МАТАН

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА
Цена 1780 руб.
(ВТОРОЙ СЕМЕСТР)
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
(МАДИ)
Кафедра высшей математики
Утверждаю
Зав. кафедрой профессор
___________ М.В. Яшина
«___» __________ 2022 г.
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА
(ВТОРОЙ СЕМЕСТР)
МОСКВА
МАДИ
2022
УДК 517.3
ББК 22.161.1
Р24
Авторы:
С.А. Изотова, Н.В. Деза, С.В. Киреева, Ю.С. Солиев
Р24
Расчетно-графические работы по математике для студентов первого курса (второй семестр): учебно-методическое
пособие / С.А. Изотова [и др.].– М.: МАДИ, 2022. – 234 с.
Пособие содержит расчетно-графические работы «Неопределенные интегралы» и «Определенные интегралы и функции
многих переменных». Предназначено студентам первого курса
(второй семестр) инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Краткое изложение теоретического материала сопровождается большим количеством примеров, приведенных с подробными решениями. Приведено много задач,
иллюстрирующих понятия высшей математики и ее методы, а
также много упражнений для самостоятельной работы.
УДК 517.3
ББК 22.161.1
 МАДИ, 2022
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное методическое пособие предназначено для самостоятельной работы студентов первого курса, изучающих интегральное
исчисление функций одной переменной, функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы.
В каждом разделе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Кроме задач алгоритмически-вычислительного характера содержится много
задач, иллюстрирующих теорию и способствующих более глубокому
ее усвоению. Многие задачи ставят целью выяснение смысла основных понятий анализа – первообразной, частной производной, полного дифференциала.
Курс интегрального исчисления функций одной переменной,
дифференциального и интегрального исчислений функций нескольких переменных будет способствовать развитию у студентов логического мышления, что является основой для изучения на старших курсах специальных инженерно-технических дисциплин. Усвоение на
первом курсе основ математического анализа поможет на старших
курсах овладеть принципами математического моделирования и проектирования сложных технических систем.
Решение задач представляет для первокурсников значительные трудности. Поэтому каждый раздел начинается с решения типовых примеров и задач. Это окажется полезным не только для студентов, но и для начинающих преподавателей.
Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения материала, является базой для подготовки к экзаменам по высшей математике на первом курсе. В методической части
работы разобраны задачи, которые имеются в заданиях.
Расчетно-графические работы рассчитаны как на бакалавров,
так и на специалистов инженерно- технических специальностей.
4
РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 2.1
«НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ»
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.
Определение неопределенного интеграла
и егоосновные свойства
1.1.Первообразная функция и неопределенный интеграл
Функция
называется первообразной для функции
;
интервале
, если для любого
∈
;
на
выполняется равенство
.
,
Например, первообразной для функции
3
ется функция
3
∈
, явля-
, так как
3
.
Очевидно, что первообразной для функции
будет
также любая функция
,
3
где –произвольная постоянная, поскольку
3
Если функция
на
;
мулой
является первообразной для функции
, то множество всех первообразных для
, где
задается фор-
– любое постоянное число.
Множество всех первообразных функций
ции
.
для функ-
называется неопределённым интегралом от функции
и обозначается
.
5
Таким образом, по определению
,
.
где
Функцию
называют подынтегральной функцией,
подынтегральным выражением,
–
– переменной интегрирования.
Запись
в интеграле указывает, что является переменной интегрирования.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции
называется интегрированием функции
.
Заметим, что если функция непрерывна на ; , то на этом
интервале она имеет первообразную, следовательно, и неопределенный интеграл.
Замечание. Если производная от элементарной функции всегда
является элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций.
1.2. Свойства неопределенного интеграла
1. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть, если
, то
,
.
2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой
функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
∙
где
– const.
∙
,
6
4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов. В случае двух слагаемых имеем:
.
5. Если
,
то
,
–произвольная функция, имеющая непрерывную произ-
где
водную.
То есть, формула для неопределенного интеграла остается
справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или функцией от нее, имеющей
непрерывную производную.
3
Например, из формулы
3
3
получаем
3
cos
cos
arctg
arctg
tg
tg
путем замены
на
. В частности,
cos
,
3
arctg
,
3
tg
.
3
1.3. Таблица основных интегралов
Из определения неопределенного интеграла и таблицы производных следует таблица основных интегралов.
1.
0∙
.
7
2.
1∙
.
3.
,
1
1.
В частности,
√
4.
5.
2√
,
ln| |
.
,
ln
6.
sin
8.
cos
10.
0,
cos
sin
cos
1.
.
sin
tg
.
.
ctg
.
11.
tg
ln|cos |
12.
ctg
ln|sin |
13.
.
.
7.
9.
1
1
arctg
.
.
,
1
arcctg
,
0.
8
В частности,
1
arctg
,
arcsin
√
arcctg
1
1
ln
2
14.
15.
,
0
0, | |
,
.
| |.
В частности,
arcsin
√1
16.
17.
18.
ln
√
sin
cos
.
ln tg
ln tg
,
2
4
sh
ch
.
20.
ch
sh
.
22.
ch
sh
th
cth
∈
.
.
2
19.
21.
0,
.
.
.
Замечание. Справедливость приведенных формул проверяется
непосредственно дифференцированием.
9
2.
Основные методы интегрирования
2.1. Интегрирование методом подведения под знак
дифференциала и методом замены переменной
Если
и функция
со своей производной ʹ
непрерывна вместе
, то
ʹ
.
Применяя это утверждение, можно введением вспомогательной
переменной некоторые интегралы свести к табличным.
Замечания. 1. Если в числителе дроби стоит производная от
знаменателя, то интеграл равен натуральному логарифму модуля
знаменателя:
|
|
,
ln| |
ln|
|
.
2. Если
,
то
1
. 1
Указание. Интегралы из заданий 1–4 находятся, используя
свойства интегралов, таблицу интегралов и подходящую подстановку, или, что одно и то же, подведением под знак дифференциала.
Пример 1 (Задания 1, 2). Найти интегралы
3
,
1
4
,
cos 2
,
sin 3
4
,
8
5
.
10
Решение. Воспользуемся равенством (1), получим:
ln|
3|
1
ln|1
4
4 |
3
1
4
;
cos 2
1
sin 2
2
;
4
1
cos 3
3
4
sin 3
1
8
5
;
1
2√10
1
√5 √8
√8
√5
∙
arctg
√5
;
arctg
√5
√8
.
√8
Пример 2 (Задания 3, 4). Найти
cos
sin
.
Решение. Решим сначала пример методом подведения под
знак дифференциала:
sin
.
5
Этот же интеграл найдем методом подстановки. Произведем
sin
подстановку sin
sin
cos
sin
sin
. Тогда
cos
|sin
, cos
5
sin
5
Пример 3 (Задания 3, 4). Найти
1
ln
.
|
.
11
Решение. Произведем подстановку ln
1
ln
ln
,
. Тогда
arctg
1
arctg ln
.
Пример 4 (Задания 3, 4). Найти
3
1
.
arctg
Решение. Заметим, что
3
1
3
. Поэтому
3
arctg
.
ln3
Пример 5 (Задания 3, 4). Найти
2
1
.
Решение.
2
2
так как 2
1
1
2
2
1
2
1
1
ln 2
2
2
1
1
2
1
ln|2
ln 2
1
1|
1
ln 2
1
,
ln 2
0 для любого , поэтому модуль под знаком лога-
рифма можно опустить.
Пример 6 (Задания 3, 4). Найти
1
√1
.
12
Решение.
1
√1
√1
√1
1
2
arcsin
1
1
√1
arcsin
√1
arcsin
.
2.2. Некоторые простейшие интегралы,
содержащие квадратный трехчлен
Рассмотрим интегралы вида
,
,
√
√
0 ,
0 .
Для нахождения интегралов и в квадратном трехчлене выделим полный квадрат и тогда получим интегралы, сводящиеся к табличным.
В каждом из интегралов и произведем тождественные преобразования подынтегральных функций так, чтобы в числителе получить дифференциал от квадратного трехчлена, т.е.
2
и тогда получим интегралы, сводящиеся к табличным.
Указание. Интегралы из заданий 5 и 6 можно найти методом
подведения под знак дифференциала, а именно: сначала тождественными преобразованиями получаем в числителе дифференциал
квадратного трехчлена, затем искомый интеграл представляем как
сумму интегралов. Тогда первое слагаемое берется по формуле № 4
или № 3, а второе слагаемое после дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата интегрируется по одной из формул №13
–№ 16.
13
Задания 5 и 6 можно также выполнить заменой переменной, дополнив квадратный трехчлен до полного квадрата
4
2
и сделав замену переменной
4
.
2
Пример 7 (Задание 5). Найти
1
.
3
2
1
Решение. Этот пример будем интегрировать подведением под
знак дифференциала. Сначала в числителе дроби получим производную квадратного трехчлена:
1
2
3
1
6
2
3
2
4
3
Так как 6
2
3
1
6
1
3
2
1
ln|3
6
1
2
4
9
1
2
1
6
3
2
2
1
.
1 , то
2
2
1
ln 3
6
2
1
6
1
1
1
4
9
1|
√
2
2
3
3
1
ln 3
6
(3
3
1
2
1
4
4
9
1
ln|3
6
2
1
4 1
∙ arctg
9 √
arctg
3
1|
√
1
3√2
√2
0 для любого , поэтому модуль под знаком лога-
рифма можно опустить).
14
Пример 8 (Задание 6). Найти
4
.
√2
Решение. Найдем интеграл заменой переменной:
4
4
1
,
2
√2
1
2
3
2
7
2
7
arcsin
2
7
2
1
arcsin
2
3
2
.
2.3. Интегрирование по частям
Пусть
и
– дифференцируемые функции, тогда
справедлива следующая формула интегрирования по частям
.
(2)
Интегрирование по частям применяется, когда подынтегральное выражение
можно так представить в виде
, что стоя-
щий в правой части равенства (2) интеграл окажется не сложнее исходного интеграла.
При этом за
берут такую функцию, которая после дифферен-
цирования станет проще, а за
– такое выражение, интеграл от ко-
торого сможем найти.
Как правило, метод интегрирования по частям применяется к
произведению алгебраической функции на трансцендентную.
Для нахождения интегралов
,
,
cos
,
15
sin
где
,
– многочлен, за
ch
,
принимают
sh
,
arccos
,
.
Для нахождения интегралов
ln
,
arcsin
где
– многочлен, за
log
,
,
arctg
,
arcctg
,
принимают трансцендентную функцию.
Таким образом, для применения формулы интегрирования по
частям подынтегральное выражение следует представить в виде
произведения одной функции на дифференциал другой функции.
Если под знаком интеграла стоит произведение тригонометрической
или показательной функции на алгебраическую, то за
принимают
алгебраическую функцию. Если же под знаком интеграла стоит произведение логарифмической или обратной тригонометрической
функции на алгебраическую, то за
принимают не алгебраическую
функцию.
При определении функции
по ее дифференциалу
, т.е.
, мы можем брать любую произвольную постоянную,
удобно считать эту постоянную равной нулю.
Указание. Задания 7–11 выполняются при помощи формулы (2)
интегрирования по частям.
Пример 9 (Задание 7). Найти
7
.
Решение. По формуле (2) имеем
,
7
7
7
ln 7
1
ln 7
7
,
,
7
ln 7
7
7
ln 7
7
ln 7
.
16
Пример 10 (Задание 8). Найти
5 cos 2
.
Решение. Tри раза интегрируем по частям:
5,
5 cos 2
5
cos 2
,
1
sin 2
2
3
2
3
1
2
sin 2
2
1
2
,
3
2
5 sin 2
1
2
3
4
5 sin 2
5 sin 2
1
2
5 sin 2
3
4
,
cos 2
cos 2
,
1
sin 2
2
3 1
sin 2
2 2
cos 2
3
4
1
cos 2
2
3
2
cos 2
cos 2
1
2
,
cos 2
,
cos 2
3
sin 2
4
3
1
2
2
3
10 sin 2
8
4
Пример 11 (Задание 9). Найти
sin
1
sin 2
2
cos 2
,
sin 2
,
1
2
3
cos 2
8
1 cos 2
.
sin 2
.
17
Решение. Здесь и в некоторых других случаях после двукратного применения формулы (2) интегрирования по частям, приходим
в правой части к выражению, содержащему исходный интеграл, т. е.
получаем уравнение с исходным интегралом в качестве неизвестного.
Обозначая интеграл через имеем
,
sin
sin
,
1
,
1
cos
1
cos
1
cos
cos
,
cos
1
1
,
sin
,
sin
sin
cos
sin
.
Получено уравнение относительно неизвестного интеграла :
1
cos
sin
.
Решая это уравнение, находим
1
1
2
Отсюда, обозначая
2
1
2
1
cos
sin
.
, находим
sin
cos
Замечание. В таких интегралах за
.
можно взять и тригономет-
рическую, и показательную функцию. Важно, что в первом случае при
второй замене за
также следует взять тригонометрическую функ-
цию, а во втором – также показательную.
18
Пример 12 (Задание 9). Найти
9
5
.
Решение. Этот интеграл тоже можно найти методом интегрирования по частям. Обозначая интеграл через ,имеем
1
5
9,
10
5
9
2√5
9
,
5
5
9
5
9
√5
9
5
9
9
√5
5
5
9
9
√5
,
9
9
√5
9
5
9
9
.
5
ln
Отсюда
2
Полагая
5
9
9
√5
9
5
ln
.
, находим
1
2
5
9
9
2√5
9
5
ln
.
Пример 13 (Задание 10). Найти
ln
.
Решение. Заметим, что, если подынтегральная функция содержит сомножителем логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию, то их следует принимать за , так как в результате
дифференцирования эти функции упрощаются.
19
Имеем
1
ln ,
ln
,
1
ln
ln
,
ln
1
.
Пример 14 (Задание 10). Найти
ln
.
Решение. Имеем
,
ln
ln
1
2 ln ∙
,
1
,
1
ln ,
1
ln
1
,
ln
1
,
2 ln ∙
ln
ln
2 ln
∙
1
2
2
∙
∙
1
2
ln
1
2
ln
.
Пример 15 (Задание 10). Найти
.
arctg
Решение. Имеем
arctg
,
2arctg
arctg
,
arctg
2
arctg
1
1
2
∙
1
1
2
arctg
,
20
1
1
1
2
1 arctg
arctg
1
1
2
1
2
1
1
2
arctg
1
arctg
arctg
1
arctg
2
1
ln 1
2
arctg
,
1
,
arctg
arctg
1
arctg ,
arctg
arctg
arctg
1
ln 1
2
arctg
.
Пример 16 (Задание 11). Найти
sin 5
.
Решение. Здесь, прежде чем интегрировать по частям, следует
понизить степень синуса по формуле sin
sin 5
∙
1
cos 10
2
1
2
,
cos 10
1
6
1
2
1
6
1
20
1 cos 2
:
2
1
2
2
,
1
sin 10
10
,
1
sin 10
10
1
5
sin 10
sin 10
1
10
sin 10
,
sin 10
,
,
1
cos 10
10
cos 10
21
1
20
1
6
sin 10
1
20
1
6
sin 10
1
10
1
cos 10
10
1
cos 10
100
1
10
cos 10
1
sin 10
1000
.
3. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов с действительными коэффициентами, т. е.
⋯
⋯
.
Если степень числителя меньше степени знаменателя
рациональная дробь называется правильной. Если
, то
, то рацио-
нальная дробь называется неправильной.
Если рациональная дробь
многочлена
–неправильная, то делением
следует предварительно выде-
на многочлен
лить в этой дроби целую часть, т.е. представить ее в виде
,
где
и
– многочлены степени
0и
соответ-
ственно.
Тогда
.
Интегрировать многочлен
мы умеем, как сумму степен-
ных функций. Наша задача – проинтегрировать правильную рациональную дробь
,
.
22
Многочлен
степени
имеет
корней повторяющихся и
неповторяющихся, среди которых могут быть комплексно-сопряженные, т. е.
и
. Учитывая это, многочлен
раскладыва-
ется на множители
∙…∙
∙…∙
,
∙
где множители первой степени порождены действительными корнями многочлена
, повторяющимися
раз, а множители второй
степени порождены парой комплексно-сопряженных корней многочлена
, повторяющихся
раз, т. е.
2
.
Не нарушая общности, можно считать, что старший коэффициент
равен 1. Тогда рациональная дробь
в многочлене
∙ …∙
∙…∙
раскладывается на сумму простейших дробей по следующему правилу:
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
.
3
23
тов
Для
нахождения
,
,…,
,…,
неизвестных
,…
,…,
буквенных
коэффициен-
в равенстве (3) можно воспользо-
ваться методом неопределенных коэффициентов, который состоит
в следующем.
В правой части равенства (3) приводим дроби к общему знаме. Получим тождество
нателю
,
где
– многочлен с неизвестными коэффициентами, полученный в
числителе правой части (3) после приведения ее к общему знаменателю. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, то есть
. Приравнивая коэф-
фициенты при одинаковых степенях
в обеих частях тождества, по-
лучим систему линейных уравнений, из которой и определим неиз,
вестные коэффициенты
,…,
,…,
,…
,…,
.
Для нахождения неизвестных буквенных коэффициентов применяют также метод частных значений аргумента: после получения
аргументу
тождества
придают конкретные значения
столько раз, сколько неизвестных коэффициентов. В качестве частных значений переменной удобнее всего выбирать корни знаменателя, так как почти все члены в правой части равенства
обращаются в нуль, что позволяет легко находить оставшиеся коэффициенты.
На практике часто приходится комбинировать оба метода.
Определив коэффициенты, интегрирование правильной рациональной дроби сведется к сумме интегралов от дробей вида
I.
II.
III.
;
,
2,
,
2
∈
;
0;
24
IV.
,
2,
∈ ,
0,
2
которые называются простейшими рациональными дробями I, II, III
и IV типов.
(первого типа) интегрируется по фор-
Простейшая дробь
второго типа) интегри-
муле 4 таблицы интегралов; дробь
руется по формуле 3.
Интегрирование простейшей дроби
(третьего типа)
рассмотрено в разделе 2.2 (пример 7). Интегрирование простейшей
дроби
(четвертого типа), после выделения в числи-
теле производной квадратного трехчлена и выделения полного квадрата в этом трехчлене, сводится к вычислению интегралов
1
и
1
где
2
,
.
Последний интеграл находим по частям, а именно обозначая
интеграл через
, имеем:
1
1
1
1
,
,
,
1
2
1
25
1
1
∙
1
2
1
1
1
1
∙
1
2
2
1
1
2
∙
2
1
3
1
2
1
2
.
1
Таким образом, мы получаем рекуррентное соотношение
2
3
,
2
2
1
1
которое позволяет свести нахождение
к нахождению
4
.
Применяя последовательно формулу (4) к интегралу
, сведем
его нахождение к интегралу
1
arctg
.
Указание. В заданиях 12–15 рассматриваются интегралы от рациональных дробей.
Пример 17 (Задания 12, 13). Найти
1
1
.
Решение. Под знаком интеграла – неправильная рациональная
дробь. Разделив числитель на знаменатель, получим, что заданная
рациональная дробь представляется как сумма многочлена и правильной рациональной дроби, т. е.
1
1
3
3
1
2
2
6
17
10
1
17
10
1
1
10
1
1
10
Тогда
1
1
1
4
2
3
2
6
3
10
10
17
.
1
.
26
Последний интеграл есть интеграл от правильной рациональной дроби, разложим эту дробь на сумму простейших дробей:
10
1
17
Отсюда 17
10
1
1
1
.
1
1
1
.
0и
1 (корни знаменателя):
0⟹
1,
1⟹
8.
Полагаем в этом равенстве
:
Приравниваем коэффициенты при
: 17
⟹
17
16.
Следовательно,
1
4
1
1
2
3
3
1
10
16
8
1
1
2
3
10
ln| |
4
3
Пример 18 (Задание 14). Найти
16ln|
1
8
1|
1
.
.
1
Решение. Дробь под знаком интеграла – правильная, ее разложение на сумму простейших дробей имеет вид:
1
.
1
1
1
Отсюда 1
При
1
0⟹
1
.
1.
Сравним коэффициенты при одинаковых степенях :
: 0
: 0
⟹
1;
: 0
С⟹С
⟹
2
2
: 0
⟹
0;
2
0.
Следовательно,
1
1
1
1
1
1;
27
1
ln
2
ln| |
1
1
2
.
1
Пример 19 (Задание 15). Найти
7
6
13
.
Решение. В числителе получим производную квадратного трехчлена
2
7
6
4
6
13
3
4
6
4
13
1
2
4
1
2
6
6
13
13
1
6
13
2
6
6
13
4
3
4
4 ,
где
3
|
4
3
Для нахождения интеграла
|
,
.
4
применим два раза соотношение
(4):
4
2∙3 3
2∙4∙ 3 1
3
2∙2 3
16 2 ∙ 4 ∙ 2 1
2∙4∙ 2
3 1 1
∙ arctg
16 8 2
2
3
arctg
256
2
8
2∙4∙ 3
1
1
4
4
16
4
16
4
16
4
3
128
4
4
.
28
Поэтому
7
6
13
4
4
3
arctg
2
256
3
arctg
64
3
2
6
13
4
13
1
6
4
13
3
128
4
16
4
1
6
13
3
32
2
4
1
6
4
3
3
3
arctg
64
3
4
4
3
3
2
4
3
32
3
6
.
13
4. Интегрирование тригонометрических функций
Для интегрирования произведений синусов и косинусов различных аргументов применяются формулы:
1
cos ∙ cos
cos
cos
,
2
1
cos
cos
,
sin ∙ sin
2
1
sin
sin
.
sin ∙ cos
2
Указание. Интегралы из задания 16 берутся при помощи этих
формул.
Пример 20 (Задание 16). Найти sin 5 ∙ cos 9
.
Решение.
sin 5 ∙ cos 9
1
2
sin 4
1
2
sin 14
sin 5
9
1
cos 4
8
sin 5
9
1
cos 14
28
.
29
Нахождение интегралов вида
cos
sin
следует разделить на два случая:
а) если хотя бы одно из чисел
или
– нечетное положитель-
ное целое число;
б) когда
и
– четные неотрицательные числа.
В случае а) отделяем от нечетной степени сомножитель первой
степени, подводим его под знак дифференциала и, выражая оставшуюся четную степень через функцию, которая стоит под знаком
дифференциала, приходим к табличному интегралу.
В случае б), когда
и
четные неотрицательные числа, пони-
жаем степени с помощью тригонометрических формул
1 cos 2
1 cos 2
cos
, sin
.
2
2
Для вычисления интегралов вида tg
, ctg
вторую степень tg
или ctg
1
tg
cos
и учитываем при этом, что
отделяем
, выражаем их по формулам
1
1, ctg
1,
sin
tg ,
ctg .
sin
cos
Указание. Интегралы из заданий 17 – 19 находятся по этим правилам.
Пример 21 (Задание 17). Найти
sin 2
cos 2
.
Решение.
sin 2
cos 2
1
2
sin 2 sin 2
cos 2
cos 2
cos 2
1
2
1
2
cos 2
1
cos 2
cos 2
1
2 cos 2
cos 2
1
cos 2
2
.
30
Пример 22 (Задание 17). Найти
cos 3
.
cos 3 cos 3
1
3
1
2sin 3
sin 3
Решение.
cos 3
1
3
1
1
sin3
3
2
sin 3
9
sin 3
sin 3
sin 3
1
sin 3
15
.
Пример 23 (Задание 18). Найти
sin 5 cos 5
.
Решение. Здесь обе функции sin 5 , cos 5 – в четных степенях.
Понижаем эти степени:
1
4
sin 5 cos 5
1
4
sin 10
1
16
1
1
cos 20
2 sin 5 cos 5
sin 5
cos 10
2
1
8
sin 10
sin 10 cos 10
1
80
sin 10
sin 10
1
sin 10
240
.
Пример 24 (Задание 19). Найти
ctg
3
.
