lin_alg_kontr

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Нижегородский государственный университет
им. Н. И. Лобачевского
Центр Дистанционного Образования
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
для студентов заочного отделения экономических
специальностей
Методическая разработка
Нижний Новгород
2005 год
2
УДК 512
Контрольные работы по Линейной алгебре для студентов заочного отделения экономических специальностей: Методическая разработка. / Сост. Е. Е. Манишина, Т. М. Митрякова. – Н. Новгород :
ННГУ, 2005. – 23 c.
В методической разработке содержатся задания по курсу «Математика», составленные в соответствии с программой по математике для
студентов заочного отделения экономических специальностей ЦДО.
Задания, входящие в методическую разработку могут быть использованы на практических занятиях, при проведении самостоятельных и
контрольных работ, а также зачетов и экзаменов по данному курсу.
Составители: доцент кафедры довузовской подготовки подготовительного факультета Е. Е. Манишина,
ассистент кафедры теории функций механикоматематического факультета Т. М. Митрякова
Рецензент:
доцент кафедры теории функций механикоматематического факультета В. Н. Филиппов
 Нижегородский государственный университет
им. Н. И. Лобачевского, 2005
3
СОДЕРЖАНИЕ
1. Тема – Матрицы
4
2. Тема – Определители
3. Тема – Системы линейных уравнений
9
14
4. Тема – Метод Гаусса
5. Тема – Обратная матрица
17
20
6. Литература
23
4
ТЕМА – МАТРИЦЫ
Определение. Таблица чисел a ij размерности m  n называется матрицей, где m – число строк, n – число столбцов.
Матрица обозначается :
 
A  aij
 a11

a
  21
...

a
 m1
a12
a 22
...
a m2
... a1n 

... a 2n 
,
... ... 

... a m n 
где i  1, m , а j  1, n . Числа a ij называются элементами матрицы.
Определение. Матрица называется квадратной, если количество строк
равно количеству столбцов, т.е. m  n .
Определение. Суммой двух матриц А и В размерности m  n называется такая матрица С размерности m  n, все элементы которой образованы по следующему закону :
  
C  cij  aij  bij

,
где i  1, m , а j  1, n .
Определение. Произведением матрицы А размерности m  n на матрицу В размерности n  k называется такая матрица С размерности m  k,
все элементы которой образованы по следующему закону :
C  cir  
где i  1, m , j  1, n , а r  1, k .
n
aij  b jr ,

