Автономное учреждение профессионального образования
Ханты-Мансийского автономного округа-Югры
«Сургутский политехнический колледж»
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ:
«Сборник примерных экзаменационных работ для подготовки
к итоговой аттестации по математике»
для студентов первого курса очной формы обучения
обучающихся по программе подготовки специалистов среднего звена
Сургут, 2021
Математика. Методическое пособие «Сборник примерных экзаменационных работ для
подготовки к итоговой аттестации по математике»
© Сургутский политехнический колледж, -2021 год.
Составители:
С.А. Гладышева, преподаватель математики
И.А. Пелых, преподаватель математики
Данный сборник составлен в соответствии с рабочей программой по дисциплине
«Математика» и содержит десять вариантов примерных экзаменационных работ. Задания
составлены в соответствии с рабочей программой, предназначенной для реализации
образовательной программы среднего общего образования в пределах освоения основной
профессиональной образовательной программы СПО на базе основного общего
образования. Учебное пособие предназначено для студентов колледжа первого
курса и преподавателей.
Одобрено на заседании методического объединения «Математика, информатика,
физика».
Протокол № 8 от 12.05.2021 г.
Рекомендовано к печати Методическим советом «Сургутский политехнический
колледж».
Протокол №
от
2021 г.
Содержание:
Автономное учреждение профессионального образования .................................................. 1
Пояснительная записка. ............................................................................................................ 4
Вариант №1 ................................................................................................................................ 5
Вариант №2 ................................................................................................................................ 6
Вариант №3 ............................................................................................................................... 7
Вариант № 4 .............................................................................................................................. 8
Вариант № 5 .............................................................................................................................. 9
Вариант № 6 ............................................................................................................................ 10
Вариант №7 .............................................................................................................................. 11
Вариант № 8 ............................................................................................................................ 12
Вариант № 9 ............................................................................................................................ 13
Вариант № 10 .......................................................................................................................... 14
Образец разбора решения варианта №1 ................................................................................ 15
Справочные материалы ........................................................................................................... 20
Список литературы .................................................................................................................. 23
Интернет - ресурсы......................................................................................................................24
3
Пояснительная записка.
Данный сборник предназначен для подготовки к итоговой аттестации по дисциплине
«Математика» студентов первого курса групп среднего и начального профессионального
образования.
Данное методическое пособие может быть использовано преподавателями для
подготовки учащихся к экзамену по математике, а также студентами — для
самоподготовки и самоконтроля. Сборник состоит из 10 вариантов работ, включающих
следующие разделы дисциплины:
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;
Геометрические тела и поверхности. Объемы и площади поверхностей
геометрических тел;
Показательная, логарифмическая, степенная функции;
Основы тригонометрии;
Производная и ее приложение;
Интеграл и его приложения;
Практические задачи.
Экзаменационная работа состоит из одиннадцати заданий. Эти задания разбиваются на 2
части. Первая часть работы направлена на то, что бы проверить обязательный уровень
подготовки студентов, и включает в себя семь заданий по алгебре и началам
математического анализа и одно геометрическое задание, которые в совокупности
позволяют охватить проверкой значительный объём учебного материала. Для решения
заданий первой части достаточно уметь использовать основные определения, владеть
минимальным набором формул и алгоритмов. Задания по геометрии требуют, помимо
знания формул и умения ими пользоваться, определенного уровня стереометрических
представлений, умения работать с изображениями пространственных конфигураций. В то
же время уровень доказательности при выполнении заданий предполагается минимальным.
Вторая часть работы содержит три более сложных задания и нацелена на проверку
усвоения материала курса на более высоком уровне. Данная часть состоит из одного
геометрического задания и двух заданий по алгебре и началам анализа. Содержание
заданий по геометрии соответствует целям изучения геометрии в курсе «Математика», и
для их решения достаточно пройденного в курсе геометрического материала. От студентов,
однако, не требуется владения навыками сложных вычислений и преобразований,
специальными приемами решения уравнений и неравенств, хотя часть заданий
предполагает наличие определенных знаний и умений, приобретенных не только на первом
курсе, но и в основной школе (подстановка, формулы сокращенного умножения, уравнение
прямой и т. п.).
Для получения отметки «3» (удовлетворительно) студент должен набрать 12-15 баллов.
Отметка «4» (хорошо) выставляется при 17-21 баллах. Отметка «5» (отлично) ставится за
22-24 балла. Каждый правильно выполненный пример (задание) оценивается 1 баллом.
4
Вариант №1
Часть 1
1. (4 балла) Вычислите:
1
2
1
3
1)∙ 362 ∙ 1253 − 83 ;
3) 3
√5
;
√625
2) log 3 8 − log 3 24 ;
𝜋
𝜋
4) 2sin 6 + 4cos 2.
2. (4 балла) Решите уравнения:
1) √2х − 6 = 4;
3) log 7 (4х − 1) = 1;
2) 2 sin х = 1;
4) 0,35−2х = 0,09.
3. (3 балла) Решите неравенство:
1 х+2
1) 27х ≥ (3)
2) (6 − х)(х + 1) > 0;
;
3) log 0,2(х − 1) > log 0,2 4 .
4. (4 балла) Дана правильная четырехугольная пирамида
1.
Назовите основание пирамиды;
2.
Назовите апофему;
3.
Назовите высоту пирамиды;
4.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если АВ =
5см., SЕ = 10 см.
5. (2 балла) Найдите производную функции:
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 3 + 6;
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ех .
6. (2 балла) Найдите все первообразные функции:
2
1) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 4 − х ;
√
2) 𝑓(𝑥) = 3 cos х − 4.
7. (1 балл) В магазине канцтоваров проходит распродажа. Ирина купила блокнот за 170
рублей с учетом скидки, до распродажи он стоил 250 рублей. Определите процент скидки.
Часть 2
8.
В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью
основания угол 600. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности
пирамиды.
9.
