = 0.
8. Решить уравнения: а) log42х = 0,5
а
б) log 11 x 12 2
9. Доказать тождество 2sin2 2 + cos а = 1
10. В урне белых шаров – 10%. С какой вероятностью среди извлеченных
наугад 5 шаров окажутся два белых?
- 120 -
Автономная некоммерческая организация высшего образования
«Российский новый университет»
Колледж
Обязательная контрольная работа
за 1 семестр по дисциплине СОО.02.02 Математика
для специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)
Вариант 2.
1. Представить в виде обыкновенной дроби 3,708(3).
2. Упростить выражение и найти его значение:
…
…
256u ∙ 4N − 32v ∶ 2N .
3. Перевести в градусную меру:
а) −
l q
m
;
б)
q
i
.
√
h
q
4. Найдите cos 2n, если sbc n = −
5. Вычислить: 3sin
q
4
- tg
q
и
q
< n < 2›.
+ 2cos .
4
6. Вычислить:
а) log 50 – 2log 5;
б) 10 ∙ 10„8@…o l.
7. Решить уравнение: log h J3B − 11) = 0.
8. Доказать тождество 2 cos2 α – cos 2α = 1
9. Решить уравнение cosp3xcos5x = sin3xsin5x
10. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня
лишь, что они различны и четны, набрал их наугад. Найти вероятность того,
что набраны нужные цифры.
121
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ
1. Определение целых и рациональных, действительных чисел
2. Определение комплексного числа. Сложение комплексных чисел.
Умножение и деление комплексных чисел
3. Геометрическое представление комплексных чисел
4. Определение корня n-ой степени и его свойств.
5. Преобразование иррациональных выражений. Вычисление корня из
комплексного числа
6. Определение логарифма, десятичного и натурального логарифма. Запись
основного логарифмического тождества. Свойства логарифмов. Переход к
новому основанию
7. Определение функции. Нахождение значений функции. Построение
графиков линейной, квадратичной функций
8. Показательная функция, ее свойства Построение графика показательной
функции
9. Логарифмическая функция, ее свойства. Построение графиков
логарифмических функций
10. Показательные уравнения, неравенства. Решение различных видов
показательных уравнений, неравенств, систем
11. Логарифмические уравнения, неравенства. Системы логарифмических
уравнений. Алгоритм решения логарифмических неравенств
12. Расположение прямых и плоскостей в пространстве
13. Параллельность прямых в пространстве. Параллельность прямой и
плоскости
14. Параллельность плоскостей
15. Куб и его сечения. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и
плоскостью
16. Перпендикулярность прямых в пространстве. Перпендикулярность прямой
и плоскости
17. Теорема о трех перпендикулярах. Двугранный угол. Перпендикулярность
плоскостей
18. Определение основных понятий комбинаторики: перестановки, сочетания,
размещения
19. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний
20. Декартова система координат на плоскости. Определение вектора, модуля
вектора
21. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число
22. Разложение вектора по направлениям. Определение угла между двумя
векторами
122
23. Вычисление координат вектора, скалярного произведения векторов
24. Разложение вектора по координатным векторам. Введение формулы
расстояния между двумя точками
25. Вывод уравнений сферы, плоскости и прямой
26. Определение радианной меры угла, синуса, косинуса, тангенса и котангенса
числа. Вращательное движение. Числовая окружность
27. Значения тригонометрических функций для углов 30º, 45º, 60º, 90º
28. Доказательство основных тригонометрических тождеств, формул
приведения.
29. Запись формул синуса и косинуса двойного угла; формул половинного угла
30. Запись формул синуса, косинуса и тангенса суммы и разности двух углов
31. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и
произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через
тангенс половинного аргумента
32. Функция у = sin x и у = соs x, их основные свойства и графики. Функции у
= tg x, у = сtg x, их свойства и графики
33. Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа. Решение
простейших тригонометрических уравнений
34. Решение простейших тригонометрических неравенств
35. Определение функции, ее области определения и множества значений;
графика функции. Построение графиков функций, заданных различными
способами
36. Запись свойств функции: монотонность, четность, нечетность,
ограниченность, периодичность. Нахождение промежутков возрастания и
убывания, наибольшего и наименьшего значения, точек экстремума
37. Преобразование графиков. Решение уравнений графическим способом.