j 1
5
А. Вычислить сумму и произведение двух матриц :
1  2 3 
 2  2 3




1. A   4 6  1 B    3 1 4 
7 0
 5  3 9
2 



4
0 8
5 1
 3




2. A   4 3  1 B    1 4 1 
7  2 1 
 5  3 5




  1 2 3
 4 7 3 




3. A   4  3 5  B    3 1  1 
7
 1 2  2
8 1 



2 
5 2
4 1 0 




4. A   4 1  3  B   7 1
3
7  6 4 
 1 2  1




12 9 4 
1 6 3 




5. A   2  1 5  B   8 1  2 
 7 0 1
3 2 5 




10 2  1
  4 4 3




6. A   1  3 2  B   2 1 8 
6 8
  1 2 5
1 



  2 2 3
 2 5 1




7. A    3 1 8  B    3 1 6 
 5 2 1
 1 2  2




 3  1 2
1  4 1 




7
8. A   5 1 3  B   5 1
 7  2 4
 1 1  1




6
 1 2 4
 4 7 3




9. A   2  1 8  B   1  5 1 
7  3 1
 3 2 5




 2 3 4
 3 6 3 




10. A   2  1 5  B   5 1  2 
7 7 1
 3 2 1




7
3 
 2  1 4
1




11. A   2  3 5  B   4
1  2
0 5 1
1  3 0 




 5 2 3
1 5 1




12. A   3  4 0  B   4 8 3 
1 2 5
 1 2  4




  1 2 1
 6 2  1




13. A   4 1 8  B    2 1 2 
  3 2 5
 1 2  5




  4 1  2
 2 6 1




14. A    3 1 4  B    3 0 6 
 5 2 3 
  1 4  2




 3 2 3
 3 2 3




15. A    2 1  1 B    2 1  1
 3 4 2
 3 4 2




2 4
0
 1
4 2




16. A    3  1 3  B   1  5 1 
 5  3 1
 3 2  1




7
7 3
4  2 3 
1




17. A   2  1 4  B   6  5 1 
 7  3 11
  1 2 5




 1 2 4
 4 7 3




18. A   2  1 8  B   1  5 1 
7  3 1
 3 2 5




2
3 
 5  3 4
1




19. A    1  4 0  B   4
1  2
 2
1  3 1 
5 1 



 2  6 3
  2 1  3




20. A   3  1 1  B   4  3 1 
 1 4 2
 5
2  4 



3
1 2
1 1 2 




21. A   4 3  1 B   3 6
3
7  4 5 
 4 2  1




2 
5 2
4 1 0 




22. A   4 1  3  B   7 1
3
7  6 4 
 1 2  1




 3 1  2
4 1 4 




23. A   4 9  3  B   3 1
3
1  6 4 
 5  2  1




1  3 2 
3  2 1 




24. A   4 1  1 B   4 1
5
7  2 4 
 1 3  1




8
  1 2 1
 6 2  1




25. A   4 1 8  B    2 1 2 
  3 2 5
 1 2  5




 5  2  1
 1 3  4




26. A   2
1
4  B   2 5 2 
1 2
 1 3  5
1 



 3 2  2
 4  3 2




27. A   4 1
 1 B    2 1 5
1  6 2 
 1  2 3




4
7 3
3 0
1




28. A   5  10 2  B   3  2 1 
1  3 1
  1 2 5




  1 2 10 
 1 2 1




29. A   4 1 3  B    3 1 5 
 3 2 0 
 2 3  4




3
 7 2 4
2 7




30. A   2  1 6  B   1  2 9 
7  2 1
 3 2  1




9
ТЕМА – ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определение. Определителем или детерминантом n -го порядка квадратной матрицы A называется число, образованное из n 2 ее элементов и обозначается :
a11 a12
a
a 22
  det A  21
...
...
a n1 a n 2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a nn
Определение. Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу :
a11 a12
 a11  a 22  a12  a 21
a 21 a 22
Определение. Минором M ij любого элемента a ij определителем n го порядка называется определитель n  1 порядка, образованный из
исходного определителя вычеркиванием i -й строки и j -го столбца
(той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент
a ij ). Например, минором элемента a11 определителя  называется
определитель, образованный из  вычеркиванием 1-й строки и 1-го
столбца :
a 22
M 11  ...
... a 2 n
... ...
an2
... a nn
Определение. Определитель квадратной матрицы порядка n  2 может быть вычислен по формуле :
n
  det A 
aij (1) i  j M ij .

j 1
10
Формула представляет собой правило разложения определителя n -го
порядка по элементам i -й строки матрицы и по минорам M ij элементов i -й строки, являющихся определителями n  1 порядка. Величина
Aij  (1) i  j M ij
называется алгебраическим дополнением элемента a ij . Тогда
n
  det A 
aij Aij