Радиус основания конуса равен 20 см; расстояние от центра основания до
образующей равно 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
10.
Решите уравнение: cos 2𝑥 + 5 sin 𝑥 + 2 = 0.
Найдите первообразную функции 𝑓(𝑥) = 6𝑥 2 − 4𝑥 + 1, график которой проходит через
начало координат.
11.
5
Вариант №2
Часть 1
1. (4 балла) Вычислите:
7
2
𝑎3 ∙𝑎3
1)∙ 𝑎2 ;
2) 72𝑙𝑜𝑔7 3 ;
4
3) √81 ∙ 625;
√2
2. (4 балла) Решите уравнения:
1) √3х − 4 = √𝑥;
2) 2 cos х = 1;
4) 3 arctg √3 − 8arccos 2 .
1
3) 251−3х = 125;
4) log 8 (2х − 5) = log 8 3 .
3. (3 балла) Решите неравенство:
1) log 7 (х − 1) ≥ 0;
2) (х − 3)(х + 4) < 0;
3) 0,5х−3 ≤ 0,25−х ;
4. (4 балла) Дан прямой круговой конус
1.
Назовите осевое сечение конуса;
2.
Назовите образующую;
3.
Назовите высоту конуса;
4.
Найдите площадь боковой поверхности конуса, если диаметр
12 см., образующая 10 см.
5. (2 балла) Найдите производную функции:
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3𝑥 5 − 4;
𝑥3
2) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 .
6. (2 балла) Найдите все первообразные функции:
2
1) 𝑓(𝑥) = −4𝑥 3 + х + 1;
2) 𝑓(𝑥) = −2ех − sin х.
7. (1 балл) По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер
снимает со счёта абонента 16 рублей. Если на счету осталось меньше 16 рублей, то на
следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету
было 700 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться
телефоном, не пополняя счёт?
Часть 2
8. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10 см, а сторона основания
12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
9. Радиус цилиндра равен 8 см. Через середину оси цилиндра проведена прямая,
пересекающая плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 12 см
от центра нижнего основания. Эта прямая пересекает образующую цилиндра на расстоянии
2 см от плоскости нижнего основания. Найдите высоту цилиндра.
1
5𝑥+3𝑦 = 5 ,
10. Решите систему уравнений {
𝑦 + 𝑥 = 3.
11. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции 𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 𝑥 2 .
6
Вариант №3
Часть 1
1. (4 балла) Вычислите:
1
1)∙ 𝑏 3 ∙ 𝑏2 + 3𝑏;
2) 72𝑙𝑜𝑔7 3
3) √81 ∙ 625;
2. (4 балла) Решите уравнения:
1) √𝑥 2 − х − 2 = 𝑥;
2) tg х − √3 = 0;
3. (3 балла) Решите неравенство:
3) 323+2х = 4;
4) log 4 (2х + 3) = 3.
1) 𝑙о𝑔3(х − 2) < 2;
4
√2
4) 3 arctg √3 − 8arccos 2 .
2) (3х − 6)(5 − 𝑥) ≥ 0;
1
3) 0,13+х ≤ 0,001
4. (4 балла) Дан прямой круговой конус
1.
Назовите высоту конуса;
2.
Назовите образующую;
3.
Назовите радиус конуса;
4.
Найдите объём конуса, если радиус равен
4 см., высота 6 см.
5. (2 балла) Найдите производную функции:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 − 2𝑥 3 − 4;
2) 2)𝑓(𝑥) = 𝑥 4 𝑙𝑛𝑥.
6. (2 балла) Найдите все первообразные функции:
1) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 2х;
2
− 6.
cos2 х
7. (1 балл) На одну порцию рисовой каши требуется 40 грамм риса и 0,12 литра молока.
Какое наибольшее количество порций каши может приготовить столовая, если в ее
распоряжении есть 900 грамм риса и 3 литра молока?
2)𝑓(𝑥) =
Часть 2
Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. высота
пирамиды проходит через середину гипотенузы треугольника и равна гипотенузе. Найдите
боковые ребра пирамиды.
9. Высота конуса равна 20 см, расстояние от центра основания до образующей равно 12 см.
Найдите объем конуса.
8.
1
10.
Решите уравнение 4𝑥+2 − 7 ∙ 2𝑥 = 4.
11.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥 2 и осью абсцисс.
7
Вариант № 4
Часть 1
1. (4 балла) Вычислите:
33 ∙270
5
√64
1)∙ 3−1 ;
2) 𝑙𝑜𝑔12 36 − 𝑙𝑜𝑔12 3 ;
3) 5 ;
√2
𝜋
𝜋
4) 2 ctg 6 − 2sin 3 .
2. (4 балла) Решите уравнения:
1
1) √6х − 1 = 3;
3) 92х = 4;
2) 2cos х −√3 = 0;
4) log 4 (2х + 3) = 3.
3. (3 балла) Решите неравенство:
1
1) 𝑙о𝑔0,3(х − 4) < 0;
2) (7х − 14)(1 + 𝑥) ≥ 0;
3) 92х ≤ 3;
4. (4 балла) Дан прямой круговой цилиндр
1. Назовите ось цилиндра;
2.
Назовите образующие;
3.
Назовите радиус цилиндра;
4.
Найдите объём цилиндра, если радиус равен
2 см., высота 5 см.
5. (2 балла) Найдите производную функции:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 − 3х − 𝑥 6 ;
2) 2)𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 sin х.
6. (2 балла) Найдите все первообразные функции:
4
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − ;
х
2)𝑓(𝑥) = (2 − х)3 − 6х.
7. (1 балл) Стоимость проезда в маршрутном такси составляет 20 руб. Какое наибольшее
число поездок можно будет совершить в этом маршрутном такси на 150 руб., если цена
проезда снизится на 10%?
Часть 2
8. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 10 см. Сторона основания удалена
от двух параллельных ей сторон противолежащей боковой грани соответственно на 5 см и
13 см. Найдите объем призмы.
