Лекция по Линейной алгебре

Лекция N 1, 2.
Матрицы. Матричная алгебра.
n столбцов
Определение. Прямоугольная таблица чисел из m строк и
называется матрицей размера m  n .
Будем обозначать матрицы латинскими буквами A, B, C ,... .
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элемент матрицы
A , стоящий на пересечении i - той строки и j - того столбца, обозначается aij .
Матрица (прямоугольная таблица) из m строк и n столбцов запишется следующим
образом
 a11 a12 ... a1n 


a21 a22 ... a2 n 

.
A
 .
.
.
. 


 am1 am 2 ... amn 
(1)
Чтобы указать размерность матрицы пишут - A m  n .
1 2 3 4
Матрица A  
 имеет размер  2  4 , так как содержит 2 строки и 4 столбца.
 4 5 0 2
1.
Различные формы записи матриц.
Дана матрица A размерности m  n - (1).
Запишем ее следующим сокращенным способом, указывающим общий вид элемента
матрицы:
A  aij  , i  1,2,..., m , j  1,2,..., n .
Матрицу, состоящую из одной строки или одного столбца, называют соответственно строкой или столбцом.
Обозначим через A j столбец матрицы A с номером
 a1 j 
 
 a2 j 
j
j , т.е. A    . Тогда,
...
 
a 
 mj 
очевидно, матрицу A можно записать в виде строки столбцов
A  A1 , A 2 ,..., A n .
Если же ввести обозначения для строк матрицы Ai  ai1 , ai 2 ,..., ain  , то она может
быть записана в виде столбца строк
Страница 1
 A1 
 
A 
A 2.
...
 
A 
 n
2. Матрицы специального вида.
Если число строк матрицы m равно числу ее столбцов n , то матрицу называют
квадратной порядка n . Иначе матрица называется прямоугольной.
Диагональ квадратной матрицы, соединяющая левый верхний угол с правым
нижним, называется главной, а диагональ, соединяющая правый верхний угол с левым
нижним - побочной. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы
главной диагонали, называют диагональными.
Например
 b11 0 ... 0 
 1 0 ... 0 




0 b22 ... 0 
0 2 ... 0 


, или C 
.
B
 .
 .
.
.
. 
. . . 




 0 0 ... bnn 
 0 0 ... n 
В частном случае это может быть
1 0 0
1 0


E2  
 , E3   0 1 0  ,…,
0 1
0 0 1


 1 0 ... 0 


0 1 ... 0 

.
En 
. . . .


 0 0 ... 1 
Такие матрицы называются единичными.
Нулевая матрица – это матрица, составленная из одних нулей.
Квадратная матрица, в которой все элементы ниже (выше) главной диагонали
нулевые, называется верхней (нижней) треугольной матрицей.
Например
 1 10 5 


A  0 2 7  ,
 0 0 3 


1 0 0


B   5 2 0 .
 1 9 3 


С такого типа матрицами мы встречаемся, решая системы уравнений по методу
Гаусса.
Матрицу, полученную из данной матрицы A заменой в ней строк соответствующими столбцами, называют транспонированной к матрице A и обозначают через
A или AT . Если, например,
0

1
A
2

3

5

6
 0 1 2 3
.
, то AT  

5 6 7 8 
7


8 
Страница 2
Если A  aij  , i  1,2,..., m ,
 
j  1,2,..., n , то AT  a ' ji , где a' ji  aij . В частно-
сти, если A - вектор строка, то A T - вектор столбец, и наоборот. Очевидно AT   A .
Например, вектор столбец может быть записан с помощью символа транспонирования
T
 x1    x1 
 
 
следующим образом x   x 2     x 2 
 x    x 
 3   3 
T
T


   x1 , x 2 , x3 T .



Матрицу A называют симметрической, если A  AT . Это равенство возможно
только для квадратных матриц и при этом a ij  a ji , i, j  1,2,..., n . Для квадратной
матрицы транспонирование – это поворот матрицы вокруг главной диагонали.
3.
Действия с матрицами.
Пусть даны матрицы A и B одинаковой размерности m  n . Определим следующие
операции над матрицами:
а) Суммой A  B двух матриц A  aij  и B  bij  , i  1,2,..., m , j  1,2,..., n называется
матрица C  cij , всякий элемент которой равен сумме соответствующих элементов
матриц A и B т.е.
cij  aij  bij .
Или в развернутой форме
 a11 ... a1n   b11 ... b1n   a11  b11 ... a1n  b1n 

 
 

...
...
 ... ... ...    ... ... ...    ...
.
a





 m1 ... a mn   bm1 ... bmn   a m1  bm1 ... a mn  bmn 
 1 2 3
 4 8 10 
Пример. Даны матрицы A  
, B
.
7 5 9
16 11 6 
 1 2 3   4 8 10   1  4 2  8 3  10   5 10 13 
C  A B  



.
 7 5 9  16 11 6   7  16 5  11 9  6   23 16 15 
Роль нуля при сложении играет нулевая матрица, составленная из одних нулей.
б) Произведением A матрицы A  aij  на число  называется матрица D  d ij  ,
получающаяся умножением на
 всех элементов матрицы A :
d ij  a ij .
Таким образом
Страница 3
   a11   a12

   a 21   a 22
A
.
.

  a
  am2
m1

 1 2 3
Пример. Дана матрица A  
.
 0 4 5
...   a1n 

...   a 2 n 
.
.
. 

...   a mn 
Тогда
 2 1 2  2 2  3   2 4 6 
2A  

.
 2  0 2  4 2  5   0 8 10 
Для введенного сложения существует обратная операция – вычитание, причем
разностью матриц A и B служит матрица, составленная из разностей соответствующих элементов заданных матриц, т.к. A  B  A   1 B  .
Пример 1. Пусть дана СЛУ
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1 j x j  ...  a1n x n  b1
 a x  a x  ...  a x  ...  a x  b
22 2
2j j
2n n
2
 21 1
 .............................................................
.

 ai1 x1  ai 2 x 2  ...  aij x j  ...  ain x n  bi
 ..............................................................

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mj x j  ...  a mn x n  bm
(2)
Как следствие правил умножения столбца на число и сложения столбцов, СЛУ (2)
можно записать следующим образом
 a1 j 
 a11 
 a12 
 a1n 
 b1 








 
 a2 j 
 a 21 
 a 22 
 a2n 
 b2 


 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
...
  x j  ...  

  x1  
  x 2  ...  
  xn    .
 aij 
 ai1 
 ai 2 
 ain 
 bi 
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 








 
a 
a 
a 
b 
a 
 m1 
 m2 
 mn 
 m
 mj 
(3)
T
Используя столбцы матрицы A j  a1 j , a2 j ,..., aij ,..., amj  и столбец свободных членов
b  b1 , b2 ,..., bi ,..., bm  , представим формулу (3) в виде
T
A1  x1  A2  x2  ...  A j  x j  ...  An  xn  b .
(4)
Форма записи СЛУ (4) называется столбцовой формой записи СЛУ.
Страница 4
в) Умножение матриц определяется лишь для случая, когда число столбцов первого
множителя равно числу строк второго множителя. Произведением матриц
Am  l  и Bl  n , заданных в указанном порядке, называется матрица Cm  n ,
элементы которой определяются по следующему правилу
l
cij  Ai  B j   aik bkj .
k 1
где Ai - строка матрицы A с номером i , а B j - столбец матрицы B с номером j .
Или в развернутом виде
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  ail blj .
В частном случае, когда матрица Am  n умножается на столбец x  x1 , x2 ,..., xn  ,
результатом является столбец из m строк
T
 a11

a
Ax   21
.

a
 m1
a12
a 22
.
am2
... a1n  x1   a11 x1  a12 x 2  ...  a1n xn 
  

... a 2 n  x 2   a 21 x1  a 22 x2  ...  a 2 n xn 
.

.
.  ..   .
.
.
. 
  

... a mn  x n   a m1 x1  a m 2 x2  ...  a mn x n 
(5)
Сравнивая формулы (2) и (5), находим, что СЛУ можно записать в векторной
(матричной) форме
A x  b .
Пример 2. Умножить матрицы:
 3
 
а) 1 2 3   2   1  3  2  2  3  1  10 ,
1
 
 3
 3 1 3  2 3  3   3 6 9 
 

 

б)  2   1 2 3   2  1 2  2 2  3    2 4 6  .
1
 11 1 2 1 3   1 2 3 
 

 

Примеры а) и б) показывают, что произведение матриц некоммутативно, т.е. вообще
говоря A  B  B  A .
4. Свойства матричных операций.
1)
2)
3)
4)
Поскольку сложение матриц и умножение их на число выполняется поэлементно,
то эти операции обладают, очевидно, следующими свойствами:
A  B  B  A (коммутативность по сложению)
A  B  C    A  B  C (ассоциативность по сложению)
A0  A
A   A  0
Страница 5
1 A  A
5)
6)
7)
8)
     A  A  A (дистрибутивность относительно сложения чисел)
   A  B  A  B (дистрибутивность относительно сложения матриц)
  A     A (ассоциативность)
при любых матрицах A , B , C и любых числах  ,  .
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1) A  B  C    A  B  C , т.е. умножение матриц ассоциативно,
2)   A  B    A  B  A    B (ассоциативность относительно умножения на число),
3) C   A  B  C  A  C  B (дистрибутивность относительно сложения матриц),
4)  A  B  C  A  C  B  C ,
T
T
5)  A  B   B  A .
T
Докажем формулу 1).

A   B  C   Ai   B  C 
j
   A  B  C  . С другой стороны
j
i
 A  B   C    A  B i  C j    Ai  B  C j  , что и доказывает 1).
Докажем, например, формулу 3).

C   A  B   Ci   A  B 
j

m
 m
  m

   cik  akj  bkj      cik akj   cik bkj  
k 1
 k 1
  k 1
 .
  Ci  A j  Ci  B j    Ci  A j    Ci  B j   C  A  C  B
Что и требовалось доказать.
Докажем формулу 5).
Пусть A m  k  и B  k  n .
Тогда

  
k
A  B  Ai B j  cij , cij   ail blj , i  1, 2,..., m ; j  1, 2,..., n .
 A  B T
l 1
 
 cji , cji  cij .
i

BT  AT   BTj AT

 
k
k
k

' '
  c ji , c ji   b jl ali   blj ail   ail blj  cij

l 1
l 1
l 1
Пример 3. Вернемся к СЛУ (2).
Применяя правило умножения строки на столбец, каждое уравнение СЛУ (2) запишем
так
Страница 6

 x1 
 

 a , a ,..., a    x 2   b
1n
 ...  1
 11 12
 

x 
 n

 .................................... .
 x1 

 

x
a m1 , a m 2 ,..., a mn    2   bm


... 



x 
 n

(6)
Вспоминая обозначение для строк матрицы Ai  ai1 , ai 2 ,..., ain  и
неизвестных, из формулы (6) получаем строчную форму записи СЛУ
 A1  x  b1
A x b
 2
2

.
(7)
 ................
 Am  x  bm
Страница 7
x
для столбца
Лекция N 3
Системы линейных уравнений (СЛУ).
Системы из двух линейных уравнений.
Пример 1. Сумма двух чисел равна 12, а их разность равна 2. Найдите эти числа.
Обозначим первое число буквой x , а второе буквой y . По условию задачи сумма
чисел равна 12, т.е. x  y  12 . Так как разность чисел равна 2, то x  y  2 . Составленную
систему уравнений принято записывать так
 x  y  12
.

x y 2
(1)
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений x, y ,
обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Если система линейных уравнений обладает решениями, то она называется
совместной. Совместная система называется определенной, если она обладает одним
единственным решением и неопределенной, если решений больше чем одно (их будет в
этом случае бесконечно много).
Так система (1) является определенной. Она имеет решение x  7 , y  5 . Действительно, оставив первое уравнение без изменений, и заменив второе уравнение на
разность первого и второго, получим эквивалентную систему уравнений
 x  y  12
.
(2)

 2 y  10
Из второго уравнения находим y  5 , а первое дает x  7 .
Уравнения системы (2) задают две пересекающиеся прямые, что и объясняет
наличие единственного решения.
С другой стороны, система
 3x  y  1

6 x  2 y  2
(3)
является неопределенной, так как имеет бесконечно много решений вида
x  k , y  3k  1 ,
где число k произвольно, причем этими решениями исчерпываются все решения
нашей системы. Действительно, второе уравнение системы (3) получается из первого
умножением на два, то есть эти уравнения задают две совпадающие прямые, что
означает наличие бесконечного числа решений.
Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения и тогда она
называется несовместной. Такова, например, система
 x  5y  1

(4)
x  5 y  7
Страница 8
левые части этих уравнений совпадают, но правые различны, и поэтому никакая
система значений неизвестных не может удовлетворить обоим уравнениям сразу.
Геометрическая интерпретация (4) – две параллельные прямые.
Таким образом, для линейной системы из двух уравнений с двумя неизвестными
имеются три возможности: система имеет единственное решение, система имеет
бесконечно много решений, и система не имеет решений.
Системы уравнений общего вида.
Система линейных уравнений может состоять из любого числа уравнений и
содержать любое число неизвестных. Причем число неизвестных может не совпадать с
числом уравнений. Как мы увидим, для множества решений этих систем так же
выполняются три выше перечисленные возможности, т.е. или решение единственно,
или решений бесконечно много, или решение отсутствует.
Пример 2. Обувная фабрика специализируется на выпуске изделий трех видов: сапог,
кроссовок и ботинок. При этом используется сырье трех типов: S1 , S 2 , S3 . Нормы расхода
каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:
Виды
сырья
S1
S2
S3
Нормы расхода сырья на одну
пару, усл. ед.
Сапоги Кроссовки
Ботинки
5
3
4
2
1
1
3
2
2
Расход сырья на 1 день,
усл. ед.
2700
900
1600
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.
Пусть ежедневно фабрика выпускает x пар сапог, y пар кроссовок, z пар
ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему
5 x  3 y  4 z  2700

 2 x  y  z  900 .
3x  2 y  2 z  1600

(5)
Видов обуви, выпускаемых фабрикой, может быть много больше трех и тогда
применять для обозначения искомых величин различные буквы становится неудобным
(букв может попросту не хватить). Рост числа переменных и уравнений (размерности
системы) приводит к необходимости применить другие обозначения, а именно
индексированные переменные. Туже систему (5) можно записать в следующей форме
5x1  3x2  4 x3  2700

 2 x1  x2  x3  900 .
3x  2 x  2 x  1600
2
3
 1
Здесь x  x1 , y  x 2 , z  x3 .
(6)
Коэффициенты при неизвестных x1 , x2 , x3 составляют прямоугольную таблицу
Страница 9
 5 3 4


B   2 1 1  , называемую матрицей.
 3 2 2


Определение. Прямоугольная таблица чисел из m строк и
n столбцов называется
матрицей.
Например
 2
0 1


A    2 3 2 . Здесь m  3 , n  3 . В системе (6) при трех неизвестных x1 , x 2 , x3


 4  1 5
использовано 3  3  9 числовых коэффициентов. С ростом числа неизвестных,
количество коэффициентов стремительно растет - 5  5  25 , 6  6  36 . При большой
размерности системы уравнений невозможно для коэффициентов использовать
обычные буквенные обозначения.
Элемент матрицы стоящий на пересечении i - той строки и j - того столбца
обозначается через bij . В матрице B , например, b11  5 , b12  3 , b13  4 , b21  2 , b22  1 ,
b23  1 и т.д.
Матрица (прямоугольная таблица) из s строк и n столбцов запишется следующим
образом
 a11

a 21
A  
.

 a s1
a12
a 22
.
as2
... a1n 

... a 2 n 
.
. 