j 1
А. Вычислить определители второго порядка :
1.
15 5
3 2
9.
22 3
7 1
2.
20 6
5 3
10.
7 40
1 7
3.
8 4
10 5
11.
9 30
2 6
4.
7 8
4 5
12.
11 13
15 12
5.
12 9
3 5
13.
41 3
2 5
6.
22 12
10 5
14.
7 5
9 10
7.
7 3
4 6
15.
7 8
10 9
8.
4 3
 10 5
16.
b b
b b
11
5c
c2
3c 2
2c
25.
d
9
2
d
26.
x 1 2
3x x
c
27.
x
4x
21.
8 b
2b 2
28.
n 1 1
8
n 1
22.
5 y 2x
3y x
29.
17.
18.
19.
20.
a
9
3 a
a
a
2
1
a
x 2
3 x
4c
3
23.
24.
2
c2
x2
4x
3x
1
30.
n2
2
x
3n 4
 1 2n 2
sin  cos 
 cos  sin 
C. Вычислить определители третьего порядка:
1
7 1
1 5 3
4. 2 3 4
3 1 7
1 2 1
1 5 25
1.  2
3
2 3
1 0
2. 2
1
4
3
5
1
5. 1 7
1 8 64
2 2 3
3.
5
6 1
3
1 1
49
6.
1
1
1
4
5
9
16 25 81
12
1 2 3
7. 4
5 6
15.
7 8 9
2
9. 4
5
2
11.
5 6
x
x
x b
x
x
12.
c3
c
c
a b
b
c
a
1
8
c2
b3
c3
16. a
a3
ca
1 c
ab
1 a a2
2
14. 1 b b
1 c c2
b
1 a a4
4
17. 1 b b
1 c c4
1 a2
2
18. 1 b
1 c2
a3
b3
c3
ab c 1
19. b  c
a 1
ca b 1
xz 1
20. 1 y
x 1
1 a bc
13. 1 b
b
2
x c
a b
c
3
1
3
7 8 9
a
b
3
2
4
1 2 3
10. 4
a
1
1  2
2
1
5
1 7 5
3
1
a
4 3
8. 3
1
21.
22.
x
1
xz
x2
1
1
1
1
2
y
1
1
z2
x2
y2
z
y
z2
1
1
1
1
13
23.
24.
ax
b
c
b
bx
a
c
a
cx
1
x
x2
x
x2
1
x
x
1
xy
1
x2
z2
y2
1
1
25. xy
xz
26.
x 1 y 1 z 1
27.
y 1
1
1
z 1
1
1
x 1
2
3
2
y2
1
28.
3
1
z 3
ax
1
c
a
bx
b
29.
c
1
cx
x 1
1
1
y
y 1
1
z
1
z 1
ax
x
x
x
bx
x
30.
x
x
cx
14
ТЕМА – СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Определение. Система следующего вида
a11x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1

a 21x1  a 22 x 2  ...  a 2n x n  b2

............................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a m n x n  bm
называется системой линейных уравнений ( где m - количество уравнений системы, n - количество неизвестных ). Величины x1 , x 2 ,..., x n независимые переменные системы ; a11 , a12 ,..., a m n - коэффициенты
системы ; b1 , b2 ,...,bm - свободные члены. Данная система уравнений
определяется матрицей ее коэффициентов :
 
A  aij
 a11

a
  21
...

a
 m1
a12
a 22
...
a m2
... a1n 

... a 2n 
... ... 

... a m n 
Определение. Система уравнений называется однородной, если все ее
свободные члены b1 , b2 ,...,bm равны нулю ; если хотя бы один из свободных членов системы отличен от нуля, система называется неоднородной.
Правило Крамера. Система из n уравнений с n неизвестными в случае, когда определитель матрицы   det A , составленный из коэффициентов системы, отличен от нуля   0 , имеет решение, и притом
i
( i  1, n ),

- определитель, получаемый из  заменой i -го столбца
только одно. Это решение находится по формулам xi 
где  i
столбцом свободных членов.
15
A. Решить системы уравнений, используя правило Крамера:
3x  5 y  7 z  18