9. Высота цилиндра равна 12 см. Через середину образующей цилиндра проведена
прямая, пересекающая ось цилиндра на расстоянии 4 см от нижнего основания. Эта прямая
пересекает плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 18 см от
центра нижнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.
10. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции 𝑓(𝑥) = х𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 на отрезке [1;е].
11. Решите неравенство 9х − 2 ∙ 3х < 3.
8
Вариант № 5
Часть 1
1. (4 балла) Вычислите:
1
1)∙ 𝑏 3 ∙ 𝑏2 + 3𝑏;
2) 72𝑙𝑜𝑔7 3
4) 3 arctg √3 − 8arccos 2 .
2. (4 балла) Решите уравнения:
1) √𝑥 2 − х − 2 = 𝑥;
3) 323+2х = 4;
2) tg х − √3 = 0;
4) log 4 (2х + 3) = 3.
4
3) √81 ∙ 625;
√2
1
3. (3 балла) Решите неравенство:
1) 𝑙о𝑔3(х − 2) < 2;
2) (3х − 6)(5 − 𝑥) ≥ 0;
3) 0,13+х ≤ 0,001;
4. (4 балла) Дан прямой круговой цилиндр
1.
Назовите осевое сечение цилиндра;
2.
Назовите образующие;
3.
Назовите диаметр цилиндра;
4.
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если
диаметр равен 2 см., высота 4 см.
5. (2 балла) Найдите производную функции:
3) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 − 3х − 𝑥 6 ;
4) 2)𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 sin х.
6. (2 балла) Найдите все первообразные функции:
4
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − ;
х
2)𝑓(𝑥) = (2 − х)3 − 6х.
7. Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное
предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Какое
наибольшее количество шоколадок можно получить, потратив не более 200 рублей в
воскресенье?
Часть 2
8.
Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна 10 см, а диагонали
боковых граней 2√10см и 2√17см. Найдите объем параллелепипеда.
9.
Радиус цилиндра равен 8 см. Через середину оси цилиндра проведена прямая,
пересекающая плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 12 см
от центра нижнего основания. Эта прямая пересекает образующую цилиндра на расстоянии
2 см от плоскости нижнего основания. Найдите высоту цилиндра.
10. Укажите промежутки возрастания и убывания функции 𝑓(𝑥) = −х4 + 4𝑥 2 − 3.
11.
Решите неравенство 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 2 + 7𝑥 + 10) < −2.
2
9
Вариант № 6
Часть 1
1.
(4 балла) Вычислите:
1
1
1
7
√256
1) 1253 ∙ 164 − 92 ;
2) log 76 12 − log 6 3 ;
3) 7
√2
3) 53х−1 = 0,2;
4) log 3 (2х − 1) = 0.
√2
2) sin х = 2 ;
3.
(3 балла) Решите неравенство:
1 х−1
4.
;
𝜋
4) 4sin 6 + 2cos 2𝜋.
2.
(3 балла) Решите уравнения:
5
1) √2х + 8 = −1;
1) 23х+6 ≤ (34)
;
2) (8 − х)(2х + 6) ≤ 0;
3) log 5 (3x+1)< 2.
(4 балла) Дан куб АВСD А𝟏 В𝟏 С𝟏 𝑫𝟏
Укажите взаимное расположение:
1. АВ и 𝐷1 𝐷1
2. 𝐶1 С и (DAB)
3. (𝐴𝐴1 𝐷1 ) и (ВВ1 С1 )
4. Вычислите площадь поверхности куба, если
известно, что сторона куба равна 4 см.
5.
1)
(2 балла) Найдите производную функции:
𝑓(𝑥) = −2𝑥 4 + 5√𝑥 − 48;
2)
𝑓(𝑥) = ех .
𝑥2
6.
(2 балла) Найдите все первообразные функции:
1) f(x)= 4𝑥 3 -6𝑥 2 ;
1
2) f(x)= ех - х
7.(1 балл) Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для
школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15
школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
Часть 2
8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с
плоскостью боковой грани
и угол в 45°
с боковым ребром. Найдите объём
параллелепипеда.
9. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. В основание
конуса
вписан треугольник, у которого одна сторона равна 8 см, а противолежащий угол
равен 30°. Определи площадь полной поверхности конуса.
3𝜋
10. Решите уравнение: 2 sin2 𝑥 ( 2 +𝑥) = √3 cos 𝑥.
0
11. Вычислите интеграл: ∫−1(х + 1) ∙ (х2 − 2)
10
Вариант №7
Часть 1
1. (4 балла) Вычислите:
1
1
1
3
3
3)√135 ∙ √25;
𝜋
𝜋
4) 2sin 2 − 6cos 3.
1) 2435 ∙ 492 − 83 ;
2)32+log3 5 ;
2. (4 балла) Решите уравнения:
3
3) log 1 (2х − 1) = −2;
1) √х − 6 = −3;
2) 2 sin х = −1;
3
4
16
4) ( 2)2𝑥−5 = 81
3. (3 балла) Решите неравенство:
1 х+2
1) 27х ≥ (3)
;
2) (6 − х)(х + 1) > 0;
3) log 2 (3x+1)< 2
4. (4 балла) Дана правильная шестиугольная призма
Выясните взаимное расположение:
1. АВ и 𝐸1 E;
2. C𝐶1 и (АВС);
3. (АВС) и (𝐴1 𝐵1 𝐶1 )
4. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если
сторона основания равна 4 см, а боковое ребро-10см.
5. (2 балла) Найдите производную функции:
1) 𝑓(𝑥 ) = −4𝑥 5 − 8𝑒 𝑥 + 𝑥;
2)𝑓(𝑥) = 𝑥 3 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 .
6. (2 балла) Найдите все первообразные функции:
1) f(x)= 3𝑥 2 -10𝑥 2 ;
1
2) 2) f(x)= cos 𝑥 −
х
7. (1 балл) Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей.
