КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА дисциплина математика вариант 3 1.3. 𝟑 Даны матрицы А, В и С: А= (𝟖 𝟎 Найти матрицы: а) 2А+3В б) 3А-2В в) АС 𝟑 𝟏); 𝟕 𝟗 −𝟏 𝟓 В=(𝟖 𝟔 ); С=( −𝟑 𝟒 𝟓 𝟎 𝟔 𝟐 ) 𝟏 Решение: 3 3 9 −1 6 а) 2А+3В = 2 × (8 1) + 3 × (8 6 ) = (16 0 7 4 5 0 6 27 −3 33 3 2 ) + (24 18 ) = (40 20) 14 12 15 12 29 3 3 9 −1 9 9 18 б) 3А-2В = 3 × (8 1) − 2 × (8 6 ) = (24 3 ) − (16 0 7 4 5 0 21 8 3 в) А × С = (8 0 3 5 0 2 ) 1) × ( −3 6 1 7 А – 2 столбца С – 2 строки, умножение возможно АС11 = 3 × 5 + 3 × (−3) = 6 АС12 = 3 × 0 + 3 × 6 = 18 АС13 = 3 × 2 + 3 × 1 = 9 АС21 = 8 × 5 + 1 × (−3) = 37 АС22 = 8 × 0 + 1 × 6 = 6 АС23 = 8 × 2 + 1 × 1 = 17 АС31 = 0 × 5 + 7 × (−3) = −21 АС32 = 0 × 0 + 7 × 6 = 42 АС33 = 0 × 2 + 7 × 1 = 7 6 18 АС = ( 37 6 −21 42 9 17) 7 Ответ: 33 а) 2А+3В = (40 12 3 20) 29 −2 −9 11 12 ) = ( 8 −9) 10 −8 11 −9 11 б) 3А-2В = ( 8 −9) −8 11 6 18 в) АС= ( 37 6 −21 42 9 17) 7 2.3. Найти матрицу, обратную А 𝟐 𝟎 −𝟏 А = (𝟑 𝟒 𝟏) 𝟎 −𝟐 𝟓 Решение: 1. 𝑑𝑒𝑡А = +2 × | 4 1 3 1 3 4 |−0×| | + (−1) × | |= −2 5 0 5 0 −2 = 2 × (4 × 5 − (−2) × 1) + 0 − 1 × (3 × (−2) − 4 × 0) = 2 × 22 + 0 − 1 × (−6) = 44 + 6 = 50 𝑑𝑒𝑡А = 50 ≠ 0, А−1 существует А∗ 2. А−1 = 𝑑𝑒𝑡А А А23 4 1 3. А11 = + | 22 | = +| | = 4 × 5 − 1 × (−2) = 22 А32 А33 −2 5 3 1 А12 = − | | = −(3 × 5 − 1 × 0) = −15 0 5 3 4 А13 = + | | = 3 × (−2) − 4 × 0 = 6 0 −2 0 −1 А21 = − | | = −(0 × 5 − (−1) × (−2) = 2 −2 5 2 −1 А22 = + | | = 2 × 5 − (−1) × 0 = 10 0 5 2 0 А23 = − | | = −(2 × (−2) − 0 × 0 = 4 0 −2 0 −1 А31 = + | | = 0 × 1 − (−1) × 4 = 4 4 1 2 −1 А32 = − | | = −(2 × 1 − (−1) × 3) = −5 3 1 2 0 А33 = + | | =2×4−0×3= 8 3 4 А11 А = (А12 А13 ∗ −1 4. А А21 А22 А23 А31 22 2 А32 ) = (−15 10 А33 −6 4 А11 А21 А22 А23 А∗ 1 = 𝑑𝑒𝑡А = 50 × (А12 А13 4 −5) 8 А31 0,44 0,04 0,08 22 2 4 А32 ) = 0,02× (−15 10 −5) = ( −0,3 0,2 −0,1) −0,12 0,08 0,16 А33 −6 4 8 0,44 0,04 0,08 Ответ: А−1 = ( −0,3 0,2 −0,1) −0,12 0,08 0,16 3.3. Решить систему уравнений методом Крамера 𝟐х𝟏 − 𝟑х𝟐 + х𝟑 = 𝟐 {х𝟏 + 𝟓х𝟐 − 𝟒х𝟑 = −𝟓 𝟒х𝟏 + х𝟐 − 𝟑х𝟑 = −𝟒 Решение: 2 −3 1 2 1. А = (1 5 −4) |−5 4 1 −3 −4 1 −4 5 −4 1 5 | − (−3) | |+ 1| | 4 −3 1 −3 4 1 = 2 × (5 × (−3) − 1 × (−4) + 3 × (1 × (−3) − 4 × (−4)) + 1 × (1 × 1 − 5 × 4) = 2 × (−11) + 3 × 13 + 1 × (−19) = −2 𝑑𝑒𝑡А = −2 ≠ 0 𝑑𝑒𝑡А = 2 | 𝟐 −3 1 5 −4) −𝟒 1 −3 2. 𝑑𝑒𝑡х1 из (−𝟓 5 −4 −5 −4 −5 5 𝑑𝑒𝑡х1 = 2 × | | − (−3) × | |+1×| | = 2 × (5 × (−3) − (−4) × 1) + 3 × 1 −3 −4 −3 −4 1 (−5 × (−3) − (−4) × (−4)) + 1 × (−5 × 1 − 5 × (−4) = 2 × (−11) + 3 × (−1) + 1 × 15 = −10 2 𝟐 1 3. 