Вопросы к экзамену по курсу «Алгебра и геометрия» 2014

Вопросы к экзамену по курсу «Алгебра и геометрия»
2014
1. Виды систем линейных уравнений (СЛУ): совместные, несовместные, определенные,
неопределенные, однородные, крамеровские. Общее и частное решения СЛУ.
2. Элементарные преобразования СЛУ. Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений: приведение матрицы к ступенчатому виду.
3. Матрицы, операции над матрицами: сложение, умножение на число,
транспонирование. Свойства этих операций.
4. Умножение матриц, свойства. Обратимые матрицы, свойства операции обращения.
5. Определитель квадратной матрицы: определение через 3 свойства.
6. Свойства определителя.
7. Критерий обратимости матрицы.
8. Решение крамеровских СЛУ.
9. Понятие вектора на плоскости, в пространстве. Линейные операции над векторами:
сложение векторов и умножение на число. Свойства.
10. Базис, координаты вектора.
11. Скалярное произведение. Матрица Грама.
12. Вычисление длин векторов и углов между ними с помощью скалярного произведения.
13. Векторное произведение векторов. Свойства. Геометрический смысл векторного
произведения (площадь параллелограмма).
14. Вычисление векторного произведения в произвольном и ортонормированном базисах.
15. Смешанное произведение векторов. Критерий компланарности трех векторов.
16. Геометрический смысл смешанного произведения (объем параллелепипеда).
17. Свойства смешанного произведения. Вычисление его в произвольном и
ортонормированном базисах.
18. Определение линейного пространства. Примеры.
19. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы
векторов.
20. Базис линейного пространства. Теорема о том, что все базисы данного пространства
имеют одинаковое число векторов. Размерность пространства.
21. Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь координат вектора в разных
базисах.
22. Представление любого конечномерного линейного пространства в виде пространства
векторов-строк (векторов-столбцов).
23. Подпространства линейного пространства. Примеры.
24. Множество решений однородной СЛУ с n неизвестными – подпространство в nмерном линейном пространстве.
25. Ранг матрицы.
26. Фундаментальная система решений СЛУ. Свободные и базисные переменные.
27. Линейные отображения и операторы. Матрица оператора в базисе.
28. Образ и ядро линейного отображения. Теорема о размерности ядра и образа.
29. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Независимость
характеристического многочлена от выбора базиса.
30. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих разным собственным
значениям.
31. Операторы простой структуры. Существование базиса из собственных векторов. Вид
матрицы оператора простой структуры в этом базисе.
32. Евклидовы пространства. Скалярное произведение. Свойства скалярного
произведения. Матрица Грама. Примеры евклидовых пространств.