На сколько процентов была снижена цена на футболку?
Часть 2
8. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см., угол между этой диагональю и
образующей равен 60°. Вычислите объём цилиндра.
9. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 14см, высота призмы
равна √3 см. Вычисли объём и площадь поверхности призмы.
10. Решите уравнение: 6𝑙𝑜𝑔82 x-5𝑙𝑜𝑔8 𝑥 + 1 = 0.
5 7
11. Найдите наименьшее значение функции у = 2х2 − 5х + ln 𝑥 − 3 на отрезке [6 ; 6]
11
Вариант № 8
Часть 1
1. (4 балла) Вычислите:
1
1
1
4
√1024
1) 325 ∙ 642 − 1253 ;
1
1
2) lоg12 2 + log12 72 ;
3) 4
√4
2. (4 балла) Решите уравнения:1
3
1) √2х − 4 = −3;
2) 2 cos х = −1;
;
𝜋
𝜋
4) 5𝑡𝑔 4 − 6cos 3 .
3) log 1 (5х − 1) = −1;
3
4
81
4) ( 2)2𝑥−5 = 16
3. (3 балла) Решите неравенство:
1 3х+2
1) 81−х ≥ (9)
;
2) (𝑥 − 4)(3 − 2𝑥) > 0;
3) log 1 (4x-1)< −2
2
4. (4 балла) Дана правильная треугольная призма
Выясните взаимное расположение:
1. АВ и С1 С;
2. C𝐶1 и (АВС);
3. (АВС) и (𝐴1 𝐵1 𝐶1 )
4. Вычислите объём призмы, если площадь основания равна
24 см2 , а боковое ребро-7см.
5.(2 балла) Найдите производную функции:
1) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 7 + 5𝑒 𝑥 + 4𝑥 − 6;
2)𝑓(𝑥) = 𝑥 5 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 .
6.(2 балла) Найдите все первообразные функции:
1)f(x)= 5𝑥 4 -12𝑥 2 ;
1
2) f(x)= sin 𝑥 − х
7. (1 балл) Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога
на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет
заработная плата Марии Константиновны?
Часть 2
8. Основанием прямой призмы является ромб, диагонали которого равны 2см и 8 см.
Большее диагональное сечение призмы равно 24см2 . Вычисли объём призмы. (24 см3 )
9. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. В основание
конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна 22 см, а противолежащий угол
равен 30°. Определи площадь полной поверхности конуса.
10. Решите уравнение: 12𝑥 −8⋅6𝑥 +12⋅3𝑥 =0.
11. Исследуйте функцию и постройте ее график: y = - 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2
12
Вариант № 9
Часть 1
1. (4 балла) Вычислите:
1
2
1
5
√3
1) 646 ∙ 273 − 1442 ;
3) 5
√96
2)72 log7 8 ;
;
𝜋
𝜋
4) −3𝑡𝑔(− 4 ) − 4cos 3 .
2. (4 балла) Решите уравнения:
5
3) log 1 (2х + 5) = −1;
1) √−х − 4 = −1;
2) √3 tg х = 1;
3
4 𝑥−3
4) ( 5)
125
= 64
3. (3 балла) Решите неравенство:
1 2х−10
1) 64−3х−1 ≥ (8)
;
2) (7𝑥 − 14)(6 − 3𝑥) ≤ 0;
3) log 1 (3-2x)< −2
5
4.(4 балла) Дан параллелепипед АВСD А𝟏 В𝟏 С𝟏 𝑫𝟏
Выясните взаимное расположение:
1.
АВ и 𝐷1 D;
2.
B𝐵1 и (АDС);
3.
(АВС) и (𝐴1 𝐵1 𝐶1 )
4.
Вычислите площадь поверхности
параллелепипеда, если стороны основания равны 4 см
и 6 см, а высота – 5см.
5.(2 балла) Найдите производную функции:
1)
𝑓(𝑥) = −4𝑥 3 − 7𝑒 𝑥 + 2√𝑥 − 6;
2)
2)𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 ∙ (3𝑥 − 5) .
6.(2 балла) Найдите все первообразные функции:
3)
f(x)= 7𝑥 6 +15𝑥 2 − 4;
1
4)
2) f(x)= cos 𝑥 − х + 2
7. (1 балл) Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей,
если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей
покупки?
Часть 2
8. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 20 см, а боковое ребро — 16
см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
9. Осевое сечение цилиндра квадрат, диагональ которого равна 8см. Найдите объем
этого цилиндра.
10. Решите уравнение: sin 2x + √3 sin x = 0.
11. Исследуйте функцию и постройте ее график: y = - 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 5
13
Вариант № 10
Часть 1
1. (4 балла) Вычислите:
1
1
1
3
3) 2√121 + √64 ;
𝜋
𝜋
4) 4с𝑡𝑔 6 − √5cos 2 .
1) 2435 ∙ 162 − 273 ;
2) lоg 2 4∙ log 3 27 ;
2. (4 балла) Решите уравнения:
4
3) log 1 (4х + 5) = −2;
1) √х − 5 = 3;
2) 3 𝑡𝑔 х = −√3;
1
7
4) ( 4)6𝑥−5 = 64
3. (3 балла) Решите неравенство:
1 3х+2
1) 32х−5 ≥ (9)
2) (2𝑥 − 7)(3 − 6𝑥) ≥ 0;
;
3) log 1 (2x-1)< −2
4. (4 балла) Дана правильная четырехугольная пирамида:
Укажите:
1.Основание пирамиды
3
2.Апофему
3.Высоту пирамиды
4.Вычислите площадь боковой поверхности
пирамиды, если сторона основания равна7см, а
апофема 9 см.
5.(2 балла) Найдите производную функции:
1) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 6 − 2𝑒 𝑥 + √𝑥 − 8;
𝑥5
2)𝑓(𝑥) =
.