1
16
1
sin 20
320
31
Решение.
ctg
ctg
3
ctg
3
ctg
3
1
3
ctg
4
3
3
ctg
ctg
3
1
3 sin
ctg
3
tg
Интегралы вида
3
1
ctg
ctg
3
3
ctg
4
3
1
3 sin
3
3
ctg
4
3
3
ctg
2
3
3ln sin
ctg
, где
– рациональ-
,
.
3
ная функция от , приводятся к интегрированию рациональной дроби
от с помощью подстановки
1
tg ,
1
или
1
ctg ,
.
1
Пример 25 (Задание 19). Найти
tg
tg tg
1
.
1
1
tg ,
Решение. Сделаем подстановку
1
2
.
Тогда
1
tg
tg tg
1
1
1
1
1
1
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
1
.
1
1
1
1
Откуда
1
Полагая
0,
1
1,
1
1, находим, что
1
1 .
1,
1
,
2
1
.
2
.
32
Окончательно получаем
1
1
ln|
2
1
1
1 |
ln| |
1
ln| |
1
ln|
2
√
1
ln
1
ln|
2
1|
ln
1|
tg
tg
1
.
Указание. Часть интегралов из задания 19 берутся с помощью
таких подстановок.
sin , cos
Интегралы вида
нальная функция от sin
ональной дроби от
sin , cos
, где
– рацио-
и cos , приводятся к интегрированию раци-
при помощи универсальной тригонометриче-
ской подстановки
sin
cos
2
tg ,
1
2
2sin cos
2sin cos
2
2
cos
2
sin
cos
2
;
2tg
sin
1
2
1
tg
cos
sin
1
tg
cos
sin
1
tg
,
1
1
.
Указание. Интегралы из задания 20 берутся при помощи универсальной тригонометрической подстановки.
Пример 26 (Задание 20). Найти
.
3 cos
2
Решение. Произведем универсальную подстановку
2
1
tg ,
2
1
1
, cos
.
Тогда
2
3 cos
2
1
3
2
2
3
3
2
2
33
2
5
2∙
1
2√5
ln
√5
1
√5
√5
Некоторые интегралы типа sin
или
cos
ln
tg
√5
tg
√5
.
, когда одно из чисел
отрицательное, можно брать по частям.
Пример 27. Найти
.
cos
Решение. Обозначим интеграл через . Тогда
1
sin
,
,
sin
cos
cos
cos
cos
,
tg
cos
sin
cos
sin
cos
cos
sin
cos
cos
1
sin
cos
cos
cos
ln tg
4
2
Решая полученное уравнение относительно , находим
sin
1
ln tg
.
cos
2cos
2
4 2
5. Интегрированиеиррациональных функций
5.1. Интегрирование простейших алгебраических
иррациональностей
Интегралы вида
,
,…,
,
.
34
где
,…,
есть рациональная функция от своих аргументов, а
–несократимые рациональные дроби, находятся с помощью подста, где
новки
НОК
,…,
(НОК–наименьшее общее
кратное).
Указание. Интегралы из задания 21 находят, применяя эту подстановку.
Пример 28 (Задание 21). Найти
, √
Решение. Так как √
,
подстановку
6
6
24
6
4
4 √
6,то производим
4
6
4
1
24 ∙ arctg
2
2
6
4
, НОК 2,3
. Тогда
6
√
.
4 √
√
4
4
6√
12arctg
√
2
.
5.2. Тригонометрические подстановки
Интегралы вида
,
,
,
,
,
с помощью тригонометрических подстановок приводятся к интегралам
sin , cos
значок
обозначает рациональную функцию от своих аргументов.
, которые мы рассмотрели в разделе 6. Здесь
В первом случае
tg ⟹
cos
или
ctg ⟹
sin
;
во втором случае
cos ⟹
в третьем случае
sin
или
sin ⟹
cos
;
35
cos
sin
или
⟹
.
sin
sin
cos
cos
Указание. Интегралы из задания 22 находятся с помощью одной
из описанных подстановок.
Пример 29 (Задание 22). Найти
⟹
4
.
2
4
cos
4tg
2
, получим
cos2
2tg ,
Решение. Произведя подстановку
2
4
cos
∙
1
1
sin
.
cos
4
4
Для перехода к старой переменной удобно воспользоваться
определением тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.
2tg ⟹ tg
Из нашей подстановки
можно считать, что в
2
прямоугольном треугольнике с острым углом ,
–противолежащий
катет, а 2 – прилежащий катет. Тогда гипотенуза по теореме Пифагора равна √4
. Из этого же треугольника sin есть отношение
противолежащего катета
к гипотенузе √4
sin
, т.е.
.
√4
Подставим вместо sin в окончательный результат дробь
тогда получим
.
4√4
4
Пример 30 (Задание 22). Найти
9
4
.
Решение. Произведем подстановку
3
cos ⟹
2
4
2
,
36
3
sin
2
. Искомый интеграл примет вид
9
4
3
16
1
sin
sin
cos
∙ sin
9
4 ∙ cos
sin
3
16 sin
3 √9 4
∙
16
3
16√9
cos sin
sin sin
3
sin
16
9
3
cos ⟹ cos
2
(Из подстановки
3
16
3
3
∙
16 √9 4
1
9
16
4
4
.
2
можно заключить, что в пря3
моугольном треугольнике с острым углом , 2 – прилежащий катет,
а 3– гипотенуза, √9
4
9 4 2
.)
3
– противолежащий катет и sin
Пример 31 (Задание 22). Найти
√
Решение. Полагая
.
5
,
sin
25
√
25
5 cos
sin2
1
5
25
1
5
1
arcsin
5
5
Пример 32 (Задание 22). Найти
9
1
3sin
9∙
1
5
arcsin
5
1
,
3 sin
cos
1
cos sin
cos sin
.
.
Решение. Произведем подстановку
9
, будем иметь
1
1
3
cos
2
3sin
sin
cos
:
37
1
3 cos
(Из подстановки
1
⟹ sin
3 sin
.
1
√9
1
можно заключить, что в пря3
моугольном треугольнике с острым углом , 1 – противолежащий катет, а 3 – гипотенуза,√9
9 2 1
.)
3
1– прилежащий катет, cos
5.3. Интегралы от дифференциальных биномов
, где
Выражение вида
,
– действительные
, , – рациональные числа, называется дифференциаль-
числа, a
ным биномом. Выдающийся русский математик П.Л.Чебышёв доказал, что интегралы
от дифференциальных биномов
выражаются через элементарные функции только в следующих трех
случаях:
1.
степень
0, то двучлен
– целое число. Если
возводится в
по формуле бинома Ньютона:
,
!
!
!
каждое слагаемое получившейся суммы умножается на
,
и далее
искомый интеграл находится как сумма интегралов от степенных
функций (пример 33).
0, то подстановка
Если
кратное знаменателей дробей
, где
– наименьшее общее
и , приводит интеграл к интегралу
от рациональной функции (пример 34).
2.
– целое число. Подстановка
натель дроби
, где – знаме-
, приводит интеграл к интегралу от рациональной
функции (пример 35).
3.
– целое число. Подстановка
, где –
знаменатель дроби , приводит искомый интеграл к интегралу от рациональной функции (пример 36).
38
Указание. Интегралы из заданий 23 – 25 относятся соответственно к первому, второму и третьему случаям.
Пример 33 (Задание 23). Найти
2
.
√
Решение. Запишем подынтегральное выражение в виде дифференциального бинома:
2
2,
Тогда
2
√
3
,
4
1,
1
,
2
тельное. Возводим двучлен 2
на
.
6. Число
– целое положи-
в шестую степень и умножаем
:
2
2
64
6∙5
∙2
1∙2
6∙2
240
160
192
6∙5
∙2
1∙2
6∙2
256
256
960
640
7
3
11
13
Пример 34 (Задание 23). Найти
√
3
6∙5∙4
∙2
1∙2∙3
60
12
16
48
17
4
19
.
.
√
Решение. Запишем подынтегральное выражение в виде дифференциального бинома:
√
3
√
3
.
39
3,
Тогда
2
,
3
1,
1
,
6
тельное. Подстановка
– целое отрица-
(6–наименьшее общее кратное знаме2
и
3
нателей дробей
7. Число
1
) сведет интеграл к интегралу от ра6
циональной функции:
,
3
6
,
,
6
3
6
5
3
6
3
6
3
3
3
3
3
√
18
6
3
5 √
6
3
3
3
.
3
√
Пример 35 (Задание 24). Найти
1
2√
.
√
Решение. Запишем подынтегральное выражение в виде дифференциального бинома:
1
2√
1
√
Тогда
1,
1
,
2
2,
1
,
4
2
.
1
и число
3
2
– целое. Этот интеграл рационализируется с помощью второй подстановки 1
2
. Отсюда
1
2
1
16
2
4
3
4
,
1
.
Тогда
1
3
1
3
7
3
4
1
∙
3
4
1
3
1
7
2
3
1
4
2
.
40
Пример 36 (Задание 25). Найти
.
√1
Решение. Подынтегральное выражение имеет вид:
1
Здесь
1,
1,
.
7,
4,
и
2– целое.
Этот интеграл приводится к интегралу от рациональной функции с помощью третьей подстановки: 1
1
1
, 1
1
. Тогда
1
∙2
4
,
1
1
,
.
Подставляя эту замену в интеграл, получим
1
2
1
1
2
1
6
1
1
2
1
∙
1
1
1 1
6
1 1
2
.
0, a
– рацио-
5.4. Подстановки Эйлера
Интегралы вида
,√
, где
нальная функция от своих аргументов, приводятся к интегралу от рациональной функции с помощью подстановок Эйлера.
0, то полагаем:
1. Первая подстановка Эйлера. Если
√
Перед корнем √ можно выбирать любой знак.
.
41
0, то полагаем:
2. Вторая подстановка Эйлера. Если
√ .
Перед корнем √ можно выбирать любой знак.
3. Третья подстановка Эйлера. Если квадратный трехчлен
и , то полагаем
имеет действительные корни
.
Указание. Интегралы из заданий 26 – 28 можно найти с помощью подстановок Эйлера.
Пример 37 (Задание 26). Найти
.
1
0, то полагаем
√
1
Решение. Так как здесь
1
;
тогда
2
1
1
,
;
1 2
1 2
1
1
1
.
1 2
1 2
Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, находим:
1
2
,
2
√
1
1
2 ∙ ln
2
1
1 1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
√
1
1
√
Пример 38 (Задание 27). Найти
1
1
ln
1
.
.
1 √1
Решение. Так как здесь
1
0, то полагаем
1;
1
тогда
1
2
1,
2
1
,
1
2
1
1
;
42
1
2
1
1
1
1
1
1
и
2
1
1
1 √1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
2arctg
1
1
√1
2arctg
1
1
2
.
Пример 39 (Задание 28). Найти
√4
.
Решение. Квадратный трехчлен 4
4. Полагаем√4
1
,
4
4
. Tогда
2
,
0,
имеет корни
4
,
4
.
4
Таким образом,
2
4
4
√4
2
4
1
2
2
2 t
4
√
√4
ln
ln 8
2
4
1
4 ∙ ln
4
√
2
√
2
1
4√4
4
2
2
.
43
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 2.1
1. Найти неопределенный интеграл.
1.
.
√
5
4.
2.
3
1
1
5
.
1
8
4
2√
4
4
. 6.
1
8.
1
3.
3
. 5.
√
7.
2
.
.
5
.
3
9.
.
1
1
.
√
10.
13.
16.
19.
22.
25.
28.
4
√5
2
3
4
√4
3
√1
.
1
2
3
9
.
14.
.
17.
.
20.
.
.
6
26.
29.
7
5
2
3
7
4
7
√
1
√
√
1
.
3
√4
23.
.
1
4
11.
√
12.
.
18.
.
21.
.
24.
.
27.
.
30.
.
4
5
15.
.
5
3
1
.
√
5
1
.
3
√4
√
3
.
16
1
3
4
3
2
3
.
1
4
.
.
44
2. Найти неопределенный интеграл.
1.
sin
4.
7.
10.
13.
16.
19.
22.
.
2.
√4
3
.
1
5.
.
8.
√5
cos 2
cos
sin
1
2
1
√3
cos
.
1
14.
.
17.
√2
5
5
4
7
. 20.
sin
1
cos
. 23.
.
5
12.
.
2
4
tg
2
1
4
√3
1
√
.
.
2
1
5
.
5
3
2
.
3
1
18.
2
2
2
.
1
24.
1
1
1
25.
5
2
.
26.
cos 2
cos
sin
28.
4
7
.
29.
.
√1
3
.
27.
30.
.
.
21.
.
.
1
5
. 15.
.
1
2cos
9.
6
4
1
6.
.
3
. 11.
1
3.
.
.
3
2
.
√3
1
4
1
4
.
45
3. Найти неопределенный интеграл.
1.
cos 2
sin 2
4.
sin
cos
7.
10.
13.
16.
19.
22.
25.
28.
2.
.
.
2
sin 2
tg
5.
.
11.
cos
2 sin
.
14.
.
17.
.
2
√2
√2
3
3
11
20.
5
.
12.
2sin 2
.
15.
.
.
3
cos
1
√2
ln
23.
.
26.
cos
sin
. 29.
sin 2
cos 2
1
1
.
5
3
5
.
18.
2
√
21.
7
. 24.
1
.
.
.
3
2
3
.
.
3
arctg
1
.
2
9.
.
.
2
√5
6.
1
√
3.
.
5
tg
cos
ctg
3
3
8.
1
.
3
√sin
.
1
1
cos
.
.
27.
tg
1
.
30.
2sin 2
1
1
.
46
4. Найти неопределенный интеграл.
1.
4.
7.
ln
1
3
√1
4
√3
10.
2.
.
.
5.
.
8.
1
1
ln
13.
16.
3
5
√
19.
22.
.
14.
.
17.
√5
25.
1
28.
.
6.
.
9.
.
3ln
√1
2
.
1
.
7
cos
sin
.
3
√ln
.
.
1
2
.
15.
cos 2
2 3 sin 2
18.
cos ∙ sin
21.
2 3
.
.
2
.
arctg
1
.
sin
30.
.
sin2
.
√1
27.
.
3sin
√1
24.
√2
ln
29.
1
. 12.
√1
26.
.
.
arccos
23.
.
1
sin 2
1 sin
20.
.
√
3
11.
.
3.
.
√4
√cos
4
cos ln
.
4
5
.
5. Найти неопределенный интеграл.
1.
4.
3
2
.
1
8
2
1
2.
.
5.
6
16
5
8
15
.
3.
.
6.
3
.
2
4
4
.
47
1
7.
.
1
3
10.
13.
16.
19.
22.
25.
28.
5
2
3
3
1
2
3
3
4
1
2
3
3
2
1
3
2
2
3
4
3
1
4
3
2
4
1
3
2
5
8.
5
4
.
11.
.
14.
.
17.
.
20.
.
23.
.
26.
.
29.
5
3
1
6
.
9.
.
12.
1
4
2
1
2
. 18.
1
3
3
.
1
1
4
3
. 24.
1
1
5
2
3
. 27.
1
1
4
2
21.
3
.
3
.
2
5
6
.
5
3
5
2
.
1
2
2
3
2
.
2
1
2
.
2
1
2
2
.
1
5
. 30.
1
5
3
. 15.
5
2
6
3
10
.
29
6. Найти неопределенный интеграл.
1.
4.
7.
10.
13.
5
√2
5
3
4
3
3
√5
3
√1
3
√
.
4
√5
2.
.
. 8.
2
2
3
11.
4
2
2
5.
.
14.
3
√21
4
12
9
4
2
√2
5
√3
3.
1
4
4
5
.
6.
.
9.
1
√2
5
3
3
√3
. 12.
1
.
15.
4
3
2
√2
3
1
.
2
√1
2
√5
.
3
1
12
9
3
1
√
4
√1
3
3
.
.
48
1
16.
4
√4
2
19.
1
3
22.
3
3
√2
1
1
5
25.
.
3
4
√3
3
28.
3
√4
4
2
5
3
.
2
√2
5
29.
3
√2
4
6
4
3
3
5
√7
2
2
√1
. 24.
13
1
√9
21.
5
7
√
6
18.
1
12
√9
23.
.
6
3
26.
4
3
√7
20.
2
√
2
17.
2
6
2
5
27.
3
√3
2
4
. 30.
3
√2
5
7. Найти неопределенный интеграл.
1.
3
5 cos
4.
6
1 cos 4
7.
6
1 sin
.
.
.
2.
2
1 cos 2
5.
2
3 cos
8.
6
5 sin 2
. 11.
7
5 sin
14.
2
5
.
2
. 3.
5
1 cos 3
6.
5
3 cos
. 9.
2
3 sin
. 12.
5
3 sin
15.
2
3 5
.
3 5
.
10.
3
2 sin 4
13.
3
2
16.
5
8
.
17.
3
4
19.
3
5
.
20.
5
4
.
21.
6
7 8
22.
4
1
.
23.
2
3
.
24.
3
2 6
.
2
.
.
18.
.
.
3
.
4
.
3
.
.
49
25.
4
5 5
.
26.
5
3 3
.
27.
3
8 6
.
28.
5
1 2
.
29.
2
1 7
.
30.
3
2 9
.
8. Найти неопределенный интеграл.
1.
cos
4.
cos 4
7.
sin
10.
sin 4
13.
.
.
.
.
.
2.
cos 2
5.
cos
8.
sin 2
11.
sin
.
17.
19.
.
20.
22.
.
3
28.
2
.
.
3.
cos 3
6.
cos
.
9.
sin 3
.
12.
sin
.
2
2
14.
16.
25.
.
.
.
3
29.
7
.
3
.
21.
.
24.
.
.
.
.
18.
.
26.
.
3
15.
.
23.
.
.
27.
6
.
30.
9
.
50
9. Найти неопределенный интеграл.
1.
sin 4
.
2.
sin 3
.
3.
sin 5
.
4.
cos 2
.
5.
sin 8
.
6.
sin 6
.
7.
sin 5
.
8.
sin 2
.
9.
cos 3
.
10.
sin
.
11.
sin
12.
sin 5
.
13.
sin 2
14.
sin 3
.
15.
sin 5
.
16.
2
3
.
17.
3
5
.
18.
6
3
.
19.
7
3
.
20.
5
3
.
21.
2
7
.
22.
5
23.
1
2
.
24.
7
1
.
25.
8
26.
5
3
.
27.
5
28.
2
29.
5
30.
3
.
2
.
3
.
9
.
.
1
.
6
.
5
10. Найти неопределенный интеграл.
1.
ln
4.
arctg 3
1
.
.
2.
arcsin
5.
arctg
5
.
3.
ln
6.
arctg 2
.
.
.
51
7.
1
ln
10.
ln
13.
16.
19.
22.
25.
28.
.
.
ln
3
.
ln
ln
.
arccos
11.
ln
14.
arccos
arccos 5
.
arccos 6
23.
.
.
4
9.
.
3
.
4
.
.
arcsin √
26.
.
√
29.
arcctg 2
ln
15.
.
arccos
arcsin 5
12.
1
ln
20.
.
2
ln
17.
.
arcsin
8.
.
.
.
ln
1
.
ln
18.
.
1
21.
ln
.
24.
arcsin 5
27.
arcsin
.
30.
arcctg
.
.
11. Найти неопределенный интеграл.
1.
sin 3
.
2.
4.
sin 2
.
5.
7.
10.
13.
cos 3
.
cos
arctg
√1
8.
.
.
sin 2
sin 5
sin
.
3.
.
6.
.
9.
.
cos 2
.
cos 7
cos
.
11.
cos 5
.
12.
ln
1
14.
cos 2
.
15.
cos 3
.
.
52
16.
sin 4
19.
sin 3
.
17.
cos 4
.
18.
.
20.
sin 2
.
21.
23.
sin 5
.
24.
ln
8
27.
ln tg
cos
.
30.
ln 2
22.
sin 4
25.
cos
sin
28.
.
.
26.
cos 6
29.
.
cos 4
.
sin
.
4
cos
sin 7
.
2
.
.
1
.
12. Найти неопределенный интеграл.
1.
2
4
3
5
. 2.
4.
5
3
3
2
. 5.
2
2
3
3
1
2
7.
3
10.
13.
2
22.
.
2
16.
19.
5
2
2
3
3
2
2
. 3.
4
5
5
6
. 6.
. 8.
5
3
2
4
. 11.
5
3
4
2
. 12.
14.
3
3
5
4
. 15.
3
5
1
4
3
5
5
6
. 17.
3
7
4
6
. 20.
3
5
2
. 23.
2
3
.
2
5
4
3
3
1
4
.
3
1
6
2
2
3
12
2
9.
18.
2
3
5
2
24.
4
2
.
.
4
12
2
3
.
12
5
7
5
6
3
. 21.
.
1
.
2
2
5
1
3
3
6
.
.
.
53
25.
28.
6
2
5
. 26.
4
1
3
. 29.
4
4
1
6
. 27.
3
3
5
4
2
2
. 30.
5
2
5
8
.
.
13. Найти неопределенный интеграл.
1.
3.
5.
7.
9.
11.
2
3
3
2
17.
19.
2.
4
.
5
4.
4
1
2
1
1
6.
.
3
.
2
3
1
10.
1
1
4
1
1
1
1
2
4
.
1
2
1
.
5
3
2
1
.
1
15
1
4
.
16.
5
1
1
.
18.
1
.
81
4
.
3
.
2
3
3
.
1
14.
20.
.
7
7
3
3
.
3
8
3
.
1
12.
2
7
2
1
.
1
8
8.
.
4
13.
15.
.
2
1
1
5
.
.
54
21.
5
3
2
4
6
1
2
1
23.
25.
27.
5
5
6
4
4
4
3
22.
.
24.
.
5
2
3
28.
.
1
.
2
5
3
2
.
2
26.
.
1
29.
.
6
6
1
2
13
3
4
.
2
3
30.
5
3
2
.
4
.
14. Найти неопределенный интеграл.
1.
2
.
1
4.
7.
6
10.
13.
5.
5
4
1
3
16.
19.
.
8
1
.
8.
.
11.
2
17.
2
6
. 20.
3.
.
4
5
.
8
2
1
3
.
5
2
8
12.
.
5
.
15.
18.
5
2
6.
. 9.
1
. 14.
.
8
3
2.
1
. 21.
7
3
2
3
5
3
2
1
7
3
.
3
2
.
3
3
1
2
4
1
2
3
1
2
2
3
3
.
5
3
2
.
.
.
.
55
22.
.
23.
.
26.
6
27
. 29.
8
25.
8
5
28.
5
1
1
4
3
3
3
3
5
1
1
2
. 24.
1
3
1
2
3 2
. 30.
3
2
15*. Найти неопределенный интеграл.
5
1.
3.
6
2
5
2
6
10
1
2
10
1
11.
17.
2
4
9.
15.
1
3
7.
13.
10
2
5.
4
2
.
5
3
2
5
.
4.
.
6.
.
8.
.
10.
.
12.
.
14.
4
6
5
4
.
18
5
.
1
2.
16.
18.
4
.
5
6
6
.
13
2
6
3
4
.
5
5
4
3
.
10
8
2
2
2
.
.
1
6
1
2
2
4
4
.
10
8
.
.
.
5
1
. 27.
7
3
2
.
.
56
19.
21.
23.
25.
27.
29.
3
2
.
5
2
6
10
4
2
10
1
4
5
6
4
5
1
2
2
1
20.
.
22.
.
24.
.
26.
.
28.
.
30.
2
.
2
3
4
.
8
1
2
5
4
8
.
.
5
.
4
8
6
10
.
.
16. Найти неопределенный интеграл.
1.
cos 6 ∙ cos
.
2.
sin 6 ∙ sin 9
3.
cos 3 ∙ cos
.
4.
cos 4 ∙ cos
5.
sin 2 ∙ sin 9
6.
cos 3 ∙ sin 8
.
7.
cos 7 ∙ cos
8.
sin 3 ∙ sin 7
.
