Практическая работа.

Практическая работа.
Вычисление площадей плоских фигур.
Для вычисления площадей плоских фигур применяется определенный интеграл.
Чтобы вычислить площадь плоской фигуры надо:
1) выполнить рисунок;
2) определить границы фигуры, площадь которой надо найти;
3) вычислить площадь фигуры.
Рассмотрим всевозможные случаи.
Пример 1.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у   х 2  4 , у  0 (ось х).
Решение.
Выполним построение фигуры, ограниченной параболой у   х 2  4 и осью Ох.
Построим параболу у   х 2  4 , ветви которой направлены вниз (коэффициент перед
х 2 равен (-1) ). Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Для этого решим
уравнение  х 2  4  0 ,
получим х  2 .
2
2
2
x3
23
2
S   ( x  4)dx  2 ( x  4)dx  2(  4 x)  2(  4  2)  10 (кв.ед.)
3
3
3
2
0
0
Границы интегрирования были уменьшены на основании свойства определенного
интеграла.
Пример 2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у  sin x , y  0 , x  0 , x   .
Решение.
Искомая площадь ограничена полуволной синусоидой и осью Ох.
2
2


S   sin xdx   cos x 0   cos   cos 0  1  1  2 (кв.ед.)
0
Пример 3.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у  6 х , у  0 , х  4 .
Решение.
Построим прямые у  6 х и х=4. Фигура, ограниченная указанными линиями,
располагается ниже оси Ох.
4
4
6x 2
S     6 xdx   6 xdx 
2
0
0
4
 3  4 2  48 (кв.ед.)
0
Пример 4.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
х  2у  4  0 , х  у  5  0 и у  0 .
Решение.
Выполним построение фигуры. Запишем функции в привычном виде
у  0,5 х  2 и у  5  х . Для них составим таблицы :
для первой
х
-4
0
у
0
2
для второй
х
5
0
у
0
5
Найдем точку пересечения прямых, для этого составим и решим систему уравнений
 у  0,5 х  2,

у  5  х
Получим х=2, у=3. На рисунке это точка М(2;3).
Искомая площадь фигуры состоит из суммы площадей двух треугольников АМN и СМN.
Вычислим площадь каждого из них и сложим полученные результаты.
2
 0,5 x 2

  (0,5 x  2)dx  
 2 x   (0,25  2 2  2  2)  (0,25  (4) 2  2  (4))  1  4  (4  8)  9
 2
 4
4
2
S ΔAMN
5
 x2

 52
  22

25
S ΔCMN   ( x  5)dx   
 5 x    
 5  5    
 5  2     25  2  10  4,5 .
2
 2
2  2
  2

2
Площадь всей фигуры будет:
S  9  4,5  13,5 (кв.ед.)
Пример 5.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у  х2 , у  2х .
Решение.
Данная фигура ограничена параболой у  х 2 и прямой у  2 х .
5
Найдем точки пересечения прямых, для этого составим и решим систему уравнений
у  х2 ,

 у  2х
Получим х=0, х=2.
2
 2x 2 x 3 
23
8
1
S   (2 x  x )dx  
   (2 2  )  4   1 (кв.ед)
3 0
3
3
3
 2
0
2
2
Задачи для самостоятельного решения.
Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями:
1вариант.
1. у  7 х , х=3, х=5, у=0.
8
2. у  , х= - 8, х= - 4, у=0.
х
3. у  0,5 х 2  4 х  10 , у  х  2 .
4. у  х 2 , у  х  6 , х=-6 и координатными осями.
2 вариант.
1. у  4  х 2 , у=0.
2. у  cos х , х   , х  

, у=0.
2
3. у  х 2  8 х  18 , у  2 х  18 .
1
4. у  х , у  , х=4.
х
3вариант.
1. у   х 2  6 х , х= -1, х=3,у=0.
2. у=-3х, х=1, х=2,у=0.
3. у   х 2  10 х  16 , у=х+2.
4. у  3 х , у=-х+4 и координатными осями.
4вариант.

, х   , у=0.
3
2. у  х 2  4 , х=-1, х=2, у=0.
3. у  х 2  2 х  3 , у  3 х  1 .
1. у  sin x , х 
4. у  х 2 , у  х  4 , у=0.
2