𝑐𝑜𝑠𝑥
6.(2 балла) Найдите все первообразные функции:
1
1)f(x)= 7𝑥 6 +𝑥 − 2;
1
2) f(x)= sin(3𝑥 + 2) − х
7. (1 балл) Среди 40000 жителей города 60% не интересуются футболом и никогда не
смотрят футбольные матчи по телевизору. Среди жителей, интересующихся футболом, 80%
смотрели по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот
матч по телевизору?
Часть 2
8.
Радиус основания конуса равен 20 см; расстояние от центра основания до
образующей равно 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
9.
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с
плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем пирамиды.
1
10.
11.
Решите уравнение: 9𝑥−2 -8 ∙ 3𝑥−1 + 5 = 0
𝑥−𝑦 =3
Решите систему уравнений: {
log 4 x + log 4 y = 1
14
Образец разбора решения варианта №1
Часть 1
1. (4 балла) Решение:
1
2
1
1
2
1
1) 362 ∙ 1253 − 83 = (62 )2 ∙ (53 )3 −(23 )3 = 6 ∙ 5 − 2 = 30 − 2 = 28;
2) log 3 8 − log 3 24 = log 3
8
1
= log 3 = −1 ;
24
3
3
3
5
1
1 3 1
√
√
3) 3
=
=√
= ( ) = ;
625
125
5
5
√625
3
√5
4) 2sin
3
𝜋
𝜋
1
+ 4cos = 2 ∙ + 4 ∙ 0 = 1.
6
2
2
2. (4 балла) Решение уравнений:
1) √2х − 6 = 4;
(√2х − 6 )2 = 42 ;
2х − 6 = 16;
2х = 16 + 6;
2х = 22;
х = 11,
2) 2 sin х = 1;
1
sin х = 2;
1
𝑥 =(−1)𝑛 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 + 𝜋𝑛; 𝑛𝜖𝑍;
𝜋
𝑥 = (−1)𝑛 ∙ + 𝜋𝑛; 𝑛𝜖𝑍;
6
𝜋
Ответ: 𝑥 = (−1)𝑛 ∙ 6 + 𝜋𝑛; 𝑛𝜖𝑍.
Ответ: х = 11
log 7 (4х − 1) = 1;
1)
4х − 1 = 71 ;
ОДЗ: 4х − 1 > 0;
4х = 7 + 1;
4х > 0 + 1;
4х = 8;
4х > 1;
х = 8: 2;
х > 0,25;
x = 4;
Ответ: х = 4
4) 0,35−2х = 0,09.
0,35−2х = 0,32
5 − 2х = 2;
−2х = 2 − 5;
−2х = −3
х = 1,5.
Ответ: х = 1,5.
15
3.(3 балла) Решение неравенств:
1 х+2
1) 27х ≥ ( ) ;
3
33х ≥ (3−1 )х+2;
33х ≥ з−х−2 ;↑
3x ≥ −х − 2;
3x +х ≥ −2;
4x ≥ −2;
х ≥ −0,5;
Ответ: x ≥ −0,5
2) (6 − х)(х + 1) > 0;
(6 − х)(х + 1) = 0;
6 − 𝑥 = 0 или 𝑥 + 1 = 0;
х=6
или х= - 1
х ∈ (−1; 6)
Ответ: х ∈ (−1; 6)
3) log 0,2 (х − 1) > log 0,2 4
ОДЗ: х − 1 > 0 , х > 1
х−1 <4
х<4+1
х<5
х ∈ (1; 5)∞
Ответ: х ∈ (1; 5)
3. (4 балла) Дана правильная четырехугольная пирамида
1. Основание пирамиды -АВСD;
2. Апофема-SE;
3. Высота пирамиды-SO;
4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если АВ =
5см., SЕ = 10 см.
1
1
Решение: 𝑆бок. = 2 𝑃осн. ∙ ℎбок. , 𝑆бок. = 2 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 10 = 100 см2
Ответ: 𝑆бок. = 100 см2
4. (2 балла) Решение по нахождению производной функции:
1) 𝑓 , (𝑥) = (3𝑥 2 − 2𝑥 3 + 6), = 6𝑥 − 6𝑥 2 ;
2)𝑓 , (𝑥) = (𝑥 2 ∙ ех ), = (𝑥 2 ), ∙ ех + 𝑥 2 ∙ (ех ), = 2𝑥 ∙ ех + 𝑥 2 ∙ ех .
5. (2 балла) Решение по нахождению первообразных функции:
2
1) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 4 − х ;
√
𝑥5
F(x) = 5 ∙ 5 − 2 ∙
2𝑥√𝑥
3
+ 𝐶 = 𝑥5 −
4𝑥√𝑥
3
+ 𝐶;
2)𝑓(𝑥) = 3 cos х − 4, F(x) = 3𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4𝑥 + 𝐶.
6. (1 балл) В магазине канцтоваров проходит распродажа. Ирина купила блокнот за 170
рублей с учетом скидки, до распродажи он стоил 270 рублей. Определите процент скидки.
Решение:
170∙100
250р – 100%
1) х = 250 = 68(%) стоимость товара со скидкой
170р – х%
2) 100 - 68 = 32(%) – составила скидка.
Ответ: 32%.
16
Часть 2
7.
В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью
основания угол 600. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности
пирамиды.
Дано: правильная пирамида FABCD
ABCD - квадрат
FM -апофема
FO – высота пирамиды, 6 см
∟FMO = 600
Найти: Sполн
1)
Решение:
1
Sполн = Sосн + Sбок , Sосн = АD2 , Sбок = 2 Росн ∙ FM, Росн = 4 ∙ АD
2)
Рассмотрим ∆ FOM. Прямоугольный, так как FO – высота пирамиды, ∟FOM = 900 .