9.
cos 3 ∙ sin 5
10.
cos 5 ∙ cos
11.
sin 2 ∙ cos 7
12.
cos 5 ∙ sin 7
13.
cos 6 ∙ sin
14.
sin 10 ∙ sin 3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
15.
cos 3 ∙ cos6
17.
sin ∙ sin 9
19.
sin 2 ∙ sin 7
21.
.
16.
sin 4 ∙ sin
18.
sin 3 ∙ sin 8
.
.
20.
sin 6 ∙ cos 3
.
sin 6 ∙ cos 7
.
22.
sin 6 ∙ sin
23.
sin 6 ∙ sin 3
.
24.
sin 8 ∙ sin 3
25.
cos 5 ∙ cos
.
26.
sin ∙ cos
27.
cos 5 ∙ sin
.
28.
sin ∙ sin 7
3
29.
sin 6 ∙ cos
30.
sin 4 ∙ sin
.
4
2
2
3
.
.
.
.
.
3
.
.
5
17. Найти неопределенный интеграл.
1.
cos
4.
cos 5
7.
sin
cos
10.
sin 2
cos 2
13.
sin
cos
.
.
.
.
.
2.
cos 4
.
5.
sin 2 ∙ cos 2
8.
cos 3
sin 3
.
11.
sin
∙ cos
14.
sin 4 ∙ cos 4
.
.
.
3.
cos ∙ sin
2
2
.
6.
cos ∙ sin
3
3
.
9.
cos
12.
cos
∙ sin
.
15.
cos
∙ sin
.
2
∙ sin
2
.
58
16.
cos 2
sin 2
19.
cos
sin 2
22.
sin 3
co s 3
25.
cos 2
28.
cos 2
sin 2
17.
sin 4
20.
sin 3 ∙ cos 3
23.
sin 2
.
26.
cos 5 ∙ sin 5
.
29.
sin
.
.
.
.
.
.
∙ cos
.
.
18.
cos
∙ sin
.
21.
cos
∙ sin
.
24.
cos
∙ sin
.
27.
cos ∙ sin
4
4
30.
cos
∙ sin
18. Найти неопределенный интеграл.
1.
sin 5
.
2.
cos 6
.
3.
sin 7
.
4.
sin 4
.
5.
cos
6.
sin 6
.
7.
sin 4
8.
cos 3
.
9.
sin
10.
cos
.
11.
cos
.
12.
cos 5
.
13.
sin
.
14.
cos 4
.
15.
sin 3
16.
sin
.
2
.
.
2
2
4
.
∙ cos
.
.
.
59
17.
cos
19.
sin 2 ∙ cos 2
21.
cos
23.
cos
25.
sin 3 ∙ cos 3
27.
29.
∙ sin
.
18.
cos
20.
cos 2 ∙ sin 2
.
22.
sin
.
24.
cos
.
26.
cos 2 ∙ sin 2
cos 3 ∙ sin 3
.
28.
sin
cos 2 ∙ sin 2
.
30.
cos
∙ sin
2
2
∙ sin
2
2
.
2
∙ sin
.
2
∙ cos
2
∙ sin
.
.
.
2
∙ cos
.
.
.
4
19. Найти неопределенный интеграл.
1.
1
1
tg
tg
4.
1
1
ctg
ctg
7.
10.
13.
.
.
tg
2
.
tg
1
4
4
ctg 2
ctg 2
2 tg
3tg
1
5.
tg
8.
.
tg
2.
11.
.
14.
1
ctg
.
3.
.
6.
ctg
1 ctg
. 9.
2tg
3
ctg
.
.
12.
15.
tg
.
4ctg
tg 2
1 tg 2
tg
.
.
1
2
3ctg
tg
tg
.
1
.
60
16.
17.
tg 6
.
20.
ctg 4
.
23.
tg 2
26.
tg 3
ctg 2
3
19.
ctg
22.
tg 3
25.
tg
28.
ctg 5
.
.
3
18.
ctg 6
.
21.
ctg 3
.
.
24.
tg 2
.
27.
ctg 4
.
3tg 2
4
.
tg
29.
.
.
.
tg
30.
.
.
20. Найти неопределенный интеграл.
1.
4.
7.
10.
13.
16.
19.
22.
.
4
cos
2
cos 4
3
cos
4
cos 2
3
cos 4
5
3 cos
3
cos 3
2
cos
2.
.
5.
.
8.
.
.
11.
.
14.
.
17.
.
20.
23.
3
2 sin
.
cos
2 sin
2cos
.
6.
.
2
2 sin
cos
3
2 sin
2 cos
1
sin
2
cos
3
cos
2
sin
cos
3.
.
9.
. 12.
15.
.
18.
.
21.
.
24.
5
cos 2
2
cos 3
5
cos 2
7
cos
2
cos 5
3
cos 2
2
cos 2
6
cos
.
.
.
.
.
.
.
.
61
25.
28.
.
4
cos
3
sin 2
26.
.
29.
4
sin 3
2
sin 3
.
27.
.
30.
3
sin 3
2
cos 4
.
.
21.Найти неопределенный интеграл.
1.
4.
7.
1
√
.
2.
.
√3
5.
√ 4
√
10.
√
1
1
13.
√
4
1
16.
19.
22.
25.
28.
.
3
8.
.
11.
.
14.
√
1
.
√
√ 1
√
1
√4
√ 1
1
√
2
.
√
4
20.
23.
.
1
17.
.
26.
.
29.
.
.
√
1
√
3.
6.
9.
.
.
1
2 √
1
.
3
√
√ 1
√
1
.
.
1
√
1
√ 5
15.
.
2√
√
.
1
.
4
.
√1
5
1
2 √1
4
2√
.
1
√
√
1
21.
√
1
.
√
.
4
√
2
.
27.
30.
.
7
18.
24.
.
1
4
12.
√
√
.
.
1
.
62
22. Найти неопределенный интеграл.
1.
4.
7.
10.
13.
16.
19.
22.
25.
28.
.
1
3
√
√1
9
4
2.
.
5.
.
8.
16
1
1
4
9
√3
16
4
√1
4
√3
2
11.
.
14.
.
17.
√5
.
.
26.
29.
.
6.
.
9.
12.
1
√4
9
√
√4
1
4
.
18.
9
.
21.
24.
.
27.
.
5
30.
.
.
√5
4
.
9
.
.
√2
15.
.
4
1
23.
.
3.
.
√16
20.
.
√1
√9
.
.
4
√1
√
.
.
4
.
16
√4
9
9
1
√4
3
.
.
.
63
23*. Найти неопределенный интеграл, используя подстановки
Чебышева.
1.
3.
√
5.
7.
4
√
√
5
.
9.
1
3
11.
1
2√
15.
9
17.
23.
.
1
√
7
.
√
14.
2
3
18.
.
20.
.
24.
.
.
9
√
√
4
3√
.
3
.
.
√
2
√
√
1
16 √
8
√
4
√
22.
.
√
√
16.
.
.
2√
2
12.
.
1
10.
.
1
19.
21.
8.
2
√
6.
.
√
3
√
4.
√
11
13.
2.
.
√
2
√
.
√
2
3 √
2√
4
3
√
.
.
15
√
.
.
.
.
64
25.
27.
3
√
3
.
√
√
.
3
29.
.
26.
3
.
28.
1
.
30.
7
√
.
√
24*. Найти неопределенный интеграл, используя подстановки
Чебышева.
1.
4
√
√
3.
1
5.
2
7.
2
2.
.
.
4.
√
2
6
√
6.
.
.
1
√
11.
4
17.
.
.
1
13.
15.
√
√
1
4
.
.
.
.
3
.
.
8.
√
9.
.
4
√
10.
1
.
12.
3
.
14.
√
1
16.
√
3
18.
.
.
3
.
65
19.
2
√
.
20.
3
21.
7
.
22.
4
23.
5
.
24.
2
25.
6
27.
.
7
√
.
3
29.
26.
.
.
.
.
5
√
.
28.
6
30.
4
.
.
25*. Найти неопределенный интеграл, используя подстановки
Чебышева.
1.
4.
7.
10.
13.
.
√1
√1
√1
1
.
5.
.
8.
√
.
√
√
2.
.
1
11.
14.
.
√2
1
1
√1
√
3.
.
1
6.
2
.
√
2
.
.
9.
12.
15.
.
√1
.
1
.
√1
√1
√
√1
.
.
66
√1
16.
√1
19.
√1
22.
1
25.
28.
.
17.
.
20.
.
23.
1
18.
.
21.
.
, √1
√1
√
1
√1
29.
.
√
.
1
.
√
1
27.
√
.
√
.
.
.
√1
24.
26.
√
1
√
5
.
√
√1
30.
.
.
√
26*. Найти неопределенный интеграл, используя подстановки
Эйлера.
1.
3.
5.
3
√
.
2.
.
4.
3
√
7.
.
1 √
9.
11.
3
√
6.
1
1 √
√4
.
1
1
.
10.
12.
4
√
√
8.
.
1
√
2
.
2
.
1 √
3
.
2
2
√
√
.
.
.
67
13.
15.
1
√9
17.
19.
21.
23.
25.
29.
14.
16.
.
1 √
4
2
√
4
1
2
2
3
√
2
2
9
1
3
√4
4
9
√
2
2
18.
.
20.
.
22.
24.
26.
.
1
√
.
.
√9
3
27.
.
4
4
√
.
28.
30.
.
.
1
2
√
2
1
√
2
.
2
√
2
1
√
4
5
.
.
3 √
4
3
3 √4
3
1
√9
4
√9
2
8
1
1
2
.
3
.
.
.
.
√
27*. Найти неопределенный интеграл, используя подстановки
Эйлера.
1.
3.
5.
1 √
1
1
√
1
1 √
.
2.
4.
.
1
.
6.
4
√
1 √1
1
√
1
.
2
.
.
68
7.
9.
11.
1
√
1
√
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
8.
.
10.
2
√1
2
13.
15.
.
√
√
5
4
1
.
16.
3
5
9
√
3
.
4
4
√
1
22.
.
1
24.
26.
.
.
20.
28.
30.
.
4
√1
3
.
√1
3
2
3
5
√
2
9
.
1
2
√2
2
√2
.
1
.
1 √1
1
√4
√
√
.
3
2
1
2
4
3
1
2
3
.
.
4
√3
.
2
√4
√9
.
1
1
18.
.
1
√1
14.
2
√1
√4
.
.
1
√4
12.
.
√1
1
.
4
.
2
.
69
28*. Найти неопределенный интеграл, используя подстановки
Эйлера.
1.
3.
5.
7.
6
√
3
√
11.
5
√4
7
1 √
2
2
3
4
√2
3
5
13.
15.
17.
2 √
4
√4
2
3 √4
19.
21.
4
√4
9.
.
√
3
.
4.
.
6.
.
8.
3
.
.
10.
.
14.
.
16.
.
5
.
12.
2
5 √
1
2.
18.
.
3
√
.
.
√2
√
2
3
√
5
6
2
1
√2
2
3
5
√3
2
.
.
.
14
.
4 √
√
6
2
3 √2
20.
22.
2
4
.
3
6 √
2
√4
1
.
6
.
.
.
70
23.
25.
27.
29.
2
3
.
4
√
2
√3
2
√
4
√3
1
5
.
24.
.
26.
.
28.
30.
√
8
1
8
7
6
√5
2
3
√2
√2
1
.
.
.
.
71
РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 2.2
«ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ»
1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1. Определение определенного интеграла
и его основные свойства
1.1.1. Понятие определенного интеграла
Пусть функция
отрезок
;
на
непрерывна на отрезке
;
. Разобьём
∆
. В каждом
произвольных частей точками
⋯
∆ ;
и положим
,
,
;
из частичных отрезков
вольную точку
∆ ;…;
1,2, … ,
;
,⋯,
;
возьмём произ-
(рис. 1.1):
;
,⋯,
.
,
В каждой из этих точек вычислим значение функции
,⋯,
. Составим сумму
∆
∆
∆
⋯
∆ .
Эта сумма называется интегральной суммой для функции
отрезке
;
Сумма
.
;
зависит от способа разбиения
1,2, … ,
бора точек
чим через
на
max ∆
внутри получающихся отрезков. Обозна-
наибольшую из длин отрезков разбиения. И
рассмотрим различные разбиения отрезка
такие, что max ∆
на части и от вы-
;
на отрезки
;
→ 0 . Очевидно, что при этом число отрезков
стремится к бесконечности. Для каждого разбиения, выбрав соответствующие значения
, можно составить интегральную сумму
∆ .
72
0
b
Рис. 1.1
Если
при
любых
разбиениях
max ∆
→ 0, и при любом выборе точек
;
отрезка
таких,
на отрезках
что
;
интегральная сумма
∆
стремится к одному и тому же пределу , то этот предел называют
определенным интегралом от функции
на отрезке
;
и обо-
значают
.
Таким образом, по определению
lim
∆ →
Число
∆ .
1.1
называется нижним пределом интегрирования, –верх-
ним пределом интегрирования. Отрезок
;
называется отрезком
интегрирования, –переменной интегрирования.
Если для функции
предел (1.1) существует, то функция
называется интегрируемой на отрезке
;
.
73
Если функция
непрерывна на отрезке
;
, то она ин-
тегрируема на этом отрезке.
Среди разрывных функций есть как интегрируемые, так и неинтегрируемые.
При введении понятия определенного интеграла
предполагали, что
мы
, то положим по определению
. Если
;
, то
если
0.
0 на отрезке
Если
;
, то с геометрической точки зречисленно равен площади кри-
ния определенный интеграл
волинейной трапеции, ограниченной графиком функции
прямыми
,
и осью
,
(рис. 1.2).
0
Рис. 1.2
1.1.2. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления
определенных интегралов
Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления
определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.
74
Если функция
непрерывна на отрезке
одна из первообразных функции
на отрезке
;
;
и
–
, то справед-
лива формула Ньютона-Лейбница:
|
.
Пример 1.1. Вычислить определенный интеграл
√
.
1
Решение. Так как одной из первообразных для функции
1
2
1
arctg , то применяя формулу
является функция
Ньютона-Лейбница, получим:
√
arctg |√
1
arctg√3
arctg 1
3
4
12
.
Пусть дан определенный интеграл
,
где функция
Если функция
1)
резке
;
непрерывна на отрезке
.
удовлетворяет условиям:
–непрерывная однозначная функция, заданная на от;
;
и имеющая на отрезке
непрерывную производную
;
2) множеством значений функции
отрезке
3)
;
является отрезок
;
;
при изменении
;
,
то
.
1.2
на
75
Формула (1.2) называется формулой замены переменной в
определенном интеграле.
Замечание 1. На практике замену переменной обычно производят с помощью монотонных непрерывно дифференцируемых функций.
При вычислении определённого интеграла по формуле (1.2) не
надо возвращаться к старой переменной, но нужно находить новые
пределы интегрирования.
Замечание 2. Часто вместо подстановки
обратную подстановку
применяют
. В этом случае пределы
,
деляются непосредственно из равенств
и
опре-
.
Пример 1.2. Вычислить определенный интеграл
1
√
3
1
Решение. Положим √
2
1 ,
2
1
, тогда
1,
ln
.
0, то
Если
.
0. Если
ln 5, то
2. Следовательно, ко-
изменяется на отрезке 0; ln 5 , новая переменная изменяется
гда
на отрезке
√
0; 2 . Функция
ln
1 , обратная к функции
1, является монотонной и непрерывной вместе со своей
2
производной
2
1
на отрезке 0; 2 . Поэтому
1
√
1 ∙ ∙2
1
4
3
2
2
4
1
2arctg
2
4
2
2 2
2
4
4
arctg
2
2
2arctg1
0
0
4
.
76
Пусть функции
водные на отрезке
и
;
имеют непрерывные произ-
. Тогда
|
.
1.3
Формула (1.3) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
Пример 1.3. Вычислить определенный интеграл
.
Решение. Функции
непрерывны и имеют непре-
и
рывные производные на отрезке 1; 2 . Применяя формулу (1.3), получим:
,
,
,
|
Пусть функция
|
2
.
непрерывна на отрезке
;
, симмет-
ричном относительно начала координат.
Если функция
2
Если функция
,то
четная, то есть
;
нечетная, то есть
0.
1.4
, то
1.5
Пример 1.4. Вычислить определенный интеграл
3
.
Решение. Так как подынтегральная функция является четной на
отрезке
1; 1 , то, в силу формулы (1.4), имеем:
77
3
2
3
2
3
7
3
20
1 0
.
7
7
Пример 1.5. Вычислить определенный интеграл
2
cos
3
.
Решение. Подынтегральная функция является нечетной на отрезке
2; 2 . Поэтому для вычисления интеграла воспользуемся
формулой (1.5). Получим:
cos
0.
3
1.1.3. Свойства определённого интеграла
Будем рассматривать только интегрируемые функции.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
∙
∙
,
где – const.
2. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.
Так, в случае двух слагаемых имеем:
.
3. Если на отрезке
творяют условию
;
, где
, то
, функции
и
удовле-
78
,
то есть функциональные неравенства можно интегрировать.
4. Если
и
– соответственно наименьшее и наибольшее
значения функции
на отрезке
;
,
, то
.
Если
0, то свойство 4 иллюстрируется геометрически
(рис. 1.3): площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху
, снизу –осью
графиком функции
, сбоку –прямыми
и
, заключена между площадями прямоугольников, основанием
которых является отрезок
;
, а высоты равны
и
.
0
Рис. 1.3
5. (теорема о среднем значении). Если функция
прерывна на отрезке
;
, то существует точка
справедливо равенство
∙
Величина
.
∈
;
нетакая, что
79
1
1.6
называется средним значением функции
на отрезке
;
.
Геометрический смысл среднего значения функции состоит в
том, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху гра0, снизу – осью
фиком функции
и
, сбоку – прямыми
, равна площади прямоугольника, имеющего то же основание,
что и трапеция, а высота прямоугольника равна ординате
которой точке , лежащей между
Если функция
точки
и
(рис. 1.4).
разрывна на отрезке
может не быть (рис. 1.5).
0
Рис. 1.4
0
Рис. 1.5
в не-
;
, то такой
80
6. Для любых трех чисел , , справедливо равенство
,
если эти три интеграла существуют.
Свойство 6 справедливо при любом расположении точек , , .
7. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла
от модуля подынтегральной функции:
|
где
|
,
.
Пример 1.6 (Задание 1). Найти среднее значение функции
√ на отрезке 0; 1 .
Решение. В силу формулы (1.6) имеем:
1
1
0
√
3
4
3√
4
3
.
4
1.1.4. Определенный интеграл с переменным верхним
пределом
Если функция
рывна в некоторой точке
интегрируема на отрезке
;
и непре-
этого отрезка, то функция
Ф
дифференцируема в этой точке и Ф
, то есть производная
от определённого интеграла с переменным верхним пределом равна
81
подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.
Таким образом,
.
Ф
1.7
Пример 1.7 (Задание 2). Найти точки экстремума и точки перегиба графика функции
Ф
1
Решение. Функция Ф
.
2
определена и непрерывно дифферен-
цируема на всей числовой прямой. Ее производная (см. формулу
(1.7))
Ф
равна нулю в точках
1
1 и
2
2. Так как при переходе через
1 производная меняет знак с « » на «
точку
минимума. При переходе через точку
»,то
1– точка
2 производная знак не ме-
2 экстремума нет.
няет. Следовательно, в точке
Найдем вторую производную:
Ф
2
2
3
2
10
1
8
Она обращается в нуль в точках
4
4
4
3
3
4
и
3
2
6
4
2 .
2 и меняет знак при пе4
и
3
реходе через эти точки. Значит, точки
2 являются абс-
циссами точек перегиба.
Для того чтобы вычислить значения функции в точке экстремума и в точках перегиба, найдем явное выражение для функции Ф
.
Получим
Ф
1
2
1
4
4
82
4
5
8
4
5
3
4
4
5
3
4
0
8
2
5
3
4
4
4
4 .
Тогда
Ф 1
Ф
5∙
4
3
4
Ф 2
3
2
4
5∙2
3
Таким образом, точка
4
;
3
112
, 2;
81
5
3
1
4
1;
4
4
17
,
12
4∙
4
3
4∙
4∙2
4∙2
17
12
4
3
112
,
81
4
.
3
– точка минимума, а точки
4
– точки перегиба графика функции Ф
3
.
1.2. Приложения определенного интеграла
1.2.1. Площадь плоской фигуры
1. Площадь в декартовых координатах. Пусть на отрезке ;
задана непрерывная функция
0. Тогда площадь криволинейной трапеции(см. рис. 1.2), ограниченной сверху графиком функи
, вычисции
, снизу – осью
, сбоку – прямыми
ляется по формуле:
.
Если функция
0 на отрезке
0.
;
(рис. 1.6), то
83
0
Рис. 1.6
В этом случае площадь соответствующей криволинейной трапеции может быть найдена по формуле:
.
Если функция
резке
;
конечное число раз меняет знак на от-
(рис. 1.7), то значение интеграла
дает алгебра-
ическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, лежащих выше и ниже оси
. Поэтому
|
0
+
_
|
.
+
Рис. 1.7
Если плоская фигура ограничена снизу графиком функции
, сверху–графиком функции
, а слева и справа–прямыми
,
(рис. 1.8), то ее площадь выражается формулой:
84
.
1.8
0
Рис. 1.8
В отдельных случаях левая граница
(или правая граница
) может выродиться в точку пересечения кривых
и
. В этих случаях величины и находятся как абсциссы точек пересечения указанных кривых.
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми
,
, осью
и графиком непрерывной функции
,
0
(рис. 1.9), то ее площадь находится по формуле:
.
0
Рис. 1.9
85
2. Площадь в полярных координатах. Вычислим площадь криволинейного сектора
, ограниченного лучами и
, выходящими
из точки , и некоторой непрерывной кривой . Выберем полярную
систему координат, полюсом которой является точка
– полярное уравнение кривой , а
Пусть
и
(рис. 1.10).
– углы между
полярной осью и лучами и
, соответственно. И пусть
рывная функция при
.
Тогда площадь сектора
–непре-
равна
1
2
.
1.9
∶
0
Рис. 1.10
Пример 1.8 (Задание 3). Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
4
2,
8
8 (рис. 1.11).
Решение. Решая систему уравнений
4
8
2,
8,
1,
5. Так как
найдем абсциссы точек пересечения кривых
8
8
4
2 при 1
5, то, применяя формулу (1.8),
получим:
86
8
8
2
2
3
12
2
2 ∙ 125
3
4
12
10
2
3
10
6 ∙ 25
2
2
3
10 ∙ 5
4
6
10
6
10
64
.
3
2
5; 7
0
1; 1
8
8
Рис. 1.11
Пример 1.9 (Задание 4). Вычислить площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой
cos 3 (рис. 1.12).
Решение. Функция
cos 3 является периодической с периодом
2
. Поэтому при изменении
3
от
до
радиус-вектор опи-
сывает три равных лепестка кривой. Определим значения , при которых
0. Для этого решим неравенство cos 3
0. Получим:
2
или
2
3
2
2
87
2
6
2
3
6
3
,
0, 1, 2, … .
Следовательно, один из лепестков получается при изменении
6
до
до . Остальные два лепестка получаются при изменении
и от
до
найдем площадь
1
2
cos 3
от
от
соответственно. Применяя формулу (1.9),
шестой части заданной фигуры:
1
2
1
1
4
cos 6
2
1
sin 6
6
Следовательно, площадь всей фигуры будет равна
24
6
4
.
.
6
0
1
Рис. 1.12
1.2.2. Объем тела вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции
0, отрезком ; оси
и прямыми
,
(рис.
1.13), выражается интегралом
88
.
1.10
0
Рис. 1.13
Объем тела, образованного вращением вокруг оси
фигуры,
ограниченной графиками непрерывных функций
и
,
где 0
, прямыми
и
, равен
.
1.11
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции
0, двумя параллельными прямыми
,
, где
, и осью
, то объем тела, образованного вращением
этой трапеции вокруг оси
, можно вычислить по формуле
.