... a sn 
(7) Числа a ij
.
называются элементами матрицы. Если s  n , то матрица называется квадратной
матрицей порядка n .
В системе линейных уравнений (6) матрица квадратная, порядка n  3 . Чтобы
указать размерность матрицы пишут - A s  n . Для матрицы B можем записать B3  3 .
Понятие матрицы имеет важное значение для экономистов. Объясняется это тем,
что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов
может быть записана в простой, компактной матричной форме.
Теперь, в самом общем виде, систему линейных уравнений (СЛУ) можно записать
так
 a11 x1  a12 x 2 ... a1n x n  b1
 a x  a x ... a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

.
..........................................
 a s1 x1  a s2 x 2 ... a sn x n  bn
Страница
10
(8)
Неизвестные составляют столбец
 x1 
 
x2
x   .  ,
.
 
x
 n
 b1 
 
b2
b   .  - столбец свободных членов
 .
 
 bn 
(столбец правых частей). Коэффициенты определяют матрицу A s  n .
Метод Гаусса решения СЛУ
Наиболее известным из точных методов решения систем линейных уравнений
является метод Гаусса или метод исключения неизвестных.
Пример 3. Решить систему (6)
5 x1  3x2  4 x3  2700

 2 x1  x2  x3  900 .
3x  2 x  2 x  1600
2
3
 1
Исключим переменную x1 из первого и второго уравнений
5 x1  3x2  4 x3  2700 2 3

 2 x1  x2  x3  900  5
3x  2 x  2 x  1600
5
2
3
 1
5 x1  3x 2  4 x3  2700

x 2  3x3  900
 

 x2  2 x3  100

1

1
Теперь с помощью второго уравнения исключим переменную x2 из третьего уравнения,
сложив их
5x1  3x2  4 x3  2700

x2  3x3  900 .


5x3  1000

Выполненные преобразования называются прямым ходом метода Гаусса (движение
сверху вниз).
Однако, обычно, алгоритм Гаусса применяют, записывая его в более компактной
форме. А именно так.
Выпишем матрицу из коэффициентов системы, присоединив к ней столбец из
свободных членов, для удобства отделив вертикальной чертой, и все преобразования
выполним над строками этой расширенной матрицы.
 5 3 4 2700  2 3
 5 3 4 2700 
 5 3 4 2700 






  0 1 3 900  1   0 1 3 900  .
 2 1 1 900   5
 3 2 2 1600 
 0 0 5 1000 
 5  0  1 2 100  1




Мы приходим, следовательно, к системе уравнений, которая была выписана выше.
Чтобы найти решение выполняют обратный ход метода Гаусса (движение снизу-вверх).
1000
 200 . Подставляя найденное значение
5
переменной x3 во второе уравнение, имеем x2  900  3  200  300 . И, наконец, из первого
Из последнего уравнения находим
x3 
уравнения находим 5x1  2700  3  300  4  200  1000 , x1  200 .
Страница
11
Система линейных уравнений (6) обладает единственным решением
x1  200, x2  300, x3  200 ,
т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 пар кроссовок и 200 пар ботинок.
Исходная система оказалась определенной.
Пример 4. Решить систему
 x1  5 x 2  8 x 3  x 4  3
 3x  x  3x  5x  1

1
2
3
4
.

7 x 3  2 x 4  5
 x1 

11x 2  20 x 3  9 x 4  2
Преобразуем расширенную матрицу системы:
1  5  8 1 3   3 1 1  5  8 1 3 




3 1  3  5 1  1
 0 16 21  8  8   5  11


 1 0  7 2  5
1
0 5
1
1  8  16




 0 11 20  9 2 
 0 11 20  9 2 
16




1  5  8
1  5  8 1 3 
1 3 




8 8 
 0 16 21
 0 16 21  8  8 
 0 0  89 56  88  1   0 0  89 56  88 




0 0
1
0 0
89

56
120
0
0 32 



Мы пришли к системе, содержащей уравнение 0  32 . Исходная система будет,
следовательно, несовместной.
Рассмотрим другое решение этой СЛУ.
Мы пришли к системе, содержащей уравнение 0=2. Исходная система будет,
следовательно, несовместной.
Пример 5. Найти общее решение системы уравнений
Страница
12
 2 x1  7 x 2  3x3  x 4  6

3x1  5 x 2  2 x3  2 x 4  4 .
 9x  4x  x  7 x  2
2
3
4
 1
 2 7 3 1 6 1  2 7
3 1 6   1  2 1 1  2  2  9



 

3 1 6  1

 3 5 2 2 4 1   1  2 1 1  2   2 7
 9 4 1 7 2
9 4
1 7 2   9 4
1 7 2 
1



1  2 1 1  2
1  2 1 1  2




 0 11 5  1 10   2   0 11 5  1 10 
 0 22 10  2 20  1
0 0
0 0 0 



.
Опуская последнее уравнение, что является элементарным преобразованием, получаем
трапецеидальную систему из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Неизвестные
x1 , x2 примем за главные, а x3 , x 4 за свободные. Пусть x3   1 , x4   2 , тогда
11x2  10  5 1   2
x1  
и
x2 
10 5
1
 1   2 ,
11 11
11
а
из
первого
уравнения
находим
2 1
9
 1   2 .
11 11
11
Однородные и неоднородные СЛУ.
Если в СЛУ (1) столбец свободных членов (свободный член) b  0 , то СЛУ называется
однородной в противном случае неоднородной. Однородная СЛУ всегда совместна, так
как обладает нулевым решением 0,0,...,0 т.е. x1  0, x2  0,..., xn  0 . Если в ней число
уравнений меньше числа неизвестных, то она не может приводиться к треугольному
виду, так как в процессе преобразований по методу Гаусса число уравнений системы
может уменьшаться, но не может увеличиваться; она приводится, следовательно, к
трапецеидальному виду, т.е. является неопределенной. Иными словами, если в системе
линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то эта
система обладает, помимо нулевого решения, также и ненулевыми решениями и их
бесконечно много.
Пример 6. Найти общее решение системы уравнений
 4 x1  x2  3x3  x4  0

 2 x1  3x2  x3  5 x4  0 .
 x  2 x  2 x  3x  0
2
3
4
 1
Это система однородных уравнений, причем число уравнений меньше числа
неизвестных; она должна быть, поэтому неопределенной.
Страница
13
 4 1 3 1   1 2 2 3  4 2
 1 2 2 3 

 



  0 9 5 13  
 2 3 1 5    4 1 3 1  1
 1 2 2 3   2 3 1 5 
 0 7 5 11 
1

 



 1 2 2 3 
 1 2 2 3   1 2 2 3 




 
 0 5 9 13  1   0 5 9 13    0 5 9 13 
 0 5 7 11  1  0 0 2 2   0 0 2 2 



 

Пусть
x4   . Тогда
5 x2  9  13  4 ,
2 x3  2
т.е.
или
4
x2   .
5
.
x3   . Из второго уравнения находим
И
наконец
4
3
x1  2    2  3   . Возвращаясь к старым переменным
5
5
3
4
x1   , x2   , x3   , x4   .
5
5
Страница
14
из
первого
уравнения
Лекция № 4
2.3. Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса)
Наиболее известным из точных методов решения систем линейных
уравнений является метод Гаусса.
Пусть дана система линейных уравнений (СЛУ)
 a11 x1  a12 x2  ...  a1 j x j  ...  a1n xn  b1
a 21 x1  a 22 x2  ...  a 2 j x j  ...  a 2 n xn  b2

 ................................................................

ai1 x1  ai 2 x2  ...  aij x j  ...  ain xn  bi
 .................................................................
 a x  a x  ...  a x  ...  a x  b
s2 2
sj j
sn n
n
 s1 1
,
(1)
Система (1) состоит из s линейных уравнений с n неизвестными и вообще
говоря s  n . Неизвестные здесь обозначены буквой
x с индексами:
x1 , x 2 ,..., xn ; коэффициент из i -го уравнения при неизвестном x j обозначен
через a ij ; свободный член i -го уравнения обозначен через
bi .
Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную таблицу
 a11

a 21
A  
.

 a s1
a12
a 22
.
as2
Которая называется матрицей из
... a1n 

... a 2 n 
.
. ,

... a sn 
s
строк и
n
столбцов; числа a ij
называются элементами матрицы. Если s  n , то матрица называется
квадратной
матрицей
,
порядка
n.
Неизвестные
составляют
- столбец свободных членов.
Страница
15
столбец
Решением системы (1) называется такая система из n чисел u1 , u2 ,..., un ,
что каждое уравнение системы превращается в тождество после замены в нем
неизвестных x i соответствующими числами ui , i  1,2,..., n .
Над уравнениями системы (1) можно проводить элементарные преобразования. Вновь полученная система уравнений остается эквивалентной
исходной системе, т.е. они или обе несовместны, или же обе совместны и
обладают одними и теми же решениями. К элементарным преобразованиям
относятся следующие преобразования уравнений системы:

Перестановку уравнений;

Прибавление (вычитание) к одному уравнению другого,
умноженного на некоторое число

Умножение обеих частей какого-либо уравнения на число,
отличное от нуля

Вычеркивание уравнений вида,
0  x1  0  x2 ...0  x n  0 т.е.
тождеств 0=0;

Перестановку неизвестных в системе уравнений.
Метод Гаусса и основан на последовательном исключении неизвестных с
помощью элементарных преобразований.
Исключение неизвестных оформляется как элементарные преобразования, применённые к строкам расширенной матрицы СЛУ.
1. Пусть
и
Обозначим через
преобразование, меняющее местами
строки матрицы. Такое преобразование называют элементар-
ным преобразованием I-го рода.
2. Пусть
Прибавим к
предварительно умноженную на
строке матрицы
строку,
Такое преобразование обозначают через
и называют элементарным преобразованием II-го рода.
Страница
16
3. Умножим все элементы
преобразование
строки на
Назовем такое
элементарным преобразованием III-го рода.
В дальнейшем будем использовать матричные единицы – матрицы
устроенные следующим образом:
элемент матрицы
равен 1, а все
остальные элементы - нулевые.
Каждому элементарному преобразованию сопоставим элементарную
матрицу:
I-го рода,
1.
II-го рода,
2.
III-го рода.
3.
Непосредственно проверяется
Лемма.
Выполнение
элементарного
преобразования
строк
матрицы
равносильно ее умножению слева на соответствующую элементарную
матрицу.
Пример. Рассмотрим элементарное преобразование
прибавляется 2-я умноженная на
т.е.
Страница
17
– к 3-й строке
Используя лемму, показывается, что множество решений СЛУ не
меняется при элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы
СЛУ.
Предположим, что коэффициент a11  0 . Этого всегда можно добиться,
переставляя, в случае необходимости, уравнения системы или неизвестные в
ней и меняя нумерацию неизвестных.
a21
Умножим первое уравнение на 
, а второе на 1 и сложим их, затем на
a11
a
 31 и третье на 1 и складываем и т.д.
a11
 a11x1  a12 x2  ...  a1 j x j  ...  a1n xn  b1  a21  ai1

a11 a11
a21x1  a22 x2  ...  a2 j x j  ...  a2n xn  b2
1
 ................................................................

...

ai1x1  ai 2 x2  ...  aij x j  ...  ain xn  bi
1
 .................................................................

 as1x1  as 2 x2  ...  asj x j  ...  asn xn  bn
a
...  s1
a11
...
...
...
...
...
1
В результате неизвестное x1 будет исключено из всех уравнений, кроме
первого, и система примет вид
Страница
18
 a11x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1

a122 x2  a123 x3  ...  a12n xn  b12


a132 x2  a133 x3  ...  a13n xn  b31 .


 ..........................................................

a1s 2 x2  a1s3 x3  ...  a1s 2 xn  b1s

(2)
В системе (2) следует вычеркнуть уравнения вида 0  x1  0  x2 ...0  x n  0 , если
такие появились. На этом первый шаг метода Гаусса заканчивается. Элемент
a11  0 называют ведущим элементом этого шага.
Следующие
шаги
прямого
хода
метода
Гаусса
осуществляются
аналогично. Так, на втором шаге при a122  0 последовательно умножают
второе уравнение на 
a132
a122
, 
a142
a122
, …, 
a1s 2
a122
, последующие уравнения на 1 и
складывают. В результате исключают неизвестное x 2 из всех уравнений,
кроме первого и второго. На третьем шаге исключается неизвестное x3 из всех
уравнений, кроме первых трех и т.д.
Возможно, что на некотором шаге прямого метода Гаусса встретится
уравнение вида 0  x1  0  x2 ...0  x n  bi , bi  0 .
Тогда рассматриваемая система несовместна, и дальнейшее ее решение
прекращается. В противном случае, рассматриваемая система не более чем
через s шагов прямого хода преобразуется в эквивалентную систему вида
 a11x1  a12 x2  ...  a1r xr  a1r 1xr 1  ...  a1n xn  b1

a22 x2  ...  a2r xr  a2r 1xr 1  ...  a2n xn  b2

.

................................................................................


arr xr  arr 1xr 1  ...  arn xn  br

(3)
Для упрощения записи в системе (3) опущены верхние индексы. В ней не
более
s
уравнений, т.е. r  s , так как некоторые уравнения, возможно, были
Страница
19
приведены к виду 0  0
и вычеркнуты. При r  n система (3) имеет
треугольный вид
a11 x1  a12 x2  ....  a1n xn  b1

a 22 x2  ....  a 2 n x n  b2

,

..........
..........
..........
..........
..


a nn x n  bn
и в ней легко совершить обратный ход метода Гаусса. Такая система является
определенной, т.е. имеет единственное решение.
При
rn
принимают
система (3) имеет вид трапеции. В ней неизвестные x1 , x 2 ,..., x r
за
главные,
а
x r 1 , x r 2 ,..., x n -
за
свободные.
Свободные
неизвестные могут принимать любые фиксированные значения. Полагая
xr 1   r 1 , xr 2   r 2 ,..., xn   n ,
где  r 1 ,  r 2 ,...,  n - произвольные постоянные, и проведя в системе обратный
ход метода Гаусса, получаем систему чисел











x1   1   1,r 1 r 1  ...   1n  n
x 2   2   2,r 1 r 1  ...   2 n n
................................................
x r   r   r ,r 1 r 1  ...   rn n ,
x r 1 
 r +1
..................................................
(4)
n
xn 
которая является общим решением системы (3). Так как значения свободных
неизвестных можно выбрать бесконечным числом различных способов, то
система (3) и, следовательно, система (1) будут совместными, но неопределенными. Таким образом, система, приводящаяся к трапецеидальному виду,
обладает бесчисленным множеством решений.
2.4. Однородные и неоднородные СЛУ
Страница
20
Если в СЛУ (1) столбец свободных членов (свободный член) b  0 , то
СЛУ называется однородной в противном случае неоднородной. Однородная
СЛУ всегда совместна, так как обладает нулевым решением 0,0,...,0 т.е.
x1  0, x2  0,..., xn  0 . Если в ней число уравнений меньше числа неизвест-
ных, то она не может приводиться к треугольному виду, так как в процессе
преобразований по методу Гаусса число уравнений системы может
уменьшаться, но не может увеличиваться; она приводится, следовательно, к
трапецеидальному виду, т.е. неопределенна.
Иными словами, если в системе линейных однородных уравнений число
уравнений меньше числа неизвестных, то эта система обладает, помимо
нулевого решения, также и ненулевыми решениями и их бесконечно много.
Обратная матрица (алгоритм вычисления методом Гаусса).
Формула решения неоднородной СЛУ.
Определение. Если
A B  E
C A E,
,
(1)
то матрица B называется правой обратной к матрице A , а матрица C - левой
обратной к матрице A .
Замечание. Так как, вообще говоря A  B  B  A , то из (1) не следует с
очевидностью, что B  C . Это равенство требует доказательства.
Обратная матрица существует не для любой квадратной матрицы.
Критерий существования обратной матрицы будет рассмотрен далее.
Теорема. Пусть матрица An  n такая,
что для нее существуют правая
обратная B и левая обратная C матрицы - A  B  E , C  A  E . Тогда левая и
правая обратная матрицы равны т.е. B  C .
Страница
21
Из равенства A  B  C  A  E имеем
C  C  E  C   A  B  C  A  B  E  B  B .
В силу этого, матрица B  C такая, что A  B  C  A  E обозначается символом
A 1 и называется обратной к A .
Таким образом, равенство (1) запишется так
A  A1  A1  A  E .
(2)
Докажем несколько свойств обратных матриц.
а) Если для матрицы An  n существует обратная матрица, то выполняется
равенство A1   AT  .
1
T
Для операции транспонирования произведения матриц CD справедливо
равенство CD T  D T C T поэтому
 A1A
 ET  E  AT A1
 AA1 
 ET  E  A1
T
T
 
 
T
T
,
AT .
Отсюда следует A1   AT  .
T
1
б) Если для матриц An  n , Bn  n существуют обратные матрицы, то
выполняется равенство  AB 1  B 1 A 1 .
Вычислим произведение матриц, используя свойство ассоциативности
умножения
 B1A1   AB   B1  A1A B  B 1EB  B 1B  E ,
 ABB 1 A1   ABB 1 A1  AEA1  AA1  E .
Отсюда следует, что  AB 1  B 1 A 1 .
2.7. Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса
Страница
22
Рассмотрим способ вычисления обратной матрицы по методу Гаусса.
Введем для искомой обратной матрицы новое обозначение. Положим A 1  X
и перепишем равенство (2) в виде
A X  E .
(3)
Равенство (3) можно рассматривать как матричное уравнение относительно
неизвестной матрицы X . В силу свойств операции умножения матриц из (3)
следует
A X j  E j ,
j  1,2,..., n ,
(4)
где
X j,
E j столбцы соответствующих матриц. Таким образом, матричная
система (3) распадается на n СЛУ вида (4). Эти системы имеют одну матрицу
коэффициентов (основную матрицу) и разные правые части, а поэтому могут
решаться по методу Гаусса одновременно. Если выписать составную
(расширенную) матрицу  A E  и матрицу A в ней привести элементарными
преобразованиями над строками по схеме метода Гаусса-Жордана
к
единичной матрице E , то единичная матрица E при тех же преобразованиях
перейдет в матрицу A 1 .
 1  3  1


Пример. Найдем матрицу, обратную матрице A   2  4 0  .