По условию угол между апофемой FM и основанием пирамиды равен 600 (∟FMO = 600) =>
𝑂𝐹
sin 600 = 𝐹𝑀 =>
𝑂𝑀
6
√3
= 𝐹𝑀
2
1
𝑂𝑀
=> √3𝐹𝑀 = 12 => 𝐹𝑀 =
12
cos 600 = 𝐹𝑀 => 2 = 12 => 2 ∙ 𝑂𝑀 =
√3
√3
3)
=> 𝑂𝑀 =
12
√3
6
√3
По условию ABCD – квадрат, точки О и М середины отрезков АС и CD , ОМ 12
средняя линия => АD = 2∙ОМ , АD =
√3
12 2
144
√3
3
48
4)
Sосн = АD2 , Sосн = ( ) =
5)
Росн = 4 ∙ АD, Росн = 4 ∙
6)
Sбок = 2 Росн ∙ FM , Sбок = 2 ∙
1
12
=
= 48 см2
см
√3
√3
1 12 48
√3
∙
√3
= 96 см2
7)
Sполн = Sосн + Sбок , Sполн = 48 + 96 = 144 см2
Ответ: 144 см2
8.
Радиус основания конуса равен 20 см; расстояние от центра основания до
образующей равно 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Дано: прямой круговой конус FABCD
ОC – радиус, 20 см
АО – высота, ось конуса
АС – образующая
FO – расстояние от центра конуса до образующей, 12 см
∟FMO = 600
Найти: Sбок
Решение:
1)
Sбок = 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ AC
2)
Рассмотрим ∆ OFC – прямоугольный, так как OF – расстояние от центра конуса до
образующей, ∟OFC = 900 .
𝑂𝐹
12
3
Используя определение синуса угла=> sin С = ОС => sin С = 20 = 5
3)
Рассмотрим ∆ АOC – прямоугольный, так как АО – высота, ось конуса, ∟АOC = 900.
Используя основное тригонометрическое тождество найдем косинус угла С:
17
sin2 С + cos2 С = 1, cos С = √1 − sin2 С
3 2
9
16 4
√
cos С = 1 − ( ) = √1 −
=√ =
5
25
25 5
Используя определение косинуса угла=>
𝑂С
4
20
cos С = АС => 5 = АС => 4 ∙ АС = 100 => АС = 25 см
4)
По условию ABCD – квадрат, точки О и М середины отрезков АС и CD , ОМ средняя линия => АD = 2∙ОМ , АD =
12
√3
5)
Sбок = 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ AC, Sбок = 𝜋 ∙ 20 ∙ 25 = 500𝜋 см2
Ответ: 500𝜋 см2
9.
Решите уравнение: 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝟓 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝟐 = 𝟎.
Решение:
cos 2𝑥 + 5 sin 𝑥 + 2 = 0.
Используем формулу двойного аргумента: cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 х
cos 2 𝑥 − sin2 х + 5 sin 𝑥 + 2 = 0.
Используя основное тригонометрическое тождество, выразим косинус через синус:cos 2 𝑥 =
1 − sin2 х
1 − sin2 𝑥 − sin2 х + 5 sin 𝑥 + 2 = 0.
− 2sin2 𝑥 + 5 sin 𝑥 + 3 = 0.
Выполним замену. Пусть sin 𝑥 = 𝑡, тогда
− 2𝑡 2 +5𝑡 + 3 = 0
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
−𝑏 ± √𝐷
𝑡1,2 =
2𝑎
𝐷 = 52 − 4 ∙ (−2) ∙ 3 = 49
−5 + √49
𝑡1 =
=3
2 ∙ (−2)
−5 − √49
1
𝑡1 =
=−
2 ∙ (−2)
2
Вернемся к замене:
sin 𝑥 = 3 нет решения, так как 3 ¢ [-1;1]
1
и sin 𝑥 = − 2
1
х = (−1)𝑛 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (− ) + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
2
𝜋
𝑛
х = (−1) ∙ (− ) + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
6
𝜋
𝑛+1
х = (−1)
∙ + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
6
𝜋
Ответ: х = (−1)𝑛+1 ∙ 6 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
10.
Найдите первообразную функции 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏, график которой
проходит через начало координат
Решение:
Найдем общий вид первообразной:
𝑥3
𝑥2
𝐹(𝑥) = 6 ∙ 3 − 4 ∙ 2 + 𝑥 + 𝑐
𝐹(𝑥) = 2𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 + 𝑐
18
Найдем константу с. Так как график первообразной проходит через начало координат (0;0),
то составим уравнение:
0= 2∙0−2∙0+0+𝑐
с=0
Составим первообразную: 𝐹(𝑥) = 2𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥
Ответ: 𝐹(𝑥) = 2𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥
19
Справочные материалы
Тригонометрия
Тригонометрические
Формулы двойного угла:
тождества
sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼
cos 2𝛼 = cos 2 𝛼 − sin2 𝛼
2 tg 𝛼
tg 2𝛼 =
1 − 𝑡𝑔2 𝛼
2
2
𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 1;
𝑠𝑖𝑛 𝛼 = ±√1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
Сумма и разность углов
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ± √1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼;
sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽
sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽
cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽
cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽
𝑡𝑔 𝛼 ∙ 𝑐𝑡𝑔 𝛼 = 1;
𝑐𝑡𝑔 𝛼 =
1
;
𝑡𝑔 𝛼
𝑡𝑔2 𝛼 + 1 =
Решение тригонометрических уравнений:
𝐜𝐨𝐬 х = а |а| ≤ 𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝒂 |𝒂| ≤ 𝟏
х = ± arccos 𝑎 + 2𝜋𝑛,
𝑛∈𝑍
𝑥 = (−1)𝑛 arc sin 𝑎 + 𝜋𝑛,
𝑛∈𝑍
Частные случаи:
𝟏) 𝐜𝐨𝐬 х = 𝟎
𝜋
х = + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
2) 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟏
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
3) 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = −𝟏
𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
Частные случаи:
1)𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝟎
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝟏
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
3)𝐬𝐢𝐧 𝒙 = −𝟏
𝜋
𝑥 = − + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐢𝐧(−𝒂) = − 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐢𝐧 𝒂
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(−𝐚) = 𝛑 − 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒂
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠(−𝐚) = −𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝐚
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐭𝐠(−𝐚) = 𝛑 − 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐭𝐠 𝐚
𝐭𝐠 𝒙 = 𝒂 , 𝒂 ∈ 𝑹
𝑥 = arc tg a + πn, n ∈ Z
𝐜𝐭𝐠 𝒙 = 𝒂 𝒂 ∈ 𝑹
𝑥 = arc ctg a + πn, n ∈ Z
Корни
𝑛
𝑛
𝑛
1) √𝑎 𝑏 = √𝑎 ∙ √ 𝑏;
2)
𝑛
𝑎
𝑛
√𝑎
√𝑏 = 𝑛√𝑏;
𝑚
𝑛
𝑛
3) ( √𝑎) = √𝑎𝑚 ;
4)
𝑚
𝑛
𝑚𝑛
√ √ 𝑎 = √ 𝑎;
𝑛𝑘
𝑛
5) √𝑎𝑚𝑘 = √𝑎𝑚 ;
𝑛
𝑛
6) √𝑎𝑚 = 𝑎𝑚
;
Формулы суммы и разности:
1
𝑠𝑖𝑛2 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑐𝑡𝑔 𝛼 =
;
𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝛼+𝛽
sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin
2
𝛼−𝛽
∙ cos
;
2
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos
∙ cos
;
с𝑡𝑔2 𝛼 + 1 =
Свойства логарифма
1) 𝑎0 = 1
2) 𝑎1 = 𝑎
3) 𝑎 𝑥 ∙ 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦
𝑎𝑥
4) 𝑦 = 𝑎 𝑥−𝑦
𝑎
5) (𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥𝑦
6) (𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎 𝑥 ∙ 𝑏 𝑥
𝑎 𝑥 𝑎𝑥
7) ( ) = 𝑥
𝑏
𝑏
1
8) 𝑎−𝑥 = 𝑥
𝑎
𝑎 𝑥
𝑏 −𝑥
9) ( ) = ( )
𝑏
𝑎
(𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0):
1) alogab = b
2) log 𝑎 𝑎 = 1
3) log 𝑎 1 = 0
4) log 𝑎 (𝑏 ∙ 𝑐) = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐
𝑏
5) log 𝑎 = log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐
𝑐
6) log 𝑎 𝑏 𝑝 = 𝑝 ∙ log 𝑎 𝑏
1
7) log 𝑎𝑞 𝑏 = ∙ log 𝑎 𝑏,
𝑞
log 𝑐 𝑏
8) log 𝑎 𝑏 =
,
𝑐≠1
log 𝑐 𝑎
1
9) log 𝑎 𝑏 =
,
𝑏≠1
log 𝑏 𝑎
Квадратное уравнение:
ax2 + bx + c = 0
D = b2 − 4ac
−b ± √D
x1/2 =
2a
Разложение на множители:
ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2)
Формулы сокращенного
умножения
sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 sin
2
𝛼+𝛽
Формулы преобразования в
сумму:
Формулы производных:
Функци
я
Правила дифференцирования:
𝟏. (c∙f)′ = 𝒄 ∙ 𝒇,
𝟐. (u±𝒗)′ = 𝒖′ ± 𝒗′
𝟑. (u∙𝒗)′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒖𝒗′
𝒖 ′ 𝒖′ 𝒗 − 𝒖𝒗′
𝟒. ( ) =
𝒗
𝒗𝟐
1) 𝑐 ′ = 0
k
kx C
x p , p 1 x p 1
C
1 ′
1
𝑥
х
2) ( ) = − 2
𝑛 ′
𝑛−1
2) (𝑥 ) = 𝑛𝑥
3) (𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛 ∙ 𝑎
4) (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥
1
5) (log𝑎 𝑥)′ =
𝑥 𝑙𝑛𝑎
1
6) (ln𝑥)′ =
𝑥
7) (sin𝑥)′ = cos𝑥
8) (tg x)′ =
1
.
cos2 𝑥
9) (cos𝑥)′ = −sin𝑥
′
10) (√𝑥) =
( а + в )² = а² + 2ав + в²
( а - в )² = а² - 2ав + в²
а² - в² = ( а - в )( а + в)
2
𝛼−𝛽
∙ cos
;
2
2
𝛼−𝛽
𝛼+𝛽
сos 𝛼 − cos 𝛽 = −2 sin
∙ sin
2
2
Формулы понижения
степени
Степени
𝑥
𝑦
10) 𝑎𝑦 = √𝑎 𝑥
1
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
1
2√𝑥
.
11)( (kx b) )'=
n
nk(kx b) n1
12)
(sin(k𝑥+в))′ = 𝑘cos(k𝑥 + 𝑏)
13)(cos(k𝑥+в))′
= −𝑘sin(k𝑥 + 𝑏
Первообразная
p 1
√𝒙
𝟐𝒙√𝒙
1
x
2 x C
cos x
sin x C
sin x
cos x C
a , a 0,
ax
C
ln a
x
a 1
1
, x 0
x
1
cos 2 x
1
sin 2 x
𝟑
+C
ln x C
tgx C
ctgx C
ex C
kx b p 1 C
kx bp ,
p 1, k 0 k p 1
ex
1
,k 0
kx b
1
ln kx b C
k
ekx b , k 0 1 e kx b C
k
sin kx b ,
k 0
1
coskx b C
k
20
coskx b,
k 0
1
sin kx b C
k
Геометрия
Треугольник
Средней линией называется отрезок, соединяющий середины двух
сторон треугольника. Средняя линия параллельна третьей стороне.
