КГБОУ СПО «Комсомольский – на – Амуре авиационно-технический техникум» Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла Методическая разработка открытого урока по дисциплине «Математика» Комсомольск - на – Амуре, 2013 г. Технологическая карта урока Дисциплина: математика Тема: Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Группа: ЛА-09 Тип урока: комбинированный Вид урока: урок-практикум, урок систематизации и обобщения знаний Цели урока: Обучающие: -углубить, систематизировать и обобщить знания, умения по теме «Вычисление площадей и навыки студентов плоских фигур с помощью определенного интеграла»; -применение полученных знаний при решении задач на практике. Развивающие: - развитие правильной математической речи, мышления, памяти; - развитие внимательности, вычислительных навыков; - развитие навыков индивидуальной работы. Воспитательные: - стимулирование интереса студентов к данной теме; - активизация взаимодействия между студентами; - воспитание самостоятельности, коллективизма, ответственности, сотрудничества и взаимопомощи; Обеспечение урока: 1. Методическое обеспечение урока: Дифференцированный подход в обучении. Презентации по теме Методические указания Работа консультантов 2. Дидактическое обеспечение: Таблица интегрирования. Математический диктант. Мини-тест Индивидуальные задания - карточки. Оценочный лист 3. Информационно- компьютерное обеспечение: Мультимедийный проектор. Презентации по теме. Литература: Основная: 1.В.П. Омельченко «Математика», Ростов н/Д, 2005г. 2. Н.В.Богомолов «Практические задания по математике»- М.: Высш.шк.,2002г. 3. Г.Н. Яковлев «Алгебра и начала анализа» - М.: Наука, 1987г., ч.1. Дополнительная: 1. М.И. Башмаков «Алгебра и начала анализа». -М.: Дрофа, 2003г. 2. В.Т. Лисичкин «Математика»- М.: Высш.шк., 1991г. 3. М.И.Башмаков «Дидактические материалы»- М.: Дрофа, 2003г. Домашнее задание: Повторить вопросы теории. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) у =𝑥 2 и у = 2х+3 1 2) у = , у=0,5 и х=1 х 3) у =𝑥 2 − 2х + 4 и у = 4 ХОД ЗАНЯТИЯ I. Организационный этап: 1. Приветствие, психологический настрой на совместную деятельность преподавателя и студентов; 2. Определение мотивации и постановка целей урока; 3. Проверка готовности студентов к учебному занятию. II. Домашнее задание: Повторить вопросы теории. Задание по выбору студентов. III. Актуализация опорных знаний и умений: Содержание: Методы контроля ЗУН: 1. Математический диктант. Письменная работа (индивидуальная самостоятельная работа) 2. Повторение вопросов теории: 1) Как называется функция F(x) для функции f(x)? 2) Неопределенный интеграл – это… 3) Каким действием проверить результат интегрирования? 4) Назовите основные методы интегрирования. 5) Криволинейная трапеция – это… 6) Какие из фигур являются криволинейными трапециями? 7) Как называется приращение первообразных функций F(b) –F(a) при изменении аргумента х от х=a до х=b ? 8) В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? 9) Как вычислить площадь фигуры, ограниченной Устная работа студентов, фронтальный опрос. линиями на рисунке? IV. Обобщение изученного материала. Содержание: Методы контроля ЗУН: 1. Способы вычисления площади. Алгоритм. Беседа 2. Решение задач на вычисление площади. Практический метод обучения. Решение упражнений. 3. Историческая справка Нагляднодемонстрационный (демонстрация презентации).Письменная работа студентов. V. Закрепление изученного материала. Содержание: Методы контроля ЗУН: Мини-тест Практические методы обучения. Дифференцированные тестовые задания. VI. Подведение итогов занятия. Анализ урока, обобщение результатов работы студентов I. Организационный этап: Приветствие преподавателя, психологический настрой на совместную работу, проверка готовности студентов к уроку, организация внимания. Перед вами высказывание Лейбница, которое он часто любил повторять: «Не будем спорить, а будем вычислять!» Ставится образовательная цель урока. Ребята, сегодня у нас урок систематизации и обобщения знаний по теме «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла». Мы повторим основные определения и понятия из раздела «Первообразная и интеграл»: криволинейной трапеции, неопределенного и определенного интегралов, геометрический смысл определенного интеграла, основные приемы вычисления площадей плоских фигур. В тетради запишите число, тему урока. II. Домашнее задание: На уроке мы будем решать задачи, применять полученные знания, набираться опыта. А закрепить ваши умения и знания вы сможете, выполнив домашнее задание. Предлагается под запись в тетрадь. Повторить вопросы теории. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями, сделать рисунок. По выбору студента: Оценка «3» - 1 задание, «4» - 2 задания, «5»- 3 задания 1) у =𝑥 2 и у = 2х+3 1 2) у = , у=0,5 и х=1 х 3) у =𝑥 2 − 2х + 4 и у = 4 III. Актуализация опорных знаний и умений: Перед тем, как начать работу на вычисление площади фигуры, мы проверим ваши навыки по вычислению определенного интеграла. 1. Математический диктант. Содержание задания к диктанту: 1) Запишите формулу Ньютона-Лейбница. 2) Верно ли: a) Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов; b) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла; c) При перестановке пределов интегрирования, знак интеграла сохраняется. Вычислите: 2 3) ∫1 4х3 𝑑𝑥 = 15 4) ∫1 𝑥 = 𝑙𝑛2 5) 2. 2 𝑑𝑥 π 2 ∫0 cos x dx =1 Повторение вопросов теории: 1) Как называется функция F(x) для функции f(x)? 2) Неопределенный интеграл – это… 3) Каким действием можно проверить результат интегрирования? 4) Назовите основные методы интегрирования. 5) Криволинейная трапеция – это… 6) Как называется приращение первообразных функций F(b) –F(a) при изменении аргумента х от х=a до х=b ? 7) В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? 8) Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями на рисунке? IV. Обобщение изученного материала. 1. Вычисление площади, самое простое применение интеграла, так как интеграл по определению тесно связан с площадью. Повторим основные способы вычисления площади, основные формулы. Алгоритм: 1) Определяем границы плоской фигуры 2) Если границы не указаны, то находим их, решая уравнение f(x) =0 или f(x)=g(х) 3) Строим график функции / функций / 4) Запишем формулу Ньютона-Лейбница. 5) Находим первообразную функции. 6) Вычисляем значение по формуле. 2. Задания для студентов: №1. Определить площадь фигуры, образованной функцией у = 2х +5 и осью при изменении х от х=0 до х=3. Ответ: 24 кв.ед. №2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 𝑥 2 − 6х и х = 0. Ответ: 36 кв.ед. №3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = - 𝑥 2 − 2х + 3 и у = 𝑥 2 − 1. Ответ: 9 кв.ед. Задача, предлагаемая на ЕГЭ Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2х-𝑥 2 , касательной к этому графику, проходящей через точку с абсциссой х =2, и осью ординат. Уравнение касательной: у = f(x0) - f ΄(x0)· (x- x0), где x0-абсцисса точки 2 касания. Ответ: у = -2х+4 – уравнение касательной. 2 кв. ед. 3 Дополнительно (резерв времени) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х, у=6-х, х=0, х=6. 1 Ответ: 7 кв. ед 3 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=4х -𝑥 2 , у=0, х=5. Ответ: 13кв. ед 3. Не простое дело – вычисление интегралов. Удобно пользоваться готовыми формулами, таблицами. Но с чего все начиналось, немного об истории интегрального исчисления. Во время просмотра презентации и прослушивания информации, вы должны заполнить пропуски, продолжить предложение. Вопросы: 1. Первые «следы» использования интегралов были найдены в _________________ 2. В древности основоположником интегрального исчисления являлся____________ 3. Полное открытие дифференциального исчисления в XVII веке принадлежит _______________и __________________ 4. Эйлер, Лобачевский, Коши, Остроградский внесли вклад в __________________ 5. С помощью интегралов можно решать такие задачи, как: _____________________________________________________________________ V. Закрепление изученного материала. Мини- тест. Задания для студентов на оценку «3» №1. С помощью формулы Ньютона- Лейбница вычисляют: а) первообразную функция б) площадь криволинейной трапеции в) интеграл г) производную 5 №2. Вычислите ∫2 (5х − 𝑥 2 )𝑑𝑥 Ответы: а) 13,5; б) 10,5; 8 в) ; г) 18 3 №3. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой у = 9- 𝑥 2 Ответы: а) 18; б) 36; в) 72; г) нельзя вычислить Задания для студентов на оценку «4» и «5» 1 №1.Вычислите ∫−3(𝑥 2 + 4х + 4)𝑑𝑥 1 1 2 2 3 3 3 3 Ответы: а) 8 ; б) 9 ; в) 8 ; г) 9 №2.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 𝑥 2 + 1 и у = 2х + 1 Ответы: а) 20 3 4 18 3 3 ; б) ; в) №3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 1 5 1 3 6 3 у = -𝑥 2 + х + 2 и прямой у = 0. Ответы: а) 4 ; б) 4 ; в) 5 ; г) 4,5 VI. Подведение итогов занятия. Анализ урока, обобщение результатов работы студентов по таблице. Преподаватель: Спасибо за активную работу. Вы работали дружно, оказывали друг другу помощь. Выставление оценок. Дополнительно: /резерв времени/ Веселая математическая викторина Индивидуальные карточки - задания