2
 3 4
Страница
23
 1  3  1 1 0 0  2 3
1



 0
 2  4 0 0 1 0 1
 3 4
0
2 0 0 1 
1




1  3 1 1 0 0 1
1


1
0 1
1 1
0 3 5   0

2


0

5

1
1
0
3
0
1




3



2
0


2
1
1 0 2

1
1
0 1 1 1
0 1
 0



2
 0 0 1 1 5 1  1  2
0




2 8 4



 1

1
1
Таким образом A   
 2
 1

 2
0 0

2
2  2 1 0  2  
 5  1 3 0 1 
 3 1 1
2
0 2
1 1 1
0 4
0 0
2
1
1
2
0 1 1

2
1 0
3

0
2

1
0


2
  4
5
1
2

1
1
 
4
2
1
1


8
4
5
1 

8
4 
1
1
 
4
2
  8 2  4

1
1 1


   4 1  2 .
8
4 8
2 
5
1 
 4 5

8
4 
Заметим, что мы не проверяли, является ли матрица A неособенной, так как
если матрица A особенная, то это обнаружится в процессе вычислений: одна
или более строк станут нулевыми и матрицу A нельзя будет преобразовать к
единичной.
2.8. Формула решения неоднородной линейной системы уравнений
Дана СЛУ
Ax  b ,
(5)
где An  n такая, что существует обратная матрица A 1 . Умножим уравнение
(5) слева на A 1
A 1 Ax  A 1b .
Страница
24
Так как A 1 A  E и Ex  x , то из последнего равенства следует, что решение
системы (5) можно представить в следующем виде
x  A 1b .
Пример. Найти неизвестную матрицу X из уравнения
 2 5
 4  6

  X  
 ,
 1 3
2 1 
используя понятие обратной матрицы.
Очевидно
1
 2 5  4  6
  
 .
X  
1
3
2
1

 

 2 5
 .
1
3


Строим матрицу обратную к матрице 
 2 5 1 0  1 3 0 1  2
1 3 0 1  1
 1 0 3  5   1 0 3  5

 




 

 1 3 0 1   2 5 1 0 1   0 1 1  2 3   0 1 1  2   0 1 1 2 

 




 

 2 5

Т.е. 
 1 3
1
 3  5
 , а искомое значение X равно
 
 1 2 
 3  5   4  6   3  4   5  2 3   6   5  1  2  23 
  
  
  
.
X  
8 
  1 2   2 1    1  4  2  2  1   6  2  1  0
Страница
25
Лекция № 5
Линейные векторные пространства
Взгляд с единых позиций на широкий круг задач. Изучение не отдельной
функции, отдельной матрицы и т.п., а множеств таких однотипных объектов и
свойств присущих этим множествам. Выявление закономерностей, которые
характерны для сообществ (множеств), а не для отдельного элемента (индивида).
5.1. Основные понятия
Определение. Множество L (его элементы будут обозначаться латинскими буквами
a, b, c,... )
действительным
линейным
(или
векторным)
пространством,
если
выполнены следующие три требования.
I) Имеется правило, посредством которого любым двум элементам a, b множества
L ставится в соответствие однозначно определенный элемент
из этого множества,
называемый их суммой и обозначаемый символом
.
II) Имеется правило, посредством которого любому элемент
любому действительному числу
элемент
множества L и
ставится в соответствие однозначно определенный
из этого множества, называемый произведением элемента
на число
и
обозначаемый символом
III) Указанные операции (два правила) подчинены следующим восьми аксиомам
1. Сложение коммутативно, т.е. a  b  b  a для любых a, b из L ;
2. Сложение ассоциативно, т.е. a  b  c  a  b  c для любых a, b, c из L ;
3. В множестве L существует нулевой элемент 0 такой, что a  0  a при любом a из
L;
4. Для всякого элемента a в L существует противоположный элемент  a такой, что
a   a   0 .
Страница
26
Дальнейшие аксиомы связывают умножение на число со сложением и с операциями
над числами. Для любых элементов a, b из L , для любых действительных чисел  , 
и действительного числа 1 должны выполняться равенства:
5.  a  b  a  b при любых a, b из L и любом действительном  ;
6.    a  a  a при любом a из L и любых действительных  ,  ;
7.  a   a при любом a из L и любых действительных  ,  ;
8. 1 a  a при любом a из L .
Здесь не случайно не сказано, как именно определяются операции сложения и
умножения на числа. От этих операций требуется только, чтобы были выполнены
сформулированные выше аксиомы. Когда встречаются операции, удовлетворяющие
перечисленным выше условиям, мы вправе считать их операциями сложения и
умножения на числа, а совокупность элементов, для которых эти операции
установлены - линейным пространством. Элементы линейного пространства
называют так же векторами.
Рассмотрим некоторые следствия из аксиом.
Используя свойство 1), докажем единственность нулевого элемента. Если
предположить существование двух нулевых элементов 01 и 0 2 , то
01  0 2  01 ,
01  0 2  0 2  01  0 2 ,
откуда 01  0 2 .
Ввиду 1) и 2), легко проверяется единственность противоположного элемента. Если
 a 1 и  a 2 - два противоположных элемента для a , то
откуда  a 1   a 2 .
Страница
27
Из аксиом 1)-4) выводится существование и единственность разности a  b , т.е.
такого элемента, который удовлетворяет уравнению b  x  a .
Как следствие, например, аксиом 7) и 8) получаем, если   a  0 , то или   0 , или
a  0 . Действительно, если   0 , т.е. число  1 существует, то


a  1  a   1 a   1 a    1  0  0 .
5.2. Примеры линейных пространств
1. Множество L  Rn столбцов (векторов) размерности n , каждая компонента
которого является действительным числом с обычными операциями сложения и
 x1 
 y1 
 
 
n
умножения на действительные числа. Если x   ...   R , и y   ...   R n , то очевидно
y 
x 
 n
 n
x  y  R n и x  R n . Свойства 1) – 8) выполняются для действительных чисел,
поэтому эти свойства выполняются и для столбцов, так как они выполняются для
каждой компоненты столбцов.
2. Множество L  LA всех решений однородной СЛУ, т.е. множество
LA  x x  R n , Ax  0, A m  n .
Операции сложения и умножения определены как в Rn . Так как СЛУ
однородна, то 0  LA. Пусть x  LA, y  LA. Тогда из определения LA имеем
Ax  0 ,
Ay  0 . Сложив эти равенства, получаем Ax  Ay  0 . Используя свойства умножения
матриц, находим Ax  Ay  Ax  y   0 , т.е. сумма x  y тоже является решением этой
однородной системы и поэтому
Ax    Ax   0  0 , то и
принадлежит множеству LA. Поскольку
x  LA. Аксиомы 1) – 8) выполняются, так как они
выполняются в Rn .
Страница
28

 x1 

3. Пусть L   x   x2 

x 
 3


 a1 
 b1 

 


x  a   b, a   a2   R 3 , b   b2   R 3 ,  R  , здесь a, b - фиксиро
a 
b 
 3
 3

ванные, неколлинеарные векторы. Рассматриваемое множество векторов определяет
прямую в пространстве R 3 . При b  0 это множество не содержит нулевого элемента
(нарушается аксиома 3) и поэтому не является линейным векторным пространством.
Если b  0 , т.е. прямая проходит через начало координат, то все необходимы условия
выполнены и L линейное векторное пространство.
4. Множество геометрических векторов-отрезков, выходящих из начала координат на
плоскости или в пространстве с обычными правилами сложения и векторов-отрезков
и умножения их на действительные числа;
5. Множество всех функций действительного переменного, определенных и
непрерывных на отрезке
a, b, с обычными правилами сложения функций и
умножения их на действительные числа;
6. Множество Pn x  многочленов степени не выше n с действительными коэффициентами с обычными правилами сложения многочленов и умножения их на
действительные числа;
7. Множество L  M mn прямоугольных матриц размера m n с обычными операциями
сложения и умножения на действительные числа;
5.3. Линейная независимость векторов
Пусть x1 , x 2 ,..., x n  L , т.е. являются элементами (векторами) некоторого линейного векторного пространства и даны n чисел 1 ,  2 ,...,  n  R .
Вектор
y   1 x1   2 x 2  ...   n x n ,
называется линейной комбинацией векторов x1 , x 2 ,..., x n с коэффициентами 1 , 2 ,..., n .
Система векторов
Страница
29
x1 , x 2 ,..., x n , n  2
(1)
называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы (1) является
линейной комбинацией остальных векторов этой системы и линейно независимой в
противном случае.
Приведем другую формулировку этого важного определения:
система векторов (1) линейно зависима, если существуют такие числа 1 , 2 ,..., n ,
хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство
 1 x1   2 x 2  ...   n x n  0 .
(2)
Если равенство (2) возможно только при  i  0, i  1,2,..., n , то векторы системы (1)
линейно независимы.
Докажем эквивалентность этих двух определений. Пусть, например, вектор x n из
системы (1) является линейно комбинацией остальных векторов:
x n   1 x1   2 x 2  ...   n 1 x n 1 .
Отсюда вытекает равенство
 1 x1   2 x 2  ...   n 1 x n 1  x n  0 ,
т.е. равенство вида (2), где  i   i , i  1,2,..., n  1 и  n  1 т.е.  n  0 .
Пусть, обратно, векторы (1) связаны соотношением (2), в котором, например,  n  0 .
Тогда
  
  
  
x n    1  x1    2  x 2  ...    n1  x n1 ,
 n 
 n 
 n 
т.е. вектор x n оказался линейной комбинацией векторов x1 , x 2 ,..., x n1 .
Замечание. Второе из данных выше определений линейной зависимости применимо
и к случаю n  1.
Пример 5.1. Система столбцов
x 4  3, 8, 7 
T
(векторов) x1  5, 2, 1T , x 2   1, 3, 3T , x 3  9, 7, 5T ,
линейно зависима, так как векторы связаны соотношением
4 x1  x 2  3x3  2 x 4  0 .
Страница
30
В этом соотношении все коэффициенты отличны от нуля. Межу этими векторами
существуют и другие линейные зависимости, например
2 x 1  x 2  x 3  0 или 3x 2  x 3  2 x 4  0 .
Теорема (основная). Даны две системы векторов u 1 , u 2 ,..., u m и v1 , v 2 ,..., v n причем m  n .
Если каждый вектор u i , i  1,2,..., m линейно выражается через систему векторов
v1 , v 2 ,..., v n , то векторы u 1 , u 2 ,..., u m линейно зависимы.
По условию теоремы
u 1  a11v1  a 21v 2  ...  a n1v n ,
u 2  a12 v 1  a 22 v 2  ...  a n 2 v n ,
..………………………...,
u m  a1m v1  a 2 m v 2  ...  a nm v n .
Умножим каждую строку соответственно на x1 , x2 ,..., xm и сложим
x1u 1  x 2 u 2  ...  x m u m 
a11 x1  a12 x2  ...  a1m xm v1 
 a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 m x m v 2  .
 ................................................ 
 a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nm x m v n  0
Приравнивая к нулю множители при v j , j  1,2,..., n , имеем однородную СЛУ
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1m x m  0
a x  a x  ...  a x  0
 21 1
22 2
2m m

 ...........................................
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nm x m  0
в которой число уравнений меньше числа неизвестных x1 , x2 ,..., xm (по условию
теоремы m  n ). Такая система, методом Гаусса, приводится к трапецеидальному
виду и следовательно имеет бесконечно много решений, а следовательно векторы
u 1 , u 2 ,..., u m линейно зависимы.
Страница
31
Таким образом, показано, что если большее количество векторов линейно
выражается через меньшее, то система, состоящая из большего количества
векторов, линейно зависима.
Определение. Если в пространстве L существует n линейно независимых векторов,
а любые n  1 векторов линейно зависимы, то число n называется размерностью
пространства L , а пространство L называется n - мерным.
Обозначается размерность пространства символом dim L  n .
5.4. Базис линейного векторного пространства
Определение.
Система
векторов
g 1 , g 2 ,..., g n
называется
базисом
линейного
пространства L , если выполнены два свойства:
1)
Система векторов g 1 , g 2 ,..., g n линейно независима;
2)
Любой вектор x  L может быть представлен в виде линейной
комбинации
x  x1 g 1  x 2 g 2  ...  x n g n .
Числа x1 , x2 ,..., xn называются координатами вектора x в базисе g 1 , g 2 ,..., g n .
1
Пример 5.2. Пусть пространство L  R 2 . Покажем, что система векторов e1    ,
0
0
e1    образует базис в этом пространстве. Составим линейную комбинацию из
1
векторов e1 ,e 2 с неизвестными коэффициентами 1 , 2
 1 e1   2 e 2  0 ,
1
 0
или
 0
1
 1     2    0 .
Решая систему линейных однородных уравнений
Страница
32
1  1   2  0  0
,

1  0   2  1  0
получаем 1   2  0 т.е. векторы e1 ,e 2 линейно независимы. Теперь следует показать,
x 
что любой вектор x   1   R 2 может быть представлен в виде линейной комбинации
 x2 
векторов e1 ,e 2 . В силу правил умножения матрицы на число и сложения матриц,
очевидно
x 
1
 0
x   1   x1    x2    x1e1  x2 e 2
 0
1
 x2 
т.е. система векторов e1 ,e 2 образует базис в пространстве R2 , а координаты вектора в
этом базисе совпадают с его компонентами. Легко показывается, что система
1
1
векторов g 1    , g 2    так же образует базис, но координаты вектора в этом
1
  1
базисе уже не совпадают с его компонентами.
Таким образом, координаты вектора зависят от базиса.
Теорема. Пусть g 1 , g 2 ,..., g n базис в линейном пространстве L . Тогда для любого
вектора x  L разложение по базису g 1 , g 2 ,..., g n единственно.
Пусть существует два разных разложения вектора x  L по базису
x  x1 g 1  x 2 g 2  ...  x n g n ,
x   1 g 1   2 g 2  ...   n g n .
Вычитая одно равенство из другого и приводя подобные члены получим:
x1  1 g 1  x2   2 g 2  ...  xn   n g n
 0.
Из линейной независимости векторов g 1 , g 2 ,..., g n следует
x1  1   x2   2   ...  xn   n   0
или
x1  1 , x2   2 ,..., xn   n .
Мы доказали, что любой вектор в линейном пространстве через базис представляется
однозначно.
Страница
33
Теорема. Пусть в линейном пространстве L базис состоит из n векторов g 1 , g 2 ,..., g n .
Тогда dim L  n .
По условию теоремы векторы g 1 , g 2 ,..., g n линейно независимы. Остается показать,
что любые n  1 векторов линейно зависимы. Пусть x1 , x 2 ,..., x n1 произвольные
векторы из L . По определению базиса, каждый из векторов x i , i  1,2,..., n  1 линейно
выражается через векторы базиса
g 1 , g 2 ,..., g n . Из основной теоремы следует, что
векторы x1 , x 2 ,..., x n1 линейно зависимы.
Теорема. Если
dim L  n , то любая совокупность из n линейно независимых
элементов является базисом.
Пусть g 1 , g 2 ,..., g n некоторая совокупность, состоящая из n линейно независимых
элементов, а x произвольный элемент, принадлежащий
L . Составим линейную
комбинацию с неизвестными коэффициентами и приравняем ее к нулю
x0 x  x1 g 1  x 2 g 2  ...  x n g n  0 .
Из определения размерности пространства векторы x, g 1 , g 2 ,..., g n линейно зависимы.
Поэтому существует хотя бы один ненулевой коэффициент xi . Очевидно
Иначе бы g 1 , g 2 ,..., g n оказались линейно зависимыми. Следовательно
x
x
x1 1 x2 2
g  g  ...  n g n .
x0
x0
x0
То есть g 1 , g 2 ,..., g n - базис.
Лекция № 6
Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса.
Теорема Кронекера-Капелли.
5.1. Ранг матрицы.
Страница
34
x0  0 .
Пусть дана матрица Am  n .
Определение. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы


Am  n называют рангом по столбцам и пишут rk A1 ,..., A n .
Максимальное число линейно независимых строк матрицы Am  n называют
рангом по строкам и пишут rk A1 ,..., Am  .
5.2. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
(а) перемена мест двух строк или столбцов;
(б) умножение строки (или столбца) на произвольное отличное от нуля число;
(с) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (столбца), умноженной
на некоторое отличное от нуля число.
Теорема. Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
Пусть ранг матрицы Am  n равен r . Тогда существует r линейно независимых строк матрицы, пусть это будут строки
A1 ,..., Ar , а строки Ar 1 ,..., Am линейно
выражаются через них. Преобразование (а) сохраняет ранг матрицы т.к. линейная
независимость системы векторов при их перестановке сохраняется в силу
коммутативности сложения матриц. Покажем, что преобразование (б) не меняет
ранга матрицы. Пусть первая строка умножена на число   0 . Покажем, что система
строк A1 ,..., Ar осталась линейно независимой. Составим и приравняем к нулю их
линейную комбинацию
1 A1    2 A2  ...   r Ar  0 .
Страница
35
(4)
Нам требуется показать, что равенство (4) возможно только для  i  0 , i  1,2,..., r . В
силу свойств умножения матрицы на число, 1 A1   1 A1 , поэтому равенство (4)
можно переписать следующим образом
1 A1   2 A2  ...   r Ar
 0.
Поскольку система A1 ,..., Ar линейно независима, то 1  0 ,  i  0 , i  2,..., r . Так как
  0 , то отсюда следует
1  0 и утверждение доказано. Подобным же образом
показывается, что и преобразование (с) сохраняет ранг матрицы. Действительно,
пусть первая строка изменена путем прибавления к ней второй строки, умноженной
на число   0 . Покажем линейную независимость новой системы элементов
A1  A2 , A2 ,..., Ar . Составим линейную комбинацию этих элементов с неопределенны-
ми коэффициентами  i и приравняем к нулю
1  A1  A2    2 A2  ...   r Ar  0 .
(5)
Следуя правилам, определяемым аксиоматикой линейных векторных пространств,
приведем выражение (5) к следующему виду
1 A1  1   2 A2  ...   r Ar  0 .
Так как система A1 ,..., Ar линейно независима, то 1  0 , 1   2  0 ,  i  0 , i  3,..., r .
Следовательно  i  0 , i  1,2,..., r , что и доказывает линейную независимость системы
элементов A1  A2 , A2 ,..., Ar . Осталось доказать, что любая строка Ai , i  r  1,..., m
линейно выражается через систему новых элементов A1  A2 , A2 ,..., Ar . Пусть
Ai  ~1i  A1  A2   ~2i A2  ...  ~ri Ar ,
где
i  r  1, . .m. .,
n  1,..., r
(6)
Для нахождения неизвестных коэффициентов ~ni , i  r  1,..., m ,
воспользуемся тем, что строки Ai , i  r  1,..., m линейно выражаются через
A1 ,..., Ar т.е. существуют представления
Ai   1i A1   2i A2  ...   ri Ar .
Из равенств (6), (7) следует
 1i A1   2i A2  ...   ri Ar  ~1i  A1  A2   ~2i A2  ...  ~ri Ar .
Или
Страница
36
(7)
~
i
1







  1i A1  ~1i  ~2i   2i A2  ~3i   3i A3 ...  ~ri   ri Ar  0 .
Из линейно независимости строк A1 ,..., Ar имеем
~1i   1i ,
~2i   2i   1i , ~3i   3i , …, ~ri   ri .
Таким образом
rk A1 , A2 ,..., Am   rk  A1  A2 , A2 ,..., Am  .
Теорема. Ранги матрицы по строкам и по столбцам равны между собой.
Т.е. максимальное число линейно независимых строк любой матрицы равно
максимальному числу ее линейно независимых столбцов, что дает право говорить о
ранге матрицы и записывать его как rkA .
Применяя элементарные преобразования (метод Гаусса-Жордана), приводим
матрицу к такому виду, когда столбцы состоят из нулей или содержат только одну
единицу (векторы стандартного базиса). Тогда, очевидно, что число столбцов с 1
равно числу строк с 1, а это и означает равенство рангов матрицы по строкам и по
столбцам.
Пример 5.1. Найти ранг матрицы
2
4 
0


 1  4 5 
A 3
1
7 .


5  10 
0
2
3
0 

Переставляя в этой матрице первый и второй столбец, а затем умножая первую
строку на число
1
, мы придем к матрице
2
0 2 
 1


 4 1 5 
 1
3
7 .


0  10 
 5
 3
2
0 

Прибавляя к ее третьему столбцу удвоенный первый столбец,
Страница
37
0
0 
 1


  4  1  3
 1
3
9 


0
0 
 5
 3
2
6 

а затем, прибавляя некоторое кратное новой первой строки к каждой из остальных
строк, мы получаем матрицу
0 
1 0


 0  1  3
0 3
9 .


0 
0 0
0 2
6 

Умножая вторую строку на –1, вычитая из третьего столбца утроенный второй
столбец, а затем вычитая из третьей и пятой строк некоторые кратные новой второй
строки, придем к искомой диагональной форме
1

0
0

0
0

0 0

1 0
0 0 .

0 0
0 0 
Таким образом, ранг матрицы A равен двум.
Замечание. Говорят, что матрица, содержащая
m строк и n столбов, имеет
диагональную форму, если все ее элементы равны нулю, кроме элементов
a11 , a22 ,..., arr , где 0  r  min m, n , равных единицы. Ранг этой матрицы равен,
очевидно, r .
Всякую матрицу можно элементарными преобразованиями привести к диагональной форме.
Дана СЛУ
Ax  b ,
Страница
38
(8)
где Am  n  A1 , A2 ,..., An .
1
2
n
Обозначим через A расширенную матрицу системы (8) - A  A , A ,..., A , b  .
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений тогда и только тогда
совместна, когда ранг расширенной матрицы A равен рангу матрицы A , т.е.
rkA  rkA .
T
Необходимость. Пусть система (8) совместна и пусть xˆ  xˆ1 , xˆ 2 ,..., xˆ n  будет одним
из ее решений. Подставляя эти числа вместо неизвестных в систему (8) и записывая
ее по столбцам, мы находим, что последний столбец матрицы A линейно
выражается через остальные столбцы этой матрицы
xˆ1 A1  xˆ 2 A 2  ...  xˆ n A n  b ,
(9)
а, следовательно, и через те столбцы, что составляют максимальную линейно
независимую систему т.е. rkA  rkA
Достаточность. Пусть теперь rkA  rkA . Выберем в матрице A максимальную
1
2
r
линейно независимую систему векторов. Допустим это векторы A , A ,..., A . Тогда
система A1 , A2 ,..., An , b линейно зависима, т.к. rkA  r . Поэтому вектор
b линейно
1
2
r
выражается через векторы A , A ,..., A
~
x1 A1  ~
x2 A2  ...  ~
xr A r  b .
(10)
Из (10) следует
~
x1 A1  ~
x2 A2  ...  ~
xr Ar  0 Ar 1  ...  0 An  b ,
T
т.е. система (8) имеет решение ~x  ~x1 , ~x 2 ,..., ~x r ,0,...,0 . Таким образом, исходная СЛУ
совместна.
Пример 5.2.
Рассмотрим задачу из примера 2.11 со следующими изменениями:
зерноводство дает 8% прибыли, животноводство 10%, овощеводство 6%. При старых
обозначениях СЛУ такова:
Страница
39
 x1  x2  x3  10

 2 x1  3x2  x3  22
0.08 x  0.1x  0.06 x  0.78
1
2
3


 x1  x2  x3  10

2 x1  3x2  x3  22 .
 4 x  5 x  3x  39
2
3
 1
Основная и расширенная матрицы системы запишутся так
 1 1 1


A   2 3 1 ,
 4 5 3


 1 1 1 10 


A   2 3 1 22  .
 4 5 3 39 


Вычисляем ранги этих матриц.
 1 1 1  1 0 0   1

 
 
 2 3 1  ~  2 1 1 ~  2
 4 5 3   4 1 1  4

 
 
1

~0
0

0 0  1
 
0 1 ~  0
0 1  0
0 0 1 0
 
0 1 ~ 0 1
0 0   0 0
0 0

0 1 ~
0 1
.
0

0
0 
Таким образом rkA  2 .
 1 1 1 10   1 0

 
 2 3 1 22  ~  2 1
 4 5 3 39   4 1

 
1 0 0 0 1

 
~0 1 0 2 ~ 0
0 1 0 0 0

 
0 0  1 0
 
1 2  ~  0 1
1 1  0 1
0 0 0 1
 
1 0 1 ~ 0
1 0 0   0
0 0

1 2  ~
1 1 
.
0 0 0 1 0 0 0
 

0 0 1 ~ 0 1 0 0
1 0 0   0 0 1 0 
То есть rkA  3 и rkA  rkA , следовательно, согласно теореме Кронекера-Капелли
задача не имеет решения.
Теорема. Система (8) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
соответствующая однородная система
Ax  0 ,
(11)
имеет только тривиальное (нулевое) решение.
T
Пусть система (8) имеет единственное решение xˆ  xˆ1 , xˆ 2 ,..., xˆ n  , т.е. Axˆ  b .
Докажем, что однородная система (11) имеет только тривиальное решение.
Страница
40
x  0 . Тогда Axˆ  ~
x   b , т.е.
x  0 такое, что A~
Предположим, что существует ~
x . Противоречие показывает,
у исходной системы нашлось второе решение x  xˆ  ~
что однородная система имеет лишь нулевое решение.
Обратно. Пусть система (11) имеет лишь тривиальное решение, а система (8) имеет
два решения, например
Ax1  b , Ax 2  b и x 1  x 2 . Но тогда


A x1  x 2  0 ,
x1  x 2  0 и опять пришли к противоречию. Теорема доказана.
В терминах ранга матрицы это утверждение можно сформулировать следующим образом:
Совместная система тогда и только тогда обладает единственным решением, когда ранг матрицы A равен числу неизвестных.
Теорема. Пусть в системе (11) Am  n и rkA  r . Тогда линейное пространство
состоящее из множества
 A всех решений однородной системы (11) имеет
размерность n  r .
Так как rkA  r , то можно выбрать r линейно независимых столбцов матрицы A .
Пусть это будут первые r столбцов. Выразим остальные столбцы в виде их линейной
комбинации
r
A k    ik A i , k  r  1,..., n .
i 1
Перепишем равенство (12) следующим образом
  1k A1   2 k A 2  ...   rk A r  0  A r 1  ...  1  A k  ...  0  A n  0 .
k
Это означает, что столбец v размерности n
Страница
41
(12)
   1k 


 ... 
 
rk


0


vk  

 ... 
 1  k


 ... 
 0 


является решением системы (11) - Av k  0 , k  r  1,..., n
v k   A . Можно
т.е.
k
показать, что вектора v линейно независимы. Покажем, что произвольный вектор
x   A может быть представлен в виде их линейной комбинации т.е. v k образуют
T
k
базис в пространстве  A . Так как векторы x  x1 , x2 ,..., xr. , xr 1 ,..., xn  и v являются
решением системы линейных однородных уравнений, то и их линейная комбинация
x  x
*
n
x v
k  r 1
k
(13)
k
является решением той же системы т.е. Ax *  0 . Равенство (13) для компонент с
номерами k  r запишется в виде
x * k  x k  x k  0 , k  r  1,..., n .
Таким образом
r
Ax*   x * j A j 
j 1
n
r
k  r 1
j 1
 x * k Ak   x * j A j  0 .
1
2
r
Но векторы A , A ,..., A линейно независимы. Поэтому равенство Ax *  0 означает,
что x
*
j
 0 , j  1,..., r . Следовательно x  0 и x 
*
n
x v
k  r 1
k
k
k
т.е. v образуют базис в
пространстве  A . Теорема доказана.
Пример 5.3. Чему равна размерность пространства решений однородной СЛУ
x1  x2  x3  x4  0 .
Страница
42
Матрица системы имеет вид A  1 1 1 1 . Очевидно
rkA  1 . Согласно выше
рассмотренной, теореме размерность пространства решений равна 4-1=3.
Страница
43
Лекция № 6 (продолжение)
Критерий существования обратной матрицы.
6.1. Обратная матрица (критерий существования).
Обратная матрица существует не для любой квадратной матрицы.
Теорема. Пусть An  n и Bn  n такие, что
A B  E ,
(2)
где E - единичная матрица. Тогда rkA  n .
Матрицу E запишем как набор столбцов стандартного базиса


E  e1 , e 2 ,..., e n ,
(3)
а матрицу A  B как набор столбцов A B j , j  1,2,..., n , где B j - j столбец
матрицы B


A  B  A  B1 , A  B 2 ,..., A  B n .
(4)
В силу (3), (4) равенство (2) равносильно следующей системе равенств
A  B 1  e1 ,
A  B 2  e 2 , …, A  B n  e n .
(5)
Если B j  b1 j , b2 j ,..., bnj , то
A  B j  b1 j A1  b2 j A2  ...  bnj An
и равенства (5) можно переписать следующим образом
e1  b11 A1  b21 A 2  ...  bn1 A n
e 2  b12 A1  b22 A 2  ...  bn 2 A n
................................................
e n  b1n A1  b2 n A 2  ...  bnn A n
,
(6)
Допустим, что rkA  n , тогда между столбцами A1 , A2 ,..., An существует линейная
зависимость и хотя бы один из векторов этой системы является линейной
1
комбинацией остальных векторов. Допустим это столбец A т.е.
A1   2 A 2   3 A 3 ...   n A n .
Подставив это соотношение в (6) и приведя подобные члены найдем
Страница
44
~
~
~
e1  b21 A 2  b31 A3  ...  bn1 A n
~
~
~
e 2  b22 A 2  b32 A3  ...  bn 2 A n
................................................
~
~
~
e n  b2 n A 2  b3n A3  ...  bnn A n
,
~
где коэффициенты bij являются комбинацией из bij и  k .
Эти равенства показывают, что большее количество векторов e1 , e 2 ,..., e n
выражаются линейно через меньшее - A 2 ,..., A n , но тогда по основной теореме
система e1 , e 2 ,..., e n линейно зависима, что не верно.
Аналогичным образом доказывается следующая теорема.
Теорема. Пусть An  n и Cn  n такие, что
C A E,
где E - единичная матрица. Тогда rkA  n .
Определение. Квадратная матрица An  n называется невырожденной, если
rkA  n .
В этом случае, в силу определения ранга матрицы, все столбцы (строки) ее
линейно независимы.
Определение. Квадратная матрица An  n называется вырожденной, если
rkA  n .
В этом случае, в силу определения ранга матрицы, ее столбцы (строки)
линейно зависимы.
Доказанные теоремы показывают, что невырожденность является необходимым условием существования обратной матрицы. Покажем, что это
условие является и достаточным.
Теорема. Пусть An  n такая, что rkA  n . Тогда существует единственная
правая обратная матрица Bn  n такая, что
A B  E .
Страница
45
(7)
В силу условия теоремы система столбцов A1 , A2 ,..., An линейно независима. Покажем, что она образует базис в пространстве
R n . Для этого достаточно
показать, что любой вектор x  R n может быть представлен в виде линейной
комбинации столбцов
A1 , A2 ,..., An . Рассмотрим систему из
n  1 вектора
A1 , A2 ,..., An , x - где x  R n любой элемент этого пространства. Так как
n
столбцов единичной матрицы e1 , e 2 ,..., e n образуют стандартный базис в R n , то
каждый элемент из системы A1 , A2 ,..., An , x , насчитывающей большее количество векторов, может быть представлен в виде линейной комбинации элементов
e1 , e 2 ,..., e n , насчитывающей меньшее количество векторов. Согласно основной
теореме, система A1 , A2 ,..., An , x линейно зависима
т.е.
существуют числа
 12   22   32  ...   n2   2  0 такие, что
 1 A1   2 A 2   3 A3 ...   n A n  x  0 .
Но   0 , так как иначе
A1 , A2 ,..., An окажутся
линейно зависимыми, что
противоречит условию теоремы. Следовательно, для x  R n имеем
x

