Экзаменационные вопросы по курсу «Линейная алгебра» для

Экзаменационные вопросы
по курсу «Линейная алгебра»
для студентов 1 курса направлений
«Экономика» и «Бизнес-информатика»
Тема 1. Основы теории матриц
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы.
2. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число,
сложение, умножение матриц.
3. Определители матрицы 2-го порядка (определение и свойства).
4. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные
матрицы.
5. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
6. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга
матрицы с помощью элементарных преобразований.
7. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
Тема 2. Системы алгебраических уравнений
8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма
записи такой системы. Решение системы (определение).
9. Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных
уравнений.
10. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными.
11. Метод обратной матрицы решения систем уравнений.
12. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования
ненулевых решений такой системы.
Тема 3. Линейные и евклидовы пространства
13. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы.
14. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
15. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и
образом у. Операции над линейными операторами.
~
16. Собственные векторы и собственные значения оператора A (матрицы А).
17. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного
пространства по векторам базиса.
18. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.
19. Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.
20. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в
координатной форме. Угол между векторами.
21. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные
операции над векторами (сложение, умножение вектора на число).
22. Нулевой и тождественный операторы.
23. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость
векторов.
24. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис.
25. Евклидово пространство.
26. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве и его свойства. Длина
(норма) вектора.
Тема 4. Квадратичные формы
27. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы.
28. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к
каноническому виду.
29. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные
формы.
30. Закон инерции квадратичных форм.
31. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения
ее матрицы и по критерию Сильвестра).
32. Ранг квадратичной формы.