1.12
Пример 1.10 (Задание 5). Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной прямой
.
2 и параболой
2
89
Решение. Тело образовано вращением заштрихованной фигуры (рис. 1.14) вокруг оси
. Чтобы найти абсциссы точек пересечения прямой и параболы, решим систему:
2,
.
2
1,
2. Следовательно, графики функций пересекаОтсюда
ются в точках 1; 1 и 2; 0 . На отрезке 1; 2
2
2.
Поэтому, используя формулу 1.11 , получим:
2
2
4
3
5
4
4
2
4
2
1
2
0
1
2
Рис. 1.14
5
.
90
Пример 1.11 (Задание 5). Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной параболами
и
8 .
Решение. Найдем ординаты точек пересечения парабол, решив
систему уравнений:
,
8 .
Получим
0,
4. На отрезке 0; 4 (рис. 1.15)
8
Поэтому, используя формулу (1.11) (
вания), получим:
.
– переменная интегриро-
8
2
64
5 ∙ 64
24
.
5
8
4
0
Рис. 1.15
2
91
1.2.3. Длина дуги кривой
1. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Пусть
плоская кривая задана уравнением
, причем функция
и
ее производная
непрерывны на отрезке ; . Тогда длину дуги
этой кривой, заключенной между вертикальными прямыми
и
,можно вычислить по формуле
1
.
1.13
2. Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями. Пусть кривая
задана параметрическими уравнениями:
,
,
,
где
и
–непрерывные функции с непрерывными производными, причем
0 на отрезке ; . В этом случае
.
1.14
3. Длина дуги кривой в полярных координатах. Пусть кривая
задана в полярных координатах уравнением
,
причем функция
на отрезке
. Тогда, имеем:
ную
,
;
имеет непрерывную производ-
.
1.15
Пример 1.12 (Задание 6).Вычислить длину дуги полукубической
(рис. 1.16), заключенной между точками 0; 0 и
параболы
1; 1 .
92
Решение. Функция
0. Так как данные
определена при
точки лежат в первой четверти, то
3
√ ,
2
. Отсюда
1
1
9
.
4
Следовательно,
1
4
9
9
4
∙ ∙ 1
9
4
1
√13
1
9
4
1 .
1
0
1
Рис. 1.16
Пример 1.13 (Задание 7). Найти длину дуги астроиды
cos ,
0
sin ,
2 .
93
Решение. Данная кривая симметрична относительно координатных осей (рис. 1.17), поэтому найдем длину четверти дуги, расположенной в первом квадранте 0
2
. Воспользуемся формулой
(1.14). Найдем производные:
3 cos
sin ,
3 sin
cos .
sin
9
Вычислим сумму:
9
cos
sin
cos
cos
sin
.
Найдем четвертую часть длины астроиды:
1
4
9
3
cos
sin
sin
sin
3
3
sin cos
sin
2
3
.
2
Тогда длина всей кривой
4∙
Она мало отличается от 2
вокруг астроиды.
3
2
6 .
, то есть от длины окружности, описанной
2
0
0
Рис. 1.17
94
Пример 1.14 (Задание 8). Вычислить длину кардиоиды
1
cos
,
0.
Решение. Функция является четной, следовательно, кривая
симметрична относительно полярной оси (рис. 1.18). Найдем длину
части кривой, для которой полярный угол изменяется от 0 до .
Воспользуемся формулой (1.15). Подкоренное выражение имеет вид:
sin
sin
1
2 cos
1
cos
2
2
cos
1
cos
cos
4
cos
Отсюда
4
cos
2
4 sin
2
Значит, длина всей кривой равна:
2
8 .
2
0
Рис. 1.18
2
4 .
2
.
95
1.2.4. Механические приложения определенного интеграла
С помощью определенного интеграла решаются и задачи, рассматриваемые в задании 9.
Пример 1.15 (Задание 9). Определить силу
давления воды на
8 м и высотой
вертикальный прямоугольный шлюз с основанием
6 м.
Решение. Из физики известно, что сила давления воды на площадку ∆ , находящуюся на глубине , определяется по формуле
∆
где
∆ ,
1000 кг⁄м – плотность воды, а
10 м⁄с – ускорение сво-
бодного падения. Тогда давление на бесконечно малую часть шлюза
, которая имеет ширину , бесконечно малую высоту
и располо-
жена на глубине , будет равно
.
Пусть
–сила давления воды на часть шлюза от глубины 0
до глубины . Тогда
0
0,
(искомая сила) и с учетом
свойств определенного интеграла можно записать
0
1
2
1
2
|
1
кг м
∙ 1000 ∙ 10 ∙ 8 ∙ 6
∙ ∙м
2
м с
1,44 ∙ 10 н.
1.3. Несобственные интегралы
Для существования определенного интеграла необходимо,
чтобы промежуток интегрирования был конечен, а подынтегральная
функция ограничена на нем. Интегралы с бесконечными пределами
интегрирования и интегралы от неограниченных функций называ-
96
ются несобственными. Различают несобственные интегралы первого и второго рода в зависимости от того, является ли промежуток
интегрирования бесконечным или подынтегральная функция является неограниченной.
1.3.1. Интегралы с бесконечными промежутками
интегрирования
Пусть функция
определена и непрерывна при всех зна-
чениях таких, что
∞. Тогда интеграл
имеет смысл при любом
.
Если существует конечный предел
lim
,
→
то его называют несобственным интегралом первого рода от функции
по промежутку
; ∞ и обозначают
.
Таким образом, по определению
lim
→
.
В этом случае говорят, что несобственный интеграл
1.16
схо-
дится. Если же предел, стоящий в правой части равенства (1.16), не
существует или равен бесконечности, то говорят, что несобственный
интеграл
расходится.
97
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
lim
.
→
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется равенством
lim
lim
→
где
→
,
– произвольное число. При этом интеграл в левой части равен-
ства сходится только тогда, когда сходится каждый из несобственных
интегралов, стоящих справа.
Свойства и методы вычисления сходящихся несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования аналогичны соответствующим свойствам и методам вычисления определенных ин0 непрерывна на проме-
тегралов. В частности, если функция
жутке
; ∞ и интеграл
теграл
сходится, то несобственный ин-
выражает площадь неограниченной (бесконеч-
ной) области, заключенной между графиком функции
мой
и осью
(рис. 1.19).
0
Рис. 1.19
, пря-
98
Пример 1.16 (Задание 10). Вычислить несобственный интеграл
1
или установить его расходимость.
Решение. По определению несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом имеем:
lim
1
lim arctg
→
lim arctg |
1
→
→
arctg 1
lim arctg
→
4
2
4
4
.
Следовательно, данный интеграл сходится.
Пример 1.17 (Задание 10). Вычислить несобственный интеграл
sin
или установить его расходимость.
Решение. По определению несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом имеем:
sin
sin
lim
→
lim
→
cos
2
cos
lim
→
cos |
lim cos .
→
Так как lim cos не существует, то данный несобственный интеграл
→
расходится.
99
Пример 1.18 (Задание 10). Вычислить несобственный интеграл
1
или установить его расходимость.
Решение. По определению несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом имеем:
1
1
∙ lim ln
2 →
lim
1
∙ lim
2 →
1
→
1
1
1
∙ lim ln
2 →
1 |
1
ln 2
∞.
Следовательно, данный интеграл расходится.
Пример 1.19 (Задание 10). Установить при каких значениях
интеграл
сходится и при каких расходится.
Решение. Рассмотрим два случая:
1, тогда
а) Пусть
lim ln |
lim
→
б) Пусть
lim
→
→
lim ln
ln 1
→
∞.
1, тогда
lim
lim
1
→
1
1
∞,
,
→
1,
1.
1
1
1
100
Таким образом, интеграл
1 и расходится при
сходится при
1.
1.3.2. Интегралы от неограниченных функций
Пусть функция
определена на промежутке
;
грируема на любом отрезке
полуокрестности точки
,
;
, инте-
0 и не ограничена в левой
(рис. 1.20). Если существует конечный пре-
дел
lim
,
→
то его называют несобственным интегралом второго рода от функции
по промежутку
;
и обозначают
.
Таким образом, по определению
lim
→
0
Рис. 1.20
. 1.17
101
Если предел в правой части равенства (1.17) существует, то несобственный интеграл
называется сходящимся. Если же
предел в правой части равенства (1.17) не существует или равен бесконечности, то интеграл
называется расходящимся.
Аналогично, если подынтегральная функция
не огра-
ничена в правой полуокрестности точки , то полагают
lim
.
→
Если функция
∈
точки
;
не ограничена в любой окрестности
и непрерывна при
, то несоб-
и
ственный интеграл второго рода определяется равенством:
lim
где
и
,
lim
→
→
меняются независимо друг от друга. В этом случае несоб-
ственный интеграл называется сходящимся, если оба интеграла в
правой части равенства сходятся.
Пример 1.20 (Задание 10). Вычислить несобственный интеграл
√1
или установить его расходимость.
Решение. Данный интеграл является несобственным, поскольку
1
1
подынтегральная функция
lim
1и
не определена в точке
∞. По определению несобственного интеграла от не-
→
ограниченной функции имеем:
√1
lim
→
lim
√1
1
→
2 lim √1
→
2 lim
→
1
1
1
2.
102
Следовательно, данный несобственный интеграл сходится и равен 2.
Пример 1.21 (Задание 10). Вычислить несобственный интеграл
,
0
или установить его расходимость.
1
Решение: Подынтегральная функция
не ограничена в
0. Поэтому данный интеграл явля-
правой полуокрестности точки
ется несобственным. Рассмотрим два случая.
а) Пусть
1. По определению несобственного интеграла от
неограниченной функции имеем:
lim
lim
→
1
→
1
1
б) Пусть
lim
→
lim
,
∞,
→
1
1,
1.
1. Тогда
lim ln |
→
lim ln 1
→
ln
lim ln
→
Таким образом, интеграл
сходится при 0
1
1 и расходится при
1.
∞.
103
2. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2.1. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных
2.1.1. Определение функции двух переменных
Если каждой паре значений независимых переменных
области их изменения
и
из
соответствует по некоторому закону одно
определенное значение переменной , то переменная
функцией двух независимых переменных
стве , и обозначается
;
называется
и , заданной на множе-
.
Множество тех пар значений
;
, для которых во множестве
действительных чисел определено соответствующее значение функции , называется областью определения функции , а множество
всех значений, принимаемых
в области определения, называется
областью значений функции
(обозначаются, соответственно,
.
и
Областью определения функции двух переменных может быть
вся координатная плоскость
или какая-то ее часть. Функции, за-
данные аналитически, то есть какой-нибудь формулой, будем считать заданными всюду, где эта формула имеет смысл. Чтобы найти
область определения функции двух переменных, надо найти области
определения всех входящих в нее функций. Например, подкоренное
выражение для корня четной степени не должно быть отрицательным, знаменатель дроби – не равен нулю и т.д. Таким образом, получим систему, состоящую из неравенств типа
0, а также выражений вида
;
дают некоторые области в плоскости
;
0 или
;
0. Указанные неравенства за, которые и следует изобра-
зить. При этом если граница области не принадлежит самой области
(область задана строгим неравенством), то она изображается пунктиром. Пересечение указанных областей после выбрасывании линий
;
0 и будет искомой областью определения.
104
Пример 2.1 (Задание 11). Найти область определения функции
ln
Решение. Функция
1
.
представляет сумму трех функций: квад-
ратного корня, логарифмической функции и дроби. Поэтому, найдя
область определения каждой из этих функций, получим систему:
0,
1 0,
0
Изобразив на плоскости
,
1,
или
0.
границы областей – параболу
1 (пунктирной линией), за-
(сплошной линией) и прямую
штриховав сами области, соответствующие записанным неравен0 (что скажется лишь в удалении точки
ствам, и удалив линию
0; 0 ), получим искомую область. То есть областью определения
, лежащих ниже
функции является множество точек плоскости
1, не включая точки самой прямой, и выше пара-
прямой
с исключенной точкой 0; 0 .
болы
2.1.2. Частные производные
;
Пусть функция
;
∈
ной
. Дадим аргументу
задана в некоторой области
приращение ∆ , а значение перемен-
менять не будем, то есть перейдем на плоскости
;
∆ ;
к точке
∆ ;
, причем ∆
также принадлежит области
;
и точка
от точки
таково, что точка
. При этом значение функции
также изменится. Назовем это изменение частным прираще;
нием функции
∆
;
в точке
;
∆ ;
по переменной :
;
.
Аналогично можно составить частное приращение по переменной :
∆
;
;
∆
;
.
105
Если существует конечный предел
∆
;
∆ ;
lim
lim
∆ →
∆ →
∆
∆
lim
∆
;
∆
∆ →
;
lim
;
∆
∆
∆ →
;
,
;
то он называется частной производной функции
точке
;
по переменной
в
(по переменной ) и обозначается од-
ним из символов:
,
,
,
,
Частную производную по
,
.
;
(по ) в точке
|
,
;
значают символом
,
;
,
обычно обо-
.
Частная производная функции двух переменных равна обычной
производной функции одной переменной, полученной при условии,
что вторая независимая переменная сохраняет постоянное значение. Поэтому правила вычисления частных производных остаются
теми же, что и для функций одной переменной, и только надо помнить, по какой переменной ищется производная.
Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная
;
;
есть угловой коэффициент касательной к ли;
нии пересечения поверхности
точке
;
;
;
:
;
где
угол между осью
;
в точке
Аналогично,
и плоскости
;
и касательной, проведенной к кривой
;
;
tg ,
;
tg .
(рис. 2.1).
в
106
Рис. 2.1
Пример 2.2. Найти частные производные функции
.
ln
Решение. Чтобы найти частную производную по , считаем
постоянной величиной:
ln ∙
1
∙
ln
Аналогично, дифференцируя по , считаем
∙ ln
∙
1
∙
1
∙
1
.
постоянной величиной:
1
.
Пример 2.3.Найти частные производные функции
.
Решение. При постоянном
имеем степенную функцию от .
Поэтому
.
При фиксированном
функция является показательной относи-
тельно . Следовательно,
ln .
107
2.1.3. Полный дифференциал
;
Пусть функция
;
точки
определена в некоторой окрестности
. Рассмотрим полное приращение функции
;
в
:
точке
∆
;
Функция
;
∆ ;
∆
;
.
называется дифференцируемой в точке
, если ее полное приращение в этой точке можно представить
в виде
∙∆
∆
где
∆ ;∆
и
∙∆
∆ ;∆
∙∆
∙∆ ,
– бесконечно малые функции при
∆ → 0, ∆ → 0. Главная, линейная относительно приращений ∆
∙∆
∆ частьполного приращения функции
∙ ∆ называется
полным дифференциалом этой функции в точке
ется символом
и
;
и обознача-
:
∙∆
∙∆ .
, то
1∙∆
∆ . Аналогично, полагая
, получим
Если положить
2.1
0∙∆
∆ , то есть
∆ . Значит, диф-
ференциалы независимых переменных совпадают с приращениями
этих переменных. Поэтому выражение (2.1) полного дифференциала
принимает вид
∙
∙
.
2.2
Отметим, что для функции
одной переменной суще-
ствование конечной производной
и представление приращения
функции в виде ∆
∆
∙ ∆ являются равнозначными утвер-
ждениями, и любое из них можно взять за определение дифференцируемости функции.
Чтобы функция
;
двух переменных была дифферен-
цируема в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные
108
производные, и достаточно, чтобы она имела в ней непрерывные
частные производные.
Арифметические свойства и правила вычисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для функции двух и
большего числа переменных.
Из определения дифференциала функции двух переменных
следует, что при достаточно малых по абсолютной величине ∆ и ∆
имеет место приближенное равенство
∆
или
∆ ;
∆
;
;
∆
;
∆ .
Откуда получаем приближенную формулу
∆ ;
∆
;
;
∆
;
∆ ,
2.3
которая верна с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем ∆ и ∆ .
Пример 2.4. Найти полный дифференциал функции
.
Решение. Найдем частные производные функции, используя
правило дифференцирования произведения:
∙
∙
∙1
1 ,
∙
∙
∙1
1 .
Подставим найденные выражения для
и
в формулу (2.2),
получим
1
1
1
1
.
109
Пример 2.5. Найти полный дифференциал и полное приращение функции
1; 2 при ∆
в точке
0,2, ∆
0,1.
Решение. Имеем
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆ .
Подставляя в найденные выражения для ∆ и
∆ ∆ ,
координаты точки
и данные значения приращений аргументов, получим
∆ |
2 ∙ 0,2
|
1 ∙
0,1
0,2 ∙
0,1
2 ∙ 0,2
1 ∙
0,1
0,5.
0,48,
Пример 2.6 (Задание 12). Вычислить приближенно
ln
1,03
0,98
1 .
ln √
Решение. Рассмотрим функцию
ln
где
1,
1,03
0,98
1
ln √
1, ∆
0,03, ∆
0,02.
Вычислим значение функции
|
ln √1
;
√1
1 . Тогда
∆
∆
1 ,
в точке 1; 1 :
1
ln 1
Найдем частные производные функции
0.
и вычислим их значе-
ния в точке 1; 1 :
1
1
1 3
∙
√
1
1
1 4
∙
√
|
;
1
,
3
1
3√
1
√
1
4
1
√
;
1
.
4
,
,
110
Воспользуемся формулой (2.3), получим:
ln
0,98
1,03
1
0
1
∙ 0,03
3
1
∙
4
0,02
0,005.
2.1.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть
; ;
поверхность
в
;
0. Точка
пространстве
;
задана
уравнением
принадлежит этой поверхности,
если для ее координат выполняется равенство
;
0.
;
Касательной плоскостью к поверхности в точке
называется
плоскость, в которой находятся касательные, проведенные в точке
ко всем возможным кривым, лежащим на поверхности и проходя.Уравнение касательной плоскости имеет вид
щим через точку
;
;
;
;
;
0.
;
2.4
Прямая, перпендикулярная касательной плоскости в точке касания, называется нормалью к поверхности в этой точке.
Зная уравнение касательной плоскости к поверхности
; ;
;
0 в точке
;
и используя условие перпендику-
лярности прямой и плоскости, можно написать канонические уравнения нормали к поверхности в точке
;
;
;
Предполагается,
что
,
,
;
;
;
:
;
хотя
;
;
;
;
бы
.
;
одно
из
2.5
чисел
отлично от 0.
Пример 2.7 (Задание 13). Написать уравнения касательной
плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
6 в точке 1; 2; 1 .
Решение. Здесь
; ;
6,
111
3
1; 2; 1
,
1,
3
,
3
,
1; 2; 1
11,
1; 2; 1
5.
Подставляя найденные значения и координаты данной точки в
уравнение (2.4) касательной плоскости, получим:
1∙
1
11 ∙
2
5∙
1
0
или
11
5
18
0.
Используя формулу (2.5), напишем уравнения нормали:
2
1
1
11
1
5
.
2.1.5. Производная по направлению
Рассмотрим в области
; ;
. Проведем из точки
; ;
функцию
и точку
вектор , направляющие косинусы ко-
торого равны cos , cos , cos . На векторе , на расстоянии ∆ от его
начала, отметим точку
∆
∆ ;
∆ ;
∆
∆
Обозначим приращение функции
при переходе от точки
∆
∆ . Тогда
∆
.
; ;
, возникающее
в направлении вектора , через
к точке
или
∆
∆ ;
∆ ;
∆
; ;
Если существует конечный предел отношения
то он называется производной функции
; ;
по направлению вектора и обозначается
∆
.
∆→ ∆
lim
.
∆
∆
; ;
при ∆ → 0,
в точке
, то есть
112
Производная по направлению вектора характеризует скорость
изменения функции
то функция
в точке
возрастает в направлении ; если
в направлении
0, то функция
представляет собой
убывает. Кроме того,
мгновенную скорость изменения функции
: чем больше
0,
по этому направлению. Если
в точке
в направлении
, тем быстрее изменяется функция . В этом со-
стоит физический смысл производной по направлению.
Если
; ;
; ;
функция
, то в точке
дифференцируема
в
существует производная функции
точке
по лю-
бому направлению , причем
cos
cos
cos ,
2.6
где cos , cos , cos – направляющие косинусы вектора .
Замечание. Понятие производной по направлению является
обобщением понятия частных производных. Частные производные
,
и
можно рассматривать как производные функции
по
, то
0,
направлениям координатных осей. Например, если
2
,
2
и из формулы (2.6) получаем:
∙ cos 0
∙ cos
2
∙ cos
2
.
Пример 2.8 (Задание 14).Найти производную функции
точке
5; 1; 2 по направлению к точке
7;
1; 3 .
Решение. Найдем частные производные функции
,
и вычислим их значения в точке
,
:
в
:
113
2,
10,
2;
Так как координаты вектора
щие косинусы будут равны:
2
cos
2
2
1
5.
2
,
3
2; 1 , то его направляю2
,
3
cos
cos
1
.
3
Следовательно, по формуле (2.6) получаем:
2
2
1
11
2∙
10 ∙
5∙
.
3
3
3
3
0, то в данном направлении функция
Так как
убывает.
2.1.6. Градиент
; ;
Градиентом функции
в точке
; ;
называ-
ется вектор, координатами которого являются значения частных производных функции
в этой точке, то есть
;
;
2.7
или
.
Градиент функции указывает направление наибыстрейшего
возрастания функции. Причем наибольшая скорость изменения
функции
в точке
равна
.
наиб
В этом состоит физический смысл градиента.
Пример 2.9 (Задание 15). Найти угол между градиентами функции
arcsin
в точках
1; 1 и
3; 4 .
Решение. Найдем частные производные функции :
114
arcsin
∙
2
∙
∙
∙
,
2
1
arcsin
∙
0∙
∙1
1
∙
2
.
2
Вычислим их значения в точках и :
1
1
,
,
2√3
2√3
2
7√10
3
,
14√10
.
По формуле (2.7) имеем:
1
2√3
2
;
1
2√3
,
3
.
7√10
14√10
между этими градиентами равен
Косинус угла
√
cos
√
∙
√
;
∙
√
√
∙
7√2
.
10
√
√
√
Следовательно,
7√2
8° .
10
Пример 2.10 (Задание 15). Найти наибольшую скорость возрасarccoc
тания функции
в точке
3; 1; 2 .
Решение. Найдем частные производные функции :
115
1∙
∙
2
1
2
,
,
2 .
:
Вычислим их значения в точке
3,
3,
0.
По формуле (2.7) имеем:
3;
3; 0 .
Тогда наибольшая скорость возрастания функции равна:
3
наиб
3
0
√18
3√2.
2.1.7. Нахождение функции двух переменных
по ееполному дифференциалу
Выражение
;
;
будет полным дифференциа;
лом некоторой функции двух переменных
только в том слу-
чае, если выполняется равенство
2.8
Так как полный дифференциал функции
∙
то, при выполнении условия (2.8),
∙
,
;
имеет вид
116
;
,
;
;
Следовательно, функция
;
;
.
, для которой выражение
является полным дифференциалом, может
быть найдена в виде
;
Ф
;
,
2.9
где неопределенный интеграл берется по переменной , а переменная
играет роль постоянной (поэтому вместо
Через функцию Ф
;
написано
).
здесь обозначена соответствующая перво-
образная.
Найдем теперь функцию
изводную по
.Так как
;
,то взяв про-
от правой части равенства (2.9), получим
Ф
;
.
Значит,
Ф
,
причем в правой части полученного равенства после преобразований
получится функция, зависящая только от .
Таким образом, получаем, что
Ф
Подставив функцию
.
в выражение (2.9), получим искомую функ-
цию .
Заметим, что аналогично функцию
можно найти из другого ра-
венства:
;
Тогда
Ф
;
.
117
Ф
;
,
Ф
,
Ф
.
Пример 2.11 (Задание 16). Проверить, является ли выражение
1
2
3
.
полным дифференциалом некоторой функции двух переменных
;
, и, если да, то найти ее.
Решение. Так как
;
1,
;
2 ,
2
3 ,то
2 .