1 1  2 2  3 3
A 
A 
A  ...  n A n ,




а это и означает, что система столбцов A1 , A2 ,..., An образует базис в пространn
стве R .
Как уже указывалось, матричное уравнение (7) может быть записано виде
e j  b1 j A1  b2 j A2  ...  bnj An , j  1,2,..., n .
(8)
Равенства (8) можно трактовать как разложения векторов e j по базису
A1 , A2 ,..., An . В силу единственности разложения по базису существует един-
ственный набор чисел
B j  b1 j , b2 j ,..., bnj  , j  1,2,..., n , который является
T
координатами разложения по этому базису, а это и означает, что квадратная
матрица B  B1 , B 2 ,..., B n  такая, что A  B  E , существует и единственна.
Аналогичным образом доказывается теорема о существовании и единственности левой обратной матрицы.
Страница
46
Теорема. Пусть An  n такая, что rkA  n . Тогда существует единственная левая
обратная матрица Cn  n такая, что
C A E.
(9)
В силу этого, матрица B  C такая, что A  B  C  A  E обозначается символом
A 1 и называется обратной к A .
 0 4 10 1 


4 8 18 7 

Пример 4.6. Является ли матрица A 
невырожденной?
10 18 40 17 


 1 7 17 3 
Вычислим ранг этой матрицы методом Гаусса.
0

4
10

1
0

4
10

1
4
8
18
7
0
0
0
0
1 0
0
0
1 0
 
 
18 7   4 20 52 7   4
~
~
40 17  10 50 130 17  10
 
 
17 3   1 5 13 3   1
0 1  0 0 0 1  0 0 0
 
 
0 5   0 0 0 5   0 0 0
~
~
0 13   0 0 0 13   0 0 0
 
 
0 0  1 0 0 0  1 0 0
10
1

4 4 7
~
10 10 17 

1 1 3
1

0
0

0
0
0
Т.е. rkA  2 . Матрица вырождена и не имеет обратной матрицы.
6.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
(балансовый анализ)
Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая
из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая
часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.
Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например,
год).
Введем следующие обозначения:
Страница
47
xi - общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,...,n), выпущенной за рассматриваемый период (в натуральных или денежных единицах);
xij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе
производства (i,j = 1,2,...,n);
ci - объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления (вектор чистой продукции).
Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному
объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то
xi   xi1  xi 2  ...  xin   ci ,
i, j  1, 2, ..., n .
Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем
рассматривать стоимостной межотраслевой баланс, когда все величины,
входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.
Введем коэффициенты прямых затрат или технологические коэффициенты:
aij 
xij
xj
, i, j  1, 2, ..., n ,
показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы
стоимости j-й отрасли.
Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут
постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это
означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.
xij  aij x j , i, j  1, 2, ..., n ,
вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса
получила название линейной модели.
Теперь соотношения баланса примут вид СЛУ:
xi   ai1x1  ai 2 x2  ...  ain xn   ci , i  1, 2, ..., n , или
 x1   a11x1  a12 x2  ...  a1n xn   c1

 x2   a21x1  a22 x2  ...  a2n xn   c2

,
 ..........................................................
 xn   an1x1  an 2 x2  ...  ann xn   cn

Страница
48
(1)
В матричной форме система (1) запишется так
x  Ax  c .
Здесь
A
(2)
 
- матрица прямых затрат A  aij .
Уравнения (2) вместе с изложенной интерпретацией матрицы A и векторов
x , c называется моделью Леонтьева. В том случае, когда решение системы (2)
существует для любого неотрицательного вектора c конечного спроса, говорят,
что модель Леонтьева (и матрица A ) продуктивна.
Особенность матриц A в модели Леонтьева состоит в том, что все элементы
этой матрицы неотрицательны ( A  0 ).
Пример 1.2. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный
период в усл. ден. ед.:
Потребление
Отрасль
Производство
Конечный продукт
Валовой выпуск
Энергетика Машиностроение
Энергетика
7
21
72
100
Машиностроение
12
15
123
150
Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если
конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.
Имеем
x1  100 , x2  150 , x11  7 , x12  21 , x21  12 , x22  15 , c1  72 , c2  123 .
По формуле aij 
xij
xj
находим коэффициенты прямых затрат:
x
x
7
21
 0.14 ,
a11  11 
 0.07 , a12  12 
x2 150
x1 100
x
x
12
15
a21  21 
 0.12 , a22  22 
 0.10 .
x1 100
x2 150
Т.е. матрица прямых затрат
Страница
49
 0.07 0.14 
A  
 ,
 0.12 0.10 
а
ЛСУ
баланса (2) имеет вид
 2c  144 
c   1  
 . Решаем
 c2   123 
 E  A X  c , где
систему по методу Гаусса.
 93

 0.93  0.14 144 

 или  100
  0.12
0.9 123 
  12


 100

 93
14
 12

144
100

  100
90 123  93
 0


100




14

144
100

4101 13167 

50


Приближенно получаем x2  160.5 и x1  179.0
т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а
в машиностроительной - до 160,5 усл. ед.
Различают замкнутую и открытую модели Леонтьева.
Определение. Если вся продукция системы n отраслей потребляется на
производственные нужды этой системы и никакие ресурсы, кроме этой
продукции, системой не используются, то описывающая эту систему модель
Леонтьева называется замкнутой. В замкнутой модели вектор чистой продукции c  0 . Если часть продукции системы не потребляется на производственные
нужды этой системы, то модель Леонтьева называется открытой. В открытой
модели вектор чистой продукции c  0 .
Страница
50
Лекция № 7
Евклидово пространство. Ортогональный и ортонормированный базисы.
Метод ортогонализации.
12.1. Евклидово пространство
Линейное векторное пространство было определено как множество элементов
(векторов) с заданными в нем операциями сложения элементов и умножения на
действительные числа. С помощью этих операций можно сформулировать, что
такое прямая, плоскость, число измерений пространства, что такое параллельные прямые и т.д. Однако этих понятий недостаточно, чтобы охватить все
многообразие фактов, составляющих содержание так называемой евклидовой
геометрии. Например, в одних терминах сложения и умножения на число нельзя
дать определения длины вектора, угла между векторами и т.д. Ввести эти
понятия можно следующим образом.
Выберем в качестве основного понятие скалярного произведения, которое
определим аксиоматически.
В терминах сложения векторов, умножения их на числа и скалярного произведения векторов можно развить всю евклидову геометрию.
Определение. Будем говорить, что в линейном пространстве ℒ определено
скалярное произведение, если каждой паре векторов x, y  ℒ поставлено в
соответствие действительное число, которое обозначается через x, y  , причем
это соответствие удовлетворяет следующим аксиомам:
1) x, y    y, x т.е. скалярное произведение симметрично.
2) x, y   x, y  , где  - действительное число.
1
2
1
2
3) x  x , y   x , y   x , y  - дистрибутивность скалярного произведения.
4) Скалярное произведение вектора с самим собой неотрицательно: x, x  0 ,
и обращается в нуль, только при x  0 .
Действительное линейное n  мерное пространство, в котором определено
скалярное умножение векторов, называют n  мерным евклидовым пространством.
Действительное линейное n  мерное пространство можно многими способами
превратить в евклидово пространство. Если в пространстве ℒ фиксирован базис
e1 , e 2 ,..., e n , то любые вектора x, y  ℒ имеют разложения
n
n
x   xi e
i 1
i
,
y   y je j
j 1
Страница
51
.
(1)
Из аксиом 2), 3) следует, что любую конечную линейную комбинацию векторов
можно умножить скалярно на другую линейную комбинацию векторов по
правилу, аналогичному правилу умножения многочлена на многочлен. Поэтому
x, y    xi y j e i , e j    xi y j e i , e j 
n
n
n
i 1 j 1
или в матричной форме
i , j 1
,
(2)
x, y   x T  G  y ,
где положено

(3)

 e1 , e
...

G   ...
...

n
1
T
T
 e , e  ...
x  x1 , x2 ,..., xn  , y   y1 , y 2 ,..., y n  ,

1
e , e 
 g11

...    ...
e n , e n   g n1
1
n
1
2
...
...
g n2
g1n 

... 
g nn 
.
n
Матрицу G называют матрицей Грамма базиса e , e ,..., e . Очевидно, она
i
j
j
i
симметрическая, так как e , e   e , e  . Аксиома 4) требует, чтобы выражение
x, x    e i , e j xi x j
n
i , j 1
,
которое получается из формулы (2) при x  y и называется
xi , x j
формой относительно переменных
(4)
квадратичной
, было неотрицательным для
всех
значений переменных x1 , x2 ,..., xn , одновременно не равных нулю. Квадратичную
форму (4), которая обладает таким свойством, называют положительно
определенной.
Так как при x1  x2  ...  xn  0 квадратичная форма (4), очевидно, равна нулю, то
можно сказать, что положительно определенная квадратичная форма обращается в ноль лишь при условии x1  x2  ...  xn  0 .
Из проведенного рассмотрения следует, что для задания в линейном простран1
2
n
стве ℒ скалярного произведения векторов при фиксированном базисе e , e ,..., e
нужно в формуле (3) взять в качестве матрицы G какую-либо симметрическую
матрицу порядка n , порождающую положительно определенную квадратичную
форму. Например, если положить G  E , то из формулы (2) (или (3)) следует
n
 x, y    x i y i
i 1
.
(5)
n
Полученное евклидово пространство часто обозначают символом E .
Рассмотрим, в качестве примера, бесконечномерное линейное пространство
Ca, b всех функций xt  , определенных и непрерывных на отрезке t  a, b .
Скалярное произведение двух таких функций xt  и yt  определим как интеграл
от произведения этих функций
b
x, y    xt yt dt
a
.
Страница
52
Элементарно проверяется справедливость для так определенного скалярного
произведения аксиом 1)-4). Справедливость аксиомы 1) очевидна; справедливость аксиом 2) и 3) вытекает из линейных свойств определенного интеграла;
b
 x t dt
2
справедливость аксиом 4) вытекает из того, что интеграл
a
от непрерыв-
ной неотрицательной функции x t  неотрицателен и обращается в нуль лишь
тогда, когда эта функция тождественно равна нулю на a, b т.е. является
нулевым элементом рассматриваемого пространства.
2
Теорема. Для любых двух элементов x и y произвольного евклидова пространства справедливо неравенство
x, y 2  x, x  y, y  ,
(6)
называемое неравенством Коши-Буняковского.
Для любого действительного числа  , в силу аксиомы 4) скалярного произведения, справедливо неравенство
x  y, x  y  0 .
(7)
В силу аксиом 1)-3) неравенство (7) можно переписать в виде
2 x, x   2 x, y    y, y   0 .
(8)
Необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного
трехчлена (8) является неположительность его дискриминанта, т.е. неравенство
x, y 2  x, x  y, y   0 ,
что равносильно (6).
Определение. Длиной (нормой) вектора x евклидова пространства называется
число, которое обозначается через x и вычисляется по формуле
x 
 x, x  .
(9)
Замечание. Неравенство Коши-Буняковского можно записать так x, y   x y .
В силу аксиомы 4) x  0 , если x - ненулевой элемент; x  0 , если x - нулевой
элемент.
Теорема. Для любых двух элементов x и y произвольного евклидова пространства справедливо неравенство
x y  x  y
,
(10)
называемое неравенством треугольника.
Действительно
x y 
x  y, x  y   x, x   2x, y    y, y  

x 2 x y  y
2
x
Страница
53
 y

2
2
 x  y
x
x
x0 
Нормировать вектор x - значить заменить его вектором
x
0
. Очевидно
1
.
Определение. Углом между векторами x и y евклидова пространства называют
угол  , определяемый соотношением
cos  
x, y 
, 0  .
(11)
Данное определение корректно, ибо в силу неравенства Коши-Буняковского (6)
дробь, стоящая в правой части равенства (11), по модулю не превосходит
единицы.
Определение. Два элемента x и y евклидова пространства называют ортогональными и пишут, x  y если их скалярное произведение равно нулю, т.е.
x, y   0 .
x y
12.2. Ортогональный и ортонормированный базисы
В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы,
называемые ортонормированными базисами. Эти базисы играют ту же роль, что
и декартов прямоугольный базис в геометрии.
1
2
n
Определение. Говорят, что n элементов g , g ,..., g , ни один из которых не равен
нулю, образуют ортогональный базис в n - мерном евклидовом пространстве E ,
1
2
n
если они попарно ортогональны. Векторы g , g ,..., g образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и
норма каждого из них равна единицы, т.е. если
g , g   10,,
i
j

i j
i j
(12)
Чтобы установить корректность сформулированного определения, следует
1
2
n
доказать, что входящие в это определение элементы g , g ,..., g образуют один
из базисов рассматриваемого n - мерного евклидова пространства E . Покажем,
что они линейно независимы, т.е. что равенство
 1 g 1   2 g 2  ...   n g n  0
(13)




...



0
2
n
возможно, лишь когда 1
. Умножим равенство (13) скалярно на
k
g , где k - любой из номеров 1,2,..., n .
 1 g 1 , g k    2 g 2 , g k   ...   k g k , g k   ...   n g n , g k   0 .
(14)
В силу определения (12) в равенстве (14) все произведения g , g  равны нулю
k
k
k
k
при i  k и лишь g , g   0 . Таким образом, из (14) следует  k g , g   0 , а так
k
k
как g , g   0 , то следовательно  k  0 при любом k . Поскольку размерность
1
2
n
пространства n , то для любого вектора x система элементов x, g , g ,..., g
i
Страница
54
k
линейно зависима и следовательно элемент x можно представить в виде
1
2
n
линейной комбинации элементов g , g ,..., g , что и требовалось доказать.
12.3. Метод ортогонализации
Чтобы доказать существование ортогональных базисов, воспользуемся
процессом ортогонализации. Он состоит в том, из данных линейно независимых
1
2
m
1
2
m
векторов f , f ,..., f строятся m попарно ортогональных векторов g , g ,..., g .
1
1
2
2
2
1
Положим g  f . Вектор g будем искать в виде g  f  g . Число  подберем
2
1
2
1
1
так, чтобы g , g   0 , т.е.  f  g , g   0 . Отсюда
 
f
g
2
, g1
1
, g1

.
Предположим, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы
g 1 , g 2 ,..., g k 1 уже построены. Вектор g k ищем в виде:
g k  f k  1 g 1   2 g 2  ...   k 1 g k 1
,
k
k
g
f
т.е. вектор
мы получаем из вектора
“исправлением” его с помощью
1
2
k 1
линейной комбинации уже построенных векторов g , g ,...,g . Коэффициенты
1 ,  2 ,... k 1
находим
из
условия
ортогональности
вектора
k
k
1
2
k 1
1
2
k 1
g  f  1 g   2 g  ...   k 1 g
к векторам g , g ,..., g :
 f k  1 g 1  2 g 2  ...  k 1 g k 1 , g 1   0 ,
 f k  1 g 1  2 g 2  ...  k 1 g k 1 , g 2   0 ,
………………………………………….,
 f k  1 g 1  2 g 2  ...  k 1 g k 1 , g k 1   0 .
1
2
k 1
Так как вектора g , g ,..., g попарно ортогональны, то эти равенства записываются в виде:
 f k , g 1   1 g 1 , g 1   0 ,
 f k , g 2   2 g 2 , g 2   0 ,
…………………………,
 f k , g k 1   k 1 g k 1 , g k 1   0 .
Отсюда
1  
f
g
k
, g1
1
, g1