Решение неравенств графическим способом.
38. Определение многогранника и его основных элементов. Определение и
построение прямой и наклонной призмы. Определение правильной призмы
39. Определение и построение параллелепипеда, куба
40. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Построение
сечения куба, призмы и пирамиды
41. Определение и построение пирамиды, правильной пирамиды усеченной
пирамиды, тетраэдра
42. Правильные многогранники. Представление о правильных многогранниках
(тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэр и икосаэдр)
43. Определение и графическое изображение: сферы, центра сферы, радиуса
сферы, диаметра сферы
44. Определение и графическое изображение: шара, центра шара, радиуса шара,
диаметра шара
123
45. Уравнение сферы, вывод уравнения сферы в прямоугольной системе
координат
46. Взаимное расположение сферы и плоскости: не имеют общих точек, имеют
множество общих точек, одна общая точка. Графическое изображение
47. Касательная плоскость к сфере: теорема, доказательство, обратная теорема
48. Площадь сферы
49. Определение касательной к сфере, точки касания
50. Взаимное расположение прямой и сферы
51. Определение и графическое изображение: цилиндра, образующих
цилиндра, оси цилиндра, оснований цилиндра, высоты цилиндра, радиуса,
диаметра цилиндра.
52. Определение и графическое изображение: осевого сечения, сечения
цилиндра перпендикулярной к оси плоскостью.
53. Прямой круговой цилиндр.
54. Развертка боковой поверхности цилиндра.
55. Формула площади боковой поверхности цилиндра.
56. Формула площади полной поверхности цилиндра
57. Определение и графическое изображение: конуса, образующих конуса, оси
конуса, основания конуса, вершины конуса, боковой поверхности конуса,
высоты конуса, сечения конуса.
58. Определение боковой, полной поверхности конуса, формула нахождения
площади боковой, полной поверхности конуса.
59. Определение и графическое изображение: усеченного конуса, оснований
усеченного конуса, высоты усеченного конуса, боковой поверхности
усеченного конуса, образующих усеченного конуса.
60. Определение боковой, полной поверхности усеченного конуса, формула
нахождения площади боковой, полной поверхности усеченного конуса
61. Определение производной функции, её геометрического и физического
смысла. Изучение правил и формул дифференцирования основных
элементарных функций
62. Определение второй производной, ее геометрического и физического
смысла. Вычисление производной обратной и сложной функции
63. Вывод уравнения касательной. Применение производной к исследованию
функций и построению графиков
64. Определение первообразной, неопределенного и определенного интеграла
65. Применение определенного интеграла для нахождения площади
криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница
66. Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площадей
криволинейных трапеций
124
67. Вычисление объема куба, пирамиды, конуса и шара, прямоугольного
параллелепипеда, призмы, цилиндра
68. Определение события, вероятности события. Сложение и умножение
вероятностей. Испытания Бернулли
69. Преобразование уравнений и неравенств в равносильные данным. Решение
рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических,
тригонометрических уравнений.
125
Темы рефератов по математике
1. «История появления алгебры как науки».
2. «Алгебра: основные начала анализа».
3. «Связь математики с другими науками».
4. «Способы вычисления интегралов».
5. «Определение элементарных функций».
6. «Двойные интегралы и полярные координаты».
7. «Запись и вычисление дифференциальных уравнений».
8. «История появления комплексных чисел».
9. «Сущность линейной зависимости векторов».
10. «Математические головоломки и игры: сущность, значение и виды».
11. Основы математического анализа.
12. Основные концепции математического моделирования.
13. Математическое программирование: сущность и значение.
14. Методы решения линейных уравнений.
15. Методы решения нелинейных уравнений.
16. Основополагающие концепции математической статистики.
17. Определение уравнения переходного процесса.
18. Применение кратных либо тройных интегралов.
19. Решение смешанных математических задач.
20. Вычисление тригонометрических неравенств.
21. Математическая философия Аристотеля.
22. Основные тригонометрические формулы.
23. Математик Эйлер и его научные труды.
24. Определение экстремумов функций многих переменных.
25. Сущность аксиоматического метода.
26. Декарт и его математические труды.
27. Основные концепции математики.
28. Развитие логики и мышления на уроках математики.
29. Современные открытия в области математики.
30. Пределы и производные: сущность, значение, вычисление.
126