1. 6 x  7 y  2 z  17
 2 x  y  4 z  9

7 x  3 y  z  29

9.  x  2 y  z  14
 4 x  2 y  z  11

3x  5 y  7 z  18

2.  x  6 y  2 z  2
5 x  y  4 z  5

7 x  2 y  z  4

10.  x  4 y  z  26
 4 x  5 y  6 z  13

 3 x  5 y  8 z  7

3.  x  6 y  2 z  16
5 x  y  10 z  13

7 x  2 y  z  14

11.  x  4 y  3z  2
 4 x  10 y  2 z  18

 3x  5 y  8 z  8

4.  x  4 y  2 z  19
5 x  y  9 z  13

6 x  2 y  z  15

12.  x  4 y  3 z  9
3x  10 y  2 z  16

 3 x  2 y  7 z  28

5.  x  3 y  2 z  1
 x  2 y  4 z  15

6 x  5 y  z  13

13.  x  4 y  5 z  5
2 x  8 y  z  8

 3 x  2 y  z  8

6. 3 x  3 y  2 z  15
 5 x  2 y  4 z  9

2 x  5 y  z  3

14.  x  5 y  3z  14
 3x  4 y  z  2

4 x  2 y  z  15

7.  x  3 y  2 z  16
 5 x  2 y  4 z  1

2 x  5 y  z  5

15.  2 x  5 y  9 z  13
 3 x  4 y  7 z  13

4 x  3 y  z  5

8.  x  2 y  2 z  1
3x  2 y  z  4

 x  5 y  z  12

16.  2 x  6 y  9 z  20
 3x  4 y  3z  2

16
 x  5 y  z  9

17.  2 x  y  4 z  2
2 x  4 y  3 z  1

2 x  y  z  3

24. 3 x  7 y  4 z  32
 2 x  4 y  z  8

4 x  5 y  z  21

18.  2 x  y  4 z  4
2 x  3 y  3z  15

5 x  y  2 z  16

25. 3x  7 y  2 z  16
 2 x  4 y  3z  12

4 x  3 y  z  17

19.  2 x  y  4 z  4
2 x  y  6 z  2

5 x  y  2 z  11

26. 3x  y  z  8
 2 x  4 y  3z  17

4 x  3 y  z  14

20.  2 x  y  4 z  3
5 x  3 y  2 z  16

5 x  y  2 z  4

27. 3x  12 y  z  23
 2 x  4 y  3z  11

2 x  y  2 z  5

21. 3 x  2 y  3 z  8
 2 x  3 y  6 z  7

4 x  5 y  2 z  24

28. 3 x  12 y  z  32
 2 x  4 y  3 z  5

2 x  y  z  1

22. 3x  2 y  4 z  11
 2 x  2 y  z  9

4 x  5 y  2 z  35

29. 3 x  12 y  z  80
 2 x  4 y  3 z  5

2 x  y  z  4

23. 3x  2 y  4 z  1
 2 x  2 y  z  6

4 x  5 y  2 z  25

30. 3 x  13 y  z  49
 2 x  4 y  3 z  3

17
ТЕМА – МЕТОД ГАУССА
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют
следующие преобразования :
1. умножение строки на число, отличное от нуля ;
2.
3.
прибавление к одной строке другой строки ;
перестановку строк ;
4.
прибавление к любой строке линейной комбинации других строк
(комбинация элементарных преобразований вида 1. и 2. называется линейной комбинацией строк) ;
5. те же преобразования столбцов.
Элементарные преобразования строк матрицы системы преобразуют
систему линейных уравнений в эквивалентную систему.
A. Решить системы уравнений методом Гаусса:
2 x  3 y  5 z  10