𝑎
𝑚=
2
Теорема косинусов:
2
2
2
с = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾
Теорема синусов:
𝑎
sin 𝐴
=
𝑏
sin 𝐵
=
𝑐
sin 𝐶
Площадь треугольника:
1
1
𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝛾
𝑆 = 𝑎ℎ𝑎
𝑆 = √𝑝(𝑎 − 𝑝)(𝑏 − 𝑝)(𝑐 − 𝑝)
2
2
𝑎+𝑏+𝑐
𝑝=
2
Прямоугольный треугольник
1. Сумма острых углов: 𝛼 + 𝛽 = 900
2. Теорема Пифагора:
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 2
3. Радиус описанной (R) и вписанной
(r) окружности:
(mс – медиана, проведенная к
𝑎+𝑏−𝑐
𝑎𝑏
гипотенузе) 𝑟 =
=
2
Прямоугольник
Диагональ:
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑑2
Радиус описанной окружности:
𝑑
𝑅=
2
Периметр: 𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏)
Площадь: 𝑆 = 𝑎𝑏
Параллелограмм
Сумма углов:
𝛼 + 𝛽 = 1800
Соотношение сторон и диагоналей:
𝑑1 2 + 𝑑2 2 = 2(𝑎2 + 𝑏2 )
Периметр:: 𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏)
1
Площадь: 𝑆 = 𝑎ℎ = 𝑎𝑏 sin 𝛼 = 𝑑1 𝑑2 sin 𝜑
2
Трапеция
Средняя линия ( m ):
𝑚=
𝑎+𝑏+𝑐
Соотношения между сторонами и углами: sin 𝛼 =
cos 𝛼 =
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑐
tg 𝛼 =
𝑐𝑡𝑔𝛼 =
𝑏
𝑎
Правильный многоугольник
𝑐
Сумма внутренних углов правильного n-угольника:
Sn = 1800 • (n-2)
Площадь правильного n-угольника: Pn – периметр
1
: 𝑆 = 𝑃𝑟
2
Круг
Длина окружности и дуги:
Lокр= 2πr
𝐿окр ∙ 𝑛 о
𝐿дуги =
3600
Площадь круга и сектора:
Sкруга = π r2
𝑆 сект. =
, 𝑚IIb, mIIa
𝑎+𝑏
2
ℎ = 𝑚ℎ
Ромб
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Соотношения диагоналей и стороны: 𝑑1 2 +
𝑑2 2 = 4𝑎2
ℎ
Радиус вписанной окружности: 𝑟 = =
4. Площадь: 𝑆 = 𝑎𝑏
2
2
Площадь: 𝑆 =
𝑐
𝑅 = = 𝑚𝑐
2
1
𝑎+𝑏
𝑎 sin∝
2
=
2
𝑑1 𝑑2
4𝑎
1
Площадь: 𝑆 = 𝑎ℎ = 𝑎2 sin 𝛼 = 𝑑1 𝑑2
2
Призма:
Sбок=Росн·h, Sполн= Sбок + 2Sосн,
V = Sосн·h.
Прямоугольный параллелепипед, куб:
Sбок=Росн·h, Sполн= Sбок + 2Sосн,
V = abc.
Пирамида:
Sбок= cумма площадей боковых граней,
Sполн= Sбок + Sосн,
𝟏
V = Sосн·h.
𝟑
Правильная пирамида:
𝟏
Sбок = Росн·ha (ha-апофема), Sполн= Sбок + Sосн,
𝟐
𝟏
V = Sосн·h.
𝟑
𝑆круга ∙ 𝑛 0
3600
Цилиндр:
Sбок=2πR·h, Sполн= Sбок + 2Sосн, V = Sосн·h, Sосн= πR2.
Конус:
𝟏
Sбок= πRL, Sполн= Sбок + Sосн, V = Sосн·h, Sосн= πR2.
𝟑
Сфера, шар:
𝟒
V = 𝛑𝐑𝟑, S = 4πR2.
𝟑
21
22
Список литературы
1.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: учебник для для
общеобразоват. учреждений : базовый и углубленный уровень / Ш.А.Алимов,
Ю.М.Колягин, М. В. Ткачева [и др.]. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 463 с.
2.
Математика в школе : научно-теоретический и методический журнал. – Москва :
ООО «Школьная пресса». – 2015-2019.
3.
Бутузов, В. Ф. Геометрия. Рабочая тетрадь 11 класс : учебное пособие для
общеобразоват. Организаций : базовый и углубленный уровни /В. Ф. Бутузов, Ю. А.
Глазков, И. И. Юдина. – 11-е изд. – Москва : Просвещение, 2017. – 75 с. : ил.
4.
Геометрия : 10-11 кл.: учебник для общеобразоват. организаций : базовый и углубл.
уровни / Л. С.Атанасян [и др.]. – 4-е изд. – Москва: Просвещение, 2017. – 256 с.
5.
Глазков, Ю.А. Геометрия. Рабочая тетрадь. 10 класс : учебное пособие для
общеобразоват. Организаций : базовый и углубленный уровни / Ю. А. Глазков, И. И.
Юдина, В. Ф. Бутузов. – 11-е изд.. – Москва : Просвещение, 2017 . – 95 с. : ил.
6.
Зив, Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы.10 класс : учебное пособие для
общеобразоват. организаций : базовый и углубленный. – 16-е изд. – Москва :
Просвещение, 2017. – 157 с. : ил.
7.
Математика в школе : научно-теоретический и методический журнал. – Москва :
ООО «Школьная пресса». – 2015-2019.
23
Интернет - ресурсы
1.
http://reshuege.ru/ Все задачи открытого банка заданий ЕГЭ по математике 2013
года с образцами решений.
2.
http://mathege.ru Открытый банк заданий ЕГЭ по математике
3.
http://www.fipi.ru/ Федеральный институт педагогических измерений
4.
http://ege.edu.ru/ Официальный информационный портал ЕГЭ
5.
http://www.mathvaz.ru «Досье школьного учителя математики»
6.
https://infourok.ru/go.html?href=http%3A%2F%2Fcollege.ru%2Fmatematika%2FОткры
тый колледж: Математика
24