Условие (2.8) выполняется и, следовательно, выражение
1
2
3
действительно является полным диффе;
ренциалом некоторой функции двух переменных
. Найдем
функцию , используя равенство (2.9):
;
Таким образом, Ф
.
1
;
. Для определения функции
запишем соотношение
Ф
2
3
2
3 .
Тогда
3
2
3
.
Окончательно получим
3
2
.
118
Для того чтобы убедиться в правильности своих вычислений,
;
надо сделать проверку, т.е. надо показать, что
;
,
.
2.1.8. Частные производные и дифференциалы
высших порядков
;
Частные производные
;
;
и
функции
называют частными производными первого порядка.
Они, вообще говоря, сами являются функциями независимых переменных
и . Поэтому от них можно снова находить частные произ-
водные. Частные производные от производных первого порядка
функции
;
называются частными производными второго
порядка.
Каждая производная первого порядка
и
имеет две част-
ные производные, поэтому получаем четыре частные производные
второго порядка, которые обозначаются следующим образом:
,
,
,
.
Частные производные от частных производных второго порядка
называются частными производными третьего порядка и т.д.
Вообще, частные производные n-го порядка есть частные производные от частных производных
1 -го порядка. Например,
есть частная производная n-го порядка. Здесь функцию
сначала
раз продифференцировали по , а затем
раз про-
дифференцировали по .
Для функции любого числа переменных частные производные
высших порядков определяются аналогично.
119
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.
;
Если функция
непрерывны в точке
,
,
, причем
;
определены в некоторой окрестности точки
и
,
и ее частные производные
, то в этой точке
.
Полный дифференциал функции (см. (2.2))
называют также дифференциалом первого порядка. Пусть функция
;
независимых переменных
и
имеет непрерывные част-
ные производные второго порядка. Тогда от функции
редь, можно взять полный дифференциал
, в свою оче-
.Дифференциалом
второго порядка называется полный дифференциал от дифферен. Вообще, дифференциалом n-го
циала первого порядка:
порядка называется полный дифференциал от дифференциала
1 -го порядка:
.
Найдем выражение для дифференциала второго порядка через частные производные. Получим:
∙
∙
∙
так как
и
∙
,
, являющиеся произвольными приращениями незави-
симых переменных
ются как постоянные.
Отсюда
и , не зависят от
и , то есть рассматрива-
120
2
,
(здесь
2.10
).
Аналогично, для дифференциала третьего порядка имеем:
3
2.11
3
и т.д.
Отметим, что формулы (2.10) и (2.11) справедливы лишь в том
случае, когда
и
являются независимыми переменными.
Пример 2.12. Найти частные производные второго порядка
2 ln
функции
.
Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка:
∙3
2 ln ∙ 1
∙2
2 ∙
∙
1
Теперь от производной
∙1
3
ln ∙ 1
2
2 ln
2
,
ln .
найдем производную по , а потом по
, получим:
3
2 ln
3
∙2
0
∙
6
3
1
∙1
1
,
2 ln
3
∙2
2
1∙
∙
6
ln ∙ 1
2
ln .
121
Затем найдем производные по
2
2
ln
∙
1
2
2
2
2
∙1
ln
2
∙1
∙
1
,
2 ∙
1
ln ∙
2
Видим, что
:
∙ 1 ∙ ln
ln
2
ln
от функции
2 ∙3
6
6
и
при тех значениях
ln
2
ln
и , при которых
непрерывны.
Пример 2.13. Найти дифференциал второго порядка функции
arctg .
Решение. Найдем частные производные первого порядка:
1
1
1
∙
,
∙
.
1
1
Отсюда получаем:
2
2
,
,
2
,
.
и
122
2
.
Подставляя найденные частные производные второго порядка
в формулу (2.10), получаем:
2
2
2
или
2
2
0,
Отметим, что если
.
.
0, то
2.1.9. Экстремум функции двух переменных
;
Пусть функция
Точка
;
∈
определена в некоторой области
.
называется точкой максимума (точкой мини;
мума) функции
, если существует окрестность точки
;
кая, что для всех точек
та-
из этой окрестности, отличных от точки
, выполняется неравенство
;
;
;
;
.
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется
максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции
объединяются общим названием экстремума функции.
Функция может иметь экстремум только во внутренних точках
области определения.
;
Пусть точка
мой функции
;
в точке
;
есть точка экстремума дифференцируе. Тогда частные производные
;
и
равны нулю (необходимые условия экстремума).
123
С геометрической точки зрения теорема означает, что в точке
;
экстремума функции
касательная плоскость к поверхно-
сти, изображающей функцию , параллельна плоскости
, так как
уравнение касательной плоскости в этом случае принимает вид
(см.(2.4)):
.
;
Точки, в которых обе частные производные функции
равны нулю, называются стационарными точками.
В стационарной точке дифференцируемая функция может
иметь экстремум, а может и не иметь. То есть необходимые условия
экстремума не являются условиями, достаточными для наличия экстремума у функции
. Рассмотрим, например, функцию
в точке
. Ее частные производные
в точке 0; 0 равны
и
нулю. Следовательно, точка 0; 0 является стационарной точкой
функции , причем значение функции
экстремума функция
в точке 0; 0 равно нулю. Но
в этой точке не имеет, так как в доста-
точно малой окрестности точки 0; 0 существуют точки, для которых
0 (точки первой и третьей четвертей) и
0 (точки второй и чет-
вертой четвертей).
Достаточные условия экстремума:
;
Пусть функция
дифференцируема в некоторой
, имеет в этой точке непре-
;
окрестности стационарной точки
;
рывные частные производные второго порядка
;
;
,
1) ∆
;
;
,
. Тогда если
0, то функция
имеет экстремум: максимум, если
;
в точке
0; минимум, если
0;
2) ∆
;
0, то функция
;
в точке
экстремума не имеет;
3) ∆
0, то в точке
;
экстремум может
быть, может не быть. Нужны дополнительные исследования.
124
;
Исследование функции двух переменных
на экстре-
мум рекомендуется проводить по следующей схеме:
1) найти частные производные функции
;
и
2) решить систему уравнений
0,
0
и найти стационарные точки функции;
3) найти частные производные второго порядка, вычислить их
значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного
условия сделать вывод о наличии экстремумов;
4) вычислить значения функции в точках экстремума.
Замечание. Если не ограничиваться рассмотрением только
дифференцируемых функций, то необходимые условия экстремума
придется дополнить. Если функция
;
;
имеет экстремум в точке
, то или обе частные производные в точке
или хотя бы одна из частных производных в точке
равны нулю,
не существует.
Точки, в которых обе частные производные функции равны нулю или
хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими.
Пример 2.14 (Задание 17). Найти экстремумы функции
3
.
Решение. Найдем частные производные первого порядка:
3
3 ,
3
3 .
Решив систему уравнений:
0,
0
или
3
3
получаем стационарные точки
3
3
0,
0,
0; 0 и
1; 1 .
Находим частные производные второго порядка:
6 ,
3,
6 .
125
0; 0 :
Исследуем точку
0,
3,
0.
Отсюда
0
3
∆
3
0
9
0.
0; 0 не является точкой экстремума.
Поэтому точка
1; 1 :
Исследуем точку
6,
3,
6.
Тогда
Значит, точка
6
3
27 0.
3 6
1; 1 является точкой экстремума. Так как
6
1; 1 является точкой минимума функции:
∆
0, то точка
1; 1
1.
Пример 2.15 (Задание 17). Исследовать на экстремум функцию
2 .
Решение. Найдем частные производные первого порядка:
2
∙
1
2
,
2
3
2 .
Из системы уравнений
2
2
получаем, что точка
3
0,
2
0
2; 2 является стационарной точкой.
Находим частные производные второго порядка:
2,
2,
2
6
2 .
Тогда
2
2
0.
2 2
Поэтому нужно провести дополнительное исследование. Так как
∆
2; 2
0, то достаточно исследовать знак функции в некоторой
окрестности точки
2; 2 .
126
Исследуем знак функции вдоль какой-нибудь прямой, проходя2; 2 . Так как в выражение функции входит сла-
щей через точку
, то можно взять прямую
гаемое
, так как на ней первое
слагаемое равно нулю и знак функции зависит только от знака вто2, то
рого слагаемого. Очевидно, что если
2, то
2
0; если
0. Следовательно, в любой окрестности точки
2
2; 2 функция принимает как положительные, так и отрицатель2; 2 экстремума нет.
ные значения. Значит, в точке
2.1.10. Условный экстремум. Метод множителей
Лагранжа
Рассмотрим задачу отыскания экстремумов функции двух переменных не на всей области определения функции, а на множестве,
удовлетворяющем некоторому условию.
;
Пусть дана функция
;
влетворяют условию
;
Точка
;
, если существует окрестностьточки
;
из этой окрестности, отличных от
;
и удовлетворяющих условию
;
которой удо-
0, называемому уравнением связи.
такая, что для всех точек
равенство
и
называется точкой условного максимума (ми-
нимума) функции
точки
, аргументы
;
;
;
0, выполняется не.
Для нахождения точек условного экстремума существует два
способа.
Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Предположим, что уравнение связи
;
0 удалось разрешить относительно одной из
переменных, например, выразить
через , то есть
ставив полученное выражение
в функцию
функцию одной переменной
;
условным экстремумом функции
. Под;
, получим
. Ее экстремум и будет
;
. Этот метод применяют
127
тогда, когда удается из уравнения связи выразить одну переменную
через другую.
В общем случае для отыскания условного экстремума используют метод множителей Лагранжа.
; ;
Функция
гранжа, а
;
;
называется функцией Ла-
является точкой условного экстремума функ;
при условии
;
такое, что точка
; ;
;
– множителем Лагранжа.
Если точка
ции
;
;
0, то существует значение
является точкой экстремума функции
.
Таким образом, для нахождения условного экстремума функции
;
;
при условии
0 надо:
1) составить функцию Лагранжа
; ;
;
;
2) найти ее частные производные по ,
;
;
,
;
;
и :
;
,
;
;
3) приравнять частные производные к нулю и решить систему
уравнений
0,
0,
2.12
0;
4) исследовать найденную в результате решения системы
2.12 точку
;
, используя доста-
при найденном значении
точные условия условного экстремума:
;
Пусть точка
и
найдены из решения системы
2.12 и пусть
0
;
;
∆
Если ∆
;
0, то функция
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
имеет в точке
;
;
имеет в точке
;
условный максимум.
Если ∆
0, то функция
условный минимум.
128
Замечание. Текстовые задачи на условный экстремум могут
быть очень различными по формулировке. Методика же их решения
в общем одинакова: следует выяснить, что в задаче максимизируется
(минимизируется), что является ограничением, а что является искомыми параметрами; записать выражение оптимизируемой величины
и уравнение, являющееся ограничением, через искомые параметры;
и, наконец, решить задачу на условный экстремум.
Пример 2.16. Исследовать на экстремум функцию
при условии, что 2
1.
Решение. Из уравнения связи 2
1 выражаем одну из пе-
ременных, например , через другую и подставляем в выражение для
функции :
2
2
1,
1
5
4
1.
Получили функцию одной переменной . Исследуем ее на экстремум. Тем самым решится вопрос об условном экстремуме функции
, так как условие 2
1 уже автоматически учтено.
Имеем:
10
4,
0 при
0,4.
Получили одну стационарную точку. Найдем вторую производную:
для
5
ние
.
любого
4
2 ∙ 0,4
в точке 0,4;
10
0
Следовательно,
в
точке
0,4
функция
1 имеет минимум. При этом соответствующее значе1
0,2. Но тогда данная функция
имеет
0,2 условный минимум:
0,4;
усл.
0,2
0,2.
Пример 2.17. Исследовать на экстремум функцию
при условии, что
1.
Решение. Составим функцию Лагранжа
4
; ;
1 .
√2
Найдем ее частные производные по , и :
4
2
129
1
2
1
,
2 ,
1.
√2
√2
Приравнивая частные производные к нулю, получим систему
уравнений:
1
2
0,
√2
1
2
0,
√2
1 0.
Выразим из первого уравнения , а из второго уравнения :
1
1
,
.
2√2
2√2
Подставим их в третье уравнение системы, получим:
1
1
1 0.
8
8
Откуда
1
4
или
1
,
2
при
1
и
2
1
. Получили две стационарные точки
2
1
;
2
1
при
2
1
.
2
Выясним характер точек
2 ,
и
по теореме 1.13:
2 ,
2 ,
0,
2 .
Составим определитель
0
2
2
∆
2
2
0
2
0 .
2
2
2
√2
√2
1
0
0
1
Отсюда
0
∆
2
√2
2
√2
1 1
;
2 2
4
0.
130
1 1
;
2 2
0, то
Так как ∆
1
точка условного минимума,
1
√
;
√2 √2
усл.
4
√
√2
1
2√2.
Так как
0
2
∆
√2
2
√2
то
1
;
2
1
2
2
2
√2
√2
1
0
0
1
4
0,
точка условного максимума,
1
1
√
√
4
1 2√2.
√2
√2
√2
Пример 2.18 (Задание 18). Определить размеры конуса
наибольшего объема при условии, что его полная поверхность равна
усл.
;
.
Решение. В этой задаче максимизируется объем , ограничением является условие
полн
, а в качестве параметров конуса
возьмем его высоту и радиус основания . Тогда можно записать
выражение оптимизируемой величины
и уравнение, являющееся
ограничением, через параметры и :
1
,
3
0
.
√
Получилась задача на условный экстремум. Чтобы ее решить,
составим функцию Лагранжа
1
; ;
.
3
Ее частные производные по , и соответственно равны:
(так как полн
бок
осн
131
1
3
,
√
2
3
2
√
,
.
Приравнивая их к нулю, получаем систему
1
0,
3
√
2
2
3
√
0,
0.
Выразим из первого уравнения :
√
3
Подставим полученное выражение для
.
во второе уравнение си8
стемы. После преобразований получим, что
. Подставив по-
в третье уравнение системы, получим
лученное выражение для
8
0,
3
или
1
2
Следовательно,
ные размеры конуса
2
.
. Таким образом, получаем, что оптималь1
2
,
2
. То, что это именно оптималь-
ные значения, следует из смысла задачи.
132
2.2. Двойные интегралы
2.2.1. Определение двойного интеграла и его
основные свойства
Пусть в замкнутой области
;
ная функция
плоскости
задана непрерыв-
. Разобьем область
произвольным обра-
зом сетью кривых на конечное число областей
,
,
,…,
которых соответственно обозначим через
,
через
,…,
,…,
, площади
, а диаметры –
(диаметром области называется наибольшее из
расстояний между двумя точками границы этой области). В каждой
1, 2, … ,
из областей
;
умножим значение функции в точке
,
;
выберем произвольную точку
на площадь этой области
и составим сумму
;
∙
;
∙
⋯
∙
;
;
∙
,
2.13
;
которая называется интегральной суммой для функции
в
области .
Обозначим через
наибольший из диаметров частичных обла-
:
стей
max
Если при
,
1, 2, … , .
→ 0 существует конечный предел интегральных
сумм (2.13), не зависящий ни от способа разбиения области
сти, ни от выбора точек
;
на ча-
в частичных областях, то он называ;
ется двойным интегралом от функции
чается
;
Таким образом, по определению
.
по области
и обозна-
133
;
;
lim
→
∙
.
2.14
Если предел в правой части равенства (2.14) существует, то
функция
;
;
называется интегрируемой в области . При этом
называется подынтегральной функцией,
тегрирования,
и
– областью ин-
– переменными интегрирования,
– эле-
ментом площади.
;
Если функция
непрерывна в замкнутой области , то
она интегрируема в этой области.
Пусть тело
;
ограничено сверху поверхностью
–неотрицательная и непрерывная в области
– замкнутой областью
плоскости
, где
функция, снизу
, с боков – цилиндрической по-
верхностью с образующей параллельной оси
торой служит граница области
;
, направляющей ко-
(рис. 2.2). Такое тело называется ци-
линдрическим.
Рис. 2.2
134
Двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции геометрически выражает собой объем цилиндрического тела:
;
2.15
.
В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.
Свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим
свойствам определенного интеграла.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:
∙
где
;
∙
;
,
– const.
2. Двойной интеграл от алгебраической суммы любого конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных
интегралов от этих функций. В частности, для двух функций
имеем:
;
3.
;
;
Если область
;
.
разбита на конечное число непересекаю-
щихся областей, то двойной интеграл по всей области равен сумме
двойных интегралов по всем частичным областям. Например, если
область
;
4.
;
Если в области
неравенству
;
, то
и
разбита на две области
функции
;
;
;
и
;
удовлетворяют
, то
;
;
.
.
135
В частности, если в области
;
5.
;
Если функция
в области
;
функции
0, то
0.
непрерывна в замкнутой области
и
удовлетворяет неравенствам
;
,
то
;
где
,
– площадь области .
6.
Если функция
;
непрерывна в связной замкнутой об;
ласти , то в этой области существует точка
;
;
такая, что
∙ ,
2.16
где – площадь области . Величина
1
;
∙
;
;
называется средним значением функции
Если функция
;
0 в области
в области .
, то равенство (2.16) гео-
метрически означает, что существует прямой цилиндр с основанием,
равным основанию цилиндрического тела, и высотой, равной значению функции
;
в некоторой точке
;
области
, объем ко-
торого равен объему цилиндрического тела.
2.2.2. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных
координатах
Пусть функция
;
непрерывна в области
жим, что любая прямая, параллельная как оси
секает границу области
ласть
в прямоугольник
. Предполо-
, так и оси
, пере-
не более чем в двух точках. Заключим об-
136
,
,
стороны которого касаются границы области в точках , , ,
(рис.
2.3).
Рис. 2.3
Точками
и
и
граница области
разбивается на две линии
, каждая из которых пересекается любой прямой, парал-
лельной оси
, в одной точке. Поэтому их уравнения можно запи-
сать в форме, разрешенной относительно :
где
;
и
:
,
:
,
непрерывные функции, однозначные на отрезке
. В этих условиях
;
;
.
2.17
Формула (2.17) дает способ вычисления двойного интеграла в
прямоугольных координатах. Выражение, стоящее в правой части равенства (2.17), называют двукратным или повторным интегралом
137
от функции
;
по области . Для его вычисления надо последо-
вательно взять два обычных определенных интеграла: сначала –
внутренний интеграл
;
в котором
,
считается постоянным, затем – внешний интеграл, то
есть результат первого интегрирования (он зависит от ) проинтегрировать по
в пределах от
до .
Двойной интеграл по области
, изображенной на рис. 2.3,
можно свести к повторному интегралу с другим порядком интегрирования. Действительно, точками
ется на две линии
и
прямой, параллельной оси
и
граница области
разбива-
, каждая из которых пересекается любой
, в одной точке. Поэтому их уравнения
можно записать в форме, разрешенной относительно :
где
;
и
:
,
:
,
– непрерывные функции, однозначные на отрезке
. Тогда исходный двойной интеграл будет равен следующему по-
вторному интегралу:
;
;
.
2.18
Здесь интегрирование совершается сначала по , а затем по .
Замечания. 1. Если любая прямая, параллельная и оси
оси
, пересекает границу области
,и
не более чем в двух точках, то
двойной интеграл можно вычислять как по формуле (2.17), так и по
формуле (2.18). В более общем случае область интегрирования с помощью разбиения на части сводят к областям указанного типа.
2. Внешние пределы интегрирования в повторном интеграле
всегда постоянны, а внутренние, как правило, являются функциями
138
той переменной, которая во внутреннем интеграле играет роль константы.
Если же область
является прямоугольником со сторонами,
параллельными осям координат, то постоянными являются пределы
и внешнего, и внутреннего интегралов.
Пример 2.19 (Задание 19). Свести двойной интеграл
;
к повторному двумя способами, если
мыми
,
2 ,
– область, ограниченная пря-
1.
Решение. Первый способ. Область
изображена на рис. 2.4.
из отрезка 0; 1 переменная
При каждом значении
изменяется от
до 2 . По формуле (2.17) получаем
;
;
2
2
2
2
1
1
0
.
0
1
Рис. 2.4
1
Рис. 2.5
Второй способ. Чтобы воспользоваться формулой (2.18), надо
разбить область
менная
на две части
и
(рис. 2.5). В области
изменяется от 0 до 1, а при каждом значении
пере-
переменная
139
изменяется от
прямой
(значение
2 ) до
на прямой
(значение
на
). Поэтому по формуле (2.18) получаем
;
В области
значении
изменяется от 1 до 2, а при каждом
переменная
переменная
2 ) до 1 (значение
.
;
изменяется от
(значение
на прямой
1). По формуле (2.18) имеем
на прямой
;
.
;
Окончательно получаем:
;
;
;
;
;
.
Пример 2.20. В повторном интеграле
;
изменить порядок интегрирования.
Решение. Прежде всего, надо восстановить область интегрирования
по известным пределам данного повторного интеграла.
Так как внутренний интеграл взят по , то пределы внутреннего
интеграла получены из уравнений
2 и
2
. Это уравнения
двух прямых, которые составляют какую-то часть границы области .
140
2 и
Решая совместно уравнения
чения этих прямых
2
, найдем точку пересе-
2 4
; . Так как дано, что абсцисса
3 3
точек области
изменяется в пределах от 0 до , то искомой областью
2 ,
фигура, ограниченная прямыми
2
,
является
0 (рис. 2.6).
2
2
4
3
2
0
2
3
2
Рис. 2.6
Расставляя теперь внешние пределы интегрирования по , а
внутренние – по , получаем:
;
;
.
Пример 2.21. Вычислить двойной интеграл
по области , ограниченной кривыми
Решение. Область
и
.
изображена на рис. 2.7. Сведем двойной
интеграл к повторному по формуле (2.18):
141
1
0
1
Рис. 2.7
2
2
3
2
2
2
4
1
2
10
1
4
2
1
10
3
.
20
Правильность вычислений можно проверить, изменив порядок
интегрирования:
√
√
2
2
2
2
2
4
3
2
5
2
1
4
2
5
1
2
3
.
20
142
2.2.3. Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть дан двойной интеграл
;
;
где функция
ница области
2.19
,
непрерывна в замкнутой области
. Пусть гра-
пересекается каждой прямой, проходящей через
начало координат, не более чем в двух точках. Преобразуем интеграл (2.19) от прямоугольных координат к полярным координатам
. Для этого отнесем область
няв ось
и
к полярной системе координат, при-
за полярную ось, а начало координат – за полюс. Тогда
;
cos ;
. 2.20
sin
Формула (2.20) выражает правило замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам.
Таким образом, для того чтобы преобразовать двойной интеграл в прямоугольных координатах в двойной интеграл в полярных
координатах, надо:
1)
в подынтегральной функции
cos ,
жениями
2)
;
заменить
и
выра-
sin ;
в прямоугольных координатах
элемент площади
, которое называется элементом
заменить произведением
площади в полярных координатах.
Вычислим двойной интеграл в полярных координатах. Для этого
отметим наименьшее и наибольшее значения угла
принадлежащих области
. Угол
точке
и
линии
рез
(рис. 2.8). Точки
для точек,
соответствует точке , а угол
разбивают границу области
–
на две
, уравнения которых обозначим соответственно че-
и
и
ные функции на отрезке
, где
;
и
.
– однозначные непрерыв-
143
0
Рис. 2.8
Зафиксируем произвольное значение угла ,
из полюса
под углом
проведем луч
. Затем
. Точка входа этого луча в
область
(точка
) лежит на кривой
, а точка выхода его из
области
(точка
) лежит на кривой
. Урав-
нения этих линий дают соответственно нижний и верхний пределы
внутреннего интеграла. Определив пределы интегрирования повторного интеграла, получаем:
cos ;
sin
cos ;
sin
.
2.21
Интегрирование в обратном порядке, то есть сначала по , а затем по , обычно не встречается.
Формула (2.21) соответствует тому случаю, когда полюс лежит
вне области интегрирования
. Если полюс лежит внутри области
и любой луч, проведенный из полюса, пересекает границу области
в одной точке, то формула (2.21) упрощается и принимает вид:
144
cos ;
где
sin
cos ;
– уравнение границы области
sin
,
в полярных координа-
тах.