𝑑𝑒𝑡х2 из (1 −𝟓 −4) 4 −𝟒 −3 𝑑𝑒𝑡х2 = −12 2 −3 𝟐 5 −𝟓) 4 1 −𝟒 4. 𝑑𝑒𝑡х3 из (1 𝑑𝑒𝑡х3 = −20 5. находим х1, х2 и х3 х1 = det х1 = −10 ÷ (−2) = 5 𝑑𝑒𝑡А х2 = det х2 = −12 ÷ (−2) = 6 𝑑𝑒𝑡А х3 = det х3 = −20 ÷ (−2) = 10 𝑑𝑒𝑡А Ответ: х1 = 5, х2 = 6, х3 = 10, 4.3. Известны координаты трех точек А, В и С. Требуется средствам векторной алгебры найти: 1) длину вектора ⃗⃗⃗⃗⃗ АВ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2) угол между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗ АВ и АС 3) площадь треугольника АВС А (4;6;5), В (6;9;4), С (2;10;10) Решение: 1) координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗ АВ: ⃗⃗⃗⃗⃗ АВ = (х2 − х1 ; у2 − у1 ; 𝑧2 − 𝑧1 ) = (6 − 4; 9 − 6; 4 − 5) = (2; 3; −1) ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √х2 + у2 + 𝑧 2 = √4 + 9 + 1 = √14 |АВ 2) cos (→̂ →)= 𝐴𝐵 𝐴𝐶 → .→ 𝐴𝐵 𝐴𝐶 |→ ||→ | 𝐴𝐵 𝐴𝐶 → .→ = 𝐴𝐵𝑥 . 𝐴𝐶𝑥 + 𝐴𝐵𝑦 . 𝐴𝐶𝑦 + 𝐴𝐵𝑧 . 𝐴𝐶𝑧 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (х2 − х1 ; у2 − у1 ; 𝑧2 − 𝑧1 ) = (2 − 4; 10 − 6; 10 − 5) = (−2; 4; 5) А𝐶 → .→ = 2(−2) + 3 ∗ 4 + (−1)5 = 3 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √х2 + у2 + 𝑧 2 = √4 + 16 + 25 = √45 |А𝐶 → .→ 3 3 3 3 1 cos (→̂ → ) = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = = = = = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 √14√45 √630 √9 ∗ 70 3√70 √70 |→ | |→ | 𝐴𝐵 →̂ → = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑐( 𝐴𝐵 𝐴𝐶 3) 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑖 → →=| 2 𝐴𝐵𝐴𝐶 −2 1 ) √70 𝑆𝐴𝐵𝐶𝑂 2 𝐴𝐶 |→ → | = 𝐴𝐵2𝐴𝐶 𝑗 𝑘 3 −1| = 15𝑖 + 8𝑘 + 2𝑗 + 6𝑘 + 4𝑖 − 10𝑗 = 19𝑖 + 8𝑗 + 14𝑘 4 5 |→ → | = √192 + (−8)2 + 142 = √621 = 3√69 𝐴𝐵𝐴𝐶 3√69 = 1.5√69 2 𝑆𝐴𝐵𝐶 = Ответ: ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √14 1) |АВ 1 2) →̂ → = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑐( ) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 3) 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 1.5√69 √70 5.3. Дано комплексное число z. Записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. 𝒛= −𝟐√𝟐 𝟏−𝒊 Решение: Алгебраическая запись: −2√2 −2√2(1+𝑖) 𝑧 = 1−𝑖 =(1−𝑖)(1+𝑖) = −2√2−2𝑖√2 1−𝑖 2 = 2(−√2−𝑖√2) 1+1 = −√2 − 𝑖√2 Тригонометрическая запись: Действительная часть 𝑥 = −√2, 𝑥 < 0; мнимая часть 𝑦 = −√2, 𝑦 < 0 |𝑧| = √𝑥 2 + 𝑦 2 = √2 + 2 = 2 𝜑 = −𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 −√2 𝜋 3𝜋 = −𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) = −𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 = −𝜋 + = − 𝑥 4 4 −√2 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑) = 2( cos(− Показательная запись: 3𝜋 𝑧 = |𝑧|𝑒 𝑖𝜑 = 2𝑒 −𝑖 4 Ответ: 𝑧 = −√2 − 𝑖√2 𝑧 = 2(cos(− 3𝜋 𝑧 = 2𝑒 −𝑖 4 3𝜋 3𝜋 ) + 𝑖 sin(− )) 4 4 3𝜋 3𝜋 ) + 𝑖 sin(− )) 4 4 6.3. Построить кривые по заданным уравнениям, составить уравнение прямой, проходящей через центр окружности и вершину параболы. (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 9 25𝑥 2 + 36𝑦 2 = 900 9𝑥 2 − 16𝑦 2 = 144 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 Решение: (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 9 - уравнение окружности Координаты центра (-1;-1), R=3 25𝑥 2 + 36𝑦 2 = 900 → 25𝑥 2 36𝑦 2 𝑥2 900 𝑦2 + 900 = 900 → 36 + 25 = 1 - уравнение эллипса 900 𝑎 = 6; b=5 9𝑥 2 16𝑦 2 144 𝑥2 𝑦2 9𝑥 2 − 16𝑦 2 = 144 → 144 − 144 = 144 → 16 + 9 = 1 - уравнение параболы, вытянутой вдоль оси ox 𝑎 = 4; b=3 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 – парабола −𝑏 4 𝑥0 = 2𝑎 = 2∗1 = 2; 𝑦0 = 𝑦(𝑥0 ) = 22 − 4 ∗ 2 + 3 = −1 → координаты вершины (2;-1) Координаты пересечения с осью ox: 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0 𝑥1,2 = −𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 = 4±√16−4∗3∗1 2 Точки пересечения с осью ox – (3;0) и (1;0) = 4±2 2 → 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 1 На рисунке представлены графики всех перечисленных функций Прямая, проходящая через центр окружности и вершину параболы – через точки (-1;-1) и (2;-1) параллельна оси ox и имеет уравнение 𝑦 = −1: 𝑥 − 𝑥2 𝑦 − 𝑦2 𝑥−2 𝑦 − (−1) 𝑥−2 𝑦+1 = → = → = → 0(𝑥 − 2) = −3(𝑦 + 1) 𝑥1 − 𝑥2 𝑦1 − 𝑦2 −1 − 2 −1 − (−1) −3 0 → −3𝑦 − 3 = 0 → −3𝑦 = 3 → 𝑦 = −1 7.3. Найти производные функций 𝟔 а) 𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝒙𝟑 б) 𝒚 = (𝒙𝟒 − √𝒙) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒆𝟒𝒙 в) 𝒚 = 𝟐𝒙−𝒙𝟔 Решение: 𝟔 а) 𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝒙𝟑 6 ′ 𝑦 ′ = (5𝑥 )′ + (𝑥 3 ) = 5𝑥 ln 5 ∗ (𝑥)′ + (6𝑥 −3 )′ = 5𝑥 ln 5 ∗ 1 + 6(𝑥 −3 )′ =5𝑥 ln 5 + 6(−3)𝑥 −4 = 𝟏𝟖 = 𝟓𝒙 𝐥𝐧 𝟓 − 𝒙𝟒 б) 𝒚 = (𝒙𝟒 − √𝒙) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 1 1 1 1 𝑦 ′ = (𝑥 4 − 𝑥 ⁄2 )′ sin 𝑥 + (𝑥 4 − 𝑥 ⁄2 ) (sin 𝑥)′ = ((𝑥 4 )′ − (𝑥 ⁄2 )′ ) sin 𝑥 + (𝑥 4 − 𝑥 ⁄2 ) cos 𝑥 = 1 1 1 = (4𝑥 3 − 𝑥 −2 ) sin 𝑥 + (𝑥 4 − 𝑥 ⁄2 ) cos 𝑥 = 2 𝟏 𝟏 = (𝟒𝒙𝟑 − ) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + (𝒙𝟒 − 𝒙 ⁄𝟐 ) 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟐√ 𝒙 𝒆𝟒𝒙 в) 𝒚 = 𝟐𝒙−𝒙𝟔 𝑦′ = (𝑒 4𝑥 )′ (2𝑥 − 𝑥 6 ) − 𝑒 4𝑥 (2𝑥 − 𝑥 6 )′ 𝑒 4𝑥 (4𝑥)′ (2𝑥 − 𝑥 6 ) − 𝑒 4𝑥 ((2𝑥)′ − (𝑥 6 )′ ) = (2𝑥 − 𝑥 6 )2 (2𝑥 − 𝑥 6 )2 𝟒𝒆𝟒𝒙 (𝟐𝒙 − 𝒙𝟔 ) − 𝒆𝟒𝒙 (𝟐 − 𝟔𝒙𝟓 ) = (𝟐𝒙 − 𝒙𝟔 )𝟐