,
2  
f
g
k
,g2
2
,g2

,
 k 1  
f
g

.
, g k 1
k 1
, g k 1
k
…..,
1
2
k 1
k
k 1
Вектор
есть линейная комбинация векторов g , g ,..., g , f . Но вектор g
k 1
1
2
k 2
можно заменить линейной комбинацией вектора f и векторов g , g ,..., g
и
k
т.д. Окончательно получаем, что вектор g записывается в виде:
g k   1 f 1   2 f 2  ...   k 1 f k 1  f k
.
k
1
2
k 1
k
Следовательно g  0 , так как иначе f , f ,..., f , f
окажутся линейно
1
2
k 1
зависимыми, что противоречит условию. Мы построили по векторам g , g ,..., g
gk
Страница
55
k 1
k 1
и f вектор g  0 . Таким же образом по g , g ,..., g и f мы построим g  0
и т.д. Продолжая этот процесс до тех пор, пока не будут исчерпаны заданные
1
2
m
векторы f , f ,..., f , получаем m отличных от нуля и попарно ортогональных
1
2
m
векторов g , g ,..., g .
По определению n - мерного пространства в нем существует какой-то базис
f 1 , f 2 ,..., f n . С помощью процесса ортогонализации из него можно построить
1
2
n
ортогональный базис g , g ,..., g . Таким образом мы доказали, что во всяком n мерном пространстве существуют ортогональные базисы. Уже из данного
1
2
n
базиса f , f ,..., f можно построить различные ортогональные базисы, если
k
начинать построение с различных векторов f , поэтому таких базисов
существует много.
k
Если заменить векторы g векторами
k
k
1
2
k
gk
hk 
gk
, k  1,2,..., n ,
то эти векторы, очевидно, образуют ортонормированный базис.
Пример 12.1. Пусть R - трехмерное пространство, векторами в котором
считаются многочлены степени не выше второй. Скалярное произведение
зададим формулой
1
P, Q    Pt Qt dt
1
.
2
Векторы 1, t , t образуют базис в R . Применим к этому базису процесс
ортогонализации:
g 1  1 ; вектор g 2 ищем в виде g 2  t    1 ; из условия ортогональности
g
  1, t    1   t   dt  2  0
1
1
,g
2
1
получаем
g2  t .
  0 . Значит,
g3
Вектор
  0,
условий ортогональности получаем
1, t , t 2 
ищем в виде:
 
g 3  t 2    t   1 .
Из
1
1
g3  t2 
3 , т.е.
3 . Окончательно
1
3.
получаем ортогональный базис
Если разделить каждый вектор на его
длину, то получим ортонормированный базис.
Найдем координаты вектора x в ортонормированном базисе
Пусть
x   1 g 1   2 g 2  ...   n g n
.
1
Умножив обе части равенства (15) скалярно на g , получим
x, g    g
1
1
1





, g 1   2 g 2 , g 1  ...   n g n , g 1   1
и аналогично,
Страница
56
g 1 , g 2 ,..., g n .
(15)
, …, x, g    n .
Таким образом, координаты вектора в
ортонормированном базисе это
скалярные произведения этого вектора на соответствующие базисные векторы.
Скалярное произведение вектора x на вектор g длины единица естественно
назвать проекцией вектора x на вектор g . Доказанное утверждение означает,
что как и в аналитической геометрии, координаты вектора в ортонормированном базисе суть проекции этого вектора на базисные векторы.
Так как в ортонормированном базисе матрица Грама G  E , то скалярное
произведение в ортонормированном базисе вычисляется по формуле (5).
x, g   
n
2
2
Пример 12.2. Рассмотрим на интервале 0,2  систему функций
1, cos t , sin t , cos 2t , sin 2t ,..., cos nt , sin nt .
Их линейная комбинация
(16)
a0
 a1 cos t  b1 sin t  a 2 cos 2t  b2 sin 2t  ...  a n cos nt  bn sin nt
2
называется тригонометрическим многочленом n - го порядка.
Pt  
Совокупность

2
n
 1 - мерное
тригонометрических многочленов n - го порядка образует
пространство R1 . Определим в R1 скалярное произведение, как обычно, т.е.
положим
2
P, Q    Pt Qt dt
.
Легко проверить, что система (16) будет ортогональным базисом.
Действительно
0
2
 cos kt cos ltdt  0,
k l
,
0
2
2
0
0
 sin kt cos ltdt  0,  sin kt sin ltdt  0,
Так как
2
2
0
0
2
2
 sin ltdt   cos ltdt  
1
2
,
1

cos t ,
образуют в
R1
1

sin t ,
1

cos 2t ,
2
,а
1

1  dt  2
0
sin 2t ,...,
1

, то функции
cos nt ,
ортонормированный базис.
Страница
57
1

sin nt
k l
.
Лекция № 7 (продолжение)
Задача проектирования точки на подпространство.
Решение несовместной системы линейных уравнений.
Метод наименьших квадратов.
6.4. Задача проектирования точки на подпространство
Определение. Пусть L - подпространство евклидова пространства E n . Вектор
h  E n ортогонален подпространству
L , если он ортогонален любому вектору из
L.
Если g 1 , g 2 ,..., g k - базис подпространства L , то для того чтобы вектор был
ортогонален подпространству L , достаточно, чтобы он был ортогонален векторам
базиса.
Действительно, если x  L , то x  x1 g 1  x 2 g 2  ...  x k g k . Пусть h  E n и
h, g   0 ,
i
i  1,2,..., k . Тогда x, h   x1 g 1 , h   x 2 g 2 , h   ...  x k g k , h   0
Рассмотрим следующую задачу. Требуется опустить перпендикуляр из точки
u на подпространство L . Для этого надо найти вектор p  L такой, что вектор
hu pL
u
h

O
L
p
Рис. 6.1. Перпендикуляр из точки на подпространство
Определение. Вектор p  L называется ортогональной проекцией вектора u на
подпространство L , а h – перпендикулярной составляющей (перпендикуляром).
Страница
58
Угол  (между векторами u
и его ортогональной проекцией
углом между вектором u и подпространством
p ) называется
L . Покажем, что длина перпенди-
куляра h есть кратчайшее расстояние от точки (элемента) u до подпространства
L . Рассмотрим два равенства
~
ph u, ~
ph u,
где p - ортогональная проекция u , h – перпендикуляр, ~p - любой вектор из
подпространства L не равный p. Вычитая эти равенства друг из друга, находим
~
~
p ~
p  h  h  0 или h  h   ,
где   p  ~p  0 ,   L ,   h . Откуда
~
h
2
 h   т.е.
2
2
~
2
h  h .
Вычисление ортогональной проекции.
Пусть базис подпространства L состоит из векторов g 1 , g 2 ,..., g k . Вектор p  L
будем искать в виде
коэффициенты
подпространству
p  p1 g 1  p 2 g 2  ...  p k g k ,
p1 , p 2 ,..., p k
найдем из
причем
h  u  p . Неизвестные
условия ортогональности вектора
h
L . Для этого достаточно выписать условие ортогональности
вектора h базисным векторам.
h, g   0 , h, g   0 ,..., h, g   0 .
1
2
k
Подставим сюда выражения для h и p :




 u  p1 g 1  p 2 g 2  ...  p k g k , g 1  0

 ........................................................
 u  p g 1  p g 2  ...  p g k , g k  0
1
2
k

Эти равенства можно переписать в виде системы
k
линейных уравнений
относительно k неизвестных p1 , p2 ,..., pk :
























 g 1 , g 1 p1  g 2 , g 1 p 2  ...  g k , g 1 p k  u, g 1 ,
 1 2
2
2
k
2
2
 g , g p1  g , g p 2  ...  g , g p k  u, g ,

 ...............................................................................,
 g 1 , g k p1  g 2 , g k p 2  ...  g k , g k p k  u, g k .
Матрица коэффициентов при неизвестных – матрица Грамма G .
Страница
59
(1)
Сначала рассмотрим частный случай. Пусть g 1 , g 2 ,..., g k - ортогональный базис
подпространства L . Тогда матрица G является диагональной и в рассматриваемой системе линейных уравнений все коэффициенты при неизвестных (кроме
диагональных), будут равны нулю. В этом случае система уравнений (1) легко
решается:
pi 
u, g  ,
i
gi
i  1,2,..., k .
2
Таким образом, если в подпространстве L сначала найти какой- либо ортогональный базис g 1 , g 2 ,..., g k , то проекция любого вектора u  E n на подпространство L вычисляется по формуле
p
u, g  g
1
g
1 2
1
 ... 
u, g  g
k
g
k
k 2
.
Cистема (1) имеет вид

1
2
G g , g ,..., g
k



1
 p1   u , g 

  
  ...    ...  ,
 p   u, g k 
 k 


(2)

где Gg 1 , g 2 ,..., g k  матрица Грамма векторов g 1 , g 2 ,..., g k .
Можно доказать, что матрица Грама Gg 1 , g 2 ,..., g k 
невырождена тогда и только
тогда, когда вектора g 1 , g 2 ,..., g k линейно независимы.
Таким образом, если матрица Грама образована некоторым базисом g 1 , g 2 ,..., g k
подпространства
L , то система линейных
уравнений (2) имеет единственное
решение
 p1 
 
1
1
2
k
 ...   G g , g ,..., g
p 
 k






 u, g 1 


  ...  .
 u, g k 


6.5. Решение несовместной системы линейных уравнений
Страница
60
Определение. Линейной оболочкой системы векторов v1 , v 2 ,..., v s из пространства L
называется совокупность всех линейных комбинаций
 1v1   2 v 2  ...   s v s , в
которых коэффициенты 1 , 2 ,..., s пробегают всевозможные действительные
значения, и обозначается следующим образом:

 

Lin v1 , v 2 ,..., v s  x | x   1v1   2 v 2  ...   s v s ; 1 , 2 ,...,  s  R .
Множество векторов

  Lin v1 , v 2 ,..., v s

является подпространством пространства
L.
Определение. Если матрица Am  n и система линейных уравнений
Ax  b
несовместна, то ее обобщенным решением называется такой вектор xˆ  R n , при
котором минимизируется

расстояние (или квадрат расстояния) от вектора b до

Lin A1 , A 2 ,..., A n .
b
h  b  Axˆ

O
p  Axˆ

Рис. 6.2. Обобщенное решение СЛУ
Из определения обобщенного решения следует, что для его поиска необходимо решить задачу проектирования вектора

b  Rn
на подпространство

  Lin A1 , A2 ,..., An .
Как и раньше, ортогональную проекцию вектора b на  будем искать в
виде
p  A1 xˆ1  xˆ 2 A 2  ...  xˆ n A n  Axˆ ,
Страница
61
где xˆ  xˆ1 , xˆ 2 ,..., xˆ n T - искомый вектор. Напишем условие ортогональности вектора h  b  p  b  Axˆ и подпространства  .
Для этого, как мы знаем, достаточно выписать условие ортогональности вектора
h и векторов A1 , A2 ,..., An :
b  Axˆ, A   0 , ..., b  Axˆ, A   0 .
1
n
Каждое из этих скалярных произведений запишем в виде произведения
вектора-строки Ai  на вектор-столбец b  Axˆ
T
A  b  Axˆ   0 , ..., A  b  Axˆ   0 .
1 T
n T
Эти n равенств можно переписать в матричном виде
AT b  Axˆ   0  R n ,
что эквивалентно системе линейных уравнений
A Axˆ  A b .
T
T
(3)
Обоснование существования и единственности обобщенного решения системы
Ax  b
(решения в обычном смысле для системы (3)) проведем для случая,
который на практике встречается наиболее часто.
Теорема. Пусть матрица A имеет размеры
Тогда матрица
m  n , причем
rkA  n , (т.е.
mn
).
AT An  n - невырождена, и, следовательно, существует обратная
матрица к ней.
Доказательство. Покажем, что однородная система
A Ay  0
T
имеет лишь тривиальное решение.
Пусть ŷ - некоторое решение однородной системы. Умножим равенство
A Ayˆ  0
T
слева на
и воспользуемся свойством ассоциативности умножения
ŷ
матриц
yˆ
T

AT  Ayˆ   0 .
Страница
62
Это равенство можно рассматривать как произведение
z T z  z  0 , где
z  Ayˆ ,
откуда следует, что z  Ayˆ  0 . Из того, что rkA  n т.е. столбцы матрицы линейно
независимы, следует, что yˆ  0 .
A Ay  0
Таким образом, однородная система
T
имеет
лишь тривиальное
решение. Отсюда следует, что матрица AT A невырождена, т.е. rkAT A  n .
Вернемся к рассмотрению системы
A Axˆ  A b .
T
T
Мы доказали, что если столбцы матрицы A линейно независимы, то эта система
имеет единственное решение (обобщенное решение исходной системы)
xˆ  AT A AT b .
1
Замечание.
Если изначально мы имеем систему
Ax  b с невырожденной
квадратной матрицей A , то решение имеет вид
~
x  A 1b .
Из невырожденности матрицы
A
следует существование
A 
T 1
. По свойству
обратной матрицы и формулы для ~x имеем
1
1
xˆ  AT A AT b  A 1 AT  AT b  A 1b  ~
x
т.е. в этом случае обобщенное решение совпадает с решением в обычном смысле.
Имея обобщенное решение, получаем формулу для проекции
p вектора b на
линейную оболочку, натянутую на столбцы матрицы A .
p  Axˆ  AAT A AT b .
1
Из теоремы Пифагора для ортогональных
векторов ( p  h ), p  Axˆ и h  b  p имеем
b
2
 b  Axˆ  Axˆ .
Поскольку длина перпендикуляра
2
2
h - кратчайшее расстояние от точки
b до
подпространства столбцов матрицы A , то можно сказать, что минимум квадрата
Страница
63
расстояния от точки b до подпространства столбцов матрицы A достигается на
обобщенном решении x̂ и равен квадрату длины перпендикуляра h , т.е.
min Ax  b
 Axˆ  b
2
x
2
 h .
2
Метод получения обобщенного решения называется методом наименьших
квадратов.
Пример 6.3. Пусть в E n задана точка b  b1 , b2 ,..., bn T . На прямой с направляющим вектором a  a1 , a2 ,..., an T ,
найти точку p  axˆ , такую, что вектор
h  a,
h  b  axˆ .
b
q
o
p
a
Рис. 6.3. Ортогональная проекция на прямую
Такая точка p называется ортогональной проекцией точки b на прямую,
задаваемую направляющим вектором a .
Из условия ортогональности h  a имеем a, b  axˆ   0 .
Отсюда xˆ 
a, b 
a
2
, а вектор p 
a, b  a
a
Квадрат расстояния от точки
2
.
до прямой (квадрат нормы вектора
b
равняется
a, b a
b
a
2
2
 b
2
2
2


a, b 
a, b 
2

a
2
a
Страница
64
2
b  a  a, b 
2

2
a
2
2
.
h)
Применяя теорему Пифагора к векторам b , p , h , получим b  p  h .
2
Отсюда очевидно, что
h
2
 b
2
или
h  b
2
2
т.е. длина перпендикуляра не
превосходит длины наклонной.
Пример 6.4. Построить обобщенное решение для СЛУ
1  x  2

2  x  3 .
3  x  4

Покажем, как задача решается методами математического анализа. Введем
функцию
F x   1  x  2  2  x  3  3  x  4 .
2
2
2
Функция F x  является суммой квадратов отклонений левых частей уравнений от
правых частей. Если бы СЛУ имела решение ~x , то на этом решении F ~x   0 . За
обобщенное решение естественно принять такое ~x на котором функция F x 
достигает наименьшего значения, т.е. min F x  F ~x  . Решаем задачу на экстремум.
Находим производную
F x  21 x  2  2  22  x  3  2  33  x  4  28x  40 .
Приравняв к нулю находим
28x  40  0 
40 10
~
x
 .
28 7
Можно показать, что достаточные условия экстремума выполнены и точка ~x
является точкой минимума, т.е. дает обобщенное решение.
Решим эту же задачу, используя нормальную СЛУ
систему можно переписать так
 1 
 2
1
 2
 
 
 
 
 2   x   3  , т.е. A   2  , b   3  .
 2 
 4
 4
 3
 
 
 
 
Геометрическая интерпретация представлена на рис. 6.3.
Тогда AT  1 2 3 и нормальная система имеет вид
Страница
65
A Axˆ  A b .
T
T
Исходную
1
 2
 
 
1 2 3 2  x  1 2 3 3 
 3
 4
 
 
или,
после
11  2  2  3  3x  1 2  2  3  3  4 .
Следовательно
x
1  2  2  3  3  4 20 10

 .
1  1  2  2  3  3 14 7
Решения совпали.
Страница
66
перемножения
матриц,
Лекция N 8
Определители и их свойства.
Рассмотрим СЛУ с двумя неизвестными
 a11 x1  a12 x2  b1
.

a
x

a
x

b
21
1
22
2
2

Умножив первое уравнение на a 22 , второе на  a12 и сложив, получим равенство
a11a22  a12a21 x1  b1a22  a12b2 .
Аналогично, уравнивая коэффициенты при x1 , найдем
a11a22  a12a21 x2  b2 a11  a21b1 .
Предположим, что a11a22  a12 a21   0 . Тогда
b a  a12b2
b a  a 21b1
, x2  2 11
.
x1  1 22
a11a22  a12 a21
a11a 22  a12 a 21
(1)
a12 
a