Замечание. При вычислении двойного интеграла переход от
прямоугольных координат к полярным особенно полезен в том случае, когда область интегрирования есть круг или часть круга или ко.
гда подынтегральная функция содержит двучлен
Пример 2.22. Вычислить двойной интеграл
,
где
2 .
– круг, ограниченный окружностью
Решение. Так как подынтегральная функция и уравнение границы области интегрирования содержат сумму
, то проще вы-
числить данный интеграл, преобразовав его к полярным координатам. По формуле (2.20) имеем:
cos
cos
sin
sin
.
Рассмотрим область интегрирования . Уравнение ее границы
в полярных координатах примет вид (предполагается, что полярная
ось совпадает с положительным направлением оси абсцисс):
cos
или
sin
2 cos
145
2 cos ,
(так как
отрезка
0, то cos
;
2 2
0и
2
2
переменная
2
2
). При каждом значении
изменяется от 0 до 2 cos
из
(луч, выхо-
дящий из полюса и пересекающий область интегрирования, входит в
область при
0, а выходит из нее на окружности, уравнение кото-
рой в полярных координатах имеет вид
2 cos ). Таким образом,
пределы интегрирования по
, а по – от 0 до 2 cos
от
2
до
(рис. 2.9).
2cosφ
2
0
Рис. 2.9
Поэтому, согласно формуле (2.21), имеем:
4
4
4
1
cos 2
2
1
3
2
sin 2
2 cos 2
1
sin 4
8
1
cos
cos 4
2
3
.
2
146
2.2.4. Приложения двойного интеграла
1. Объем тела. Для вычисления объема цилиндрического тела
необходимо найти проекцию тела на одну из координатных плоско, а проекцией тела
стей. Пусть этой плоскостью будет плоскость
на эту плоскость является область
поверхностью
;
. Пусть тело ограничено снизу
, а сверху – поверхностью
;
. Тогда
формула для вычисления объема имеет вид:
;
;
.
2. Площадь плоской фигуры. Если положить в формуле (2.15)
;
≡ 1 в области , то в этом случае двойной интеграл выражает
объем прямого цилиндра с высотой, равной единице. Как известно,
объем такого цилиндра численно равен площади
основания
лучаем формулу для вычисления площади области
. По-
с помощью
двойного интеграла:
2.22
,
или, в полярных координатах,
2.23
.
3. Масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции плоской пластинки. Масса плоской пластинки
;
с переменной поверхностной плотностью
вычис-
ляется по формуле
;
ее статические моменты
мулам
и
2.24
;
относительно осей
и
– по фор-
147
;
координаты
и
,
;
;
2.25
центра тяжести – по формулам
,
а моменты инерции
,
и
;
2.26
,
относительно осей
и точки – по
формулам
;
,
;
;
.
;
2.27
Пример 2.23 (Задание 20). Вычислить объем тела, ограниченного снизу плоскостью
, сверху–плоскостью 2
боков – цилиндрической поверхностью
и плоскостью
Решение. Данное тело изображено на рис. 2.10.
Рис. 2.10
2
0, с
.
148
1
2
2
Подынтегральной функцией будет функция
Область интегрирования
ограничена прямой
и параболой
(рис. 2.11). По формулам (2.15) и (2.17) получаем:
2
1
2
0
1
2
Рис. 2.11
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
7
2
2
1
1
2
7
6
1
4
2
1
2
7
6
1
10
11
.
120
.
4
10
149
Пример 2.24 (Задание 21). Найти координаты центра тяжести и
моменты инерции тонкой пластинки, представляющей собой равносторонний треугольник со стороной
(рис. 2.12), считая, что
≡ 1.
30°
30°
Рис. 2.12
,
Решение. Прежде всего запишем уравнения сторон
и
треугольника:
;
;
√3
√3
Тогда по формулам (2.24) – (2.27) имеем:
√3
.
2
⁄√
⁄√
∙
⁄√
0,
2
⁄√
⁄√
⁄
∙ | √⁄√
⁄√
∙
2
2
2
√3
√3
√3 3
∙
2
∙
√3 3
⁄√
⁄
∙ | √⁄√
⁄√
2
3√3
√3
2
∙
2
√3
4
,
150
2
1
∙
√3 2
√3
√3
∙4
√3
4 ∙ √3
√3
2
∙
√3
,
4
,
0,
⁄√
⁄√
∙
⁄√
1
2
9√3
18√3
18√3
√3
2
∙
18√3
3
⁄√
32√3
,
⁄√
⁄
∙ | √⁄√
⁄√
∙
2
√3
1
2√3
2√3
2√3
10
5
32√3
√3
2
∙
9
32√3
,
.
16√3
Пример 2.25 (Задание 22). Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
.
Решение. Так как в уравнение кривой
и
входят только в чет-
ных степенях, то кривая симметрична относительно координатных
осей. Поэтому достаточно найти площадь четвертой части фигуры,
расположенной в первой четверти, а затем полученный результат
умножить на четыре.
Полагая
cos
,
sin , преобразуем уравнение кривой
к полярным координатам. В результате получим:
cos
sin
cos
sin
,
151
cos
cos
sin
cos
sin
cos
sin
sin
,
,
cos 2
или
cos 2 .
Очевидно, что изменению полярного угла
ствует
соответ-
искомой площади.
По уравнению
чению угла
cos 2
значение
0
4
видно, что каждому зна-
соответствует одно значение радиуса
наибольшее значение
чина
от 0 до
0 – при
0, а наименьшее
достигается при
4
, то есть при изменении
монотонно убывает от
. Причем,
от 0 до
вели-
до 0. Это дает возможность устано-
вить форму части кривой, расположенной в первой четверти. В силу
симметричности кривой относительно координатных осей выясняется форма и всей кривой (рис. 2.13).
4
2
0
Рис. 2.13
152
Чтобы найти пределы внутреннего интеграла, проведем луч, пересекающий область интегрирования
0
4
. Луч входит в область
под произвольным углом
0, а
в полюсе, то есть при
выходит в точке, лежащей на лемнискате, уравнение которой
cos 2 . Следовательно, согласно формулам (2.23) и (2.21), имеем:
4
4
2
4
2
cos 2
cos 2
2
sin 2
2
∙
2
.
2.3. Тройные интегралы
2.3.1. Определение тройного интеграла
Тройной интеграл является полным аналогом двойного интеграла и строится для функции трех переменных в трехмерной области.
Пусть в некоторой ограниченной трехмерной области
; ;
функция
. Разобьем область
извольных частей
,
,
,…,
задана
сетью поверхностей на
с объемами
,
,…,
1, 2, . . , , возьмем произвольную точку
про-
. В каждой части
;
, вычислим
;
значение функции в этой точке и составим сумму
;
;
∙
;
∙
;
;
⋯
;
∙
;
,
;
∙
2.28
153
которая называется интегральной суммой для функции
; ;
по
области .
Если существует конечный предел интегральных сумм (2.28)
при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех частичных
областей
, не зависящий ни от способа разбиения области
;
сти, ни от выбора точек
;
на ча-
в частичных областях, то он назы; ;
вается тройным интегралом функции
в области
и обо-
значается
; ;
а функция
; ;
,
в этом случае называется интегрируемой в об-
ласти .
Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам двойного интеграла.
; ;
Если положить
≡ 1 всюду в области
, то непосред-
ственно из определения тройного интеграла следует, что объем
данного тела
выразится формулой
.
Выражение
называется элементом объема в прямо-
угольных координатах.
2.3.2. Вычисление тройного интеграла
Пусть функция
; ;
непрерывна в некоторой области . До-
пустим, что поверхность , ограничивающая тело , пересекается не
более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей
координат, например, оси
. Более сложные области часто удается
сводить к рассмотренному виду путем разбиения области на части.
Опишем около тела
цилиндрическую поверхность с образую-
щей, параллельной оси
, направляющей которой служит граница
области , где
– проекция тела
на плоскость
. Линия касания
154
этой цилиндрической поверхности с поверхностью
верхность
Пусть
;
;
разбивает по-
на две части: верхнюю и нижнюю.
нижняя
часть
поверхности
, а верхняя – уравнением
задана
уравнением
;
;
, где
и
– однозначные непрерывные функции, заданные в области
(рис.2.14). Тогда
;
; ;
.
; ;
;
2
;
;
0
;
2
Рис. 2.14
Теперь допустим, что каждая прямая, параллельная оси
ресекает контур области
через
, пе-
не более чем в двух точках. Обозначим
и соответственно абсциссы самой левой и самой правой то. Эти точки делят контур области
на две
части, одна из которых является линией входа в область
прямых,
чек на контуре области
155
параллельных оси
ласти
. Пусть
, а другая – линией выхода этих прямых из оби
– уравнения этих
линий, соответственно. Тогда
;
; ;
; ;
.
;
В повторном интеграле сначала функция
ется по переменной
(при этом
и
; ;
интегриру-
считаются параметрами), затем
полученный результат интегрируется по переменной
(при этом
считается параметром) и, наконец, то, что получилось, интегрируется
по переменной .
Порядок интегрирования может быть выбран другим. Для этого
тело
надо будет проектировать на плоскость
предыдущей формуле переменные ,
и
или
и тогда в
поменяются ролями.
Пример 2.26 (Задание 23). Вычислить тройной интеграл
по области , ограниченной плоскостями
0,
0,
0,
1.
Решение. Изобразим область
(рис. 2.15).
и ее проекцию
на плоскость
156
2
1
1
О
О
1
1
Рис. 2.15
Из рисунков и уравнения плоскости
ласть
ограничена сверху поверхностью
;
снизу – поверхностью
;
0, а ее проекция
2 1
,
ограничена
1
(следует из уравнения плоскости
0), а снизу – линией
0. Тогда согласно формуле
сверху линией
при
1 видно, что об-
2
сведения тройного интеграла к повторному, получим
|
2 1
2
2
2
2
157
2
3
1
3
3
3
6
2
3
1
.
6
2.3.3. Замена переменных в тройном интеграле
Рассмотрим тройной интеграл
; ;
в прямоугольных координатах. Предположим, что переменные , и
,
являются функциями трех переменных
; ;
,
; ;
и
,т.е.
; ;
,
,и эти функции непрерывны вместе со сво-
ими частными производными в области
пространства
. Пред-
положим также, что эти функции взаимно однозначно и непрерывно
отображают область
на область .Тогда формула замены пере-
менных в тройном интеграле будет иметь вид:
; ;
; ;
;
; ;
где
; ;
;
; ;
∙|
; ;
|
,
2.29
158
определитель Якоби, или якобиан преобразования (предполагается,
что определитель
; ;
0 всюду в области
).
Для вычисления тройного интеграла часто используют так
называемые цилиндрические и сферические координаты.
В цилиндрической системе координат положение точки
странства определяется полярными координатами
проекции точки
на плоскость
(рис. 2.16). Числа ,
и
– и аппликатой
и
точки
про–
самой точки
называются цилиндрическими координа-
.
тами точки
; ;
Рис. 2.16
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми
координатами следующими соотношениями:
cos ,
причем
0,
∈ 0; 2 ,
∈
sin ,
,
, а якобиан преобразования
cos
sin
0
; ;
0.
sin
cos
0
0
0
1
Следовательно, формула (2.29) замены переменных в тройном
интеграле при переходе от декартовых координат к цилиндрическим
принимает вид:
159
; ;
cos ; sin ;
∙
.
2.30
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
приводится к трем однократным интегрированиям по , и
анало-
гично тому, как это делается в декартовых координатах. К цилиндрическим координатам удобно переходить в случае, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.
В сферической системе координат положение точки
странства вполне определяется ее расстоянием
нат , углом
, углом
между осью
между осью
от начала коорди-
и проекцией отрезка
на плоскость
(рис. 2.17). Числа ,
и отрезком
называются сферическими координатами точки
про-
и
.
; ;
Рис. 2.17
Сферические координаты ,
и
связаны с декартовыми коор-
sin
sin ,
динатами , , соотношениями:
cos
причем
0,
sin ,
∈ 0; 2 ,
∈ 0;
cos ,
, а якобиан преобразования
160
cos sin
sin sin
cos
; ;
sin sin
cos sin
0
cos cos
sin cos
sin
sin
0.
Следовательно, формула (2.29) замены переменных в тройном
интеграле при переходе от декартовых координат к сферическим
принимает вид:
; ;
cos
sin ; sin
sin ;
cos
∙
sin
.
2.31
Переходить к сферическим координатам удобно, когда область
интегрирования
есть шар или его часть, а также если подынте.
гральная функция имеет вид
Пример 2.27(Задание 23). Вычислить тройной интеграл
по области
1,
4,
, заданной соотношениями
0.
Решение. Область
имеет вид, изображенный на рис. 2.18.
Учитывая соотношения, задающие область , а также вид подынтегральной функции, целесообразно перейти к цилиндрическим коор, то соотношения, задающие область
динатам. Так как
(область
в новых координатах), будут иметь вид
1
2, 0
4
, 0
2 .
161
Рис. 2.18
Поэтому
cos
sin
√
√
∙
1
2
4
2
1
2
∙ 4
1
2
∙
6
162
1
2
64
6
16
1
1
6
9
4
9
.
2
Пример 2.28 (Задание 23). Вычислить тройной интеграл
,
1
где область
расположена в первом октанте и ограничена поверхно1,
стями
Решение. Область
9,
0,
0.
√3 ,
имеет вид, изображенный на рис. 2.19.
3
1
0
1
3
Рис. 2.19
В данном примере целесообразно перейти к сферическим коор, то область
динатам. Так как
будет задаваться со-
отношениями
1
3, 0
2
,
3
2
163
(т.к. в первой четверти плоскости
2
3
0 имеет уравнение
прямая
√3 – уравнение
в полярных координатах, а прямая
). Тогда тройной интеграл примет вид
1
1
sin
sin
sin
856
15
∙
∙ 9
243
5
1
3
cos
|
856
15
1
5
sin
∙
856
15
856
15
3
5
sin
428
.
45
2.4. Криволинейные интегралы
Криволинейный интеграл является обобщением определенного
интеграла на случай, когда область интегрирования есть некоторая
кривая. Различают криволинейные интегралы первого и второго
рода. Так как криволинейные интегралы первого рода в расчетно-графической работе не рассматриваются, то перейдем к рассмотрению
криволинейных интегралов второго рода.
164
2.4.1. Определение криволинейного интеграла второго рода
Пусть функция
гладкой кривой
,
,
1, 2, … ,
∆
;
;
определена и непрерывна в каждой точке
. Разобьем кривую
плоскости
,…,
на
произвольных дуг
. Выберем на каждой дуге
точками
с длинами
произвольную точку
и составим сумму
;
где ∆
– проекция дуги
∙∆ ,
на ось
2.32
(рис. 2.20).
Рис. 2.20
Сумма (2.32) называется интегральной суммой для функции
;
по координате .
Обозначим через
наибольшую из длин дуг
max ∆ ,
1, 2, … , .
:
165
Если при
→ 0 существует конечный предел интегральных
сумм (2.32), не зависящий ни от способа разбиения кривой
, то он называется криволинейным ин-
;
сти, ни от выбора точек
тегралом по координате
(или криволинейным интегралом вто;
рого рода) от функции
на ча-
по кривой
и обозначается
;
или
;
.
Таким образом, по определению
;
;
lim
→
∙∆ .
2.33
Аналогично определяется криволинейный интеграл по координате :
;
где ∆
;
;
lim
→
– проекция дуги
непрерывна в точках гладкой кривой
∙∆ ,
2.34
на ось
и функция
.
Сумма криволинейных интегралов (2.33) и (2.34) называется
полным криволинейным интегралом второго рода и обозначается
;
;
.
2.35
Криволинейные интегралы второго рода называются также криволинейными интегралами по координатам.
166
Криволинейный интеграл (2.35) выражает работу, которую со;
вершает переменная сила
;
нии материальной точки
вдоль кривой
;
;
при перемеще-
единичной массы из точки
в точку
. В этом состоит физический смысл криволиней-
ного интеграла второго рода.
Если функции
;
;
и
непрерывны в каждой точке глад-
кой кривой , то криволинейный интеграл второго рода (2.35) существует.
Криволинейный интеграл второго рода обладает многими свойствами определенного интеграла. В частности,
;
;
;
;
,
то есть криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направления интегрирования. Для него остаются в силе свойства линейности и аддитивности, однако теорема об оценке модуля
интеграла и теорема о среднем значении для криволинейного интеграла второго рода неверны.
Если
– замкнутая кривая (замкнутый контур), то есть точка
совпадает с точкой , то для нее можно указать два направления обхода. Если область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению к движущейся по контуру точке, то такое направление обхода кривой
называется положительным (для односвязной обла-
сти это направление совпадает с направлением против часовой
стрелки), а противоположное ему – отрицательным.
Интеграл (2.35) по замкнутому контуру
направлении обозначают следующим образом:
;
;
.
в положительном
167
Криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой не
зависит от выбора начальной точки кривой, а зависит только от
направления обхода кривой.
2.4.2. Вычисление криволинейного интеграла второго рода
Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится
к вычислению определенного интеграла.
Пусть кривая
,
задана параметрическими уравнениями
,
отрезке
;
, причем функции
и
непрерывны на
вместе со своими производными, начальной точке
, а конечной точке –
кривой соответствует значение параметра
. И пусть функции
значение
и
;
непрерывны в каж-
. Тогда
дой точке кривой
;
;
;
;
;
Пусть кривая
задана уравнением
;
.
2.36
,
и
функция
имеет на отрезке
гда, приняв
за параметр, получим параметрические уравнения кри-
:
вой
,
,
. Если функции
;
и
;
не-
, то из формулы (2.36) получаем:
прерывны в каждой точке кривой
;
непрерывную производную. То-
;
;
;
.
2.37
168
Пример 2.29 (Задание 24). Вычислить
,
2
где –дуга циклоиды
sin
,
2 1
cos
от точки
0; 0
4 ;0 .
до точки
2 1
Решение. Так как
cos
,
2 sin
0, а точке – значение
соответствует значение
и точке
2 , то по фор-
муле (2.36) имеем:
2 1
4
8
cos
∙2 1
4 1
cos
8 cos
8 cos
cos
2
sin
4 sin
4 cos
4 sin
sin
sin
4 sin
4 sin
8 |
8 sin |
,
,
cos
cos
,
16
4
cos |
16
4
cos
sin
∙ 2 sin
|
4
24 .
sin
169
Пример 2.30 (Задание 24). Вычислить
,
где – дуга параболы
2
от точки
0; 0 до точки
1; 2 .
Решение. По формуле (2.37) имеем:
∙2
4
2
4
3
4
2; 0 в точку
1; 0 , если точка
;
4
5
2
Пример 2.31. Вычислить работу силы
ремещении материальной точки
∙4
4
;
31
.
30
2
при пе-
вдоль ломаной
из точки
имеет координаты
1; 3 (рис.
2.21).
Решение. Согласно физическому истолкованию криволинейного интеграла второго рода задача сводится к вычислению интеграла
2
.
Направление интегрирования определено последовательностью
букв в обозначении ломаной.
170
3
1
0
Рис. 2.21
Вдоль ломаной
на участке
2
причем точке
имеем:
,
,
соответствует значение
2, точке –значение
1. Следовательно,
2
2 2
2
На участке
значение
3
2
3
имеем
1,
3, точке –значение
2
3
2
3
2
3
2
1,5.
0. Точке
соответствует
0. Следовательно,
3.
171
Отсюда, учитывая свойство аддитивности криволинейного интеграла, получаем:
2
2
2
1,5
3
4,5.
2.4.3. Формула Грина
задана область , ограниченная кривой
Пусть на плоскости
, пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям,
не более чем в двух точках.
;
Если функции
и
;
и
и их частные производные
непрерывны в замкнутой области , то справедливо равенство
;
;
где криволинейный интеграл берется по границе
,
2.38
области
в поло-
жительном направлении.
Формула (2.38) называется формулой Грина. Она связывает
криволинейный интеграл по замкнутому контуру с двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром.
Пример 2.32. Применяя формулу Грина, вычислить
2
,
172
1; 1 ,
где –контур треугольника с вершинами
2; 2 ,
1; 3 , про-
бегаемый против хода часовой стрелки (рис. 2.22). Проверить результат непосредственным интегрированием.
;
Решение. Здесь
,
2
4 ,
;
2
,
.
3
2
1
0
1
2
Рис. 2.22
Согласно формуле (2.38), имеем:
2
2
2
где область
–треугольник
4
,
. В области интегрирования
ется от 1 до 2, а при каждом значении
переменная
меня-
изменяется от
173
(значение
:
:
на прямой
) до 4
(значение
на прямой
4). Поэтому по формуле (2.17) получаем:
2
2
2
2
2
4
∙
2
4
4
2
2
4 2
4
3
4
4
4
.
3
Вычислим теперь непосредственно криволинейный интеграл по
контуру , состоящему из отрезков
1) уравнение
:
2) уравнение
:
,
,
:
; следовательно,
, 1
4; следовательно,
2;
,2
1;
3) уравнение
:
1; следовательно,
Таким образом, по формуле (2.37) имеем:
2
2
2
2
0, 3
1.
174
2
4
4
2
8
4
8
3
4
3
16
8
1
16
16
1
1
4
.
3
3
2.4.4. Условия независимости криволинейного интеграла
второго рода от пути интегрирования
Пусть точки
связной области
;
;
и
плоскости
– произвольные точки одно-
(область
называется односвяз-
ной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области,
ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области
,область без «дыр». Примерами односвязных областей служат круг,
прямоугольник; пример неодносвязной области – кольцо).
Точки
линиями
и
,
и
можно соединить различными линиями, например,
(рис. 2.23). Значения интеграла
;
;
по этим линиям, вообще говоря, различны.
175
Рис. 2.23
Если же его значения по всевозможным кривым, соединяющим
точки
и , одинаковы, то говорят, что криволинейный интеграл не
зависит от пути интегрирования. В этом случае для вычисления интеграла достаточно отметить только начальную точку
нечную точку
;
;
и ко-
пути:
;
;
;
.
2.39
;
Пусть функции
;
;
и
непрерывны вместе со своими
частными производными в односвязной области
. Тогда для того,
чтобы криволинейный интеграл
;
;
не зависел от пути интегрирования в области , необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие
.
2.40
Замечание. Если выполняется условие (2.40), то интеграл по замкнутому контуру равен нулю:
176
;
;
0.
Верно и обратное утверждение.
Пример 2.33 (Задание 24). Показать, что криволинейный интеграл
;
6
4
5
;
не зависит от пути интегрирования и вычислить его.
Решение. Функции
4
;
,
;
6
5
вместе со своими частными производными
12
,
12
. Следовательно,
непрерывны на всей плоскости, причем
данный интеграл не зависит от пути интегрирования, и для вычисления интеграла можно выбрать любой путь, соединяющий точки
2;
1 и
3; 0 . Так как удобнее всего вычислять криволинейный
интеграл по отрезкам, параллельным осям координат, то возьмем в
, где
качестве пути интегрирования ломаную
2.24). Тогда
;
6
4
5
;
;
4
;
6
5
2; 0 (рис.
177
;
6
4
5
.
;
2
0
3
1
Рис. 2.24
На отрезке
2,
имеем
0,
1
0, поэтому
;
6
4
5
24
5
;
24 ∙
На отрезке
3
5∙
|
8
5
имеем
0,
0,
4
6
5
;
;
5
55.
2
7.
3, поэтому
178
Таким образом, искомый интеграл по ломаной
равен
сумме вычисленных интегралов:
;
6
4
5
7
55
62.
;
2.5. Поверхностные интегралы
Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл. Поверхностные интегралы бывают первого и
второго рода. Будем рассматривать только поверхностные интегралы второго рода.
Пусть
– двусторонняя поверхность, на которой задана непре; ;
рывная функция
, и пусть в каждой точке
поверхности
.