1. 3x  7 y  4 z  3
x  2 y  2z  3

4 x  3 y  2 z  4

5. 6 x  2 y  3 z  1
5 x  3 y  2 z  3

4 x  5 y  6 z  7

2.  x  6 y  2 z  2
5 x  y  4 z  5

 3 x  2 y  z  8

6.  8 x  4 y  3 z  1
 5 x  2 y  4 z  9

5 x  6 y  4 z  3

3. 3 x  3 y  2 z  2
4 x  5 y  2 z  1

5 x  2 y  3z  2

7. 2 x  2 y  5 z  0
3x  4 y  2 z  10

 3x  5 y  8 z  8

4. 2 x  4 y  17 z  5
5 x  y  9 z  13

4 x  3 y  z  5

8.  x  2 y  2 z  1
5 x  y  z  4

18
7 x  3 y  z  29

9. 3 x  6 y  3 z  42
 4 x  2 y  z  11

 x  4 y  3z  5

17.  2 x  y  4 z  2
2 x  4 y  3z  1

7 x  2 y  z  4

10. 3 x  3 y  5 z  9
 4 x  5 y  6 z  13

4 x  5 y  z  21

18.  x  y  2 z  3
2 x  3 y  3z  15

5 x  3 y  2 z  5

11.  x  4 y  3 z  2
 2 x  5 y  z  9

2 x  2 y  3z  13

19.  2 x  y  4 z  4
2 x  y  6 z  2

6 x  2 y  z  15

12.  x  4 y  3 z  9
7 x  2 y  4 z  6

4 x  3 y  z  14

20.  2 x  y  4 z  3
2 x  2 y  3z  11

7 x  9 y  4 z  8

13.  x  4 y  5 z  5
2 x  8 y  z  8

2 x  y  2 z  5

21. 5 x  y  3 z  1
 2 x  3 y  6 z  7

2 x  5 y  z  3

14.  x  5 y  3 z  14
3x  10 y  4 z  17

2 x  y  z  1

22. 3x  2 y  4 z  11
5 x  y  3z  12

2 x  5 y  z  5

15.  x  y  2 z  0
 3x  4 y  7 z  13

2 x  y  z  4

23.  x  4 y  3 z  7
 2 x  2 y  z  6

 x  5 y  z  12

16.  2 x  9 y  2 z  14
 3x  4 y  3z  2

 x  11 y  3 z  40

24. 3 x  7 y  4 z  32
 2 x  4 y  z  8

19
3x  5 y  5 z  4

25. 3 x  7 y  2 z  16
 2 x  4 y  3z  12

4 x  5 y  2 z  24

28. 3 x  12 y  z  32
 x  7 y  3z  8

5 x  y  2 z  11

26. 3 x  5 y  5 z  6
 2 x  4 y  3z  17

4 x  5 y  2 z  35

29.  x  7 y  3 z  45
 2 x  4 y  3 z  5

5 x  y  2 z  4

27. 5 x  8 y  4 z  12
 2 x  4 y  3z  11

4 x  5 y  2 z  25

30. 6 x  y  z  22
 2 x  4 y  3 z  3

20
ТЕМА – ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Определение. Единичной матрицей E называется квадратная матрица все элементы главной диагонали которой равны единице, а остальные равны нулю. Например,
1 0 0


E   0 1 0
0 0 1


Определение. Матрица X , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей A равенствам
X  A  A X  E ,
( где E - единичная матрица ), называется обратной к A и обозначает1
ся A .
Каждая квадратная матрица с детерминантом, отличным от нуля, имеет обратную матрицу, и притом только одну.
A. Найти обратные матрицы для данных матриц :
1  2 3 


1.  4 6  1
7 3
2 

 4  1 12 


4.  7 1
3
1 2 9 


5 8
 3


2.   1 4 1 
 5  3 2


10 6 3 


5.  8 1  2 
3 2 5 


 4 7 3


3.   3 1  1
 5 2 2


  4 7 3


6.  2 1 8 
  1 2 5


21
  2 2 3


7.   3 1 8 
 5 2 9


 2 5 6 


15.  4
1 3
 1 13  1


1  4 1 


8.  5 1
7
 8 3  1


7
4 2


16.  1  5 1 
 3 2  1


 4 7 3


9.  9  5 1 
 3 2 5


 14 7 3 


17.  6  5 1 
  1 2 5


 3 6 3 


10.  5 1 12 
 3 2  1


15 2 4 


18.  2  1 8 
 7  3 11


3 
1 7


11.  4
1  2
11  3 5 


 5  3 4


19.   1  4 9 
 2
5 1 

7 5 1


12.  4 8 3 
 1 2  4


 2  6 3


20.  3  1 4 
11 4 2 


 6 2  1


13.   2 1 3 
 1 6  5


3
1 2


21.  4 3  1
7  4 5 


 4 9  2


14.   3 1 4 
 5 2 3 


 5 2 12 


22.  4 1  3 
7  6 4 


22
 3 11  2 


23.  4 9
 3
1  6 4 


 4 3 2 


27. 12 1
5 
 1  2  3


3  2 1 


24.  7 10
5
 1 3  1


3
 11 7


28.  3  2 12 
1 2 5 


  1 2 3


25.  4 1 8 
  3 2 5


  1 2 10 


29.  4 11 3 
 3 2 9 


 10 3  4 


26.   2 5 2 
 9 3  5


3
2 7


30.  8  2 9 
 3 2  1


23
ЛИТЕРАТУРА
1.
Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной ал-
2.
гебры. – М.: Физматлит, 2004. – 304 с. – ISBN 5-9221-0304-0.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и
3.
аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988. – 224 с.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1997.
4.
– 304 с.
Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.:
5.
Наука, 1965. – 228 с.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. – М.: Наука. Физмат-
6.
лит, 1999. – 296 с.
Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975. –
400 с.
7.
Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. – М.:
Наука, 1971. - 352 с.
8.
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.:
Юнимедиастайл, 2002. – 384 с.
9.
Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. – С.П.: изд-во «Лань», 1999. – 288 с.
24
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
для студентов заочного отделения экономических специальностей
Методическая разработка
Составители : доцент кафедры довузовской подготовки подготовительного факультета Е. Е. Манишина,
ассистент кафедры теории функций
механико-
математического факультета Т. М. Митрякова
___________________________________________
Подписано к печати
.
Печать офсетная. Бумага оберточная.
Тираж
экз. Заказ
Формат 60 х 84 1/16.
Усл. печ. л.
.
Бесплатно.
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского.
603600, ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23.
Типография ННГУ, 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.