Определение. Определителем (детерминантом) второго порядка матрицы A   11
 a 21 a 22 
a
a12
называется число, обозначаемое как A  11
(2)
 a11a 22  a12 a 21 .
a 21 a 22
Другие обозначения определителя: det A ,  .
В этих обозначениях решение исходной системы (1) запишется следующим образом
b1 a12
a11 b1
b2 a 22
a
b
, x 2  21 2 .
a11 a12
a11 a12
a 21 a 22
a 21 a 22
Естественно возникает вопрос о возможности обобщения этих формул на линейные системы
произвольного порядка. Для этого необходимо построить теорию определителей.
Определение. Если A   a11  - квадратная матрица первого порядка, то ее определителем
(определителем первого порядка) называется число
(3)
A  a11 .
Если - квадратная матрица третьего порядка, то ее определителем называется число
.
(4)
x1 
Запишем в первой строке индексы строк, а под ней индексы столбцов
1 2 3 

,
1 2 3 
 1 2 3

,
 2 3 1
1 2 3

,
3 1 2
1 2 3

,
3 2 1
 1 2 3

,
 2 1 3
1 2 3 

.
1 3 2 
Такие объекты называются подстановками. Подстановка определяет взаимно однозначное
отображение множества натуральных чисел на себя.
Сколько всего подстановок можно составить из трех индексов? Очевидно, это число равно
числу перестановок, которые можно составить из трех индексов, т.е. 3!. Таким образом,
определитель (4) содержит слагаемы, индексы которых образуют все возможные подстановки.
Как выбраны знаки этих слагаемых? Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют
инверсию, если i  j , но i стоит в этой перестановке раньше j . Перестановка называется
Страница
67
четной, если ее символы составляют четное число инверсий, и нечетной - в противном случае.
Так перестановка 1, 2,..., n будет четной при любом n , так как число инверсий в ней равно нулю.
Перестановка 2 3 1 четная, т.к. 2 > 1 , но стоит раньше и 3 >1, стоит раньше. Четность
подстановки определяется четностью перестановки нижней строки. Число четных подстановок
1
n ! . Произведение a11 a2 2 a33 входит в
n -й степени равно числу нечетных, те. равно
2
определитель со знаком плюс если коэффициенты составляют четную подстановку и со знаком
минус в противном случае.
Пусть дана квадратная матрица порядка n
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n  .
 ... ... ... ... 


 an1 an 2 ... ann 
Рассмотри всевозможные произведения по n элементов этой матрицы, расположенных в разных
строках и разных столбцах, т.е. произведения вида
a11 a2 2 a33 ...an n ,
где индексы
1 ,  2 ,...,  n составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,3,..., n . Число таких
произведений равно числу различных подстановок из n символов, т.е. n! Знак, с которым
произведение войдет в определитель определим по тому же правилу, как и для определителей 2,
3 порядков.
Возможно следующее определение:
определителем n -го порядка, соответствующем матрице (5), называется алгебраическая
сумма n! членов, составленная из всевозможных произведений n элементов матрицы, взяты по
одному в каждой строке и в каждом столбце. Причем член берется со знаком плюс, если его
индексы составляют четную подстановку и со знаком минус в противном случае.
Для записи определителя будем употреблять символ
a11 a12 ... a1n
a21
a22
... a2 n
...
...
...
an1
an 2 ... ann
...
.
Современный подход к построению теории определителей следующий.
M ij элемента a ij определителя данной матрицы n - го порядка
называется определитель матрицы  n 1 - го порядка, полученной из данной матрицы
Определение. Минором
вычеркиванием ее i - й строки и j -го столбца.
a11
a12
Например, для определителя A  a21 a22
a31 a32
миноров.
a13
a23 , M11 
a33
Страница
68
a 22
a 23
a32
a33
, M 23 
a11
a12
a31
a32
…. Всего 9
Определитель второго порядка A 
a11
a12
a 21
a 22
имеет четыре минора: M11  a22 ,
M12  a 21 , M 21  a12 , M 22  a11 .
Определение. Алгебраическим дополнением
рассчитанное по формуле
Aij    1
i j
Aij элемента a ij определителя называется число,
M ij .
Покажем на примере определителей второго и третьего порядков, что определитель равен сумме
произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические
дополнения. Действительно
a
a12
11
1 2
A  11
 a11a22  a12 a21  a11  1 a22  a12  1 a21  a11 A11  a12 A12 .
a21 a22
Можно получить аналогичные разложения по второй строке и каждому из столбцов. Это
называется разложением определителя по элементам данной строки (столбца).
Проверим это свойство на определителе третьего порядка:
a11 a12 a13
A  a 21 a 22 a 23  a11a 22 a33  a12 a 23 a31  a13 a 21a32  a13 a 22 a31  a12 a 21a33  a11a 23 a32 .
a31 a32 a33
Сгруппировав попарно слагаемые, содержащие одинаковые элементы первой строки (как
подчеркнуто), получим
11
1 2
1 3
A  a11  1 a 22 a33  a 23 a32   a12  1 a 21a33  a 23 a31   a13  1 a 21a32  a 22 a31  
 a11  1
11
a 22
a 23
a32
a33
 a12  1
1 2
a 21
a 23
a31
a33
 a13  1
1 3
a 21
a 22
a31
a32

.
 a11 A11  a12 A12  a13 A13
Сгруппировав по одинаковым элементам других строк (столбцов), получим шесть различных
разложений определителя третьего порядка.
Разложение по i - й строке имеет вид
3
A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ai 2 Ai 2   aij Aij , i  1,2,3 ,
j 1
а по j - му столбцу
3
A  a1 j A1 j  a 2 j A2 j  a3 j A3 j   aij Aij , j  1,2,3 .
i 1
Понятие определителя порядка n введем по индукции, считая, что уже введено понятие
определителя порядка n  1 , соответствующего произвольной квадратной матрице порядка n  1 .
Определение. Определителем n - го порядка называется число, которое вычисляется по
квадратной матрице n - го порядка и при n  1 определено формулой (3), а при n  2 равно сумме
произведений элементов первой строки этой матрицы на соответствующие алгебраические
дополнения:
Страница
69
A
a11
a12
... a1n
a 21
a 22
... a 2 n
...
...
...
...
n
 a11 A11  a12 A12 ... a1n A1n   a1 j A1 j .
(5)
j 1
a n1 a n 2 ... a nn
Это равенство называют разложением определителя по первой строке. Заметим, что, применив
формулу (5) при n  2 и n  3 , получим тот же результат, что и при вычислении по формулам
(2), (4).
Можно доказать, что каков бы ни был номер строки i или каков бы ни был номер столбца j , для
определителя n - го порядка справедливы формулы:
n
A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2 ... ain Ain   aij Aij ,
(6)
j 1
n
A  a1 j A1 j  a2 j A2 j ... a nj Anj   aij Aij ,
i, j  1,2,..., n .
(7)
i 1
Полезным является также следующее утверждение.
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические
дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю, т.е.
n
ai1 A j1  ai 2 A j 2  ...  ain A jn   aik A jk  0 , i  j ,
(8)
k 1
n
a1i A1 j  a 2i A2 j  ...  a ni Anj   a kj Akj  0 , i  j .
(9)
k 1
Чтобы вычислить определитель n - го порядка, его можно разложить на определители  n 1 -го
порядка и продолжить этот процесс, пока не будут получены лишь определители второго или
третьего порядков. Однако этот процесс очень трудоемок, например, определитель 10-го порядка
будет разложен на 10  9  8  7  6  5  4  3  1 814 400 определителей второго порядка. Поэтому на
практике применяют метод понижения порядка: используя свойства определителей, преобразуют
их таким образом, чтобы все элементы некоторой строки (столбца), кроме одного элемента,
стали равны нулю, и затем раскладывают определитель по этой строке (столбцу).
Некоторые свойства определителей:
1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы т.е. A  AT .
2. Если одна из строк (столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Эти свойства являются непосредственным следствием формул (6), (7).
3. Общий множитель элементов строки (столбца) определителя можно выносить за знак
определителя.
Действительно, если строка Ai умножена на число k , то по формуле (6)
n
n
j 1
j 1
A A1 , A2 ,..., kAi ,..., An    kaij Aij  k  aij Aij  k A A1 , A2 ,..., Ai ,..., An  .
4. Определитель матрицы, у которой все элементы какой-либо строки (столбца) представлены в
виде суммы двух слагаемых, равен сумме двух определителей матриц, получаемых из данной
матрицы заменой элементов данной строки (столбца) соответственно на первые и вторые
слагаемые.
Пусть элементы i - ой строки представлены в виде суммы двух слагаемых Ai  Bi  Ci . Из
формулы (6) следует
Страница
70
A A1 , A2 ,..., Bi  Ci ,..., An    bij  cij Aij   bij Aij   cij Aij 
n
n
n
j 1
j 1
j 1
.
 A A1 , A2 ,..., Bi ,..., An   A A1 , A2 ,..., Ci ,..., An 
5. От перестановки двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
Действительно, для определителя второго порядка находим
a11 a12
a 21 a 22
A
 a11a 22  a12 a 21 ;
 a12 a 21  a11a 22   A .
a 21 a 22
a11 a12
Общий случай доказывается по индукции с привлечением формул (6), (7).
6. Если одна из строк (столбцов) определителя есть линейная комбинация других его строк
(столбцов), то определитель равен нулю.
n
Пусть A1    i Ai . Разлагая по первой строке, используя формулу (6), находим
i 2
n
n
n
n
 n

A A1 , A2 ,..., An   A  i Ai , A2 ,..., An    i aij A1 j   i  aij A1 j .
i 2
j 1
 i 2
 j 1 i 2
Но все суммы
n
a
j 1
ij
A1 j равны нулю согласно формуле (8).
Следствие. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца) равен нулю.
7. Определитель матрицы, полученной из данной матрицы прибавлением к элементам какойлибо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на
одно и то же число, равен определителю исходной матрицы.
Рассмотрим A A1 , A2 ,..., Ai  kA1 ,..., An  . По свойствам 4, 3 и следствию свойства 6 имеем
A A1 , A2 ,..., Ai  kA1 ,..., An   A A1 , A2 ,..., Ai ,..., An   A A1 , A2 ,..., kA1 ,..., An  
 A A1 , A2 ,..., Ai ,..., An   k A A1 , A2 ,..., A1 ,..., An   A A1 , A2 ,..., Ai ,..., An 
.
8. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц.
Проверить это свойство на определителях второго порядка. Пусть
 a11 a12 
 b11 b12 
A
, B
 . Доказать, что A B  AB .
 a21 a22 
 b21 b22 
Вычисление определителя методом Гаусса
Покажем, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на
главной диагонали.
Для определителя второго порядка это утверждение очевидно. Будем доказывать его по
индукции, т.е. предположим, что для определителя n  1 - го порядка оно уже доказано, и
рассмотрим определитель n - го порядка
a11 a12 a13 ... a1n
0
a 22
a 23 ... a 2 n
A 0
0
a33 ... a3n .
...
...
...
0
0
0
Разлагая его по первому столбцу, получим
...
...
... a nn
Страница
71
A  a11
a 22
a 23 ... a 2 n
0
a33 ... a3n
...
...
...
...
.
0
0 ... a nn
Но к минору, стоящему в правой части, применимо предположение индукции, т.е. он равен
произведению a22 a33 ...ann , а поэтому
(10)
A  a11a22 a33 ...ann .
Приводя определитель к треугольному виду, т.е. используя схему Гаусса, можем найти его
значение по формуле (10).
Пример. Вычислим методом понижения порядка
2 3
4 2
1
5
3 3
A
. .
3
4
5
3
2 2 3 6
2
3
4
 21
0
13
10
8
1
5
3
 32  3 2
1
5
3
3
3
4
5
2
3
2 3
6
13
2
10
 4  11  4
 12  9
 12  1    1
6
1
1

0  11  4 12
0  12  9
13
10
3  4  3  11  4
3
4 3
5 4
1 5
2
13
10
8
 1    1  11  4 12 
3
 12  9
12
1
5
4
0
3 1  12 1
5 0
1  32
4 3 1
 12 25  4  252.
Страница
72
12
Лекция № 9
Линейные операторы
Линейный оператор - это широкое обобщение понятия прямой пропорциональности и является одним из центральных объектов изучения функционального
анализа. Классический труд Н. Данфорда и Дж. Т. Шварца “Линейные операторы”
состоит из трех томов объемом в совокупности около 2600 станиц. Линейными
операторами являются такие популярные в математике операции, как дифференцирование, интегрирование, преобразования подобия в геометрии и т.д.
9.1. Определение линейного оператора
 Y - отображение линейного пространства X в линейное
Пусть ℒ : X 
пространство Y , ставящее в соответствие каждому вектору x пространства
X
вектор y  ℒ x пространства Y .
Определение. Отображение ℒ
называется линейным оператором, если выполня-
ются два условия линейности:
1. Для любых двух векторов x1, x2  X образ суммы равен сумме образов,


т.е. ℒ x1  x 2  ℒ x1 + ℒ x 2 .
2. Для любого вектора x1  X и любого числа  выполняется равенство
 
ℒ  x1   ℒ x1 .
Из определения следует, что при линейном отображении всякая линейная
комбинация 1x1   2 x 2  ...   n x n каких либо векторов из пространства X переходит в линейную комбинацию векторов (с теми же коэффициентами) из пространства Y .
Страница
73
9.2. Преобразование матрицы линейного оператора
при переходе к другим базисам.
Пусть ℒ
- линейный оператор, отображающий Rn в R m . Векторы g1 , g 2 ,..., g n
составляют базис в Rn , а f 1 , f 2 ,..., f m базис в R m . Образы ℒ g j разлагаются по
базису в R m , т.е.
m
ℒ g j   aij f i , j  1, 2,..., n .
i 1
Определение.
Матрица, столбцы которой составляют координаты образов
базисных векторов, называются матрицей линейного оператора ℒ отображающе R m относительно базисов g1 , g 2 ,..., g n  R n и f 1 , f 2 ,..., f m  R m
го R n 
 a11 a12

a
a22
A   21
 ... ...

 am1 am 2
... a1n 

... a2 n 
.
... ... 

... amn 
Если v   x1, x2 ,..., xn   Rn и y  ℒ v , то
y  Ax .
(1)
Таким образом, каждому линейному оператору,
соответствует некоторая матрица
 Rm ,
отображающему R n 
и наоборот каждая матрица
A m  n
 Rm .
порождает линейный оператор, действующий из R n 
 R n (на себя). Приведем несколько
Будем рассматривать случай когда R n 
примеров.
 a11 a12

a
a
Пример 16.1. A   21 22
 ... ...

 am1 am 2
... a1n 
1


... a2 n 
0
 E 
 ...
... ... 


... amn 
0
0 ... 0 

1 ... 0 
.
... ... ... 

0 ... 1 
Страница
74
Из (1) следует y  Ex  x , т.е. матрица E описывает тождественное преобразование.
Пример 16.2.


0
A  
 ...

0
0 ... 0 
 ... 0 
.
... ... ... 

0 ...  
Тогда y  Ax   x (растяжение, сжатие). Существуют операторы, для которых
равенство
ℒ x   x с любым
 не имеет места ни при одном x  0 . Таков,
например, оператор вращения плоскости (очевидно из геометрических соображений).
Пусть кроме базиса
g1 , g 2 ,..., g n (старый) в пространстве R n выбран новый
базис g1 , g 2 ,..., g n . Так же и в пространстве R m старый базис f 1 , f 2 ,..., f m и новый
f 1 , f 2 ,..., f m . В
старой паре базисов
y  Ax ,
А в новой паре базисов
y  Ax .
Обозначим через S  n  n матрицу
преобразования координат при переходе от
базиса g1 , g 2 ,..., g n к базису g1 , g 2 ,..., g n . Через T  m  m матрицу
преобразования
координат при переходе от базиса f 1 , f 2 ,..., f m к базису f 1 , f 2 ,..., f m .
Для координатных столбцов имеем
x  Sx , y  Ty .
Откуда
Ty  ASx .
Или
y  T 1 ASx
Т.е.
A  T 1 AS .
В частном случае, когда оператор действует в пространстве Rn , T  S и A  S 1 AS .
Страница
75
9.3. Собственные числа и собственные векторы
Определение. Всякое число  , для которого существует вектор x  0 , удовлетворяющий условию
ℒ x  x ,
(2)
называется собственным числом оператора
ℒ , а вектор x  0 собственным
вектором оператора ℒ .
В матричной форме равенство (2) примет вид
Ax   x .
Или
 A  E  x  0 .
Т.е. мы имеем СЛ однородных уравнений относительно столбца x . В развернутом
виде
  a11    x1  a12 x2  ...  a1n xn  0

a21 x1   a22    x2  ...  a2 n xn  0
.