определено положительное направление нормали
Если для одной из сторон поверхности
и осью
острый для ∀
противоположную –
,…,
части
∈ ,то обозначим эту сторону
,а
.
Разобьем поверхность
,
угол между нормалью
на части
и обозначим через ∆ ,
на плоскость
, а через
,
,…,
с диаметрами
1, 2, … , , площадь проекции
– наибольший из диаметров ча-
стичных областей:
max
Выберем в каждой части
,
1, 2, … , .
произвольную точку
;
;
и соста-
вим сумму
;
;
∙∆ ,
которая называется интегральной суммой второго рода для функции
; ;
.
Если при
→ 0 существует конечный предел интегральных
сумм, не зависящий ни от способа разбиения поверхности
ни от выбора точек
;
;
на части,
, то он называется поверхностным
179
; ;
интегралом второго рода (по координатам) от функции
переменным
и
по выбранной стороне поверхности
по
и обознача-
ется
; ;
.
Таким образом, по определению
lim
; ;
;
→
;
∙∆ .
Аналогично определяются поверхностные интегралы второго
рода
; ;
от непрерывных функций
; ;
и
; ;
и
; ;
. Сумма трех этих инте-
гралов называется общим поверхностным интегралом второго
рода и обозначается
; ;
; ;
Если поверхность
.
; ;
;
задана уравнением
,
;
∈
⊂
, то поверхностный интеграл второго рода сводится к двойному
интегралу по области :
; ;
; ;
;
.
Если выбрана противоположная сторона
поверхности ,то
интеграл меняет знак на противоположный:
; ;
; ;
;
.
Аналогично вычисляются и поверхностные интегралы
180
; ;
и
; ;
.
Пример 2.34 (Задание 25). Вычислить поверхностный интеграл
второго рода
2
где
3
– верхняя сторона плоскости 3
,
2
6, ограниченная ко-
ординатными плоскостями.
Решение. Изобразим указанную поверхность (рис. 2.25) и рассмотрим сначала интеграл
2
.
6
2
3
Рис. 2.25
Из уравнения 3
сти
2
6 следует, что уравнение поверхно-
можно переписать в виде
;
1
3
2
6 ,
181
причем
сти
;
∈ , где
на плоскость
– это треугольник
(проекция поверхно-
). Поэтому поверхностный интеграл сводится
к двойному
2
2 ∙
∆
Здесь
6
и осью
– острый.
∈ 0; 2 , а
Учитывая, что для треугольника
3
(так как прямая
3
6, то есть
.
, так как для верхней стороны плоскости
заменено на
угол между нормалью
1
3
2
на плоскости
6
описывается уравнением
3 ), сводим двойной интеграл к повтор-
ному:
2
2 ∙
1
3
2
6
6
3
3
∙ 3
3
6
∈ 0; 6
2
6
3
6
3
6 6
2
9
2
9
∙
2 4
18
18
3
6
3
18
18
2
6.
Аналогично вычисляются интегралы
и 3
.
182
Например, для первого из них
заменится на
между
и
– тупой), уравнение поверхности
6
3
2 , а в качестве проекции
(так как угол
перепишется в виде
на плоскость
выступит
. Тогда
треугольник
6
3
2
.
∆
Закончите вычисления самостоятельно.
2.6. Дивергенция и ротор векторного поля
; ;
Пусть каждой точке
ствие скалярная
области
поставлена в соответ-
(векторная
ворят, что в области
) величина. Тогда го-
задано скалярное (векторное) поле.
В декартовой системе координат в пространстве задание скалярного поля равносильно заданию одной функции трех переменных
; ;
, а векторного поля – трех функций трех переменных
; ;
; ;
где
,
; ;
,
; ;
; ;
; ;
– проекции вектора
,
на соответству-
ющие координатные оси. Предполагается, что функции
; ;
,
; ;
,
; ;
; ;
,
являются непрерывно дифференцируе-
мыми в области .
Дивергенцией (расходимостью) векторного поля
называют скаляр
div
Ротором (вихрем) векторного поля
вают вектор
rot
или в символическом виде
.
назы-
183
rot
,
и
где под произведением, например,
изводная
понимается частная про-
.
Пример 2.35 (Задание 26). Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля
.
Решение. В данном случае
; ;
,
Отсюда находим
; ;
2
,
,
; ;
,
. Поэтому
2
div
,
rot
2
;
;
3
.
.
184
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 2.2
1. Найти среднее значение функции в указанном промежутке.
,
∈
1.
sin
3.
sin 2 ,
∈
;0.
5.
7.
1
√
,
⁄
9.
11.
⁄
15.
;
.
4.
10
2 sin ,
∈ 1; 4 .
6.
ln 3 ,
∈ 0; 1 .
8.
∈ 0; 2 .
10.
∈ 0;
2
13.
,
,
,
cos
cos
,
√
1
2.
2
,
,
2
.
∈ 2; 4 .
16.
.
18.
2
.
2 3
17.
tg ,
∈ 0;
19.
ctg ,
∈
;
20.
21.
√ ,
∈ 0; 1 .
22.
23.
1
,
24.
1
√
3
∈ 1; 4 .
,
√cos
.
∈ 0; 2 .
3
.
∈ 0;
,
,
cos
sin
∈ 0; 1 .
,
∈ 0;
1 ,
1
,
ln
2
,
∈ 0; 1 .
∈
.
∈ 1; 2
∈ 1; 1,5 .
1
,
1 5
∈ 2; 1 .
2 ,
1
.
3
∈ 0; 1 .
1
√1
2
∈ 1;
sin
12.
∈ 2; 3 . 14.
∈ 0;
;
.
185
25.
,
√4
∈ 0; 1 .
27.
cos
29.
sin
,
,
∈
2
;
.
1 2
; .
∈
26.
sin cos
28.
sin 2 cos 3 ,
30.
sin
,
∈ 0;
cos ,
∈
∈
2
2
2
;
;0.
2. Найти точки экстремума и точки перегиба функции.
1
1. Ф
3. Ф
7. Ф
3
2
5. Ф
1
.
2
1
8
.
1
9. Ф
⁄
11. Ф
5
2. Ф
4. Ф
.
.
6. Ф
8. Ф
.
10. Ф
4
1
.
12. Ф
.
.
3
1
1
1
.
ln
.
.
1
6
9
.
.
.
186
13. Ф
1
1
14. Ф
.
,
5
2
1
15. Ф
1
17. Ф
.
2
ln
19. Ф
21. Ф
.
16. Ф
.
.
4
.
23. Ф
2
3
.
25. Ф
1
1
2
1
2
3
.
4
.
.
3
20. Ф
2
1
22. Ф
4
5
24. Ф
2
3
.
26. Ф
2
1
.
28. Ф
3
2
30. Ф
4
3
.
.
.
27. Ф
29. Ф
18. Ф
1
.
.
.
187
3. Нарисовать область, ограниченную линиями, и вычислить ее
площадь.
1.
,
4
0,5
3.
2
3,
5.
2
6,
2
3
7.
12
2
11.
,
4.
2
2.
6.
,
8.
4,
4,
10.
2
,
0.
2 ,
2.
2
3
1.
1.
2
3,
6
17.
6,
19.
2
3,
2
21.
8
12,
18
23.
2
1,
5
3
4,
14.
,
4 .
16.
6.
18.
,
4.
20.
2
5
.
.
2.
2
.
1,
3.
2
.
,
1
2
.
3
24.
3
,
3 .
26.
6
3 ,
2 .
3 ,
5 .
1,
1.
4
5
2,
27.
15
2
5
,
8 .
28.
1
29.
15
2
3
,
10 .
30.
2
,
3
22.
25.
6.
2.
2.
12.
.
15.
2
.
5.
2
3,
2,
2
7 .
3,
3
13.
2.
3
5,
9.
1.
4 .
188
4. Нарисовать область, ограниченную линиями, и вычислить ее
площадь.
1.
3
4.
2 sin 3 .
7.
3 sin 2 .
4 cos 2 .
3.
2 1
cos
5.
3 cos 2 .
6.
2
cos 4 .
8.
2
9.
3 1
sin
sin 2 . 2.
cos 3 .
10.
4 sin 2 . 11.
2 sin
13.
2 sin 5 .
14.
3 cos 3 .
16.
cos
17.
2 1
sin
19.
2 cos 5 .
20.
1
cos .
22.
2sin
.
23.
1
√2 cos . 24.
25.
2 cos .
26.
2 2
28.
.
2 sin .
29.
1
1.
.
sin
2cos
.
2
.
12.
4 sin 4 .
15.
2
cos ,
18.
2 2
cos
21.
cos ,
1
2
27.
.
.
30.
cos .
.
2 cos .
√2 sin .
,
1
2 .
4
2sin
2
.
5. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной заданными линиями. В задачах 1 – 15 ось вращения
,в задачах 16 – 30 ось вращения
1.
3.
5.
8 ,
2
2
2
2.
0.
2| |.
,
2
2,
.
cos ,
1,
4.
0,
0.
6.
0,
sin
, 0
0.
1,
0.
2
.
189
7.
4,
1,
4,
0.
8.
2 ,
0.
10.
,
12.
1 ,
1.
1,
2.
4 ,
0.
,
0,
9.
3 ,
2 ,
11.
, 2
3
⁄
13.
2
15.
4
17.
arcsin ,
3
,
0,
0.
0, 0
,
0,
3. 14.
0.
0,
2
4
16.
1.
18.
1
0.
0.
2.
19. 2
3
,
0,
2 .
20.
21. 3
2
,
0,
3 .
22.
23.
2ch ,
2
25.
cos
3
,
2,
0.
24.
3
5
,
6
0.
0,
2.
26.
2
2,
0,
27.
4
5,
0,
2
0.
28.
2
3,
0,
1
0.
ln 2
3 ,
29.
30.
ln
2 ,
2 ln ,
, 8
,
4
2 ln ,
0,
0,
0.
.
4,
,
0.
2,
0.
0.
190
6. Нарисовать дугу кривой и вычислить ее длину.
4
.
3
,
1.
3.
⁄
5.
ln 2 cos
7.
ln
9.
4
2
9
11.
ln
13.
16 , 0
15.
4
, 0
4.
, 0
ln 3 sin
4.
ln , 1
.
3 6.
1 , 2
3.
, 0
√8.
81.
0.
4
,
ln
, 1
2
2.
3 ,
3.
1
3
3
, 0
3
14.
16.
√ , 0
2
12.
.
2
6
√3.
8. 9
2. 10.
5
, √3
2
,
2.
2.
4⁄3.
, 0
2
3.
, ln √3
ln √8.
17.
1 3
ln ,
4
19.
1,
4
4
.
3
0.
18.
ln cos
, 0
20.
ln 5 cos
, 0
,
21.
4ch , 0
4
1.
22.
ln 2 sin
23.
1
ch 2 , 0
2
3.
24.
ln sin ,
25.
, 0
26.
2 ln 4
1.
6
4
2
.
3
,
.
5
.
6
3
2
.
0.
191
27.
5
1 , 1
2.
29.
2ch , 0
2
1.
28.
2,5
30.
1
4
2 , 2
4.
1
ln , 1
2
.
7. Нарисовать дугу кривой и вычислить ее длину.
,
1.
2.
3.
1, 0
2
sin
,
6
,
2
1.
2 1
4
2.
0.
1,
1,
5.
√3 ,
,
6.
1
cos
2
1
cos 2 ,
4
7.
1
8.
sin ,
9.
,
10.
11.
3
1,
,
13.
,
14.
cos
1.
1
sin
2
1
sin 2 ,
4
2
, 0
4
2
,
0.
1.
1, 0
1.
1,
sin ,
.
1.
, 0
2
2
.
3
1.
, 0
1
2 .
1
cos , 0
,
2
12.
1
1
, 0
, 0
4.
,
cos
1
1.
sin
cos , 0
2 .
192
cos ,
15.
16.
3 cos
17.
cos ,
18.
sin , 0
cos 3 ,
3 sin
sin , 0
,
3
1.
sin 3 , 0
2
1, 0
√3.
4,
8
, 0
√2.
20.
1,
1
, 0
2.
,
3
cos
22.
,
24.
2 3 cos
25.
cos ,
28.
29.
2
6
,
sin
√8
1
1.
sin
,
cos
3
26.
27.
,
3
23.
,
sin
2 3 sin
sin , 0
2 sin
2 cos ,
1 ,
2
4
,
6
4
.
.
cos 3 ,
2
.
.
19.
21.
2
sin cos
, 0
8
2
.
1.
cos
2
2
, 0
sin 3 , 0
3
3
.
√8.
2 .
2 sin , 0
.
193
30.
2
4
,
6
, 0
√8.
8. Нарисовать дугу кривой и вычислить ее длину.
1.
1
cos .
3.
2 1
sin
5.
2 1
7.
2 1
9.
5
√2
13.
2sin
17.
2 cos , 0
.
4.
sin
sin
.
6.
2
⁄
cos
.
8.
3
, 0
, 0
11.
15.
2.
1
,
2 .
, 0
3
.
3
3
4
4
.
3
3 1
cos
.
.
4
.
3
,
2 cos
12.
5
14.
sin
16.
2cos
1
22.
4cos
23.
√2 sin .
24.
3sin
25.
sin
26.
3
cos
4
cos .
, 0
,
2
2
2 .
, 0
2
, 0
.
.
, 0
.
, 0
2 .
3
4
.
2 .
, 0
2
3
⁄
.
.
12
, 0
1
cos
.
21.
2
2 .
2
cos
3 , 0
2
⁄
20.
19.
.
cos .
10.
18.
6
, 0
3
.
194
27.
2 , 0
29.
sin
3
3
.
4
.
28.
3 1
sin
30.
cos
3
,
,
0.
6
0.
9*. Применение определенного интеграла.
I. С помощью подъемного крана извлекают железобетонную деталь со дна реки глубиной
м. Какая работа при этом совершается,
если деталь имеет форму правильного тетраэдра с ребром м ?
Плотность железобетона 2500 кг⁄м ,плотность воды 1000 кг⁄м .
1.
5;
1.
2.
6;
2.
3.
5;
2.
4.
7;
1,5.
5.
6;
1,2.
6.
7;
1.
II. Найти силу давления на пластинку, имеющую форму равм,нижнее –
м,а вы-
м, погруженную вертикально в воду на глубину
ностьводы 1000 кг⁄м .
м. Плот-
нобокой трапеции, верхнее основание которой
сота –
7.
0,1;
0,2;
0,3;
0,5.
8.
0,1;
0,3;
0,3;
0,4.
9.
0,2;
0,4;
0,1;
0,5.
10.
0,3;
0,6;
0,2;
0,3.
11.
0,2;
0,5;
0,1;
0,2.
12.
0,3;
0,4;
0,2;
0,4.
III. Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого м,радиус –
м.Плотностьводы 1000 кг⁄м .
13.
1;
0,3.
14.
1,2;
0,4. 15.
1,5;
0,4.
195
16.
1,1;
0,3. 17.
1,4;
0,5. 18.
1,3;
0,5.
см.Один конец ее соединен с баком,
IV. Труба имеет диаметр
м выше верхнего края трубы, а другой
в котором уровень воды на
закрыт заслонкой. Найти силу давления на заслонку. Плотностьводы
1000 кг⁄м .
19.
6;
1.
20.
8;
1,2.
21.
10;
1,4.
22.
12;
1,6. 23.
14;
1,8. 24.
16;
2.
V. Какую силу давления испытывает прямоугольная пластинка
длиной см и шириной
см, если она наклонена к горизонтальной по-
верхности воды под углом
и ее большая сторона находится на глусм?Плотностьводы 1000 кг⁄м .
бине
25.
10;
8;
30°;
30.
26.
15;
10;
30°;
30.
27.
16;
12;
45°;
10.
28.
18;
15;
45°;
20.
29.
20;
18;
60°;
30.
30.
14;
10;
60°;
15.
10. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
.
1.
4.
√
4
2.
3
.
5.
3
2
.
√
√ln
3.
6.
.
⁄
7.
cos
.
8.
3
.
9.
1
.
.
√ln
√
√
2
.
196
⁄
10.
6
13.
12
.
14.
.
4
1
11.
sin
1
12.
.
.
ln
cos
1
15.
2
.
1
.
⁄
16.
2
. 17.
√1
.
18.
.
⁄
19.
.
√1
⁄
arctg
1
22.
⁄
20.
.
23.
ln
.
1
√
21.
.
.
ln
24.
4
√
.
⁄
25.
ctg
26.
.
28.
2
5
.
29.
27.
.
1
4
.
1
30.
11. Найти и изобразить в плоскости
функции.
.
1.
ln
3.
2.
2 1
4.
.
6.
.
2
5.
7.
9.
4
1
ln 4
8 .
ln
1
2
3
.
√
1
9
30
2
8.
2
ln 1
10.
1
7
10
.
область определения
1
2 ln 9
5
.
ln
9
.
18
9
.
4 .
.
1
9
4
.
4
197
3
11.
12.
.
9
ln 1
ln
13.
15.
2
14.
.
arccos 1
.
17.
21.
ln
23.
25.
ln
.
2 .
20.
3
arcsin 2
2
1
2
27.
3 ln
4
29.
2
.
.
.
.
1
24.
11
4
26.
9
9
28.
ln
30.
ln 1
4
.
ln 9
18.
1
arcsin
1
22.
.
.
.
.
9
1
16.
2
19.
3
16
.
4.
9
16
9
18 .
9.
4
2
8
2
1 .
1
1
.
12. Применяя полный дифференциал, приближенно вычислить
(считать
1,57; 1°
1. 3
,
.
2.
1,02
∙ 0,97 .
5.
1,04
0,98
4. 1,02
0,017 .
,
0,05 .
3.
2,92
1,03 .
ln 1,02 .
6.
0,98
2,02 .
198
7. sin 28° ∙ tg 44°.
10. 4
,
3 ∙ 0,89
1,97
1 .
1,02
16. 6,03 ∙ sin 29°.
1,04
.
0,92
22. 3,03
,
25.
1,09
2,96 .
. 12. 0,96
∙ 1,02 .
9.
0,03
14.
3
,
11 ∙ 1,97 .
15.
sin 1,55
8
17.
cos 1,55
3,98 .
18.
2,01
117,1.
20. ln 0,97
0,08
. 21.
11,97
2,02 .
1,05
1,97 .
24. cos 61°
2 ∙ tg 44°.
2,03
∙ 3,98 .
27.
,
1,04
4.
23.
7,05.
26. 3
28. cos 59° ∙ tg 46°.
4,05
1,98 .
. 11. ln 1,02
13. arctg
19. arctg
1,04
8.
29. 0,97
,
,
. 30. ln 0,09
,
.
5 ∙ 2,97 .
0,99 .
13. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к по.
верхности в заданной точке
1
1.
2
2.
4.
3
1
2
5. 5
5; 1; 2 .
0;
2; 2; 1 .
;
1; 1; 10 .
;
2
3
6.
7.
2
8.
3
9
2
4
ln
13
2
8
2;
0;
0;
1; 1; 1 .
1; 2; 1 .
1; 2; 1 .
0;
2
2
9.
10.
6
3
3.
1; 2; 2 .
0;
20
0;
2; 3; 3 .
0;
3; 1; 2 .
1; 2; 2 .
199
11. 3
3
√
5
13. 4
14.
2
15.
2
3
18.
3
5
16
0;
1; 1; 3 .
3
0;
1; 2; 3 .
2
2
5
ln
23.
ln
2 ln
2
3
ln
2
5
25.
6
1; 1; 1 .
1; 1; 1 .
0;
1; 2; 2 .
6
2
2
0;
1; 2; 1 .
6
25
3
2
1
3
2
3
2
1; 1; 1 .
0;
1; 1; 1 .
0;
1
2
2
0;
1
27.
29.
1; 1; 2 .
2
4
1
28.
;
21;
ln
1; 2; 2 .
0;
2; 1; 2 .
0;
2
1; 2; 2 .
0;
2; 1; 5 .
3 ;
2
1; 2; 10 .
0;
10
2
21.
30.
2; 2; 2 .
2
20.
26.
0;
2
19.
24.
30
3
2
17.
22.
3
2
16.
4; 4; 5 .
0;
2
3
12.
2
5
0;
1; 1; 1 .
1; 1; 2 .
0;
5
10
0;
24
0;
1; 1; 2 .
1; 1; 2 .
200
14. Найти производную функции вточке
в направлении век-
тора .
1.
4
2.
2
3.
2; 1; 1 ;
;
1
1
1; 1; 2 ;
;
4.
2
2
6.
7.
3
8.
3
2
2;
1; 1; 1 ;
;
1; 1; 1 ;
1; 2; 2 ;
4
13.
ln
14.
15.
16.
ln
17.
arctg
3; 12; 4 .
2; 3; 6 .
4; 8; 1 .
2;
2; 3; 1 ;
3; 4; 12 .
;
1; 1; 1 ;
2; 3; 6 .
1; 1; 1 ;
2
;
ln
2 ln ;
arctg
4; 1; 8 .
1; 5; 2 ;
;
3
1; 2; 2 .
2; 1; 1 ;
1;
2
3; 12; 4 .
4; 5; 1 ;
2
4; 3; 12 .
2; 3; 6 .
1; 1; 1 ;
;
12.
4; 8; 1 .
1; 1; 3 ;
;
;
3
11.
12; 3; 4 .
2; 3; 6 .
;
ln 2
9.
8; 4; 1 .
2; 1; 2 ;
;
5.
10.
1; 2; 1 ;
;
;
1; 1; 2 ;
1; 1; 1 ;
1; 2; 2 .
8; 4; 1 .
12; 4; 3 .
201
18.
19.
ln
ln
21.
1
2
3
1
2
3; 6; 2 .
3; 3; 1 ;
5;
1; 1; 1 ;
2; 1; 2 .
2
1; 2; 1 ;
;
4; 12; 3 .
1; 1; 1 ;
6
2
1; 8; 4 .
1
2
1
4; 12; 3 .
4
2
1 ;
1; 1; 1 ;
1; 1; 1 ;
6; 2; 3 .
1; 1; 1 ;
8; 4; 1 .
28.
6
1; 8; 4 .
6
1
2
1; 2; 1 ;
;
5
27.
12; 4; 3 .
12
25.
26.
8; 1; 4 .
1; 1; 1 ;
;
2
22.
24.
;
2
3; 2; 6 .
1; 1; 2 ;
;
3
20.
23.
1; 1; 1 ;
ln ;
;
1; 1; 1 ;
;
1 ;
29.
2
3
;
30.
2
2
2 ;
6; 2; 3 .
1; 1; 1 ;
2; 1; 2 .
15. Задачи на градиент и производную по направлению.
I. Найти угол между градиентами функции в точках и .
1.
ln ;
2.
1; 1 .
5; 3 ;
4; 2 .
;
3.
4.
0,5; 0,25 ;
3
;
3; 1 ;
;
2; 1 ;
2; 1 .
0; 3 .
202
1; 1 ;
;
1; 1 .
5.
arctg
6.
ln
;
1; 1 ;
2; 2 .
7.
ln
;
0; 1 ;
1; 1 .
8.
2; 1 ;
;
9.
arctg ;
10.
√
2; 1 ;
;
3; 4 .
5; 3 .
1; 4 ;
9; 1 .
II. Найти угол между градиентами функций и
2
3
;
2
;
3; 4 .
11.
12.
√ ;
13.
arctg ;
14.
;
4
2 ;
;
15.
;
16.
;
1; 8 .
17.
arcsin ;
18.
;
2
1; 1 .
4
;
;
1; 2 .
3
3
;
2
;
1; 2 .
;
1; 2 .
2; 1 .
1; 0 .
в точке
.
203
19.
;
20.
;
;
ln ;
2; 1 .
0,5; 0,25 .
III. Найти максимально возможное значение производной по
направлению функции в точке
21.
.
22.
√
6 ;
1; 4 .
4; 3 .
;
23.
;
2
1; 1 .
25.
;
0; 2 .
27.
ln sin
;
29.
arctg
;
24.
;
26.
ln √
1; 3 .
28.
ln
4; 16 .
