Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Обратная матрица и
ранг матрицы
Лекция 3
Лектор Кабанова Л.И.
Обратная матрица
Решение матричных уравнений и
систем линейных алгебраических
уравнений

Теорема о существовании обратной
матрицы
A*
Определение 2. Присоединенной или союзной матрицей
к матрице А вида называется матрица
 A11

 A12
* 
A  A13


A
 1n
A21
A22
A23

A2 n
A31
A32
A33

A3n
 An1 

 An 2 

 An3

 

 Ann 
 A11

 | A|
A12

1
1
*
A 
 A   | A|
| A|


A
 1n
 | A|
A21
| A|
A22
| A|

A2 n
| A|
A31
| A|
A32
| A|

A3n
| A|




An1 

| A| 
An 2 
| A| 


Ann 

| A| 
Решение матричных уравнений
(
Рассмотрим матричные уравнения вида:
X  A B
A X  B
A X  B  C
,
,
Определение.
Решением
матричного
уравнения
называется всякая матрица соответствующего
порядка, которая, будучи подставлена в матричное
уравнение вместо матрицы Х, обращает уравнение
в тождество.
1
1
A A X  A  B
1
X  A B
Аналогично находим решение следующих
матричных уравнений
X  B A
XA
1
1
C  B
1
Пример 5. Решить матричное уравнение
 3 5
1 2

  X  

 5 9
 3 4
A2 2
1 2

 
 3 4
X 2 2
B2 2
 x11
 
 x21
 3 5

 
 5 9
x12 

x22 
Решение этого уравнения находим по формуле
1
X  A B
| A |
1 2
3 4
 2  0
то есть существует
A
A
1
A
1  A11



| A | | A |  A12
*
1
A21 

A22 
1 1
A11  (1)
A21  (1)
2 1
44
 2  2
 4  2

A  
1
 3
*
1 2
A12  (1)
A22  (1)
 3  3
2 2
1  1
2
1

1  3
1
A 
 

 2
2
1  3 5    1  1
 2
1   
  

X  3
   5 9  2

3
 2
2
Таким образом, решение матричного уравнения
имеет вид:
  1  1

X  
3
 2
Сделаем проверку
 1 2    1  1  3 5 

  
  

3  5 9 
 3 4  2
Вычисление ранга матрицы
 Линейено-зависимые
линейнонезависимые строки столбцы
Базисные строки и базисный
минор
СПАСИБО
ВНИМАНИЕ
за