 ....................................................
an1 x1  an 2 x2  ...   ann    xn  0

(3)
Если известно собственное значение  , все собственные векторы x   x1 , x2 ,..., xn  ,
T
принадлежащие этому собственному значению, находятся как ненулевые решения
(3).
Однородная система (3) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее
определитель равен нулю. Следовательно, собственные числа оператора ℒ
(матрицы A ) находятся как корни уравнения
Страница
76
a11  
a 21
a12
...
a1n
a22   ...
a2 n
...
...
...
...
an1
an 2
... ann  
0 .
(4)
Это уравнение называется характеристическим (или вековым) уравнением
оператора ℒ (матрицы A ).
Докажем независимость многочлена det  A   E  от выбора базиса в котором задана матрица линейного оператора.
В новой системе координат оператору ℒ соответствует матрица S  A  S 1 , где
S - некоторая невырожденная матрица. Мы имеем:
SAS 1   E  SAS 1   SES 1  S  A   E  S 1  S  A   E  S 1  A   E .
Уравнение (4) – алгебраическое уравнение
n - й степени. Если оно имеет
вещественные корни, то оператор имеет собственные числа; при этом различных
собственных чисел оператор ℒ может иметь не более n .
Пример 16.3. Для оператора с матрицей
 3 1 3 


A   3 1 1  .
 2 2 0 


Характеристический многочлен
A  E 
3
1
3
1 
2
2
3
1    3   1     18  2  6 1     2  3     3 

  3  4  4 2  16     2  4   4   2  4     2  4   4   
Так как рассматриваемый оператор действует в действительном линейном
пространстве, то его собственным значением будет лишь   4 . При этом значении
 система (3) имеет вид
Страница
77
  x1  x2  3x3  0

 3x1  3x2  x3  0 .
2 x  2 x  4 x  0
2
3
 1
1
Ее общим решением является x    1  .
0
 
3 4
Пример 16.4. Найдем собственные числа матрицы A  
.
5 2
Составим и решим характеристическое уравнение матрицы A :
det  A   E  
3
4
5
2
 0 .  3    2     20  0;  2  5 14  0; 1  7; 2  2 .
Найдем собственные векторы матрицы A , соответствующие собственному числу
1  7;
4   x1 
4 x1  4 x2  0
 x1 
3 7
 1

  x   0;  5x  5x  0 ; x   x      .
2  7 2 
 5
 1
 1
2
 2
Для 2  2 имеем
 4
4   x1 
5 x1  4 x2  0
 x1 
3 2
 

  x   0; 5 x  4 x  0 ; x   x     5  .
2  2 2 
 1 
 5
 1
2
 2


x 
 4 
Или x   1      .
5
 x2 
Собственные
векторы
линейного
оператора,
принадлежащие
различным
собственным значениям, линейно независимы.
Теорема. Пусть собственные значения 1 , 2 ,..., k оператора A различны. Тогда
отвечающие им собственные векторы g1 , g 2 ,..., g k линейно независимы.
Применим индукцию. Так как g1  0 , то для одного вектора ( k  1 ) утверждение
справедливо. Пусть утверждение доказано для m векторов g1 , g 2 ,..., g m . Присоединим к ним вектор g m1 и допустим, что имеет место равенство
Страница
78
m 1
 g
i
i
i 1
 0.
(5)
Тогда, в силу линейности оператора
m 1

i 1
i
ℒ gi  0 .
Но ℒ g i  i g i , поэтому
m 1
  g
i 1
i
i
i
0.
(6)
Умножим (5) на m1 и вычтем его из (6)
m
      g
i 1
i
m 1
i
i
 0.
(7)
По условию все i различны, т.е. i  m1  0 . Поэтому из (7) и предположения о
линейной независимости g1 , g 2 ,..., g m следует, что 1   2  ...   m  0 Отсюда и из (5)
вытекает, что  m1  0 . Это и означает, что g1 , g 2 ,..., g m1 линейно независимы.
Следствие. Если характеристический многочлен оператора имеет
n различных
корней, то в некотором базисе матрица оператора имеет диагональный вид.
Действительно пусть f 1, f 2 ,..., f n базис, состоящий из собственных векторов этого
оператора. Тогда
ℒ f 1  1  f 1  0  f 2  ...  0  f n ,
ℒ f 2  0  f 1  2  f 2  ...  0  f n ,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.
ℒ f n  0  f 1  0  f 2  ...  n  f n ,
т.е. матрица оператора в таком базисе является диагональной и на главной
диагонали стоят собственные числа
Страница
79
 1 0

 0 2

... ...

0 0

0

0 0
.
... ... 

0 n 
0
Если в исходном базисе g1, g 2 ,..., g n оператор имеет матрицу A , то
  S 1  A  S ,
где S - матрица перехода от базиса g1, g 2 ,..., g n к базису f 1, f 2 ,..., f n , т.е.
 f
1
 

, f 2  ..., f n   g 1 , g 2  ..., g n  S .
Не любой оператор (не любая матрица) имеет базис составленный из собственных векторов. Рассмотрим примеры.
Пример 16.5. Пусть в некотором базисе g оператор имеет матрицу
  1 3  1


A    3 5  1 .
 3 3 1 


Составляем характеристическое уравнение и находим собственные числа
1 
A  E 
3
3
 1 A1   1A2
3
5   1  0 .
3
1 
1 
3
3
5
1
 3
3
3
1 
3
 2    1
11
2
1
0
1 
1
2
2
0
5
1
 3
3
1 
3
A1  A 2
2
0
2
0
0
1 
1 
 2   2   1     2    1   
2
Имеем двукратный корень 1, 2  2 и 3  1 .
3
 1    3 3  1
 1 2

 

Составим матрицу A  1 E    3 5  2  1     3 3  1  rk  A  1 E   r  1 ,
 3
3 1  2    3 3  1

Страница
80
Тогда dim L A E  n  r  3  1  2 . Следовательно, пространство решений содержит
1
два линейно независимых вектора. В качестве третьего базисного вектора возьмем
собственный вектор соответствующий  3 .
Находим собственные векторы, соответствующие
1, 2 . Для чего решаем
однородную СЛУ
  3 3  1  x1 

 
  3 3  1  x 2   0 .
  3 3  1  x 

 3
Переменные x1   и x2   принимаем за свободные, тогда x3  3  3 .
Общее решение
 x1 
 1 
 0
 
 
 
X   x2      0      1  .
x 
  3
 3
 3
 
 
Принимаем
 1 
 
f   0 ,
  3
 
1
При
 0
 
f  1 .
 3
 
2
3  1 СЛУ имеет вид
1 
 11 3
  2 3  1




 A  3 E X    3 5  1  1  X    3 4  1 X  0 
 3
3 3 0 
3 1  1



  2 3 1   3  3   2 3 1  1
 2 0 2    2






  0  1 1  3  3   0  1 1   1 
  3 4 1  2
3 3 0 
 0 3 3 
 0
2
1
0 0 





1 0 1
1 0 1 




 0 1  1    0 1 1  . Следовательно x3   , x2   , x1   , т.е.
 0 0 0
0 0 0 




Страница
81
 x1 
1
1
 
 
 
3
X   x 2     1 и в качестве третьего базисного вектора выбираем f  1 .
x 
1
1
 3
 
 
 1 
 
Векторы f 1   0 ,
  3
 
 0
 
f 2  1 ,
 3
 
1
 
f 3  1 линейно независимы, и поэтому составляют
1
 
базис в пространстве R 3 . В этом базисе матрица оператора имеет вид
 2 0 0


   0 2 0
0 0 1


и   S 1  A  S , где S матрица перехода от исходного базиса к построенному
базису из собственных векторов f .
Пример 16.6. Пусть в некотором базисе g оператор имеет матрицу
3
3 
0


B  1 8
6 .
 2  14  10 


Составляем характеристическое уравнение и находим собственные числа

3
3
B  E   1 8  
6
 0.
2
 14  10  
Умножив третий столбец на -1 и прибавив ко второму столбцу, получаем

0
3
1 2  
6
 0.
2  4    10  
Раскладываем определитель по первой строке
   1
11
2
6
4
 10  
 3 1
13
1
2
2
4
 0.
После вычисления определителей и упрощений, имеем уравнение
 2  2  1  0 или    12  0 .
Следовательно
Страница
82
1  0 , 2,3  1 .
Вычислим ранг матрицы
3
3 
1


rk B  2 E   rk   1 9
6 .
 2  14  9 


3
3  1
3
3   1 3 3
1
 1 3 3  1 0 0

 
 


 

6    0 12
9    0 4 3   0 4 3    0 4 3  
 1 9
 2  14  9   0  20  15   0 4 3 
 0 0 0  0 0 0

 
 


 

1 0 0
1 0 0




 0 1 1   0 1 0 .
 0 0 0
 0 0 0




Таким образом, rk B  2 E   2 и dim LB  E  3  2  1 . Следовательно, не суще2
ствует базиса из собственных векторов у рассматриваемого оператора.
Имеется важный класс линейных операторов, для которых базис из собственных векторов всегда существует и в этом базисе матрица оператора имеет
диагональный вид (наиболее простой вид). Такие операторы рассматриваются в
следующей лекции.
Лекция № 10
Квадратичные формы. Знакоопределенные квадратичные формы.
Метод Лагранжа приведения к каноническому виду
10.1. Квадратичные формы
Пусть A  aij  , i, j  1,2,..., n - симметричная матрица т.е. a ij  a ji ;
g 1 , g 2 ,..., g n - некоторый базис в пространстве R n . Для  x  R n определим функцию
n
n
Qx    aij xi x j ,
i 1 j 1
где x1 , x2 ,..., xn - координаты вектора x в базисе g 1 , g 2 ,..., g n .
Так определенная функция Q : R n  R1 называется квадратичной формой. В
матричном виде она может быть записана следующим образом
Qx    Ax, x   x T Ax .
Страница
83
Пример 18.1. Квадратичная форма
Qx   x12  6 x1 x2  5 x22  4 x1 x3  12 x2 x3  4 x32  4 x2 x4  8 x3 x4  x42 ,
заданная в стандартном базисе пространства R 4 , имеет матрицу
3 2 0 
 1


5  6  2
 3
.
A
 2  6 4  4


 0  2  4 1


Всякий базис, в котором квадратичная форма имеет вид суммы квадратов с
некоторыми коэффициентами (канонический вид)
n
Q x    i xi2
i 1
называется каноническим базисом, а 1 , 2 ,..., n - каноническими коэффициентами.
Так как матрица квадратичной формы является симметрической, то из
предыдущей лекции следует, что для каждой квадратичной формы, определенной
в E n , существует канонический базис, в котором данная квадратичная форма
имеет канонический вид.
Действительно, пусть в E n (в ортонормированном базисе) дана квадратичная форма Qx   x T Ax . Симметрической матрице
A
соответствует некоторый
самосопряженный оператор действующей E n  E n . Для него существует базис из
собственных векторов f 1, f 2 ,..., f n в котором матрица оператора имеет диагональный вид
  S 1  A  S
с характеристическими числами матриц A
на диагонали.
Причем можно сделать так, чтобы базис был ортонормированным.
Применим к квадратичной форме преобразование переменных x  Sy . Очевидно


Qx   Sy  ASy  y T S T AS y ,
T
т.е. матрица квадратичной формы A преобразуется в матрицу S T AS . Так как S
матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому, то
S T  S 1 .
Страница
84
Это означает, что матрица A квадратичной формы Qx   x T Ax при ортогональном
преобразовании x  Sy , преобразуется так же как матрица A самосопряженного
оператора. Поэтому ортогональное преобразование x  Sy приводит квадратичную
форму к каноническому виду, в котором коэффициенты при квадратах переменных
являются характеристическими числами матрицы A .
Канонический вид квадратичной формы в ортонормированном базисе называют
ее каноническим видом в главных осях.
Пример 18.2. Квадратичную форму
Qx   x12  2 x 22  x32  4 x1 x 2  8 x1 x3  4 x 2 x3
Привести к главным осям и указать ортогональное преобразование осуществляющее такое приведение.
2  4
 1


A   2  2  2 .
 4  2 1 


Характеристическое уравнение
1 
A  E 
2
4
2
4
2 2  0 .
2
1 
Раскрыв определитель, получим уравнение
 3  27  54  0 ,
которое раскладывается на множители
  6  32
Очевидно
 0.
1  6 , 2  3  3 . Поэтому рассматриваемая квадратичная форма в
главных осях имеет канонический вид
Q  6 y12  3 y 22  3 y 32 .
Конструирование ортогональной матрицы S выполните самостоятельно.
Определение. Квадратичная форма Qx  называется положительно (отрицательно)
определенной, если Qx   0 ( Q  x   0 ) для любого ненулевого вектора
Страница
85
x  Rn .
Квадратичная форма Qx  называется неотрицательно определенной, если Qx   0
для любого вектора x  R n .
Пример 18.3. Квадратичная форма
Qx   x12  5x22 ,
заданная в стандартном базисе R 2 , является, очевидно, положительно определенной.
Пример 18.4. Квадратичная форма
Qx   x12  5 x 22  0  x32 ,
заданная в стандартном базисе R 3 , является неотрицательно определенной, т.к.
для  x  R 3 , очевидно, Qx   0 , однако, при x  0,0, x3 T  0 имеем Qx   0 .
Пример 18.5. Квадратичная форма
Qx   x12  3x1 x2  5 x22 ,
заданная в стандартном базисе R 2 , не является положительно определенной т.к.,
например, Q0,1  0  5  0 .
Если в каноническом виде квадратичная форма имеет как положительные,
так и отрицательные коэффициенты, то говорят, что квадратичная форма
знакопеременная.
10.2. Метод Лагранжа приведения к каноническому виду
Начнем с примера.
Пример 18.6. Пусть в пространстве R3 с некоторым базисом f 1 , f 2 , f 3 задана
квадратичная форма
2
2
Q  x   2
1 2  4
1 3 2  83 .
Страница
86
Положим
1  2 ,
 2  1 .
3  3
Тогда получим
 
 
2
Q  x   12  2
1 2  423  83 .
Выделяем полный квадрат по переменной 1
Q  x   12  212  423  832   12  212  2 2 2 2   423  832 
  1 2   2 2  423  832
2
Полагая
1  1   2 ,
,
 2   2
3  3
получим новое выражение для квадратичной формы
Q  x   12 22  423  832 .
Выделяем полный квадрат по переменной 2
Q  x   12  22  423  832  12  22  423  432  432  832 
 12  2  23  1232
Положив
1  1,
 2  2  23,
3  3,
Находим канонический вид нашей квадратичной формы
Q  x   12  22 1232 .
Здесь
1  1  2 ,
 2  1  23 ,
 3  3 ,
Страница
87
.
Таким образом, основная идея метода Лагранжа заключается в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждому аргументу до полного
квадрата. Для применения метода необходимо, чтобы хоть один из коэффициентов
akk  0 . Этого всегда можно добиться. Пусть форма Q  x  , не равная тождественно
нулю, не содержит ни одного квадрата переменной. Тогда она содержит хотя бы
одно произведение, например 2a1212 . Заменим координаты по формулам
1  1  2 ,
2  1   2
не изменяя других переменных. При этом преобразовании 2a1212  2a12 12  2 2  .
Поэтому будем считать, что в Q  x  коэффициент a11  0 .
Выделим ту группу слагаемых, которые содержат x1 . Получим
n
n
Q  x   a11 x12  2a12 x1 x2  ...  2a1n x1 xn   aij xi x j .
i 2 j 2
Преобразуем выделенную группу следующим образом

a

a
a11 x12  2a12 x1 x2  ...  2a1n x1 xn  a11  x12  2 x1  12 x2  ...  1n xn   
a11  
 a11

2
2

 a12
a1n   a12
a1n   a12
a1n  
2
 a11  x1  2 x1 
x2  ... 
xn   
x2  ... 
xn   
x2  ... 
xn    .
a11   a11
a11   a11
a11  

 a11

2


a

a
a
a
 a11  x1  12 x2  ...  1n xn   a11  12 x2  ...  1n xn 
a11
a11 
a11 

 a11
2
Очевидно, форму Q  x  можно записать так
2
n


a
a
Q  x   a11  x1  12 x2  ...  1n xn    aij* xi x j .
a11
a11  i , j  2

Полагая
1  x1 
a
a12
x2  ...  1n xn ,
a11
a11
 2  x2 ,
.............,
 n  xn
находим
Страница
88
n
Q  x   a1112   aij*
i j .
i , j 2
Преобразование является невырожденным.
Ясно, что за конечное число шагов приведем квадратичную форму к каноническому виду.
Страница
89