30.
2 √ ;
3; 2 .
;
1; 4 .
;
1; 1 .
1; 1 .
16. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом некоторой функции двух переменных
да, то найти ее.
1.
ln
2. 3
6
3.
2
4. 3
1
2
6
1
3
1
4
.
1
.
.
3
2
.
;
, и, если
204
5.
1
2
1
6.
2
.
.
2
1
7.
.
.
8. 2
9. 4
3
1
10.
5
3
11. 3
14.
cos
2
sin 2
sin
3
sin
1
19.
2
6
.
1
2
3
3
sin
sin 2
1
cos
4
5
2
2
.
.
3
ln
2
cos
1
.
.
3
sin
1
3
.
cos
2
18.
21.
.
2
17.
20.
2
.
sin
15.
16.
3
6
sin
12.
13.
3
1
.
.
.
.
.
205
22.
cos
4
23. 6
2
3
24.
6
2
2
25.
2
.
cos
2
3
3
2
3
2
2
1
2.
7
3.
2
4.
2
2
3
6
.
2
3
1
7.
4
2
18
1
6
10.
.
3
8
.
2
1.
.
3
8.
15
4
.
6
3
10.
11.
4
1
6.
6 .
2
5.
9.
.
6
1
6
5.
.
.
.
2
17. Найти экстремумы функции.
1.
.
.
sin
1
3
.
.
2
1
.
1
1
29.
1
3
2
28. 2
1
2
2
27. 3
3
3
5
26. 2
30.
sin
.
206
13
12.
13.
3
6
14.
2
6
15.
2
;
3
2
0.
;
15
3
12.
4
5.
0,
0.
1;
;
9
0.
4.
5
1
0,
10.
9
4
28.
30.
2
6
2
26.
29.
3 .
8
;
27
4
23.
27.
2
7
22.
25.
0,
7 .
6
20.
24.
;
11 .
3
2
0.
.
2
18.
21.
0,
5
17.
19.
7.
.
3
16.
11
0,
0,
16;
2
0.
0,
.
3
18*. Найти оптимум.
6
0.
7.
0.
207
1. В данный прямой круговой конус вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
2. Найти кратчайшее расстояние между параболой
2
мой
0.
3. Даны три точки
4; 0; 4 ,
верхности шара
миды
и пря-
4; 4; 4 и
4; 4; 0 . Найтина по-
4 такую точку
, чтобы объем пира-
был наибольшим.
4. При каких размерах прямоугольного открытого ящика с заданным объемом
32 м его поверхность будет наименьшей?
5. В шар радиуса
вписать прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема.
6. Шатер имеет форму цилиндра, завершенного сверху прямым
круговым конусом. При данной полной поверхности шатра определить его измерения так, чтобы объем был наибольшим.
7. Определить размеры конуса наименьшей боковой поверхности при условии, что его объем равен .
8. Определить наружные размеры котла цилиндрической
формы с заданной толщиной стенок и емкостью
так, чтобы на его
изготовление пошло наименьшее количество материала.
9. Нужно построить конический шатер наибольшего объема из
данного количества материала .Каковы должны быть его размеры?
10. На плоскости 3
2
0найти точку, сумма квадратов рас-
стояний которой от точек
1; 1; 1 и
2; 3; 4 наименьшая.
11. Даны три точки
4; 0; 4 ,
4; 4; 4 и
4; 4; 0 . Найтина по-
4 такую точку
, чтобы объем пира-
верхности шара
миды
был наименьшим.
12. Шатер имеет форму цилиндра, завершенного сверху прямым круговым конусом. При данном объеме шатра определить его
измерения так, чтобы его полная поверхность была наименьшей.
13. Из всех эллипсов, у которых сумма осей постоянна и равна
24, найти наибольший по площади.
208
14. Найти треугольник данного периметра 2 ,который при вращении вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.
15. Положительное число
разбить на три неотрицательных
слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
16. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной
вместимости имеет наименьшую поверхность?
17. При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с полукруглым поперечным сечением, площадь поверхности которой равна
3 м ,имеет наибольшую вместимость?
18. Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью
поверхности , имеющий наибольший объем.
19. На плоскости
найти точку
;
0,
стояний которой от трех прямых
,сумма квадратов рас0,
1
0была бы
наименьшей.
20. Через точку
; ;
провести плоскость, образующую с ко-
ординатными плоскостями тетраэдр наименьшего объема.
21. В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема.
1касательная к нему обра-
22. В какой точке эллипса
зует с осями координат треугольник наименьшей площади?
23. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.
1; 2; 3 до прямой,
24. Найти кратчайшее расстояние от точки
.
заданной уравнениями
25. Найти длины полуосей эллипса 36
24
26. Найти кратчайшее расстояние от точки
заданного уравнением 4
9
29
180.
1; 0 до эллипса,
36.
27. Среди всех треугольников данного периметра 2 найти треугольник наибольшей площади.
209
28. Среди всех треугольников, вписанных в круг радиуса ,найти
треугольник наибольшей площади.
29. Из всех треугольников с одинаковым основанием и одним и
тем же углом при вершине найти наибольший по площади.
2
4
8 найти точку, наиболее
19. В двойном интеграле ∬
;
изобразить область
30. На эллипсоиде
удаленную от точки 0; 0; 3 .
на чертеже, перейти к повторному, расставив пределы интегрирования в различных порядках, если область интегрирования ограничена
линиями:
1.
,
2√ ,
2.
2.
,
2,
0.
4.
0,5
1,
7
,
1.
6.
0,
0,5
1,
0.
8.
0,
2,
0. 10.
0,
1,5 ,
0.
12.
0,
4.
14.
0,
1.
16.
0,25
4
3.
5.
,
7.
ln ,
9.
11.
4
,
1,
cos ,
15.
√ ,
17.
2
21.
2,
0,
1,
13.
19.
3,
0,
,
,
2
,
2 ,
.
1
20.
6.
22.
1
,
0.
,
0.
7
2.
25
⁄
1.
,
,
,
1
√2
4
.
.
,
1
.
,
2 ,
18.
2.
,
2
,
2.
1,
1,
2.
0,
1,
2.
.
210
23.
1.
24.
,
25.
0,
2
26.
1
1,
,
0,
2
28.
0,
4,
2
29.
0,
4,
2
30.
2,
3.
0.
0,5,
27.
1,
0,
1,
1.
.
4
2
2
4 ,
,
3
,
3
8 ,
2
2
.
.
2 ,
.
20. Вычислить объем тела, образованного данными поверхностями.
1.
√ ,
2√ ,
2.
0,
0, 6
3.
4,
3
2
2, 3
4.
0,
5.
4
7.
4
,
8.
1
,
9.
1
10.
4
5,
2,
4,
0,
0.
0,
0,
0.
2 ,
0.
0.
0,
1,
,
2
3,
,
,
0.
.
1,
,
6.
6,
2, 3
2, 2
2
0.
0.
0,
1,
0,
0,
0,
1,
1,
0.
1,
1.
211
11.
1
,
12. 2
2
0,
2
15.
0,
16.
2
, 2
3
18.
0,25
19.
20.
0,
9.
,
0,
2
0,
,
4
2
,
,
0.
27.
6,
4 ,
0,
,
30.
2
,
0,
,
0,
2,
0,
0,
.
0.
2,
√3 .
1,
0.
0.
.
25
2,
1,
,
0,
0,
26.
29.
.
4,
1,
,
28.
0.
1,
0,
.
1.
,
0,
0.
9.
,
0,
0.
1.
0,
1,
,
0,
0, 2
0, 2
4,
0,
0,25
,
24.
25.
0,
2√ ,
22.
23.
0,
0,
,
4
4,
6,
,
0.
.
3, 2
,
,
21.
12
1,
,
0,
,
17.
,
0,
1,
13.
14.
0,5 ,
0.
0.
212
21*. Для плоской фигуры (пластинки), ограниченной линией
, найти координаты центра тяжести и моменты инерции относи,
тельно осей
;
плотность
0;
1. :
0; 0 . Если в условии задачи не дана
и точки
, то пластинка считается однородной
).
4
4,
2
4.
2. : круговой сектор радиуса
3. :
2 ,
1,
4. :
sin ,
5. :
2,
0;
2
1
cos
7. :
2
cos 2 ,
;
,
.
0.
2,
6. :
с углом при вершине 2 .
2.
.
4
4
.
8. :
1,
0,
0;
;
9. :
2,
0,
0;
;
10. :
4 ,
2,
0;
;
11. :
,
,
0,
0.
12. :
cos 2 ,
4
0,
0,
.
14. : треугольник
, где
1; 1 ,
15. :
,
4
,
0.
1.
2 .
2
.
.
4
13. :
2
2; 1 ,
3; 3 .
0;
213
16. :
sin ,
0, 0
17. :
cos ,
0,
18. :
,
.
21. :
25
1,
9
5
sin ,
22. :
0,
0, 0
,
;
.
4
.
0.
1,
0.
,
25. :
;0 ,
0.
23. :
24. :
.
1.
3
1,
4
0; 2 ,
, где
19. : треугольник
20. :
.
,
0.
26. : сектор кругового кольца с центральным углом
и .
27. :
2
28. :
1
29. :
2 ,
30. :
,
0.
cos
.
и радиусами
2.
,
0.
22*. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
1.
.
2.
0;
0 .
.
214
4
3.
5.
4.
.
6.
2
8.
4
.
10.
4 ,
16
4
7.
.
.
9.
2
11.
4
8.
.
2
13.
15.
2
,
17.
2
.
19.
.
,
1
,
24.
,
26.
,
16
27.
28.
29.
30.
√1
2,
16.
4
,
2,
4
0.
0,
0,
0,
0.
0,
6
0.
2,
.
.
0.
,
.
0,
0.
0.
.
1,
6.
0.
2 ,
0,5,
.
cos .
4
0,5 ,
5
2
2
,
,
2
, 3
4
2
22.
,
5,
1
14.
,
1,
9
2 ,
20.
2.
23.
25.
12.
18.
1.
21.
.
.
0,5 .
.
215
23*. Вычислить тройной интеграл.
1.
,
0,
–область, ограниченная плоскостями
0,
0,
1.
2.
,
–куб, ограниченный плоскостями
0,
3.
0,
1,
0,
1,
0,
0,
0,
1,
3,
0,
0,
2,
4 ,
1.
1
,
–область, ограниченная плоскостями
1.
4.
,
–параллелепипед, ограниченный плоскостями
0,
2,
5.
2,
1
5.
,
0,
–область, ограниченная плоскостями
1.
,
6.
–область, ограниченная плоскостями
0,
2.
0,
216
,
7.
–область, ограниченная плоскостями
1,
8.
0,
0,
0,
1,
,
1,
0,
10 ,
.
,
2
–область, ограниченная плоскостями
0,
0,
1.
9.
,
–область, ограниченная плоскостями
0 и параболоидом
10.
.
sin
,
–область, ограниченная плоскостями
,
0,
11.
0,
2,
0,
1.
,
–область, ограниченная плоскостью
2 и параболоидом
.
2
12.
,
–область, ограниченная поверхностями
1
,
0.
13.
,
–область, ограниченная поверхностями
,
1.
217
,
14.
–область, ограниченная поверхностями
,
.
15.
,
–область, ограниченная поверхностями
16.
,
1.
,
–цилиндр, ограниченный поверхностью
2,
стями
17.
1 и плоско-
3.
,
4 ,
–область, ограниченная поверхностями
.
18.
,
–цилиндр, ограниченный поверхностью
стями
19.
3,
3.
,
–область, ограниченная сферой
стью параболоида 9
20.
16 и плоско-
22 и поверхно-
.
,
–область, ограниченная поверхностями
,
1.
218
21.
,
⁄
1
1.
–шар
22.
,
.
–область, ограниченная поверхностью
23.
,
–область,
стями
0,
ограниченная
0,
24.
1, плоско-
сферой
0 и расположена в первом октанте.
,
–область,
стями
ограниченная
0,
0,
0 и расположена в первом октанте.
25.
2
,
–область, ограниченная сферой
26.
1, плоско-
сферой
1.
,
4,
–область, ограниченная поверхностями
0
0 .
27.
,
4.
–область, ограниченная поверхностью
28.
,
–область, ограниченная сферой
2 .
219
29.
,
4, плоскостями
–область, ограниченная сферой
0,
0,
0 и расположена в первом октанте.
,
30.
–область, ограниченная поверхностями 1
4,
0.
24. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии . При вычислении интеграла по замкнутому контуру обходить контур против
0;
часовой стрелки
1.
1
2
2.
2
3.
4.
5.
6.
0;
0 .
;
:
2
;
0; 0 ,
1; 2 .
;
:
2√ ;
0; 0 ,
1; 2 .
;
1; 1 ,
2
2
;
;
3
:
2
;
:
:
2cos ,
2 cos ,
;
:
2 sin .
3 cos ,
2sin .
1; 1 .
2 sin .
220
7.
;
: отрезок
1; 2 ,
9.
10.
;
3; 5 .
; : ломаная
;
5; 1 ,
5; 3 .
;
1; 0 ,
: ломаная
;
11.
sin
sin
13.
;
14.
; :
;
:
;
2
;0 ,
;
:
1
1; 0 ,
1; 1 ,
0;
;
1; 0 ,
sin
:
| |;
:
: отрезок
ln ;
15.
;
3; 2 ,
2; 1 ,
16.
3; 6 .
; : ломаная
8.
12.
1; 2 ,
;
,
1
cos
0; 0 .
4.
1
1.
2; 2 .
;0 .
;1 .
,
0; 1 .
;
221
17.
18.
;
2
;
;
19.
20.
23.
tg
26.
0; 3 .
2; 1 ,
;
1,
0,
0.
:
,
:
2 sin 2
1
cos
;
2 ln
4
1; 0 ,
1; 1 ,
;
;
5
1;
: любая линия;
:
1
2; 1 ,
;
1;
8
6
,
6
2;
,
4
2;
4
.
.
1.
4
: ломаная
3
2; 2 .
4.
: отрезок
;
6
1; 1 .
;
24.
25.
0; 0 ,
: любая линия;
;
cos 2
;
: ломаная
21.
22.
:
;
1; 0 ,
2; 0 ,
1; 2 .
5
;
: отрезок
;
1; 2 .
222
27.
6
28.
5
⁄
3
⁄
;
5
;
:
0,
: дуга астроиды
;0 ,
0;
3,
√ .
cos ,
sin ;
.
29.
;
30.
: ломаная
;
:
;0 ,
;
;
,
0;
.
.
25*. Вычислить поверхностный интеграл второго рода.
1.
,
1, ограниченной коорди-
– верхняя сторона плоскости
натными плоскостями.
2.
5
,
– верхняя сторона части плоскости 2
3
6, лежащей в
четвертом октанте.
3.
,
– внешняя сторона тетраэдра, ограниченного плоскостями
2,
4.
0,
0,
0.
,
223
– внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями
1,
0,
0,
0.
5.
,
– положительная сторона куба, ограниченного плоскостями
0,
0,
0,
1,
1,
1.
6.
,
– внешняя сторона поверхности верхней полусферы
1.
,
7.
,
– внешняя сторона конической поверхности
0
1.
8.
,
– внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте
и
составленной
0,
0,
9.
0,
из
1
цилиндра
и
плоскостей
2.
,
10, расположенная в
– внешняя поверхность плоскости
первом октанте.
10.
,
–верхняя сторона плоскости 3
координатными плоскостями.
11.
2
3
,
6
2
6
0, ограниченной
224
1, ограниченной коорди-
–верхняя сторона плоскости
натными плоскостями.
12.
,
–верхняя сторона части плоскости 1
0, лежащей в
четвертом октанте.
13.
,
,
– внешняя сторона поверхности параболоида
0
1.
14.
,
1,
– внешняя сторона поверхности цилиндра
0и
заключенная между плоскостями
15.
1.
,
1, расположенная в первом
–верхняя сторона плоскости
октанте между плоскостями
0и
16.
,
1.
– внешняя сторона поверхности верхней полусферы
4.
17.
,
– внешняя сторона поверхности части сферы
расположенной в первом октанте.
18.
2
3
,
1,
225
– внешняя сторона боковой поверхности конуса, осью которого
, вершина находится в точке
служит ось
круг радиуса 2, лежащий в плоскости
19.
1
0; 0; 1 , а основание –
.
3
,
,
– внешняя сторона конической поверхности
0
20.
1.
1
,
1, ограниченная плоскостями
– часть плоскости
1,
0,
0,
0,
– нормаль, образующая острый угол с осью
.
21.
9
18
,
2
– верхняя сторона плоскости
3
1, ограниченной коор-
динатными плоскостями.
22.
,
, заключенная между плоскостями
– часть конуса
0,
1,
23.
1
– нормаль, образующая тупой угол с осью
1
2
,
– внешняя сторона поверхности параболоида
0
.
,
1.
24.
,
– верхняя сторона плоскости 2
ординатными плоскостями.
2
2
0, ограниченной ко-
226
25.
3
,
– верхняя сторона части плоскости 2
2
0, лежащей в
четвертом октанте.
,
26.
1.
– верхняя сторона нижней половины сферы
27.
,
– верхняя сторона части плоскости 2
3
4
12, лежащей в
первом октанте.
,
28.
1,
– внутренняя сторона поверхности полусферы
0.
29.
,
– верхняя сторона части плоскости
2
2
0, лежащей в
четвертом октанте.
30.
6
,
–верхняя сторона части плоскости
1, лежащей в пер-
вом октанте.
26*. Вычислить дивергенцию векторного поля .
.
1.
.
3.
5.
.
2.
.
4.
6.
.
.
227
.
7.
8.
.
9.
1
11.
1
13.
15.
.
10.
.
12.
.
.
14.
.
16.
.
17.
.
1
.
.
18.
19.
.
.
.
20.
2
21.
22.
3
2
.
.
.
23.
.
24.
25.
.
26.
.
.
27.
28.
29.
1
2
1
2
1
2
.
.
228
30.
.
27*. Вычислить ротор векторного поля .
1.
.
.
3.
.
13.
15.
1
.
8.
.
1
.
6.
7.
9.
.
4.
.
5.
11.
2.
.
10.
12.
.
.
14.
.
16.
17.
.
23.
24.
25.
1
.
.
.
.
.
20.
22.
.
18.
19.
21.
.
2
3
2
.
.
.
.
.
229
26.
.
.
27.
28.
29.
30.
1
2
1
2
1
2
.
.
.
230
Список литературы
1. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа
/ Г.Н. Берман. – СПб.: Лань, 2020.
2. Задачник по курсу математического анализа. В 2 ч. Ч. 1 / под
ред. Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1971.
3. Задачник по курсу математического анализа. В 2 ч. Ч. 2 / под
ред. Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1971.
4. Ильин, В.А.Основы математического анализа / В.А.Ильин,
Э.Г. Позняк.– М.: Физматлит, 2002.
5. Краснов, М.Л.Вся высшая математика /М.Л.Краснови др.– М.:
Либроком, 2014.
6. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу. –
М.: Айрис-пресс, 2007.
7. Марон, И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в
примерах и задачах / И.А.Марон. – М.: Наука, 1970.
8. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике / В.П.
Минорский. – М.: Физматлит, 2010.
9. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление
/ Н.С. Пискунов.– М.: Наука, 1996.
10. Письменный, Д.Т. Конспекты лекций по высшей математике.
Полный курс / Д.Т. Письменный.– М.: Айрис-пресс, 2009.
11. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/
под ред. Б.П. Демидовича. – М.: МГУ, 1997.
12. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления / Г.М.Фихтенгольц. – М.: Лань, 2019.
231
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ………………………………………………….
3
Расчетно-графическая работа 2.1
«Неопределенные интегралы»
Неопределенный интеграл
1.
Определение неопределенного интеграла и его основные свойства………………………………………………….
1.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл……………………..………………………………….
1.2.Свойства неопределенного интеграла ...…………
1.3.Таблица основных интегралов……………………..
2.
4
4
5
7
Основные методы интегрирования……………………
2.1.Интегрирование методом подведения под знак
дифференциала и методом замены переменной……………………………………………………………
2.2. Некоторые простейшие интегралы, содержащие
квадратный трехчлен…….……………………………….
2.3. Интегрирование по частям………………………….
Интегрирование рациональных функций………………
Интегрирование тригонометрических функций…..…..
Интегрирование иррациональных функций…………...
5.1. Интегрирование простейших алгебраических иррациональностей……………………………………….
5.2. Тригонометрические подстановки…………………
5.3. Интегралы от дифференциальных биномов…….
5.4. Подстановки Эйлера…………………………………
12
14
21
28
34
Расчетно-графическая работа 2.1……………………………..
44
3.
4.
5.
9
9
34
34
37
41
232
Расчетно-графическая работа 2.2
«Определенные интегралы и функции многих переменных»
1. Определенный интеграл
1.1. Определение определенного интеграла и его
основные свойства…………………….……………………......
1.1.1. Понятие определенного интеграла ……………
1.1.2. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла………………………...
1.1.3. Свойства определенного интеграла…………….
1.1.4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом………………………………………………
1.2. Приложения определенного интеграла………………..
1.2.1. Площадь плоской фигуры ………………………..
1.2.2. Объем тела вращения…………………………….
1.2.3. Длина дуги кривой……………………………...…..
1.2.4. Механические приложения определенного
интеграла… ……………………………………………
71
71
74
77
81
83
83
88
91
95
1.3. Несобственные интегралы……………………………….
95
1.3.1. Интегралы с бесконечными промежутками интегрирования……………………………………………….
98
1.3.2. Интегралы от неограниченных функций………. 100
2. Функции нескольких переменных
2.1. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных……………………………………..….
2.1.1. Определение функции двух переменных……..
2.1.2. Частные производные…………………………….
2.1.3. Полный дифференциал…………….…………….
2.1.4. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности…………………………....……………………
2.1.5. Производная по направлению……………………
2.1.6. Градиент……………………………………………...
2.1.7. Нахождение функции двух переменных по ее
полному дифференциалу…………………………………
103
103
104
107
110
111
114
115
233
2.1.8. Частные производные и дифференциалы
высших порядков…………………………………………... 118
2.1.9. Экстремум функции двух переменных…………. 122
2.1.10. Условный экстремум. Метод множителей
Лагранжа…………………………………………..….…….. 126
2.2. Двойные интегралы……………………….……………….
2.2.1. Определение двойного интеграла и его
основные свойства………………………………….......…
2.2.2. Вычисление двойного интеграла в
прямоугольных координатах…………………………….
2.2.3. Двойной интеграл в полярных
координатах……………………………………………….
2.2.4. Приложения двойного интеграла……...…………
131
2.3. Тройные интегралы…………………..……………………
2.3.1. Определение тройного интеграла……………….
2.3.2. Вычисление тройного интеграла ………………..
2.3.3. Замена переменных в тройном интеграле……..
152
152
153
157
2.4. Криволинейные интегралы……………………………….
2.4.1. Определение криволинейного интеграла
второго рода……………………………………………….
2.4.2. Вычисление криволинейного интеграла
второго рода……………………………………………….
2.4.3. Формула Грина……………………………………..
2.4.4. Условия независимости криволинейного
интеграла второго рода от пути интегрирования…….
163
2.5. Поверхностные интегралы……………………………….
178
131
135
142
146
166
167
171
174
2.6. Дивергенция и ротор векторного поля…………………. 182
Расчетно-графическая работа 2.2…………………………….. 184
Список литературы……………………………………………….
230
Учебное издание
ИЗОТОВА Светлана Александровна
ДЕЗА Наталия Валериевна
КИРЕЕВА Светлана Васильевна
СОЛИЕВ Юнус Солиевич
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА
(ВТОРОЙ СЕМЕСТР)
Редактор В.В. Виноградова
Редакционно-издательский отдел МАДИ. E-mail: [email protected]
Подписано в печать 27.06.2022 г. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 14,6. Тираж 100 экз. Заказ
. Цена 1780 руб.
МАДИ, Москва, 125319, Ленинградский пр-т, 64.